《現代控制理論》劉豹著(第3版)課后習題答案

第一章習題答案

1-1

試求圖1-27系統的模擬結構圖，并建立其狀態空間表達式。

解：系統的模擬結構圖如下：

系統的狀態方程如下：

令，則

所以，系統的狀態空間表達式及輸出方程表達式為

1-2有電路如圖1-28所示。以電壓為輸入量，求以電感中的電流和電容上的電壓作為狀態變量的狀態方程，和以電阻上的電壓作為輸出量的輸出方程。

解：由圖，令，輸出量

有電路原理可知：

既得

寫成矢量矩陣形式為：

1-3

參考例子1-3（P19）.1-4

兩輸入，兩輸出，的系統，其模擬結構圖如圖1-30所示，試求其狀態空間表達式和傳遞函數陣。

解：系統的狀態空間表達式如下所示：

1-5系統的動態特性由下列微分方程描述

列寫其相應的狀態空間表達式，并畫出相應的模擬結構圖。

解：令，則有

相應的模擬結構圖如下：

1-6

（2）已知系統傳遞函數,試求出系統的約旦標準型的實現，并畫出相應的模擬結構圖

解：

1-7

給定下列狀態空間表達式

‘

（1）

畫出其模擬結構圖

（2）

求系統的傳遞函數

解：

（2）

1-8

求下列矩陣的特征矢量

（3）

解：A的特征方程

解之得：

當時，解得：

令

得

（或令，得）

當時，解得：

令

得

（或令，得）

當時，解得：

令

得

1-9將下列狀態空間表達式化成約旦標準型（并聯分解）

（2）

解：A的特征方程

當時，解之得

令

得

當時，解之得

令

得

當時，解之得

令

得

約旦標準型

1-10

已知兩系統的傳遞函數分別為W1(s)和W2(s)

試求兩子系統串聯聯結和并聯連接時，系統的傳遞函數陣，并討論所得結果

解：（1）串聯聯結

（2）并聯聯結

1-11

（第3版教材）已知如圖1-22所示的系統，其中子系統1、2的傳遞函數陣分別為

求系統的閉環傳遞函數

解：

1-11（第2版教材）

已知如圖1-22所示的系統，其中子系統1、2的傳遞函數陣分別為

求系統的閉環傳遞函數

解：

1-12

已知差分方程為

試將其用離散狀態空間表達式表示，并使驅動函數u的系數b(即控制列陣)為

（1）

解法1：

解法2：

求T,使得

得

所以

所以，狀態空間表達式為

第二章習題答案

2-4

用三種方法計算以下矩陣指數函數。

（2）

A=

解：第一種方法：

令

則，即。

求解得到，當時，特征矢量

由，得

即，可令

當時，特征矢量

由，得

即，可令

則，第二種方法，即拉氏反變換法：

第三種方法，即凱萊—哈密頓定理

由第一種方法可知，2-5

下列矩陣是否滿足狀態轉移矩陣的條件，如果滿足，試求與之對應的A陣。

（3）

（4）

解：（3）因為，所以該矩陣滿足狀態轉移矩陣的條件

（4）因為，所以該矩陣滿足狀態轉移矩陣的條件

2-6

求下列狀態空間表達式的解：

初始狀態，輸入時單位階躍函數。

解：

因為，2-9

有系統如圖2.2所示，試求離散化的狀態空間表達式。設采樣周期分別為T=0.1s和1s，而和為分段常數。

圖2.2

系統結構圖

解：將此圖化成模擬結構圖

列出狀態方程

則離散時間狀態空間表達式為

由和得：

當T=1時

當T=0.1時

第三章習題答案

3-1判斷下列系統的狀態能控性和能觀測性。系統中a,b,c,d的取值對能控性和能觀性是否有關，若有關，其取值條件如何？

（1）系統如圖3.16所示：

解：由圖可得：

狀態空間表達式為：

由于、、與無關，因而狀態不能完全能控，為不能控系統。由于只與有關，因而系統為不完全能觀的，為不能觀系統。

（3）系統如下式：

解：如狀態方程與輸出方程所示，A為約旦標準形。要使系統能控，控制矩陣b中相對于約旦塊的最后一行元素不能為0，故有。

要使系統能觀，則C中對應于約旦塊的第一列元素不全為0，故有。

3-2時不變系統

試用兩種方法判別其能控性和能觀性。

解：方法一：

方法二：將系統化為約旦標準形。，中有全為零的行，系統不可控。中沒有全為0的列，系統可觀。

3-3確定使下列系統為狀態完全能控和狀態完全能觀的待定常數

解：構造能控陣：

要使系統完全能控，則，即

構造能觀陣：

要使系統完全能觀，則，即

3-4設系統的傳遞函數是

（1）當a取何值時，系統將是不完全能控或不完全能觀的？

（2）當a取上述值時，求使系統的完全能控的狀態空間表達式。

（3）當a取上述值時，求使系統的完全能觀的狀態空間表達式。

解：(1)

方法1

：

系統能控且能觀的條件為W(s)沒有零極點對消。因此當a=1,或a=3或a=6時，系統為不能控或不能觀。

方法2：

系統能控且能觀的條件為矩陣C不存在全為0的列。因此當a=1,或a=3或a=6時，系統為不能控或不能觀。

（2）當a=1,a=3或a=6時，系統可化為能控標準I型

（3）根據對偶原理，當a=1,a=2或a=4時，系統的能觀標準II型為

3-6已知系統的微分方程為：

試寫出其對偶系統的狀態空間表達式及其傳遞函數。

解：

系統的狀態空間表達式為

傳遞函數為

其對偶系統的狀態空間表達式為：

傳遞函數為

3-9已知系統的傳遞函數為

試求其能控標準型和能觀標準型。

解：

系統的能控標準I型為

能觀標準II型為

3-10給定下列狀態空間方程，試判別其是否變換為能控和能觀標準型。

解：

3-11試將下列系統按能控性進行分解

（1）

解：

rankM=2<3，系統不是完全能控的。

構造奇異變換陣：，其中是任意的，只要滿足滿秩。

即

得

3-12

試將下列系統按能觀性進行結構分解

（1）

解：

由已知得

則有

rank

N=2<3，該系統不能觀

構造非奇異變換矩陣，有

則

3-13

試將下列系統按能控性和能觀性進行結構分解

（1）

解：由已知得

rank

M=3，則系統能控

rank

N=3，則系統能觀

所以此系統為能控并且能觀系統

取，則

則，3-14求下列傳遞函數陣的最小實現。

（1）

解：，，系統能控不能觀

取，則

所以，所以最小實現為，，驗證：

3-15設和是兩個能控且能觀的系統

（1）試分析由和所組成的串聯系統的能控性和能觀性，并寫出其傳遞函數；

（2）試分析由和所組成的并聯系統的能控性和能觀性，并寫出其傳遞函數。

解：

（1）和串聯

當的輸出是的輸入時，則rank

M=2<3，所以系統不完全能控。

當得輸出是的輸入時，因為

rank

M=3

則系統能控

因為

rank

N=2<3

則系統不能觀

（2）和并聯，因為rank

M=3，所以系統完全能控

因為rank

N=3，所以系統完全能觀

所以圖中開環及閉環系統為能控、能觀性一致。

第四章習題答案

4-1判斷下列二次型函數的符號性質：

（1）

（2）

解：（1）由已知得，因此是負定的（2）由已知得，因此不是正定的4-2已知二階系統的狀態方程：

試確定系統在平衡狀態處大范圍漸進穩定的條件。

解：方法（1）：要使系統在平衡狀態處大范圍漸進穩定，則要求滿足A的特征值均具有負實部。

即：

有解，且解具有負實部。

即：

方法（2）：系統的原點平衡狀態為大范圍漸近穩定，等價于。

取，令，則帶入，得到

若，則此方程組有唯一解。即

其中

要求正定，則要求

因此，且

4-3試用lyapunov第二法確定下列系統原點的穩定性。

（1）

（2）

解：（1）系統唯一的平衡狀態是。選取Lyapunov函數為，則

是負定的。，有。即系統在原點處大范圍漸近穩定。

（2）系統唯一的平衡狀態是。選取Lyapunov函數為，則

是負定的。，有。即系統在原點處大范圍漸近穩定。

4-6設非線性系統狀態方程為：

試確定平衡狀態的穩定性。

解：若采用克拉索夫斯基法，則依題意有：

取

很明顯，的符號無法確定，故改用李雅普諾夫第二法。選取Lyapunov函數為，則

是負定的。，有。即系統在原點處大范圍漸近穩定。

4-9設非線性方程：

試用克拉索夫斯基法確定系統原點的穩定性。

解：（1）采用克拉索夫斯基法，依題意有：，有。

取

則，根據希爾維斯特判據，有：，的符號無法判斷。

（2）李雅普諾夫方法：選取Lyapunov函數為，則

是負定的。，有。即系統在原點處大范圍漸近穩定。

4-12試用變量梯度法構造下列系統的李雅普諾夫函數

解：假設的梯度為：

計算的導數為：

選擇參數，試選，于是得：，顯然滿足旋度方程，表明上述選擇的參數是允許的。則有：

如果，則是負定的，因此，是的約束條件。

計算得到為：

是正定的，因此在范圍內，是漸進穩定的。

第五章習題答案

5-1已知系統狀態方程為：

試設計一狀態反饋陣使閉環系統極點配置為-1，-2，-3。

解：依題意有：，系統能控。

系統的特征多項式為：

則將系統寫成能控標準I型，則有。

引入狀態反饋后，系統的狀態方程為：，其中矩陣，設，則系統的特征多項式為：

根據給定的極點值，得到期望特征多項式為：

比較各對應項系數，可解得：則有：。

5-3有系統：

（1）

畫出模擬結構圖。

（2）

若動態性能不滿足要求，可否任意配置極點？

（3）

若指定極點為-3，-3，求狀態反饋陣。

解（1）系統模擬結構圖如下：

（2）系統采用狀態反饋任意配置極點的充要條件是系統完全能控。

對于系統有：，系統能控，故若系統動態性能不滿足要求，可任意配置極點。

（3）系統的特征多項式為：

則將系統寫成能控標準I型，則有。

引入狀態反饋后，系統的狀態方程為：，設，則系統的特征多項式為：

根據給定的極點值，得到期望特征多項式為：

比較各對應項系數，可解得：。

5-4設系統傳遞函數為

試問能否利用狀態反饋將傳遞函數變成若有可能，試求出狀態反饋，并畫出系統結構圖。

解：

由于傳遞函數無零極點對消，因此系統為能控且能觀。

能控標準I型為

令為狀態反饋陣，則閉環系統的特征多項式為

由于狀態反饋不改變系統的零點，根據題意，配置極點應為-2，-2，-3，得期望特征多項式為

比較與的對應項系數，可得

即

系統結構圖如下：

5-5使判斷下列系統通過狀態反饋能否鎮定。

（1）

解：系統的能控陣為：，系統能控。

由定理5.2.1可知，采用狀態反饋對系統任意配置極點的充要條件是完全能控。又由于，系統能控，可以采用狀態反饋將系統的極點配置在根平面的左側，使閉環系統鎮定。

5-7設計一個前饋補償器，使系統

解耦，且解耦后的極點為。

解：

5-10已知系統：

試設計一個狀態觀測器，使觀測器的極點為-r，-2r(r>0)。

解：因為滿秩，系統能觀，可構造觀測器。

系統特征多項式為，所以有

于是

引入反饋陣，使得觀測器特征多項式：

根據期望極點得期望特征式：

比較與各項系數得：

即，反變換到x狀態下

觀測器方程為：

5-13

類似于5-12，設計略。