北師大版七年級數學下冊第四章4.5利用全等三角形測距離

同步測試

一．選擇題

1．利用三角形全等測量距離的原理是（）

A．全等三角形對應角相等

B．全等三角形對應邊相等

C．大小和形狀相同的兩個三角形全等

D．三邊對應相等的兩個三角形全等

2．打碎的一塊三角形玻璃如圖所示，現在要去玻璃店配一塊完全一樣的玻璃，最省事的方法是（）

A．帶①②去

B．帶②③去

C．帶③④去

D．帶②④去

3．如圖為了測量B點到河對面的目標A之間的距離，在B點同側選擇了一點C，測得∠ABC＝65°，∠ACB＝35°，然后在M處立了標桿，使∠MBC＝65°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以測得MB的長就是A，B兩點間的距離，這里判定△MBC≌△ABC的理由是（）

A．SAS

B．AAA

C．SSS

D．ASA

4．如圖，將兩根鋼條AA＇、BB＇的中點O連在一起，使AA＇、BB＇可以繞著點O自由旋轉，就做成了一個測量工件，則A＇B＇的長等于內槽寬AB，那么判定△OAB≌△OA＇B＇的理由是（）

A．SSS

B．SAS

C．AAS

D．ASA

5．如圖，AB⊥BC，OB＝OC，CD⊥BC，點A，O，D在一條直線上，通過測量CD的長可知小河的寬AB，由此判定△AOB≌△DOC的依據是（）

A．SAS或SSA

B．ASA或AAS

C．SAS或ASA

D．SSS或AAS

6．在測量一個小口圓柱形容器的壁厚時，小明用“X型轉動鉗”按如圖方法進行測量，其中OA＝OD，OB＝OC，AD＝BC，測得AB＝a，EF＝b，圓柱形容器的壁厚是（）

A．a

B．b

C．b﹣a

D．（b﹣a）

7．如圖，小敏做了一個角平分儀ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，將儀器上的點A與∠PRQ的頂點R重合，調整AB和AD，使它們分別落在角的兩邊上，過點A，C畫一條射線AE，AE就是∠PRQ的平分線．此角平分儀的畫圖原理是：根據儀器結構，可得△ABC≌△ADC，這樣就有∠QAE＝∠PAE.則說明這兩個三角形全等的依據是（）

A．SAS

B．ASA

C．AAS

D．SSS

8．要測量河兩岸相對的兩點A、B的距離，先在AB的垂線BF上取兩點C、D，使CD=BC，再定出BF的垂線DE，使A、C、E在同一條直線上，如圖，可以得到△EDC≌△ABC，所以ED=AB，因此測得ED的長就是AB的長，判定△EDC≌△ABC的理由是（）

A．SAS

B．ASA

C．SSS

D．HL

9．如圖1，將長方形紙片沿對角線折疊，使點落在處，交AD于E，若，則在不添加任何輔助線的情況下，則圖中的角（虛線也視為角的邊）的個數是（）

A．5個

B．4個

C．3個

D．2

11．已知△ABC≌△DEF，BC＝EF＝6cm，△ABC的面積為18平方厘米，則EF邊上的高是（）

A．6cm

B．7cm

C．8cm

D．9cm

12．如圖，有兩個長度相同的滑梯靠在一面墻上．已知左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，則這兩個滑梯與地面夾角∠ABC與∠DFE的度數和是（）

A．60°

B．90°

C．120°

D．150°

二．填空題

13．如圖，測量水池的寬AB，可過點A作直線AC⊥AB，再由點C觀測，在BA延長線上找一點B′，使∠ACB′＝∠ACB，這時只要量出AB′的長，就知道AB的長，這個測量用到判定三角形全等的方法是

．

14．如圖，A、B兩點分別位于一個池塘的兩端，點C是AD的中點，也是BE的中點，若DE＝20米，則AB＝

．

15．如圖，小明與小紅玩蹺蹺板游戲，如果蹺蹺板的支點O（即蹺蹺板的中點）至地面的距離是50cm，當小紅從水平位置CD下降30cm時，這時小明離地面的高度是

cm．

16．如圖，在新建的小區中，有一條“”字形綠色長廓，其中，在，三段綠色長廊上各修一涼亭，，且，點是的中點，在涼亭與之間有一池塘，不能直接到達．要想知道與的距離，只需要測出線段__________的長度．理由是：可以說明__________，從而由全等三角形的對應邊相等得出__________．

17．閱讀理解題：某校七(1)班學生到野外進行數學活動，為測量一池塘兩端A，B的距離，設計了如下兩種方案：(Ⅰ)如圖1，先在平地上取一個可以直接到達A，B的點C，再連接AC，BC，并分別延長AC至D，BC至E，使DC＝AC，EC＝BC，最后測出DE的距離即為AB的長；(Ⅱ)如圖2，先過點B作AB的垂線BF，再在BF上取C，D兩點，使BC＝CD，接著過點D作BD的垂線DE，交AC的延長線于E，則測出DE的長即為AB的距離．問：

圖1　　　　　圖2

(1)方案(Ⅰ)是否可行？，理由是；

(2)方案(Ⅱ)是否可行？，理由是；

(3)方案(Ⅱ)中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是，若僅滿足∠ABD＝∠BDE≠90°，方案(Ⅱ)

(填“成立”或“不成立”)．

18．如圖1所示的折疊凳．圖2是折疊凳撐開后的側面示意圖（木條等材料寬度忽略不計），其中凳腿AB和CD的長相等，O是它們的中點．為了使折疊凳坐著舒適，廠家將撐開后的折疊凳寬度AD設計為30cm，則由以上信息可推得CB的長度也為30cm，依據是

．

三．解答題

19．某段河流的兩岸是平行的，數學興趣小組在老師帶領下不用涉水過河就測得的寬度，他們是這樣做的：

①在河流的一條岸邊B點，選對岸正對的一棵樹A：

②沿河岸直走20m有一樹C．繼續前行20m到達D處；

③從D處沿河岸垂直的方向行走，當到達A樹正好被C樹遮擋住的E處停止行走；

④測得DE的長為5米．

（1）河的寬度是　　米．

（2）請你說明他們做法的正確性．

20．如圖：小剛站在河邊的A點處，在河的對面（小剛的正北方向）的B處有一電線塔，他想知道電線塔離他有多遠，于是他向正西方向走了30步到達一棵樹C處，接著再向前走了30步到達D處，然后他左轉90°直行，當小剛看到電線塔、樹與自己現處的位置E在一條直線時，他共走了140步．

（1）根據題意，畫出示意圖；

（2）如果小剛一步大約50厘米，估計小剛在點A處時他與電線塔的距離，并說明理由．

21．如圖，工人師傅要在墻壁的O處用鉆打孔，要使孔口從墻壁對面的B點處打出，墻壁厚是35cm，B點與O點的鉛直距離AB長是20cm，工人師傅在旁邊墻上與AO水平的線上截取OC＝35cm，畫CD⊥OC，使CD＝20cm，連接OD，然后沿著DO的方向打孔，結果鉆頭正好從B點處打出，這是什么道理呢？請你說出理由．

22．如圖，要測量池塘兩岸相對的兩點A，B的距離，可以在池塘外取AB的垂線BF上的兩點C，D，使BC＝CD，再畫出BF的垂線DE，使E與A，C在一條直線上，這時測得DE的長就是AB的長．為什么？

23．公園里有一條“Z”字形道路ABCD，如圖，其中AB∥CD.在AB，BC，CD三段路旁各有一小石凳E，M，F，M恰為BC中點，且E，F，M在同一條直線上，在BE段道路上停放了一排小汽車，從而無法直接測量B，E之間的距離，你能想出解決的方法嗎？說明其中的道理．

24．你一定玩過蹺蹺板吧！如圖是小明和小剛玩蹺蹺板的示意圖，橫板繞它的中點O上下轉動，立柱OC與地面垂直．當一方著地時，另一方上升到最高點．問：在上下轉動橫板的過程中，兩人上升的最大高度AA′，BB′有何數量關系？為什么？

25．如圖，樹AB與樹CD之間相距13m，小華從點B沿BC走向點C，行走一段時間后他到達點E，此時他仰望兩棵大樹的頂點A和D，且兩條視線的夾角正好為90°，EA＝ED．已知大樹AB的高為5m，小華行走的速度為1m/s，求小華行走到點E的時間．

北師大版七年級數學下冊第四章4.5利用全等三角形測距離

答案提示

一．選擇題

1．利用三角形全等測量距離的原理是(B)

A．全等三角形對應角相等

B．全等三角形對應邊相等

C．大小和形狀相同的兩個三角形全等

D．三邊對應相等的兩個三角形全等

2．打碎的一塊三角形玻璃如圖所示，現在要去玻璃店配一塊完全一樣的玻璃，最省事的方法是（）

A．帶①②去

B．帶②③去

C．帶③④去

D．帶②④去

解：A、帶①②去，符合ASA判定，選項符合題意；

B、帶②③去，僅保留了原三角形的一個角和部分邊，不符合任何判定方法，選項不符合題意；

C、帶③④去，僅保留了原三角形的一個角和部分邊，不符合任何判定方法，選項不符合題意；

D、帶②④去，僅保留了原三角形的兩個角和部分邊，不符合任何判定方法，選項不符合題意；

故選：A．

3．如圖為了測量B點到河對面的目標A之間的距離，在B點同側選擇了一點C，測得∠ABC＝65°，∠ACB＝35°，然后在M處立了標桿，使∠MBC＝65°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以測得MB的長就是A，B兩點間的距離，這里判定△MBC≌△ABC的理由是（）

A．SAS

B．AAA

C．SSS

D．ASA

解：在△ABC和△MBC中，∴△MBC≌△ABC（ASA），故選：D．

4．如圖，將兩根鋼條AA＇、BB＇的中點O連在一起，使AA＇、BB＇可以繞著點O自由旋轉，就做成了一個測量工件，則A＇B＇的長等于內槽寬AB，那么判定△OAB≌△OA＇B＇的理由是（）

A．SSS

B．SAS

C．AAS

D．ASA

解：△OAB與△OA′B′中，∵AO＝A′O，∠AOB＝∠A′OB′，BO＝B′O，∴△OAB≌△OA′B′（SAS）．

故選：B．

5．如圖，AB⊥BC，OB＝OC，CD⊥BC，點A，O，D在一條直線上，通過測量CD的長可知小河的寬AB，由此判定△AOB≌△DOC的依據是（）

A．SAS或SSA

B．ASA或AAS

C．SAS或ASA

D．SSS或AAS

解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABO＝∠OCD＝90°，在△ABO和△DCO中，∴△ABO≌△DCO（ASA），則證明△ABO≌△DCO的依據的是ASA，也可以利用AAS得出．

故選：B．

6．在測量一個小口圓柱形容器的壁厚時，小明用“X型轉動鉗”按如圖方法進行測量，其中OA＝OD，OB＝OC，AD＝BC，測得AB＝a，EF＝b，圓柱形容器的壁厚是（）

A．a

B．b

C．b﹣a

D．（b﹣a）

解：連接AB．

在△AOB和△DOC中，∴△AOB≌△DOC，∴AB＝CD＝a，∵EF＝b，∴圓柱形容器的壁厚是（b﹣a），故選：D．

7．如圖，小敏做了一個角平分儀ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，將儀器上的點A與∠PRQ的頂點R重合，調整AB和AD，使它們分別落在角的兩邊上，過點A，C畫一條射線AE，AE就是∠PRQ的平分線．此角平分儀的畫圖原理是：根據儀器結構，可得△ABC≌△ADC，這樣就有∠QAE＝∠PAE.則說明這兩個三角形全等的依據是(D)

A．SAS

B．ASA

C．AAS

D．SSS

8．要測量河兩岸相對的兩點A、B的距離，先在AB的垂線BF上取兩點C、D，使CD=BC，再定出BF的垂線DE，使A、C、E在同一條直線上，如圖，可以得到△EDC≌△ABC，所以ED=AB，因此測得ED的長就是AB的長，判定△EDC≌△ABC的理由是（）

A．SAS

B．ASA

C．SSS

D．HL

解：∵AB⊥BF，DE⊥BF，∴∠ABC=∠EDC=90°，在△EDC和△ABC中，∴△EDC≌△ABC（ASA）．

故選B．

9．如圖1，將長方形紙片沿對角線折疊，使點落在處，交AD于E，若，則在不添加任何輔助線的情況下，則圖中的角（虛線也視為角的邊）的個數是（）

A．5個

B．4個

C．3個

D．2

解：由折疊知△BDC

≌△BDC

∴∠C′BD=∠CBD=22.5°

∠C′=∠C=90°

∴∠C′BC=45°

又∵∠ABC=90°

∴∠ABE=45°

易得：∠AEB=45°，∠C′ED=45°，∠C′DE=45°。

綜上所述共有5個角為45°，判故選A。

11．已知△ABC≌△DEF，BC＝EF＝6cm，△ABC的面積為18平方厘米，則EF邊上的高是（）

A．6cm

B．7cm

C．8cm

D．9cm

解：設△DEF的面積為s，邊EF上的高為h，∵△ABC≌△DEF，BC＝EF＝6cm，△ABC的面積為18平方厘米

∴兩三角形的面積相等即s＝18

又S＝?EF?h＝18，∴h＝6

故選：A．

12．如圖，有兩個長度相同的滑梯靠在一面墻上．已知左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，則這兩個滑梯與地面夾角∠ABC與∠DFE的度數和是（）

A．60°

B．90°

C．120°

D．150°

解：∵滑梯、墻、地面正好構成直角三角形，∵BC＝EF，AC＝DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠2＝∠3，∠1＝∠4，∵∠3+∠4＝90°，∴∠ABC+∠DFE＝90°．

故選：B．

二．填空題

13．如圖，測量水池的寬AB，可過點A作直線AC⊥AB，再由點C觀測，在BA延長線上找一點B′，使∠ACB′＝∠ACB，這時只要量出AB′的長，就知道AB的長，這個測量用到判定三角形全等的方法是ASA．

14．如圖，A、B兩點分別位于一個池塘的兩端，點C是AD的中點，也是BE的中點，若DE＝20米，則AB＝　20米　．

解：∵點C是AD的中點，也是BE的中點，∴AC＝DC，BC＝EC，∵在△ACB和△DCE中，∴△ACB≌△DCE（SAS），∴DE＝AB，∵DE＝20米，∴AB＝20米，故答案為：20米．

15．如圖，小明與小紅玩蹺蹺板游戲，如果蹺蹺板的支點O（即蹺蹺板的中點）至地面的距離是50cm，當小紅從水平位置CD下降30cm時，這時小明離地面的高度是　80　cm．

解：在△OCF與△ODG中，∴△OCF≌△ODG（AAS），∴CF＝DG＝30（cm），∴小明離地面的高度是50+30＝80（cm），故答案為：80．

16．如圖，在新建的小區中，有一條“”字形綠色長廓，其中，在，三段綠色長廊上各修一涼亭，，且，點是的中點，在涼亭與之間有一池塘，不能直接到達．要想知道與的距離，只需要測出線段__________的長度．理由是：可以說明__________，從而由全等三角形的對應邊相等得出__________．

【答案】，≌，17．閱讀理解題：某校七(1)班學生到野外進行數學活動，為測量一池塘兩端A，B的距離，設計了如下兩種方案：(Ⅰ)如圖1，先在平地上取一個可以直接到達A，B的點C，再連接AC，BC，并分別延長AC至D，BC至E，使DC＝AC，EC＝BC，最后測出DE的距離即為AB的長；(Ⅱ)如圖2，先過點B作AB的垂線BF，再在BF上取C，D兩點，使BC＝CD，接著過點D作BD的垂線DE，交AC的延長線于E，則測出DE的長即為AB的距離．問：

圖1　　　　　　　圖2

(1)方案(Ⅰ)是否可行？可行，理由是SAS；

(2)方案(Ⅱ)是否可行？可行，理由是ASA；

(3)方案(Ⅱ)中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是構造全等三角形，若僅滿足∠ABD＝∠BDE≠90°，方案(Ⅱ)成立(填“成立”或“不成立”)．

18．如圖1所示的折疊凳．圖2是折疊凳撐開后的側面示意圖（木條等材料寬度忽略不計），其中凳腿AB和CD的長相等，O是它們的中點．為了使折疊凳坐著舒適，廠家將撐開后的折疊凳寬度AD設計為30cm，則由以上信息可推得CB的長度也為30cm，依據是

．

答案：全等三角形對應邊相等.解：∵O是AB、CD的中點，∴OA=OB，OC=OD，在△AOD和△BOC中，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴CB=AD，∵AD=30cm，∴CB=30cm．

所以，依據是全等三角形對應邊相等．

三．解答題

19．某段河流的兩岸是平行的，數學興趣小組在老師帶領下不用涉水過河就測得的寬度，他們是這樣做的：

①在河流的一條岸邊B點，選對岸正對的一棵樹A：

②沿河岸直走20m有一樹C．繼續前行20m到達D處；

③從D處沿河岸垂直的方向行走，當到達A樹正好被C樹遮擋住的E處停止行走；

④測得DE的長為5米．

（1）河的寬度是　5　米．

（2）請你說明他們做法的正確性．

證明：（1）由題意知，DE＝AB＝5米，即河的寬度是5米．

故答案是：5．

（2）如圖，由題意知，在Rt△ABC和Rt△EDC中，∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA）

∴AB＝ED．

即他們的做法是正確的．

20．如圖：小剛站在河邊的A點處，在河的對面（小剛的正北方向）的B處有一電線塔，他想知道電線塔離他有多遠，于是他向正西方向走了30步到達一棵樹C處，接著再向前走了30步到達D處，然后他左轉90°直行，當小剛看到電線塔、樹與自己現處的位置E在一條直線時，他共走了140步．

（1）根據題意，畫出示意圖；

（2）如果小剛一步大約50厘米，估計小剛在點A處時他與電線塔的距離，并說明理由．

解：（1）所畫示意圖如下：

（2）在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC（ASA），∴AB＝DE，又∵小剛共走了140步，其中AD走了60步，∴走完DE用了80步，小剛一步大約50厘米，即DE＝80×0.5米＝40（米）．

答：小剛在點A處時他與電線塔的距離為40米．

21．如圖，工人師傅要在墻壁的O處用鉆打孔，要使孔口從墻壁對面的B點處打出，墻壁厚是35cm，B點與O點的鉛直距離AB長是20cm，工人師傅在旁邊墻上與AO水平的線上截取OC＝35cm，畫CD⊥OC，使CD＝20cm，連接OD，然后沿著DO的方向打孔，結果鉆頭正好從B點處打出，這是什么道理呢？請你說出理由．

解：∵OC＝35cm，墻壁厚OA＝35cm，∴OC＝OA，∵墻體是垂直的，∴∠OAB＝90°且CD⊥OC，∴∠OAB＝∠OCD＝90°，在Rt△OAB和Rt△OCD中，∴Rt△OAB≌Rt△OCD（ASA），∴DC＝AB，∵DC＝20cm，∴AB＝20cm，∴鉆頭正好從B點處打出．

22．如圖，要測量池塘兩岸相對的兩點A，B的距離，可以在池塘外取AB的垂線BF上的兩點C，D，使BC＝CD，再畫出BF的垂線DE，使E與A，C在一條直線上，這時測得DE的長就是AB的長．為什么？

解：DE＝AB，理由如下：

∵AB⊥BF，DE⊥BF，∴∠B＝∠EDC＝90°．

在△ABC和△EDC中，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴AB＝ED．

23．公園里有一條“Z”字形道路ABCD，如圖，其中AB∥CD.在AB，BC，CD三段路旁各有一小石凳E，M，F，M恰為BC中點，且E，F，M在同一條直線上，在BE段道路上停放了一排小汽車，從而無法直接測量B，E之間的距離，你能想出解決的方法嗎？說明其中的道理．

解：測出CF的長即為BE的長．

由道路AB∥CD可知∠B＝∠C.又因為M為BC中點，所以BM＝CM.又因為∠EMB＝∠FMC，所以△EMB≌△FMC(ASA)．

所以BE＝CF.24．你一定玩過蹺蹺板吧！如圖是小明和小剛玩蹺蹺板的示意圖，橫板繞它的中點O上下轉動，立柱OC與地面垂直．當一方著地時，另一方上升到最高點．問：在上下轉動橫板的過程中，兩人上升的最大高度AA′，BB′有何數量關系？為什么？

解：AA′＝BB′.理由：因為O是AB′，A′B的中點，所以OA＝OB′，OB＝OA′.又因為∠A′OA＝∠B′OB，所以△A′OA≌△BOB′(SAS)．

所以AA′＝BB′.25．如圖，樹AB與樹CD之間相距13m，小華從點B沿BC走向點C，行走一段時間后他到達點E，此時他仰望兩棵大樹的頂點A和D，且兩條視線的夾角正好為90°，EA＝ED．已知大樹AB的高為5m，小華行走的速度為1m/s，求小華行走到點E的時間．

解：∵∠AED＝90°，∴∠AEB+∠DEC＝90°．

∵∠ABE＝90°，∴∠A+∠AEB＝90°．

∴∠A＝∠DEC，在△ABE和△DCE中

∵，∴△ABE≌△ECD（AAS），∴EC＝AB＝5m．

∵BC＝13m，∴BE＝8m．

∴小華走的時間是8÷1＝8（s）．