一堂排列與組合復習課

排列與組合應用題是高中數學的難點，許多同學感到方法靈活，對于問題給出的解法能看懂，但自己解決往往得不到正確的結果，并且不知道錯在哪里，由此產生對排列組合應用題的畏懼心理。筆者在長期的教學實踐中體會到，在高三復習課教學中，先把學生的想法充分地暴露出來，再引導學生從困惑中走出來，能有效提高學生解決排列組合應用題的能力。下面是一堂課的教學實錄。[來源:Z§xx§k.Com][來源:學科網]

呈現問題，暴露錯誤

范例

8個人排成一隊，三人互不相鄰，兩人也互不相鄰的排法共有多少種？

教師：本題有兩個限制條件：一是三人互不相鄰；二是兩人也互不相鄰。如果暫時去掉一個限制條件，我們會做嗎？（很多學生點頭表示會做）請同學們認真思考后，談出你的做法。

（留出一定時間讓學生思考和互相交流，以分別形成明確的思路。）

生1：我的做法是這樣的，把沒有特殊要求的三人記為。分三步完成：第一步，將全排列，有種排法；第二步，在站位的間隔和兩端處插入三人，有種方法；第三步，在，站位的間隔和兩端處插入兩人，有種方法。據分步計數原理，所求的排法種數為=6048。[來源:學科網ZXXK]

生2：我的做法與他（生1）的差不多，第一步完全一樣，有種排法；第二步，排，有種排法；第三步，排，有種排法。據分步計數原理，所求的排法種數為=8640。我感到很困惑，結果怎么會與他（生1）不一樣，難道我倆都錯了？

發現錯因

變誤為正

教師：生2感到很困惑，大家是否也有同感（不少學生點頭認可）。好，現在請同學們探討一下生1的做法對不對？

（約2分鐘后，一學生發言了。）

生3：生1的做法是錯的，錯就錯在第二步，他在第二步就把隔開（即兩兩不相鄰）了，其實第二步排時可以恰有兩個相鄰，也可以三人連在一起，所以生1做出的結果比正確結果少了。

教師（生3的觀點得到了全班同學的認同后）：下面請同學們一起來修正生1的解法。

（此時有幾個同學爭著要發言）

生4：所有的排法可分為如下3類：第1類，在未排時互不相鄰，有種排法；第2類，在未排時中恰有兩個相鄰，有種排法；[來源:學|科|網]

第3類，在未排時三人連排在一起，有種排法。據分類計數原理，所求的排法種數為++=11520。

教師（面向生4）：請你說說，第2類、第3類是如何分步的？

生4：（已表示在各個括號中，此處略去解釋）

教師：很好！生4的做法完全正確。生4考慮問題既全面（合理分類）又細致（合理分步），值得大家學習。這里生1的錯誤得到了修正，下面請同學們修正生2的錯誤。

（片刻后，不少學生舉手了）

生5：所有的排法分為如下2類：第1類，在未排時互不相鄰，有種排法；第2類，在未排時相鄰，有種。據分類計數原理，所求的排法種數為+=11520。結果，與生4所得的一樣了。

教師：現在我們比較一下這兩種做法，哪一種較簡便？由于的位置關系只有兩種，故后一種較為簡便。那么，還有沒有其他方法呢？

繼續探索

優化思維

生2：先放棄兩人互不相鄰這一限制條件，三人互不相鄰的排法有種，去掉其中兩人相鄰的排法有種，故共有=11520種。

教師：想得非常好！看來用排除法比用直接法方便。因為排除法簡便在反面情況的排法容易求出。

生6：我也用排除法，先放棄兩個限制條件，所有的排法有種，去掉三人排

在一起或二人排在一起的排法，故共有=27360種，不是正確結果，我不知道錯在哪里？[來源:學科網ZXXK]

教師：生6似乎很有道理，到底錯在哪里呢？又這種方法是否可取？

（終于，有學生又開腔了。教師懸著的心可落地了）

生2：生6的錯誤在于，三人互不相鄰的反面不是三人全排在一起，三人全排在一起只是它的反面的一種情況；還有一種情況是三人恰有兩人相鄰。放棄兩個限制條件，導致很難求出不滿足限制條件的排法種數，所以這種思路不可取！

（在多數學生表示認同生2的說法后）

教師：排除法是解決有兩個限制條件的排列問題的常用方法，通常的做法是先放棄一個限制條件，求出排法的種數；再剔除不滿足該限制條件的排法個數。至于放棄哪一個限制條件也是值得考慮的，如本題，若先放棄三人互不相鄰這一限制條件，則較難剔除不滿足該限制條件的排法個數。

因勢利導

自編問題

教師：我們能不能在原問題的基礎上編制一個問題，答案是，讓生6的錯誤也有價值？

生7

8人排成一隊，三人不全排在一起，二人也不排在一起的排法有多少種？

教師：這一次，三人不全排在一起，就是三人被隔開排列了；或是三人中恰有兩人連排在一起，它的反面才是三人連排在一起。

小結：這節課，我們借助于一道有兩個限制條件的排列問題，通過對兩位同學的錯誤解法的分析，尋找其合理成分，得到了兩種正確的方法（直接法），真可謂錯誤也是正確解法的先導！進一步探索，我們又得到了間接法，兩個不同角度的排除卻得到兩種迥然不同的結果，雖然另一種排除法錯了，卻又是多么相似的問題的答案，這就告戒我們解決計數問題時要注意題目的細微區別！

作業：1.在本節課例題的基礎上至少改編出兩個問題,并給出解答.2.從多個角度來探討下列問題:

甲、乙兩隊各出7名隊員按事先排好的順序出場參加圍棋擂臺賽，負者被淘汰，勝者再與負方2號隊員比賽，到一方隊員全部淘汰為止，另一方獲得勝利，形成一種比賽過程，那么所有可能出現的比賽過程的種數是多少？

說明與反思

本節課以一個排列問題為載體，通過暴露學生的錯誤，剖析錯因，尋求合理成分，從而實現從錯誤向正確的過渡；通過不斷探索，發現新方法，從而優化思維；通過在原問題的基礎上改造一個問題，使其答案為原題的錯誤答案，讓做錯題的學生找回了自信；通過課外引申問題，培養發散性思維能力。