數學競賽中的局部調整策略

局部調整法，就是為了解決某個問題，從與問題有實質聯系的較寬要求開始，然后充分利用已獲得的結果作為基礎，逐步加強要求，逐步逼近目標，直至最后徹底解決問題的一種解題方法。

這種方法在解決數學競賽問題中有著廣泛的應用，本文舉例闡述應用這種方法解題的基本策略。

例1

已知銳角三角形中，在的內部（包括邊界）上找一點，使得到三邊的距離之和最小。[來源:學§科§網Z§X§X§K]

分析

先對在邊界上時，研究點在什么位置時，到三邊距離之和最小，然后再對在的內部時進行研究。

A

B

C

P

圖1

解

（一）先研究在的邊界上時

（1）若在邊上

如圖1，記的頂點對應的邊分別是，邊上的高分別為，到邊的距離分別為，連。

由面積關系得，時取等號）。即在點處時，到三邊距離之和最小。

（2）若在邊上，在點處時，到三邊距離之和最小。

A

B

C

E

P

F

H

G

圖2

（3）若在邊上，在點處時，到三邊距離之和最小。

綜合（1），（2），（3），當點在點處時，到三邊距離

之和最小。

（二）再研究在內部時

如圖2，過作的平行線交于，交

于，固定，由（一）知，讓變化，有，.綜合（一）（二）知，當點在處時，最小。

評注

本題先對在邊界上進行調整，獲得問題的局部解決。經過若干次這樣的局部調整，逐步逼近目標，最終得到問題的整體解決。

例2

已知正實數，滿足，求證：.[來源:學科網]

分析

從特殊情形入手，時不等式成立，然后研究一般情況，通過局部調整解決問題。

證明

當時不等式成立。

當中不全為1時，其中必有一個屬于（0，1），一個屬于，據對稱性，不妨設.[來源:Zxxk.Com]

（1）若。

（2）若，即

作第一次調整：令下證.即證

①.令,則.記，，①的左邊=右邊=。①

成立。

=，其中

再繼續調整，可得.評注

本題調整的目的是逐步將求證不等式左邊各項變為，應注意每次調整應使各變量的積為1，而且放大。

例3

在1，2，3，…，1989每個數前添上，使其代數和為最小的非負數，并寫出算式（全俄1998年數學競賽題）

解

先證其代數和為奇數。

從簡單情形考慮：全添上“+”，此時是奇數。[來源:Z#xx#k.Com]

對一般情況，只要將若干個“+”調整為。

奇偶性相同，故每次調整，其代數和的奇偶性不變，即總和為奇數。

而，因此這個最小值是1。[來源:Z*xx*k.Com]

評注

在不斷調整，變化過程中，挖掘不變量（或不變性質）使問題迎刃而解。

例4

空間有2003個點，其中任何三點不共線，把它們分成點數各不相同的30組，在任何三個不同的組中各取一點為頂點作三角形，問要使這種三角形的總數為最大，各組的點數應為多少？

分析

設分成的30組的點數分別是，其中互不相等，則滿足題設的三角形的總數為

。問題轉化為在其中為互不相等的正整數的條件下，求的最大值。

解

設分成的30組的點數分別是，其中互不相等，則滿足題設的三角形的總數為。由對稱性，不妨設，（1）在中，讓變化，其余各組的點數不變，因為的值不變，注意到

①，要使的值最大，只需的值最大。如果，令，則，的值變大。因此要使的值最大，對任何都有。

（2）若中，使（）的的值不少于2個，不妨設

。類似（1），令，其余各組的點數不變，則的值變大。因此要使的值最大，至多有一個使。

（3）若對任何。設這30組的點數分別是，則，這是不可能的。

綜上，要使的值最大，對任何在中恰有一個為2，其余均為1。設這30組的點數分別是（，則，即，解得所以當分成的30組的點數分別是52，53，…，73，75，…，82時，能使三角形的總數最大。

評注

解決本題的關鍵是把多元函數視為二元函數，通過調整兩個變量的取值，使的值最大，最終獲得問題的解決。

以上例題說明，局部調整法解決數學問題的本質就是從問題的特殊情況入手，尋求問題的局部解決，通過逐步調整，獲得問題的全部解決，體現了從特殊到一般的思想。在解決多元極值問題、多元不等式的證明及操作性問題時常用.以下問題供讀者練習:

1.求和為2003的正整數之積的最大值。（答案：）

2．設為空間四點，連線段中至多有一條長度大于1，試求這6條線段長度之和的最大值。（1985年美國數學競賽題）（答案：）