參考答案與解析

一、選擇題

1-5

DBBAB

6-10

CDCDC

11-12

AC

二、填空題

13.14.8

15.16.445π

三、解答題

17.解：（1）設數列的公差為d，則由題意知解得（舍去）或所以.(5分)

（2）

因為=，所以=++…+=.（10分）

18.解：（1）因為，且C是三角形的內角，所以sinC==.所以

=.（4分）

(2)

在△ABC中，由正弦定理，得，所以=，于是CD=.在△ADC中，AC=2，cosC=，（8分）

所以由余弦定理，得AD==，即中線AD的長為.(12分)

19.解：（1）拋物線E：y2=4x的準線l的方程為x=-1，由點C的縱坐標為2，得點C的坐標為（1，2），所以點C到準線l的距離為d=2，又，所以.（4分）

（2）設C（），則圓C的方程為，即.由x=-1，得.設，則由，得，所以，解得，此時.所以圓心C的坐標為或，從而，即圓C的半徑為.(12分)

20.解：（1）依題意，P（2，-1），所以=（-a-2,1）·(a-2,1)=5-a2,(2分)

由=1，a>0,得a=2,因為e=，所以c=，b2=a2-c2=1，（4分）

故橢圓C的方程為.（5分）

（2）

假設存在滿足條件的點Q（t，0），當直線l與x軸垂直時，它與橢圓只有一個交點，不滿足題意，因此直線l的斜率k存在，設l：y+1=k（x-2），由消y，得（1+4k2）x2-（16k2+8k）x+16k2+16k=0，（7分）

△=-64k>0,所以k<0,設，則x1+x2=,x1x2=,因為

===，（10分）

所以要使對任意滿足條件的k，為定值，則只有t=2，此時=1.故在x軸上存在點Q（2，0）使得直線QM與直線QN的斜率的和為定值1.（12分）

21.解：（1）設切點坐標為（x0，y0），則y0=x0lnx0,切線的斜率為lnx0+1，所以切線l的方程為y-x0lnx0=（lnx0+1）（x-x0），又切線l過點（1，0），所以有-x0lnx0=（lnx0+1）(1-x0)，即lnx0=x0-1，設h（x）=lnx-x+1，則，x∈（0,1），h（x）單調遞增，x∈（1,），h（x）單調遞減，h（x）max=h(1)=0有唯一解，所以x0=1，y0=0.所以直線l的方程為y=x-1.（4分）

（2）因為g（x）=xlnx-a（x-1），注意到g（1）=0，所以所求問題等價于函數g（x）=xlnx-a（x-1）在（1，e]上沒有零點.因為.所以由lnx+1-a<00ea-1,所以g（x）在（0，ea-1）上單調遞減，在（ea-1，）上單調遞增.（6分）

①當ea-1≤1，即a≤1時，g（x）在（1,e]上單調遞增，所以g（x）>g(1)=0.此時函數g（x）在（1,e]上沒有零點，（7分）

②當1

（ii）當

綜上，所求的a的取值范圍是a≤1或a>.(12分)

22.解：（1）由a=2，e=，得c=,所以b=，故所求橢圓方程為.由已知有r=,圓C2的方程為C2：x2+y2=2.(4分)

（2）設直線l1方程為y=k（x+2），由得（1+2k2）x2+8k2x+8k2-4=0，所以xP+xD=，又xD=，所以==.直線l2的方程為即x+ky+2=0，所以

==≤=，當且僅當，k=時取等號，因此△ABD的面積的最大值為.(12分)