第一篇：專升本高等數學(二)

成人高考（專升本）高等數學二

第一章極限和連續

第一節極限

[復習考試要求]

1.了解極限的概念（對極限定義等形式的描述不作要求）。會求函數在一點處的左極限與右極限，了解函數在一點處極限存在的充分必要條件。2.了解極限的有關性質，掌握極限的四則運算法則。

3.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質、無窮小量與無窮大量的關系。會進行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價）。會運用等價無窮小量代換求極限。

4.熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。

第二節函數的連續性

[復習考試要求]

1.理解函數在一點處連續與間斷的概念，理解函數在一點處連續與極限存在之間的關系，掌握判斷函數（含分段函數）在一點處連續性的方法。2.會求函數的間斷點。

3.掌握在閉區間上連續函數的性質會用它們證明一些簡單命題。

4.理解初等函數在其定義區間上的連續性，會利用函數連續性求極限。

第二章一元函數微分學 第一節導數與微分

[復習考試要求]

1.理解導數的概念及其幾何意義，了解可導性與連續性的關系，會用定義求函數在一點處的導數。

2.會求曲線上一點處的切線方程與法線方程。

3.熟練掌握導數的基本公式、四則運算法則以及復合函數的求導方法。4.掌握隱函數的求導法與對數求導法。會求分段函數的導數。5.了解高階導數的概念。會求簡單函數的高階導數。

6.理解微分的概念，掌握微分法則，了解可微和可導的關系，會求函數的一階微分。

第二節導數的應用

[復習考試要求]

1.熟練掌握用洛必達法則求“0·∞”、“∞-∞”型未定式的極限的方法。

2.掌握利用導數判定函數的單調性及求函數的單調增、減區間的方法。會利用函數的單調性證明簡單的不等式。

3.理解函數極值的概念，掌握求函數的駐點、極值點、極值、最大值與最小值的方法，會解簡單的應用題。

4.會判斷曲線的凹凸性，會求曲線的拐點。5.會求曲線的水平漸近線與鉛直漸近線

第三章一元函數積分學

第一節不定積分

[復習考試要求]

1.理解原函數與不定積分的概念及其關系，掌握不定積分的性質。2.熟練掌握不定積分的基本公式。

3.熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（僅限三角代換與簡單的根式代換）。

4.熟練掌握不定積分的分部積分法。5.掌握簡單有理函數不定積分的計算。

第二節定積分及其應用

[復習考試要求]

1.理解定積分的概念及其幾何意義，了解函數可積的條件 2.掌握定積分的基本性質

3.理解變上限積分是變上限的函數，掌握對變上限積分求導數的方法。4.熟練掌握牛頓—萊布尼茨公式。

5.掌握定積分的換元積分法與分部積分法。

6.理解無窮區間的廣義積分的概念，掌握其計算方法。

7.掌握直角坐標系下用定積分計算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標軸旋轉所生成的旋轉體的體積。

第四章多元函數微分學

[復習考試要求]

1.了解多元函數的概念，會求二元函數的定義域。了解二元函數的幾何意義。2.了解二元函數的極限與連續的概念。

3.理解二元函數一階偏導數和全微分的概念，掌握二元函數的一階偏導數的求法。掌握二元函數的二階偏導數的求法，掌握二元函數的全微分的求法。4.掌握復合函數與隱函數的一階偏導數的求法。5.會求二元函數的無條件極值和條件極值。

6.會用二元函數的無條件極值及條件極值解簡單的實際問題。

第五章概率論初步

[復習考試要求]

1.了解隨機現象、隨機試驗的基本特點；理解基本事件、樣本空間、隨機事件的概念。

2.掌握事件之間的關系：包含關系、相等關系、互不相容關系及對立關系。3.理解事件之間并（和）、交（積）、差運算的意義，掌握其運算規律。4.理解概率的古典型意義，掌握事件概率的基本性質及事件概率的計算。5.會求事件的條件概率；掌握概率的乘法公式及事件的獨立性。

6.了解隨機變量的概念及其分布函數。

7.理解離散性隨機變量的意義及其概率分布掌握概率分布的計算方法。8.會求離散性隨機變量的數學期望、方差和標準差。

第一章極限和連續

第一節極限

[復習考試要求]

1.了解極限的概念（對極限定義等形式的描述不作要求）。會求函數在一點處的左極限與右極限，了解函數在一點處極限存在的充分必要條件。2.了解極限的有關性質，掌握極限的四則運算法則。

3.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質、無窮小量與無窮大量的關系。會進行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價）。會運用等價無窮小量代換求極限。

4.熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。[主要知識內容]

（一）數列的極限 1.數列

定義按一定順序排列的無窮多個數

稱為無窮數列，簡稱數列，記作{xn}，數列中每一個數稱為數列的項，第n項xn為數列的一般項或通項，例如

（1）1，3，5，?，（2n-1），?（等差數列）（2）（3）（等比數列）（遞增數列），?（震蕩數列）（4）1，0，1，0，?都是數列。它們的一般項分別為（2n-1）,。

對于每一個正整數n，都有一個xn與之對應，所以說數列{xn}可看作自變量n的函數xn=f（n），它的定義域是全體正整數，當自變量n依次取1,2,3?一切正整

數時，對應的函數值就排列成數列。

在幾何上，數列{xn}可看作數軸上的一個動點，它依次取數軸上的點x1,x2,x3,...xn,?。2.數列的極限

定義對于數列{xn}，如果當n→∞時，xn無限地趨于一個確定的常數A，則稱當n趨于無窮大時，數列{xn}以常數A為極限，或稱數列收斂于A，記作

比如：

無限的趨向0，無限的趨向1 否則，對于數列{xn}，如果當n→∞時，xn不是無限地趨于一個確定的常數，稱數列{xn}沒有極限，如果數列沒有極限，就稱數列是發散的。比如：1，3，5，?，（2n-1），? 1，0，1，0，?

依次用數軸上的點表示，若數數列極限的幾何意義：將常數A及數列的項列{xn}以A為極限，就表示當n趨于無窮大時，點xn可以無限靠近點A，即點xn與點A之間的距離|xn-A|趨于0。比如：

無限的趨向0 無限的趨向1

（二）數列極限的性質與運算法則 1.數列極限的性質

定理1.1（惟一性）若數列{xn}收斂，則其極限值必定惟一。

定理1.2（有界性）若數列{xn}收斂，則它必定有界。

注意：這個定理反過來不成立，也就是說，有界數列不一定收斂。比如： 1，0，1，0，?

有界：0，1 2.數列極限的存在準則

定理1.3（兩面夾準則）若數列{xn},{yn},{zn}滿足以下條件：（1）（2），則，定理1.4若數列{xn}單調有界，則它必有極限。3.數列極限的四則運算定理。定理1.5

（1）（2）（3）當時，（三）函數極限的概念 1.當x→x0時函數f（x）的極限（1）當x→x0時f（x）的極限

定義對于函數y=f（x），如果當x無限地趨于x0時，函數f（x）無限地趨于一個常數A，則稱當x→x0時，函數f（x）的極限是A，記作

或f（x）→A（當x→x0時）

例y=f（x）=2x+1 x→1,f（x）→? x<1x→1

x>1x→1

（2）左極限

當x→x0時f（x）的左極限

定義對于函數y=f（x），如果當x從x0的左邊無限地趨于x0時，函數f（x）無限地趨于一個常數A，則稱當x→x0時，函數f（x）的左極限是A，記作

或f（x0-0）=A（3）右極限

當x→x0時，f（x）的右極限

定義對于函數y=f（x），如果當x從x0的右邊無限地趨于x0時，函數f（x）無限地趨于一個常數A，則稱當x→x0時，函數f（x）的右極限是A，記作

或f（x0+0）=A 例子：分段函數，求，解：當x從0的左邊無限地趨于0時f（x）無限地趨于一個常數1。我們稱當x→0時，f（x）的左極限是1，即有

當x從0的右邊無限地趨于0時，f（x）無限地趨于一個常數-1。我們稱當x→0時，f（x）的右極限是-1，即有

顯然，函數的左極限系：

定理1.6當x→x0時，函數f（x）的極限等于A的必要充分條件是

反之，如果左、右極限都等于A，則必有

x→1時f(x)→? x≠1x→1f(x)→2

對于函數，當x→1時，f（x）的左極限是2，右極限也是2。

右極限

與函數的極限

之間有以下關

2.當x→∞時，函數f（x）的極限（1）當x→∞時，函數f（x）的極限 y=f(x)x→∞f(x)→? y=f(x)=1+ x→∞f(x)=1+→1

定義對于函數y=f（x），如果當x→∞時，f（x）無限地趨于一個常數A，則稱

當x→∞時，函數f（x）的極限是A，記作

或f（x）→A（當x→∞時）

（2）當x→+∞時，函數f（x）的極限

定義對于函數y=f（x），如果當x→+∞時，f（x）無限地趨于一個常數A，則稱當x→+∞時，函數f（x）的極限是A，記作

這個定義與數列極限的定義基本上一樣，數列極限的定義中n→+∞的n是正整數；而在這個定義中，則要明確寫出x→+∞，且其中的x不一定是正整數，而為任意實數。

y=f(x)x→+∞f(x)x→？

x→+∞，f(x)=2+→2

例：函數f（x）=2+e-x，當x→+∞時，f（x）→？ 解：f（x）=2+e-x=2+，x→+∞，f（x）=2+→2 所以

（3）當x→-∞時，函數f（x）的極限

定義對于函數y=f（x），如果當x→-∞時，f（x）無限地趨于一個常數A，則稱當x→-∞時，f（x）的極限是A，記作

x→-∞f(x)→？ 則f(x)=2+(x＜0)x→-∞,-x→+∞

f(x)=2+→2

例：函數，當x→-∞時，f（x）→？

解：當x→-∞時，-x→+∞

→2，即有

由上述x→∞，x→+∞，x→-∞時，函數f（x）極限的定義，不難看出：x→∞時f（x）的極限是A充分必要條件是當x→+∞以及x→-∞時，函數f（x）有相同的極限A。例如函數，當x→-∞時，f（x）無限地趨于常數1，當x→+∞時，f（x）的極限是1，記作 也無限地趨于同一個常數1，因此稱當x→∞時

其幾何意義如圖3所示。

f(x)=1+

y=arctanx

不存在。

但是對函數y=arctanx來講，因為有

即雖然當x→-∞時，f（x）的極限存在，當x→+∞時，f（x）的極限也存在，但這兩個極限不相同，我們只能說，當x→∞時，y=arctanx的極限不存在。x)=1+

y=arctanx

不存在。

但是對函數y=arctanx來講，因為有

即雖然當x→-∞時，f（x）的極限存在，當x→+∞時，f（x）的極限也存在，但這兩個極限不相同，我們只能說，當x→∞時，y=arctanx的極限不存在。

（四）函數極限的定理

定理1.7（惟一性定理）如果存在，則極限值必定惟一。定理1.8（兩面夾定理）設函數滿足條件：（1），（2）

在點的某個鄰域內（可除外）則有。

注意：上述定理1.7及定理1.8對也成立。下面我們給出函數極限的四則運算定理 定理1.9如果（1）（2）

則

（3）當時，時，上述運算法則可推廣到有限多個函數的代數和及乘積的情形，有以下推論：

（1）（2）

（3）

用極限的運算法則求極限時，必須注意：這些法則要求每個參與運算的函數的極限存在，且求商的極限時，還要求分母的極限不能為零。另外，上述極限的運算法則對于的情形也都成立。

（五）無窮小量和無窮大量 1.無窮小量（簡稱無窮?。┒x對于函數常用希臘字母定理1.10函數，如果自變量x在某個變化過程中，函數

為無窮小量，一般記作，?來表示無窮小量。以A為極限的必要充分條件是： 的極限為零，則稱在該變化過程中，可表示為A與一個無窮小量之和。

注意：（1）無窮小量是變量，它不是表示量的大小，而是表示變量的變化趨勢無限趨于為零。

（2）要把無窮小量與很小的數嚴格區分開，一個很小的數，無論它多么小也不是無窮小量。

（3）一個變量是否為無窮小量是與自變量的變化趨勢緊密相關的。在不同的變化過程中，同一個變量可以有不同的變化趨勢，因此結論也不盡相同。例如：

振蕩型發散

（4）越變越小的變量也不一定是無窮小量，例如當x越變越大時，就越變越小，但它不是無窮小量。

（5）無窮小量不是一個常數，但數“0”是無窮小量中惟一的一個數，這是因為。

2.無窮大量（簡稱無窮大）定義；如果當自變量（或∞）時，的絕對值可以變得充分大（也即無。

或

。限地增大），則稱在該變化過程中，為無窮大量。記作注意：無窮大（∞）不是一個數值，“∞”是一個記號，絕不能寫成3.無窮小量與無窮大量的關系

無窮小量與無窮大量之間有一種簡單的關系，見以下的定理。

定理1.11在同一變化過程中，如果如果當當為無窮小量，且無窮大 無窮小 為無窮小，則

為無窮大量，則為無窮大量。

為無窮小量；反之，無窮大

4.無窮小量的基本性質

性質1有限個無窮小量的代數和仍是無窮小量；

性質2有界函數（變量）與無窮小量的乘積是無窮小量；特別地，常量與無窮小量的乘積是無窮小量。

性質3有限個無窮小量的乘積是無窮小量。

性質4無窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無窮小量。5.無窮小量的比較 定義設（1）如果（2）如果（3）如果（4）如果是同一變化過程中的無窮小量，即則稱

是比較高階的無窮小量，記作

。；

則稱與為同階的無窮小量； 則稱與則稱

為等價無窮小量，記為是比較低價的無窮小量。當

；

等價無窮小量代換定理：

如果當時存在，則又有。

均為無窮小

均為無窮小量，又有且

這個性質常常使用在極限運算中，它能起到簡化運算的作用。但是必須注意：等價無窮小量代換可以在極限的乘除運算中使用。常用的等價無窮小量代換有： 當時，sinx～x;tan～x;arctanx～x;arcsinx～x;

（六）兩個重要極限 1.重要極限Ⅰ

重要極限Ⅰ是指下面的求極限公式

令

這個公式很重要，應用它可以計算三角函數的其結構式為：

型的極限問題。

2.重要極限Ⅱ

重要極限Ⅱ是指下面的公式：

其中e是個常數（銀行家常數），叫自然對數的底，它的值為 e=2.7***045?? 其結構式為：

重要極限Ⅰ是屬于型的未定型式，重要極限Ⅱ是屬于“”型的未定式時，這兩個重要極限在極限計算中起很重要的作用，熟練掌握它們是非常必要的。

（七）求極限的方法：

1.利用極限的四則運算法則求極限； 2.利用兩個重要極限求極限； 3.利用無窮小量的性質求極限； 4.利用函數的連續性求極限；

5.利用洛必達法則求未定式的極限； 6.利用等價無窮小代換定理求極限?；緲O限公式

（2）（3）

（4）例1.無窮小量的有關概念

（1）[9601]下列變量在給定變化過程中為無窮小量的是 A.C.A.B.D.發散

[答]C

D.（2）[0202]當時，與x比較是 A.高階的無窮小量B.等價的無窮小量

C.非等價的同階無窮小量D.低階的無窮小量 [答]B 解:當,與x是

極限的運算： [0611]解：[答案]-1 例2.型因式分解約分求極限（1）[0208]解:

[答]

（2）[0621]計算解: 例3.型有理化約分求極限（1）[0316]計算解:

[答]

[答]

（2）[9516]解:

[答]

例4.當時求

型的極限 [答]

（1）[0308]

一般地，有

例5.用重要極限Ⅰ求極限

（1）[9603]下列極限中，成立的是A.B.C.D.[答]B（2）[0006]解:

例6.用重要極限Ⅱ求極限

（1）[0416]計算 [答]

[解析]解一：令

答]

[

解二：

[0306][0601]（2）[0118]計算

[答]

解:

例7.用函數的連續性求極限 [0407]解:，[答]0

例8.用等價無窮小代換定理求極限 [0317]解:當 [答]0

例9.求分段函數在分段點處的極限（1）[0307]設則在的左極限[答]1 [解析]

（2）[0406]設[解析] ,則

[答]1

例10.求極限的反問題（1）已知[解析]解法一：解法二：令得，解得.解法三：（洛必達法則）

即（2）若[解析]型未定式.當時，令 于是即所以[0402][0017][解析]，得

.則常數

，即，得，.求a,b的值..，得，..，則k=_____.（答:ln2）

前面我們講的內容：

極限的概念；極限的性質；極限的運算法則；兩個重要極限；無窮小量、無窮大量的概念；無窮小量的性質以及無窮小量階的比較。

第二節函數的連續性

[復習考試要求]

1.理解函數在一點處連續與間斷的概念，理解函數在一點處連續與極限存在之間的關系，掌握判斷函數（含分段函數）在一點處連續性的方法。2.會求函數的間斷點。

3.掌握在閉區間上連續函數的性質會用它們證明一些簡單命題。

4.理解初等函數在其定義區間上的連續性，會利用函數連續性求極限。[主要知識內容]

（一）函數連續的概念 1.函數在點x0處連續

定義1設函數y=f（x）在點x0的某個鄰域內有定義，如果當自變量的改變量△x（初值為x0）趨近于0時，相應的函數的改變量△y也趨近于0，即

則稱函數y=f（x）在點x0處連續。

函數y=f（x）在點x0連續也可作如下定義：

定義2設函數y=f（x）在點x0的某個鄰域內有定義，如果當x→x0時，函數y=f（x）的極限值存在，且等于x0處的函數值f（x0），即

定義3設函數y=f（x），如果，則稱函數f（x）在點x0處左連續；如果，則稱函數f（x）在點x0處右連續。由上述定義2可知如果函數y=f（x）在點x0處連續，則f（x）在點x0處左連續也右連續。2.函數在區間[a，b]上連續

定義如果函數f（x）在閉區間[a，b]上的每一點X處都連續，則稱f（x）在閉區間[a，b]上連續，并稱f（x）為[a，b]上的連續函數。這里，f（x）在左端點a連續，是指滿足關系：，在右端點b連續，是指滿足關系：，即f（x）在左端點a處是右連續，在右端點b處是左連續。

可以證明：初等函數在其定義的區間內都連續。3.函數的間斷點

定義如果函數f（x）在點x0處不連續則稱點x0為f（x）一個間斷點。由函數在某點連續的定義可知，若f（x）在點x0處有下列三種情況之一：（1）在點x0處，f（x）沒有定義；

（2）在點x0處，f（x）的極限不存在；（3）雖然在點x0處f（x）有定義，且，則點x0是f（x）一個間斷點。

存在，但，則f（x）在

A.x=0,x=1處都間斷B.x=0,x=1處都連續 C.x=0處間斷，x=1處連續 D.x=0處連續，x=1處間斷

解：x=0處，f（0）=0

∵f（0-0）≠f（0+0）x=0為f（x）的間斷點 x=1處，f（1）=1

f（1-0）=f（1+0）=f（1）∴f（x）在x=1處連續 ［答案］C [9703]設A.0 B.C.D.2 分析：f（0）=k，在x=0處連續，則k等于

［答案］B 例3[0209]設解：f（0）=e0=1

在x=0處連續，則a=

∵f（0）=f（0-0）=f（0+0）∴a=1 ［答案］1

（二）函數在一點處連續的性質

由于函數的連續性是通過極限來定義的，因而由極限的運算法則，可以得到下列連續函數的性質。

定理1.12（四則運算）設函數f（x），g（x）在x0處均連續，則（1）f（x）±g（x）在x0處連續（2）f（x）·g（x）在x0處連續（3）若g（x0）≠0，則在x0處連續。

定理1.13（復合函數的連續性）設函數u=g（x）在x=x0處連續，y=f（u）在u0=g（x0）處連續，則復合函數y=f[g（x）]在x=x0處連續。

在求復合函數的極限時，如果u=g（x），在x0處極限存在，又y=f（u）在對應的

定理1.14（反函數的連續性）設函數y=f（x）在某區間上連續，且嚴格單調增加（或嚴格單調減少），則它的反函數x=f-1（y）也在對應區間上連續，且嚴格單調增加（或嚴格單調減少）。

（三）閉區間上連續函數的性質

在閉區間[a，b]上連續的函數f（x），有以下幾個基本性質，這些性質以后都要用到。

定理1.15（有界性定理）如果函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，則f（x）必在[a，b]上有界。

定理1.16（最大值和最小值定理）如果函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，則在這個區間上一定存在最大值和最小值。

定理1.17（介值定理）如果函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，且其最大值和最小值分別為M和m，則對于介于m和M之間的任何實數C，在[a，b]上至少存

處連續，則極限符號可以與函數符號交換。即

在一個ξ，使得

推論（零點定理）如果函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，且f（a）與f（b）異號，則在[a，b]內至少存在一個點ξ，使得 f（ξ）=0

（四）初等函數的連續性

由函數在一點處連續的定理知，連續函數經過有限次四則運算或復合運算而得的函數在其定義的區間內是連續函數。又由于基本初等函數在其定義區間內是連續的，可以得到下列重要結論。

定理1.18初等函數在其定義的區間內連續。

利用初等函數連續性的結論可知：如果f（x）是初等函數，且x0是定義區間內的點，則

f（x）在x0處連續

也就是說，求初等函數在定義區間內某點處的極限值，只要算出函數在該點的函數值即可。［0407］

[0611]

例1.證明三次代數方程x3-5x+1=0在區間（0,1）內至少有一個實根.證：設f（x）=x3-5x+1 f（x）在［0，1］上連續 f（0）=1 f（1）=-3 由零點定理可知，至少存在一點ξ∈（0，1）使得f（ξ）=0，ξ3-5ξ+1=0 即方程在（0，1）內至少有一個實根。本章小結

函數、極限與連續是微積分中最基本、最重要的概念之一，而極限運算又是微積分的三大運算中最基本的運算之一，必須熟練掌握，這會為以后的學習打下良好的基礎。

這一章的內容在考試中約占15%，約為22分左右。現將本章的主要內容總結歸納如下：

一、概念部分

重點：極限概念，無窮小量與等價無窮小量的概念，連續的概念。

極限概念應該明確極限是描述在給定變化過程中函數變化的性態，極限值是一個確定的常數。

函數在一點連續性的三個基本要素：（1）f（x）在點x0有定義。（2）（3）存在。

常用的是f（x0-0）=f（x0+0）=f（x0）。

二、運算部分

重點：求極限，函數的點連續性的判定。1.求函數極限的常用方法主要有：（1）利用極限的四則運算法則求極限；

對于“”型不定式，可考慮用因式分解或有理化消去零因子法。（2）利用兩個重要極限求極限；

（3）利用無窮小量的性質求極限；（4）利用函數的連續性求極限； 若f（x）在x0處連續，則。

（5）利用等價無窮小代換定理求極限；（6）會求分段函數在分段點處的極限；（7）利用洛必達法則求未定式的極限。

2.判定函數的連續性，利用閉區間上連續函數的零點定理證明方程的根的存在性。

第二篇：成人高考高等數學二

成人高考高等數學復習及考試方法

考生要在成人高考中取得好成績，必須深刻理解《復習考試大綱》所規定的內容及相關的考核要求，在知識內容上要分清主次、突出重點。在考核要求方面，弄清要求的深度和廣度。要全面復習、夯實基礎，要將相關知識點進行橫向和縱向的梳理，建立知識網絡，對考試大綱所列知識點，力求做到心中有數、融會貫通。

高數一大綱提示（總分150分、考試時間150分鐘、閉卷、筆試）：

高數二大綱提示（總分150分、考試時間150分鐘、閉卷、筆試）：

一元函數、極限連續大概占20多分，這些都是每年必須要考到的。一元微積分、微分學，這個占得挺多的，大概占40—50%。如果要是高數二，知識面考得少一些，集中一些，但是題的分量就重一些，比如說每年有二元的微積分，多元函數的微積分，這里面可能會出現比較難、刁鉆一些的題。高數

一、數二，不像高中起點的，可能差異稍稍大一點?？忌梢愿鶕煌膶I、考試類別，不管怎么樣，前面的一元函數、極限、一元函數的微分、積分是一個基本的東西，也是最拿分的東西，一定要把它們做熟了。比如說求極限的幾種方式，求微分的幾種方式，以及求倒數，都會面面俱到，學員還是要把握住歷年的考題，把握住大綱的要求，把握住考試卷，就應該能把握住會考什么。

1、注意以《大綱》為依據。

弄清《高等數學》

（一）和《高等數學》(二)在知識內容及相關考核要求上的區別。這種區別主要體現在兩個方面：其一是在共有知識內容方面，同一章中要求掌握的知識點，或同一知識點要求掌握的程度不盡相同。如在一元函數微分學中，《高等數學》(一)要求掌握求反函數的導數、掌握求由參數方程所確定的函數的求導方法，會求簡單函數的n階導數，理解羅爾定理、拉格朗日中值定理，但上述知識點對《高等數學》(二)并不做要求；又如在一元函數積分學中，《高等數學》(一)要求掌握三角換元求不定積分，其中包括正弦變換、正切變換和正割變換，而《高等數學》(二)對正割變換不做考核要求。

其二是在不同的知識內容方面，《高等數學》

（一）考核內容中有二重積分，而《高等數學》(二)對二重積分并不做考核要求；再有《高等數學》

（一）有無窮級數、常微分方程，高數(二)均不做要求。從試卷中可以看出，高等數學

（一）比《高等數學》(二)多出來的這部分知識點，在考題中大約能占到30%的比例。共計45分左右。所以理科、工科類考生應按照《大綱》的要求全面認真復習。

2、對概念的理解。

考生要加強對高等數學中基本概念、基本方法和基本技能的理解和掌握，要努力提高運用數學知識分析問題和解決問題的能力，特別是綜合運用知識解決實際問題的能力。

3、要在學習方法上追求學習效益。

加強練習，注重解題思路和解題技巧的培養和訓練，對基本概念、基本理論、基本性質能進行多側面、多層次、由此及彼、由表及里的思索和辨析，對基本公式、基本方法、基本技能要進行適度、適量的練習，在練習中加強理解和記憶，理解和記憶是相輔相承的，理解中加深記憶，記憶有助于更深入地理解，死記硬背是暫時的，只有理解愈深，才能記憶愈牢。

4、加強練習

熟悉考試中各種題型，要掌握選擇題、填空題和解答題等不同題型的解題方法與技巧。練習中要注意分析、總結、歸納、類比，掌握思考問題和處理問題的正確方法，尋求一般性的解題規律，從而提高解題能力。

在專升本考試中，《高等數學》是一門重要的公共基礎課程，也是考試成績上升空間較大的一門課程。學好數學同學好其他學科一樣，都要付出辛勤的汗水和艱辛的努力。

5、考前一個月沖刺備考建議 還有1個多月的時間，要是在這段時間里面設計一個自己復習計劃，至少在前十天看看題，一步一個腳印踏踏實實的掌握這些概念、公式?？荚囍霸摫车囊?，要上口背，這樣不容易忘。有的公式是根據特點去背，包括三角函數公式、導數公式、微積分的公式，這些都得背下來。不但背公式，還得掌握方法，方法如果會的話可以復習一下，如果不會的話可以從模仿入手。能夠把公式運用起來，多做幾道題對公式的運用和內涵就了解了。這個時候可以做一些做過的題，或者是做一些自己能做的題，不要摳難題。難題之所以難有兩條，一個是綜合性強，一個是技巧性。綜合性太強的話，如果知識學的不牢固的話，我們還沒有適應綜合性的能力，往往會使你喪失信心。如果技巧性太強，技巧也有基本的方法，也有一些特殊的技巧。前兩年專升本也好，高中起點也好，都可能從里面出一些小技巧的東西，這也是想把一般考生和好的考生區分開來，增加試卷區分度，如果過分強調技巧，往往會在基本概念里面丟分，這樣會得不償失。所以說基本的東西不能丟。做一做常見的題，做一做做過的題，做一做會做的題，溫故而知新，做過的題要做懂了?？忌盐兆∵@兩條，應該可以在考試中取得好成績。

6、最后這段時間，單靠記公式行不行？

公式必須得會，歷年考得就那么幾道類型題，都弄會了也不是很難。建議考生循序漸進，一步一步的走，如果跳躍式學習，會覺得力不從心。所以一步一步的走，走到那兒是哪兒，這沒關系，如果非得滿分的話，也不現實，把自己會做的分都做出來。

7、考試過程中需要注意哪些地方

因為很多學員的高數學學習起來比較倉促，沒有像高中或者初中的數學學習那么扎實，沒做那么多作業，運算錯誤率特別高。有些比較相近的公式也容易記錯了，這就會造成不應該丟的分丟了，會做的題目，知道怎么做，就要仔細。平時可能一分丟了，還看不出來不覺得，但考試的時候不是這樣，這是要丟分的。還是要盡量少有失誤，爭取每做一道題，對一道題，不求做的多，只求做的準確。

8、基本公式

一、基本初等函數

1.常數函數： y=c，(c為常數)2.冪函數： y=xn ,(n為實數)3.指數函數： y=ax ,(a＞0、a≠1)4.對數函數： y=loga x ,(a＞0、a≠1)5.三角函數： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函數：y=arcsin x, y=arccon x 二、三角函數公式 1 兩角和公式 1 2

倍角公式 半角公式

4、和差化積

三、兩個重要極限

四、導數與微分 1 求導與微分法則1、2、3、（u +v）’=u’+ v’ 導數及微分公式

五、不定積分表（基本積分）

1、

第三篇：成人高考專升本高等數學二概念和筆記公式

成人高考專升本高等數學二概念和筆記公式

第一章節公式

由

（1）對數的性質：

①負數和零沒有對數；②1的對數是零；③底數的對數等于1。

（2）對數的運算法則：

①

②

③

④

3、對數換底公式：

由換底公式推出一些常用的結論：

（1）

（2）

（3）

（4）

三角函數的單調區間：的遞增區間是，遞減區間是；的遞增區間是，遞減區間是，的遞增區間是，數列極限的四則運算法則

如果那么

推廣：上面法則可以推廣到有限多個數列的情況。例如，若，有極限，則：

特別地，如果C是常數，那么

函數極限的四算運則

如果那么

推論設都存在，為常數，為正整數，則有：

無窮小量的比較：

x與n同時趨向+￥

由夾擠準則

第二章節公式

1.導數的定義：

函數y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率是

＝，我們稱它為函數y＝f(x)在x＝x0處的導數，記作f′(x0)或y′|x＝x0即f′(x0)＝

.2．導數的幾何意義

函數f(x)在x＝x0處的導數就是切線的斜率k，即k＝

＝f′(x0)．

3．導函數(導數)

當x變化時，f′(x)便是x的一個函數，我們稱它為f(x)的導函數(簡稱導數)，y＝f(x)的導函數有時也記作y′，即f′(x)＝y′＝

.4．幾種常見函數的導數

(1)c′＝0(c為常數)，(2)(xn)′＝nxn－1(n∈Z)，(3)(ax)′＝axlna(a＞0,a1),(ex)′＝ex

(4)(lnx)′＝，(logax)′＝logae=(a＞0,a1)

(5)(sinx)′＝cosx，(6)(cosx)′＝－sinx

(7),(8)

(9),(10)

(11),(12)

5．函數的和、差、積、商的導數

(u±v)′＝u′±v′，(uv)′＝u′v＋uv′

′＝，(ku)′＝cu′(k為常數)．

(uvw)′＝u′vw＋uv′w+

uvw′

微分公式：

（1）

(7),(8)

(9),(10)

(11),(12)

6．微分的四算運則

d(u±v)＝du±dv，d(uv)＝v

du＋udv

d(ku)＝kdu(k為常數)．

洛必達法則：在一定條件下通過分子分母分別求導，再求極限來確定未定式的值的方法。

7.導數的應用：

=0的點為函數的駐點，求極值；

(1)時，;，;

(2)時，;，;

(3)

;

=0的點為函數的拐點，求凹凸區間；

第三章知識點概況

不定積分的定義：函數f(x)的全體原函數稱為函數f(x)的不定積分，記作，并稱為積分符號，函數為被積函數，為被積表達式，x為積分變量。

不定積分的性質：

基本積分公式：

換元積分（湊微分）法：

1.湊微分。對不定積分，將被積表達式g(x)dx湊成2.作變量代換。令3.用公式積分，并用換式中的u

常用的湊微分公式主要有：

分部積分法：適用于分部積分法求不定積分的常見題型及u和dv的選取法

上述式中的P（x)為x的多項式，a,b為常數。

一些簡單有理函數的積分，可以直接寫成兩個分式之和，或通過分子加減一項之后，很容易將其寫成一個整式與一個分式之和或兩個分式之和，再求出不定積分。

定積分:

(1)定積分的值是一個常數，它只與被積函數f(x)及積分區間[a,b]有關，而與積分變量的字母無關，即應有

（2）在定積分的定義中，我們假定a

如果a=b,則規定：

（3）對于定義在上的連續奇（偶）函數，有

為奇函數

為偶函數

定積分的性質：

定積分的計算：

一、變上限函數

設函數在區間上連續，并且設x為上的任一點，于是，在區間上的定積分為

這里x既是積分上限，又是積分變量，由于定積分與積分變量無關，故可將此改為

如果上限x在區間上任意變動，則對于每一個取定的x值，定積分有一個確定值與之對應，所以定積分在上定義了一個以x為自變量的函數，我們把稱為函數在區間上變上限函數

記為

推理：

定積分計算公式

利用定義計算定積分的值是十分麻煩的，有時甚至無法計算。因此，必須尋求計算定積分的簡便方法。

我們知道：如果物體以速度作直線運動，那么在時間區間上所經過的路程s為

圖

5-11

另一方面，如果物體經過的路程s是時間t的函數，那么物體從t=a到t=b所經過的路程應該是（見圖5-11）

即

由導數的物理意義可知：即是一個原函數，因此，為了求出定積分，應先求出被積函數的原函數，再求在區間上的增量即可。

如果拋開上面物理意義，便可得出計算定積分的一般方法：

設函數在閉區間上連續，是的一個原函數，即，則

這個公式叫做牛頓-萊布尼茲公式。

為了使用方便，將公式寫成牛頓-萊布尼茲公式通常也叫做微積分基本公式。它表示一個函數定積分等于這個函數的原函數在積分上、下限處函數值之差。它揭示了定積分和不定積分的內在聯系，提供了計算定積分有效而簡便的方法，從而使定積分得到了廣泛的應用。

定積分的換元公式：

計算要領是：定積分的分部積分法：

y

a

o

b

x

圖5.8

5.4.2定積分求平面圖形的面積

1.直角坐標系下面積的計算

(1)由曲線和直線所圍成曲邊梯形的面積的求法前面已經介紹，此處不再敘述.(2)求由兩條曲線，及直線所圍成平面的面積（如圖5.8所示）.下面用微元法求面積.①取為積分變量，.②在區間上任取一小區間，該區間上小曲邊梯形的面積可以用高，底邊為的小矩形的面積近似代替，從而得面積元素

.③寫出積分表達式，即

.⑶求由兩條曲線，及直線所圍成平

o

x

y

d

y+dy

y

c

面圖形（如圖5.9）的面積.這里取為積分變量，用類似

(2)的方法可以推出：

.例5.4.1

求由曲線與

圖5.9

所圍圖形的面積.解

先畫出所圍的圖形（如圖5.10）

由方程組，得兩條曲線的交點為，取為積分變量，.由公式得

.o

x

A(2,-2)

y

B(8,4)

圖5.11

o

x

y

A

(1,1)

圖5.10

例5.4.2

求曲線與所圍圖形的面積.解

畫出所圍的圖形（如圖5.11）.由方程組得兩條曲線的交點坐標為，取為積分變量，.將兩曲線方程分別改寫為得所求面積為

.注

本題若以為積分變量，由于圖形在兩個區間上的構成情況不同，因此需要分成兩部分來計算，其結果應為：

.顯然，對于例5.4.2選取作為積分變量，不如選取作為積分變量計算簡便.可見適當選取積分變量，可使計算簡化.3．定積分求體積

(1)旋轉體的體積

旋轉體是一個平面圖形繞這平面內的一條直線旋轉而成的立體.這條直線叫做旋轉軸.設旋轉體是由連續曲線和直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉一周而成（如圖5.15）.取為積分變量，它的變化區間為，在上任取一小區間，相應薄片的體積近似于以為底面圓半徑，為高的小圓柱體的體積，從而得到體積元素為，于是，所求旋轉體體積為

.o

a

x

x+dx

b

x

y

圖5.15

o

x

y

d

y+dy

y

y

圖5.16

c

類似地，由曲線和直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉一周而成（如圖5.16），所得旋轉體的體積為

.例5.4.5

求由橢圓繞軸及軸旋轉而成的橢球體的體積.解

(1)繞軸旋轉的橢球體如圖5.17所示,它可看作上半橢圓與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉而成.取為積分變量，由公式所求橢球體的體積為

.(2)繞軸旋轉的橢球體,可看作右半橢圓與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉而成（如圖5.18所示）,取為積分變量，由公式所求橢球體體積為

b

o

x

y

圖5.18

.當時,上述結果為,這就是大家所熟悉的球體的體積公式.(2)平行截面面積為已知的立體體積

設一物體被垂直于某直線的平面所截的面積可求，則該物體可用定積分求其體積.不妨設直線為軸，則在處的截面面積是的已知連續函數，求該物體介于和之間的體積（如圖5.19）.o

a

x

x+dx

b

x

圖5.19

取為積分變量，它的變化區間為，在微小區間上近似不變，即把上的立體薄片近似看作

為底，為高的柱片，從而得

到體積元素.于是該物體的體積為.第四章知識點多元函數微分學

§4.1

偏導數與全微分

一.主要內容：

㈠.多元函數的概念

1.二元函數的定義：

2.二元函數的幾何意義：

二元函數是一個空間曲面。（而一元函數是平面上的曲線）

Z=ax+by+c表示一個平面；

表示球心在原點、半徑為R的上半個球面；，表示開口向上的圓錐面；，表示開口向上的旋轉剖物面。

㈡.二元函數的極限和連續：

1.極限定義：設z=f(x,y)滿足條件：

2.連續定義：設z=f(x,y)滿足條件：

㈢.偏導數：

㈣.全微分：

1.定義：z=f(x,y)

則稱

在點(x,y)處的全微分。

3.全微分與偏導數的關系

㈤.復全函數的偏導數：

1.2.㈥.隱含數的偏導數：

1.2.㈦.二階偏導數：

（八）隱函數的導數和偏導數

(九).二元函數的無條件極值

1.二元函數極值定義：

☆

極大值和極小值統稱為極值，極大值點和極小值點統稱為極值點。

2.極值的必要條件：

兩個一階偏導數存在，則：

而非充分條件。

例：

∴駐點不一定是極值點。

3.極值的充分條件：

求二元極值的方法：

二倍角公式：(含萬能公式)

①

②

③

④

⑤

第五章排列與組合（1）加法原理：完成一件事情與分類有關，即每一類各自獨立完成，此事即可完成。

（2）乘法原理：完成一件事情與步驟有關，即一次完成每一步驟，此事才能完成。

排列：從n個不同元素里，任取個元素，按照一定的順序排列成一列，稱為從n個不同元素里取出m個元素的一個排列，計算公式：

組合：從n個不同元素里，任取個元素組成一組，叫做從n個不同元素里取出m個元素的一個組合，組合總數記為，計算公式：

第六章概率論

符號

概率論

集合論

樣本空間

全集

不可能事件

空集

基本事件

集合的元素

A

事件

子集

A的對立事件

A的余集

事件A發生導致

事件B發生

A是B的子集

A=B

A與B兩事件相等

集合A與B相等

事件A與事件B

至少有一個發生

A與B的并集

事件A與事件B同時發生

A與B的交集

A-B

事件A發生而事件B不發生

A與B的差集

事件A與事件B互不相容

A與B沒有相同元素

由于隨機事件都可以用樣本空間中的某個集合來表示，于是事件間的關系和運算就可以用集合論的知識來討論和表示，為了直觀，可以用集合的韋恩圖來表示事件的各種關系和運算法則，一般用某個矩形區域表示樣本空間，該區域的一個子區域表示某個事件。于是各事件的關系運算如圖中的圖示所示。

各事件的關系運算如圖示：

9.完備事件組

n個事件，如果滿足下列條件：

（1）；

（2），則稱其為完備事件組。

顯然任何一個事件A與其對立事件構成完備事件組。

10.事件運算的運算規則：

（1）交換律

（2）結合律

（3）分配律

（4）對偶律

率的古典定義

定義：在古典概型中，若樣本空間所包含的基本事件總數為n，事件A包含的基本事件數為m，則事件A發生的概率為。

概率的基本性質與運算法則

性質1.0≤P(A)≤1

特別地，P(Φ)=0，P(Ω)=1

性質2.若，則P(B-A)=P(B)-P(A)

性質3.（加法公式）．對任意事件A，B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。

推論1.若事件A，B互不相容（互斥），則P(A+B)=P(A)+P(B)

推論2.對任一事件A,有

推論3.對任意事件A，B，C，有P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

條件概率、乘法公式、事件的獨立性

條件概率

定義1：設有事件A，B，且P(B)>0,稱

類似地，如果P(A)>0，則事件B對事件A的條件概率為

概率的乘法公式

乘法公式可推廣到有限多個事件的情況，例如對事件A,B,C,有

事件的獨立性

一般地說,P(A︱B)≠P(A)，即說明事件B的發生影響了事件A發生的概率。若P(A︱B)≠P(A)，則說明事件B的發生在概率意義下對事件A的發生無關,這時稱事件A，B相互獨立。

定義：對于事件A，B，若P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立。獨立試驗序列概型

在相同的條件下，獨立重復進行n次試驗，每次試驗中事件A可能發生或可能不發生，且事件A發生的概率為p，則在n次試驗中事件A恰好發生k次的概率為

一維隨機變量及其概率分布

（一）隨機變量

1.隨機變量

定義：設Ω為樣本空間，如果對每一個可能結果，變量X都有一個確定的實數值與之對應，則稱X為定義在Ω上的隨機變量，簡記作。

2.離散型隨機變量

定義：如果隨機變量X只能取有限個或無限可列個數值，則稱X為離散型隨機變量。

（二）分布函數與概率分布

1.分布函數

定義：設X是一個隨機變量，x是任意實數，則函數稱為隨機變量X的分布函數。

分布函數F(x)有以下性質：

（2）F(x)是x的不減函數，即對任意

（4）F(x)是右連續的，即

（5）對任意實數a＜b,有P{a＜X≤b}=F(b)-F(a)

2.離散型隨機變量的概率分布

則稱上式為離散型隨機變量X的概率分布（或概率函數或分布列）。

離散型隨機變量X的概率分布也可以用下列列表形式來表示：

3.分布函數與概率分布之間的關系

若X為離散型隨機變量，則。

隨機變量的數字特征

1.數學期望

（1）數學期望的概念

定義：設X為離散型隨機變量，其概率函數為

若級數絕對收斂，則稱為X的數學期望，簡稱期望或均值，記作EX，即

（2）數學期望的性質

①若C為常數，則E(C)=C

②若a為常數，則E(aX)=aE(X)

③若b為常數，則E(X+b)=E(X)+b

④若X,Y為隨機變量，則E(X+Y)=E(X)+E(Y)

2.方差

（1）方差的概念

定義：設X為隨機變量，如果存在，則稱為X的方差，記作DX，即

方差的算術平方根稱為均方差或標準差，對于離散型隨機變量X，如果X的概率函數為，則X的方差為

（2）方差的性質

①若C為常數，則D(C)=0

②若a為常數，則

③若b為常數，則D(X+b)=D(X)

④

1、數列極限的存在準則

定理1.3（兩面夾準則）若數列{xn},{yn},{zn}滿足以下條件：

（1），（2），則

定理1.4

若數列{xn}單調有界，則它必有極限。

2、數列極限的四則運算定理。

（1）

（2），（3）當時，3、當x→x0時，函數f（x）的極限等于A的必要充分條件是

這就是說：如果當x→x0時，函數f（x）的極限等于A，則必定有左、右極限都等于A。

反之，如果左、右極限都等于A，則必有。

4、函數極限的定理

定理1.7（惟一性定理）如果存在，則極限值必定惟一。

定理1.8（兩面夾定理）設函數在點的某個鄰域內（可除外）滿足條件：

（1），（2），則有。

推論

：（1）

（2），（3）

5、無窮小量的基本性質

性質1　有限個無窮小量的代數和仍是無窮小量；

性質2　有界函數（變量）與無窮小量的乘積是無窮小量；特別地，常量與無窮小量的乘積是無窮小量。

性質3　有限個無窮小量的乘積是無窮小量。

性質4　無窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無窮小量。

6、等價無窮小量代換定理：

如果當時，均為無窮小量，又有且存在，則。

7、重要極限Ⅰ

8、重要極限Ⅱ是指下面的公式：

9、（2）

（3）

（4）

10、函數在一點處連續的性質

由于函數的連續性是通過極限來定義的，因而由極限的運算法則，可以得到下列連續函數的性質。

定理1.12（四則運算）設函數f（x），g（x）在x0處均連續，則

（1）f（x）±g（x）

在x0處連續，（2）f（x）·g（x）在x0處連續

（3）若g（x0）≠0，則在x0處連續。

定理1.13（復合函數的連續性）設函數u=g（x）在x=

x0處連續，y=f（u）在u0=g（x0）處連續，則復合函數y=f[g（x）]在x=

x0處連續。

定理1.14（反函數的連續性）設函數y=f（x）在某區間上連續，且嚴格單調增加（或嚴格單調減少），則它的反函數x=f-1（y）也在對應區間上連續，且嚴格單調增加（或嚴格單調減少）

閉區間上連續函數的性質

在閉區間[a，b]上連續的函數f（x），有以下幾個基本性質，這些性質以后都要用到。

定理1.15（有界性定理）

如果函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，則f（x）必在[a，b]上有界。

定理1.16（最大值和最小值定理）如果函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，則在這個區間上一定存在最大值和最小值。

定理1.17（介值定理）如果函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，且其最大值和最小值分別為M和m，則對于介于m和M之間的任何實數C，在[a，b]上至少存在一個ξ，使得

f（ξ）=C11、閉區間上連續函數的性質

在閉區間[a，b]上連續的函數f（x），有以下幾個基本性質，這些性質以后都要用到。

定理1.15（有界性定理）

如果函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，則f（x）必在[a，b]上有界。

定理1.16（最大值和最小值定理）如果函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，則在這個區間上一定存在最大值和最小值。

定理1.17（介值定理）如果函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，且其最大值和最小值分別為M和m，則對于介于m和M之間的任何實數C，在[a，b]上至少存在一個ξ，使得

f（ξ）=C12、推論（零點定理）如果函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，且f（a）與f（b）異號，則在[a，b]內至少存在一個點ξ，使得

f（ξ）=013、初等函數的連續性

定理1.18　初等函數在其定義的區間內連續。

利用初等函數連續性的結論可知：如果f（x）是初等函數，且x0是定義區間內的點，則

f（x）在x0處連續

也就是說，求初等函數在定義區間內某點處的極限值，只要算出函數在該點的函數值即可。

14、可導與連續的關系

定理2.1　如果函數y=f（x）在點x0處可導，則它在x0處必定連續。

15、由這個定理可知：若函數f（x）在x0不連續，則f（x）在x0處必定不可導。

16、導數的計算

1.基本初等函數的導數公式

（1）（C）＇=0

（2）（xμ）＇=μxμ-1

（3）（4）

（5）（ax）＇=axlna（a＞0,a≠1）

（6）（ex）＇=ex

（7）（8）

（9）（sinx）＇=cosx

（10）（cosx）＇=

-sinx

（11）（12）

（13）（secx）＇=secx·tanx

（14）（cscx）＇=

-cscx·cotx

（15）（16）

（17）（18）

2.導數的四則運算法則

設u=u（x），v=v（x）均為x的可導函數，則有

（1）（u±v）＇=u＇±v＇

（2）（u·v）＇=u＇·v+u·v＇

（3）（cu）＇=c·u＇

（4）

（5）

（6）（u·v·w）＇=u＇·v·w+u·v＇·w+u·v·w＇

3.復合函數求導法則

如果u=φ（x）在點x處可導，而y=f（u）在相應的點u=φ（x）處可導，則復合函數y=f[φ（x）]在點x處可導，且其導數為

同理，如果y=f（u），u=φ（v），v=ψ（x），則復合函數y=f[φ（ψ（x））]的導數為

4.反函數求導法則

如果x=φ（y）為單調可導函數，則其反函數y=f（x）的導數

17、微分的計算

dy=f′(x)dx

求微分dy只要求出導數f′(x)再乘以dx，所以我們前面學過的求導基本公式與求導法則完全適用于微分的計算。于是有下列的微分公式及微分法則：

（1）d（c）=0（c為常數）

（2）（為任意實數）

（6）d（ex）=exdx

（7）d（sin

x）=cos

xdx

（8）d（cos

x）=-sin

xdx

（17）d（c·u）=cdu18、微分形式不變性

設函數y=f(u)，則不論u是自變量還是中間變量，函數的微分dy總可表示為

dy=f′(u)du19、常用的湊微分公式：

1）、②，③

④，⑤，⑥

①，②③，④，⑤

⑥?、?/p>

20、常用的換元類型有：

被積函數類型

所用代換

代換名稱

正弦代換

正切代換

根式代換

21、定積分的基本性質

（1）。（k為常數）。

（2）。

（3）。

（4）如果f（x）在區間[a,b]上總有f（x）≤g（x），則。

（5）

（6）設M和m分別為f（x）在區間[a,b]上的最大值和最小值，則有

（7）積分中值定理　如果f（x）在區間[a,b]上連續，則在區間[a,b]上至少存在一點，使得

22、變上限定積分求導定理

1.變上限定積分定義

定義

積分上限x為變量時的定積分稱為變上限定積分。變上限定積分是積分上限x的函數，記作，一般有

2.變上限定積分求導定理

定理

如果函數f（x）在區間[a,b]上連續，則有

推論?、?，②

③

23、計算定積分

1.牛頓——萊布尼茨公式

如果f(x)在區間[a,b]上的連續，且，則有

推論：(1)若f(x)為奇函數，則

(2)若f(x)為偶函數，則

2、定積分的分部積分法

24、定積分的應用

1.計算平面圖形的面積

(1)X型：曲線y=f(x)，y=g(x)(f(x)≥g(x))和直線x=a,x=b(a≤b)所圍成的平面圖形的面積A為。

(2)Y型：曲線和直線y=c,y=d(c≤d)，所圍成的平面圖形的面積A為。

2.旋轉體的體積

(1)X型

由連續曲線y=f(x)(f(x)≥0)和直線x=a,x=b(a

(2)Y型

由連續曲線和直線y=c,y=d(c

25、全微分

26、二元隱函數

設三元方程F(x,y,z)=0確定隱函數z=z(x,y)，如果F(x,y,z)對x,y,z存在連續偏導數，且，則z對x、y的偏導數為。

27、概率的基本性質與運算法則

性質1.0≤P(A)≤1，特別地，P(Φ)=0，P(Ω)=1

性質2.若，則P(B-A)=P(B)-P(A)

性質3.（加法公式）．對任意事件A，B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。

推論1.若事件A，B互不相容（互斥），則P(A+B)=P(A)+P(B)

推論2.對任一事件A,有

推論3.對任意事件A，B，C，有P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

28、條件概率

定義1：設有事件A，B，且P(B)>0,稱

29、概率的乘法公式，30、（1）數學期望的性質

①若C為常數，則E(C)=C，②若a為常數，則E(aX)=aE(X)

③若b為常數，則E(X+b)=E(X)+b?、苋鬤,Y為隨機變量，則E(X+Y)=E(X)+E(Y)

（2）方差的性質

①若C為常數，則D(C)=0；②若a為常數，則

③若b為常數，則D(X+b)=D(X)；

④

第四篇：成人高考專升本高等數學二概念和筆記公式

第一章

函數、極限和連續

§1.1

函數

一、主要內容

㈠

函數的概念

1.函數的定義:

y=f(x),x∈D

定義域:

D(f),值域:

Z(f).2.分段函數:

3.隱函數:

F(x,y)=

0

4.反函數:

y=f(x)

→

x=φ(y)=f-1(y)

y=f-1

(x)

定理:如果函數:

y=f(x),D(f)=X,Z(f)=Y

是嚴格單調增加(或減少)的；

則它必定存在反函數：

y=f-1(x),D(f-1)=Y,Z(f-1)=X

且也是嚴格單調增加(或減少)的。

㈡

函數的幾何特性

1.函數的單調性:

y=f(x),x∈D,x1、x2∈D

當x1＜x2時,若f(x1)≤f(x2),則稱f(x)在D內單調增加（）；

若f(x1)≥f(x2),則稱f(x)在D內單調減少（）；

若f(x1)＜f(x2),則稱f(x)在D內嚴格單調增加（）；

若f(x1)＞f(x2),則稱f(x)在D內嚴格單調減少（）。

2.函數的奇偶性：D(f)關于原點對稱

偶函數：f(-x)=f(x)

奇函數：f(-x)=-f(x)

3.函數的周期性：

周期函數：f(x+T)=f(x),x∈(-∞，+∞)

周期：T——最小的正數

4.函數的有界性：

|f(x)|≤M,x∈(a,b)

㈢

基本初等函數

1.常數函數：

y=c，(c為常數)

2.冪函數：

y=xn,(n為實數)

3.指數函數：

y=ax,(a＞0、a≠1)

4.對數函數：

y=loga

x,(a＞0、a≠1)

5.三角函數：

y=sin

x,y=con

x

y=tan

x,y=cot

x

y=sec

x,y=csc

x

6.反三角函數：y=arcsin

x,y=arccon

x

y=arctan

x,y=arccot

x

㈣

復合函數和初等函數

1.復合函數：

y=f(u),u=φ(x)

y=f[φ(x)],x∈X

2.初等函數:

由基本初等函數經過有限次的四則運算（加、減、乘、除）和復合所構成的，并且能用一個數學式子表示的函數

§1.2

極

限

一、主要內容

㈠極限的概念

1.數列的極限:

稱數列以常數A為極限;

或稱數列收斂于A.定理:

若的極限存在必定有界.2.函數的極限：

⑴當時，的極限：

⑵當時，的極限：

左極限：

右極限：

⑶函數極限存的充要條件：

定理：

㈡

無窮大量和無窮小量

1.無窮大量：

稱在該變化過程中為無窮大量。

X再某個變化過程是指：

2.無窮小量：

稱在該變化過程中為無窮小量。

3.無窮大量與無窮小量的關系：

定理：

4.無窮小量的比較：

⑴若,則稱β是比α較高階的無窮小量；

⑵若

（c為常數），則稱β與α同階的無窮小量；

⑶若，則稱β與α是等價的無窮小量，記作：β～α；

⑷若,則稱β是比α較低階的無窮小量。

定理：若：

則：

㈢兩面夾定理

1．數列極限存在的判定準則：

設：

（n=1、2、3…）

且：

則：

2．函數極限存在的判定準則：

設：對于點x0的某個鄰域內的一切點

（點x0除外）有：

且：

則：

㈣極限的運算規則

若：

則：①

②

③

推論：①

②

③

㈤兩個重要極限

1．或

2．§1.3

連續

一、主要內容

㈠

函數的連續性

1.函數在處連續：在的鄰域內有定義，1o

2o

左連續：

右連續：

2.函數在處連續的必要條件：

定理：在處連續在處極限存在3.函數在處連續的充要條件：

定理：

4.函數在上連續：

在上每一點都連續。

在端點和連續是指：

左端點右連續；

右端點左連續。

a+

0

b-

x

5.函數的間斷點：

若在處不連續，則為的間斷點。

間斷點有三種情況：

1o在處無定義；

2o不存在；

3o在處有定義，且存在，但。

兩類間斷點的判斷：

1o第一類間斷點：

特點：和都存在。

可去間斷點：存在，但，或在處無定義。

2o第二類間斷點：

特點：和至少有一個為∞，或振蕩不存在。

無窮間斷點：和至少有一個為∞

㈡函數在處連續的性質

1.連續函數的四則運算：

設，1o

2o

3o

2.復合函數的連續性：

則：

3.反函數的連續性：

㈢函數在上連續的性質

1.最大值與最小值定理：

在上連續在上一定存在最大值與最小值。

y

y

+M

M

f(x)

f(x)

0

a

b

x

m

-M

0

a

b

x

a)

有界定理：

在上連續在上一定有界。

3.介值定理：

在上連續在內至少存在一點，使得：，其中：

y

y

M

f(x)

C

f(x)

0

a

ξ

b

x

m

0

a

ξ1

ξ2

b

x

推論：

在上連續，且與異號在內至少存在一點，使得：。

b)

初等函數的連續性：

初等函數在其定域區間內都是連續的。

第二章

一元函數微分學

§2.1

導數與微分

一、主要內容

㈠導數的概念

1．導數：在的某個鄰域內有定義，2．左導數：

右導數：

定理：在的左（或右）鄰域上連續在其內可導，且極限存在；

則：

（或：）

3.函數可導的必要條件：

定理：在處可導在處連續

4.函數可導的充要條件：

定理：存在，且存在。

5.導函數：

在內處處可導。

y

6.導數的幾何性質：

是曲線上點

處切線的斜率。

o

x0

x

㈡求導法則

1.基本求導公式：

2.導數的四則運算：

1o

2o

3o

3.復合函數的導數：，或

☆注意與的區別：

表示復合函數對自變量求導；

表示復合函數對中間變量求導。

4.高階導數：

函數的n階導數等于其n-1導數的導數。

㈢微分的概念

1.微分：在的某個鄰域內有定義，其中：與無關，是比較高

階的無窮小量，即：

則稱在處可微，記作：

2.導數與微分的等價關系：

定理：

在處可微在處可導，且：

3.微分形式不變性：

不論u是自變量，還是中間變量，函數的微分都具有相同的形式。

§2.2

中值定理及導數的應用

一、主要內容

㈠中值定理

1.羅爾定理:

滿足條件:

y

a

o

ξ

b

x

a

o

ξ

b

x

2.拉格朗日定理：滿足條件:

㈡羅必塔法則：（型未定式）

定理：和滿足條件：

1o；

2o在點a的某個鄰域內可導，且；

3o

則：

☆注意：1o法則的意義：把函數之比的極限化成了它們導數之比的極限。

2o若不滿足法則的條件，不能使用法則。

即不是型或型時，不可求導。

3o應用法則時，要分別對分子、分母

求導，而不是對整個分式求導。

4o若和還滿足法則的條件，可以繼續使用法則，即：

5o若函數是型可采用代數變

形，化成或型；若是型可

采用對數或指數變形，化成或型。

㈢導數的應用

1．切線方程和法線方程：

設：

切線方程：

法線方程：

2．曲線的單調性：

⑴

3.函數的極值：

⑴極值的定義：

設在內有定義，是內的一點；

若對于的某個鄰域內的任意點，都有：

則稱是的一個極大值（或極小值），稱為的極大值點（或極小值點）。

⑵極值存在的必要條件：

定理：

稱為的駐點

⑶極值存在的充分條件：

定理一：

當漸增通過時，由（+）變（-）；

則為極大值；

當漸增通過時，由（-）變（+）；則為極小值。

定理二：

若，則為極大值；

若，則為極小值。

☆注意：駐點不一定是極值點，極值點也不一定是駐點。

4．曲線的凹向及拐點：

⑴若；則在內是上凹的（或凹的），（∪）；

⑵

；則在內是下凹的（或凸的），（∩）；

⑶

5。曲線的漸近線：

⑴水平漸近線：

⑵鉛直漸近線：

第三章

一元函數積分學

§3.1

不定積分

一、主要內容

㈠重要的概念及性質：

1．原函數：設：

若：

則稱是的一個原函數，并稱是的所有原函數,其中C是任意常數。

2．不定積分：

函數的所有原函數的全體，稱為函數的不定積分；記作：

其中：稱為被積函數；

稱為被積表達式；

稱為積分變量。

3.不定積分的性質：

⑴

或：

⑵

或：

⑶

—分項積分法

⑷

(k為非零常數)

4.基本積分公式：

㈡換元積分法：

⒈第一換元法：（又稱“湊微元”法）

常用的湊微元函數有：

1o

2o

3o

4o

5o

6o

2.第二換元法：

第二換元法主要是針對含有根式的被積函數，其作用是將根式有理化。

一般有以下幾種代換：

1o

(當被積函數中有時)

2o

(當被積函數中有時)

3o

(當被積函數中有時)

4o

(當被積函數中有時)

㈢分部積分法：

1.分部積分公式：

2.分部積分法主要針對的類型：

⑴

⑵

⑷

⑷

⑸

其中：

（多項式）

3.選u規律：

⑴在三角函數乘多項式中，令，其余記作dv;簡稱“三多選多”。

⑵在指數函數乘多項式中，令，其余記作dv;簡稱“指多選多”。

⑶在多項式乘對數函數中，令，其余記作dv;簡稱“多對選對”。

⑷在多項式乘反三角函數中，選反三角函數

為u，其余記作dv;簡稱“多反選反”。

⑸在指數函數乘三角函數中，可任選一函數

為u，其余記作dv;簡稱“指三任選”。

㈣簡單有理函數積分：

1.有理函數：

其中是多項式。

2.簡單有理函數：

⑴

⑵

⑶

§3.2定積分

f(x)

一．

主要內容

（一）.重要概念與性質

1.定積分的定義：

O

a

x1

x2

xi-1

ξi

xi

xn-1

b

x

定積分含四步：分割、近似、求和、取極限。

定積分的幾何意義：是介于x軸，曲線y=f(x),直線x=a,x=b之間各部分面積的代數和。

x軸上方的面積取正號，y

x

軸下方的面積取負號。

+

+

a

0

b

x

2.定積分存在定理：

若：f(x)滿足下列條件之一:

若積分存在，則積分值與以下因素無關：

3.牛頓——萊布尼茲公式：

牛頓——萊布尼茲公式是積分學中的核心定理，其作用是將一個求曲邊面積值的問題轉化為尋找原函數及計算差量的問題。

4.原函數存在定理：

5.定積分的性質：

y

y

y

f(x)

g(x)

f(x)

0

a

c

b

x

0

a

b

x

0

a

b

x

y

y

M

f(x)

f(x)

m

0

a

b

x

0

a

ξ

b

x

（二）定積分的計算：

1.換元積分

2.分部積分

3.廣義積分

4.定積分的導數公式

(三)定積分的應用

1.平面圖形的面積:

與x軸所圍成的圖形的面積

y

f(x)

①.求出曲線的交點，畫出草圖；

②.確定積分變量，由交點確定積分上下限；

③.應用公式寫出積分式，并進行計算。

2.旋轉體的體積

及x軸所圍圖形繞x軸旋轉所得旋轉體的體積：

0

a

b

x

及y軸所圍成圖形繞y軸旋轉所得旋轉體的體積：

第四章

多元函數微積分初步

§4.1

偏導數與全微分

一.主要內容：

㈠.多元函數的概念

c)

二元函數的定義：

d)

二元函數的幾何意義：

二元函數是一個空間曲面。（而一元函數是平面上的曲線）

㈡.二元函數的極限和連續：

1.極限定義：設z=f(x,y)滿足條件：

2.連續定義：設z=f(x,y)滿足條件：

㈢.偏導數：

㈣.全微分：

1.定義：z=f(x,y)

在點(x,y)處的全微分。

3.全微分與偏導數的關系

㈤.復全函數的偏導數：

1.2.㈥.隱含數的偏導數：

1.2.㈦.二階偏導數：

㈧.二元函數的無條件極值

1.二元函數極值定義：

極大值和極小值統稱為極值，極大值點和極小值點統稱為極值點。

2.極值的必要條件：

兩個一階偏導數存在，則：

★

而非充分條件。

例：

∴駐點不一定是極值點。

e)

極值的充分條件：

求二元極值的方法：

極值點。

二倍角公式：(含萬能公式)

①

②

③

④

⑤

第五章排列與組合（1）加法原理：完成一件事情與分類有關，即每一類各自獨立完成，此事即可完成。

（2）乘法原理：完成一件事情與步驟有關，即一次完成每一步驟，此事才能完成。

排列：從n個不同元素里，任取個元素，按照一定的順序排列成一列，稱為從n個不同元素里取出m個元素的一個排列，計算公式：

組合：從n個不同元素里，任取個元素組成一組，叫做從n個不同元素里取出m個元素的一個組合，組合總數記為，計算公式：

第六章概率論

符號

概率論

集合論

樣本空間

全集

不可能事件

空集

基本事件

集合的元素

A

事件

子集

A的對立事件

A的余集

事件A發生導致

事件B發生

A是B的子集

A=B

A與B兩事件相等

集合A與B相等

事件A與事件B

至少有一個發生

A與B的并集

事件A與事件B同時發生

A與B的交集

A-B

事件A發生而事件B不發生

A與B的差集

事件A與事件B互不相容

A與B沒有相同元素

由于隨機事件都可以用樣本空間中的某個集合來表示，于是事件間的關系和運算就可以用集合論的知識來討論和表示，為了直觀，可以用集合的韋恩圖來表示事件的各種關系和運算法則，一般用某個矩形區域表示樣本空間，該區域的一個子區域表示某個事件。于是各事件的關系運算如圖中的圖示所示。

各事件的關系運算如圖示：

9.完備事件組

n個事件，如果滿足下列條件：

（1）；

（2），則稱其為完備事件組。

顯然任何一個事件A與其對立事件構成完備事件組。

10.事件運算的運算規則：

（1）交換律

（2）結合律

（3）分配律

（4）對偶律

率的古典定義

定義：在古典概型中，若樣本空間所包含的基本事件總數為n，事件A包含的基本事件數為m，則事件A發生的概率為。

概率的基本性質與運算法則

性質1.0≤P(A)≤1

特別地，P(Φ)=0，P(Ω)=1

性質2.若，則P(B-A)=P(B)-P(A)

性質3.（加法公式）．對任意事件A，B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。

推論1.若事件A，B互不相容（互斥），則P(A+B)=P(A)+P(B)

推論2.對任一事件A,有

推論3.對任意事件A，B，C，有P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

條件概率、乘法公式、事件的獨立性

條件概率

定義1：設有事件A，B，且P(B)>0,稱

類似地，如果P(A)>0，則事件B對事件A的條件概率為

概率的乘法公式

乘法公式可推廣到有限多個事件的情況，例如對事件A,B,C,有

事件的獨立性

一般地說,P(A︱B)≠P(A)，即說明事件B的發生影響了事件A發生的概率。若P(A︱B)≠P(A)，則說明事件B的發生在概率意義下對事件A的發生無關,這時稱事件A，B相互獨立。

定義：對于事件A，B，若P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立。獨立試驗序列概型

在相同的條件下，獨立重復進行n次試驗，每次試驗中事件A可能發生或可能不發生，且事件A發生的概率為p，則在n次試驗中事件A恰好發生k次的概率為

一維隨機變量及其概率分布

（一）隨機變量

1.隨機變量

定義：設Ω為樣本空間，如果對每一個可能結果，變量X都有一個確定的實數值與之對應，則稱X為定義在Ω上的隨機變量，簡記作。

2.離散型隨機變量

定義：如果隨機變量X只能取有限個或無限可列個數值，則稱X為離散型隨機變量。

（二）分布函數與概率分布

1.分布函數

定義：設X是一個隨機變量，x是任意實數，則函數稱為隨機變量X的分布函數。

分布函數F(x)有以下性質：

（2）F(x)是x的不減函數，即對任意

（4）F(x)是右連續的，即

（5）對任意實數a＜b,有P{a＜X≤b}=F(b)-F(a)

2.離散型隨機變量的概率分布

則稱上式為離散型隨機變量X的概率分布（或概率函數或分布列）。

離散型隨機變量X的概率分布也可以用下列列表形式來表示：

3.分布函數與概率分布之間的關系

若X為離散型隨機變量，則。

隨機變量的數字特征

1.數學期望

（1）數學期望的概念

定義：設X為離散型隨機變量，其概率函數為

若級數絕對收斂，則稱為X的數學期望，簡稱期望或均值，記作EX，即

（2）數學期望的性質

①若C為常數，則E(C)=C

②若a為常數，則E(aX)=aE(X)

③若b為常數，則E(X+b)=E(X)+b

④若X,Y為隨機變量，則E(X+Y)=E(X)+E(Y)

2.方差

（1）方差的概念

定義：設X為隨機變量，如果存在，則稱為X的方差，記作DX，即

方差的算術平方根稱為均方差或標準差，對于離散型隨機變量X，如果X的概率函數為，則X的方差為

（2）方差的性質

①若C為常數，則D(C)=0

②若a為常數，則

③若b為常數，則D(X+b)=D(X)

④

基本公式

由

（1）對數的性質：

①負數和零沒有對數；②1的對數是零；③底數的對數等于1。

（2）對數的運算法則：

①

②

③

④

3、對數換底公式：

由換底公式推出一些常用的結論：

（1）

（2）

（3）

（4）

三角函數的單調區間：的遞增區間是，遞減區間是；的遞增區間是，遞減區間是，的遞增區間是，1、數列極限的存在準則

定理1.3（兩面夾準則）若數列{xn},{yn},{zn}滿足以下條件：

（1），（2），則

定理1.4

若數列{xn}單調有界，則它必有極限。

2、數列極限的四則運算定理。

（1）

（2），（3）當時，3、當x→x0時，函數f（x）的極限等于A的必要充分條件是

這就是說：如果當x→x0時，函數f（x）的極限等于A，則必定有左、右極限都等于A。

反之，如果左、右極限都等于A，則必有。

4、函數極限的定理

定理1.7（惟一性定理）如果存在，則極限值必定惟一。

定理1.8（兩面夾定理）設函數在點的某個鄰域內（可除外）滿足條件：

（1），（2），則有。

推論

：（1）

（2），（3）

5、無窮小量的基本性質

性質1　有限個無窮小量的代數和仍是無窮小量；

性質2　有界函數（變量）與無窮小量的乘積是無窮小量；特別地，常量與無窮小量的乘積是無窮小量。

性質3　有限個無窮小量的乘積是無窮小量。

性質4　無窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無窮小量。

6、等價無窮小量代換定理：

如果當時，均為無窮小量，又有且存在，則。

7、重要極限Ⅰ

8、重要極限Ⅱ是指下面的公式：

9、（2）

（3）

（4）

10、函數在一點處連續的性質

由于函數的連續性是通過極限來定義的，因而由極限的運算法則，可以得到下列連續函數的性質。

定理1.12（四則運算）設函數f（x），g（x）在x0處均連續，則

（1）f（x）±g（x）

在x0處連續，（2）f（x）·g（x）在x0處連續

（3）若g（x0）≠0，則在x0處連續。

定理1.13（復合函數的連續性）設函數u=g（x）在x=

x0處連續，y=f（u）在u0=g（x0）處連續，則復合函數y=f[g（x）]在x=

x0處連續。

定理1.14（反函數的連續性）設函數y=f（x）在某區間上連續，且嚴格單調增加（或嚴格單調減少），則它的反函數x=f-1（y）也在對應區間上連續，且嚴格單調增加（或嚴格單調減少）

閉區間上連續函數的性質

在閉區間[a，b]上連續的函數f（x），有以下幾個基本性質，這些性質以后都要用到。

定理1.15（有界性定理）

如果函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，則f（x）必在[a，b]上有界。

定理1.16（最大值和最小值定理）如果函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，則在這個區間上一定存在最大值和最小值。

定理1.17（介值定理）如果函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，且其最大值和最小值分別為M和m，則對于介于m和M之間的任何實數C，在[a，b]上至少存在一個ξ，使得

f（ξ）=C11、閉區間上連續函數的性質

在閉區間[a，b]上連續的函數f（x），有以下幾個基本性質，這些性質以后都要用到。

定理1.15（有界性定理）

如果函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，則f（x）必在[a，b]上有界。

定理1.16（最大值和最小值定理）如果函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，則在這個區間上一定存在最大值和最小值。

定理1.17（介值定理）如果函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，且其最大值和最小值分別為M和m，則對于介于m和M之間的任何實數C，在[a，b]上至少存在一個ξ，使得

f（ξ）=C12、推論（零點定理）如果函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，且f（a）與f（b）異號，則在[a，b]內至少存在一個點ξ，使得

f（ξ）=013、初等函數的連續性

定理1.18　初等函數在其定義的區間內連續。

利用初等函數連續性的結論可知：如果f（x）是初等函數，且x0是定義區間內的點，則

f（x）在x0處連續

也就是說，求初等函數在定義區間內某點處的極限值，只要算出函數在該點的函數值即可。

14、可導與連續的關系

定理2.1　如果函數y=f（x）在點x0處可導，則它在x0處必定連續。

15、由這個定理可知：若函數f（x）在x0不連續，則f（x）在x0處必定不可導。

16、導數的計算

1.基本初等函數的導數公式

（1）（C）＇=0

（2）（xμ）＇=μxμ-1

（3）（4）

（5）（ax）＇=axlna（a＞0,a≠1）

（6）（ex）＇=ex

（7）（8）

（9）（sinx）＇=cosx

（10）（cosx）＇=

-sinx

（11）（12）

（13）（secx）＇=secx·tanx

（14）（cscx）＇=

-cscx·cotx

（15）（16）

（17）（18）

2.導數的四則運算法則

設u=u（x），v=v（x）均為x的可導函數，則有

（1）（u±v）＇=u＇±v＇

（2）（u·v）＇=u＇·v+u·v＇

（3）（cu）＇=c·u＇

（4）

（5）

（6）（u·v·w）＇=u＇·v·w+u·v＇·w+u·v·w＇

3.復合函數求導法則

如果u=φ（x）在點x處可導，而y=f（u）在相應的點u=φ（x）處可導，則復合函數y=f[φ（x）]在點x處可導，且其導數為

同理，如果y=f（u），u=φ（v），v=ψ（x），則復合函數y=f[φ（ψ（x））]的導數為

4.反函數求導法則

如果x=φ（y）為單調可導函數，則其反函數y=f（x）的導數

17、微分的計算

dy=f′(x)dx

求微分dy只要求出導數f′(x)再乘以dx，所以我們前面學過的求導基本公式與求導法則完全適用于微分的計算。于是有下列的微分公式及微分法則：

（1）d（c）=0（c為常數）

（2）（為任意實數）

（6）d（ex）=exdx

（7）d（sin

x）=cos

xdx

（8）d（cos

x）=-sin

xdx

（17）d（c·u）=cdu18、微分形式不變性

設函數y=f(u)，則不論u是自變量還是中間變量，函數的微分dy總可表示為

dy=f′(u)du19、常用的湊微分公式：

1）、②，③

④，⑤，⑥

①，②③，④，⑤

⑥?、?/p>

20、常用的換元類型有：

被積函數類型

所用代換

代換名稱

正弦代換

正切代換

根式代換

21、定積分的基本性質

（1）。（k為常數）。

（2）。

（3）。

（4）如果f（x）在區間[a,b]上總有f（x）≤g（x），則。

（5）

（6）設M和m分別為f（x）在區間[a,b]上的最大值和最小值，則有

（7）積分中值定理　如果f（x）在區間[a,b]上連續，則在區間[a,b]上至少存在一點，使得

22、變上限定積分求導定理

1.變上限定積分定義

定義

積分上限x為變量時的定積分稱為變上限定積分。變上限定積分是積分上限x的函數，記作，一般有

2.變上限定積分求導定理

定理

如果函數f（x）在區間[a,b]上連續，則有

推論　①，②

③

23、計算定積分

1.牛頓——萊布尼茨公式

如果f(x)在區間[a,b]上的連續，且，則有

推論：(1)若f(x)為奇函數，則

(2)若f(x)為偶函數，則

2、定積分的分部積分法

24、定積分的應用

1.計算平面圖形的面積

(1)X型：曲線y=f(x)，y=g(x)(f(x)≥g(x))和直線x=a,x=b(a≤b)所圍成的平面圖形的面積A為。

(2)Y型：曲線和直線y=c,y=d(c≤d)，所圍成的平面圖形的面積A為。

2.旋轉體的體積

(1)X型

由連續曲線y=f(x)(f(x)≥0)和直線x=a,x=b(a

(2)Y型

由連續曲線和直線y=c,y=d(c

25、全微分

26、二元隱函數

設三元方程F(x,y,z)=0確定隱函數z=z(x,y)，如果F(x,y,z)對x,y,z存在連續偏導數，且，則z對x、y的偏導數為。

27、概率的基本性質與運算法則

性質1.0≤P(A)≤1，特別地，P(Φ)=0，P(Ω)=1

性質2.若，則P(B-A)=P(B)-P(A)

性質3.（加法公式）．對任意事件A，B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。

推論1.若事件A，B互不相容（互斥），則P(A+B)=P(A)+P(B)

推論2.對任一事件A,有

推論3.對任意事件A，B，C，有P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

28、條件概率

定義1：設有事件A，B，且P(B)>0,稱

29、概率的乘法公式，30、（1）數學期望的性質

①若C為常數，則E(C)=C，②若a為常數，則E(aX)=aE(X)

③若b為常數，則E(X+b)=E(X)+b?、苋鬤,Y為隨機變量，則E(X+Y)=E(X)+E(Y)

（2）方差的性質

①若C為常數，則D(C)=0；②若a為常數，則

③若b為常數，則D(X+b)=D(X)；

④

第五篇：成人高考專升本考試高等數學一和高等數學二的區別

成人高考專升本考試高等數學一和高等數學二的區別

專升本層次的數學有《高等數學》

（一）、《高等數學》

（二）兩類，都以考查《高等數學》的基本知識、基本方法、基本技能為主。《高數》

（一）是理工類考生的考試科目，《高數》

（二）是經濟管理類考生的考試科目。

無論是《高數》

（一），還是《高數》

（二），總的來試題考查得都較全面，試題發布合理，主要貫穿極限、導數、積分這條主線。在考查基本概念的基礎上，以考查基本計算能力為主，大多數考題都是常規計算題。

《高數》

（一）主要是以《高數》為重點，約有7章內容，主要貫穿微分學和積分學這兩條主線，考生復習的重點也是微分學、積分學?！陡邤怠?/p>

（二）是經濟類、管理類的務必科目，試題主要有兩部分，一部分為高等數學內容，約占92%；另一部分是概率論初步，約占8%。

《高數》

（一）和《高數》

（二）的區別主要是對知識的掌握程度要求不同?！陡邤怠?/p>

（一）要求掌握求反函朱數的導數，掌握求由參數方程所確定的函數的求導方法，會求簡單函數的n階導數，要掌握三角換元、正弦變換、正切變換和正割變換。《高數》

（二）只要求掌握正弦變換、正切變換等。從實際考試情況看，《高數》

（一）一般比《高數》

（二）多出約30%的考題，約占45分左右。所以，有的考生考《高數》

（一），但是跟著《高數》

（二）的輔導聽課，也是可行的，丹考生必須把《高數》

（二）沒涉及的知識補上，不然就會白白丟了30%的分數。

在試卷最后的大題中，《高數》

（一）和《高數》

（二）也有一定的區別?！陡邤怠?/p>

（一）一般涉及導數的應用，如函數的性質和曲線形狀、導數的幾何意義、求曲線的切線方程和法線方程。定積分的應用主要是定積分的換元積分法的應用，用定積分換元積分法作證明題，還有定積分的幾何應用，求平面圖形繞坐標軸旋轉所生成的旋轉體的體積等。

在《高數》

（二）的重點內容概率論初步里，考生復習的重點要放在4點上，一是理解隨機現象、隨機試驗、隨機事件的有關觀念；二是概率的計算；三是離散形隨機變量的數字特征——期望與方差。

考生在最后的復習階段，要嚴格遵循教育部頒發的考試大綱安排學習。考試大綱是命題的唯一依據，也是指導考生考前復習的依據。

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