第一篇：2018第一輪復習 放縮法技巧全總結

放縮法在數列不等式中的應用

數列不等式是高考大綱在知識點交匯處命題精神的重要體現，在高考試題中占有重要地位，在近幾年的高考試題中，多個省份都有所考查，甚至作為壓軸題。而數列不等式的求解常常用到放縮法，筆者在教學過程中發現學生在用放縮法處理此類問題時，普遍感到困難，找不到解題思路。現就放縮法在數列不等式求解過程中常見的幾種應用類型總結如下。

1.直接放縮，消項求解

例1在數列?an?,?bn?中,a1?2,b1?4,且an,bn,an?1成等差數列,bn,an?1,bn?1成等比數列.n?N*,（Ⅰ）求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜測?an?,?bn?的通項公式,并證明你的結論;（Ⅱ）證明:1115?????.a1?b1a2?b2an?bn12分析：（Ⅰ）數學歸納法。

（Ⅱ）本小題的分母可化為不相同的兩因式的乘積，可將其放縮為等差型兩項之積，通過裂項求和。

（Ⅰ）略解an?n(n?1)，bn?(n?1)2．（Ⅱ）115??．n≥2時，由（Ⅰ）知an?bn?(n?1)(2n?1)?2(n?1)n． a1?b1612故11111?111???…??????…?? a1?b1a2?b2an?bn62?2?33?4n(n?1)??11?111111???????…??? 62?2334nn?1?11?11?115???????，綜上，原不等式成立． 62?2n?1?6412?

點評： 數列和式不等式中，若數列的通項為分式型，可考慮對其分母進行放縮，構造等差型因式之積。再用裂項的方法求解。另外，熟悉一些常用的放縮方法，如： 1111111111??(k?1,2,?,n),???2??? 2nn?kn?1nn?1n(n?1)nn(n?1)n?1n例2設數列?an?滿足a1?1,an?1?can?1?c,c?N*其中c為實數

3（Ⅰ）證明：an?[0,1]對任意n?N*成立的充分必要條件是c?[0,1]；

1（Ⅱ）設0?c?，證明：an?1?(3c)n?1,n?N*;3分析：（Ⅰ）數學歸納法證明（Ⅱ）結論可變形為1?an?(3c)n?1，即不等式右邊為一等比數列通項形式，化歸思路為對 1?an用放縮法構造等比型遞推數列，即1?an?c(1?an?1)(1?an?1?an?1)?3c(1?an?1)解：（Ⅰ）解略。

1（Ⅱ）設 0?c?，當n?1時，a1?0，結論成立，當n?2 時，332 ∵an?can1?an?c(1?an?1)(1?an?1?an?1?1?c,∴?1)

212 ?0?c?,由（1）知an?1?[0,1]，所以 1?an?1?an?1?3 且 1?an?1?0 3 ∴1?an?3c(1?an?1)

∴1?an?3c(1?an?1)?(3c)2(1?an?2)???(3c)n?1(1?a1)?(3c)n?

1∴an?1?(3c)n?1(n?N*)

點評：直接對多項式放大后，得到的是等比型遞推數列，再逐項遞推得到結論。通過放縮得到等比型遞推數列是求解數列不等式的另一個重要的類型。2.利用基本不等式放縮

例3已知數列?an?，an?0，a1?0，an?1?an?1?1?an(n?N?)，記Sn?a1?a2???an，22Tn?111． ????1?a1(1?a1)(1?a2)(1?a1)(1?a2)?(1?an)求證：當n?N?時，（Ⅰ）an?an?1；（Ⅱ）Sn?n?2；（Ⅲ）Tn?3。

分析：（Ⅰ）在an?0的條件下，an?an?1的等價形式為an?an?1，要證an?an?1，只需證

2222an?1?an?1?an?1?0,即證an?1，可用數學歸納法證明

（Ⅱ）由 an?1?an?1?an?1累加及an?1可得

（Ⅲ）和式通項的分母由 1?an累乘得到的，條件中可有ak?1(1?ak?1)?1?ak得到，但

222221?ak 的分子分母次數不同，可用基本不等式將其化為等比型遞推數列(1?ak?1)?ak?12 2（Ⅰ）解略。（Ⅱ）解略。

（Ⅲ）證明：由ak?12?ak?1?1?ak2≥2ak，得

a1≤k?1(k?2，3，?，n?1，n≥3)1?ak?12ak所以

a1≤n?2n(a≥3)，(1?a3)(1?a4)?(1?an)2a2ana11≤n?22?nn?(n≥3)，(1?a2)(1?a3)?(1?an)2(a2?a2)2?22n?2于是11故當n≥3時，Tn?1?1????n?2?3，又因為T1?T2?T3，所以Tn?3．

點評：本題第三問，基本不等式的應用使構造等比型遞推數列成為可能，在公比q?1時，等比數列的前n 項和趨向于定值，即前n項和有界，這為數列和式范圍的證明提供了思路。3.利用數列的單調性放縮

例4 數列{an}為非負實數列，且滿足：ak?2ak?1?ak?2?0，?ai?1，k?1,2,?

i?1k2(k?1,2,?).2k分析：有時數列不等式的證明可以在數列單調性的前提下進行放縮。求證：0?ak?ak?1?證明：若有某個ak?ak?1，則ak?1?ak?ak?1?ak?2?ak?2，從而從ak起，數列{an}單調遞增，和Sn?a1?a2???an會隨n的增大而趨向于無窮，與?ai?1，k?1,2,?矛盾，所以{an}是

i?1k單調遞減的數列，即ak?ak?1?0，令bn?ak?ak?1,k?1,2,?

由ak?2ak?1?ak?2?0得ak?ak?1?ak?1?ak?2，即bk?bk?1,k?1,2,?由于1?a1?a2???ak

?b1?2a2?a3???ak?b1?2b2?3a3???ak?b1?2a2?3b3???ak???b1?2b2?3b3???kbk?(1?2?3???k)bk?k(k?1)bk2 故bk?22?2。

k(k?1)k點評：本題考慮了數列{an}，{bn}的單調性，然后利用放縮法進行證明。又如，例3的第三問也可用單調性證明：

?an?an?1,及an?0,?11?, n?1(1?a1)(1?a2)?(1?an)(1?a2)1n1?()1?a21??，要證Tn?3，111?1?1?a21?a2?Tn?1111?????1?a11?a2(1?a2)2(1?an)n?1只要證1?111?a2?3，即a2?15?11,而a2??,所以問題得證 222

4.放縮法在數學歸納法的應用

數列不等式是與自然數有關的命題，數學歸納法是證明與自然數有關的命題的重要方法。應用數學歸納法證明時，通常要利用放縮法對條件進行適當的轉化，才能實現由n?k時成立到n?k?1時也成立的過渡。舉例略。

綜合以上分析，我們發現，在數列不等式的求解過程中，通過放縮法的應用，主要使數列不等式轉化為以下兩種類型：

（1）可直接裂項的形式，再求和證明求解。（等差型）（2）等比型遞推數列，q?1時，數列前n項和有界。（等比型）

數列不等式是一類綜合性較強的問題，我們可以利用上述思路對數列不等式進行分析、求解。在解題過程中要充分挖掘題設條件信息，把條件合理的轉化、加強、放縮，同時結合問題的結構、形式等特征，使條件與結論建立聯系，從而使解題思路通暢。其中合理、適當的放縮是能否順利解題的關鍵。

第二篇：6高三第一輪復習——構造法與放縮法證明不等式

高三第一輪復習——構造法與放縮法證明不等式

1.構造法證明不等式

在學習過程中，常遇到一些不等式的證明，看似簡單，但卻無從下手，多種常用證法一一嘗試，均難以湊效。這時不妨變換一下思維角度，從不等式的結構和特點出發，構造一個與不等式相關的數學模型，實現問題的轉化，從而使不等式得到證明。

一、構造向量證明不等式

例1：證明7x?2(9?x2)?9，并指出等號成立的條件。

證明：不等式左邊可看成7與 x 和2與9?x2兩兩乘積的和，從而聯想到數量積的坐標表示，將左邊看成向量a=(7,2)與b=(x,又a?b?|a|?|b|，所以x?9?x2)的數量積，2(9?x2)?(7)2?(2)2x2?(9?x2)?9

當且僅當b??a,(??0)時等號成立，故由x

7?9?x

22解得：x=7,λ=1，即 x =7時，等號成立。

（1－y)?(x?y?3)?(2x?y?6)?例2：求證：2221 6

證明：不等式左邊的特點，使我們容易聯想到空間向量模的坐標表示，將左邊看成a?(1?y,x?y?3,2x?y?6)模的平方，又a?b?|a|?|b|，為使a?b 為常數，根據待定系數法又可構造b?(1,2,?1)。

222于是|a|·|b|=(1?y)?(x?y?3)?(2x?y?6)6

（1－y)·1＋(x?y?3)·2?(2x?y?6（）·?1）?1 a·b＝

222所以(1?y)?(x?y?3)?(2x?y?6)6?1（1－y)?(x?y?3)?(2x?y?6)?即

二、構造復數證明不等式

22例

3、求證：x?y?2221 6x2?(1?y)2?(1?x)2?y2?(1?x)2?(1?y)2?2

2證明：從不等式左邊的結構特點容易聯想到復數的模，將左邊看成復數Z1=x+y i , Z2 = x +（1－ y）i，Z3 = 1－ x + y i，Z4 = 1－ x +（1－ y）i 模的和，又注意到Z1＋Z2＋Z3＋Z4＝2＋2 i，于是由 z1＋z2＋z3＋z4≥z1?z2?z3?z4可得： x2?y2?x2?(1?y)2?(1?x)2?y2?(1?x)2?(1?y)2?22?22?22注：此題也可構造向量來證明。

三、構造幾何圖形證明不等式

例4：已知：a>0、b>0、c>0 ,a2?ab?b2?2?bc?c2?時取等號。

證明：從三個根式的結構特點容易聯想到余弦定理，于是可構造如下圖形，使OA＝a，OB＝b，OC＝c，∠AOB=∠BOC=60° 如圖（1），當且僅當a2?ac?c2，11

1??bac

則∠AOC＝120°，AB=a2?ab?b2，BC=b2?bc?c2,AC=a2?ac?c2由幾何知識可知：AB＋BC≥AC，∴a2?ab?b2+b2?bc?c2≥a2?ac?c2 當且僅當A、B、C三點共線時等號成立，此時有

12absin60??1

12bcsin60??

2acsin120?，即ab+bc=ac 故當且僅當

11b?a?1

c

時取等號。

四、構造橢圓證明不等式 圖（1）

例5：求證：?

423?4?9x2?2x?

證明：4?9x2的結構特點，使我們聯想到橢圓方程及數形結合思想。

x2y

2于是令 y?4?9x2(y?0)，則其圖象是橢圓?

4?

1的上半部分，9

設y-2x=m，于是只需證?

43?m?

3,因 m為直線y=2x＋m在y軸上的截距，由圖（2）可知： 當直線 y = 2 x＋m 過點（23，0）時，m有最小值為m=?43

； 當直線y =2x＋m與橢圓上半部分相切時，m有最大值。

由 ??y?2x?m

9x2?y?4

得：13x2 + 4mx + m2 – 4 = 0 ?2

圖（2）

令△= 4（52－9m2）=0 得：m?

223或m?－3

（去）即m的最大值為

23，故?4242

23?m?3，即?3?4?9x?2x?3

五、構造方程證明不等式

例6：設 a1、a2、…an 為任意正數，證明對任意正整數n不等式(a1 + a2 + … + an)2≤ n(a12+a22+ …

+

an2)均成立

證明：原不等式即為 4(a1 + a2 + … + an)2－4n(a12 + a22 + … + an2)≤ 0

由此聯想到根的判別式而構造一元二次方程：

(a12+ a22+ … + an2)x 2 + 2(a1 + a2 + … + an)x + n=0（＊）因方程左邊＝(a1 x + 1)2 +(a2 x + 1)2 + … ＋(an x + 1)2 ≥ 0

當a1、a2、…an不全相等時，a1 x+

1、a2 x+

1、…an x+1至少有一個不為0，方程（＊）左邊恒為正數，方程（＊）顯然無解。當a1＝a2＝…＝an 時，方程（＊）有唯一解 x＝?a

1故△＝4(a1 + a2 + … + an)2 － 4n(a12 + a22 + … + an2)≤ 0

即(a1 + a2 + … +an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2)對任意正整數n均成立

六、構造數列證明不等式 例

7：求證：Cn1+Cn2+…+Cnn >

n

n·

2n-

11?2n

證明：不等式左邊為 2－1=從而聯想到等比數列的求和公式，1?2

11－

2于是左邊=1+2+22+…+ 2 n1=[(1+2n-1)+(2+2n-2)+ …(2n-1+1)≥·n·22n?1=n·

例8：設任意實數a、b均滿足| a | < 1，| b | < 1，求證：

n-

2??

1?a21?b21?ab

證明：不等式中各分式的結構特點與題設聯想到無窮等比數列（| q | < 1）各項和公式S＝

a1，1?q

則：

?=（1 + a2 + a4 + …）+（1 + b2 + b4 + …）22

1?a1?b

=2+（a2 + b2）+(a4 + b4)+ …≥2+2ab+2 a2 b2 + 2a4b4 + … =

1?ab

七、構造函數證明不等式

例9：已知 | a | < 1，| b | < 1，| c | < 1，求證：ab＋bc＋ca＞－1 證明：原不等式即為：（b＋c）a＋bc＋1>0 ……①

將a看作自變量，于是問題轉化為只須證：當－1＜a＜1時，（b＋c）a＋bc＋1恒為正數。因而可構造函數 f(a)=(b + c)a + bc +1(－1＜a＜1)若b + c = 0原不等式顯然成立。

若b + c ≠0，則f(a)是a的一次函數，f(a)在（－1,1）上為單調函數 而 f(-1)=－b－c + bc +1＝（1－b）（1－c）＞0f(1)＝b＋c＋bc＋1＝（1＋b）（1＋c）＞0

∴f(a)＞0 即ab＋bc＋ca＞－

1此題還可由題設構造不等式：（1＋a）（1＋b）（1＋c）＞0（1－a）（1－b）（1－c）＞0 兩式相加得：2＋2（ab＋bc＋ca）＞0即ab＋bc＋ca＞－1

八、構造對偶式證明不等式

例10：對任意自然數n，求證：(1+1)(1+

1)…(1+)> 43n?

2n?1

證明：設an =(1+1)(1+

112583n?43n?1)…(1+)= … 43n?21473n?53n?2

3693n?33n47103n?23n?1

…，cn = … 2583n?43n?13693n?33n

構造對偶式：bn =

?1?

1111

3?1??1?，1?，即an > bn，an > cn，∴an> an bn cn

3n?23n?13n?23n

∴an>

11)> 3n?1 n?1，即：(1+1)(1+)…(1+

43n?2

2.放縮法證明不等式

近年來在高考解答題中，常滲透不等式證明的內容，而不等式的證明是高中數學中的一個難點，它可

以考察學生邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力。“放縮法”它可以和很多知識內容結合，對應變能力有較高的要求。因為放縮必須有目標，而且要恰到好處，目標往往要從證明的結論考察，放縮時要注意適度，否則就不能同向傳遞。

1、添加或舍棄一些正項（或負項）例

1、已知an?2n?1(n?N*).求證：

an1a1a

2????...?n(n?N*).23a2a3an?

1ak2k?11111111

證明： ??k?1??????.k,k?1,2,...,n, k?1kk

ak?12?122(2?1)23.2?2?2232

?

aa1a2n1111n11n1

??...?n??(?2?...?n)??(1?n)??, a2a3an?1232222322

3an1aan

???1?2?...?n?(n?N*).23a2a3an?12

若多項式中加上一些正的值，多項式的值變大，多項式中加上一些負的值，多項式的值變小。由于證

明不等式的需要，有時需要舍去或添加一些項，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達到證明的目的。本題在放縮時就舍去了2?2，從而是使和式得到化簡.2、先放縮再求和（或先求和再放縮）例

2、函數f（x）=

k

4x1?4x，求證：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+

12n?

1?(n?N*).2證明：由f(n)=

4n1?4n

=1-

?1? 1?4n2?2n

得f（1）+f（2）+…+f（n）>1?

2?22?22?2

111111

?n?(1?????n?1)?n?n?1?(n?N*).424222

?1?

???1?

n

此題不等式左邊不易求和,此時根據不等式右邊特征, 先將分子變為常數，再對分母進行放縮，從而對

左邊可以進行求和.若分子, 分母如果同時存在變量時, 要設法使其中之一變為常量，分式的放縮對于分子分母均取正值的分式。如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可。

3、先放縮，后裂項（或先裂項再放縮）例

3、已知an=n，求證：∑ 證明： ∑

k=

1n

nk=1ak

k

＜3．

n

k

∑

k=1

n

＜1＋∑

k=

2n

(k－1)k(k＋1)

(k－1)(k＋1)

（k＋k－)

＜１＋∑

k=2

=1?

k?2

n

－)

(k－1)

(k＋1)

=1＋ ∑k=2

n

=1＋1＋＜2＋＜3．

(n＋1)2

2本題先采用減小分母的兩次放縮，再裂項，最后又放縮，有的放矢，直達目標.4、放大或縮小“因式”；

n

1例

4、已知數列{an}滿足an?1?a,0?a1?,求證：?(ak?ak?1)ak?2?.232k?

1n

證明： ?0?a1?

n

11112,an?1?an,?a2?a12?,a3??.?當k?1時,0?ak?2?a3?, 241616

??(ak?ak?1)ak?

2k?1

1n11

??(ak?ak?1)?(a1?an?1)?.16k?11632

本題通過對因式ak?2放大，而得到一個容易求和的式子

5、逐項放大或縮小

?(a

k?

1n

k

?ak?1)，最終得出證明.n(n?1)(n?1)

2?an?例

5、設an??2?2?3??4???n(n?1)求證： 2

2證明：∵

n(n?1)?n2?n

12n?

1n(n?1)?(n?)2?

∴ n?n(n?1)?

2n?1

1?3???(2n?1)n(n?1)(n?1)2

?an?∴ 1?2?3???n?an?，∴

222

本題利用n?

2n?1，對an中每項都進行了放縮，從而得到可以求和的數列，達到化簡2的目的。

6、固定一部分項，放縮另外的項； 例

6、求證：

11117?????? 2222123n

4證明：?

1???

n2n(n?1)n?1n

?

1111111115117??????1??(?????)??(?)?.122232n22223n?1n42n4

此題采用了從第三項開始拆項放縮的技巧，放縮拆項時，不一定從第一項開始，須根據具體題型分別

對待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰倒好處。

7、利用基本不等式放縮

例

7、已知an?5n?

41對任何正整數m，n都成立.證明：

1，只要證

5amn?1?aman?因為 amn?5mn?4，aman?(5m?4)(5n?4)?25mn?20(m?n)?16，故只要證

5(5mn?4)?1?25mn?20(m?n)?16? 即只要證

20m?20n?37?

因為am?an?5m?5n?8?5m?5n?8?(15m?15n?29)?20m?20n?37，所以命題得證.本題通過化簡整理之后，再利用基本不等式由am?an放大即可。

第三篇：高三數學專題復習——數列不等式(放縮法)

高三數學專題復習——數列不等式（放縮法）

教學目標：學會利用放縮法證明數列相關的不等式問題 教學重點：數列的構造及求和 教學難點：放縮法的應用

證明數列型不等式，因其思維跨度大、構造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰性，能全面而綜合地考查學生的潛能與后繼學習能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數列通項的結構，深入剖析其特征，抓住其規律進行恰當地放縮；其放縮技巧主要有以下幾種： 例1求?

k?1n

24k

2?

1的值例2.求證:1?

2?

???

1(2n?1)

?

?

12(2n?1)

(n?2)

例3求證:1

4?116

?136

???

14n

?

?

14n

例4求證：1?

4?

???

1n

?

n

例5已知an?4n?2n,Tn?

a1?a2???an,求證:T1?T2?T3???Tn?

.直接放縮

1、放大或縮小“因式”：

例1.設數列?an?的前n項和為Sn，對任意的正整數n，都有an?5Sn?1成立，記bn?（I）求數列?bn?的通項公式；

（II）記cn?b2n?b2n?1(n?N*)，設數列?cn?的前n項和為Tn，求證：對任意正整數n都有Tn?

例2.已知數列?an?滿足a1?1,an?1?2an?1?n?N??（Ⅰ）求數列?an?的通項公式；（Ⅲ）證明：

例3.設數列{an}滿足a1?2,an?1?an?

4?an1?an

*

(n?N)。

32；

1a2

?

1a3

???

1an?

1?

n?N??3

?

1an

(n?1,2,?).證明an?

2n?1對一切正整數n成立

例4.已知數列?an?滿足a1?

4，an?

an?1

(?1)an?1?2

n

（n?2,n?N?）。

（Ⅰ）求數列?an?的通項公式；（Ⅲ）設cn?ansin

a?n?N． 例5.數列?xn?由下列條件確定：x1?a?0，xn?1?1??xn??,??

2?

xn?

(2n?1)?，數列?cn?的前n項和Tn，求證：對?n?N?,Tn?

47。

（I）證明：對n?2總有xn

圓錐曲線：

?a

；(II)證明：對n?2總有xn?xn?1

1.已知將圓x?y?8上的每一點的縱坐標壓縮到原來的22

12,對應的橫坐標不變,得到曲線C；設M(2,1)，平行于OM的直線l在y軸上的截距為m(m≠0),直線l與曲線C交于A、B兩個不同點.(1)求曲線C的方程；(2)求m的取值范圍.2.設橢圓C1：

xa

2?

yb

?1(a?b?0)，拋物線C2：x?by?b.(1)若C2經過C1的兩個焦點，求C1的離心率；(2)

設A(0,b),Q

54又M、N為C1與C2不在y軸上的兩個交點，若?AMN的垂心為B(0,b)，3

4且?Qb)，MN的重心在C2上，求橢圓C1和拋物線C2的方程

3.已知橢圓C的焦點在x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線y?

（1）求橢圓C的方程；

x

2????????

（2）設A、B為橢圓上的兩個動點，OA?OB?0，過原點O作直線AB的垂線OD，垂足為D，求點D的軌跡方程．

4.設雙曲線C：

?2?1（a＞0，b＞0）的離心率為e，若準線l與兩條漸近線相交于P、Q兩點，F為右焦點，2ab

△FPQ為等邊三角形．

（1）求雙曲線C的離心率e的值；

x

y

（2）若雙曲線C被直線y＝ax＋b截得的弦長為

bea

2求雙曲線c的方程．

課后作業： 1.求證：

2.已知數列{a}的前n項和S滿足Sn?2an?(?1),n?1.n

n

1?

?

3???

1n

?

4n

（Ⅰ）寫出數列{a}的前3項a1,a2,a3（Ⅱ）求數列{an}的通項公式

n

3.已知a為正實數，n為自然數，拋物線y??x?線在y軸上的截距，用a和n表示f(n)；

圓錐曲線作業： 1.已知橢圓

C1:

xa

a

n

與x軸正半軸相交于點A，設f(n)為該拋物線在點A處的切

?

yb

?1(a＞b＞0)

與雙曲線

C1:x?

y

?1

有公共的焦點，C1的一條漸近線與以

C1的長軸為直徑的圓相

交于A,B兩點，若

A．

a?

C1

恰好將線段AB三等分，則（）

B．a?13

132

C．

b?

D．b?2

=4:3:2，則曲線r的離心率等

2.設圓錐曲線r的兩個焦點分別為F1，F2，若曲線r上存在點P滿足于()

1或3

PF1:F1F2:PF2

A．22B．3或2C．2

或

2D．3

或

3.若點O和點F(?2,0)分別是雙曲線的取值范圍為()

xa

????????

?y?1(a>0)的中心和左焦點,點P為雙曲線右支上的任意一點,則OP?FP

A.??)

B.[3???)C.[-

74,??)D.[

74,??)

4.已知雙曲線E的中心為原點，過F的直線l與E相交于A，B兩點，且AB的中點為N(?12,?15),F(3,0)是E的焦點，則E的方程式為()(A)

x

?

y

6?1(B)

x

?

y

?1(C)

x

?

y

?1(D)

x

?

y

?1

5.點A(x0,y0)在雙曲線

x

?

y

?1的右支上，若點A到右焦點的距離等于2x0，則x0?

6.已知點A、B的坐標分別是(?1,0)，(1,0).直線AM,BM相交于點M，且它們的斜率之積為－2.(Ⅰ)求動點M的軌跡方程;

(Ⅱ)若過點N(,1)的直線l交動點M的軌跡于C、D兩點, 且N為線段CD的中點，求直線l的方程.21

第四篇：利用放縮法證明數列不等式的技巧“揭秘”

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利用放縮法證明數列不等式的技巧“揭秘” 作者：顧冬生

來源：《新高考·高三數學》2013年第06期

數列型不等式的證明題，常常需要用放縮的方法來解決，但放縮的技巧讓人目不暇接，極具思考性和挑戰性，能全面而綜合地考查同學們的潛能與后繼學習能力，常常成為高考壓軸題及各級各類競賽題命題的極好素材.同學們往往覺得就像魔術師在玩魔術，忽有忽無，變幻莫測，很精彩，但不知道怎么玩的，無法抓住其中的關鍵處.現在讓我們一起來“揭秘”，發現這些放縮變形的本質.

第五篇：淺談用放縮法證明不等式的方法與技巧

淺談用放縮法證明不等式的方法與技巧

分類：學法指導

放縮法：為放寬或縮小不等式的范圍的方法。常用在多項式中“舍掉一些正（負）項”而使不等式各項之和變小（大），或“在分式中放大或縮小分式的分子分母”，或“在乘積式中用較大（較小）因式代替”等效法，而達到其證題目的。

所謂放縮的技巧：即欲證

做“放”，由B到C叫做“縮”。

常用的放縮技巧還有：（1）若（2），欲尋找一個（或多個）中間變量C，使，由A到C叫

（3）若則（4）

（5）（6）

或

（7）

等。

用放縮法證明下列各題。

例1 求證： 等

證明：因為所以左邊因為99＜100（放大）＜

所以

例2（2000年海南理11）若

證明：因為 求證：因為 所以

［因為

大），所以又所以是增函數］，所以（放，所以

例3（2001年云南理1）求證：

證明：（因為）

［又因為

例4 已知證明：因為

求證：

（放大）］，所以所以

例5 求證：

證明：因為（因為）（放大）

所以

例6（2000年湖南省會考）求證：當時，函數的最小值是當

時，函數的最大值是

證明：因為原函數配方得又因為

所以（縮小），所以函數

y的最小值是。當所以

（放大），所以函數y的最大值是

例7 求證：

證明：因為立。

例8（2002年貴州省理21）若證明：因為

所以

證

（當且僅當

（分母有理化）所以原不等式成求證：

而

所以

同理可

時，取等號）。

例9 已知a、b、c分別是一個三角形的三邊之長，求證：

證明：不妨設據三角形三邊關系定理有：便得

所以原不等式成立。

例10（1999年湖南省理16）求證：

證明：因為又

所以原不等式成立。

例11 求證：

證明：因為左邊

證畢。

例12 求證

證明：因為

注：

1、放縮法的理論依據，是不等式的傳遞性，即若

所以左邊

則。

2、使用放

縮法時，“放”、“縮”都不要過頭。

3、放縮法是一種技巧性較強的不等變形，一般用于兩邊差別較大的不等式。常用的有“添舍放縮”和“分式放縮”，都是用于不等式證明中局部放縮。