第一篇：高中數學第五章數系的擴充與復數的引入51數系的擴充與復數的引入重疑難點易錯簡析素材北師大版2-2.

5.1 數系的擴充與復數的概念重疑難點易錯簡析

一、知識導學

1.復數：形如a?bi的數（a,b?R），復數通常用小寫字母z表示，即z?a?bi,其中a叫做復數的實部，b叫做復數的虛部，i稱做虛數單位.2.分類：復數a?bi(a,b?R)中，當b?0時，就是實數；除了實數以外的數，即當b?0時，a?bi叫做虛數；當a?0,b?0時，叫做純虛數.3.復數集：全體復數所構成的集合.4.復數相等：如果兩個復數a?bi與c?di的實部與虛部分別相等，記作：a?bi=c?di.5.復平面、實軸、虛軸：建立直角坐標系來表示復數的平面.在復平面內，x軸叫做實軸，y 軸叫做虛軸.6.復數的模：設oz=a?bi,則向量oz的長度叫做復數a?bi的模（或絕對值），記作a?bi.(1)z?a?bi?a2?b2；

(2)z1?z2=z2?z1；(3)z1z1?； z2z27．共軛復數：如果兩個復數的實部相等，而虛部互為相反數，則這兩個復數互為共軛復數.二、疑難知識導析

1．兩個實數可以比較大小，而不全是實數的兩個復數不能比較大小

2222．z?R,則z?0，而z?C，則z?0不一定成立，如z?i時i??1?0；

23．z?R,z?z2，而z?C則z?z2不一定成立；

2224．若z1,z2,z3?C,(z1?z2)?(z2?z3)?0不一定能推出z1?z2?z3；

25．若z1,z2?R，則z1?z2=(z1?z2)?4z1z2，但若z1,z2?C,則上式不一定成 1 立.三、經典例題導講

[例1]兩個共軛復數的差是（）

A.實數 B.純虛數 C.零 D.零或純虛數

錯解:當得到z?z?2bi時就錯誤的選B，忽略了b可以為零的條件.正解：設互為共軛的兩復數分別為z?a?bi及z?a?bi(a,b?R)則z?z?2bi 或z?z?2bi

當b?0時，z?z，z?z為純虛數

當b?0時，z?z?0，z?z?0，因此應選D.注：要認真審題，看清題設條件，結論.學會全面辯證的思考問題，準確記 憶有關概念性質.[例2]判斷下列命題是否正確(1)若z?C, 則z?0

(2)若z1,z2?C,且z1?z2?0，則z1?z2(3)若a?b，則a?i?b?i

錯解：(1)認為任何一個實數的平方大于零可推廣到復數中，從而(1)是正 確的

(2)認為兩實數之差大于零等價于前一個大于后一個實數，也可推到復數中來.認為兩復數差為實數則這兩個復數也為實數.而認為命題(2)是正確的.(3)把不等式性質錯誤的推廣到復數中，忽略不等式是在實數中成立的前提條件.正解：(1)錯，反例設z?i則z?i??1?0 2(2)錯，反例設z1?2?i，z2?1?i，滿足z1?z2?1?0，但z1z2 不能比較大小.(3)錯，?a?b，?a,b?R，故a?i，b?i都是虛數，不能比較大小.a2?a?6?(a2?2a?15)i是(1)實數； [例3]實數a分別取什么值時，復數z?a?3 2(2)虛數;(3)純虛數.a2?a?6(a?2)(a?3)? 解：實部，虛部a2?2a?15?(a?3)(a?5).a?3a?3（1）當（2）當（3）當 時，z是實數；，且 或

時，z是虛數；

時是純虛數．

[例4] 設z1?(m2?2m?3)?(m2?4m?3)i(m?R),z2?5?3i，當m取何值時，(1)z1?z2;(2)z1?0.分析：復數相等的充要條件，提供了將復數問題轉化為實數問題的依據，這是解復數問題常用的思想方法，這個題就可利用復數相等的充要條件來列出關于實數 的值．

2??m?2m?3?5解：(1)由可得：?2解之得m?4，??m?4m?3?3 的方程，求出即：當(2)當 時 可得：

或

，即

時z1?0.[例5]z1,z2是兩個不為零的復數，它們在復平面上分別對應點P和Q，且224z1?2z1z2?z2?0，證明△OPQ為直角三角形（O是坐標原點），并求兩銳角的度數．

22分析

本題起步的關鍵在于對條件4z1?2z1z2?z2?0的處理．等式左邊是關于z1,z2的二次齊次式，可以看作二次方程求解，也可配方．

22解：由4z1?2z1z2?z2?0（，不為零），得

z1?2?23i1?3iz2?z284 ?z11?????????cos????isin????z22??3??3??即向量OP與向量OQ的夾角為在圖中，?POQ??，31|z2|，設|z1|?r,|z2|?2r，2?3，又|z1|?在△OPQ中，由余弦定理

△OPQ為直角三角形，．

四、典型習題導練

1.設復數z滿足關系z?|z|?2?i，那么z等于（）．

A． B． C． D．

2.復數系方程(1?i)x2?(1?i)x?2?6i?0有實數根，則這個實數是_________.3.實數m取何值時，復數面上的對應點位于第二象限．

4.已知f(z)?1?z?z且f(?z)?10?3i,求復數z

5.設復數z滿足z?5且(3?4i)z在復平面上對應的點在第二象限、四象限的角平分線上，是(1)純虛數；(2)在復平2z?m?52(m?R),求z和m的值

第二篇：《數系的擴充與復數的引入》教學反思

《數系的擴充與復數的引入》教學反思

數學組：謝瑞萍

《數系的擴充與復數的引入》這一部分是在高二下學期學習的, 新課標的基本要求是：在問題情境中了解數系的擴充過程，理解復數的基本概念以及復數相等的充要條件。了解復數的代數表示和幾何意義，能進行代數形式的四則運算和幾何意義。

本著面向全體學生，鞏固基本知識，強化基本技巧為出法點，而且復數這一部分在高考中的難度相對比較低，在教學設計時，我選擇了常見的三種題型，進一步讓學生學習了復數的概念及有關定義、復數的運算和利用復數的幾何意義。為了提高課堂的教學效率，通過制作了PPT演示文稿，展示數的發展歷史，把例題事先制作好，然后再黑板上進行演算。然后還是由于時間有限沒有給學生們足夠的時間讓他們先進行思考，使部分學生有拖著走的感覺。

在教學中，我的問題是重復太多，怕學生聽不懂，記不住，但過多的反復很容易適得起反，有的時候自己感覺不到，但是聽別人的課，就有很明顯的發現，過多的“然后”“也就是說”“那么”“接下來”甚至語氣詞啊什么的，不但不能起到上下語句的承接作用，反而使語言拖沓沉冗。數學語言，尤其要注重準確嚴密，一針見血，要么不說，要么就說在點子上，這需要斟酌課堂上的每一句教學語言，需要長期堅持不懈。

第三篇：《數系的擴充和復數的引入》教學設計

教材分析：

《數系的擴充和復數的引入》是北師大版普通高中課程標準實驗教科書選修2-2的第五章第一節的內容，主要包括數的概念的擴充，復數的相關概念。復數的引入是中學階段數系的又一次擴充，引入復數以后，不僅可以使學生對于數的概念有一個更為完整的認識，也為進一步學習打下基礎。通過本節課的學習，要使學生了解熟悉擴充的過程以及引入復數的必要性，學習復數的一些基本知識，體會人類理性思維在數系擴充中的作用。

教學目標：

1.知識與技能：使學生體會數的概念是逐步發展的；了解引進復數的必要性；理解復數的基本概念。

2.過程與方法：經歷數的概念的發展和數系擴充的過程，體會數學發現和創造的過程，以及數學發生、發展的客觀需求；

3.情感、態度與價值觀：通過對復數的學習，體會實際需求與數學內部的矛盾在數系擴充中的作用；通過數系的擴充歷程，使學生體會數學博大精深的文化魅力，激發學生學習數學的興趣；培養學生勇于知疑問難,善于探索的'學習習慣和良好的思維品質

教學重點：

復數的概念。

教學難點：

虛數單位i的引入及復數的概念

教學過程：

【情景導入】

通過人類生產生活的需要及數學內部矛盾的解決需要這兩條線索，回顧數的擴充脈絡，引入新的問題：在實數集中求方程x2+1=0 的解？啟發學生類比前三次數系擴充的問題的解決，得到要解決這個問題可以引入一個新的數。

設計意圖：采用觀看視頻的方式進行情景導入，緊扣主題，通過梳理數系的擴充歷程，使學生體會熟悉擴充的必要性，了解熟悉擴充前后的聯系，為后面的學習做好鋪墊。

【概念形成】

1、我們引入新數i，叫做“虛數單位”，并規定：

（1）i2=-1;

（2）實數可以與i進行四則運算，進行四則運算時，原有的加法運算律、乘法運算律仍然成立.2、復數的定義

形如a+bi(a,b∈R)的數稱為復數，通常表示為Z= a+bi(a,b∈R)其中a叫做復數的實部，b叫做復數的虛部.i稱為虛數單位。

全體復數組成的集合叫復數集，通常用C表示。

設計意圖：通過問題的提出、發展、解決的過程，讓學生感受由實數系擴充到復數系的歷程，體會數學家的創新精神和實踐能力，讓學生參與其中，培養學生解決問題的能力。

【自主學習】

閱讀教材第99頁倒數三段內容，完成下面的問題：

問題1：復數是怎樣分類的？

對于復數，當且僅當b=0時，復數a+bi(a、b∈R)是實數a；當b≠0時，復數z=a+bi叫做虛數；當a=0且b≠0時，z=bi叫做純虛數；當且僅當a=b=0時，z就是實數0.問題2：復數集與數集N、Z、Q、R之間有什么關系？你能否用韋恩圖表示？

復數集與其它數集之間的關系：

設計意圖：讓學生通過閱讀、思考的方式獲得知識，培養學生積極參與的意識和自主探索的能力。

【合作探究】

例1：完成下列表格（分類一欄填實數、虛數或純虛數）

2-3i

6i

實部

虛部

分類

例2：實數m取什么值時，復數z=(m-2)+(m+1)i 是

（1）實數；（2）虛數；（3）純虛數。

變式練習：實數m取什么值時，復數z(m-2)(m-1)+(m-1)(m-3)i 是純虛數？

設計意圖：通過例題，強化學生對復數概念的理解，提高學生分析問題、解決問題的能力，規范做題步驟。

【課堂練習】

1、以 3i-2 的虛部為實部，以-3+3i 的實部為虛部的復數是

2、若復數(m-1)+(m+2)(m-1)i 是純虛數，則實數m 的值為。

設計意圖：及時反饋，學以致用，加深學生對知識的理解，提高學生的解題能力。

【課時小結】

這節課你都學到了什么？有哪些收獲？

設計意圖：通過學生總結，教師歸納，培養學生歸納概括的能力，回顧本節課內容，為后面的學習打下基礎。

【課后作業】

1、書面作業：習題5-1 A組12、預習《 1.2復數的有關概念》

3、課后探究：請你查閱、收集一些關于實數集擴充到復數集的數學史料，并根據自己的理解對數系的擴充進行整理，寫成一篇關于數系擴充歷程的文章。

設計意圖：鞏固本節課所學知識，同時帶著新的問題走出課堂，擴大學生的視野，感受數學文化的魅力，體會數學來源于生活，服務于生活。

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第四篇：《數系的擴充與復數的概念》教學設計

《數系的擴充和復數的概念》教學設計

安陽市第三十八中學 付娟

本節為人教A版選修1-2，第二章第一節第一課時

一、《課程標準》對本節課的學習要求：

（1）在問題情境中了解數系的擴充過程，體會實際需求與數學內部的矛盾（數的運算規則、方程求根）在數系擴充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及與現實世界的聯系。（2）理解復數的基本概念以及復數相等的充要條件。（3）了解復數的代數表示法及其幾何意義。

（4）能進行復數代數形式的四則運算，了解復數代數形式的加、減運算的幾何意義。

二、教材內容和學生情況分析：

在學習本節之前，學生對數的概念已經擴充到實數，也已清楚各種數集之間的包含關系等內容，但知識是零碎、分散的，對數的生成發展的歷史和規律缺乏整體認識與理性思考，知識體系還未形成。另一方面學生對方程解的問題會默認為在實數集中進行，缺乏嚴謹的思維習慣。

三、教學目標：

根據《課程標準》，依據教材內容和學生情況，確定本課時的教學目標為：

1、通過回憶數系的擴充過程，觀察所列舉的復數能簡述復數的定義，并能說出復數的實部與虛部。

2、通過小組討論能將復數歸類，并能用語言或圖形表達復數的分類，會解決含有字母的復數的分類問題。

3、通過比較給出的兩個復數能歸納出復數相等的充要條件，并能解決與例題相似的題目。

四、教學環節設計

第五篇：數系的擴充與復數的概念教案說明

海南省瓊海市嘉積中學海桂學校

粟建軍

《數系的擴充與復數的概念》教案說明

《數系的擴充與復數的概念》是人教版普通高中數學實驗教材選修2-2第三章第一節的內容，課時安排約一課時。

復數的引入是中學階段數系的又一次擴充，引入復數以后，這不僅可以使學生對于數的概念有一個初步的、完整的認識，也為進一步學習數學打下了基礎。通過本節課學習，要使學生在問題情境中了解數系擴充的過程以及引入復數的必要性，學習復數的一些基本知識，體會人類理性思維在數系擴充中的作用。

學習目標為（1）在問題情境中了解數系的擴充過程，體會實際需求在數系擴充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數與現實世界的聯系；（2）理解復數的基本概念以及復數相等的充要條件。

復數的概念是整個復數內容的基礎，復數的有關概念都是圍繞復數的代數表示形式展開的。虛數單位、實部、虛部的命名，復數想等的充要條件，以及虛數、純虛數等概念的理解，都應促進對復數實質的理解，即復數實際上是一有序實數對。類比實數可以用數軸表示，把復數在直角坐標系中表示出來，就得到了復數的幾何表示，這就把數和形有機的結合了起來。另外復數與向量、平面解析幾何、三角函數等都有密切的聯系，運用復數法可以解決函數最值、三角恒等式、組合問題、不等式問題、數列問題等。而復數在電力、熱力學、流體力學、固體力學、系統分析、信號分析、反常積分等方面都有應用。

在學習本節課的過程中，復數的概念如果單純地講解或介紹會顯得較為枯燥無味，學生不易接受，教學時，采用講解已學過的數集的擴充的歷史，讓學生體會到數系的擴充是生產實踐的需要，也是數學學科自身發展的需要；介紹數的概念的發展過程，使學生對數的形成、發展的歷史和規律，各種數集中之間的關系有著比較清晰、完整的認識.從而讓學生積極主動地建構虛數的概念、復數的概念、復數的分類。由于學生對數系擴充的知識不熟悉，對了解實數系擴充到復數系的過程有困難，也就是對虛數單位i的引入難以理解。另外虛數單位i和實數進行四則運算也不容易接受。復數的相等和復數的相關概念（比如實部、虛部、虛數、純虛數等）這些學生很容易理解。

本節課我采用數學典故吸引學生，讓學生知道數系的擴充過程，從而為虛數單位的引入打下基礎，在講解例題后用游戲的方式鞏固教學效果。另外我還充分

海南省瓊海市嘉積中學海桂學校

粟建軍

利用多媒體，提高教學效果，在設疑、提示、觀察、類比、練習、游戲等活動中啟發學生，讓學生動手、動口、動腦，培養學生的思維能力。

在學習了這節課以后，學生首先能知道數系是怎么擴充的，并且這種擴充是必要的，虛數單位i在數系擴充過程中的作用，而復數就是一個實數加上一個實數乘以i。學生能清楚的知道一個復數什么時候是虛數，什么時候是純虛數，兩個復數相等的充要條件是什么。讓學生在經歷一系列的活動后，完成對知識的探索，變被動地“接受問題”為主動地“發現問題”，加強學生對知識應用的靈活性，深化學生對復數的認識，從而提高分析問題和解決問題的能力。

教學中應注意幾個問題，注意與以前所學過的數的內容的銜接，在以前，學生學過整數、有理數、實數的概念和運算，在本節課，則要系統地學習復數的概念的發展過程，復習實數的有關概念等，從而為學好本節的內容打好基礎。注意與初中、高中數學其他內容的聯系，要把握好教學要求，教學時，只要求掌握基本內容，基本思想和解題的基本方法即可。還要注意把類比、分類、歸納、概括、分析等方法貫穿到課堂中去。教學時，應充分挖掘這些數學思想方法，培養學生的能力。