第一篇：初中一年級數(shù)學(xué)第二試試題及答案(競賽)201305

初中一年級數(shù)學(xué)第二試試題及答案(競賽）201305

初中一年級數(shù)學(xué)第二試試題及答案

一、選擇題（每題1分，共5分）

以下每個題目里給出的A，B，C，D四個結(jié)論中有且僅有一個是正確的．請你在括號填上你認(rèn)為是正確的那個結(jié)論的英文字母代號．

1．某工廠去年的生產(chǎn)總值比前年增長a%，則前年比去年少的百分?jǐn)?shù)是 [ ] A．a(chǎn)%． B． 1+a %． C.D.2．甲杯中盛有2m毫升紅墨水，乙杯中盛有m毫升藍(lán)墨水，從甲杯倒出a毫升到乙杯里, 0＜a＜m，攪勻后，又從乙杯倒出a毫升到甲杯里，則這時 [ ] A．甲杯中混入的藍(lán)墨水比乙杯中混入的紅墨水少． B．甲杯中混入的藍(lán)墨水比乙杯中混入的紅墨水多． C．甲杯中混入的藍(lán)墨水和乙杯中混入的紅墨水相同．

D．甲杯中混入的藍(lán)墨水與乙杯中混入的紅墨水多少關(guān)系不定． 3.已知數(shù)x 100,則[ ] A．x是完全平方數(shù)．B． x－50 是完全平方數(shù)． C． x－25 是完全平方數(shù)．D． x+50 是完全平方數(shù)．

4．觀察圖1中的數(shù)軸：用字母a，b，c依次表示點A，B，C對應(yīng)的數(shù),則的大小關(guān)系是[ ] A.;B.;C.;D..5．x 9，y －4是二元二次方程2x2+5xy+3y2 30的一組整數(shù)解，這個方程的不同的整數(shù)解共有

[ ]

D．16組． A．2組． B．6組．C．12組．

二、填空題（每題1分，共5分）

1．方程|1990x－1990| 1990的根是______．

2．對于任意有理數(shù)x，y，定義一種運(yùn)算*，規(guī)定x*y ax+by－cxy，其中的a，b，c表示已知數(shù)，等式右邊是通常的加、減、乘運(yùn)算．又知道1*2 3，2*3 4，x*m x（m≠0），則m的數(shù)值是______．

3．新上任的宿舍管理員拿到20把鑰匙去開20個房間的門，他知道每把鑰匙只能開其中的一個門，但不知道每把鑰匙是開哪一個門的鑰匙，現(xiàn)在要打開所有關(guān)閉著的20個房間，他最多要試開______次．

4．當(dāng)m ______時，二元二次六項式6x2+mxy－4y2－x+17y－15可以分解為兩個關(guān)于x，y的二元一次三項式的乘積．

5．三個連續(xù)自然數(shù)的平方和（填“是”或“不是”或“可能是”）______某個自然數(shù)的平方．

三、解答題（寫出推理、運(yùn)算的過程及最后結(jié)果．每題5分，共15分）1．兩輛汽車從同一地點同時出發(fā)，沿同一方向同速直線行駛，每車最多只能帶24桶汽油，途中不能用別的油，每桶油可使一輛車前進(jìn)60公里，兩車都必須返回出發(fā)地點，但是可以不同時返回，兩車相互可借用對方的油．為了使其中一輛車盡可能地遠(yuǎn)離出發(fā)地點，另一輛車應(yīng)當(dāng)在離出發(fā)地點多少公里的地方返回？離出發(fā)地點最遠(yuǎn)的那輛車一共行駛了多少公里？ 2．如圖2，紙上畫了四個大小一樣的圓，圓心分別是A，B，C，D，直線m通過A，B，直線n通過C，D，用S表示一個圓的面積，如果四個圓在紙上蓋住的總面積是5 S－1，直線m，n之間被圓蓋住的面積是8，陰影部分的面積S1，S2，S3滿足關(guān)系式S3 S1 S2,求S．

3.求方程的正整數(shù)解.答案與提示

一、選擇題 提示：

1．設(shè)前年的生產(chǎn)總值是m，則去年的生產(chǎn)總值是 前年比去年少

這個產(chǎn)值差占去年的應(yīng)選D．

2．從甲杯倒出a毫升紅墨水到乙杯中以后： 再從乙杯倒出a毫升混合墨水到甲杯中以后： 乙杯中含有的紅墨水的數(shù)量是 ① 乙杯中減少的藍(lán)墨水的數(shù)量是 ② ∵① ②∴選C． ∴x－25 10n+2+5 2 可知應(yīng)當(dāng)選C．

4．由所給出的數(shù)軸表示（如圖3）： 可以看出

∴①＜②＜③，∴選C．

5．方程2x2+5xy+3y2 30可以變形為 2x+3y x+y 1??2??3??5 ∵x，y是整數(shù)，∴2x+3y，x+y也是整數(shù)． 由下面的表

可以知道共有16個二元一次方程組，每組的解都是整數(shù)，所以有16組整數(shù)組，應(yīng)選D．

二、填空題 提示：

1．原方程可以變形為|x－1| 1，即x-1 1或-1，∴x 2或0． 2．由題設(shè)的等式x*y ax+by-cxy 及x*m x m≠0 得a??0+bm-c??0??m 0，∴bm 0． ∵m≠0，∴b 0． ∴等式改為x*y ax-cxy． ∵1*2 3，2*3 4，解得a 5，c 1．

∴題設(shè)的等式即x*y 5x-xy．

在這個等式中，令x 1，y m，得5-m 1，∴m 4． 3．∵打開所有關(guān)閉著的20個房間，∴最多要試開

4．利用“十字相乘法”分解二次三項式的知識，可以判定給出的二元二次六項式 6x2+mxy-4y2-x+17y-15 中劃波浪線的三項應(yīng)當(dāng)這樣分解： 3x-5 2x +3 現(xiàn)在要考慮y，只須先改寫作

然后根據(jù)-4y2，17y這兩項式，即可斷定是：

由于 3x+4y-5 2x-y+3 6x2+5xy-4y2-x+17y-15就是原六項式，所以m 5． 5．設(shè)三個連續(xù)自然數(shù)是a-1，a，a+1，則它們的平方和是 a-1 2+a2+ a+1 2 3a2+2，顯然，這個和被3除時必得余數(shù)2．

另一方面，自然數(shù)被3除時，余數(shù)只能是0或1或2，于是它們可以表示成 3b，3b+1，3b+2（b是自然數(shù)）中的一個，但是它們的平方 3b 2 9b2 3b+1 2 9b2+6b+1，3b+2 2 9b2+12b+4 9b2+12b+3 +1 被3除時，余數(shù)要么是0，要么是1，不能是2，所以三個連續(xù)自然數(shù)平方和不是某個自然數(shù)的平方．

三、解答題

1．設(shè)兩輛汽車一為甲一為乙，并且甲用了x升汽油時即回返，留下返程需的x桶汽油，將多余的 24-2x 桶汽油給乙．讓乙繼續(xù)前行，這時，乙有 24-2x + 24-x 48-3x桶汽油，依題意，應(yīng)當(dāng)有48-3x≤24，∴x≥8． 甲、乙分手后，乙繼續(xù)前行的路程是

這個結(jié)果中的代數(shù)式30 48-4x 表明，當(dāng)x的值愈小時，代數(shù)式的值愈大，因為x≥8，所以當(dāng)x 8時，得最大值30 48-4??8 480（公里），因此，乙車行駛的路程一共是2 60??8+480 1920（公里）． 2．由題設(shè)可得 即2S-5S3 8……② ∴x，y，z都＞1，因此，當(dāng)1＜x≤y≤z時，解

x，y，z 共 2，4，12，2，6，6，3，3，6，3，4，4 四組．

由于x，y，z在方程中地位平等．所以可得如下表所列的15組解．

第二篇：第二學(xué)期一年級數(shù)學(xué)競賽試題

名姓級班校學(xué) 2008-2009學(xué)第二學(xué)期一年級數(shù)學(xué)競賽試卷 ②2、11、2、10、2、（）、（）、8

一、填空（每空2分，共40分）

二、計算（每小題4分，共24分）（1）☆＋20－20＝35，這道數(shù)學(xué)題中的☆＝（）96－34－36＝87－32＋45＝100－27－38＝ 93－69＋25＝98－89＋72＝（2）張50元錢可以換（）張20元和（）張10元。2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＋18＋20＝（3）50以內(nèi)個位上是8的兩位數(shù)有：

三、解決問題（每小題12分，共36分）（4）60連續(xù)減8，60、、、。

1、小明今年17歲，小杰14歲，多少年后小明和小杰的年齡一（5）3、5、8能組成（）個兩位數(shù)，把它們按從小到大的順序排共有49歲？ 列：（）（6）人跳繩，小青比小紅多跳13下，小花比小紅多跳9下，小青比

2、哥哥給了弟弟6支鉛筆后還剩15支，這時兩人的鉛筆一樣多，小花多跳（）下。弟弟原來有鉛筆多少支？（7）77少20的數(shù)是（）；69和71中間的數(shù)是（）；（）比36多20；28比（）少10。（8）位數(shù)字和個位數(shù)字相加，和是11的兩位數(shù)有（）個。

3、小紅有12本書，小青有4本書，小紅要給小青多少本書后，（9）規(guī)律填數(shù)： 兩個人的書同樣多？ ①3、7、11、15、（）、（）

第三篇：第二十一屆“五羊杯”初中數(shù)學(xué)競賽初一試題+答案

第二十一屆“五羊杯”初中數(shù)學(xué)競賽初一試題

（考試時間90分鐘，滿分100分）

一、選擇題（4選1型，共10小題，每小題選對得5分，否則得O分．本題滿分50分）． 1．某公司屬下有4家工廠，其中A工廠的產(chǎn)值（按2008計算，下同）占全公司產(chǎn)值的產(chǎn)值是A工廠的4，B工廠的1354，C工廠的產(chǎn)值是A、B兩廠產(chǎn)值的，D工廠比C工廠的產(chǎn)值多4000萬元，則公司2008611年的產(chǎn)值是__________億元．

A.15.6； B.15.8；

C.16.2；

D.15.4.2．在999—9999中，有____個數(shù)是完全立方數(shù)，但不是完全平方數(shù)．

A．10； B．11；

C．12；

D．13.2009200823．的負(fù)倒數(shù)為_______． 200920072?200920092?2 A.1； B.1/2；

C.-2；

D.-1/2.4．一塊稻田里有一只害蟲，-只青蛙距離害蟲6米，青蛙要跳過去把害蟲吃掉，但每次只能跳0.5米或l米，那么一共有____種跳法．

A.377； B.235；

C.234；

D.233.5．某公司總共有50間辦公室，新上任的管理員拿50把鑰匙去開門，他知道每把鑰匙只能打開其中一扇門，但不知哪扇門與哪把鑰匙配套，問：他最多要試________次才能打開這50扇關(guān)閉的門．

A.1250； B.900；

C.2500；

D.1225.6．小明身上有n(n＞7)元錢，他去商店買了若干個3元和5元的雪糕，則在下列說法中，正確的是_____．

A．無論n多大，總有買法使得錢沒有剩余； B．無論怎樣買，總會有余錢；

C.無論怎樣買，有沒有余錢依賴于n的值； 7．圖l中共有____個四邊形．

A．15； B．19；

C．20；

D．23．

D．無論怎樣買，都不會有余錢．

8．圖2是由大、小兩個正方形組成的組合圖形，其中大正方形的面積是50平方厘米，則陰影部分的面積是____平方厘米，A.20； B.25；

C.27；

D.30.9．現(xiàn)有1ml，2ml，5ml，10ml四個量筒和一個足夠大的容器，若每次允許最多使用兩個量筒，那么可以量出______種不同體積的水？

A．11； B．12；

C．13；

D．14.10．已知M?20082008????2008????????，則M除以21的余數(shù)為__________．

2008個2008 A．1； B．13； C．14； D．0．

二、填空題（共10小題，每小題答對得5分，否則得O分，本題滿分50分）． 11111.已知?|a|?，則?|a|的值是__________。

aa212．在13,23,33,???,20093每個數(shù)的前面任意添加“+"或“-”，它們的代數(shù)和是______數(shù)．（填“奇”或“偶”）13．五羊中學(xué)2008，2009級的學(xué)生人數(shù)都是完全平方數(shù)，且2009級的學(xué)生人數(shù)比2008級多148人，則該校2009級的學(xué)生人數(shù)是________人．

14.數(shù)101112131415?9899100，如果去掉其中100個數(shù)字，使得剩下的新數(shù)最大，則這個新數(shù)的前12位數(shù)字分別為____．

15.使得關(guān)于x的方程2(3x?k)?kx?2有正整數(shù)解的整數(shù)k為_______________.16．方程xy?10的整數(shù)解組是____________． x?y17．為建設(shè)奧運(yùn)主會場“鳥巢”，計劃用25輛大卡車在規(guī)定時間內(nèi)搬運(yùn)3000根大鋼棵．全部卡車搬運(yùn)了4次后，由于機(jī)械故障，有5臺卡車不能工作了．但由于每輛卡車每次比原來多搬運(yùn)了l根鋼樑，結(jié)果恰好能及時完工，問：原先每輛卡車每次運(yùn)__________根鋼樑．

18．在l，2，3，?，2009這2009個自然數(shù)中，能被7整除的完全平方數(shù)有____個．

19．有兩個失準(zhǔn)的時鐘，一晝夜第一個鐘快8分鐘，第二個鐘慢4分鐘．當(dāng)兩個時鐘都指向中午12點時，經(jīng)過T個晝夜之后，它們又同時指向中午12點鐘，則T的最小值為________個晝夜．

20．在上，下行的軌道上，兩列火車相向開行，甲列車的車身長235米，速度為108公里／小時乙列車的車身長260米，速度為90公里／小時．這兩列火車從車頭相遇到車尾離開需要時間__________秒.參考答案

一、選擇題 1．A．

解：因為(4/13+4/13×5/6)×4/11=8/39，即C工廠的產(chǎn)值占全公司的8/39.又因為1-(4/13+ 10/39)(1+4/11)=l-10/13=3/13．，即D工廠的產(chǎn)值占全公司的3/13.又0.4÷(3/13-8/39)=0.4×39=1.56(億元)． 2．B．

解：因為在999~9999中，完全立方數(shù)有10?1000,11,12,?,21?9251，而22?10648，其中只有163是完全平方數(shù)，故滿足條件的數(shù)共有21-10+1-1=11（個）．

333333．C

a2解：令a= 20082007，則原式?(a?1)2?(a?1)2?2?(a2?2a?1)?(a2?2a?1)?2??1故其負(fù)倒數(shù)為-2． 24．D．

解：本題可轉(zhuǎn)化為上臺階問題：有一個n級臺階，每次只能上1級或2級，從底到頂有多少種上法？設(shè)f(n）為上到n級臺階的方法數(shù)，則f(n）=f(n-1)+ f(n-2)，n≥3．由題意可知f(l)=1，f(2)=2，f(3)=3，f(4）=5，f(5）=8，f(6）= 13，f(7)=21，f(8)=34，f(9)=55，f(10)=89，f(11)=144，f(12)=233，故共233種上法． 5．D．

解：利用極端原理，考慮最差情況是開第一扇門需要試49次，開第二扇門要試48次，依次可得，開第49扇門要試1次，最后一扇門就不用試了，因為最后就剩下一把鑰匙一扇門故最多需要試49?48?? ?3?2?1?50?49?1225 26．A 解：令n =3×a+b，其中n為正整數(shù)，b=0，l，2．當(dāng)b=0時，顯然可以買a條3元的雪糕，沒有余錢剩下；當(dāng)b=l時，n可以寫成n=（a-3）×3+3×3+1=（a-3)×3+5 x2，其中a≥3；當(dāng)b=2時，n可以寫成n=（a-l）×3+3+2=（a-l)×3+5，其中a≥1．所以不管n取何值，總有一種買法，使得余錢為0，故選A． 7．C 解：圖中共有10個點，其中包含A，B，C，D，E五個點中的四個的四邊形有5個；包含 A，B，C，D，E中三個相鄰點的四邊形有5個（不相鄰的三點構(gòu)成三角形面，不是四邊形）；包含其中相鄰兩點的四邊形有5個（不相鄰的兩點不能構(gòu)成四邊形）；包含其中一個頂點的四邊形有5個；不含A，B，C，D，E的四邊形不存在，總共20個，故選C 8．B．

解：連接CG，則陰影部分面積為三角形ACG，AGF，CGF的面積，令A(yù)D =a，GF =b，所以S=（a-b）×a÷2+(a-b)×b÷2+b×b÷2=a×a÷2，即恰好為大正方形面積的一半25平方厘米．

9．C．

解：每次只使用一個量筒可量出1ml，2ml，5ml，10ml；每次使用兩個量筒，第一種水量相加可得：3ml，6ml，7ml，llml，12ml，15ml；第二種水量相減可得：lml，3ml，4ml，5ml，8ml，9ml.除去重復(fù)的，總共有13種． 10．B 解：因為20082008?2008?2008?100010001????0001????0001????????，記00010001????????為N，由于100010001是

2007個00012007個000121的倍數(shù)，并且中共有2008個l，即有669個100010001000連寫，最后還剩下一個l，也就是說被21除余數(shù)為l，而2008被21除余數(shù)為13，故被21除余數(shù)為l×13=13.二、填空題 11．17/2

解：因為1/a?1/2?|a|?0，可知a＞0，故1/a?|a|?12．奇數(shù).解：因為整數(shù)a與an（n為正整數(shù)）的奇偶性相同，故原題等價于“在數(shù)l，2，3，2009的每個數(shù)的前面任意添加“+”或“-”，求其代數(shù)和”，又因為兩個整數(shù)之和與這兩個整數(shù)之差的奇偶性相同，所以在數(shù)1，2，3，2009前面添上“+”或“-”不改變其奇偶性，而1?2?3???2009?為奇數(shù)． 13.1444．

解：設(shè)2008年，2009年學(xué)生的人數(shù)分別是m2和n2，則n-m?148，即(n?m)(n?m)?148．而n+m與n-m的奇偶性相同，故只有148=2×74.由?14.999996666665.解：由位值原則，前面的數(shù)字越大則這個數(shù)就越大，所以第一個數(shù)字為9，去掉前面19個數(shù)字，第二個數(shù)

?m?n?74，解得n= 38，m=36.求得382?1444

?n?m?222(1/a?|a|)2?4?1/4?4?17/2.2010?2009?1005?2009 字為9，去掉兩個9之前的19個數(shù)；依次類推??；當(dāng)前面5個數(shù)字都為9時已經(jīng)去掉95個數(shù)，這時，接下去的數(shù)字為60616263646566，而0，l，2，3，4都比6小，所以把6留下去掉這5個數(shù)字剩下的數(shù)為最大，即為***7?99100，其前12位數(shù)字為999996666665.15.4或5． 解：化簡原方程得x?2k?22(k?6)?14?6?k6?k??2?1414為正整數(shù)，那么為大于等于3的整數(shù)，由于k6?k6?k為整數(shù)，所以k只能為4或5．

16.(11，110)，(110，11)，(12，60)，(60，12)，(14，35)，(35，14)，(15，30)，(30，15)，(20，20).解：方程xy?10等價于(x-10)(y-10)=100．從而得（x-10）(y-10)=100×l=50×2=25×4=20×5 =10 x?y×10．解方程并由對稱性得到所求． 17.4．

解：故障后，每輛卡車每次多搬運(yùn)1根，則每次共多搬運(yùn)20根，恰好等于故障的那五臺卡車每次的工作量，故每輛卡車每次運(yùn)20÷5 =4（根）． 18.6．

解：因為7是質(zhì)數(shù)，能被7整除的完全平方數(shù)應(yīng)同時被49整除．2009÷49=41，即在l至2009這2009個自然數(shù)中，有41個能被49整除．而在l至41這41個自然數(shù)中，只有1，4，9，16，25，36是平方數(shù)，他們與49的乘積構(gòu)成能被7整除的完全平方數(shù)． 19.360．

解：一個晝夜兩只時鐘所指時間的差增加12分鐘，所以經(jīng)過24×60÷12=120個晝夜，兩只時鐘所指時間相等，然后再經(jīng)過240個晝夜，360個晝夜，??所指時間又相等．設(shè)120n個晝夜后，兩個時鐘又指示同．個時間中午12點，此時，第一個時鐘超前了120×8n分鐘，即16n小時，為了這時所指的時間是精確時間，必須16n被24整除，為此，最小的合適的正整數(shù)是n=3，即經(jīng)過120×3=360個晝夜，兩個時鐘又指示同一時間中午12點． 20.9．

解：依題意，甲列車的速度是v1?108000/3600?30m/s．乙列車的速度是v2?90000/3600?25m/s．兩車相遇時，兩車車尾的距離：235+260=495(m).兩車車頭相遇到車尾離開所需時間t?

495?9（秒）．

30?255

第四篇：1996年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及答案

1996年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題

A．M＞N

B．M=N

C．M＜N

D．不確定

A．有一組 B．有二組

C．多于二組

D．不存在

3．如圖，A是半徑為1的圓O外的一點，OA=2，AB是圓O的切線，B是切點，弦BC∥OA，連結(jié)AC，則陰影部分的面積等于 [

]

4．設(shè)x1、x2是二次方程x2+x?3=0的兩個根，那么x13?4x22+19的值等于 [

]

A．?

4B．8

C．6

D．0

5．如果一個三角形的面積和周長都被一直線所平分，那么該直線必通過這個三角形的 [

]

A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心

6．如果20個點將某圓周20等分，那么頂點只能在這20個點中選取的正多邊形的個數(shù)有 [

]

A．4個 B．8個

C．12個

D．24個

2．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABN=∠MBC，BM=NM，BN=a，則點N到邊BC的距離等于______．

3．設(shè)1995x3=1996y3=1997z3，xyz＞0，且

4．如圖，將邊長為1的正方形ABCD繞A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°至AB＇C＇D＇的位置，則這兩個正方形重疊部分的面積是______．

5.某校在向“希望工程”捐款活動中，甲班的m個男生和11個女生的捐款總數(shù)與乙班的9個男人和n個女生的捐款總數(shù)相等，都是(m·n+9m+11n+145)元，已知每人的捐款數(shù)相同，且都是整數(shù)元，求每人的捐款數(shù)．

6.設(shè)凸四邊形ABCD的對角線AC、BD的交點為M，過點M作AD的平行線分別交AB、CD于點E、F，交BC的延長線于點O，P是以O(shè)為圓心OM為半徑的圓上一點（位置如圖所示），求證：∠OPF=∠OEP．

三、（本題滿分25分）

已知a、b、c都是正整數(shù)，且拋物線y=ax2+bx+c與x軸有兩個不同的交點A、B，若A、B到原點的距離都小于1，求a+b+c的最小值．

1996年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽參考答案

第一試

一、選擇題 1．B 2．A 3．B 4．D 5．A 6．C

二、填空題

一、據(jù)題意m+11=n+9，且整除mn+9m+11n+145mn+9m+11n+145=(m+11)(n+9)+46，故m+11，n+9都整除46，由此得

綜上可知，每人捐款數(shù)為25元或47元．

二、作AD、BO的延長線相交于G，∵OE

而，三、據(jù)題意，方程ax2+bx+c=0有兩個相異根，都在(?1，0)中，故

經(jīng)檢驗，符合題意，∴a+b+c=11最小．

第五篇：19屆全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及答案

“《數(shù)學(xué)周報》杯”2019年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題

一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.其中有且只有一個選項是正確的.請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分）

1．若，則的值為（）．

（A）

（B）

（C）

（D）

解：

由題設(shè)得．

2．若實數(shù)a，b滿足，則a的取值范圍是

（）．

（A）a≤

（B）a≥4

（C）a≤或

a≥4

（D）≤a≤4

解．C

因為b是實數(shù)，所以關(guān)于b的一元二次方程的判別式

≥0,解得a≤或

a≥4．

3．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=，CD＝，則AD邊的長為（）．

（A）

（B）

（C）

（D）

（第3題）

解：D

如圖，過點A，D分別作AE，DF垂直于直線BC，垂足分別為E，F(xiàn)．

由已知可得

（第3題）

BE=AE=，CF＝，DF＝2，于是

EF＝4＋．

過點A作AG⊥DF，垂足為G．在Rt△ADG中，根據(jù)勾股定理得

AD＝．

4．在一列數(shù)……中，已知，且當(dāng)k≥2時，（取整符號表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，例如，），則等于（）．

(A)

(B)

(C)

(D)

解：B

由和可得，，，，……

因為2010=4×502+2，所以=2．

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰梯形ABCD的頂點坐標(biāo)分別為A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y軸上一點P（0，2）繞點A旋轉(zhuǎn)180°得點P1，點P1繞點B旋轉(zhuǎn)180°得點P2，點P2繞點C旋轉(zhuǎn)180°得點P3，點P3繞點D旋轉(zhuǎn)180°得點P4，……，重復(fù)操作依次得到點P1，P2，…，則點P2010的坐標(biāo)是（）．

（A）（2010，2）

（B）（2010，）

（C）（2012，）

（D）（0，2）

解：B由已知可以得到，點，的坐標(biāo)分別為（2，0），（2，）．

（第5題）

記，其中．

根據(jù)對稱關(guān)系，依次可以求得：，，．

令，同樣可以求得，點的坐標(biāo)為（），即（），由于2010=4502+2，所以點的坐標(biāo)為（2010，）．

二、填空題

6．已知a＝－1，則2a3＋7a2－2a－12的值等于

．

解：0

由已知得

(a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是

2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．

7．一輛客車、一輛貨車和一輛小轎車在一條筆直的公路上朝同一方向勻速行駛．在某一時刻，客車在前，小轎車在后，貨車在客車與小轎車的正中間．過了10分鐘，小轎車追上了貨車；又過了5分鐘，小轎車追上了客車；再過t分鐘，貨車追上了客車，則t＝

．

解：15

設(shè)在某一時刻，貨車與客車、小轎車的距離均為S千米，小轎車、貨車、客車的速度分別為

（千米/分），并設(shè)貨車經(jīng)x分鐘追上客車，由題意得，①，②

．

③

由①②，得，所以，x=30．

故

（分）．

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，多邊形OABCDE的頂點坐標(biāo)分別是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直線l經(jīng)過點M（2，3），且將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分，則直線l的函數(shù)表達(dá)式是

．

（第8題

（第8題）

解：

如圖，延長BC交x軸于點F；連接OB，AFCE，DF，且相交于點N．

由已知得點M（2，3）是OB，AF的中點，即點M為矩形ABFO的中心，所以直線把矩形ABFO分成面積相等的兩部分．又因為點N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，過點N（5，2）的直線把矩形CDEF分成面積相等的兩部分．

于是，直線即為所求的直線．

設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，則

解得,故所求直線的函數(shù)表達(dá)式為．

9．如圖，射線AM，BN都垂直于線段AB，點E為AM上一點，過點A作BE的垂線AC分別交BE，BN于點F，C，過點C作AM的垂線CD，垂足為D．若CD＝CF，則

．

（第9題）

解：

見題圖，設(shè)．

因為Rt△AFB∽Rt△ABC，所以

．

又因為

FC＝DC＝AB，所以

即，解得，或（舍去）．

又Rt△∽Rt△，所以，即=．

10．對于i=2，3，…，k，正整數(shù)n除以i所得的余數(shù)為i－1．若的最小值滿足，則正整數(shù)的最小值為

．

解：

因為為的倍數(shù)，所以的最小值滿足，其中表示的最小公倍數(shù)．

由于，因此滿足的正整數(shù)的最小值為．

三、解答題（共4題，每題20分，共80分）

11．如圖，△ABC為等腰三角形，AP是底邊BC上的高，點D是線段PC上的一點，BE和CF分別是△ABD和△ACD的外接圓直徑，連接EF.求證：

（第12A題）

．

（第12B題）

（第11題）

（第12B題）

證明：如圖，連接ED，F(xiàn)D.因為BE和CF都是直徑，所以

ED⊥BC，F(xiàn)D⊥BC，因此D，E，F(xiàn)三點共線.…………（5分）

連接AE，AF，則，所以，△ABC∽△AEF.…………（10分）

（第11題）

作AH⊥EF，垂足為H，則AH=PD.由△ABC∽△AEF可得，從而，所以

.…………（20分）

12．如圖，拋物線（a0）與雙曲線相交于點A，B.已知點A的坐標(biāo)為（1，4），點B在第三象限內(nèi)，且△AOB的面積為3（O為坐標(biāo)原點）.（1）求實數(shù)a，b，k的值；

（2）過拋物線上點A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點C，求

所有滿足△EOC∽△AOB的點E的坐標(biāo).解：（1）因為點A（1，4）在雙曲線上，所以k=4.故雙曲線的函數(shù)表達(dá)式為.（第12題）

設(shè)點B（t，），AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式為，則有

解得，.于是，直線AB與y軸的交點坐標(biāo)為，故，整理得，解得，或t＝（舍去）．所以點B的坐標(biāo)為（，）．

因為點A，B都在拋物線（a0）上，所以

解得

…（10分）

（2）如圖，因為AC∥x軸，所以C（，4），于是CO＝4.又BO=2，所以.設(shè)拋物線（a0）與x軸負(fù)半軸相交于點D，則點D的坐標(biāo)為（，0）.（第12題）

因為∠COD＝∠BOD＝，所以∠COB=.（i）將△繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，得到△.這時，點(，2)是CO的中點，點的坐標(biāo)為（4，）.延長到點，使得=，這時點（8，）是符合條件的點.（ii）作△關(guān)于x軸的對稱圖形△，得到點（1，）；延長到點，使得＝，這時點E２（2，）是符合條件的點．

所以，點的坐標(biāo)是（8，），或（2，）.…………（20分）

13．求滿足的所有素數(shù)p和正整數(shù)m.解：由題設(shè)得，所以，由于p是素數(shù)，故，或.……（5分）

（1）若，令，k是正整數(shù)，于是，故，從而.所以解得

…………（10分）

（2）若，令，k是正整數(shù).當(dāng)時，有，故，從而，或2.由于是奇數(shù)，所以，從而.于是

這不可能.當(dāng)時，；當(dāng)，無正整數(shù)解；當(dāng)時，無正整數(shù)解.綜上所述，所求素數(shù)p=5，正整數(shù)m=9.…………（20分）

14．從1，2，…，2010這2010個正整數(shù)中，最多可以取出多少個數(shù)，使得所取出的數(shù)中任意三個數(shù)之和都能被33整除？

解：首先，如下61個數(shù)：11，，…，（即1991）滿足題設(shè)條件.（5分）

另一方面，設(shè)是從1，2，…，2010中取出的滿足題設(shè)條件的數(shù)，對于這n個數(shù)中的任意4個數(shù)，因為，所以

.因此，所取的數(shù)中任意兩數(shù)之差都是33的倍數(shù).…………（10分）

設(shè)，i=1，2，3，…，n.由，得，所以，即≥11.…………（15分）

≤，故≤60.所以，n≤61.綜上所述，n的最大值為61.…………（20分）