第一篇：1996年全國初中數學競賽試題及答案

1996年全國初中數學聯賽試題

A．M＞N

B．M=N

C．M＜N

D．不確定

A．有一組 B．有二組

C．多于二組

D．不存在

3．如圖，A是半徑為1的圓O外的一點，OA=2，AB是圓O的切線，B是切點，弦BC∥OA，連結AC，則陰影部分的面積等于 [

]

4．設x1、x2是二次方程x2+x?3=0的兩個根，那么x13?4x22+19的值等于 [

]

A．?

4B．8

C．6

D．0

5．如果一個三角形的面積和周長都被一直線所平分，那么該直線必通過這個三角形的 [

]

A．內心 B．外心 C．重心 D．垂心

6．如果20個點將某圓周20等分，那么頂點只能在這20個點中選取的正多邊形的個數有 [

]

A．4個 B．8個

C．12個

D．24個

2．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABN=∠MBC，BM=NM，BN=a，則點N到邊BC的距離等于______．

3．設1995x3=1996y3=1997z3，xyz＞0，且

4．如圖，將邊長為1的正方形ABCD繞A點按逆時針方向旋轉60°至AB＇C＇D＇的位置，則這兩個正方形重疊部分的面積是______．

5.某校在向“希望工程”捐款活動中，甲班的m個男生和11個女生的捐款總數與乙班的9個男人和n個女生的捐款總數相等，都是(m·n+9m+11n+145)元，已知每人的捐款數相同，且都是整數元，求每人的捐款數．

6.設凸四邊形ABCD的對角線AC、BD的交點為M，過點M作AD的平行線分別交AB、CD于點E、F，交BC的延長線于點O，P是以O為圓心OM為半徑的圓上一點（位置如圖所示），求證：∠OPF=∠OEP．

三、（本題滿分25分）

已知a、b、c都是正整數，且拋物線y=ax2+bx+c與x軸有兩個不同的交點A、B，若A、B到原點的距離都小于1，求a+b+c的最小值．

1996年全國初中數學聯賽參考答案

第一試

一、選擇題 1．B 2．A 3．B 4．D 5．A 6．C

二、填空題

一、據題意m+11=n+9，且整除mn+9m+11n+145mn+9m+11n+145=(m+11)(n+9)+46，故m+11，n+9都整除46，由此得

綜上可知，每人捐款數為25元或47元．

二、作AD、BO的延長線相交于G，∵OE

而，三、據題意，方程ax2+bx+c=0有兩個相異根，都在(?1，0)中，故

經檢驗，符合題意，∴a+b+c=11最小．

第二篇：19屆全國初中數學競賽試題及答案

“《數學周報》杯”2019年全國初中數學競賽試題

一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.其中有且只有一個選項是正確的.請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分）

1．若，則的值為（）．

（A）

（B）

（C）

（D）

解：

由題設得．

2．若實數a，b滿足，則a的取值范圍是

（）．

（A）a≤

（B）a≥4

（C）a≤或

a≥4

（D）≤a≤4

解．C

因為b是實數，所以關于b的一元二次方程的判別式

≥0,解得a≤或

a≥4．

3．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=，CD＝，則AD邊的長為（）．

（A）

（B）

（C）

（D）

（第3題）

解：D

如圖，過點A，D分別作AE，DF垂直于直線BC，垂足分別為E，F．

由已知可得

（第3題）

BE=AE=，CF＝，DF＝2，于是

EF＝4＋．

過點A作AG⊥DF，垂足為G．在Rt△ADG中，根據勾股定理得

AD＝．

4．在一列數……中，已知，且當k≥2時，（取整符號表示不超過實數的最大整數，例如，），則等于（）．

(A)

(B)

(C)

(D)

解：B

由和可得，，，，……

因為2010=4×502+2，所以=2．

5．如圖，在平面直角坐標系xOy中，等腰梯形ABCD的頂點坐標分別為A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y軸上一點P（0，2）繞點A旋轉180°得點P1，點P1繞點B旋轉180°得點P2，點P2繞點C旋轉180°得點P3，點P3繞點D旋轉180°得點P4，……，重復操作依次得到點P1，P2，…，則點P2010的坐標是（）．

（A）（2010，2）

（B）（2010，）

（C）（2012，）

（D）（0，2）

解：B由已知可以得到，點，的坐標分別為（2，0），（2，）．

（第5題）

記，其中．

根據對稱關系，依次可以求得：，，．

令，同樣可以求得，點的坐標為（），即（），由于2010=4502+2，所以點的坐標為（2010，）．

二、填空題

6．已知a＝－1，則2a3＋7a2－2a－12的值等于

．

解：0

由已知得

(a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是

2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．

7．一輛客車、一輛貨車和一輛小轎車在一條筆直的公路上朝同一方向勻速行駛．在某一時刻，客車在前，小轎車在后，貨車在客車與小轎車的正中間．過了10分鐘，小轎車追上了貨車；又過了5分鐘，小轎車追上了客車；再過t分鐘，貨車追上了客車，則t＝

．

解：15

設在某一時刻，貨車與客車、小轎車的距離均為S千米，小轎車、貨車、客車的速度分別為

（千米/分），并設貨車經x分鐘追上客車，由題意得，①，②

．

③

由①②，得，所以，x=30．

故

（分）．

8．如圖，在平面直角坐標系xOy中，多邊形OABCDE的頂點坐標分別是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直線l經過點M（2，3），且將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分，則直線l的函數表達式是

．

（第8題

（第8題）

解：

如圖，延長BC交x軸于點F；連接OB，AFCE，DF，且相交于點N．

由已知得點M（2，3）是OB，AF的中點，即點M為矩形ABFO的中心，所以直線把矩形ABFO分成面積相等的兩部分．又因為點N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，過點N（5，2）的直線把矩形CDEF分成面積相等的兩部分．

于是，直線即為所求的直線．

設直線的函數表達式為，則

解得,故所求直線的函數表達式為．

9．如圖，射線AM，BN都垂直于線段AB，點E為AM上一點，過點A作BE的垂線AC分別交BE，BN于點F，C，過點C作AM的垂線CD，垂足為D．若CD＝CF，則

．

（第9題）

解：

見題圖，設．

因為Rt△AFB∽Rt△ABC，所以

．

又因為

FC＝DC＝AB，所以

即，解得，或（舍去）．

又Rt△∽Rt△，所以，即=．

10．對于i=2，3，…，k，正整數n除以i所得的余數為i－1．若的最小值滿足，則正整數的最小值為

．

解：

因為為的倍數，所以的最小值滿足，其中表示的最小公倍數．

由于，因此滿足的正整數的最小值為．

三、解答題（共4題，每題20分，共80分）

11．如圖，△ABC為等腰三角形，AP是底邊BC上的高，點D是線段PC上的一點，BE和CF分別是△ABD和△ACD的外接圓直徑，連接EF.求證：

（第12A題）

．

（第12B題）

（第11題）

（第12B題）

證明：如圖，連接ED，FD.因為BE和CF都是直徑，所以

ED⊥BC，FD⊥BC，因此D，E，F三點共線.…………（5分）

連接AE，AF，則，所以，△ABC∽△AEF.…………（10分）

（第11題）

作AH⊥EF，垂足為H，則AH=PD.由△ABC∽△AEF可得，從而，所以

.…………（20分）

12．如圖，拋物線（a0）與雙曲線相交于點A，B.已知點A的坐標為（1，4），點B在第三象限內，且△AOB的面積為3（O為坐標原點）.（1）求實數a，b，k的值；

（2）過拋物線上點A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點C，求

所有滿足△EOC∽△AOB的點E的坐標.解：（1）因為點A（1，4）在雙曲線上，所以k=4.故雙曲線的函數表達式為.（第12題）

設點B（t，），AB所在直線的函數表達式為，則有

解得，.于是，直線AB與y軸的交點坐標為，故，整理得，解得，或t＝（舍去）．所以點B的坐標為（，）．

因為點A，B都在拋物線（a0）上，所以

解得

…（10分）

（2）如圖，因為AC∥x軸，所以C（，4），于是CO＝4.又BO=2，所以.設拋物線（a0）與x軸負半軸相交于點D，則點D的坐標為（，0）.（第12題）

因為∠COD＝∠BOD＝，所以∠COB=.（i）將△繞點O順時針旋轉，得到△.這時，點(，2)是CO的中點，點的坐標為（4，）.延長到點，使得=，這時點（8，）是符合條件的點.（ii）作△關于x軸的對稱圖形△，得到點（1，）；延長到點，使得＝，這時點E２（2，）是符合條件的點．

所以，點的坐標是（8，），或（2，）.…………（20分）

13．求滿足的所有素數p和正整數m.解：由題設得，所以，由于p是素數，故，或.……（5分）

（1）若，令，k是正整數，于是，故，從而.所以解得

…………（10分）

（2）若，令，k是正整數.當時，有，故，從而，或2.由于是奇數，所以，從而.于是

這不可能.當時，；當，無正整數解；當時，無正整數解.綜上所述，所求素數p=5，正整數m=9.…………（20分）

14．從1，2，…，2010這2010個正整數中，最多可以取出多少個數，使得所取出的數中任意三個數之和都能被33整除？

解：首先，如下61個數：11，，…，（即1991）滿足題設條件.（5分）

另一方面，設是從1，2，…，2010中取出的滿足題設條件的數，對于這n個數中的任意4個數，因為，所以

.因此，所取的數中任意兩數之差都是33的倍數.…………（10分）

設，i=1，2，3，…，n.由，得，所以，即≥11.…………（15分）

≤，故≤60.所以，n≤61.綜上所述，n的最大值為61.…………（20分）

第三篇：全國初中數學競賽試題及答案(1995年)

中國數學教育網

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1995年全國初中數學聯賽試題

第一試

一、選擇題

1．已知a＝355,b＝444,c＝533,則有［

]

A．a＜b＜c B．c＜b＜a

C．c＜a＜b

D．a＜c＜b

A．1 B．2

C．3

D．4 3．如果方程(x－1)(x2－2x－m)＝0的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數m的取值范圍是

4．如果邊長順次為25、39、52與60的四邊形內接于一圓，那么此圓的周長為 ［

]

A．62π B．63π C．64π D．65π 5．設AB是⊙O的一條弦，CD是⊙O的直徑，且與弦AB相交，記M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，則 [

]

A．M＞N

B．M＝N

C．M＜N D．M、N的大小關系不確定 6．設實數a、b滿足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，則[

]

A．a＞0且b＞0 B．a＜0且b＞0 C．a＞0且b＜0 D．a＜0且b＜0

二、填空題

1．在12，22，32…，952這95個數中，十位數字為奇數的數共有____個。

4．以線段AB為直徑作一個半圓，圓心為O，C是半圓周上的點，且OC2＝AC·BC，則∠CAB＝______．

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第二試

一、已知∠ACE＝∠CDE＝90°，點B在CE上，CA＝CB＝CD，經A、C、D三點的圓交AB于F（如圖）求證F為△CDE的內心。

二、在坐標平面上，縱坐標與橫坐標都是整數

理由。

三、試證：每個大于6的自然數n，都可以表示為兩個大于1且互質的自然數之和。

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1995年全國初中數學聯賽參考答案

第一試

一、選擇題

1．講解：這類指數冪的比較大小問題，通常是化為同底然后比較指數，或化為同指數然后比較底數，本題是化為同指數，有

c＝(53)11＝12511 ＜24311＝(35)11＝a

＜25611＝(44)11＝b。選C。

利用lg2＝0.3010，lg3＝0.4771計算lga、lgb、lgc也可以，但沒有優越性。

2．講解：這類方程是熟知的。先由第二個方程確定z＝1,進而可求出兩個解：(2，21，1)、(20，3，1)．也可以不解方程組

直接判斷：因為x≠y(否則不是正整數)，故方程組①或無解或有兩個解，對照選擇支，選B。

3．講解：顯然，方程的一個根為1，另兩根之和為x1＋x2＝2＞1。三根能作為一個三角形的三邊，須且只須｜x1－x2｜＜1又

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有0≤4－4m＜1．

4．講解：四個選擇支表明，圓的周長存在且唯一，從而直徑也存在且唯一．又由

AB2＋AD2 ＝252＋602

＝52×（52＋122）＝52×132

＝(32＋42)×132 ＝392＋522 ＝BC2＋CD2

故可取BD＝65為直徑，得周長為65π，選D．

5．講解：此題的得分率最高，但并不表明此題最容易，因為有些考生的理由是錯誤的．比如有的考生取AB為直徑，則M＝N＝0，于是就選B．其實，這只能排除A、C，不能排除D．

不失一般性，設CE≥ED，在CE上取CF＝ED，則有OF＝OE，且S△第 4 頁 http://www.tmdps.cn

ACE－S△ADE＝S△AEF＝2S△AOE．同理，S△BCE－S△BDE＝2S△BOE．相加，得S△ABC－S△DAB＝2S△OAB，即M＝N．選B．

若過C、D、O分別作AB的垂線（圖3），CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB，垂足分別為E、F、L．連CF、DE，可得梯形CEDF．又由垂徑分弦定理，知L是EF的中點．根據課本上做過的一道作業：梯形對角線中點的連線平行底邊，并且等于兩底差的一半，有

｜CE－DF｜＝2OL．

即M＝N．選B．

6．講解：取a＝-

1、b＝2可否定A、C、D，選B．一般地，對已知不等式平方，有

｜a｜(a＋b)＞a｜a＋b｜．

顯然｜a｜｜(a＋b)｜＞0（若等于0，則與上式矛盾），有

兩邊都只能取1或-1，故只有1＞-1，即

有a＜0且a＋b＞0，從而b＞-a＞0．選B．

二、填空題

1．講解：本題雖然以計算為載體，但首先要有試驗觀察的能力．經計算12，22，…，102，知十位數字為奇數的只有42＝16，62＝36．然后，對兩位數10a＋b，有

（10a＋b）2＝20a（5a＋b)＋b2．

其十位數字為b2的十位數字加上一個偶數，故兩位數的平方中，也中有b＝4或6時，其十位數字才會為奇數，問題轉化為，在1，2，…，95中個位數出現了幾次4或6，有2×9＋1＝19．

2.講解：這類問題一般都先化簡后代值，直接把a

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學生在這道題上的錯誤主要是化簡的方向不明確，最后又不會將a2＋a作為整體代入．這里關鍵是整體代入，抓住這一點，計算可以靈活．比如，由①有

由②－①，得

由③－②并將④代入，得

還可由①得

⑥÷⑤即得所求．

3．講解：這個題目是將二次函數y＝x2－x與反比例函數

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因而x＝1時，y有最小值1．

4．講解：此題由筆者提供，原題是求sin

∠CAB，讓初中生用代數、幾何相結合的方法求特殊角的三角函數值sin75°、sin15°．解法如下：

與AB2＝AB2＋AC2 ② 聯立，可推出

而式①、③表明，AB、AC是二次方程

改為求∠CAB之后，思路更寬一些．如，由

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第二試

一、講解：首先指出，本題有IMO29-5（1989年）的背景，該題是：在直角△ABC中，斜邊BC上的高，過△ABD的內心與△ACD的內心的直線分別交邊AB和AC于K和L，△ABC和△AKL的面積分別記為S和T．求證S≥2T．

在這個題目的證明中，要用到AK ＝AL＝AD．

今年的初中聯賽題相當于反過來，先給出AK＝AL＝AD(斜邊上的高)，再求證KL通過△ABD、△ADC的內心（圖7）．

其次指出，本題的證法很多，但思路主要有兩個：其一，連FC、FD、FE，然后證其中兩個為相應的角平分線；其二是過F作三邊的垂線，然后證明其中兩條垂線段相等．下面是幾個有代表性的證法．

證法1：如圖6，連DF，則由已知，有

連BD、CF，由CD＝CB，知 ∠FBD＝∠CBD－45° ＝∠CDB－45°＝∠FDB，得FB＝FD，即F到B、D和距離相等，F在線段BD的垂直平分線上，從而也在等腰三角形CBD的頂角平分線上，CF是∠ECD的平分線．

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由于F是△CDE上兩條角平分線的交點，因而就是△CDE的內心． 證法2：同證法1，得出∠CDF＝45°＝90°－45°＝∠FDE之后，由于∠ABC=∠FDE，故有B、E、D、F四點共圓．連EF，在證得

∠FBD=∠FDB之后，立即有∠FED＝∠FBD＝∠FDB＝∠FEB，即EF是∠CED的平分線．

本來，點E的信息很少，證EF為角平分線應該是比較難的，但四點共圓把許多已知信息集中并轉移到E上來了，因而證法2并不比證法1復雜．

由這個證明可知，F是△DCB的外心．

證法4：如圖8，只證CF為∠DCE的平分線．由∠AGC＝∠GBA＋∠GAB＝45°＋∠2，∠AGC=∠ADC=∠CAD=∠CAB+∠1

=45°+∠1 得∠1＝∠2．

從而∠DCF＝∠GCF，得CF為∠DCE的平分線．

證法5：首先DF是∠CDE的平分線，故 △CDE的外心I在直線DF上．

現以CA為y軸、CB為x軸建立坐標系，并記CA＝CB＝CD＝d,則直線AB是一次函數

y＝-x＋d ①

第 9 頁 http://www.tmdps.cn 的圖象（圖9）．若記內心I的坐標為（x1，y1），則 x1＋y1＝CH＋IH

＝CH＋HB＝CB＝d

滿足①，即I在直線AB上，但I在DF上，故I是AB與DF的交點．由交點的唯一性知I就是F，從而證得F為Rt△CDE的內心．

還可延長ED交⊙O于P1，而CP為直徑來證．

二、講解：此題的原型由筆者提供．題目是：

于第一象限內，縱坐標小于橫坐標的格點．

這個題目的實質是解不等式

求正整數解．直接解，數字較繁．但有巧法，由

及1≤y＜x，知1＋2＋…＋(x－1)＜1995＜1＋2＋…＋x．

但1953＝1＋2＋…＋62＜1995＜1＋2＋…＋62＋63＝2016，得x＝63，從而y＝21，所求的格點為(21，63)．

經過命題組的修改之后，數據更整齊且便于直接計算．

有x2－x＋18≤10｜x｜．

當x≥0時，有x2－11x＋18≤0，得2≤x≤9，代入二次函數，得合乎條件的4個整點：(2,2),(4,3),(7,6),(9,9);

當x＜0時，有 x2＋9x＋18≤0，得-6≤x≤-3，代入二次函數，得合乎條件的2個整點：

(-6,6),(-3,3)．

對x≥0，取x＝2,4,7,9,12,14,…順次代入，得(2，2)、(4，3)、(7，6)、(9，9)，且當x＞9時，由

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對x<0，取x＝-1,-3,-6,-8,…順次代入，得(-3，3)、(-6，6)，且當x<-6時，由

知y>-x，再無滿足y≤｜x｜的解． 故一共有6個整點，圖示略．

解法3：先找滿足條件y＝｜x｜的整點，即分別解方程 x2－11x＋18＝0 ① x2＋9x＋18＝0 ②

可得(2，2)、(9，9)、(-6，6)、(-3，3)．

再找滿足y＜｜x｜的整點，這時 2＜x＜9或-6＜x＜-3，依次檢驗得(4，3)、(7，6)．故共有6個整點．

三、講解：直觀上可以這樣看，當n＞6時，在2，3，…，n－2中，必有一個數A與n互質(2≤A≤n－2)，記

B＝n－A≥2，有n＝A＋B．

此時，A與B必互質，否則A與B有公約數d＞1，則d也是n的約數，從而A與n有大于1的公約數，與A、n互質矛盾．

但是，對于初中生來說，這個A的存在性有點抽象，下面分情況，把它具體找出來．

(1)當n為奇數時，有 n＝2＋(n－2)，(2)當n為偶數，但不是4的倍數時，有

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(3)當n為偶數，且又是4的倍數時，有

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第四篇：1999年全國初中數學競賽試題及答案

1999年全國初中數學競賽試卷

一、選擇題（本題共6小題，每小題5分，滿分30分．每小題均給出了代號為A，B，C，D的四個結論，其中只有一個是正確的．請將正確答案的代號填在題后的括號里）

1．一個凸n邊形的內角和小于1999°，那么n的最大值是（）．

A．11 B．12 C．13 D．14

2．某城市按以下規定收取每月煤氣費：用煤氣如果不超過60立方米，按每立方米0.8元收費；如果超過60立方米，超過部分按每立方米1.2元收費．已知某用戶4月份的煤氣費平均每立方米0.88元，那么4月份該用戶應交煤氣費（）．

A．60元 B．66元 C．75元 D．78元

3．已知，那么代數式的值為（）．

A． B．－ C．－ D．

4．在三角形ABC中，D是邊BC上的一點，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC的面積是（）．

A．30 B．36 C．72 D．125

5．如果拋物線

與x軸的交點為A，B，項點為C，那么三角形ABC的面積的最小值是（）．

A．1 B．2 C．3 D．4

6．在正五邊形ABCDE所在的平面內能找到點P，使得△PCD與△BCD的面積相等，并且△ABP為等腰三角形，這樣的不同的點P的個數為（）．

A．2 B．3 C．4 D．5

二、填空題（本題共6小題，每小題5分，滿分30分）

7．已知，那么x + y的值為

．

28．如圖1，正方形ABCD的邊長為10cm，點E在邊CB的延長線上，且EB=10cm，點

2P在邊DC上運動，EP與AB的交點為F．設DP=xcm，△EFB與四邊形AFPD的面積和為ycm，那么，y與x之間的函數關系式是

（0＜x＜10）．

9．已知ab≠0，a + ab－2b = 0，那么的值為

．

10．如圖2，已知邊長為1的正方形OABC在直角坐標系中，A，B兩點在第Ⅰ象限內，OA與x軸的夾角為30°，那么點B的坐標是

．

11．設有一個邊長為1的正三角形，記作A1（如圖3），將A1的每條邊三等分，在中間的線段上向形外作正三角形，去掉中間的線段后所得到的圖形記作A2（如圖4）；將A2的每條邊三等分，并重復上述過程，所得到的圖形記作A3（如圖5）；再將A3的每條邊三等分，并重復上述過程，所得到的圖形記作A4，那么A4的周長是

． 22

12．江堤邊一洼地發生了管涌，江水不斷地涌出，假定每分鐘涌出的水量相等．如果用兩

臺抽水機抽水，40分鐘可抽完；如果用4臺抽水機抽水，16分鐘可抽完．如果要在10分鐘內抽完水，那么至少需要抽水機

臺．

三、解答題（本題共3小題，每小題20分，滿分60分）

13．設實數s，t分別滿足19s + 99s + 1 = 0，t + 99t + 19 = 0，并且st≠1，求的值．

14．如圖6，已知四邊形ABCD內接于直徑為3的圓O，對角線AC是直徑，對角線AC和BD的交點是P，AB=BD，且PC=0.6，求四邊形ABCD的周長．

15．有人編了一個程序：從1開始，交錯地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法）每次加法，將上次的運算結果加2或加3；每次乘法，將上次的運算結果乘2或乘3．例如，30可以這樣得到：

．

（1）（10分）證明：可以得到22；

10097

（2）（10分）證明：可以得到2 + 2－2．

1999年全國初中數學競賽答案

一、1．C 2．B 3．D 4．B 5．A 6．D

二、7．10 8．y = 5x + 50 9． 10． 11． 12．6

三、13．解：∵s≠0，∴第一個等式可以變形為：

又∵st≠1，．

∴，t是一元二次方程x + 99x + 19 = 0的兩個不同的實根，于是，有

．

即st + 1 =－99s，t = 19s．

∴．

14．解：設圓心為O，連接BO并延長交AD于H．

∵AB=BD，O是圓心，∴BH⊥AD． 又∵∠ADC=90°，∴BH∥CD．

從而△OPB∽△CPD．

∴CD=1．

于是AD=

又OH=CD=，于是

．，2

AB=

BC=

所以，四邊形ABCD的周長為

15．證明：

（1），．

．

．

也可以倒過來考慮：

．

（或者

（2

．））

．

或倒過來考慮：

．

注意：加法與乘法必須是交錯的，否則不能得分．

第五篇：09年全國初中數學聯賽試題及答案

09年全國初中數學聯賽試題及答案

時間：2009-6-3 14:33:52 點擊：15833 2009年全國初中數學聯合競賽試題參考答案

第一試

一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）1.設，則

.D.（）

.A.24.B.25.C.2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的兩倍，且AB＝7，AC＝8，則BC＝（）A.3．用表示不大于的最大整數，則方程的解的個數.B..C..D..為（）

A.1.B.2.C.3.D.4.4．設正方形ABCD的中心為點O，在以五個點A、B、C、D、O為頂點所構成的所有三角形中任意取出兩個，它們的面積相等的概率為（）

A..B..C..D..5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC為直徑在矩形內作半圓，自點A作半圓的切線AE，則

CBE＝（D）

A..B..C..D..1

6．設是大于1909的正整數，使得A.3.B.4.C.5.D.6.為完全平方數的的個數是（）

二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）1．已知是實數，若則

是關于的一元二次方程的兩個非負實根，的最小值是____________.2． 設D是△ABC的邊AB上的一點，作DE//BC交AC于點E，作DF//AC交BC于點F，已知△ADE、△DBF的面積分別為3．如果實數滿足條件，和，則四邊形DECF的面積為______.，則

______.4．已知_____對.是正整數，且滿足是整數，則這樣的有序數對共有第一試答案： ACCBDB；－3，第二試（A）

一．（本題滿分20分）已知二次函數別為A、B，與，－1，－7 的圖象與軸的交點分軸的交點為C.設△ABC的外接圓的圓心為點P.軸的另一個交點為定點.，求和的值.，設，則，.（1）證明：⊙P與（2）如果AB恰好為⊙P的直徑且解:（1）易求得點設⊙P與的坐標為軸的另一個交點為D，由于AB、CD是⊙P的兩條相交弦，它們的交點為點O，所以OA×OB＝OC×OD，則因為，所以點

在軸的負半軸上，從而點D在.軸的正半軸上，所以點D為定點，它的坐標為(0,1).（2）因為AB⊥CD，如果AB恰好為⊙P的直徑，則C、D關于點O對稱，所以點的坐標為即.，又，所以，解得.、分別是二．（本題滿分25分）設CD是直角三角形ABC的斜邊AD上的高，△ADC、△BDC的內心，AC＝3，BC＝4，求解 作E⊥AB于E，F⊥AB于F...在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，又CD⊥AB，由射影定理可得，故，.因為連接DDA＝∠E為直角三角形ACD的內切圓的半徑，所以、D，則D、D

＝.DC＝∠

D，分別是∠ADC和∠BDC的平分線，所以∠

D

＝90°，所以DC＝∠DB＝45°，故∠D⊥

.同理，可求得，.所以＝.三．（本題滿分25分）已知為正數，滿足如下兩個條件：

①

②

證明：以為三邊長可構成一個直角三角形.證法1 將①②兩式相乘，得，即，即，即，即，即，即，即，即所以.因此，以

或，或，即

或

或

為三邊長可構成一個直角三角形.證法2 結合①式，由②式可得，變形，得又由①式得，即

③，代入③式，得.，即 4，所以或

或或

.或

.結合①式可得因此，以

為三邊長可構成一個直角三角形.第二試（B）

一．（本題滿分20分）題目和解答與（A）卷第一題相同.二．（本題滿分25分）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB邊上的高線CH與△ABC的兩條內角平分線 AM、BN分別交于P、Q兩點.PM、QN的中點分別為E、F.求證：EF∥AB.解 因為BN是∠ABC的平分線，所以又因為CH⊥AB，所以，因此.，因此C、F、H、B

.又F是QN的中點，所以CF⊥QN，所以四點共圓.又，所以FC＝FH，故點F在CH的中垂線上.同理可證，點E在CH的中垂線上.因此EF⊥CH.又AB⊥CH，所以EF∥AB.三．（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第三題相同.第二試（C）

一．（本題滿分20分）題目和解答與（A）卷第一題相同.二．（本題滿分25分）題目和解答與（B）卷第二題相同.三．（本題滿分25分）已知

為正數，滿足如下兩個條件：

①

②

是否存在以

為三邊長的三角形？如果存在，求出三角形的最大內角.解法1 將①②兩式相乘，得，即，即，即，即，即，即，即，即，所以.因此，以

或或，即或或

為三邊長可構成一個直角三角形，它的最大內角為90°.解法2 結合①式，由②式可得，變形，得又由①式得，即

③，代入③式，得.，即所以或或或

.或

.結合①式可得因此，以下載附件：

為三邊長可構成一個直角三角形，它的最大內角為90°.中國教育學會中學數學教學專業委員會

“《數學周報》杯”2010年全國初中數學競賽試題參考答案

一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.其中有且只有一個選項是正確的.請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分）1．若，則 的值為（）．

（A）（B）（C）（D）

解： 由題設得 ．

2．若實數a，b滿足，則a的取值范圍是（）．

（A）a≤（B）a≥4（C）a≤ 或 a≥4（D）≤a≤4 解．C 因為b是實數，所以關于b的一元二次方程 的判別式 ≥0,解得a≤ 或 a≥4．

3．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=，CD＝，則AD邊的長為（）．（A）（B）

（第3題）

（C）（D）

解：D 如圖，過點A，D分別作AE，DF垂直于直線BC，垂足分別為E，F． 由已知可得（第3題）

BE=AE=，CF＝，DF＝2，于是 EF＝4＋ ．

過點A作AG⊥DF，垂足為G．在Rt△ADG中，根據勾股定理得

AD ＝ ．

4．在一列數 ??中，已知，且當k≥2時，（取整符號 表示不超過實數 的最大整數，例如，），則 等于（(A)1(B)2(C)3(D)4 解：B 由 和 可得，，，，）．

??

因為2010=4×502+2，所以 =2．

5．如圖，在平面直角坐標系xOy中，等腰梯形ABCD的頂點坐標分別為A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y軸上一點P（0，2）繞點A旋轉180°得點P1，點P1繞點B旋轉180°得點P2，點P2繞點C旋轉180°得點P3，點P3繞點D旋轉180°得點P4，??，重復操作依次得到點P1，P2，?，則點P2010的坐標是（）．（第5題）

（A）（2010，2）（B）（2010，）

（C）（2012，）（D）（0，2）

解：B由已知可以得到，點，的坐標分別為（2，0），（2，）． 記，其中 ．

根據對稱關系，依次可以求得：，，．

令，同樣可以求得，點 的坐標為（），即（），由于2010=4 502+2，所以點 的坐標為（2010，）．

二、填空題

6．已知a＝ －1，則2a3＋7a2－2a－12 的值等于 ．

解：0 由已知得(a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是

2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．

7．一輛客車、一輛貨車和一輛小轎車在一條筆直的公路上朝同一方向勻速行駛．在某一時刻，客車在前，小轎車在后，貨車在客車與小轎車的正中間．過了10分鐘，小轎車追上了貨車；又過了5分鐘，小轎車追上了客車；再過t分鐘，貨車追上了客車，則t＝ ． 解：15

設在某一時刻，貨車與客車、小轎車的距離均為S千米，小轎車、貨車、客車的速度分別為（千米/分），并設貨車經x分鐘追上客車，由題意得，①，② ． ③ 由①②，得，所以，x=30． 故（分）．（第8題

8．如圖，在平面直角坐標系xOy中，多邊形OABCDE的頂點坐標分別是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直線l經過點M（2，3），且將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分，則直線l的函數表達式是 ．

（第8題）

解：

如圖，延長BC交x軸于點F；連接OB，AF CE，DF，且相交于點N．

由已知得點M（2，3）是OB，AF的中點，即點M為矩形ABFO的中心，所以直線 把矩形ABFO分成面積相等的兩部分．又因為點N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，過點N（5，2）的直線把矩形CDEF分成面積相等的兩部分． 于是，直線 即為所求的直線 ．

設直線 的函數表達式為，則 解得 ,故所求直線 的函數表達式為 ．（第9題）

9．如圖，射線AM，BN都垂直于線段AB，點E為AM上一點，過點A作BE的垂線AC分別交BE，BN于點F，C，過點C作AM的垂線CD，垂足為D．若CD＝CF，則 ．

解： 見題圖，設 ．

因為Rt△AFB∽Rt△ABC，所以 ． 又因為 FC＝DC＝AB，所以 即，解得，或（舍去）．

又Rt△ ∽Rt△，所以，即 = ．

10．對于i=2，3，?，k，正整數n除以i所得的余數為i－1．若 的最小值 滿足，則正整數 的最小值為 ． 解： 因為 為 的倍數，所以 的最小值 滿足，其中 表示 的最小公倍數． 由于，因此滿足 的正整數 的最小值為 ．

三、解答題（共4題，每題20分，共80分）

11．如圖，△ABC為等腰三角形，AP是底邊BC上的高，點D是線段PC上的一點，BE和CF分別是△ABD和△ACD的外接圓直徑，連接EF.求證：

（第12A題）．

（第12B題）

（第11題）

（第12B題）

證明：如圖，連接ED，FD.因為BE和CF都是直徑，所以

ED⊥BC，FD⊥BC，因此D，E，F三點共線.????（5分）連接AE，AF，則（第11題），所以，△ABC∽△AEF.????（10分）

作AH⊥EF，垂足為H，則AH=PD.由△ABC∽△AEF可得，從而，所以.????（20分）

12．如圖，拋物線（a 0）與雙曲線 相交于點A，B.已知點A的坐標為（1，4），點B在第三象限內，且△AOB的面積為3（O為坐標原點）.（1）求實數a，b，k的值；

（2）過拋物線上點A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點C，求所有滿足△EOC∽△AOB的點E的坐標.（第12題）

解：（1）因為點A（1，4）在雙曲線 上，所以k=4.故雙曲線的函數表達式為.設點B（t，），AB所在直線的函數表達式為，則有

解得，.于是，直線AB與y軸的交點坐標為，故，整理得，解得，或t＝（舍去）．所以點B的坐標為（，）．

因為點A，B都在拋物線（a 0）上，所以 解得 ????（10分）（2）如圖，因為AC∥x軸，所以C（，4），于是CO＝4.又BO=2，所以.13

（第12題）

設拋物線（a 0）與x軸負半軸相交于點D，則點D的坐標為（，0）.因為∠COD＝∠BOD＝，所以∠COB=.（i）將△ 繞點O順時針旋轉，得到△.這時，點(，2)是CO的中點，點 的坐標為（4，）.延長 到點，使得 =，這時點（8，）是符合條件的點.（ii）作△ 關于x軸的對稱圖形△，得到點（1，）；延長 到點，使得 ＝，這時點E２（2，）是符合條件的點．

所以，點 的坐標是（8，），或（2，）.????（20分）

13．求滿足 的所有素數p和正整數m.．解：由題設得，所以，由于p是素數，故，或.??（5分）

（1）若，令，k是正整數，于是，故，從而.所以 解得 ????（10分）（2）若，令，k是正整數.當 時，有，故，從而，或2.由于 是奇數，所以，從而.于是

這不可能.當 時，；當，無正整數解；當 時，無正整數解.綜上所述，所求素數p=5，正整數m=9.????（20分）

14．從1，2，?，2010這2010個正整數中，最多可以取出多少個數，使得所取出的數中任意三個數之和都能被33整除？

解：首先，如下61個數：11，，?，（即1991）滿足題設條件.????（5分）

另一方面，設 是從1，2，?，2010中取出的滿足題設條件的數，對于這n個數中的任意4個數，因為，所以.因此，所取的數中任意兩數之差都是33的倍數.????（10分）設，i=1，2，3，?，n.由，得，所以，即 ≥11.????（15分）

≤，故 ≤60.所以，n≤61.綜上所述，n的最大值為61.????（20分）