第一篇：2011全國高中數學競賽講義-不等式的證明(練習題)

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§14不等式的證明

課后練習

1.選擇題

(1)方程x-y=105的正整數解有().（A）一組（B）二組（C）三組（D）四組

(2)在0,1,2,…，50這51個整數中，能同時被2，3，4整除的有（）.（A）3個（B）4個（C）5個（D）6個 2．填空題

（1）的個位數分別為_________及_________.4

5422(2)滿足不________.等式10?A?10的整數A的個數是x×10+1，則x的值(3)已知整數y被7除余數為5,那么y被7除時余數為________.(4)求出任何一組滿足方程x-51y=1的自然數解x和y_________.3.求三個正整數x、y、z滿足

23.4．在數列4，8，17，77，97，106，125，238中相鄰若干個數之和是3的倍數，而不是9的倍數的數組共有多少組？

5．求的整數解.6．求證可被37整除.7．求滿足條件的整數x，y的所有可能的值.數學教育網http://www.tmdps.cn 數學教育網---數學試題-數學教案-數學課件-數學論文-競賽試題-中高考試題信息http://www.tmdps.cn 8．已知直角三角形的兩直角邊長分別為l厘米、m厘米，斜邊長為n厘米，且l，m，n均為正整數，l為質數.證明：2（l+m+n）是完全平方數.9.如果p、q、、都是整數，并且p＞1，q＞1，試求p+q的值.課后練習答案

1.D.C.2.(1)9及1.(2)9.(3)4.(4)原方程可變形為x=(7y+1)+2y(y-7),令y=7可得x=50.223.不妨設x?y?z,則,故x?3.又有故x?2.若x=2,則,故y?6.又有,故y?4.若y=4,則z=20.若y=5,則z=10.若y=6,則z無整數解.若x=3,類似可以確定3?y?4,y=3或4,z都不能是整數.4.可仿例2解.5.分析：左邊三項直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式的對稱性，可用輪換的方法.．．

略解：a?b?2ab,同理b?c?2bc,c?a?2ca；三式相加再除以2即得證.評述：（1）利用基本不等式時，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項、連用等技巧.22xnx12x2如?????x1?x2???xn，可在不等式兩邊同時加上x2x3x1222322x2?x3???xn?x1.再如證(a?1)(b?1)(a?c)(b?c)?256abc(a,b,c?0)時，可連續使用基本不

33223等式.a?b2a2?b2)?（2）基本不等式有各種變式

如(等.但其本質特征不等式兩邊的次22數學教育網http://www.tmdps.cn 數學教育網---數學試題-數學教案-數學課件-數學論文-競賽試題-中高考試題信息http://www.tmdps.cn 數及系數是相等的.如上式左右兩邊次數均為2，系數和為1.6.8888≡8(mod37),∴8888333

3222

2≡8(mod37).2222

27777≡7(mod37),7777≡7(mod37),8888238+7=407,37|407,∴37|N.22

3+7777

3333

≡(8+7)(mod37),而

237.簡解:原方程變形為3x-(3y+7)x+3y-7y=0由關于x的二次方程有解的條件△?0及y為整數可得0?y?5,即y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程僅有兩組解(4,5)、(5,4).8.∵l+m=n,∴l=(n+m)(n-m).∵l為質數,且n+m＞n-m＞0,∴n+m=l,n-m=1.于是2222l=n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l-1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l+2l+1=(l+1).即2(l+m+1)是完全平方數.222

229.易知p≠q,不妨設p＞q.令(4-mn)p=m+2,解此方程可得p、q之值.=n,則m＞n由此可得不定方程數學教育網http://www.tmdps.cn

第二篇：2011全國高中數學競賽講義-不等式的證明(練習題)

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§14不等式的證明

課后練習

1.選擇題

(1)方程x-y=105的正整數解有().（A）一組（B）二組（C）三組（D）四組

(2)在0,1,2,…，50這51個整數中，能同時被2，3，4整除的有（）.（A）3個（B）4個（C）5個（D）6個

2．填空題

（1）的個位數分別為_________及_________.45422(2)滿足不

________.等式10?A?10的整數A的個數是x×10+1，則x的值

(3)已知整數y被7除余數為5,那么y被7除時余數為________.(4)求出任何一組滿足方程x-51y=1的自然數解x和y_________.3.求三個正整數x、y、z滿足

3.4．在數列4，8，17，77，97，106，125，238中相鄰若干個數之和是3的倍數，而不是9的倍數的數組共有多少組？

5．求的整數解.6．求證可被37整除.7．求滿足條件的整數x，y的所有可能的值.數學教育網http://

8．已知直角三角形的兩直角邊長分別為l厘米、m厘米，斜邊長為n厘米，且l，m，n均為正整數，l為質數.證明：2（l+m+n）是完全平方數.9.如果p、q、、都是整數，并且p＞1，q＞1，試求p+q的值.課后練習答案

1.D.C.2.(1)9及1.(2)9.(3)4.(4)原方程可變形為x=(7y+1)+2y(y-7),令y=7可得x=50.2

23.不妨設x?y?z,則,故x?3.又有故x?2.若x=2,則,故y?6.又有,故y?4.若y=4,則z=20.若y=5,則z=10.若y=6,則z無整數解.若x=3,類似可以確定3?y?4,y=3或4,z都不能是整數.4.可仿例2解.5.分析：左邊三項直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式的對稱性，可用輪換的方法.．．

略解：a?b?2ab,同理b?c?2bc,c?a?2ca；三式相加再除以2即得證.評述：（1）利用基本不等式時，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項、連用等技巧.如x1222232

2x2?x22x3???xn2x1?x1?x2???xn，可在不等式兩邊同時加上

x2?x3???xn?x1.再如證(a?1)(b?1)(a?c)(b?c)?256abc(a,b,c?0)時，可連續使用基本不3322

3等式.（2）基本不等式有各種變式如(a?b

2)?2a?b

222等.但其本質特征不等式兩邊的次

數及系數是相等的.如上式左右兩邊次數均為2，系數和為1.6.8888≡8(mod37),∴8888

33332222≡8(mod37).222227777≡7(mod37),7777≡7(mod37),8888

238+7=407,37|407,∴37|N.223+77773333≡(8+7)(mod37),而237.簡解:原方程變形為3x-(3y+7)x+3y-7y=0由關于x的二次方程有解的條件△?0

及y為整數可得0?y?5,即y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程僅有兩組解(4,5)、(5,4).8.∵l+m=n,∴l=(n+m)(n-m).∵l為質數,且n+m＞n-m＞0,∴n+m=l,n-m=1.于是2222l=n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l-1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l+2l+1=(l+1).即2(l+m+1)是完全平方數.2222

29.易知p≠q,不妨設p＞q.令

(4-mn)p=m+2,解此方程可得p、q之值.=n,則m＞n由此可得不定方程

第三篇：2011全國高中數學競賽講義-抽屜原理(練習題)

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§23抽屜原理

課后練習

?1．幼兒園買來了不少白兔、熊貓、長頸鹿塑料玩具，每個小朋友任意選擇兩件，那么不管怎樣挑選，在任意七個小朋友中總有兩個彼此選的玩具都相同，試說明道理.?2．正方體各面上涂上紅色或藍色的油漆（每面只涂一種色），證明正方體一定有三個面顏色相同.3．把1到10的自然數擺成一個圓圈，證明一定存在在個相鄰的數，它們的和數大于17.4．有紅襪2雙，白襪3雙，黑襪4雙，黃襪5雙，藍襪6雙（每雙襪子包裝在一起）若取出9雙，證明其中必有黑襪或黃襪2雙.5．在邊長為1的正方形內，任意給定13個點，試證：其中必有4個點，以此4點為頂點的四邊開面積不超過

（假定四點在一直線上構成面積為零的四邊形）.6．在一條筆直的馬路旁種樹，從起點起，每隔一米種一棵樹，如果把三塊“愛護樹木”的小牌分別掛在三棵樹上，那么不管怎樣掛，至少有兩棵掛牌的樹之間的距離是偶數（以米為單位），這是為什么？

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1.解 從三種玩具中挑選兩件，搭配方式只能是下面六種：

（兔、兔），（兔、熊貓），（兔、長頸鹿），（熊貓、熊貓），（熊貓、長頸鹿），（長頸鹿、長頸鹿）

把每種搭配方式看作一個抽屜，把7個小朋友看作物體，那么根據原則1，至少有兩個物體要放進同一個抽屜里，也就是說，至少兩人挑選玩具采用同一搭配方式，選的玩具相同.原則2 如果把mn+k(k≥1)個物體放進n個抽屜，則至少有一個抽屜至多放進m+1個物體.證明同原則相仿.若每個抽屜至多放進m個物體,那么n個抽屜至多放進mn個物體,與題設不符，故不可能.原則1可看作原則2的物例（m=1）

2.證明把兩種顏色當作兩個抽屜，把正方體六個面當作物體，那么6=2×2+2，根據原則二，至少有三個面涂上相同的顏色.3.證明 如圖12-1，設a1，a2，a3，?，a9，a10分別代表不超過10的十個自然數，它們圍成一個圈，三個相鄰的數的組成是（a1，a2，a3），（a2，a3，a4），（a3，a4，a5），?,（a9，a10，a1）,（a10，a1，a2）共十組.現把它們看作十個抽屜，每個抽屜的物體數是a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5，?a9+a10+a1，a10+a1+a2,由于

（a1+a2+a3）+（a2+a3+a4）+?+（a9+a10+a1）+（a10+a1+a2）=3(a1+a2+?+a9+a10)=3×(1+2+?+9+10)

根據原則2,至少有一個括號內的三數和不少于17,即至少有三個相鄰的數的和不小于17.原則

1、原則2可歸結到期更一般形式：

原則3把m1+m2+?+mn+k(k≥1)個物體放入n個抽屜里，那么或在第一個抽屜里至少放入m1+1個物體，或在第二個抽屜里至少放入m2+1個物體，??，或在第n個抽屜里至少放入mn+1個物體.數學教育網http://www.tmdps.cn 數學教育網---數學試題-數學教案-數學課件-數學論文-競賽試題-中高考試題信息http://www.tmdps.cn 證明假定第一個抽屜放入物體的數不超過m1個，第二個抽屜放入物體的數不超過m2個，??，第n個抽屜放入物體的個數不超過mn，那么放入所有抽屜的物體總數不超過m1+m2+?+mn個，與題設矛盾.4.證明 除可能取出紅襪、白襪3雙外.還至少從其它三種顏色的襪子里取出4雙，根據原理3，必在黑襪或黃襪、藍襪里取2雙.上面數例論證的似乎都是“存在”、“總有”、“至少有”的問題，不錯，這正是抽屜原則的主要作用.需要說明的是，運用抽屜原則只是肯定了“存在”、“總有”、“至少有”，卻不能確切地指出哪個抽屜里存在多少.制造抽屜是運用原則的一大關鍵

首先要指出的是，對于同一問題，常可依據情況，從不同角度設計抽屜，從而導致不同的制造抽屜的方式.5.證明如圖12-2把正方形分成四個相同的小正方形.因13=3×4+1，根據原則2，總有4點落在同一個小正方形內（或邊界上），以此4點為頂點的四邊形的面積不超過小正方形的面積，也就不超過整個正方形面積的.事實上，由于解決問題的核心在于將正方形分割成四個面積相等的部分，所以還可以把正方形按圖12-3（此處無圖）所示的形式分割.合理地制造抽屜必須建立在充分考慮問題自身特點的基礎上.6.解如圖12-4（設掛牌的三棵樹依次為A、B、C.AB=a，BC=b，若a、b中有一為偶數，命題得證.否則a、b均為奇數，則AC=a+b為偶數，命題得證.下面我們換一個角度考慮：給每棵樹上編上號，于是兩棵樹之間的距離就是號碼差，由于樹的號碼只能為奇數和偶數兩類，那么掛牌的三棵樹號碼至少有兩個同為奇數或偶數，它們的差必為偶數，問題得證.數學教育網http://www.tmdps.cn 數學教育網---數學試題-數學教案-數學課件-數學論文-競賽試題-中高考試題信息http://www.tmdps.cn 后一證明十分巧妙，通過編號碼，將兩樹間距離轉化為號碼差.這種轉化的思想方法是一種非常重要的數學方法

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第四篇：不等式證明練習題

不等式證明練習題

(1/a+2/b+4/c)*1

=(1/a+2/b+4/c)*(a+b+c)

展開，得

=1+2a/b+4a/c+b/a+2+4b/c+c/a+2c/b+4

=7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b

基本不等式，得

>=19>=18用柯西不等式：(a+b+c)(1/a+2/b+4/c)≥(1+√2+2)^2=(3+√2)^2

=11+6√2≥18

樓上的，用基本不等式要考慮等號什么時候成立，而且如果你的式子里7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b直接用基本不等式得出的并不是≥18設ab=x,bc=y,ca=z

則原不等式等價于：

x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx

<=>2(x^2+y^2+z^2)>=2(xy+yz+zx)

<=>(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)>=0

<=>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0

含有絕對值的不等式練習。1.關于實數x的不等式|x-|7|x+1|成立的前提條件是：x7x+7,-1-7x-7,x>-2，因此有：-20的解，∵a<0，不等式變形為x2+x-<0，它與不等式x2+x+<0比較系數得：a=-4,b=-9.函數y=arcsinx的定義域是，值域是，函數y=arccosx的定義域是，值域是，函數y=arctgx的定義域是R，值域是.，函數y=arcctgx的定義域是R，值域是(0,π).直接求函數的值域困難時，可以利用已學過函數的有界性，來確定函數的值域。函數公式模型。一個函數是奇(偶)函數，其定義域必關于原點對稱，它是函數為奇(偶)函數的必要條件.若函數的定義域不關于原點對稱，則函數為非奇非偶函數.(1/a+2/b+4/c)*1

=(1/a+2/b+4/c)*(a+b+c)

展開，得

=1+2a/b+4a/c+b/a+2+4b/c+c/a+2c/b+4

=7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b

基本不等式，得

>=19>=18用柯西不等式：(a+b+c)(1/a+2/b+4/c)≥(1+√2+2)^2=(3+√2)^2

=11+6√2≥18

樓上的，用基本不等式要考慮等號什么時候成立，而且如果你的式子里7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b直接用基本不等式得出的并不是≥18設ab=x,bc=y,ca=z

則原不等式等價于：

x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx

<=>2(x^2+y^2+z^2)>=2(xy+yz+zx)

<=>(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)>=0

<=>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0

含有絕對值的不等式練習。1.關于實數x的不等式|x-|7|x+1|成立的前提條件是：x7x+7,-1-7x-7,x>-2，因此有：-20的解，∵a<0，不等式變形為x2+x-<0，它與不等式x2+x+<0比較系數得：a=-4,b=-9.函數y=arcsinx的定義域是，值域是，函數y=arccosx的定義域是，值域是，函數y=arctgx的定義域是R，值域是.，函數y=arcctgx的定義域是R，值域是(0,π).直接求函數的值域困難時，可以利用已學過函數的有界性，來確定函數的值域。函數公式模型。一個函數是奇(偶)函數，其定義域必關于原點對稱，它是函數為奇(偶)函數的必要條件.若函數的定義域不關于原點對稱，則函數為非奇非偶函數.

第五篇：不等式證明練習題

11n??恒成立，則n的最大值是（）a?bb?ca?c

A．2B．3C．4D．6 1．設a?b?c,n?N，且

x2?2x?22． 若x?(??,1)，則函數y?有（）2x?

2A．最小值1B．最大值1C．最大值?1D．最小值?

13．設P?

Q?

R?P,Q,R的大小順序是（）

A．P?Q?RB．P?R?QC．Q?P?RD．Q?R?P

4．設不等的兩個正數a,b滿足a?b?a?b，則a?b的取值范圍是（）

A．(1,??)B．(1,)C．[1,]D．(0,1)

?5．設a,b,c?R，且a?b?c?1，若M?(?1)(?1)(?1)，則必有（）332243431

a1b1c

A．0?M?11B．?M?1C．1?M?8D．M?8 88

6．若a,b?

R?，且a?b,M?

N?M與N的大小關系是A．M?NB．M?NC．M?ND．M?N

1．若logxy??2，則x?y的最小值是（）

33223A．B．C．22

3?2．a,b,c?R，設S?3D．232 abcd???，a?b?cb?c?dc?d?ad?a?b

則下列判斷中正確的是（）

A．0?S?1B．1?S?2C．2?S?3D．3?S?

43．若x?1，則函數y?x?116x?的最小值為（）xx2?1

A．16B．8C．4D．非上述情況

4．設b?a?0，且P?a?b，M? N?，R?Q?112?ab2

則它們的大小關系是（）

A．P?Q?M?N?RB．Q?P?M?N?R

C．P?M?N?Q?RD．P?Q?M?R?N

二、填空題

1．函數y?3x(x?0)的值域是.2x?x?

12．若a,b,c?R?，且a?b?c?1，則a??的最大值是

3．已知?1?a,b,c?1，比較ab?bc?ca與?1的大小關系為4．若a?

0，則a?1a5．若x,y,z是正數，且滿足xyz(x?y?z)?1，則(x?y)(y?z)的最小值為______。

1．設x?0，則函數y?3?3x?1的最大值是__________。x

2．比較大小：log34______log67

3．若實數x,y,z滿足x?2y?3z?a(a為常數)，則x2?y2?z2的最小值為

4．若a,b,c,d是正數，且滿足a?b?c?d?4，用M表示

a?b?c,a?b?d,a?c?d,b?c?d中的最大者，則M的最小值為__________。

5．若x?1,y?1,z?1,xyz?10，且xlgx?ylgy?zlgz?10，則x?y?z?_____。

1．若a?b?0，則a?1的最小值是_____________。b(a?b)

abb?ma?n, , , 按由小到大的順序排列為baa?mb?n2．若a?b?0,m?0,n?0，則

223．已知x,y?0，且x?y?1，則x?y的最大值等于_____________。

1111??????，則A與1的大小關系是_____________。210210?1210?2211?1

125．函數f(x)?3x?2(x?0)的最小值為_____________。x4．設A?

三、解答題

1．已知a?b?c?1，求證：a?b?c?

2221 3

．解不等式x?7?3x?4??0

3．求證：a?b?ab?a?b?1

．證明：1)?1

1．如果關于x的不等式x?3?x?4?a的解集不是空集，求參數a的取值范圍。

22?...??a?b?c2

?3

3．當n?3,n?N時，求證：2n?2(n?1)

4．已知實數a,b,c滿足a?b?c，且有a?b?c?1,a2?b2?c2?1，求證：1?a?b?

1． 設a,b,c?R?，且a?b?c，求證：a?b?c

2．已知a?b?c?d，求證：

?3．已知a,b,c?R，比較a?b?c與ab?bc?ca的大小。3332224 32323231119??? a?bb?cc?aa?d

．求函數y?

5．已知x,y,z?R，且x?y?z?8,x?y?z?24

求證：

222444?x?3,?y?3,?z?3 333