第一篇：數學證明題解題技巧

證明

徐琛同學，系黃山學院文學院2012級專升本學生。該生在我院學習期間，表現良好，學習認真，2013至2014學年度被同學選為學習委員。其工作盡職盡責，深得全班學生和老師的認可。

特此證明

黃山學院文學院

2014年4月28日

第二篇：考研數學單選題和證明題經典解題技巧

考研數學單選題和證明題經典解題技巧

到了考研復習的關鍵性強化和沖刺階段。一些答題技巧性的掌握能夠使我們事半功倍。下面小編為2015考生們分享單選題和證明題經典解題技巧，希望對考生們有所幫助。

一、單選題經典解題技巧

1.推演法。提示條件中給出一些條件或者一些數值，你很容易判斷，那這樣的題就用推演法去做。推演法實際上是一些計算題，簡單一點的計算題。那么從提示條件中往后推，推出哪個結果選擇哪個。

2.賦值法。給一個數值馬上可以判斷我們這種做法對不對，這個值可以加在給出的條件上，也可以加在被選的4個答案中的其中幾個上，我們加上去如果得出和我們題設的條件矛盾，或者是和我們已知的事實相矛盾。比方說2小于1就是明顯的錯誤，所以把這些排除了，排除掉3個最后一個肯定是正確的。

3.舉反例排除法。這是針對提示中給出的函數是抽象的函數，抽象的對立面是具體，所以我們用具體的例子來核定，這個跟我們剛才的賦值法有某種相似之處。一般來講舉的范例是越簡單越好，而且很多考題你只要簡單的看就可以看出他的錯誤點。

4.類推法。從最后被選的答案中往前推，推出哪個錯誤就把哪個否定掉，再換一個。我們推出3個錯誤最后一個肯定是正確的。后面三種方法有些相似之處，類推法這種方法是費時費力的，一般來講我們不太用。

總結：經常進行自我總結，錯題總結能逐漸提高解題能力。大家可以在學完每一章后，自己通過畫圖的形式回憶這章有哪些知識點，有哪些定理，他們之間有些什么聯系，如何應

用等;對做錯的題分析一下原因：概念不清楚、定理用錯了還是計算粗心?數學思維方法是數學的精髓，只有對此進行歸納、領會、應用，才能把數學知識與技能轉化為分析問題、解決問題的能力，使解題能力“更上一層樓”。

二、證明題的解法與技巧

1.結合幾何意義記住零點存在定理、中值定理、泰勒公式、極限存在的兩個準則等基本原理，包括條件及結論。

知道基本原理是證明的基礎，知道的程度(即就是對定理理解的深入程度)不同會導致不同的推理能力。如2006年數學一真題第16題(1)是證明極限的 存在性并求極限。只要證明了極限存在，求值是很容易的，但是如果沒有證明第一步，即使求出了極限值也是不能得分的。因為數學推理是環環相扣的，如果第一步未得到結論，那么第二步就是空中樓閣。這個題目非常簡單，只用了極限存在的兩個準則之一：單調有界數列必有極限。只要知道這個準則，該問題就能輕松解決，因為對于該題中的數列來說，“單調性”與“有界性”都是很好驗證的。像這樣直接可以利用基本原理的證明題并不是很多，更多的是要用到第二步。

2.借助幾何意義尋求證明思路

一個證明題，大多時候是能用其幾何意義來正確解釋的，當然最為基礎的是要正確理解題目文字的含義。如2007年數學一第19題是一個關于中值定理的證明題，可以在直角坐標系中畫出滿足題設條件的函數草圖，再聯系結論能夠發現：兩個函數除兩個端點外還有一個函數值相等的點，那就是兩個函數分別取最大值的點(正確審題：兩個函數取得最大值的點不一定是同一個點)之間的一個點。這樣很容易想到輔助函數F(x)=f(x)-g(x)有三個零點，兩次應用羅爾中值定理就能得到所證結論。再如2005年數學一第18題(1)是關于零點存在定理的證明題，只要在直角坐標系中結合所給條件作出函數y=f(x)及 y=1-x在[0，1]上的圖形就立刻能看到兩個函數圖形有交點，這就是所證結論，重要的是寫出推理過程。從圖形也應該看到兩函數在兩個端點處大小關系恰好相反，也就是差函數在兩個端點的值是異號的，零點存在定理保證了區間內有零點，這就證得所需結果。如果第二步實在無法完滿解決問題的話，轉第三步。

3.逆推法

從結論出發尋求證明方法。如2004年第15題是不等式證明題，該題只要應用不等式證明的一般步驟就能解決問題：即從結論出發構造函數，利用函數的單調性推出結論。在判定函數的單調性時需借助導數符號與單調性之間的關系，正常情況只需一階導的符號就可判斷函數的單調性，非正常情況卻出現的更多(這里所 舉出的例子就屬非正常情況)，這時需先用二階導數的符號判定一階導數的單調性，再用一階導的符號判定原來函數的單調性，從而得所要證的結果。該題中可設 F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*，其中eF(a)就是所要證的不等式。對于那些經常使用如上方法的考生來說，利用三步走就能輕松收獲數學證明的12分，但對于從心理上就不自信能解決證明題的考生來說，卻常常輕易丟失12分，后一部分同學請按“證明三步走”來建立自信心，以阻止考試分數的白白流失。

第三篇：考研數學：單選與證明題經典解題技巧

考研數學：單選與證明題經典解題技巧

很多同學準備考研買了各種輔導機構的資料，大量練習認為這樣的話一是能通過題復習知識點，還有就是期望通過題海戰術能做到考試真題。這種盲目的做題方法未必能高效提升成績。同學們一定要明確，做題不是目的，是為了更好的培養答題的感覺，理清思路，鞏固知識點。對于考研數學來說，題海無邊但題型有限。我們可以通過對典型題型的練習，掌握相應的解題方法，能迅速提高解題能力，節省考場上的寶貴時間。在此，我們數學教研室李老師為大家整理單選題和證明題經典解題技巧。

一、單選題巧解技巧總結為五種方法：

第一種：推演法。提示條件中給出一些條件或者一些數值，你很容易判斷，那這樣的題就用推演法去做。推演法實際上是一些計算題，簡單一點的計算題。那么從提示條件中往后推，推出哪個結果選擇哪個。

第二種：賦值法。給一個數值馬上可以判斷我們這種做法對不對，這個值可以加在給出的條件上，也可以加在被選的4個答案中的其中幾個上，我們加上去如果得出和我們題設的條件矛盾，或者是和我們已知的事實相矛盾。比方說2小于1就是明顯的錯誤，所以把這些排除了，排除掉3個最后一個肯定是正確的。

第三種：舉反例排除法。這是針對提示中給出的函數是抽象的函數，抽象的對立面是具體，所以我們用具體的例子來核定，這個跟我們剛才的賦值法有某種相似之處。一般來講舉的范例是越簡單越好，而且很多考題你只要簡單的看就可以看出他的錯誤點。

第五種：類推。從最后被選的答案中往前推，推出哪個錯誤就把哪個否定掉，再換一個。我們推出3個錯誤最后一個肯定是正確的。后面三種方法有些相似之處，類推法這種方法是費時費力的，一般來講我們不太用。

總結：經常進行自我總結，錯題總結能逐漸提高解題能力。大家可以在學完每一章后，自己通過畫圖的形式回憶這章有哪些知識點，有哪些定理，他們之間有些什么聯系，如何應用等;對做錯的題分析一下原因：概念不清楚、定理用錯了還是計算粗心?數學思維方法是數學的精髓，只有對此進行歸納、領會、應用，才能把數學知識與技能轉化為分析問題、解決問題的能力，使解題能力“更上一層樓”。

二、證明題總結為三大解題方法：

1.結合幾何意義記住零點存在定理、中值定理、泰勒公式、極限存在的兩個準則等基本原理，包括條件及結論。

知道基本原理是證明的基礎，知道的程度(即就是對定理理解的深入程度)不同會導致不同的推理能力。如2006年數學一真題第16題(1)是證明極限的 存在性并求極限。只要證明了極限存在，求值是很容易的，但是如果沒有證明第一步，即使求出了極限值也是不能得分的。因為數學推理是環環相扣的，如果第一步未得到結論，那么第二步就是空中樓閣。這個題目非常簡單，只用了極限存在的兩個準則之一：單調有界數列必有極限。只要知道這個準則，該問題就能輕松解決，因為對于該題中的數列來說，“單調性”與“有界性”都是很好驗證的。像這樣直接可以利用基本原理的證明題并不是很多，更多的是要用到第二步。

2.借助幾何意義尋求證明思路。

一個證明題，大多時候是能用其幾何意義來正確解釋的，當然最為基礎的是要正確理解題目文字的含義。如2007年數學一第19題是一個關于中值定理的證明題，可以在直角坐標系中畫出滿足題設條件的函數草圖，再聯系結論能夠發現：兩個函數除兩個端點外還有一個函

數值相等的點，那就是兩個函數分別取最大值的點(正確審題：兩個函數取得最大值的點不一定是同一個點)之間的一個點。這樣很容易想到輔助函數F(x)=f(x)-g(x)有三個零點，兩次應用羅爾中值定理就能得到所證結論。再如2005年數學一第18題(1)是關于零點存在定理的證明題，只要在直角坐標系中結合所給條件作出函數y=f(x)及 y=1-x在[0，1]上的圖形就立刻能看到兩個函數圖形有交點，這就是所證結論，重要的是寫出推理過程。從圖形也應該看到兩函數在兩個端點處大小關系恰好相反，也就是差函數在兩個端點的值是異號的，零點存在定理保證了區間內有零點，這就證得所需結果。如果第二步實在無法完滿解決問題的話，轉第三步。

3.逆推法

從結論出發尋求證明方法。如2004年第15題是不等式證明題，該題只要應用不等式證明的一般步驟就能解決問題：即從結論出發構造函數，利用函數的單調性推出結論。在判定函數的單調性時需借助導數符號與單調性之間的關系，正常情況只需一階導的符號就可判斷函數的單調性，非正常情況卻出現的更多(這里所 舉出的例子就屬非正常情況)，這時需先用二階導數的符號判定一階導數的單調性，再用一階導的符號判定原來函數的單調性，從而得所要證的結果。該題中可設 F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*，其中eF(a)就是所要證的不等式。

對于那些經常使用如上方法的考生來說，利用三步走就能輕松收獲數學證明的12分，但對于從心理上就不自信能解決證明題的考生來說，卻常常輕易丟失12分，后一部分同學請按“證明三步走”來建立自信心，以阻止考試分數的白白流失。

最后，李老師提醒大家：強化階段大家應把復習過的知識系統化綜合化，注意搞細搞透搞活，也可適當做幾套模擬題。數學題目千變萬化，有各種延伸或變式，考生們要在考試中取得好成績，一定要腳踏實地地復習，華而不實靠押題碰運氣是行不通的，多思多議，不斷地總結經驗與教訓，做到融會貫通。

第四篇：初中數學證明題解題技巧與步驟

初中數學證明題解題技巧與步驟

（證明：等腰三角形兩底角的平分線相等）為例

1.弄清題意

此為“文字型”數學證明題，既沒有圖形，也無直觀的已知與求證。如何弄清題意呢？根據命題的定義可知，命題由條件與結論兩部分組成，因此區分命題的條件與結論至關重要，是解題成敗的關鍵。命題可以改寫成“如果???..，那么???.”的形式，其中“如果???..”就是命題的條件，“那么??.”就是命題的結論，據此對題目進行改寫：如果在等腰三角形中分別作兩底角的平分線，那么這兩條平分線長度相等。于是題目的意思就很清晰了，就是在等腰三角形中作兩底角平分線，然后根據已知的條件去求證這兩條平分線相等。這樣題目要求我們做什么就一目了然了！

2、根據題意，畫出圖形。

圖形對解決證明題，能起到直觀形象的提示，所以畫圖因盡量與題意相符合。并且把題中已知的條件，能標在圖形上的盡量標在圖形上。

3.根據題意與圖形，用數學的語言與符號寫出已知和求證。

眾所周知，命題的條件---已知，命題的結論---求證，但要特別注意的是，已知、求證必須用數學的語言和符號來表示。

已知：如圖（1），在△ABC中，AB=AC, BD、CE分別是△ABC的角平分線。求證：BD=CE

4.分析已知、求證與圖形，探索證明的思路。

對于證明題，有三種思考方式：

（1）正向思維。對于一般簡單的題目，我們正向思考，輕而易舉可以做出，這里就不詳細講述了。

（2）逆向思維。顧名思義，就是從相反的方向思考問題。運用逆向思維解題，能使學生從不同角度，不同方向思考問題，探索解題方法，從而拓寬學生的解題思路。這種方法是推薦學生一定要掌握的。在初中數學中，逆向思維是非常重要的思維方式，在證明題中體現的更加明顯，數學這門學科知識點很少，關鍵是怎樣運用，對于初中幾何證明題，最好用的方法就是用逆向思維法。如果你已經上初三了，幾何學的不好，做題沒有思路，那你一定要注意了：從現在開始，總結做題方法。同學們認真讀完一道題的題干后，不知道從何入手，建議你從結論出發。例如：可以有這樣的思考過程：要證明某兩條邊相等，那么結合圖形可以看出，只要證出某兩個三角形相等即可；要證三角形全等，結合所給的條件，看還缺少什么條件需要證明，證明這個條件又需要怎樣做輔助線，這樣思考下去??這樣我們就找到了解題的思路，然后把過程正著寫出來就可以了。這是非常好用的方法，同學們一定要試一試。

（3）正逆結合。對于從結論很難分析出思路的題目，同學們可以結合結論和已知條件認真的分析，初中數學中，一般所給的已知條件都是解題過程中要用到的，所以可以從已知條件中尋找思路，比如給我們三角形某邊中點，我們就要想到是否要連出中位線，或者是否要用到中點倍長法。給我們梯形，我們就要想到是否要做高，或平移腰，或平移對角線，或補形等等。正逆結合，戰無不勝。分析：此題要想證明 BD=CE ,就要引導學生觀察圖形（圖形（1）），弄清題意。發現BD、CE分別存在于兩對三角形中：△ABD與△ACE，△BEC與△CDB,只要能證明其中任何一對三角形全等，即可利用全等三角形性質得到對應邊相等。（此

思維屬于逆向思維）

5.根據證明的思路，用數學的語言與符號寫出證明的過程

證明過程的書寫，其實就是把證明的思路從腦袋中搬到紙張上。這個過程，對數學符號與數學語言的應用要求較高，在講解時，要提醒學生任何的“因為、所以”，在書寫是都要符合公理、定理、推論或以已知條件相吻合，不能無中生有、胡說八道，要有根有據！

證明：

∵AB=AC(已知)

∴∠ABC=∠ACB(等邊對等角)

∵BD、CE分別是△ABC的角平分線(已知)

∴∠1=∠ABC,∠2=∠ACB（角平分線的定義）

∴∠1=∠2(等量代換)

在△BEC與△CDB中，∵∠ACB=∠ABC, BC=CB,∠1=∠

2∴△BEC≌△CDB(ASA)

∴BD=CE(全等三角形的對應邊相等)

6.檢查證明的過程，看看是否合理、正確

任何正確的步驟，都有相應的合理性和與之相應證的公理、定理、推論，證明過程書寫完畢后，對證明過程的每一步進行檢查，是非常重要的，是防止證明過程出現遺漏的關鍵。最后，同學們在平時練習中要敢于嘗試，多分析，多總結。才能做到熟能生巧！

（數學組徐瑞推薦）

第五篇：數學證明題解題技巧與步驟

數學證明題解題技巧與步驟

北師大版初中數學教材中《證明》占三章節，教材這樣安排的目地是想：通過對《證明》的學習，讓學生通過對圖形的性質及相互關系進行大量的探索，在探索的同時，使學生經歷推理的過程，進行了簡單的推理訓練，從而具備了一定的推理能力，樹立了初步的推理意識，為嚴格的推理證明打下了基礎。但生活很豐滿，現實很骨干，許多學生在實際解決證明題的過程中，卻因為種種原因而感到無從下手！那如何求解證明題呢？如何讓學生不再畏懼證明題呢？通過對教材中《證明》的教學，根據學生的認知水平，本人認為可以從以下六個方面來解決：

[例題]

證明：等腰三角形兩底角的平分線相等

1.弄清題意

此為“文字型”數學證明題，既沒有圖形，也無直觀的已知與求證。如何弄清題意呢？根據命題的定義可知，命題由條件與結論兩部分組成，因此區分命題的條件與結論至關重要，是解題成敗的關鍵。命題可以改寫成“如果???..，那么???.”的形式，其中“如果???..”就是命題的條件，“那么??.”就是命題的結論，據此對題目進行改寫：如果在等腰三角形中分別作兩底角的平分線，那么這兩條平分線長度相等。于是題目的意思就很清晰了，就是在等腰三角形中作兩底角平分線，然后根據已知的條件去求證這兩條平分線相等。這樣題目要求我們做什么就一目了然了！

2.根據題意，畫出圖形。

圖形對解決證明題，能起到直觀形象的提示，所以畫圖因盡量與題意相符合。并且把題中已知的條件，能標在圖形上的盡量標在圖形上。

3.根據題意與圖形，用數學的語言與符號寫出已知和求證。

眾所周知，命題的條件---已知，命題的結論---求證，但要特別注意的是，已知、求證必須用數學的語言和符號來表示。

已知：如圖（1），在△ABC中，AB=AC,BD、CE分別是△ABC的角平分線。

求證：BD=CE

4.分析已知、求證與圖形，探索證明的思路。

對于證明題，有三種思考方式：

（1）正向思維。對于一般簡單的題目，我們正向思考，輕而易舉可以做出，這里就不詳細講述了。

（2）逆向思維。顧名思義，就是從相反的方向思考問題。運用逆向思維解題，能使學生從不同角度，不同方向思考問題，探索解題方法，從而拓寬學生的解題思路。這種方法是推薦學生一定要掌握的。在初中數學中，逆向思維是非常重要的思維方式，在證明題中體現的更加明顯，數學這門學科知識點很少，關鍵是怎樣運用，對于初中幾何證明題，最好用的方法就是用逆向思維法。如果你已經上初三了，幾何學的不好，做題沒有思路，那你一定要注意了：從現在開始，總結做題方法。同學們認真讀完一道題的題干后，不知道從何入手，建議你從結論出發。例如：可以有這樣的思考過程：要證明某兩條邊相等，那么結合圖形可以看出，只要證出某兩個三角形相等即可；要證三角形全等，結合所給的條件，看還缺少什么條件需要證明，證明這個條件又需要怎樣做輔助線，這樣思考下去??這樣我們就找到了解題的思路，然后把過程正著寫出來就可以了。這是非常好用的方法，同學們一定要試一試。

（3）正逆結合。對于從結論很難分析出思路的題目，同學們可以結合結論和已知條件認真的分析，初中數學中，一般所給的已知條件都是解題過程中要用到的，所以可以從已知條件中尋找思路，比如給我們三角形某邊中點，我們就要想到是否要連出中位線，或者是否要用到中點倍長法。給我們梯形，我們就要想到是否要做高，或平移腰，或平移對角線，或補形等等。正逆結合，戰無不勝。

分析：此題要想證明 BD=CE ,就要引導學生觀察圖形（圖形（1）），弄清題意。發現BD、CE分別存在于兩對三角形中：△ABD與△ACE，△BEC與△CDB,只要能證明其中任何一對三角形全等，即可利用全等三角形性質得到對應邊相等。（此思維屬于逆向思維）

5.根據證明的思路，用數學的語言與符號寫出證明的過程

證明過程的書寫，其實就是把證明的思路從腦袋中搬到紙張上。這個過程，對數學符號與數學語言的應用要求較高，在講解時，要提醒學生任何的“因為、所以”，在書寫是都要符合公理、定理、推論或以已知條件相吻合，不能無中生有、胡說八道，要有根有據！證明：

∵AB=AC(已知)

∴∠ABC=∠ACB(等邊對等角)

∵BD、CE分別是△ABC的角平分線(已知)

∴∠1=∠ABC, ∠2=∠ACB（角平分線的定義）

∴∠1=∠2(等量代換)

在△BEC與△CDB中，∵∠ACB=∠ABC, BC=CB, ∠1=∠

2∴△BEC≌△CDB(ASA)

∴BD=CE(全等三角形的對應邊相等)

6.檢查證明的過程，看看是否合理、正確

任何正確的步驟，都有相應的合理性和與之相應證的公理、定理、推論，證明過程書寫完畢后，對證明過程的每一步進行檢查，是非常重要的，是防止證明過程出現遺漏的關鍵。最后，同學們在平時練習中要敢于嘗試，多分析，多總結。

初中幾何證明題不但是學習的重點。而且是學習的難點，很多同學對幾何證明題。不知從何著手，一部分學生雖然知道答案，但敘述不清楚，說不出理由，對邏輯推理的證明過程幾乎不會寫，這樣，導致大部分的學生失去了幾何學習的信心，雖然新的課程理念要求，推理的過程不能過繁。一切從簡，但證明的過程要求做到事實準確、道理嚴密，證明過程方能完整，教學中怎樣才能把幾何證明題的求解過程敘述清楚呢?根據教學經驗，我在教學中是這樣做的，希望與大家一起探討。

(1)“讀”——讀題

如何指導學生讀題？仁者見仁、智者見智，我們課題組結合我們的研究和本校學生的實際，將讀題分為三步：第一步，粗讀（類似語文閱讀的瀏覽）。快速地將題目從頭到尾瀏覽一遍，大致了解題目的意思和要求；第二步，細讀。在大致了解題目的意思和要求的情況下，再認真地有針對性地讀題，弄清題目的題設和結論，搞清已知是什么、需要證明的是什么？并盡可能地將已知條件在圖形中用符號簡明扼要地表示出來（如哪兩個角相等，哪兩條線段相等，垂直關系，等等），若題中給出的條件不明顯的（即有隱含條件的），還要指導學生如何去挖掘它們、發現它們；第三步，記憶復述。在前面粗讀和細讀的基礎上，先將已知條件和要證明的結論在心里默記一遍，再結合圖形中自己所標的符號將原題的意思復述出來。到此讀題這一環節，才算完成。

對于讀題這一環節，我們之所以要求這么復雜，是因為在實際證題的過程中，學生找不到證明的思路或方法，很多時候就是由于漏掉了題中某些已知條件或將題中某些已知條件記錯或想當然地添上一些已知條件，而將已知記在心里并能復述出來就可以很好地避免這些情況的發生。

(２)“析”——分析

指導學生用數學方法中的“分析法”，執果索因，一步一步探究證明的思路和方法。教師用啟發性的語言或提問指導學生，學生在教師的指導下經過一系列的質疑、判斷、比較、選擇，以及相應的分析、綜合、概括等認識活動，思考、探究，小組內討論、交流、發現解決問題的思路和方法。

(３)“述”——口述

學生學習小組推選小組代表，由小組代表分析自己那一組探究到的證明的思路和方法，口述證明過程及每一步的依據。我們知道學習語文、外語及其他語言都是從“說”開始學起的，那么學習幾何語言，也可以嘗試先“說”后寫。特別是初一初二的學生，讓他們先在小組內自主探索、討論交流，弄清證題思路，然后再讓學生代表口述證題過程，這對于訓練學生應用和提高幾何語言的表達能力很有好處。

(４)“擇”——選擇最簡易的方法

在各位學生代表口述完解題過程后，教師引導學生比較、選擇最簡單的一種證題方法，這樣做，不僅能幫助學生進一步理清證明思路、記憶相關的幾何定理、性質，而且還增加了學生學習的興趣和好奇心，從而激發學生學習的積極性和主動性。

(５)“演”——板演

在學生集體復述解題的基礎上，教師板演上述解題過程，給學生作證題的書寫示范，讓學生體會怎樣合理、規范、科學地書寫證明過程。

(６)“練”——變式練習

變式，既是一種重要的思想方法，又是一種行之有效的教學方法。通過變式訓練，在課堂上展現知識發生、發展、形成的完整認知過程。在教學實踐中，筆者深深體會到：變式教學符合學生是認知規律，能有層次地推進，為學生提供一個求異、思變的空間，讓學生把學到的概念、公式、定理、法則靈活應用道各種情景中去，培養學生靈活多變的思維品質，提高學生研究、探索問題的能力，提高數學素養，從而有效地提高數學教學效果。

因此，在學生獲得某種基本的證法后，教師可以通過變式，改變問題中的條件，轉換探求的結論，變化問題的形式或圖形的形狀位置等多種途徑，指導學生從不同的方向、不同的角度、不同的層次去思考問題。

在此基礎上，再讓學生分組討論，合作交流，作出更多的變式題目，并思考改變了已知或結論的題目又如何證明。