杭

州

師

范

大

學(xué)

2020

年招收攻讀碩士研究生考試題

考試科目代碼：

831

考試科目名稱：

高等代數(shù)

說明：考生答題時一律寫在答題紙上，否則漏批責(zé)任自負(fù)。

每題15分，共150分

1.證明：一個非零實(shí)二次型可以分解為兩個一次齊次多項(xiàng)式的乘積的充分必要條件是,它的秩為2且符合差為0，或秩為1。

2.求正交線性替換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型。

3.已知線性方程組。

(1)

取何值時，該方程組有解。

(2)

在有解的情況下，求出該方程組的解。

4.求滿足的所有階方陣（這里是的伴隨矩陣）。

5.求解行列式。

6.設(shè)為維歐式空間，為的一個正交變換。設(shè)為的一個維數(shù)小于的-不變子空間，令為的正交補(bǔ)。

（1）證明：也是一個-不變子空間。

（2）證明：存在的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基使得在這組基下的矩陣為形如如下矩陣，其中和都是正交矩陣。

7.證明：n階方陣A相似于對角矩陣的充分必要條件是：對于A的任一特征值，矩陣和有相同的秩，這里是n階單位矩陣。

8.一個整系數(shù)多項(xiàng)式稱為是本原多項(xiàng)式，如果它的系數(shù)互素。證明：兩個本原多項(xiàng)式的乘積是本原多項(xiàng)式。

9.設(shè)為數(shù)域P上全體次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式構(gòu)成的向量空間。

（1）證明：構(gòu)成的一組基，其中。

（2）求基到基的過渡矩陣；

（3）設(shè)，證明Taylor公式。

10.階矩陣為冪等矩陣（）的充分必要條件是，這里為的秩，E為n階單位矩陣。