“《數學周報》杯”2019年全國初中數學競賽試題

一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.其中有且只有一個選項是正確的.請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分）

1．若，則的值為（）．

（A）

（B）

（C）

（D）

解：

由題設得．

2．若實數a，b滿足，則a的取值范圍是

（）．

（A）a≤

（B）a≥4

（C）a≤或

a≥4

（D）≤a≤4

解．C

因為b是實數，所以關于b的一元二次方程的判別式

≥0,解得a≤或

a≥4．

3．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=，CD＝，則AD邊的長為（）．

（A）

（B）

（C）

（D）

（第3題）

解：D

如圖，過點A，D分別作AE，DF垂直于直線BC，垂足分別為E，F．

由已知可得

（第3題）

BE=AE=，CF＝，DF＝2，于是

EF＝4＋．

過點A作AG⊥DF，垂足為G．在Rt△ADG中，根據勾股定理得

AD＝．

4．在一列數……中，已知，且當k≥2時，（取整符號表示不超過實數的最大整數，例如，），則等于（）．

(A)

(B)

(C)

(D)

解：B

由和可得，，，，……

因為2010=4×502+2，所以=2．

5．如圖，在平面直角坐標系xOy中，等腰梯形ABCD的頂點坐標分別為A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y軸上一點P（0，2）繞點A旋轉180°得點P1，點P1繞點B旋轉180°得點P2，點P2繞點C旋轉180°得點P3，點P3繞點D旋轉180°得點P4，……，重復操作依次得到點P1，P2，…，則點P2010的坐標是（）．

（A）（2010，2）

（B）（2010，）

（C）（2012，）

（D）（0，2）

解：B由已知可以得到，點，的坐標分別為（2，0），（2，）．

（第5題）

記，其中．

根據對稱關系，依次可以求得：，，．

令，同樣可以求得，點的坐標為（），即（），由于2010=4502+2，所以點的坐標為（2010，）．

二、填空題

6．已知a＝－1，則2a3＋7a2－2a－12的值等于

．

解：0

由已知得

(a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是

2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．

7．一輛客車、一輛貨車和一輛小轎車在一條筆直的公路上朝同一方向勻速行駛．在某一時刻，客車在前，小轎車在后，貨車在客車與小轎車的正中間．過了10分鐘，小轎車追上了貨車；又過了5分鐘，小轎車追上了客車；再過t分鐘，貨車追上了客車，則t＝

．

解：15

設在某一時刻，貨車與客車、小轎車的距離均為S千米，小轎車、貨車、客車的速度分別為

（千米/分），并設貨車經x分鐘追上客車，由題意得，①，②

．

③

由①②，得，所以，x=30．

故

（分）．

8．如圖，在平面直角坐標系xOy中，多邊形OABCDE的頂點坐標分別是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直線l經過點M（2，3），且將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分，則直線l的函數表達式是

．

（第8題

（第8題）

解：

如圖，延長BC交x軸于點F；連接OB，AFCE，DF，且相交于點N．

由已知得點M（2，3）是OB，AF的中點，即點M為矩形ABFO的中心，所以直線把矩形ABFO分成面積相等的兩部分．又因為點N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，過點N（5，2）的直線把矩形CDEF分成面積相等的兩部分．

于是，直線即為所求的直線．

設直線的函數表達式為，則

解得,故所求直線的函數表達式為．

9．如圖，射線AM，BN都垂直于線段AB，點E為AM上一點，過點A作BE的垂線AC分別交BE，BN于點F，C，過點C作AM的垂線CD，垂足為D．若CD＝CF，則

．

（第9題）

解：

見題圖，設．

因為Rt△AFB∽Rt△ABC，所以

．

又因為

FC＝DC＝AB，所以

即，解得，或（舍去）．

又Rt△∽Rt△，所以，即=．

10．對于i=2，3，…，k，正整數n除以i所得的余數為i－1．若的最小值滿足，則正整數的最小值為

．

解：

因為為的倍數，所以的最小值滿足，其中表示的最小公倍數．

由于，因此滿足的正整數的最小值為．

三、解答題（共4題，每題20分，共80分）

11．如圖，△ABC為等腰三角形，AP是底邊BC上的高，點D是線段PC上的一點，BE和CF分別是△ABD和△ACD的外接圓直徑，連接EF.求證：

（第12A題）

．

（第12B題）

（第11題）

（第12B題）

證明：如圖，連接ED，FD.因為BE和CF都是直徑，所以

ED⊥BC，FD⊥BC，因此D，E，F三點共線.…………（5分）

連接AE，AF，則，所以，△ABC∽△AEF.…………（10分）

（第11題）

作AH⊥EF，垂足為H，則AH=PD.由△ABC∽△AEF可得，從而，所以

.…………（20分）

12．如圖，拋物線（a0）與雙曲線相交于點A，B.已知點A的坐標為（1，4），點B在第三象限內，且△AOB的面積為3（O為坐標原點）.（1）求實數a，b，k的值；

（2）過拋物線上點A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點C，求

所有滿足△EOC∽△AOB的點E的坐標.解：（1）因為點A（1，4）在雙曲線上，所以k=4.故雙曲線的函數表達式為.（第12題）

設點B（t，），AB所在直線的函數表達式為，則有

解得，.于是，直線AB與y軸的交點坐標為，故，整理得，解得，或t＝（舍去）．所以點B的坐標為（，）．

因為點A，B都在拋物線（a0）上，所以

解得

…（10分）

（2）如圖，因為AC∥x軸，所以C（，4），于是CO＝4.又BO=2，所以.設拋物線（a0）與x軸負半軸相交于點D，則點D的坐標為（，0）.（第12題）

因為∠COD＝∠BOD＝，所以∠COB=.（i）將△繞點O順時針旋轉，得到△.這時，點(，2)是CO的中點，點的坐標為（4，）.延長到點，使得=，這時點（8，）是符合條件的點.（ii）作△關于x軸的對稱圖形△，得到點（1，）；延長到點，使得＝，這時點E２（2，）是符合條件的點．

所以，點的坐標是（8，），或（2，）.…………（20分）

13．求滿足的所有素數p和正整數m.解：由題設得，所以，由于p是素數，故，或.……（5分）

（1）若，令，k是正整數，于是，故，從而.所以解得

…………（10分）

（2）若，令，k是正整數.當時，有，故，從而，或2.由于是奇數，所以，從而.于是

這不可能.當時，；當，無正整數解；當時，無正整數解.綜上所述，所求素數p=5，正整數m=9.…………（20分）

14．從1，2，…，2010這2010個正整數中，最多可以取出多少個數，使得所取出的數中任意三個數之和都能被33整除？

解：首先，如下61個數：11，，…，（即1991）滿足題設條件.（5分）

另一方面，設是從1，2，…，2010中取出的滿足題設條件的數，對于這n個數中的任意4個數，因為，所以

.因此，所取的數中任意兩數之差都是33的倍數.…………（10分）

設，i=1，2，3，…，n.由，得，所以，即≥11.…………（15分）

≤，故≤60.所以，n≤61.綜上所述，n的最大值為61.…………（20分）