第一篇：一元二次方程解法第2課時配方法1（共）

一元二次方程解法第2課時配方法

1一、課前回顧與預習

1.根據完全平方公式填空：

⑴ x2＋6x＋9＝﹙﹚2⑵ x2－8x＋16＝﹙﹚2

⑶ x2＋10x＋﹙ ﹚2＝﹙﹚2 ⑷ x2－3x ＋﹙ ﹚2＝﹙﹚2

（5）x2＋12x＋____＝(x＋6)2；（6）x2＋4x＋____＝(x＋_____)2；

（7）x＋8x＋____＝(x＋______)．

2.解下列方程：（1）((x?3)2＝25；（2）12(x?2)2－9＝0．

二、合作交流

例1.你會解方程 x＋6x－16＝0嗎?你會將它變成(x＋m)＝n（n為非負數）的形式嗎？

用配方法解一元二次方程的步驟：

（1）將一元二次方程整理成二次項系為1的一般形式。

（2）在二次項和一次項之后加上一次項系數的一半的平方，再減去這個數。

（3）把原方程配方成(x?a)?b?0的形式；

（4）運用直接開平方法求解。22 22

2例

2、解下列方程：

（1）x＋10x＋9＝0；（2）x－3x－4＝0．

（3）x－2x－2＝0；（4）x＋

3＝；

例

3、應用配方法把關于x的二次三項式x2－4x＋6變形，然后證明：無論x取任何實數值，此二次三項式的值都是正數，再求出當x取何值時，這個代數式的值最小，最小值是多少？ 222

2(三)當堂檢測：

1．x2?px?_______＝(x－_______)2．

2、將一元二次方程x2-6x-1=0配方后，原方程可化為（）

A、（x-3）2=10B、（x-6）2=35C、（x-3）2=8D、（x-6）2=373、二次三項式x2-4x+3配方的結果是（）

A、（x-2）2+7B、（x-2）2-1C、（x+2）2+7D、（x+2）2-

14、用配方法解方程x2＋x－1＝0，配方后所得方程是（）

1313A．(x2B．(x＋)2＝ 242

41515C．(x2D．(x2＝ 24245、配方法解方程：

（1）．x2－2x－1＝0（2）x?22x?3?0

26、若a、b、c是△ABC的三條邊，且a?b?c?50?6a?8b?10c，判斷這個三角形的形狀。

四、課后練習

一、選擇題：

1．用配方法解方程x?2x?5?0時，原方程應變形為（）

A．(x?1)?6 B．(x?2)?9 222222C．(x?1)?62D．(x?2)?9

22．把x2－4x配成完全平方式需加上()．

(A)4(B)16(C)8(D)

13．若x2＋px＋16是一個完全平方式，則p的值為()．

(A)±2(B)±4(C)±8(D)±16

二、用配方法解一元二次方程

（1）． x2?22x?2?0.（2）、x?4x?2?0

（3）、x+12x-15=0(4)3x(x－3)＝2(x－1)(x＋1).． 2

2三、已知代數式x-5x+7,先用配方法說明，不論x取何值，這個代數式的值總是正數；再求出當x取何值時，這個代數式的值最小，最小值是多少？ 2

第二篇：一元二次方程解法——因式分解、配方法

一元二次方程解法——因式分解、配方法

知識點回顧：

定義：只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

一般地，任何一個關于x的一元二次方程，經過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．這種形式叫做一元二次方程的一般形式．

一個一元二次方程經過整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次項，a是二次項系數；bx是一次項，b是一次項系數；c是常數項．

解法一 ——直接開方法

適用范圍：可解部分一元二次方程

直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)^2=n(n≥0)的方程，其解為x=m±√n

歸納小結：

共同特點：把一個一元二次方程“降次”，轉化為兩個一元一次方程．?我們把這種思想稱為“降次轉化思想”．由應用直接開平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=

轉化為應用直接開平方法解形如（mx+n）

2=p（p≥0），那么mx+n=，達到降次轉化之目的．若p＜0則方程無解

自主練習：1：用直接開平方法解下列方程：

（1）x2?225；（2）(x?1)2

?9；

（3）(6x?1)2

?25?0．（4）4(x?2)2

?81?0

（5）5(2y?1)2

?180；（61(3x?1)2?64；（7）6(x?2)2

4?1；

2.關于x的方程x2?9a2?12ab?4b2

?0的根x1?，x2?．

3.關于x的方程x2

?2ax?b2

?a2

?0的解為解法二——分解因式法

適用范圍：可解部分一元二次方程

因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”兩種）”和“十字相乘法”。因式分解法是通過將方程左邊因式分解所得，因式分解的內容在八年級上學期學完。解下列方程．

（1）2x2+x=0（2）3x2+6x=0

上面兩個方程中都沒有常數項；左邊都可以因式分解:

2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）因此，上面兩個方程都可以寫成：

（1）x（2x+1）=0（2）3x（x+2）=0

因為兩個因式乘積要等于0，至少其中一個因式要等于0，也就是：

（1）x=0或2x+1=0，所以x11=0，x2=-

2．（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．

因此，我們可以發現，上述兩個方程中，其解法都不是用開平方降次，而是先因式分解使方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，從而實現降次，這種解法叫做因式分解法． 例1．解方程

（1）4x2=11x（2）（x-2）2=2x-4分析：（1）移項提取公因式x；（2）等號右側移項到左側得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可達到分解因式；一邊為兩個一次

式的乘積，?另一邊為0的形式解：（1）移項，得：4x2-11x=0

因式分解，得：x（4x-11）=0于是，得：x=0或4x-11=0

x111=0，x2=

（2）移項，得（x-2）2-2x+4=0

（x-2）2-2（x-2）=0因式分解，得：（x-2）（x-2-2）=0整理，得：（x-2）（x-4）=0于是，得x-2=0或x-4=0x1=2，x2=

4例2．已知9a

2-4b2

=0，求代數式aba2?b2

b?a?ab的值．

分析：要求aba2b??b2

a?ab的值，首先要對它進行化簡，然后從已知條

件入手，求出a與b的關系后代入，但也可以直接代入，因計算量比較大，比

較容易發生錯誤．

解：原式=

a2?b2?a2?b2ab??2b

a

∵9a2-4b2=0

∴（3a+2b）（3a-2b）=0

3a+2b=0或3a-2b=0，a=-23b或a=23b當a=-23b時，原式=-2b

=3，當a=2b時，原式?23=-3．

3b

例3．（十字相乘法）我們知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可轉化為（x-a）（x-b）=0，請你用上面的方法解下列方程．

（1）x2-3x-4=0（2）x2-7x+6=0（3）x2+4x-5=0

上面這種方法，我們把它稱為十字相乘法． 一：用因式分解法解下列方程：(1)y2

＋7y＋6＝0；(2)t(2t－1)＝3(2t－1)；

(3)(2x－1)(x－1)＝1．(4)x2

＋12x＝0；

(5)4x2－1＝0；(6)x2

＝7x；

(7)x2

－4x－21＝0；(8)(x－1)(x＋3)＝12；

(9)3x2＋2x－1＝0；(10)10x2

－x－3＝0；

(11)(x－1)2

－4(x－1)－21＝0．

解法三——配方法

適用范圍：可解全部一元二次方程引例：：x2+6x-16=0

x2+6x-16=0移項→x2+6x=16

兩邊加（6/2）2使左邊配成x2+2bx+b2的形式 → x2+6x+32=16+9

左邊寫成平方形式 →（x+3）=25降次→x+3=±5 即 x+3=5或x+3=-5解一次方程→x1=2，x2=-8 像上面的解題方法，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫配方拓展題．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6

分析：因為如果展開（6x+7）2，那么方程就變得很復雜，如果把（6x+7）

看為一個數y，那么（6x+7）=y2，其它的3x+4=6x+7）+

211，x+1=6x+7）26

-，因此，方程就轉化為y?的方程，像這樣的轉化，我們把它稱為換元法． 6

1111y+，x+1=y-解：設6x+7=y則3x+4=

法．

可以看出，配方法是為了降次，把一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來解．

配方法解一元二次方程的一般步驟：(1)先將已知方程化為一般形式；（2）化二次項系數為1；（3）常數項移到右邊；（4）方程兩邊都加上一次項系數的一半的平方，使左邊配成一個完全平方式；（5）變形為(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程無實根．

用配方法解一元二次方程小口訣

二次系數化為一；常數要往右邊移；一次系數一半方；兩邊加上最相當 例1．用配方法解下列關于x的方程（1）x2-8x+1=0（2）x2-2x-

=0分析：（1）顯然方程的左邊不是一個完全平方式，因此，要按前面的方法化為完全平方式；（2）同上．

例3．解下列方程

（1）2x2+1=3x（2）3x2-6x+4=0（3）（1+x）2+2（1+x）-4=0

分析：我們已經介紹了配方法，因此，我們解這些方程就可以用配方法來 完成，即配一個含有x的完全平方．

2266

依題意，得：y2（12y+12）（16y-

16）=6

去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72

y2（y2-1）=72，y4-y2=72

（y2-12）2=2894y2-1172=±2

y2=9或y2=-8（舍）

∴y=±3

當y=3時，6x+7=36x=-4x=-

當y=-3時，6x+7=-36x=-10x=-53

所以，原方程的根為x2

51=-3，x2=-3

例5.求證:無論y取何值時,代數式-3 y2+8y-6恒小于0.一元二次方程解法——因式分解、配方法

2013-7-14***（李老師）姓名：

（一）1．下面一元二次方程解法中，正確的是（）．A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7

B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x2

31=5，x2=

5C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2D．x2=x兩邊同除以x，得x=

12．下列命題①方程kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1與方程x2=1是同解方程；③方程x2=x與方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正確的命題有（）．

A．0個B．1個C．2個D．3個

3．如果不為零的n是關于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值為（）．A．-

12B．-1C．1

D．1 4．x2-5x因式分解結果為_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的結果是______．

5．方程（2x-1）

2=2x-1的根是________．

6．二次三項式x2+20x+96分解因式的結果為________

；如果令x2+20x+96=0，那么它的兩個根是_________．

8．用因式分解法解下列方程．

（1）3y2-6y=0（2）25y2-16=0

（3）x2-12x-28=0（4）x2-12x+35=0

9．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．

（二）1．配方法解方程2x2-

4x-2=0應把它先變形為（）．A．（x-13）2=89B．（x-221281210

3）=0C．（x-3）=9D．（x-3）=9

2．下列方程中，一定有實數解的是（）．

A．x2+1=0B．（2x+1）2=0C．（2x+1）2+3=0D．（x-a）22

=a 3．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，則x+y+z的值是（）．A．1B．2C．-1D．-2 4．將二次三項式x2-4x+1配方后得（）A．（x-2）2+3B．（x-2）2

．

-3C．（x+2）2+3D．（x+2）2-3 5．已知A．x2x2-8x+15=0-8x+（-4）2，左邊化成含有=31B．x2x的完全平方形式，其中正確的是（-8x+（-4）2=1C．x2+8x+42=1D．x2）．

-4x+4=-116．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左邊是一個關于x的完全平方式，則m等于（）．

A．1B．-1C．1或9D．-1或9 7．方程x2+4x-5=0的解是________． 8.方程x2

?

x?1?0左邊配成一個完全平方式，所得的方程是． 9．代數式x2?x?2

x2?1的值為0，則x的值為________．

10．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若設x+y=z，則原方程可變為_______，所以求出z的值即為x+y的值，所以x+y的值為______．

11．無論x、y取任何實數，多項式x2+y2-2x-4y+16的值總是_______數． 12．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x與y的關系是________． 13．用配方法解方程．

（1）9y2-18y-4=0

（2）x2

（3）x2

?x?1?0（4）3x2

?6x?1?0

（5）(x?1)2?2(x?1)?

14．如果x-4x+y2

（6）2x2?5x?4?0 ?0

（4）?x?2??3?x?2?（5）(2x＋3)－25＝0.（6）2x2?7x?2?0（7）（x-1）=2x-2（8）6x2-x-2=0，求（xy）的值．

z

15.用配方法證明：

（1）a2

?a?1的值恒為正；（2）?9x2

?8x?2的值恒小于0．

（3）多項式2x4

?4x2

?1的值總大于x4

?2x2

?4的值．

16.用適當的方法解下列方程

（1）x2

-4x-3=0（2）（3y-2）2

=36（3）x2-4x+4=0

（9）(3x+1)2=7

（11）4(x+2)2-9(x-3)2=0

（13）3x2

+1=2

x（10）9x2-24x+16=11

（12）(x+5)(x-5)=3（14）(2x+3)2+5(2x+3)-6=0

第三篇：一元二次方程解法——配方法 教學設計

《解一元二次方程——配方法》 教學設計

漳州康橋學校

陳金玉

一、教材分析

1、對于一元二次方程，配方法是解法中的通法，它的推導建立在直接開平方法的基礎上，他又是公式法的基礎：同時一元二次方程又是今后學生學習二次函數等知識的基礎.一元二次方程是中學數學的主要內容之一，在初中數學中占有重要地位.我們從知識的發展來看，學生通過一元二次方程的學習，可以對已學過的一元二次方程、二次根式、平方根的意義、完全平方式等知識加以鞏固.初中數學中，一些常用的解題方法、計算技巧以及主要的數學思想，如觀察、類比、轉化等，在本章教材中都有比較多的體現、應用和提升.我們想通過一元二次方程來解決實際問題，首先就要學會一元二次方程的解法.解一元二次方程的基本策略是將其轉化為一元一次方程，這就是降次.2、本節課由簡到難展開學習，使學生認識配方法的基本原理并掌握具體解法.二、學情分析

1、知識掌握上，九年級學生學習了平方根的意義和兩個重要公式——平方差公式和完全平方公式，這對配方法解一元二次方程打好了基礎.2、學生對配方法怎樣配系數是個難點，老師應該予以簡單明白、深入淺出的分析.3、教學時必須從學生的認知結構和心理特征出發，分析初中學生的心理特征，他們有強烈的好奇心和求知欲.當他們在解決實際問題時發現要解的方程不再是以前所學過的一元一次方程或可化為一元一次方程的其他方程時，他們自然會想進一步研究和探索解方程的問題.而從學生的認知結構上來看，前面我們已經系統的研究了完全平方式、二次根式，這就為我們繼續研究用配方法解一元二次方程打好了基礎.三、教學目標

（一）知識技能目標

1、會用直接開平方法解形如?x?m??n（n?0）.22、會用配方法解簡單的數字系數的一元二次方程.（二）能力訓練目標

1、理解配方法；知道“配方”是一種常用的數學方法.2、了解用配方法解一元二次方程的基本步驟.（三）情感與價值觀要求

1、通過用配方法將一元二次方程變形的過程，讓學生進一步體會轉化的思想方法，并增強他們的數學應用意識和能力，激發學生的學習興趣.2、能根據具體問題的實際意義，驗證結果的合理性.四、教學重點和難點

教學重點：用配方法解一元二次方程 教學難點：理解配方法的形成過程

五、教學過程(一)活動1：提出問題

要使一塊長方形場地的長比寬多6m，并且面積為16m，場地的長和寬各是多少？ 設計意圖：讓學生在解決實際問題中學習一元二次方程的解法.師生行為：教師引導學生回顧列方程解決實際問題的基本思路，學生討論分析.（二）活動2：溫故知新

21、填上適當的數，使下列各式成立，并總結其中的規律.（1）x?6x? ??x?3?(2)x?8x? ?（x?)2222（3）x?12x? ?(x?)2(4)x?5x? ?(x?)

222(5)a?2ab? ?(a?)(6)a?2ab? ?(a?)2

2222、用直接開平方法解方程：x2?6x?9?2

設計意圖：第一題為口答題，復習完全平方公式，旨在引出配方法，培養學生探究的興趣.(三)活動2：自主學習

自學課本思考下列問題：

1、仔細觀察教材問題2，所列出的方程x2?6x?16?0利用直接開平方法能解嗎？

2、怎樣解方程x2?6x?16?0？看教材框圖，能理解框圖中的每一步嗎？（同學之間可以交流、師生間也可交流.）

3、討論：在框圖中第二步為什么方程兩邊加9？加其它數行嗎？

4、什么叫配方法？配方法的目的是什么？

5、配方的關鍵是什么？

交流與點撥：

重點在第2個問題，可以互相交流框圖中的每一步，實際上也是第3個問題的討論，教師這時對框圖中重點步驟作講解，特別是兩邊加9是配方的關鍵，使之配成完全平方式.利用a±2ab+b=(a±b).222注意：9=（），而6是方程一次項系數.所以得出配方的關鍵是方程兩邊加上一次項系數一半的平方，從而配成完全平方式.設計意圖：學生通過自學經歷思考、討論、分析的過程，最終形成把一個一元二次方程配成完全平方式形式來解方程的思想(四)活動4：例題學習

例：解下列方程：

（1）x?8x?1?0（2）2x?1??3x（3）3x?6x?4?0

教師要選擇例題書寫解題過程，通過例題的學習讓學生仔細體會用配方法解方程的一般步驟.交流與點撥：用配方法解一元二次方程的一般步驟：

（1）將方程化成一般形式并把二次項系數化成1；（方程兩邊都除以二次項系數）（2）移項，使方程左邊只含有二次項和一次項，右邊為常數項.（3）配方，方程兩邊都加上一次項系數一半的平方.（4）原方程變為?mx?n??p的形式.22222（5）如果右邊是非負數，就可用直接開平方法求取方程的解.設計意圖：牢牢把握通過配方將原方程變為?mx?n??p的形式方法.2（五）課堂練習：導學練上面的【課堂檢測】習題

師生行為：對于解答題根據時間可以分兩組完成，學生板演，教師點評.設計意圖：通過練習加深學生用配方法解一元二次方程的方法.六、歸納與小結：

1、理解配方法解方程的含義.2、要熟練配方法的技巧，來解一元二次方程，3、掌握配方法解一元二次方程的一般步驟，并注意每一步的易錯點.4、配方法解一元二次方程的解題思想：“降次”由二次降為一次.

第四篇：一元二次方程(配方法第一課時)

一、填空題

1、在下列各式中是一元二次方程的共有

①x2+3=x;②2 x2-3x=2x(x-1)– 1;③3 x2-4x – 5;④x2=-1

x+21、已知方程2(m+1)x2+4mx+3m－2=0是關于x的一元二次方程，那么m的取值范圍是。

2、關于x的方程mx2-3x= x2-mx+2是一元二次方程,則m___________．

3、一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x2+1的一般形式是它的二次項系數是；一次項系數是；常數項是。

4． 4x(x-1)=2(x+2)+8化成一般形式_______________,二次項系數____,一次項系數是____,常數項是______.5．方程x2=1的解為______________.方程3 x2=27的解為______________.1x2+6x+____=(x+____)2,x2?3x?____+=(a±____)2 ?(x?)2a2±46、已知關于x的一元二次方程(2m－1)x2+3mx+5=0有一根是x=－1，則

7、若代數式x2-2x與代數式-9+4x 的值相等，則x的值為。

8．關于x的一元二次方程(m+3)x2+4x+ m2-9=0有一個解為0 , 則m=_____

二、選擇題（每小題4分，計20分）

9、下列方程，是一元二次方程的是（）

1x①3x2+x=20，②2x2-3xy+4=0，③x2-=4，④x2=0，⑤x2-+3=0 x3

A．①②B．①②④⑤C．①③④D．①④⑤

10、一元二次方程的一般形式是()

Ax2+bx+c=0Ba x2+c=0(a≠0)Ca x2+bx+c=0Da x2+bx+c=0(a≠0)

11．方程6 x2-5=0的一次項系數是()

A6B5C-5D0

12．將方程x2-4x-1=0的左邊變成平方的形式是()

A(x-2)2=1B(x-4)2=1C(x-2)2=5D(x-1)2=411、方程（x-3）2=（x-3）的根為（）

A．3B．4C．4或3D．-4或313、從正方形鐵片上截去2cm寬的一個長方形，剩余矩形的面積為80cm2，?則原來正方形的面積為（）

A．100cm2B．121cm2C．144cm2D．169cm2

2四．用直接開平方法解方程：（2）5x2-=0（3）（x+5）2=16（4）8（3-x）2 –72=05

（1）x2 =64

五.用配方法解下列方程.：（2）x2+ 6x－5=0(3)x2－4x+ 3=0

（1）x2+ 2x + 3=0

(4)x2－2x－1 =0(5)-x2-x+12 =0(6)x2－6x+9 =0

第五篇：§23.2一元二次方程的解法(配方法)

§23.2一元二次方程的解法（配方法）

(第3課時)

授課班級_______ 姓名____________ 典例分析

說明不論m為何值時，關于x的方程

(m2?8m?17)x2

?2mx?1?0都是一元二次方

程。

點評：關鍵是看二次項系數是否有可能為0。課下練習

一、選擇題：

1.將一元二次方程x2?6x?5?0化成(x?a)2

?b的形式，則b等于（）.A.-4B.4C.-14D.14 2.用配方法解方程x2?2x?5?0時，原方程應變形為（）A．?x?1?2

?6B．?x?1?2

?6 C．?x?2?2

?9

D．?x?2?2

?9

3.已知方程x2

?6x?q?0可以配成(x?p)2?7 的形式，那么x2

?6x?q?2可以配成下列的（）A.(x?p)2?5B.(x?p)2

?9 C.(x?p?2)2

?9D.(x?p?2)?5

二、填空題 4.x2

?

nm

x?_____?(x?___)2

.5.二次三項式x2

?7x?1的最小值為______.6.若方程x2

?px?q?0可化為(x?12

32)?

4，則p=_____，q=______.7.方程2y2?3?7y配方后得2(y?

74)2

=___.8.當x=______時，?3x2?6x?2有最大值，這個最大值是_______.三、解答下列各題 9.用配方法解下列方程 ①3x2?12x?21?0

②(x?2)(x?3)?1

③(x?1)2?(x?1)?1

2④x2?4x?2?0．

10.如果a、b、c是△ABC的三邊，且滿足式子

a2?2b2?c2

?2ab?2bc，請指出△ABC的形狀，并給出論證過程.11.說明代數式2x2?4x?1總大于x2

?2x?4.