第一篇：2018考研數學考點解析：一元函數積分學_斃考題

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2018考研數學考點解析：一元函數積分學

2018數學考試大綱已經出來了，記的去年是8月底出的，今年比去年晚了半個月的時間。下面我們就考研數學中的一元函數積分學這一塊來簡單聊下。

這一部分內容與去年比較整體要求沒有什么出入。以下吳方方老師主要是根據2017年對定積分這一塊的考查，并結合今天出來的2018年考試大綱來給2018的同學們來聊聊，接下來這三個月，我們在2018年的考研備考中所要注意的問題。

首先，我們結合剛剛出來的2018年考試大綱來明確這一部分的知識體系。大綱中要求我們，理解原函數的概念，理解不定積分的概念，掌握不定積分的的基本公式，掌握不定積分的積分方法，主要是換元法和分部積分法。關于一元積分學這章節還包括：定積分的定義，性質；微積分基本定理；反常積分以及定積分的應用這幾個部分。這幾個部分各有各的側重點。而其中有關定積分的定義是要求我們掌握的重點，我們要充分理解微積分基本定理還要掌握定積分在幾何和物理上面的應用。

至于反常積分這一塊，會計算簡單的反常積分，了解反常積分的概念并會判別收斂性，像2016年數學一第一道選擇題就是考查反常積分的收斂性問題。去年就是由于很多同學對反常積分的斂散性的判別不熟，從而導致了選擇題做的不順，時間久耽誤了，以至于影響到了后面的大題的解析。

關于定積分的定義及性質。這里要求同學們一定要理解分割、近似以及求和還有取極限這幾個步驟。與此同時還要求同學們知道其幾何意義及定義中我們所要注意的地方。早在2016年數學

二、數學三出了道填空題，是利用定積分定義來做的，而2017年考研數學

一、數學三又出了道10分的計算題，因此希望這一部分能引起同學們的一定的重視。對于n項和求極限的問題，我們知道主要是利用夾逼定理和定積分定義兩種常用方法。因此，對于這一部分的內容與數列極限結合是我們要重視的。

關于定積分中的區間可加性、積分中值定理、比較定理這幾個是同學要掌握的，而對于微積分基本定理這一塊的知識點是非常重要的。關于切線與法線；以及單調性；極值；凹凸性的應用與變上限積分函數是可以相關聯的。關于變上限積分函數，我們要掌握變上限積分求導，這一塊知識與極限結合，就是我們常見的一種極限形式，即含有變上限積分的極限計算題。像2017年考研中的第一道極限的計算題就是有關變上限積分的極限計算問題。求導，吳方方老師希望同學們能夠會證明，以前考研真題中也出現過此類問題。所以，應當值得我們重視。

下面我們來聊聊反常積分這一塊內容，這塊內容在2016年考研數學一的第一道選擇題出現了，當年很多同學無從下手。由于對這一塊知識的生疏，以至于這一道選擇題就花了二十多分鐘才解決，這個是不應該的。其實在某種意義上，當年2016年考的那題斂散性的選擇

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題，是有些超綱的，而2017年考研對于這塊的知識出了道填空題，是關于反常積分的計算題。這一塊的內容大綱解析要求我們了解反常積分的基本定義，會計算反常積分。沒有其他內容，所以收斂這一塊應該是不會太為難我們，而關于反常積分的計算，同學們就當作定積分來求就可以了。

最后，就是有關定積分的應用部分了。關于定積分的定義這一塊，吳方方老師希望童鞋們要掌握住，其主要就是利用微元法在幾何上應用，對于數一和數二的同學還要求掌握物理上面的應用。數學三的同學要掌握用定積分求面積及旋轉的體積。各種旋轉體的體積是要求我們必須掌握的，在真題中確實出現過定積分幾何應用于微分方程結合出題的，而對于數學一和數學二除了平面圖形的面積和旋轉體的體積外，還要求掌握用定積分求曲線弧長、旋轉曲面的側面積。

對于一元函數積分學這一塊內容是我們同學們要重視的重要部分，一元函數的積分計算的二重積分以及三重積分等的基礎，希望同學們好好努力，都有個好成績。加油！

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第二篇：2018考研數學：關于“極限”問題的整理_斃考題

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2018考研數學：關于“極限”問題的整理

下面就高等數學重要知識點-極限在考研中的命題規律，題型，例題等方面給大家進行總結，希望能給你帶來幫助。

極限的考查主要包含這幾個角度：1.給定函數，求其極限；2.給定數列求極限；3.考查極限的應用；4.作為條件，解讀信息。

1.函數極限：函數極限的求解，主要在于簡化，拿到函數極限的問題，根據解題步驟：1)定型--判定未定式的類型，恒等變形為基本型來處理；2)簡化--利用四則運算可以把存在的極限拆開，把非零的因式提取出來，整體因式的無窮小量進行等價替換；3)定法--若未定式是零比零形式，則考慮洛比達或者泰勒公式（出現了指數、三角函數、對數等優先利用泰勒相對簡單）處理，若未定式是無窮比無窮，則考慮洛比達或者消去無窮大因式來解題。

2.數列極限：項無窮小的和，考慮定積分的定義；證明數列極限的存在性，優先考慮單調有界準則；求解未定式的數列極限，考慮連續化來求解；如果利用這些常規處理方法解決不了的問題，則利用夾逼準則進行計算。

3.會求函數極限，那么有關的應用：無窮小的比較、連續的問題、求間斷點、漸近線、求某一點處的導數等問題，就迎刃而解，套相應的公式，計算極限即可。

4.如果題干當中給了極限作為條件，一般要從表達式中挖掘信息，下面就常考的幾個形式給大家逐一講解：

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第三篇：2018考研數學之高數考點預測：中值定理證明_斃考題

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2018考研數學之高數考點預測：中值定理證明

中值定理證明是高等數學重點難點，今年很有可能會考到，沖刺時間不多，小編帶大家來把這些考點回顧鞏固下： 中值定理是考研數學的重難點，這一類型的問題，從待證的結論入手，首先看結論中有無導數，若無導數則采用閉區間連續函數的性質來證明(介值或零點定理)，若有導數則采用微分中值定理來證明(羅爾、拉格朗日、柯西定理)，這個大方向首先要弄準確，接下來就待證結論中有無導數分兩塊來講述。

一、結論中無導數的情況

結論中無導數，接下來看要證明的結論中所在的區間是閉區間還是開區間，若為閉區間則考慮用介值定理來證明，若為開區間則考慮用零點定理來證明。

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第四篇：2011考研數學常見疑難知識點精析之《高等數學》三、一元函數積分學

2011考研數學常見疑難知識點精析之

《高等數學》

三、一元函數積分學

萬學海文

1．關于不定積分的一些知識

1）、求導數與求不定積分是互逆的．已知一個函數其導數是唯一的，但是其逆運算——求不定積分的結果不是唯一的． dF(x)dx?f(x)，而，?f(x)dx?F(x)?C，由于C的不同，導致一個函數的不定積分有很多函數，這些函數之間相差一個常數．

2）、一個函數的不定積分和原函數是兩個不同的概念．

如果F'(x)?f(x)或dF(x)?f(x)dx，那么函數F(x)就是f(x)的在某個區間上的一個原函數；函數f(x)的帶有任意常數項的原函數稱為該函數在某個區間上的不定積分，所以一個函數f(x)的原函數為其不定積分中的一個函數，而其不定積分則是一族函數，它們之間相差一個常數，即，?f(x)dx?F(x)?C

3）、如果函數f(x)在區間上連續，則該函數在該區間上存在原函數；

如果函數f(x)在區間上有第一類間斷點，則該函數在該區間上不存在原函數．

?1,????x?0?例如，設f?x???0,????x?0，則在任意一個包含x?0在其內部的區間上，一定不存??1,???x?0?在原函數．

這是因為，當x?0時x??f?x?，因此當x?0時，f?x?的一切原函數為x?C，而在x?0處x?C不可導，因此在任意一個包含x?0在其內部的區間上，x?C不可以認為是f?x?的原函數，所以在這種區間上f?x?不存在原函數．

4）、奇偶性問題

當函數f(x)為奇函數時，則其全體原函數均為偶函數；

當函數f(x)為偶函數時，則其只有唯一一個原函數為奇函數． 5)、周期函數的原函數不一定是周期函數．如果函數f(x)是以T為周期函數，那么其全體原函數也是以T為周期的充要條件是?f(t)dt?0．

0T6）、如果分段函數存在原函數，則其原函數一定是連續的． 2．分段函數不定積分

對于分段函數，在對其進行不定積分的時候，要注意在分別求不定積分的時候，最后的常數要統一，從而保證原函數的連續性．

例3.1：設f(x)???sin2x,x?0?ln(2x?1),x?0，求f(x)的原函數F(x)

12解：（1）當x?0時，?sin2xdx??（2）當x?0時，cos2x?C1

?ln(2x?1)dx? ?1212?ln(2x?1)d(2x?1)?12[(2x?1)ln(2x?1)??2(2x?1)(2x?1)dx]?C2

[(2x?1)ln(2x?1)?2x]?C2，這時要對兩個常數C1,C2進行統一．

??C1?F(0)?112???C?CC???C，（3）x?0，所以，取，C?C?122122?lim?F(x)?C2?F(0)x?0?lim?F(x)??1????則：

F(x)??????1212cos2x?C????????????(x?0)[(2x?1)ln(2x?1)?2x]?C?12

???(x?0)3．利用換元法求解不定積分，最后的結果一定要變為原來的積分變量．

例3.2：求?dx?2x2?1?

x?122解：作積分變量變換，令x?tanu,則dx?secudu, 原式??secudu(2tanu?1)tanu?1222 ??(2tansecudu22u?1)secu ??(2tan?2sindu2u?1)cosu??(du2sinucosu22??1)cosu??2sincosudu22u?cosu?cosu2

?cosudu2u?cosu2??sincosudu2u?1??sindsinu2u?1?arctan(sinu)?C

做到這里并沒有完成求解原函數的任務，因為原積分變量為x，這里的最后結果不含x，而是含u，所以不能就此結束，而是要再重新換為原來的積分變量．

?sinu?arctan(sinu)?Ctanu1?tanu2?arctan(x1?x2tanu?xx1?x2)?C

所以，最后的結果應為arctan()?C，而并非是arctan(sinu)?C．同時這里還要再次強調一下，最后的結果中常數C一定不能忘記． 4．下列兩個命題是否正確？

1）如果 f(x)在 ?a,b?上有原函數，那么 f(x)在 ?a,b?上可積； 2）如果 f(x)在 ?a,b?上可積，那么 f(x)在 ?a,b?上一定有原函數.答：兩個命題都不正確.先討論命題1），在 ?a,b?上有原函數的函數 f(x)未必是可積的，1?2xsin,x?0?2x例如函數F(x)??，在 ??1,1?內處處可導，且

?0,x?0?121?2xsin?cos,x?0?22xxx，因此f(x)在 ??1,1?上的原函數是F(x).F'(x)?f(x)???0,x?0?但 f(x)在 ??1,1?上無界，所以 f(x)在 ??1,1?上不可積.再討論命題2），在 ?a,b?上可積的函數不一定有原函數.例如符號函數sgnx在 ??1,1?上可積，但x?0是它的第一類間斷點，我們知道在某區間I上具有第一類間斷點的函數在該區間上原函數不存在，所以 sgnx在 ??1,1?上的原函數不存在.5．在什么條件下，牛頓--萊布尼茲公式成立？ 答：如果函數 f(x)在 ?a,b?上連續，則牛頓—萊布尼茲公式成立，此公式也稱為微積分基本定理.它把函數 f(x)在區間 ?a,b?上的定積分的計算轉化為求 f(x)的原函數在區間 ?a,b?上的增量，使定積分的計算十分方便.當條件不成立時，就不能用此公式.當然，牛頓--萊布尼茲公式成立的條件還可以適當放寬，例如有下面結論：

定理 設 f(x)在 ?a,b?上可積，且原函數 F(x)存在，則

?baf(x)dx?F(b)?F(a)

6．對連續函數而言，奇函數的原函數是偶函數嗎？偶函數的原函數是奇函數嗎？

答：奇函數的原函數是偶函數，但偶函數的原函數不全是奇函數.7．應用換元法計算定積分應注意哪些問題？

答： 在應用定積分的換元法時，首先要注意選取代換的函數 x??(t)必須在[?,?]上具有連續導數，且有 ?(?)?a, ?例如，計算積分?令x?1t1?1?1?1不滿足這些條件的代換將會導致錯誤的結果.(?)?b，11?x11?12dx，可得到?1?x2dx???1?111?1t2?1t2dt???1?111?t2dt

從而，原式為0，結果顯然不正確.產生錯誤的原因在于 x?1t在 ??1,1?上不連續.其次，應注意在換元的同時要注意換積分限，即原積分對積分變量x的上、下限要換成新的積分變量t的上、下限.若換元法采用的湊微分法，而沒有引進新的積分變量，則不需要換積分限.8．復合函數的變限積分函數，求導時應注意的問題．

設F(x)?G(x)??b?(x)af(t)dt, 則，F'(x)?f(?(x))?'(x)，??(x)g(t)dt，則，G'(x)??g(?(x))?'(x)，這里一定要注意符號問題．

若 H(x)?H'(x)?????(x)(x)xh(t)dt，則此時對該函數求導，要注意積分變量和求導時的變量．

?????(x)?(x)xh(t)dt'?x????(x)?(x)h(t)dt'?????(x)(x)h(t)dt?x???(x)?(x)h(t)dt'

??(x)(x)h(t)dt?x[h(?(x))?'(x)?h(?(x))?'(x)]

在求導的過程中，是對t求導，所以可以把x看作常數．

第五篇：2018考研英語：常見長難句解析(65)_斃考題

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2018考研英語：常見長難句解析（65）

為給您2018考研英語復習助力，小編為大家整理了一些考研英語的長難句資料參考，英語的復習像蓋樓應該從基礎開始復習，希望大家平時抽出一點時間讀一讀記一記。In the American economy, the concept of private property embraces not only

the ownership of productive resources but also certain rights, including the

right to determine the price of a product or to make a free contract with

another private individual.【分析】

●本句話結構比較簡單，句首是狀語，主語是the concept of private property，謂語動詞是embraces，后面的賓語用not

only….but also…連接，第二個賓語certain rights后面是including引導的結構作為解釋，the right后面是or連接的to

determine和to make構成并列。【詞匯】

●concept n.概念

●embrace v.擁抱，[僻義]包含

[寫作句型] the environmental protection embraces not only a series of laws and

regulations but also the increased awareness of the public.環境保護不僅僅只是一系列的法律法規，還有老百姓意識的增強。●determine vt.決定;v.be determined to do 下定決心做某事 contract n.合同;v.縮短，收緊 區分 contact聯系

【譯文】

在美國經濟中，私有財產的概念不僅包含對生產資源的所有權，也指其他一些特定的權利，如確定一個產品價格和與另一個私人個體自由簽定合同的權利。

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