第一篇：微積分上重要知識點總結

1、常用無窮小量替換

2、關于鄰域：鄰域的定義、表示（區間表示、數軸表示、簡單表示）；左右鄰域、空心鄰域、有界集。

3、初等函數：正割函數sec是余弦函數cos的倒數;余割函數是正弦函數的倒數；反三角函數：定義域、值域

4、收斂與發散、常數A為數列的極限的定義、函數極限的定義及表示方法、函數極限的幾何意義、左右極限、極限為A的充要條件、極限的證明。

5、無窮小量與無窮大量：無窮小量的定義、運算性質、定理（無窮小量與極限的替換）、比較、高階無窮小與同階無窮小的表示、等價無窮小、無窮大量于無窮小量的關系。

6、極限的性質：局部有界性、唯一性、局部保號性、不等式性質（保序性）。

7、極限的四則運算法則。

8、夾逼定理（適當放縮）、單調有界定理（單調有界數列必有極限）。

9、兩個重要極限及其變形

10、等價無窮小量替換定理

11、函數的連續性：定義（增量定義法、極限定義法）、左右連續

12、函數的間斷點：第一類間斷點和第二類間斷點，左、右極限都存在的是第一類間斷點，第一類間斷點有跳躍間斷點和可去間斷點。左右極限至少有一個不存在的間斷點是第二類間斷點。

13、連續函數的四則運算

14、反函數、復合函數、初等函數的連續性

15、閉區間上連續函數的性質：最值定理、有界性定理、零值定理、介值定理。

16、導數的定義、左右導數、單側導數、左右導數的表示、可導則連續。

17、求導法則與求導公式：函數線性組合的求導法則、函數積和商的求導法則、反函數的求導法則、復合函數求導法則、對數求導法、基本導數公式18、19、20、21、隱函數的導數。

高階導數的求法及表示。

微分的定義及幾何意義、可微的充要條件是可導。A微分的基本公式與運算法則dy=f’(x0)Δx.1 / 4

22、微分形式的不變性

23、微分近似公式：

24、導數在經濟問題中的應用（應用題）：

（1）邊際（變化率，即導數）與邊際分析：

總成本函數與邊際成本、總收益函數與邊際收益、利潤函數與邊際利潤

（2）彈性（書78頁）及其分析、彈性函數及應用、需求量與價格之間的變化關系

25、中值定理：羅爾定理、拉格朗日中值定理及推論、可喜中值定理、26、洛必達法則求極限（89頁）

27、函數單調性

28、函數的極值、最值、極值點與駐點及其區別，最大利潤、最小平均成本、最大收益問題，經濟批量問題。（注意書100頁）

29、曲線的凹凸性的定義及判定（二階導數）、拐點。

/ 4

30、曲線的漸近線：水平漸近線、垂直漸近線、斜漸近線

31、利用函數的單調性、極值、曲線的凹凸性、拐點、漸近線、定義域、奇偶性、根及

/ 4 其他變化趨勢作圖

32、不定積分（積分號、被積函數、積分變量被積表達式、積分常數）、原函數、連續則有原函數、不定積分的幾何意義及性質

33、基本積分表

34、換元積分法：第一換元法（湊微分法）和第二換元法（變量替換法）35、36、分部積分法 有理數的積分

/ 4

第二篇：微積分知識點小結

第一章 函數

一、本章提要

基本概念

函數，定義域，單調性，奇偶性，有界性，周期性，分段函數，反函數，復合函數，基本初等函數，初等函數

第二章 極限與連續

一、本章提要

1.基本概念

函數的極限，左極限，右極限，數列的極限，無窮小量，無窮大量，等價無窮小，在一點連續，連續函數，間斷點，第一類間斷點（可去間斷點，跳躍間斷點），第二類間斷點.2.基本公式

(1)limsin口口1口口?0?1，(2)lim(1?口?0)口?e(口代表同一變量).3.基本方法

⑴ 利用函數的連續性求極限； ⑵ 利用四則運算法則求極限； ⑶ 利用兩個重要極限求極限； ⑷ 利用無窮小替換定理求極限；

⑸ 利用分子、分母消去共同的非零公因子求

00形式的極限；

??⑹ 利用分子，分母同除以自變量的最高次冪求形式的極限；

⑺ 利用連續函數的函數符號與極限符號可交換次序的特性求極限； ⑻ 利用“無窮小與有界函數之積仍為無窮小量”求極限.4.定理

左右極限與極限的關系，單調有界原理，夾逼準則，極限的惟一性，極限的保號性，極限的四則運算法則，極限與無窮小的關系，無窮小的運算性質，無窮小的替換定理，無窮小與無窮大的關系，初等函數的連續性，閉區間上連續函數的性質.第三章 導數與微分

一、本章提要

1.基本概念 瞬時速度，切線，導數，變化率，加速度，高階導數，線性主部，微分．

2.基本公式

基本導數表，求導法則，微分公式，微分法則，微分近似公式．

3.基本方法

⑴ 利用導數定義求導數；

⑵ 利用導數公式與求導法則求導數； ⑶ 利用復合函數求導法則求導數； ⑷ 隱含數微分法； ⑸ 參數方程微分法； ⑹ 對數求導法；

⑺ 利用微分運算法則求微分或導數．

第四章 微分學的應用

一、本章提要 1.基本概念

未定型,極值點,駐點,尖點,可能極值點,極值,最值,曲率,上凹,下凹,拐點,漸近線,水平漸近線,鉛直漸近線．

2.基本方法

⑴ 用洛必達法則求未定型的極限； ⑵ 函數單調性的判定； ⑶ 單調區間的求法；

⑷ 可能極值點的求法與極大值（或極小值）的求法； ⑸ 連續函數在閉區間上的最大值及最小值的求法； ⑹ 求實際問題的最大（或最小）值的方法； ⑺ 曲線的凹向及拐點的求法； ⑻ 曲線的漸近線的求法； ⑼ 一元函數圖像的描繪方法． 3.定理

柯西中值定理,拉格朗日中值定理,羅爾中值定理, 洛必達法則,函數單調性的判定定理,極值的必要條件,極值的第一充分條件,極值的第二充分條件,曲線凹向的判別法則．

第五章 不定積分

一、本章提要

1.基本概念 原函數，不定積分． 2.基本公式不定積分的基本積分公式（20個）；分部積分公式．

３．基本方法

第一換元積分法（湊微分法）；第二換元積分法；分部積分法；簡單有理函數的積分方法．

第六章 定積分

一、本章提要

1.基本概念

定積分，曲邊梯形，定積分的幾何意義，變上限的定積分，廣義積分，無窮區間上的廣義積分，被積函數有無窮區間斷點的廣義積分.2．基本公式 牛頓-萊布尼茨公式.3．基本方法

積分上限函數的求導方法，直接應用牛頓-萊布尼茨公式計算定積分的方法，借助于換元積分法及分部積分法計算定積分的方法，兩類廣義積分的計算方法.4．定理

定積分的線性運算性質，定積分對積分區間的分割性質，定積分的比較性質，定積分的估值定理，定積分的中值定理，變上限積分對上限的求導定理.第七章

定積分的應用

一、本章提要

1.基本概念

微元法，面積微元，體積微元，弧微元，功微元，轉動慣量微元，總量函數．

2． 基本公式平面曲線弧微元分式．

3.基本方法

(1)用定積分的微元法求平面圖形的面積，(2)求平行截面面積已知的立體的體積，(3)求曲線的弧長，(4)求變力所作的功，(5)求液體的側壓力，(6)求轉動慣量，(7)求連續函數f(x)在?a,b?區間上的平均值，(8)求平面薄片的質心，也稱重心．

第八章

常微分方程

一、本章提要

1． 基本概念

微分方程，常微分方程，微分方程的階數，線性微分方程，常系數線性微分方程，通解，特解，初始條件，線性相關，線性無關，可分離變量的方程，齊次線性方程，非齊次線性方程，特征方程，特征根．

2． 基本公式

一階線性微分方程

y??P(x)y?Q(x)的通解公式:

y???P(x)dxdx?C?e??P(x)dx． Q(x)e?????3． 基本方法

分離變量法，常數變易法，特征方程法，待定系數法，降階法． 4． 定理

齊次線性方程解的疊加原理，非齊次線性方程解的結構．

第九章

空間解析幾何

一、本章提要

1．基本概念

空間直角坐標系，向量，向量的模，單位向量，自由向量，向徑，向量的坐標與分解，向量的方向余弦，向量的點積與叉積，平面的點法式與一般式方程，直線的點向式及一般式方程，球面，柱面，旋轉面，二次曲面，空間曲線在坐標面上的投影，失函數的導數，失函數的積分．

2．基本公式

兩點間的距離公式，向量模與方向余弦公式，點積與叉積坐標公式，點到平面的距離公

式，平面與直線間的夾角公式． 3．方程

直線的點向式方程，直線的參數方程，直線的一般式方程，平面的點法式方程，平面的一般式方程．

第十章

多元函數微分學

一、本章提要

１．基本概念

多元函數，二元函數的定義域與幾何圖形，多元函數的極限與連續性，偏導數，二階偏導數，混合偏導數，全微分，切平面，多元函數的極值，駐點，條件極值，方向導數，梯度．

２．基本方法

二元函數微分法：利用定義求偏導數，利用一元函數微分法求偏導數，利用多元復合函 數求導法則求偏導數．

隱函數微分法：拉格朗日乘數法． ３．定理

混合偏導數與次序無關的條件，可微的充分條件，復合函數的偏導數，極值的必要條件，極值的充分條件．

第十一章

多元函數積分學

一、本章提要

1． 基本概念

二重積分，三重積分，曲線積分，曲面積分，微元法，柱面坐標系，球面坐標系，積分與路徑無關． 2． 基本公式

(1)格林公式：??Pdx?Qdy?L??Q?P?????x??y?dxdy；

?D??R??dV??z?(2)高斯公式：???????P??x??Q?y?????Pdydz?Qdzdx?Rdxdy．

3． 基本方法

將二重積分化為二次積分，關鍵是確定積分的上下限：有直角坐標系下的計算方法和極坐標系下的計算方法；計算三重積分，有直角坐標系、柱面坐標系、球面坐標系的計算方法；計算對坐標的曲線積分，有基本法，格林公式法，與路徑無關法；計算對坐標的曲面積分，有對坐標的曲面積分法，高斯公式法．

4． 定理

格林公式定理，積分與路徑無關定理，高斯公式定理．

第十二章 級數

一、本章提要

1．基本概念

正項級數，交錯級數，冪級數，泰勒級數，麥克勞林級數，傅里葉級數，收斂，發散，絕對收斂，條件收斂，部分和，級數和，和函數，收斂半徑，收斂區間，收斂域．

2．基本公式

(1)f(x)在x?x0處的泰勒級數系數：a0?f(x0)，ak?f(k)(x0)k!；

(2)傅里葉系數： an?1?ππ?πf(x)cosnxdx(n?0,1,2,?),bn?1?ππ?πf(x)sinnxdx(n?1,2,?)．

3．基本方法

比較判別法，比值判別法，交錯級數判別定理，直接展開法，間接展開法．

4．定理

比較判別定理，比值判別定理，交錯級數判別定理，求收斂半徑定理，冪級數展開定理，傅里葉級數展開定理．

第三篇：高等數學(上)重要知識點歸納

高等數學（上）重要知識點歸納

第一章 函數、極限與連續

一、極限的定義與性質

1、定義（以數列為例）

limxn?a????0,?N,當n?N時，|xn?a|??

n??

2、性質

f(x)?A?f(x)?A??(x)，其中?(x)為某一個無窮小。(1)limx?x0f(x)?A?0，則???0,當x?U(x0,?)時，(2)(保號性）若limx?x0of(x)?0。

(3)*無窮小乘以有界函數仍為無窮小。

二、求極限的主要方法與工具

1、*兩個重要極限公式

(1)lim??0sin?1?

1(2)lim(1?)??e ?????

2、兩個準則

(1)*夾逼準則

(2)單調有界準則

3、*等價無窮小替換法 常用替換：當??0時

（1)sin?~?

（2）tan?~?

（3）arcsin?~?

（4)arctan?~?（5）ln(1??)~?

（6）e??1~?（7）1?cos?~?

2（8）n1???1~

12? n 2

4、分子或分母有理化法

5、分解因式法

6用定積分定義

三、無窮小階的比較*

高階、同階、等價

四、連續與間斷點的分類

1、連續的定義*

f(x)在a點連續

?lim?y?0?limf(x)?f(a)?f(a?)?f(a?)?f(a)

?x?0x?a??可去型（極限存在）第一類???跳躍型（左右極限存在但不相等）??

2、間斷點的分類? ?無窮型（極限為無窮大）?第二類?震蕩型（來回波動）???其他???

3、曲線的漸近線*(1)水平漸近線：若limf(x)?A,則存在漸近線：y?Ax??(2)鉛直漸近線：若limf(x)??,則存在漸近線：x?ax?a

五、閉區間連續函數性質

1、最大值與最小值定理

2、介值定理和零點定理

第二章 導數與微分

一、導數的概念

1、導數的定義* y?|x?a?f?(a)?dy?yf(a??x)?f(a)f(x)?f(a)|x?a?lim?lim?lim?x?0?x?0x?adx?x?xx?a

2、左右導數

左導數f??(a)??limx?0??yf(x)?f(a)?limx?a?xx?a?右導數f??(a)??limx?0??yf(x)?f(a)?limx?a?xx?a?

3、導數的幾何意義* y?|x?a?曲線f(x)在點（a,f(a))處的切線斜率k

4、導數的物理意義

若運動方程：s?s(t)則s?(t)?v(t)(速度）,s??(t)?v?(t)?a(t)(加速度）

5、可導與連續的關系:

可導?連續，反之不然。

二、導數的運算

1、四則運算(u?v)??u??v?

(uv)??u?v?uv?

()??uvu?v?uv?

2vdydydu?u?

2、復合函數求導 設y?f[?(x)]，一定條件下? ?yuxdxdudx3、反函數求導 設y?f(x)和x?f?1(y)互為反函數，一定條件下：y?x?1 x?y4、求導基本公式*（要熟記）

5、隱函數求導* 方法：在F(x,y)?0兩端同時對x求導，其中要注意到：y是中間變量，然后再解出y?

?x?x(t)

6、參數方程確定函數的求導* 設?，一定條件下

?y?y(t)y?(t)?t?dyyt?dy?yt??xt??yt?xt??xxt??（可以不記）y???,y???xx3dxxt?dxxt?(xt?)

7、常用的高階導數公式（1）sin(n)x?sin(x??),(n?0,1,2...)

n（2）cosx?cos(x??),(n?0,1,2...)

2(n)n2（3）ln(1?x)?(?1)(n)n?1(n?1)!,(n?12...)n(1?x)1n(?1)nn!)?,(n?0,1,2...)（4）(n?11?x(1?x)（5）（萊布尼茨公式）(uv)??Cnku(n?k)v(k)

(n)k?0n

三、微分的概念與運算

1、微分定義 * 若?y?A?x?o(?x)，則y?f(x)可微，記dy?A?x?Adx

2、公式：dy?f?(x)?x?f?(x)dx

3、可微與可導的關系* 兩者等價

4、近似計算 當|?x|較小時，?y?dy，f(x)?f(x??x)?f?(x)?x

第三章 導數的應用

一、微分中值定理*

1、柯西中值定理*(1)f(x)、g(x)在[a,b]上連續(2)f(x)、g(x)在(a,b)內可導（3）g(x)?0,則：f?(?)f(b)?f(a)???（a,b),使得：?g?(?)g(b)?g(a)當取g(x)?x時，定理演變成：

2、拉格朗日中值定理*

???（a,b),使得：f?(?)?f(b)?f(a)?f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)

b?a當加上條件f(a)?f(b)則演變成：

3、羅爾定理* ???（a,b),使得：f?(?)?0

4、泰勒中值定理 在一定條件下：

f(n)(x0)f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?...?(x?x0)n?Rn(x)

n!f(n?1)(?)(x?x0)n?1?o((x?x0)n),?介于x0、x之間.其中Rn(x)?(n?1)!當公式中n=0時，定理演變成拉格朗日定理.當x0?0時，公式變成:

f(n)(0)n5、麥克勞林公式 f(x)?f(0)?f?(0)x?...?x?Rn(x)

n!

6、常用麥克勞林展開式

x21n（1）e?1?x??...?x?o(xn)

2!n!xx3x5(?1)n?12n?1x?o(x2n)（2）sinx?x??...?3!5!(2n?1)!x2x4(?1)n2nx?o(x2n?1)（3）cosx?1??...?2!4!(2n)!x2x3(?1)n?1n（4）ln(1?x)?x??...?x?o(xn)

23n

二、羅比達法則* 記住：法則僅能對,型直接用，對于0??,???,1?,00,?0,轉化后用.冪指函數恒等式*fg?eglnf

三、單調性判別*

1、y??0?y?,y??0?y?

2、單調區間分界點：駐點和不可導點.四、極值求法*

1、極值點來自：駐點或不可導點（可疑點）.2、求出可疑點后再加以判別.3、第一判別法：左右導數要異號，由正變負為極大，由負變正為極小.4、第二判別法：一階導等于0，二階導不為0時，是極值點.正為極小，負為極大.五、閉區間最值求法* 找出區間內所有駐點、不可導點、區間端點，比較大小.0?0? 7

六、凹凸性與拐點*

1、y???0?y?,y???0?y?

2、拐點：曲線上凹凸分界點(x0,y0).橫坐標x0不外乎f??(x0)?0,或f??(x0)不存在，找到后再加以判別x0附近的二階導數是否變號.七、曲率與曲率半徑

1、曲率公式K?|y??|(1?y?2)

12、曲率半徑R?

K32

第四章 不定積分

一、不定積分的概念* 若在區間I上，F?(x)?f(x),亦dF(x)?f(x)dx，則稱F(x)為f(x)的原函數.稱全體原函數F(x)+c為f(x)的不定積分，記為?f(x)dx.二、微分與積分的互逆關系

1、[?f(x)dx]??f(x)?d?f(x)dx?f(x)dx

2、?f?(x)dx?f(x)?c??df(x)?f(x)?c

三、積分法*

1、湊微分法*

2、第二類換元法

3、分部積分法* ?udv?uv??vdu

4、常用的基本積分公式(要熟記).第五章 定積分

一、定積分的定義 ?af(x)dx?limf(?i)?xi ??x?0i?

1二、可積的必要條件

有界.三、可積的充分條件

連續或只有有限個第一類間斷點或單調.四、幾何意義

定積分等于面積的代數和.bn 9

五、主要性質*

1、可加性 ?a??a??c

2、估值 在[a,b]上，m(b?a)??af(x)dx?M(b?a)

3、積分中值定理* 當f(x)在[a,b]上連續時：?af(x)dx?f(?)(b?a),??[a,b]

4、函數平均值：?babcbbbf(x)dxb?a

六、變上限積分函數*

1、若f(x)在[a,b]連續，則F(x)??af(t)dt可導，且[?af(t)dt]??f(x)

2、若f(x)在[a,b]連續，?(x)可導，則：[?a

七、牛-萊公式* 若f(x)在[a,b]連續，則?af(x)dx?[?f(x)dx]|b?F(b)?F(a)

axx?（x）f(t)dt]??f[?(x)]??(x)

b

八、定積分的積分法*

1、換元法

牢記：換元同時要換限

2、分部積分法

?audv?uv|??avdu

babb3、特殊積分（1）??aa??0,當f(x)為奇函數時f(x)dx??a

??2?0f(x)dx,當f(x)為偶函數時（2）當f(x)為周期為T的周期函數時：

?aa?nTf(x)dx?n?0f(x)dx,n?Z?

?T（3）一定條件下:?0xf(sinx)dx??0f(sinx)dx

2?? 10

?(n?1)！，n是正奇數時????（4）?02sinnxdx??02cosnxdx??n!

?(n?1)！?，n是正偶數時?!2?n！（5）?0sinxdx?2?02sinnxdx n??

九、反常積分*

1、無窮區間上

???a?

其他類似 f(x)dx?lim?af(t)dt?F(x)|?a?F(??)?F(a)x?????x2、p積分：?a?p?1時收斂1 dx(a?0):?px?p?1時發散

3、瑕積分：若a為瑕點：

b?則?af(x)dx?limf(t)dt?F(x)|?F(b)?F(a)

其他類似處理

?ax?ax??bb

第六章

定積分應用

一、幾何應用

1、面積（1）A??（y上-y下）dxaA??（x右-x左）dyabb

??x?x(t),(??t??),則A???|y(t)x?(t)|dt（2）C:??y?y(t)C:???(?),與???，???，（?????)圍成圖形面積（3）1?2A????（?）d?2

2、體積*（1）旋轉體體積*Vx???ay2dx

Vy???cx2dy

或Vy?2??axydx（2）截面面積為A?A(x)的立體體積為V??aA(x)dx

bbdb 11

3、弧長

（1）s??a1?y?2dx(a?x?b)（2）s???x?2(t)?y?2(t)dt,(??t??)（3）s????2???2d?,(?????)

二、物理應用

1、變力作功

一般地：先求功元素：再積分w??aF(x)dx dw?F(x)dx,x?[a,b]，克服重力作功的功元素dw=體積???g?位移

2、水壓力

dP=水深?面積???g

第七章

微分方程

一、可分離變量的微分方程

dy形式：?f(x)g(y)

dxbb??二、一階線性微分方程*

1、線性齊次：y??p(x)y?0 通解公式*：y?Ce?p(x)dx?

2、線性非齊次

y??p(x)y?q(x)通解公式*：y?e?

?p(x)dxp(x)dx?[?eq(x)dx?C)

第四篇：AP微積分BC考試知識點總結

三立教育www.tmdps.cn

AP微積分BC考試知識點總結

AP微積分BC中用到的高中6大知識點總結，微積分中用到的高中知識主要是函數相關知識，主要有以下幾方面內容：

1.函數的定義、函數的圖像、分段函數、絕對值函數、定義域和值域等;

2.函數的運算及復合函數，函數圖像的對稱性;

3.x的n次冪的函數、反比例函數、多項式函數、有理函數、三角函數的定義、性質和圖像分析;

4.反函數和反三角函數的圖像和性質;

5.指數函數和對數函數;

6.參數方程(只是Calculus BC所要求的內容)

這些基礎內容的講解將主要以做題帶動講解的方式，通過一定數量的例題引導，加速學生對基礎知識的回憶，為后面的微積分學習打下一定的堅實基礎。

1.函數的基本知識

1.1.Definition

If a variable y depends on a variable x in such a way that each value of x determines exactly one value of y, then we say that y is a function of x.1.2.The vertical line test:

A curve in the xy-plane is the graph of some function f if and only if no vertical line intersects the curve more than once.三立教育www.tmdps.cn

1.3.The absolute value function

2.函數的運算

2.1.Composition of f with g

Given functions f and g, the composition of f with g, denoted by f ο g, is the function defined by

(f。g)(x)=f(g(x))

The donation of f o g is defined to consist of all x in the domain of g for which g(x)is in the domain of f.2.2.Symmetry Tests

a)A plane curve is symmetric about the y-axis if and only if replacing x by –x in its equation produces an equivalent equation.b)A plane curve is symmetric about the x-axis if and only if replacing y by –y in its equation produces an equivalent equation.c)A plane curve is symmetric about the origin if and only if replacing x by –x and y by –y in its equation produces an equivalent equation

3.常見的函數

3.1.Inverse function

A variable is said to be inversely proportional to a variable x if there is a positive constant k, called the constant of proportionality, such that，3.2.Polynomials 三立教育www.tmdps.cn

A polynomial in x is a function that is expressible as a sum of finitely many terms of the form cxn, wherec is a constant and n is a nonnegative integar.3.3.Rational function

A function that can be expressed as a ratio of two polynomials is called a rational function.4.反函數

4.1.Inverse function

If the function f and g satisfy the two conditions：

g(f(x))=x for every x in the domain of f

f(g(x))=y for every y in the domain of g

then we say that f is an inverse of g and g is an inverse of f or that f and g are inverse functions.4.2.The Horizontal Line Test

A function has an inverse function if and only if its graph is cut at most once by any horizontal line.5.指數函數、對數函數

5.1.A function of the form f(x)=bx, where b>0, is called an exponential function with base b.5.2.The basic characteristic of exponential function 三立教育www.tmdps.cn

5.3.The basic characteristic of logarithmic function

5.4.If b>0 and b≠1, then bx and logbx are inverse functions.6.參數方程

6.1.Definition

Suppose that a particle moves along a curve C in the xy-plane in such a way that its x-and y-coordinates, as functions of time, are

x=f(t), y=g(t)

We call these the parametric equations of motion for the particle and refer to C as the trajectory of the particle or the graphs of the equations.The variable t is called the parameter for the equations.上海新托福精講班多少錢？

一、整體情況

培訓對象：英語基礎薄弱大學生或未接觸過托福考試的高中生

培訓目的：通過對托福基礎聽說讀寫的鞏固及強化訓練，幫助學員提高托福基礎和應試技巧，順利通過考試。

目標分數：80-90分

課程時長：根據學員需要而定

課程學費：依照學員學習水平而定

二、課程安排

課程課程：主講托福詞匯、托福語法、托福聽力、托福閱讀、托福口語、托福寫作；

輔導課程：梳理課程知識，解疑答惑，查漏補缺；

測評課程：托福全真模考及考試分析點評； 三立教育www.tmdps.cn

三、模考安排

第一次：課程中間，安排一次托福全真模擬考試及點評

第二次：課程結束，安排一次托福全真模擬考試及點評

備

注：除以上安排，學員結課后可根據自己的考試時間自行預約TPO小站模考

【看不懂？更多問題請留言咨詢在線備考顧問】

第五篇：微積分總結

第一章知識點

1.極限的定義(ε-δ定義）：

（重在理解)2.兩邊夾法則

先看它是否有明顯的界限，再有極限相同入手。

但要注意：夾的時候一定要保證不等關系一直成立 3.在證明不等關系時，二項式定理是一個不錯的工具，尤其是涉及到n次冪的問題（P9 例題3）

4.復合函數問題中Df∩Zg≠Φ對于一個復合函數f(g(x)),那么g(x)的值域與f(x)的定義域必須要有交集（小錯誤）

5.有基本初等函數(反對冪指三）經過有限次變換得到的函數均為初等函數（定理：初等函數在其定義域內均連續）6.鄰域均為開區間

7.用ε-ε-δ定義定義證明極限等于某個常數，其關鍵是找出一個符合要求的δ，并要充分利用lim=n這一條件。P30 例1 8.Limf(x)=∞時，f(x)的極限不存在，只是借用這一符號。在此處有垂直漸近線

9.左右極限存在且相等==> 函數在這一點極限存在 10.函數極限存在則必有唯一性（反證法，與定義矛盾)11.連續可推出極限存在

12.連續性的條件：1.f(x0)有意義

2.f(x0)在此處的極限存在 3.此處limf（x）=f（x0）13.換元要換限，取值范圍要跟著變。

14.無窮小性質：

1.有限個無窮小之和與乘積是無窮小

2.有界函數和常數 與無窮小的乘積是無窮小

（用于簡化求極限的式子）

15.利用無窮小求極限就是丟掉不影響的無窮小（高階無窮小），再用等價無窮小替換。

16.若f(x)在x0處可微，則f(x)在處連續，其極限也必定存在 17.可微=左右微商相等

（不等即微商不存在）

18.因此求分段點出的微商的步驟是：先求左微商，再求右微商，再看其等不等。等便存在，不等便不存在

19.連續點處或左右微商：1.先求增量Δy

2.再求Δy/Δx 3.求極限（極限為無窮則稱其不可微）20.切線方程，法線方程 21.求極限時注意誰是變量。

22.無窮小等價代換 乘除可換 加減不能

在對無窮小比無窮小求極限的過程中，可以把分子或分母中的某個因子用等價無窮小替換，加減時一般不能用等價無窮小替換，加減時候等價無窮小替換的條件是：lim a/b中極限存在，且極限不等于-1，則a+b中的無窮小a和b可以用它們的等價無窮小替換。

23.間斷點類型：第一類間斷點：1.左右極限存在且相等但不等與

f(x0)(可取間斷點）

2.左右極限不等（跳躍間斷點）第二類間斷點：

左右極限至少有一個不存在 24.極限比值為常數且分子或分母也為0，則另一個也為0（分子分母為同階無窮小）25.(1)limsinx?1x?0x1x比較limx??sinx?0x(2)lim(1?x)x?0?e或lim(1?x??1x)?ex

26.極限的性質：1.唯一性 2.局部保號性 3.兩邊夾法則 4.比值極限性質 27.僅個人小小理解，當作總結，若有錯誤還請及時與我交流，愿大家共同進步！！