第一篇：數學大學中常用不等式

數學大學中常用不等式,放縮技巧

一：

一些重要恒等式

?。?+2+…+n=n(n+1)(2n+1)／6

ⅱ: 1+2+…+n=(1+2+…+n)

Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2a=sin2a／2sina

ⅳ:

e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n)(0

ⅴ:三角中的等式（在大學中很有用）

cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)] sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosαsinβ= 1/2 [sin(α+β)+sin(α-β)]

sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)] sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)

cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)

tan＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC

cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1

tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1

n

n+1

n+133

222

2sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC

ⅵ:歐拉等式 e=-1(i是虛數，是pai)

ⅶ：組合恒等式（你們自己弄吧，我不知怎樣用word

∏i

∏編）

二 重要不等式 1:絕對值不等式

︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(別看簡單，常用)

2：伯努利不等式

（1+x1）（1+x2）…（1+xn）≥1+x1+x2+…+xn(xi符號相同且大于-1)3：柯西不等式

(∑ aibi)≤∑ai∑bi2

4:︱sin nx︱≤n︱sin x︱

5;(a+b)≤2max(︱a︱,︱b︱)

(a+b)≤a+ b(0

1)

6:(1+x)≥1+nx(x>-1)7:切比雪夫不等式

若a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn ∑aibi≥(1/n)∑ai∑bi

若a1≤a2≤…≤an, b1≥b2≥…≥bn ∑aibi≤(1/n)∑ai∑bi

三：常見的放縮(√是根號)(均用數學歸納法證)1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)； npp

ppp

pp

p

p

p 2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;

3：n！<【(n+1/2)】n+1

n

n

n-1 4：n>(n+1)n！≥2

n 5：2！4！…(2n)！>｛(n+1)?。?/p>

6：對數不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x 7：(2/∏)x≤sinx≤x

8:均值不等式我不說了（絕對的重點）9：（1+1/n）n

<4 四：一些重要極限

(書上有，但這些重要極限需熟背如流)

第二篇：大學中常用的不等式

大學中常用不等式,放縮技巧 一： 一些重要恒等式

ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6 ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2

Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2na=sin2n+1a／2n+1sina ⅳ: e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n)(0

︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(別看簡單，常用)2：伯努利不等式（11）（1+x2）…（1+xn）≥1+x1+x2+…+xn(xi符號相同且大于-1)3：柯西不等式(∑ ai bi)2≤∑a2i∑b2i 4:︱sin nx︱≤n︱sin x︱ 5;(a+b)p≤2pmax(︱ap︱,︱bp︱)(a+b)p≤ap+ bp(0

1)6:(1+x)n≥1+nx(x>-1)7:切比雪夫不等式

若a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn ∑aibi≥(1/n)∑ai∑bi

若a1≤a2≤…≤an, b1≥b2≥…≥bn ∑aibi≤(1/n)∑ai∑bi

三：常見的放縮(√是根號)(均用數學歸納法證)1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)； 2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;3：n！<【(n+1/2)】n

4：nn+1>(n+1)n n！≥2n-1 5：2！4！…(2n)！>｛(n+1)?。齨 6：對數不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x 7：(2/∏)x≤sinx≤x 8：（1+1/n）n<4 3

第三篇：大學數學中不等式的證明方法

龍源期刊網 http://.cn

大學數學中不等式的證明方法

作者：吳瑩

來源：《學園》2013年第01期

【摘 要】不等式在科學研究中的地位很重要，但對不等式的證明有些同學無從下手，用什么方法是個難題，所以本文對大學數學中遇到的不等式的各種證明方法進行歸納總結，并給出了相應的例子。

【關鍵詞】數學歸納法 導數 單調性 中值定理 最值 積分

【中圖分類號】O211 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674－4810（2013）01－0076－02

第四篇：考研數學中的不等式證明

考研數學中的不等式證明

陳玉發

鄭州職業技術學院基礎教育處450121

摘要：在研究生入學考試中，中值定理是一項必考的內容，幾乎每年都有與中值定理相關的證明題．不等式的證明就是其中一項．在不等式的證明中，利用函數的單調性，構造輔助函數是一種常用并且非常有效的方法．但是，有時這種方法非常繁瑣．巧用中值定理可使一些不等式的證明簡化．

關鍵詞：考研數學不等式中值定理冪級數

（作者簡介：陳玉發，男，漢族，出生于1969年5月工作單位：鄭州職業技術學院，副教授，碩士，從事數學教育研究．郵編：450121）

微分中值定理是微積分學中的一個重要定理，在研究生入學考試中，幾乎每年都會有與中值定理相關的證明題．不等式就是其中一項。下面就考研數學中的不等式證明談一下中值定理的應用． 在不等式的證明中，利用函數的單調性，構造輔助函數是一種常用并且非常有效的方法．但是，有時這種方法非常繁瑣．巧用中值定理可以使一些不等式的證明過程得到簡化．下面就歷年考研數學中的不等式證明題談一下．

例1（1993年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷第六題）

(2)設b?a?e，證明a?b ba

xa對此不等式的證明，一般我們會想到構造輔助函數，f(x)?a?x，f(a)?0，然后證明

在x?a時，f?(x)?0．這個想法看似簡單，而實際過程非常繁瑣，有興趣的讀者可以試著證明一下．下面筆者給出幾個簡便的證明．

證：Ⅰ利用拉格朗日中值定理：ab?ba?b?alogab?b?alnb lna

lnb?lna lna

lnb?lnalna?? b?aa

1???lna，其中e?a???b?lna?b?a?a

?1

??1lna，其中e?a???b． a

原命題得證．

證：Ⅱ 利用微分中值定理，ab??e?blna?alnb

?

?

?

?

?blnb? alnablnb?lna?1? alnab1b?1?ln alnaab1b?1?(ln?ln1)alnaabln?ln1?lna（微分中值定理）?1a

?1

??lna，（1???b）a

原命題得證．

證明Ⅲ 利用冪級數展開：

設b?a?x，原不等式等價于

aa?xa ?(a?x)a?aa?ax?(a?)x

x?a?(1?

而 xa)，a

ln2a2a?1?lna?x?x?2!xlnnan?x?n!，xxa?(a?1)x2a?(a?1)(a?n?1)xn(1?)a?1?a??()??()?． aa2!an!a

a?(a?1)(a?n?1)n由于x?0，a?e，所以lna?1，lna?．通過比較以上兩個級數可知原na

不等式成立．

對于不等式a?(1?

一下．

例2（1992年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷第六題）xxa)的證明仍可以利用拉格朗日中值定理證明，有興趣的讀者可以自己證a

設f??(x)?0，f(0)?0，證明對任何x1?0,x2?0，有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)． 證：不妨設x1?x2，f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)?f(x1?x2)?f(x2)?f(x1)

f(x1?x2)?f(x2)f(x1)?f(0)?(x1?x2)?(x2)x1?0?

?f?(?1)?f?(?2)，x2??1?x1?x2，0??2?x1?x2，顯然?2??1，而f??(x)?0，所以f?(x)單調遞減．原不等式得證．

例3（1999年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷第六題）

論證：當x?0時,(x2?1)lnx?(x?1)2 ．(x2?1)lnx

證：(x?1)lnx?(x?1)?(x?1)2?1 22

(x?1)lnx?1 x?1

(x?1)lnx?(1?1)ln1??1，（柯西中值定理）x?1?

?ln??(??1)

??1，（?介于1與x之間）

1ln???0． 當??1時，上式顯然成立；當0???1時，我們可以證明，?

命題得證．

例4（2004年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷第三題）

(15)設e?a?b?e2，證明lnb?lna?

22224(b?a)． 2e4ln2b?ln2a4證：lnb?lna?2(b?a)??2 e(b?a)e

14?2ln??2，(e?a???b?e2)?e

?1

?ln??2，2e

因為e?a???b?e2，所以，?ln??eln?e2?2?2． e?ee

所以，原不等式成立．

例5（2006年全國碩士研究生入學統一考試數學三試題第（17）題）

證明：當0?a?b??時，bsinb?2cosb??b?asina?2cosa??a．

證：令f(x)?xsinx?2cosx??x

bsinb?2cosb??b?asina?2cosa??a

?f(b)?f(a)? 0

?f(b)?f(a)?0 b?a

?f?(?)??cos??sin????0，0?a???b??

令f?(x)?xcosx?sinx??，f?(?)?0，f??(x)?cosx?xsinx?cosx??xsinx?0，0?a?x?b??，所以在(0,?)內，f?(x)單調減少，即f?(x)?0．

原命題得證．

例6（2010年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷第(17)題

(1)比較?1

0lnt[ln(1?t)]ndt與?tnlnt的大小,說明理由。01

解：因為lnt[ln(1?t)]n

tnlnt[ln(1?t)]n ?tn

?[ln(1?t)nln(1?t)?ln(1?0)n]?[]（拉格朗日中值定理）tt?0

?()?1，0???t?1，1n

?

所以lnt[ln(1?t)]?tlnt。即nn?1

0lnt?t)]dt?n?10tnlnt。

例7（2012年全國碩士研究生入學統一考試數學三試題第（18）題）

1?xx2

?cosx?1?，(?1?x?1)．證明：xln1?x2

證：原不等式等價于：

x2

x[ln(1?x)?ln(1?x)]?1?cosx? 2

xx2

?（僅當x?0時取等號）?x[ln(1?x)?ln(1?x)]?2sin222

?[ln(1?x)?ln(1?x)]1?（當x?0時）2xxx2sin2?22

11?1??1??1??，（柯西中值定理，其中0???x?1），sin???x

?21?，0???x?1 2(sin???)(1??)x

因為(sin???)(1??2)?2??2x，所以不等式成立．

利用同樣的方法可以證明當?1?x?0時，不等式成立．

綜上所述，原不等式成立．

xx例8 證明：當x?0時，x?e?1?xe．

證：當x?0時，ex?1xx?e?1?xe?1??e xxx

ex?e0

?1??ex，（利用柯西中值定理）x?0

?1?e??ex，其中0???x．

原不等式成立．

例9 證明：當0?x??

2時，sinx?tanx?2x．

證明：sinx?tanx?2x?sinx?tanx?2 x

?sinx?tanx?(sin0?tan0)?2 x?0

cos??sec2??2（柯西中值定理）?1

?cos??sec2??2，因為

cos??sec2???所以，原不等式成立．

中值定理是證明不等式時常用的一個非常有效的工具．我們習慣于構造輔助函數，利用單調性來證明不等式．而函數的單調性還是通過拉格朗日中值定理進行證明的．因此，利用單調性證明不等式的基礎還是微分中值定理．以上幾例體現了中值定理在證明不等式時的效果．

?2，

第五篇：數學歸納法中不等式類解法

數學歸納法中不等式類解法

數學歸納法的思想比較特殊，原理是用類似于“多骨諾米牌效應”的方法，從n=1，n=2推到所可以達到的終點，從而推出式子的正確性。也正是如此，數學歸納法在遇到不等號且一邊為常數時使用k→k+1的推理便不適用了，因為k成立已推不出k+1成立，原因是等號是精確值，而不等式是范圍。下面用題目體會一下。

證明：1+1/4+1/9+……+1/（n*n）<2（n為正整數）證明：1.當n=1時，左邊=1<2=右邊，明顯成立

2.假設當n=k(k為正整數)時，等式成立，有

1+1/4+1/9+……+1/（k*k）<2

(當n=k+1時，注意到左邊加了一個大于0的數，但右邊沒有加，這是明顯證明不了的，這時方法就是在左邊減上一個含有n的數(對應小于)，右邊數小了，若成立，即可推原式也成立。)

但是應該加什么呢？其實加的關鍵就是加了之后把加的數移到左邊，式子變成單調遞 減的式子，關鍵之處需仔細體會。

重新證明: 1+1/4+1/9+……+1/（n*n）<2-1/n 1.略

2.這時你會發現，n=k時把1/n移右為1+1/4+1/9+……+1/（n*n）+1/n<2 n=k+1時為1+1/4+1/9+……+1/（n*n）+1/(n+1)(n+1)+1/(n+1)而1/n>[1/(n+1)(n+1)+1/n]，由此第二步證明成功。

由1+1/4+1/9+……+1/（n*n）<2-1/n即可得 1+1/4+1/9+……+1/（n*n）<2

得證。

本方法關鍵在于選擇加減的數，使其從k到k+1時數會反而變小（小于）/變大（大于），只要做多兩題，到時候自然解決。