第一篇：考研數學如何讓證明題迎刃而解 中公考研

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考研數學高分秘籍：讓證明題迎刃而解

針對考研數學考生證明題得分率低、“談證明色變”的現狀，總結了攻克證明題的基本思路：首先總結證明題的主要考點；然后根據考點要求掌握基本的定理內容，尤其要掌握核心定理的證明過程；最后，再總結出題思路和證明“套路”，專項突破。

證明題是可以說是考研數學中最讓考生頭疼的題型了，很多考生幾乎是“談證明題色變”，在考試中遇到證明題時甚至會選擇主動放棄。而從實際考試情況來看，證明題在每年的考試中也確實起到了“壓軸題”的作用，試卷中綜合得分率最低的考題往往都是證明題。其實只要方法得當，相較于其他題目，證明題是較容易得分的。下面，我們就簡單介紹一下證明題的著手點，供考生們參考。

證明題可以分三步走：

第一步：分析考題，找出證明的主要考點。證明題的考題量較少，出題點相對比較固定，所以首要的任務是總結出題點，明確方向，再進行定向突破。從歷年真題來看，高等數學證明題的主要出題點有兩個：中值定理證明和不等式證明。

第二步：結合幾何意義記住零點存在定理、中值定理等基本原理，包括條件及結論以及核心定理證明過程。了解基本原理是證明的基礎，了解的程度不同會導致不同的推理能力。這些定理中，三大中值定理本身的證明過程就是很重要的考點。在2009年真題中就直接考查到了拉格朗日中值定理的證明過程，這道考題的答案在任何一本高等數學的教材上都可以找到，但實際得分率卻不足20%。這說明很多時候考生在證明題上的丟分并不是因為題目太難、太刁，而是考生自己沒有按照考試要求打好基礎，掌握常用的方法和基本的考點。

第三步：分析歷年真題，專項突破。對歷年真題中的試題進行歸類、整理，總結常考的類型和基本的證明思路。考研的證明題往往都是有一定證明“套路”的，只要能分析清楚命題方向，總結出聯系不同題目形式背后共通的思路，這類問題就能迎刃而解。例如對不等式證明，盡管題目形式千變萬化，但起證明思路大多數卻都是統一的：都是根據要證明的不等式構造輔助函數（一般是兩邊相減或化簡后相減），再通過求導分析輔助函數的單調性，進而找到輔助函數在所給區間上的最值。只要掌握了這個基本方向，再通過適量針對性的訓練以熟悉常見的處理方法，攻克這類問題并不是難事。

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其實，很多考生并不是做不好證明題，而是在遇到證明題首先心里就怯懦了，希望通過上面的三步走，能夠幫助考生建立起自信，一舉攻克證明題。

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第二篇：考研證明題

翻閱近十年的數學真題，同學可以發現：幾乎每一年的試題中都會有一道證明題，而且基本上都可以用中值定理來解決，重點考察同學的邏輯推理分析能力，但是參加研究生數學考試的同學所學專業要么是理工要么是經管，同學們在大學學習數學的時候對于邏輯推理方面的訓練大多是不夠的，這就導致你們數學考試中遇到證明推理題就發怵，根本不想去想，以致簡單的證明題得分率卻極低。下面給同學們總結了一些方法步驟或思路，以后在遇到證明題時不妨試一試。

第一步：首先要記住零點存在定理，介值定理，中值定理、極限存在的兩個準則等基本原理，包括條件及結論，中值定理最好能記住他們的推到過程，有時可以借助幾何意義去記憶。因為知道基本原理是證明的基礎，知道的程度(即就是對定理理解的深入程度)不同會導致不同的推理能力。如2006年數學一真題第16題(1)是證明極限的存在性并求極限。只要證明了極限存在，求值是很容易的，但是如果沒有證明第一步，即使求出了極限值也是不能得分的。因為數學推理是環環相扣的，如果第一步未得到結論，那么第二步就是空中樓閣。這個題目非常簡單，只用了極限存在的兩個準則之一：單調有界數列必有極限。只要知道這個準則，該問題就能輕松解決，因為對于該題中的數列來說，“單調性”與“有界性”都是很好驗證的。再比如2009年直接讓考生證明拉格朗日中值定理；但是像這樣直接可以利用基本原理的證明題在考研真題中并不是很多見，更多的是要用到第二步。

第二步：可以試著借助幾何意義尋求證明思路，以構造出所需要的輔助函數。一個證明題，大多時候是能用其幾何意義來正確解釋的，當然最為基礎的是要正確理解題目文字的含義。如2007年數學一第19題是一個關于中值定理的證明題，可以在直角坐標系中畫出滿足題設條件的函數草圖，再聯系結論能夠發現：兩個函數除兩個端點外還有一個函數值相等的點，那就是兩個函數分別取最大值的點(正確審題：兩個函數取得最大值的點不一定是同一個點)之間的一個點。這樣很容易想到輔助函數F(x)=f(x)-g(x)有三個零點，兩次應用羅爾中值定理就能得到所證結論。再如2005年數學一第18題(1)是關于零點存在定理的證明題，只要在直角坐標系中結合所給條件作出函數y=f(x)及y=1-x在[0，1]上的圖形就立刻能看到兩個函數圖形有交點，這就是所證結論，重要的是寫出推理過程。從圖形也應該看到兩函數在兩個端點處大小關系恰好相反，也就是差函數在兩個端點的值是異號的，零點存在定理保證了區間內有零點，這就證得所需結果。如果第二步實在無法完滿解決問題的話，轉第三步。

第三步：從要證的結論出發，去尋求我們所需要的構造輔助函數，我們稱之為“逆推”如2004年第15題是不等式證明題，該題只要應用不等式證明的一般步驟就能解決問題：即從結論出發構造函數，利用函數的單調性推出結論。在判定函數的單調性時需借助導數符號與單調性之間的關系，正常情況只需一階導的符號就可判斷函數的單調性，非正常情況卻出現的更多(這里所舉出的例子就屬非正常情況)，這時需先用二階導數的符號判定一階導數的單調性，再用一階導的符號判定原來函數的單調性，從而得所要證的結果。

第三篇：考研數學證明題題目11

今天還是討論關于不等式的問題。

這次的這個不等式大家看見了一定不會陌生，因為思路很容易就拿出來了。就是轉化成求一個函數的極值問題。然后解法一就誕生了。

上面的方法估計是絕大多數人都會采用的方法，算是一種通法了。也是必須得掌握的重要思想方法之一。

然而，是不是這個題目除了這種方法就沒有其他的辦法來做了呢？答案是否定的。

注意到需要證明的不等式可以先化成e^x>x^2-2ax+1，而左邊的式子要和冪函數聯系起來，很容易想到的就是馬克勞林展開。于是可以嘗試著看看是否能夠利用這個來做。

首先可以試著將e^x展開到二階的，然后看看是否能夠證明需要的不等式。發現不行，然后再繼續多展開一階。于是，解法二橫空出世。

說句實話，就這道題而言，這種方法確實挺復雜的，而且還沒有求導的方法精確。不過，這種思想方法對于一些題目來說，卻可能是重要的突破口！下面看看一道習題吧。

由于這道題目比較難，所以直接給出解答。

這個題目可以說相當于反用冪級數的展開，然后利用馬克老林余項的估值最后證明出結論。這個看似很一般的題目，中間卻蘊含著無限的思想，需要大家細細品味！

第四篇：考研數學證明題三步走

數學證明三步走

縱觀近十年考研數學真題，大家會發現：幾乎每一年的試題中都會有一個證明題，而且基本上都是應用中值定理來解決問題的。但是要參加碩士入學數學統一考試的同學所學專業要么是理工要么是經管，同學們在大學學習數學的時候對于邏輯推理方面的訓練大多是不夠的，這就導致數學考試中遇到證明推理題就發怵，以致簡單的證明題得分率卻極低。除了個別考研輔導書（如蔡子華老師的《歷年真題精析》對真題中的證明題的解析及講評）中有一些證明思路之外，大多數考研輔導書在這一方面沒有花太大力氣，本人自認為在推理證明方面有不凡的效績，在此給大家簡單介紹一些解決數學證明題的入手點，希望對有此隱患的同學有所幫助。

我把這樣的方法稱為證明題三步走。

第一步：結合幾何意義記住零點存在定理、中值定理、泰勒公式、極限存在的兩個準則等基本原理，包括條件及結論。知道基本原理是證明的基礎，知道的程度（即就是對定理理解的深入程度）不同會導致不同的推理能力。如2006年數學一真題第16題（1）是證明極限的存在性并求極限。只要證明了極限存在，求值是很容易的，但是如果沒有證明第一步，即使求出了極限值也是不能得分的。因為數學推理是環環相扣的，如果第一步未得到結論，那么第二步就是空中樓閣。這個題目非常簡單，只用了極限存在的兩個準則之一：單調有界數列必有極限。只要知道這個準則，該問題就能輕松解決，因為對于該題中的數列來說，“單調性”與“有界性”都是很好驗證的。像這樣直接可以利用基本原理的證明題并不是很多，更多的是要用到第二步。

第二步：借助幾何意義尋求證明思路。一個證明題，大多時候是能用其幾何意義來正確解釋的，當然最為基礎的是要正確理解題目文字的含義。如2007年數學一第19題是一個關于中值定理的證明題，可以在直角坐標系中畫出滿足題設條件的函數草圖，再聯系結論能夠發現：兩個函數除兩個端點外還有一個函數值相等的點，那就是兩個函數分別取最大值的點（正確審題：兩個函數取得最大值的點不一定是同一個點）之間的一個點。這樣很容易想到輔助函數F（x）=f(x)-g(x)有三個零點，兩次應用羅爾中值定理就能得到所證結論。再如2005年數學一第18題（1）是關于零點存在定理的證明題，只要在直角坐標系中結合所給條件作出函數y=f(x)及y=1-x在[0，1]上的圖形就立刻能看到兩個函數圖形有交點，這就是所證結論，重要的是寫出推理過程。從圖形也應該看到兩函數在兩個端點處大小關系恰好相反，也就是差函數在兩個端點的值是異號的，零點存在定理保證了區間內有零點，這就證得所需結果。如果第二步實在無法完滿解決問題的話，轉第三步。

第三步：逆推。從結論出發尋求證明方法。如2004年第15題是不等式證明題，該題只要應用不等式證明的一般步驟就能解決問題：即從結論出發構造函數，利用函數的單調性推出結論。在判定函數的單調性時需借助導數符號與單調性之間的關系，正常情況只需一階導的符號就可判斷函數的單調性，非正常情況卻出現的更多（這里所舉出的例子就屬非正常情況），這時需先用二階導數的符號判定一階導數的單調性，再用一階導的符號判定原來函數的單調性，從而得所要證的結果。該題中可設F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*,其中eF(a)就是所要證的不等式。

對于那些經常使用如上方法的同學來說，利用三步走就能輕松收獲數學證明的12分，但對于從心理上就不自信能解決證明題的同學來說，卻常常輕易丟失12分，后一部分同學請按“證明三步走”來建立自信心，以阻止考試分數的白白流失。

第五篇：考研數學證明題題目10

今天來看看不等式的題目。不等式對于我們來說應該是再熟悉不過的了，初中的時候學過一次二次不等式，高中更是系統學習了不等式，在考研試題里面，也不乏不等式的題目。不等式的題目相對比較靈活，綜合性很強，是考察數學能力的一個很好的方式。雖然很活，不過對于考研來說，這些題目也都有一定的方法和思想，是大家可以掌握的。這里就大家比較容易忽略的某些方法說說自己的理解。

看到題目應該有一種很相似的感覺。因為不等式的中間部分貌似就是拉格朗日中值定理。于是，有一種沖動，試試這種方法是否可行。

嘗試了一下，發現左邊已經證明出來了。這時應該比較欣慰，因為題目做出了一半。于是心想著，右邊應該同理也可以證明吧。不管三七二十一，先試一下。

試完以后，悲劇了！居然無法證明出來。怎么辦？只有另找一種出路。

很多參考書上給的解答都是構造一個輔助函數，這個輔助函數就是將b換成x，成為一個關于x的函數，然后利用導數工具研究這個函數的性質從而得出最終的證明結果。這種方法很典型，需要大家比較熟練運用。不過，對于這道題來說，這種方法有點復雜了，因為構造的函數很長一串兒，看起來也不大舒服。于是可以嘗試下其他的方法。

對于這道題而言，a,b都是成對的出現的，而且a,b出現的次數都一樣，亦即齊次式。所以，我們總可以通過一定變形，使得這個表達式成為一個關于a/b或者b/a的式子。

然后產生了下面的解法

這個解法對于有經驗的人來說是很自然的，因為證明不等式有三化，齊次化，線性化和局部化，這里體現的就是齊次化思想。

這道題目本身不難，但是題目中蘊含的思想卻不少。

1拉格朗日中值定理也可以用來證明不等式，不過放縮的范圍比較大，不夠精確！

2對于齊次式，我們可以將其轉變成單變元問題（多變元化單變元），然后研究一個一元函數的性質就能夠知道相應的一些關系。

3要充分利用夠題目的條件！比如此題中b>a，則b/a=t>1！如果不用的話就會出問題的！然后看看練習吧