專題28　縱觀全局——整體思想

閱讀與思考

解數學問題時，人們習慣了把它分成若干個較為簡單的為，然后在分而治之，各個擊破。與分解、分部處理問題相反，整體思想是將問題看成一個完整的整體，從大處著眼，有整體入手，突出對問題的整體結構的分析和改造，把一些看似彼此孤立、實質上緊密聯系的量作為整體考慮，從整體上把握問題的內容和解題方向的策略，往往能找到簡捷的解題方法，解題中運用整體思想解題的具體途徑主要有：

1.整體觀察

2.整體設元

3.整體代入

4.整體求和

5.整體求積

注：既看局部，又看整體；既見“樹木”，又見“森林”，兩者互用，這是分析問題和解決問題的普遍而有效的方法．

例題與求解

【例1】某市抽樣調查了1000戶家庭的年收入，其中年收入最高的只有一戶，是38000元。由于將這個數據輸入錯了，所以計算機顯示的這1000戶的平均年收入比實際平均年收入高出了342元，則輸入計算機的那個錯誤數據是

．

（北京市競賽題）

解題思路：有1000個未知量，而等式只有兩個，顯然不能分布求出每個未知量，不妨從整體消元．

注：有些問題要達到求解的目的，需要設幾個未知數，但在解答的過程中，這些未知數只起到溝通已知與未知的輔助的作用，因此可“設而不求”，通過整體考慮，直接獲得問題的答案．

【例2】設是不全相等的任意數，若，則（）

（全國初中數學聯賽試題）

A.都不小于零

B.都不大于零

C.至少有一個小于零

D.至少有一個大于零

解題思路：由于的任意性，若孤立地考慮，則很難把握的正負性，應該考慮整體求出的值．

【例3】如果a滿足等式，試求的值．

(天津市競賽題)

解題思路：不能直接求出的值，可尋求待求式子分子分母與條件等式的聯系，然后把條件等式整體代入求值．

注：整體思想在代數式的化簡與求值、解方程（組）、幾何證明等方面有廣泛的應用，整體代入、疊加疊乘、整體運算、整體設元、幾何補形等都是整體思想的體現．

【例4】已知，代數式，求當時，代數式的值．

（北京市“迎春杯”競賽試題）

解題思路：的值無法求出，將給定的值分別代入對應的代數式，尋找已知式與待求式之間的聯系，整體代入求值．

【例5】已知實數滿足方程組．

求的值．

（上海市競賽題）

解題思路：將上述六個式子看成整體，通過⑥－⑤，④－③，②－①分別得到．

【例6】如圖，將1,2,3,4,5,6,7,8,9,10這十個數分別填入圖中的十個圓圈內，使得任意連續相鄰的五個圓圈內的數的和均不大于某一個整數M，求M得最小值并完成你的填圖．

（北京市“迎春杯”競賽試題）＼

解題思路：解答此題的關鍵是根據題意得出，這是本題的突破口．

注：在解答有同一結構的問題時，可將這一相同結構看作一個整體，用一個字母代換，以此達到體現式子結構的特點，化繁為簡的目的．

能力訓練

1．已知密碼：3·ABCPQR=4·PQRABC,其中每個字母都表示一個十進制數字，將這個密碼翻譯成式子是

2．若a，b，c的值滿足，則

(“城市杯”競賽試題)

3．角中有兩個銳角和一個鈍角，其數值已經給出，在計算的值時，全班得到23.5°，24.5°，25.5°這樣三個不同結果，其中確有正確的答案，則正確的答案是

4．如果，那么=

（“希望杯”邀請賽試題）

5．已知都是正數，設，那么與的大小關系是

．

（北京市“迎春杯”競賽試題）

6．若方程組有解，則

（湖北省武漢市選拔賽試題）

7．若正數滿足不等式，則的大小關系是（）

A．

B．

C．

D．

8．若，則的值是（）

A．

B．

C．

D．

9．在一家三口人中，每兩個人的平均年齡加上余下一人的年齡分別得到47,61,60，那么這三人中最大年齡與最小年齡的差是（）

A．

B．

C．

D．

10．設，滿足等式，則

中至少有一個值（）

A．

B．

C．

D．

（全國初中數學聯賽試題）

11．12．有一個四位數，把它從中間分成兩半，得到前、后兩個兩位數，將前面的兩位數的末尾添一個零，然后加上前后兩個兩位數的乘積，恰好等于原來的四位數，又知道原數的個位數字為5，試求這個四位數．

（江蘇省競賽試題）

13．代數式中，可以分別取+1或-1．

（1）證明代數式的值都是偶數．

（2）求這個代數式所能取到的最大值．

（“華羅庚金杯”競賽試題）

14．如圖，在六邊形的頂點處分別標上數1，2，3，4，5，6，能否使任意三個相鄰頂點處的三數之和（1）大于9？（2）大于10？

若能，請在圖中標出來；若不能，請說明理由．

（江蘇省競賽試題）