第一篇：10種排序算法總結
10種排序算法總結
排序算法有很多，所以在特定情景中使用哪一種算法很重要。為了選擇合適的算法，可以按照建議的順序考慮以下標準：（1）執行時間（2）存儲空間（3）編程工作
對于數據量較小的情形，（1）（2）差別不大，主要考慮（3）；而對于數據量大的，（1）為首要。主要排序法有：
一、冒泡（Bubble）排序——相鄰交換
二、選擇排序——每次最小/大排在相應的位置
三、插入排序——將下一個插入已排好的序列中
四、殼（Shell）排序——縮小增量
五、歸并排序
六、快速排序
七、堆排序
八、拓撲排序
九、錦標賽排序
十、基數排序
一、冒泡（Bubble）排序
---Code 從小到大排序n個數-----voidBubbleSortArray(){ for(int i=1;i
二、選擇排序
---Code 從小到大排序n個數-voidSelectSortArray(){ intmin_index;for(int i=0;i 三、插入排序 -------------Code 從小到大排序n個數------voidInsertSortArray(){ for(int i=1;i 四、殼（Shell）排序——縮小增量排序 ------Code 從小到大排序n個數------voidShellSortArray(){ for(intincr=3;incr<0;incr--)//增量遞減，以增量3，2，1為例 { for(int L=0;L<(n-1)/incr;L++)//重復分成的每個子列表 { for(int i=L+incr;i 效率估計O（nlog2^n）~O（n^1.5），取決于增量值的最初大小。建議使用質數作為增量值，因為如果增量值是2的冪，則在下一個通道中會再次比較相同的元素。 殼（Shell）排序改進了插入排序，減少了比較的次數。是不穩定的排序，因為排序過程中元素可能會前后跳躍。 五、歸并排序 ---------------Code 從小到大排序--------voidMergeSort(intlow,int high){ if(low>=high)return;//每個子列表中剩下一個元素時停止 else int mid=(low+high)/2;/*將列表劃分成相等的兩個子列表,若有奇數個元素，則在左邊子列表大于右側子列表*/ MergeSort(low,mid);//子列表進一步劃分 MergeSort(mid+1,high);int [] B=new int [high-low+1];//新建一個數組，用于存放歸并的元素 for(int i=low,j=mid+1,k=low;i<=mid && j<=high;k++)/*兩個子列表進行排序歸并，直到兩個子列表中的一個結束*/ { if(arr[i]<=arr[j];){ B[k]=arr[i];I++;} else { B[k]=arr[j];j++;} } for(;j<=high;j++,k++)//如果第二個子列表中仍然有元素，則追加到新列表 B[k]=arr[j];for(;i<=mid;i++,k++)//如果在第一個子列表中仍然有元素，則追加到新列表中 B[k]=arr[i];for(int z=0;z 六、快速排序 -----Code-------------/*快速排序的算法思想：選定一個樞紐元素，對待排序序列進行分割，分割之后的序列一個部分小于樞紐元素，一個部分大于樞紐元素，再對這兩個分割好的子序列進行上述的過程。*/ void swap(inta,int b){intt;t =a;a =b;b =t;} int Partition(int [] arr,intlow,int high){ int pivot=arr[low];//采用子序列的第一個元素作為樞紐元素 while(low < high){ //從后往前栽后半部分中尋找第一個小于樞紐元素的元素 while(low < high &&arr[high] >= pivot){--high;} //將這個比樞紐元素小的元素交換到前半部分 swap(arr[low], arr[high]);//從前往后在前半部分中尋找第一個大于樞紐元素的元素 while(low 此算法的總時間取決于樞紐值的位置；選擇第一個元素作為樞紐，可能導致O（n2）的最糟用例效率。若數基本有序，效率反而最差。選項中間值作為樞紐，效率是O（nlogn）?；诜种畏?。 七、堆排序 最大堆：后者任一非終端節點的關鍵字均大于或等于它的左、右孩子的關鍵字，此時位于堆頂的節點的關鍵字是整個序列中最大的。思想： (1)令i=l,并令temp＝ kl;(2)計算i的左孩子j=2i+1;(3)若j<＝n－1，則轉(4),否則轉(6);(4)比較kj和kj+1,若kj+1>kj,則令j＝j＋1，否則j不變； (5)比較temp和kj，若kj>temp，則令ki等于kj，并令i=j,j=2i+1,并轉(3),否則轉(6)(6)令ki等于temp，結束。 ----------Code---------------------------void HeapSort(SeqIAst R){ //對R[1..n]進行堆排序，不妨用R[0]做暫存單元 int I;BuildHeap(R)； //將R[1-n]建成初始堆for(i=n;i>1；i--)//對當前無序區R[1..i]進行堆排序，共做n-1趟。{ R[0]=R[1];R[1]=R[i];R[i]=R[0];//將堆頂和堆中最后一個記錄交換 Heapify(R,1,i-1);//將R[1..i-1]重新調整為堆，僅有R[1]可能違反堆性質 } }--------Code------- 堆排序的時間，主要由建立初始堆和反復重建堆這兩部分的時間開銷構成，它們均是通過調用Heapify實現的。 堆排序的最壞時間復雜度為O(nlgn)。堆排序的平均性能較接近于最壞性能。由于建初始堆所需的比較次數較多，所以堆排序不適宜于記錄數較少的文件。堆排序是就地排序，輔助空間為O(1)，它是不穩定的排序方法。 堆排序與直接插入排序的區別: 直接選擇排序中，為了從R[1..n]中選出關鍵字最小的記錄，必須進行n-1次比較，然后在R[2..n]中選出關鍵字最小的記錄，又需要做n-2次比較。事實上，后面的n-2次比較中，有許多比較可能在前面的n-1次比較中已經做過，但由于前一趟排序時未保留這些比較結果，所以后一趟排序時又重復執行了這些比較操作。 堆排序可通過樹形結構保存部分比較結果，可減少比較次數。 八、拓撲排序 例 ：學生選修課排課先后順序 拓撲排序：把有向圖中各頂點按照它們相互之間的優先關系排列成一個線性序列的過程。方法： 在有向圖中選一個沒有前驅的頂點且輸出 從圖中刪除該頂點和所有以它為尾的弧 重復上述兩步，直至全部頂點均已輸出（拓撲排序成功），或者當圖中不存在無前驅的頂點（圖中有回路）為止。 --------Code-------void TopologicalSort()/*輸出拓撲排序函數。若G無回路，則輸出G的頂點的一個拓撲序列并返回OK，否則返回ERROR*/ { intindegree[M];inti,k,j;char n;int count=0;Stack thestack;FindInDegree(G,indegree);//對各頂點求入度indegree[0....num] InitStack(thestack);//初始化棧 for(i=0;i 九、錦標賽排序 錦標賽排序的算法思想與體育比賽類似。 首先將n個數據元素兩兩分組，分別按關鍵字進行比較，得到n／2個比較的優勝者(關鍵字小者)，作為第一步比較的結果保留下來，然后對這n／2個數據元素再兩兩分組，分別按關鍵字進行比較，?，如此重復，直到選出一個關鍵字最小的數據元素為止。 -Code in C--------#include if(j1==0)//如果第一位置是空的，則剛來的選手先來的 j1=j2;else//否則剛來的選手是后來的，那么選手都已到場比賽開始 { ++CompareNum;if(data[j1].num<= data[j2].num)//先來的選手獲勝 { data[j1].lastwin = j2;//最后贏的是j2 data[j2].killer=j1;//j2是被j1淘汰的 ++data[j1].times;++data[j2].times;//兩選手場次均加1 min=j1;//最小數下標為j1 j1=j2=0;//將j1，j2置0 } else//同理 { data[j2].lastwin=j1;data[j1].killer=j2;++data[j1].times;++data[j2].times;min=j2;j1=j2=0;} } } } time++;//輪數加1 } return min;//返回冠軍的下標 } void TournamentSort(long num)//錦標賽排序 { long tag=Create(num);//返回最小數下標 FILE *fp1;fp1=fopen(“sort.txt”,“w+”);//為寫入創建并打開文件sort.txt while(data[tag].num!= MAX)//當最小值不是無窮大時 { printf(“%d %sn”,data[tag].num,data[tag].str);//輸出數據 fprintf(fp1,“%d %sn”,data[tag].num,data[tag].str);//寫入數據 data[tag].num=MAX;//將當前冠軍用無窮大替換 tag=Create(num);//返回下一個冠軍的下標 } } int main(){ intnum;char name[10];printf(“Input name of the file:”);gets(name);num=Read(name);//讀文件 TournamentSort(num);//錦標賽排序 printf(“CompareNum=%dnExchangeNum=%dn”,CompareNum,ExchangeNum);return 0;}-----------Code------ 十、基數排序 基數排序又被稱為桶排序。與前面介紹的幾種排序方法相比較，基數排序和它們有明顯的不同。 前面所介紹的排序方法都是建立在對數據元素關鍵字進行比較的基礎上，所以可以稱為基于比較的排序； 而基數排序首先將待排序數據元素依次“分配”到不同的桶里，然后再把各桶中的數據元素“收集”到一起。 通過使用對多關鍵字進行排序的這種“分配”和“收集”的方法，基數排序實現了對多關鍵字進行排序。——————————————————————————————————————— 例： 每張撲克牌有兩個“關鍵字”：花色和面值。其大小順序為： 花色：§＜¨＜?＜a 面值：2＜3＜??＜K＜A 撲克牌的大小先根據花色比較，花色大的牌比花色小的牌大；花色一樣的牌再根據面值比較大小。所以，將撲克牌按從小到大的次序排列，可得到以下序列： §2，?，§A，¨2，?，¨A，?2，?，?A，a2，?，aA 這種排序相當于有兩個關鍵字的排序，一般有兩種方法實現。 其一：可以先按花色分成四堆（每一堆牌具有相同的花色），然后在每一堆牌里再按面值從小到大的次序排序，最后把已排好序的四堆牌按花色從小到大次序疊放在一起就得到排序的結果。其二：可以先按面值排序分成十三堆（每一堆牌具有相同的面值），然后將這十三堆牌按面值從小到大的順序疊放在一起，再把整副牌按順序根據花色再分成四堆（每一堆牌已按面值從小到大的順序有序），最后將這四堆牌按花色從小到大合在一起就得到排序的結果。 ——————————————————————————————————————— 實現方法： 最高位優先(Most Significant Digit first)法，簡稱MSD法：先按k1排序分組，同一組中記錄，關鍵碼k1相等，再對各組按k2排序分成子組，之后，對后面的關鍵碼繼續這樣的排序分組，直到按最次位關鍵碼kd對各子組排序后。再將各組連接起來，便得到一個有序序列。 最低位優先(Least Significant Digit first)法，簡稱LSD法：先從kd開始排序，再對kd-1進行排序，依次重復，直到對k1排序后便得到一個有序序列。 --Code in C#----------- using System; using System.Collections.Generic; using System.Linq; using System.Text; namespace LearnSort { class Program { static void Main(string[] args) { int[] arr = CreateRandomArray(10);//產生隨機數組 Print(arr);//輸出數組 RadixSort(ref arr);//排序 Print(arr);//輸出排序后的結果 Console.ReadKey(); } public static void RadixSort(ref int[] arr) { intiMaxLength = GetMaxLength(arr); RadixSort(ref arr, iMaxLength); } private static void RadixSort(ref int[] arr, intiMaxLength) { List List char currnetChar;//存放當前的字符比如說某個元素123 中的2 string currentItem;//存放當前的元素比如說某個元素123 for(int i = 0;i listArr[i] = new List for(int i = 0;i { foreach(int number in arr)//分桶 { currentItem = number.ToString();//將當前元素轉化成字符串 try { currnetChar = currentItem[currentItem.Length-i-1];}//從個位向高位開始分桶 catch { listArr[0].Add(number);continue;}//如果發生異常，則將該數壓入listArr[0]。比如說5 是沒有十位數的，執行上面的操作肯定會發生越界異常的，這正是期望的行為，我們認為5的十位數是0，所以將它壓入listArr[0]的桶里。 switch(currnetChar)//通過currnetChar的值，確定它壓人哪個桶中。 { case '0': listArr[0].Add(number);break; case '1': listArr[1].Add(number);break; case '2': listArr[2].Add(number);break; case '3': listArr[3].Add(number);break; case '4': listArr[4].Add(number);break; case '5': listArr[5].Add(number);break; case '6': listArr[6].Add(number);break; case '7': listArr[7].Add(number);break; case '8': listArr[8].Add(number);break; case '9': listArr[9].Add(number);break; default: throw new Exception(“unknow error”); } } for(int j = 0;j foreach(int number in listArr[j].ToArray { list.Add(number); listArr[j].Clear();//清空每個桶 } arr = list.ToArray //Console.Write(“{0} times:”,i); Print(arr);//輸出一次排列的結果 list.Clear();//清空list } } //得到最大元素的位數 private static intGetMaxLength(int[] arr) { intiMaxNumber = Int32.MinValue; foreach(int i in arr)//遍歷得到最大值 { if(i >iMaxNumber) iMaxNumber = i; } return iMaxNumber.ToString().Length;//這樣獲得最大元素的位數是不是有點投機取巧了...} //輸出數組元素 public static void Print(int[] arr) { foreach(int i in arr) System.Console.Write(i.ToString()+'t'); System.Console.WriteLine(); } //產生隨機數組。隨機數的范圍是0到1000。參數iLength指產生多少個隨機數 public static int[] CreateRandomArray(intiLength) { int[] arr = new int[iLength]; Random random = new Random(); for(int i = 0;i arr[i] = random.Next(0,1001); return arr; } } }--Code--------------基數排序法是屬于穩定性的排序，其時間復雜度為O(nlog(r)m)，其中r為所采取的基數，而m為堆數，在某些時候，基數排序法的效率高于其它的比較性排序法。 排序算法總結 所謂排序，就是要整理文件中的記錄，使之按關鍵字遞增(或遞減)次序排列起來。當待排序記錄的關鍵字都不相同時，排序結果是惟一的，否則排序結果不惟一。 在待排序的文件中，若存在多個關鍵字相同的記錄，經過排序后這些具有相同關鍵字的記錄之間的相對次序保持不變，該排序方法是穩定的；若具有相同關鍵字的記錄之間的相對次序發生改變，則稱這種排序方法是不穩定的。 要注意的是，排序算法的穩定性是針對所有輸入實例而言的。即在所有可能的輸入實例中，只要有一個實例使得算法不滿足穩定性要求，則該排序算法就是不穩定的。 一.插入排序 插入排序的基本思想是每步將一個待排序的記錄按其排序碼值的大小，插到前面已經排好的文件中的適當位置，直到全部插入完為止。插入排序方法主要有直接插入排序和希爾排序。 ①.直接插入排序(穩定)接插入排序的過程為：在插入第i個記錄時，R1,R2,..Ri-1已經排好序，將第i個記錄的排序碼Ki依次和R1,R2,..,Ri-1的排序碼逐個進行比較，找到適當的位置。使用直接插入排序，對于具有n個記錄的文件，要進行n-1趟排序。 代碼如下: void Dir_Insert(int A[],int N)//直接插入排序 { int j,t;for(int i=1;i 希爾(Shell)排序的基本思想是：先取一個小于n的整數d1作為第一個增量把文件的全部記錄分成d1個組。所有距離為d1的倍數的記錄放在同一個組中。先在各組內進行直接插入排序；然后，取得第二個增量d2 一般取d1=n/2，di+1=di/2。如果結果為偶數，則加1，保證di為奇數。 希爾排序是不穩定的，希爾排序的執行時間依賴于增量序列，其平均時間復雜度為O(n^1.3).代碼如下: void Shell(int A[],int n)//Shell排序 { int i,j,k,t;(n/2)%2 == 0 ? k = n/2+1 : k = n/2;//保證增量為奇數 while(k > 0){ for(j=k;j 二.選擇排序 選擇排序的基本思想是每步從待排序的記錄中選出排序碼最小的記錄，順序存放在已排序的記錄序列的后面，直到全部排完。選擇排序中主要使用直接選擇排序和堆排 序。 ①.直接選擇排序(不穩定) 直接選擇排序的過程是：首先在所有記錄中選出序碼最小的記錄，把它與第1個記錄交換，然后在其余的記錄內選出排序碼最小的記錄，與第2個記錄交換......依次類推，直到所有記錄排完為止。 無論文件初始狀態如何，在第i趟排序中選出最小關鍵字的記錄，需要做n-i次比較，因此，總的比較次數為n(n-1)/2=O(n^2)。當初始文件為正序時，移動次數為0；文件初態為反序時，每趟排序均要執行交換操作，總的移動次數取最大值3(n-1)。直接選擇排序的平均時間復雜度為O(n^2)。直接選擇排序是不穩定的。 代碼如下: void Dir_Choose(int A[],int n)//直接選擇排序 { int k,t;for(int i=0;i ②.堆排序(不穩定) 堆排序是一種樹形選擇排序，是對直接選擇排序的有效改進。n個關鍵字序列 K1,K2,...,Kn稱為堆，當且僅當該序列滿足(Ki<=K2i且Ki<=K2i+1)或(Ki>=K2i且Ki>=K2i+1),(1<=i<=n/2)。根結點(堆頂)的關鍵字是堆里所有結點關鍵字中最小者，稱為小根堆；根結點的關鍵字是堆里所有結點關鍵字中最大者，稱為大根堆。若將此序列所存儲的向量R[1..n]看作是一棵完全二叉樹的存儲結構，則堆實質上是滿足如下性質的完全二叉樹：樹中任一非葉結點的關鍵字均不大于(或不小于)其左右孩子(若存在)結點的關鍵字。 堆排序的關鍵步驟有兩個：一是如何建立初始堆；二是當堆的根結點與堆的最后一個結點交換后，如何對少了一個結點后的結點序列做調整，使之重新成為堆。堆排序的最壞時間復雜度為O(nlog2n),堆排序的平均性能較接近于最壞性能。由于建初始堆所需的比較 次數較多，所以堆排序不適宜于記錄較少的文件。堆排序是就地排序，輔助空間為O(1)，它是不穩定的排序方法。 代碼略..三.交換排序 交換排序的基本思想是：兩兩比較待排序記錄的排序碼，并交換不滿足順序要求的那寫偶對，直到滿足條件為止。交換排序的主要方法有冒泡排序和快速排序.①.冒泡排序(穩定的) 冒泡排序將被排序的記錄數組R[1..n]垂直排列，每個記錄R[i]看作是重量為ki的氣泡。根據輕氣泡不能在重氣泡之下的原則，從下往上掃描數組R；凡掃描到違反本原則的輕氣泡，就使其向上“漂浮”。如此反復進行，直到最后任何兩個氣泡都是輕者在上，重者在下為止。 冒泡排序的具體過程如下： 第一步，先比較k1和k2，若k1>k2，則交換k1和k2所在的記錄，否則不交換。繼續對k2和k3重復上述過程，直到處理完kn-1和kn。這時最大的排序碼記錄轉到了最后位置，稱第1次起泡，共執行n-1次比較。 與第一步類似，從k1和k2開始比較，到kn-2和kn-1為止，共執行n-2次比較。 依次類推，共做n-1次起泡，完成整個排序過程。 若文件的初始狀態是正序的，一趟掃描即可完成排序。所需關鍵字比較次數為n-1次，記錄移動次數為0。因此，冒泡排序最好的時間復雜度為O(n)。 若初始文件是反序的，需要進行n-1趟排序。每趟排序要進行n-i次關鍵字的比較(1<=i<=n-1),且每次比較都必須移動記錄三次來達到交換記錄位置。在這種情況下，比較次數達到最大值n(n-1)/2=O(n^2),移動次數也達到最大值3n(n-1)/2=O(n^2)。因此，冒泡排序的最壞時間復雜度為O(n^2)。 雖然冒泡排序不一定要進行n-1趟，但由于它的記錄移動次數較多，故平均性能比直接插入排序要差得多。冒泡排序是就地排序，且它是穩定的。 代碼如下: void QP(int A[],int n)//優化的冒泡排序 { int count=0,t,flag;for(int i=0;i ②.快速排序：(不穩定的) 快速排序采用了一種分治的策略，通常稱其為分治法，其基本思想是：將原問題分解為若干個規模更小但結構與原問題相似的子問題。遞歸地解這些子問題，然后將這些子問題的解組合為原問題的解。 快速排序的具體過程如下： 第一步，在待排序的n個記錄中任取一個記錄，以該記錄的排序碼為準，將所有記錄分成兩組，第1組各記錄的排序碼都小于等于該排序碼，第2組各記錄的排序碼都大于該排序碼，并把該記錄排在這兩組中間。 第二步，采用同樣的方法，對左邊的組和右邊的組進行排序，直到所有記錄都排到相應的位置為止。 代碼如下: void Quick_Sort(int A[],int low,int high)//low和high是數組的下標 { if(low 四.歸并排序 歸并排序是將兩個或兩個以上的有序子表合并成一個新的有序表。初始時，把含有n個結點的待排序序列看作由n個長度都為1的有序子表組成，將它們依次兩兩歸并得到長度為2的若干有序子表，再對它們兩兩合并。直到得到長度為n的有序表，排序結束。 歸并排序是一種穩定的排序，可用順序存儲結構，也易于在鏈表上實現，對長度為n的文件，需進行log2n趟二路歸并，每趟歸并的時間為O(n),故其時間復雜度無論是在最好情況下還是在最壞情況下均是O(nlog2n)。歸并排序需要一個輔助向量來暫存兩個有序子文件歸并的結果，故其輔助空間復雜度為O(n),顯然它不是就地排序。 代碼略...五.基數排序 設單關鍵字的每個分量的取值范圍均是C0<=Kj<=Crd-1(0<=j<=rd),可能的取值個數rd稱為基數．基數的選擇和關鍵字的分解因關鍵字的類型而異． (1).若關鍵字是十進制整數，則按個、十等位進行分解，基數rd=10,C0=0,C9=9,d為最長整數的位數． (2).若關鍵字是小寫的英文字符串，則rd=26,C0='a',C25='z',d為最長字符串的長度． 基數排序的基本思想是：從低位到高位依次對待排序的關鍵碼進行分配和收集，經過d趟分配和收集，就可以得到一個有序序列． 按平均時間將排序分為四類： （1）平方階(O(n2))排序 一般稱為簡單排序，例如直接插入、直接選擇和冒泡排序； （2）線性對數階(O(nlgn))排序 如快速、堆和歸并排序； （3）O(n1+￡)階排序 ￡是介于0和1之間的常數，即0<￡<1，如希爾排序； （4）線性階(O(n))排序 如基數排序。 各種排序方法比較 簡單排序中直接插入最好，快速排序最快，當文件為正序時，直接插入和冒泡均最佳。 影響排序效果的因素 因為不同的排序方法適應不同的應用環境和要求，所以選擇合適的排序方法應綜合考慮下列因素： ①待排序的記錄數目n； ②記錄的大小(規模)； ③關鍵字的結構及其初始狀態； ④對穩定性的要求； ⑤語言工具的條件； ⑥存儲結構； ⑦時間和輔助空間復雜度等。 不同條件下，排序方法的選擇 (1)若n較小(如n≤50)，可采用直接插入或直接選擇排序。 當記錄規模較小時，直接插入排序較好；否則因為直接選擇移動的記錄數少于直接插人，應選直接選擇排序為宜。 (2)若文件初始狀態基本有序(指正序)，則應選用直接插人、冒泡或隨機的快速排序為宜；(3)若n較大，則應采用時間復雜度為O(nlgn)的排序方法：快速排序、堆排序或 歸并排序。 快速排序是目前基于比較的內部排序中被認為是最好的方法，當待排序的關鍵字是隨機分布時，快速排序的平均時間最短； 堆排序所需的輔助空間少于快速排序，并且不會出現快速排序可能出現的最壞情況。這兩種排序都是不穩定的。 若要求排序穩定，則可選用歸并排序。但從單個記錄起進行兩兩歸并的 排序算法并不值得提倡，通?？梢詫⑺椭苯硬迦肱判蚪Y合在一起使用。先利用直接插入排序求得較長的有序子文件，然后再兩兩歸并之。因為直接插入排序是穩定的，所以改進后的歸并排序仍是穩定的。 事先聲明，此文檔來自某技術論壇，內容歸原作者所有。 1.基本思想： 每一趟從待排序的數據元素中選出最?。ɑ蜃畲螅┑囊粋€元素，順序放在已排好序的數列的最后，直到全部待排序的數據元素排完。2.排序過程： 【示例】： 初始關鍵字 [49 38 65 97 76 13 27 49] 第一趟排序后 13 ［38 65 97 76 49 27 49] 第二趟排序后 13 27 ［65 97 76 49 38 49] 第三趟排序后 13 27 38 [97 76 49 65 49] 第四趟排序后 13 27 38 49 [49 97 65 76] 第五趟排序后 13 27 38 49 49 [97 97 76] 第六趟排序后 13 27 38 49 49 76 [76 97] 第七趟排序后 13 27 38 49 49 76 76 [ 97] 最后排序結果 13 27 38 49 49 76 76 97 3.void selectionSort(Type* arr,long len){ long i=0,j=0;/*iterator value*/ long maxPos;assertF(arr!=NULL,“In InsertSort sort,arr is NULLn”);for(i=len-1;i>=1;i--){ maxPos=i;for(j=0;j 插入排序（Insertion Sort）的基本思想是：每次將一個待排序的記錄，按其關鍵字大小插入到前面已經排好序的子文件中的適當位置，直到全部記錄插入完成為止。直接插入排序 直接插入排序（Straight Insertion Sort）：將一個記錄插入到排好序的有序表中，從而得到一個新的、記錄數增1的有序表。直接插入排序算法 哨兵（監視哨）有兩個作用：一是作為臨變量存放R[i]（當前要進行比較的關鍵字）的副本；二是在查找循環中用來監視下標變量j是否越界。 當文件的初始狀態不同時，直接插入排序所耗費的時間是有很大差異的。最好情況是文件初態為正序，此時算法的時間復雜度為O(n)，最壞情況是文件初態為反序，相應的時間復雜度為O(n2)，算法的平均時間復雜度是O(n2)。算法的輔助空間復雜度是O(1)，是一個就地排序。 直接插入排序是穩定的排序方法。三.冒泡排序 [算法思想]：將被排序的記錄數組R[1..n]垂直排列，每個記錄R[i]看作是重量為R[i].key的氣泡。根據輕氣泡不能在重氣泡之下的原則，從下往上掃描數組R：凡掃描到違反本原則的輕氣泡，就使其向上“飄浮”。如此反 復進行，直到最后任何兩個氣泡都是輕者在上，重者在下為止。 [算法]： void BubbleSort(SeqList R){ //R（l..n)是待排序的文件，采用自下向上掃描，對R做冒泡排序 int i，j； Boolean exchange； //交換標志 for(i=1;i exchange=FALSE； //本趟排序開始前，交換標志應為假 for(j=n-1;j>=i；j--)//對當前無序區R[i..n]自下向上掃描 if(R[j+1].key R[0]=R[j+1]； //R[0]不是哨兵，僅做暫存單元 R[j+1]=R[j]； R[j]=R[0]； exchange=TRUE； //發生了交換，故將交換標志置為真 } if(!exchange)return；//本趟排序未發生交換，提前終止算法 } //endfor(外循環)} //BubbleSort [分析]：起泡排序的結束條件為：最后一趟沒有進行“交換”。從起泡排序的過程可見，起泡排序是一個增加有序序列長度的過程，也是一個縮小無序序列長度的過程，每經過一趟起泡，無序序列的長度只縮小1。[算法思想]：將被排序的記錄數組R[1..n]垂直排列，每個記錄R[i]看作是重量為R[i].key的氣泡。根據輕氣泡不能在重氣泡之下的原則，從下往上掃描數組R：凡掃描到違反本原則的輕氣泡，就使其向上“飄浮”。如此反復進行，直到最后任何兩個氣泡都是輕者在上，重者在下為止。 [算法]： void BubbleSort(SeqList R){ //R（l..n)是待排序的文件，采用自下向上掃描，對R做冒泡排序 int i，j； Boolean exchange； //交換標志 for(i=1;i exchange=FALSE； //本趟排序開始前，交換標志應為假 for(j=n-1;j>=i；j--)//對當前無序區R[i..n]自下向上掃描 if(R[j+1].key R[0]=R[j+1]； //R[0]不是哨兵，僅做暫存單元 R[j+1]=R[j]； R[j]=R[0]； exchange=TRUE； //發生了交換，故將交換標志置為真 } if(!exchange)return；//本趟排序未發生交換，提前終止算法 } //endfor(外循環)} //BubbleSort [分析]：起泡排序的結束條件為：最后一趟沒有進行“交換”。從起泡排序的過程可見，起泡排序是一個增加有序序列長度的過程，也是一個縮小無序序列長度的過程，每經過一趟起泡，無序序列的長度只縮小1。四.希爾排序 基本思想： 先取一個小于n的整數d1作為第一個增量，把文件的全部記錄分成d1個組。所有距離為d l的倍數的記錄放在同一個組中。先在各組內進行直接插人排序；然后，取第二個增量d2 該方法實質上是一種分組插入方法。給定實例的shell排序的排序過程 假設待排序文件有10個記錄，其關鍵字分別是： 49，38，65，97，76，13，27，49，55，04。 增量序列的取值依次為： 5，3，1 Shell排序的算法實現 1． 不設監視哨的算法描述 void ShellPass(SeqList R，int d){//希爾排序中的一趟排序，d為當前增量 for(i=d+1;i<=n；i++)//將R[d+1．．n]分別插入各組當前的有序區 if(R[i].key R[j+d]；=R[j]； //后移記錄 j=j-d； //查找前一記錄 }while(j>0&&R[0].key R[j+d]=R[0]； //插入R[i]到正確的位置上 } //endif } //ShellPass void ShellSort(SeqList R){ int increment=n； //增量初值，不妨設n>0 do { increment=increment/3+1； //求下一增量 ShellPass(R，increment)； //一趟增量為increment的Shell插入排序 }while(increment>1)} //ShellSort 注意： 當增量d=1時，ShellPass和InsertSort基本一致，只是由于沒有哨兵而在內循環中增加了一個循環判定條件“j>0”，以防下標越界。2．設監視哨的shell排序算法 算法分析 1．增量序列的選擇 Shell排序的執行時間依賴于增量序列。 好的增量序列的共同特征： ① 最后一個增量必須為1； ② 應該盡量避免序列中的值(尤其是相鄰的值)互為倍數的情況。 有人通過大量的實驗，給出了目前較好的結果：當n較大時，比較和移動的次數約在nl.25到1.6n1.25之間。 2．Shell排序的時間性能優于直接插入排序 希爾排序的時間性能優于直接插入排序的原因： ①當文件初態基本有序時直接插入排序所需的比較和移動次數均較少。 ②當n值較小時，n和n2的差別也較小，即直接插入排序的最好時間復雜度O(n)和最壞時間復雜度0(n2)差別不大。 ③在希爾排序開始時增量較大，分組較多，每組的記錄數目少，故各組內直接插入較快，后來增量di逐漸縮小，分組數逐漸減少，而各組的記錄數目逐漸增多，但由于已經按di-1作為距離排過序，使文件較接近于有序狀態，所以新的一趟排序過程也較快。 因此，希爾排序在效率上較直接插人排序有較大的改進。3．穩定性 希爾 排序是不穩定的。參見上述實例，該例中兩個相同關鍵字49在排序前后的相對次序發生了變化。五.堆排序 1、堆排序定義 n個關鍵字序列Kl，K2，?，Kn稱為堆，當且僅當該序列滿足如下性質(簡稱為堆性質)： (1)ki≤K2i且ki≤K2i+1 或(2)Ki≥K2i且ki≥K2i+1(1≤i≤) 若將此序列所存儲的向量R[1..n]看做是一棵完全二叉樹的存儲結構，則堆實質上是滿足如下性質的完全二叉樹：樹中任一非葉結點的關鍵字均不大于(或不小于)其左右孩子(若存在)結點的關鍵字。 【例】關鍵字序列(10，15，56，25，30，70)和(70，56，30，25，15，10)分別滿足堆性質(1)和(2)，故它們均是堆，其對應的完全二叉樹分別如小根堆示例和大根堆示例所示。 2、大根堆和小根堆 根結點(亦稱為堆頂)的關鍵字是堆里所有結點關鍵字中最小者的堆稱為小根堆。 根結點(亦稱為堆頂)的關鍵字是堆里所有結點關鍵字中最大者，稱為大根堆。注意： ①堆中任一子樹亦是堆。 ②以上討論的堆實際上是二叉堆(Binary Heap)，類似地可定義k叉堆。 3、堆排序特點 堆排序(HeapSort)是一樹形選擇排序。 堆排序的特點是：在排序過程中，將R[l..n]看成是一棵完全二叉樹的順序存儲結構，利用完全二叉樹中雙親結點和孩子結點之間的內在關系【參見二叉樹的順序存儲結構】，在當前無序區中選擇關鍵字最大(或最小)的記錄。 4、堆排序與直接插入排序的區別 直接選擇排序中，為了從R[1..n]中選出關鍵字最小的記錄，必須進行n-1次比較，然后在R[2..n]中選出關鍵字最小的記錄，又需要做n-2次比較。事實上，后面的n-2次比較中，有許多比較可能在前面的n-1次比較中已經做過，但由于前一趟排序時未保留這些比較結果，所以后一趟排序時又重復執行了這些比較操作。 堆排序可通過樹形結構保存部分比較結果，可減少比較次數。 5、堆排序 堆排序利用了大根堆(或小根堆)堆頂記錄的關鍵字最大(或最小)這一特征，使得在當前無序區中選取最大(或最小)關鍵字的記錄變得簡單。（1）用大根堆排序的基本思想 ① 先將初始文件R[1..n]建成一個大根堆，此堆為初始的無序區 ② 再將關鍵字最大的記錄R[1](即堆頂)和無序區的最后一個記錄R[n]交換，由此得到新的無序區R[1..n-1]和有序區R[n]，且滿足R[1..n-1].keys≤R[n].key ③ 由于交換后新的根R[1]可能違反堆性質，故應將當前無序區R[1..n-1]調整為堆。然后再次將R[1..n-1]中關鍵字最大的記錄R[1]和該區間的最后一個記錄R[n-1]交換，由此得到新的無序區R[1..n-2]和有 序區R[n-1..n]，且仍滿足關系R[1..n-2].keys≤R[n-1..n].keys，同樣要將R[1..n-2]調整為堆。 ?? 直到無序區只有一個元素為止。（2）大根堆排序算法的基本操作： ① 初始化操作：將R[1..n]構造為初始堆； ② 每一趟排序的基本操作：將當前無序區的堆頂記錄R[1]和該區間的最后一個記錄交換，然后將新的無序區調整為堆(亦稱重建堆)。注意： ①只需做n-1趟排序，選出較大的n-1個關鍵字即可以使得文件遞增有序。 ②用小根堆排序與利用大根堆類似，只不過其排序結果是遞減有序的。堆排序和直接選擇排序相反：在任何時刻，堆排序中無序區總是在有序區之前，且有序區是在原向量的尾部由后往前逐步擴大至整個向量為止。（3）堆排序的算法： void HeapSort(SeqIAst R){ //對R[1..n]進行堆排序，不妨用R[0]做暫存單元 int i； BuildHeap(R)； //將R[1-n]建成初始堆 for(i=n;i>1；i--){ //對當前無序區R[1..i]進行堆排序，共做n-1趟。R[0]=R[1]；R[1]=R[i];R[i]=R[0]； //將堆頂和堆中最后一個記錄交換 Heapify(R，1，i-1)； //將R[1..i-1]重新調整為堆，僅有R[1]可能違反堆性質 } //endfor } //HeapSort（4）BuildHeap和Heapify函數的實現 因為構造初始堆必須使用到調整堆的操作，先討論Heapify的實現。① Heapify函數思想方法 每趟排序開始前R[l..i]是以R[1]為根的堆，在R[1]與R[i]交換后，新的無序區R[1..i-1]中只有R[1]的值發生了變化，故除R[1]可能違反堆性質外，其余任何結點為根的子樹均是堆。因此，當被調整區間是R[low..high]時，只須調整以R[low]為根的樹即可?！昂Y選法”調整堆 R[low]的左、右子樹(若存在)均已是堆，這兩棵子樹的根R[2low]和R[2low+1]分別是各自子樹中關鍵字最大的結點。若R[low].key不小于這兩個孩子結點的關鍵字，則R[low]未違反堆性質，以R[low]為根的樹已是堆，無須調整；否則必須將R[low]和它的兩個孩子結點中關鍵字較大者進行交換，即R[low]與R[large](R[large].key=max(R[2low].key，R[2low+1].key))交換。交換后又可能使結點R[large]違反堆性質，同樣由于該結點的兩棵子樹(若存在)仍然是堆，故可重復上述的調整過程，對以R[large]為根的樹進行調整。此過程直至當前被調整的結點已滿足堆性質，或者該結點已是葉子為止。上述過程就象過篩子一樣，把較小的關鍵字逐層篩下去，而將較大的關鍵字逐層選上來。因此，有人將此方法稱為“篩選法”。 ②BuildHeap的實現 要將初始文件R[l..n]調整為一個大根堆，就必須將它所對應的完全二叉樹中以每一結點為根的子樹都調整為堆。 顯然只有一個結點的 樹是堆，而在完全二叉樹中，所有序號 的結點都是葉子，因此以這些結點為根的子樹均已是堆。這樣，我們只需依次將以序號為，-1，?，1的結點作為根的子樹都調整為堆即可。 具體算法【參見教材】。 5、大根堆排序實例 對于關鍵字序列(42，13，24，91，23，16，05，88)，在建堆過程中完全二叉樹及其存儲結構的變化情況參見。 6、算法分析 堆排序的時間，主要由建立初始堆和反復重建堆這兩部分的時間開銷構成，它們均是通過調用Heapify實現的。 堆排序的最壞時間復雜度為O(nlgn)。堆排序的平均性能較接近于最壞性能。 由于建初始堆所需的比較次數較多，所以堆排序不適宜于記錄數較少的文件。 堆排序是就地排序，輔助空間為O(1)，它是不穩定的排序方法。六.快速排序 快速排序的基本思路是：首先我們選擇一個中間值middle（程序中我們可使用數組中間值），把比中間值小的放在其左邊，比中間值大的放在其右邊。由于這個排序算法較復雜，我們先給出其進行一次排序的程序框架（從各類數據結構教材中可得）： void QuickSort(int *pData, int left, int right){ int i, j;int middle, iTemp;i = left;j = right;middle = pData[(left + right)/ 2];//求中間值 do { while((pData[i] < middle)&&(i < right))//從左掃描大于中值的數 i++; while((pData[j] > middle)&&(j > left))//從右掃描小于中值的數 j--; if(i <= j)//找到了一對值 { //交換 iTemp = pData[i]; pData[i] = pData[j]; pData[j] = iTemp; i++; j--; } } while(i <= j);//如果兩邊掃描的下標交錯，就停止（完成一次） //當左邊部分有值(left if(left QuickSort(pData,left,j); //當右邊部分有值(right>i)，遞歸右半邊 if(right>i) QuickSort(pData,i,right);} 對于n個成員，快速排序法的比較次數大約為n*logn 次，交換次數大約為(n*logn)/6次。如果n為100，冒泡法需要進行4950 次比較，而快速排序法僅需要200 次，快速排序法的效率的確很高?？焖倥判蚍ǖ男阅芘c中間值的選定關系密切，如果每一次選擇的中間值都是最大值（或最小值），該算法的速度就會大大下降。快速排序算法最壞情況下的時間復雜度為O(n2)，而平均時間復雜度為O(n*logn)。七.合并排序 說明 之前所介紹的排序法都是在同一個陣列中的排序，考慮今日有兩筆或兩筆以上的資料，它可能是不同陣列中的資料，或是不同檔案中的資料，如何為它們進行排序？ 解法 可以使用合併排序法，合併排序法基本是將兩筆已排序的資料合併並進行排序，如果所讀入的資料尚未排序，可以先利用其它的排序方式來處理這兩筆資料，然後再將排序好的這兩筆資料合併。 有人問道，如果兩筆資料本身就無排序順序，何不將所有的資料讀入，再一次進行排序？排序的精神是儘量利用資料已排序的部份，來加快排序的效率，小筆資料的排序較為快速，如果小筆資料排序完成之後，再合併處理時，因為兩筆資料都有排序了，所有在合併排序時會比單純讀入所有的資料再一次排序來的有效率。那麼可不可以直接使用合併排序法本身來處理整個排序的動作？而不動用到其它的排序方式？答案是肯定的，只要將所有的數字不斷的分為兩個等分，直到最後剩一個數字為止，然後再反過來不斷的合併，就如下圖所示： 不過基本上分割又會花去額外的時間，不如使用其它較好的排序法來排序小筆資料，再使用合併排序來的有效率。 下面這個程式範例，我們使用快速排序法來處理小筆資料排序，然後再使用合併排序法處理合併的動作。例子 C #include quicksort(number1, 0, MAX1-1);quicksort(number2, 0, MAX2-1);printf(“n排序後：”);printf(“nnumber1[]：”);for(i = 0;i < MAX1;i++)printf(“%d ”, number1[i]);printf(“nnumber2[]：”);for(i = 0;i < MAX2;i++)printf(“%d ”, number2[i]);// 合併排序 mergesort(number1, MAX1, number2, MAX2, number3);printf(“n合併後：”);for(i = 0;i < MAX1+MAX2;i++)printf(“%d ”, number3[i]);printf(“n”);return 0;} int partition(int number[], int left, int right){ int i, j, s;s = number[right];i = left-1;for(j = left;j < right;j++){ if(number[j] <= s){ i++;SWAP(number[i], number[j]);} } SWAP(number[i+1], number[right]);return i+1;} void quicksort(int number[], int left, int right){ int q;if(left < right){ q = partition(number, left, right);quicksort(number, left, q-1);quicksort(number, q+1, right);} } void mergesort(int number1[], int M, int number2[], int N, int number3[]){ int i = 0, j = 0, k = 0;while(i < M && j < N){ if(number1[i] <= number2[j])number3[k++] = number1[i++];else number3[k++] = number2[j++];} while(i < M)number3[k++] = number1[i++];while(j < N)number3[k++] = number2[j++];} Java public class MergeSort { public static int[] sort(int[] number1, int[] number2){ int[] number3 = new int[number1.length + number2.length];int i = 0, j = 0, k = 0;while(i < number1.length && j < number2.length){ if(number1[i] <= number2[j])number3[k++] = number1[i++];else number3[k++] = number2[j++];} while(i < number1.length)number3[k++] = number1[i++];while(j < number2.length)number3[k++] = number2[j++];return number3;} } 八。基數排序 基數排序是根據組成關鍵字的各位值，用“分配”和“收集”的方法進行排序。例如，把撲克牌的排序看成由花色和面值兩個數據項組成的主關鍵字排序。 花色：梅花<方塊<紅心<黑桃 面值：2<3<4<...<10 若要將一副撲克牌排成下列次序： 梅花2,...,梅花A,方塊2,...,方塊A,紅心2,...,紅心A,黑桃2,...,黑桃A。 有兩種排序方法： 一、先按花色分成四堆，把各堆收集起來；然后對每堆按面值由小到大排列，再按花色從小到大按堆收疊起來。----稱為“最高位優先”(MSD)法。 二、先按面值由小到大排列成13堆,然后從小到大收集起來；再按花色不同分成四堆,最后順序收集起來。----稱為“最低位優先”(LSD)法。 [例] 設記錄鍵值序列為{88,71,60,31,87,35,56,18}，用基數排序(LSD)。如圖所示：其中f[i]、e[i]為按位分配面值為i的隊列的隊頭和隊尾指針。 #define D 3 typedef struct { int key;float data;int link;} JD key data link int jspx(JD r[],int n){ /*鏈式存儲表示的基數排序*/ int i,j,k,t,p,rd,rg,f[10],e[10];/*p為r[]的下標,rd,rg為比例因子,f[j],e[j]是代碼為j的隊的首尾指針*/ for(i=1;i 將每個記錄項與其他諸項比較計算出小于該項的記錄個數，以確定該項的位置。 《算法導論》學習總結——快速排序 曾經在程序員雜志上看到快速排序的作者，Hoare，曾經的圖靈獎獲得者啊，牛光閃閃的。不過當時，對快速排序什么的，印象不算深刻，畢竟沒好好學。記得當時雜志上說到的是，快速排序，應該是目前最快的內部排序算法（雖然獨立到語言上，C++的sort會比調用快速排序快）?，F在就進入快速排序的美好復習吧。 與歸并排序類似，快排也用分治模式。主要是三個步驟： 1）分解：將數組A[p....r]劃分為2個子數組A[p....q-1]和A[q+1....r]，使前一個每個元素都小于A[q],后一個數組，每個元素都大于A[q]（q在劃分過程中計算） 2）解決：遞歸調用快速排序，對2個子數組進行排序 3）合并：因為2個子數組是就地排序，所以合并不用操作，數組已排序 看到這個合并，就想到啊，和歸并比，一個從小到大，一個從大到小，差距就是這么大，快排么得合并開銷，一下就省了很多啊，說明，方向很重要啊，如同那句，同樣一個B，S與N的差別，大家都懂的。 快速排序的實現代碼如下： ? ? ? ? ? ? ? ? //================= // Name : Qsort.cpp // Author : xia // Copyright : NUAA // Description : 快速排序的實現 //================= #include #include #include ?? #include ?? #include ?? ?? using namespace std;?? const int MAX = 1000;?? ?? void WriteToFile(vector ?? {//將v寫入文件，純看排序結果是否正確，也可以寫個test() ?? int i;?? ofstream result(“Qsort.txt”);?? if(result.fail())?? { ?? cout << “ open data error ” << endl;?? exit(EXIT_FAILURE);?? } ?? for(i=0;i ?? result << v[i] << “ ”;?? } ?? result.close();?? } ?? int Partion(vector ?? int x=A[r];//x都感覺沒用 ?? int i=p-1; ?? for(int j=p;j ?? if(A[j] <= x)?? { ?? i++; ?? swap(A[i],A[j]);?? } ?? } ?? swap(A[i+1],A[r]);?? return i+1;?? } ?? void Qsort(vector ?? if(p < r)?? { ?? int q = Partion(A,p,r);?? Qsort(A,p,q-1);?? Qsort(A,q+1,r);?? } ?? } ?? int main(int argc, char **argv)?? { ?? vector int i; ?? for(i=0;i< MAX;i++)?? v.push_back(i); ?? random_shuffle(v.begin(),v.end());//打亂 ?? ?? Qsort(v,0,v.size()-1);?? WriteToFile(v);?? ?? return 0;?? } 說到代碼，很慚愧的，http://）由于以下兩個原因： 1）做格式化時，結果常常是扭曲的，所以得不到正確的隨機數（如某些數的出現頻率要高于其它數） 2）rand()只支持整型數；不能用它來產生隨機字符，浮點數，字符串或數據庫中的記錄 所以采用了STL函數random_shuffle()，先隨機生成0到MAX-1的隨機數，用random_shuffle()打亂，再進行排序。 另外，其實Hoare老師用的快排并不是如上代碼所示，也就是說，最原始的快速排序，是這樣滴： int HoarePartion(vector ?? int x=A[p];?? int i=p-1;?? int j=r+1;?? while(1)?? { ?? while(A[--j] > x)??; ?? while(A[++i] < x)??;?? if(i ?? swap(A[i],A[j]);?? else ?? return j;?? } ?? } ?? ?? void Qsort(vector if(p < r)?? { ?? int q = HoarePartion(A,p,r);?? Qsort(A,p,q);?? Qsort(A,q+1,r);?? } ?? } 也可以參考：http://tayoto.blog.hexun.com/25048556_d.html，區別只是我的代碼直接while里面用A[--j]，可讀性不高，因為著實不喜歡do-while結構。 對于最原始的快排，嚴蔚敏老師的《數據結構》是這樣實現的： int Partion(vector int pivotkey;?? pivotkey = v[low];?? while(low < high)??? { ??? while(low < high && v[high] >= pivotkey)??? high--;??? v[low] = v[high]; ??? while(low < high && v[low] <= pivotkey)??? low ++; ??? v[high] = v[low];??? } ??? v[low] = pivotkey;??? return low;??? } ??? void quickSort(vector ??? if(left < right)??? { ??? int i = Partion(number , left, right); ??? quickSort(number, left, i-1);// 對左邊進行遞歸 ??? quickSort(number, i+1, right);// 對右邊進行遞歸 ??? } ??? } 當然，區別都只是在劃分的過程，畢竟分治，才是快排的精髓嘛，不過這倆大同小異。 快排的運行時間，顯然與劃分是否對稱有關，要是直接劃分出來，是一個最不均衡的二叉樹，那就夠喝一壺的了，跟插入排序似的。下面網址有說法，是快排隱藏的二叉排序樹思想，其實可以參考，雖然只是個人理解http://bbs.chinaunix.net/viewthread.php?tid=1011316。其實說到二叉，堆排序不也是嗎？區別只是堆排序顯式的建堆，也就構成了一筆不小的開銷，如果考慮隱藏排序二叉樹的話，倒是可以理解為毛快排快于堆排。 由于快排平均情況下效果顯然很良好，那么怎么得到平均情況就是個值得思考的問題，所以書上給出了，在劃分的時候，隨機獲取一個數作為樞軸，而不是用我們的A[low]。于是我們得到了快排的隨機化版本如下： int Partion(vector ??? int x=A[r];??? int i=p-1; ??? for(int j=p;j ??? if(A[j] <= x)??? { ??? i++; ??? swap(A[i],A[j]);??? } ??? } ??? swap(A[i+1],A[r]);??? return i+1;??? } ??? int RandomPartion(vector int i= p + rand()%(r-p+1);//i<-RANDOM(p,r) ??? swap(A[r],A[i]);??? return Partion(A,p,r);??? } ??? void RandomQsort(vector ??? if(p < r)??? { ??? int q = RandomPartion(A,p,r);??? RandomQsort(A,p,q-1);??? RandomQsort(A,q+1,r);??? } ??? } 與常規快排的區別，就是在劃分的時候，獲取一個隨機數下標，再用其數組中的值作為樞軸，當然，這樣就充分考慮平均性能了。 還有一種改進RANDOM-QUICKSORT的方法，就是根據從子數組更仔細地選擇的（而不是隨機選擇的元素）作為樞軸來劃分。常用的做法是三數取中。可以參考： http://blog.csdn.net/zhanglei8893/article/details/6266915 本章最后還提到個很蛋疼的Stooge排序，實現如下： void StoogeSort(vector ??? if(A[i] > A[j])??? swap(A[i],A[j]);??? if(i+1 >=j)??? return; ??? int k =(j-i+1)/3; ??? StoogeSort(A,i,j-k);//前2/ 3??? StoogeSort(A,i+k,j);//后2/3 ??? StoogeSort(A,i,j-k);//又前2/3 ??? // StoogeSort(A,i,i+k-1);// 如果采用1/3排不出來啊 ??? } 對于數組A[i...j]，STOOGE-SORT算法將這個數組劃分成均等的3份，分別用A, B, C表示。第8、9行從宏觀上來看它進行了兩趟，結果是最大的1/3到了C，最小的1/3到了B，從宏觀上來看，整個數組的三個大塊就有序了，再進行遞歸，整個數組就有序了。第8和第9行，可以看做一個冒泡過程。 不過從運行時間的測試來講，很不給力（具體數據就不列了）。STOOGE-SORT最壞情況下的運行時間的遞歸式 T(n)= 2T(2n/3)+Θ(1)由主定律可以求得T(n)=n^2.71，相比插入排序、快速排序的Θ(n^2)和 堆排序、合并排序的Θ(nlgn)，不給力啊。參考自：http://blog.csdn.net/zhanglei8893/article/details/6235294。 本章最后，練習7-4還提出個尾遞歸的概念，起因是QuickSort的第二次遞歸調用不是必須的，可以用迭代控制結構來替代。如： QUICKSORT'(A, p, r)1 while p < r 2 do ? Partition and sort left subarray.3 q ← PARTITION(A, p, r)4 QUICKSORT'(A, p, q-1)5 p ← q + 1 具體 有效性的證明可以參考：http://blog.csdn.net/zhanglei8893/article/details/6236792，需要說明的是，當數組正序時，其遞歸深度和棧深度都為Θ(n)。 八種排序算法總結之C++版本 五種簡單排序算法 一、冒泡排序 【穩定的】 void BubbleSort(int* a,int Count)//實現從小到大的最終結果 { int temp;for(int i=1;i for(int j=Count-1;j>=i;j--) if(a[j] < a[j-1]) { temp = a[j]; a[j] = a[j-1]; a[j-1] = temp; } } 現在注意，我們給出O方法的定義： 若存在一常量K和起點n0，使當n>=n0時，有f(n)<=K*g(n),則f(n)= O(g(n))。（呵呵，不要說沒學好數學呀，對于編程數學是非常重要的?。。?/p> 現在我們來看1/2*(n-1)*n，當K=1/2，n0=1，g(n)=n*n時，1/2*(n-1)*n<=1/2*n*n=K*g(n)。所以f(n)=O(g(n))=O(n*n)。所以我們程序循環的復雜度為O(n*n)。 二、交換排序 【穩定的】 void ExchangeSort(int *a,int Count){ int temp;for(int i=0;i for(int j=i+1;j if(a[j] < a[i]) { temp = a[j]; a[j] = a[i]; a[i] = temp; } } 時間復雜度為O(n*n)。 三、選擇法 【不穩定的】 void SelectSort(int *a,int Count){ int temp;//一個存儲值 int pos;//一個存儲下標 for(int i=0;i temp = a[i]; pos = i; for(int j=i+1;j if(a[j] < temp)//選擇排序法就是用第一個元素與最小的元素交換 { temp = a[j]; pos = j;//下標的交換賦值，記錄當前最小元素的下標位置 } a[pos] = a[i]; a[i] = temp;} } 遺憾的是算法需要的循環次數依然是1/2*(n-1)*n。所以算法復雜度為O(n*n)。 我們來看他的交換。由于每次外層循環只產生一次交換（只有一個最小值）。所以f(n)<=n 所以我們有f(n)=O(n)。所以，在數據較亂的時候，可以減少一定的交換次數。 四、插入法 【穩定的】 void InsertSort(int *a,int Count){ int temp;//一個存儲值 int pos;//一個存儲下標 for(int i=1;i { temp = a[i];//當前要插入的元素 pos = i-1; while(pos>=0 && temp { a[pos+1] = a[pos];//將前一個元素后移一位 pos--; } a[pos+1] = temp;} } 其復雜度仍為O(n*n)。 最終，我個人認為，在簡單排序算法中，直接插入排序是最好的。 五、希爾排序法 【不穩定的】 /* * 希爾排序，n為數組的個數 */ void ShellSort(int arr[], int n){ int temp,pos;int d = n;//增量初值 do{ d = d/3 + 1; for(int i= d;i { temp = arr[i]; pos = i-d; while(pos>=0 && temp < arr[pos]){ arr[ pos + d ] = arr[pos]; pos-= d; } arr[ pos + d ] = temp; } } while(d > 1);} //實現增量為d的插入排序 三種高級排序算法 一、快速排序 輔助空間復雜度為O（1） 【不穩定的】 void QuickSort(int *a,int left, int right){ int i,j,middle,temp;i = left;j = right;middle = a[(left+right)/2 ];do { while(a[i] i++; while(a[j]>middle && j>left)//從右掃描小于中值的數 j--; if(i<=j)//找到了一對值 { temp = a[i]; a[i] = a[j]; } a[j] = temp; i++; j--;} } while(i 注意，在掃描過程中，對于給定參考值，對于向右(左)掃描，如果掃描值大(小)于或等于參考值，就需要進行交換。最終得到的結果是，j左邊的值都小于參考值，而i右邊的值都大于參考值，j和i之間的值都等于參考值。對j左邊和i右邊的分別使用遞歸，就可以完成最終的排序。 這里我沒有給出行為的分析，因為這個很簡單，我們直接來分析算法：首先我們考慮最理想的情況 1.數組的大小是2的冪，這樣分下去始終可以被2整除。假設為2的k次方，即k=log2(n)。 2.每次我們選擇的值剛好是中間值，這樣，數組才可以被等分。 第一層遞歸，循環n次，第二層循環2*(n/2)......所以共有n+2(n/2)+4(n/4)+...+n*(n/n)= n+n+n+...+n=k*n=log2(n)*n 所以算法復雜度為O(log2(n)*n) 其他的情況只會比這種情況差，最差的情況是每次選擇到的middle都是最小值或最大值，那么他將變 成交換法（由于使用了遞歸，情況更糟），但是糟糕的情況只會持續一個流程，到下一個流程的時候就很可能已經避開了該中間的最大和最小值，因為數組下標變化了，于是中間值不在是那個最大或者最小值。但是你認為這種情況發生的幾率有多大？？呵呵，你完全不必擔心這個問題。實踐證明，大多數的情況，快速排序總是最好的。 如果你擔心這個問題，你可以使用堆排序，這是一種穩定的O(log2(n)*n)算法，但是通常情況下速度要慢 于快速排序（因為要重組堆）。 二、歸并排序（兩種實現方法均要掌握） 【穩定的】 歸并排序是一種極好的外部排序方法，即針對數據保存在磁盤上而不是高速內存中的問題。 //以下程序參考數據結構課本P286頁的模板,為使用指針鏈表實現的 #include struct node{ //鏈表的節點數據 int value;node *next;}; node * divide_from(node * head){ node * position, * midpoint, * second_half;if((midpoint=head)== NULL)//List is empty return NULL;position = midpoint->next;while(position!= NULL)//Move position twice for midpoint's one move { position = position->next; if(position!= NULL) { midpoint = midpoint->next; position = position->next; } } second_half = midpoint->next;midpoint->next = NULL;//在這里將原鏈拆斷，分為兩段 return second_half;} node * merge(node * first, node * second){ node * last_sorted;//當前已經鏈接好的有序鏈中的最后一個節點 node combined;//啞節點 last_sorted = &combined;while(first!=NULL && second!=NULL){ if(first->value < second->value){ last_sorted->next = first; last_sorted = first; first = first->next; }else { last_sorted->next = second; last_sorted = second; second = second->next; } } if(first==NULL) last_sorted->next = second;else last_sorted->next = first;return combined.next;//返回啞節點的后繼指針，即為合并后的鏈表的頭指針 } //這里的參數必須是引用調用，需要這個指引去允許函數修改調用自變量 void MergeSort(node * &head){ if(head!= NULL && head->next!= NULL)//如果只有一個元素，則不需排序 { node * second_half = divide_from(head); MergeSort(head); MergeSort(second_half); head = merge(head, second_half);} } int main(){ node a,b,c,d;node *p1, *p2, *p3, *p4,*head;p1 = &a;p2 = &b;p3 = &c;p4 = &d;a.value = 2;b.value = 4;c.value = 3;d.value = 1;a.next = p2;b.next = p3;c.next = p4;d.next = NULL;//調用歸并排序前的結果 head = p1;while(head!= NULL){ cout< head = head->next;} cout< head = p1;while(head!= NULL){ cout< head = head->next;} cout< //以下程序為使用數組實現的歸并排序,輔助空間復雜度為O（n） #include void Merge(int data[], int left, int mid, int right){ int n1,n2,k,i,j;n1 = midmid;int *L = new int[n1];//兩個指針指向兩個動態數組的首地址 int *R = new int[n2];for(i=0,k=left;i L[i] = data[k];for(i=0,k=mid+1;i R[i] = data[k];for(k=left,i=0,j=0;i if(L[i] < R[j]){ //取小者放前面 data[k] = L[i]; i++; } else { data[k] = R[j]; j++; } } if(i for(j=i;j < n1;j++,k++) } /* * left:數組的開始下標，一般為0；right：數組的結束下標，一般為（n-1）*/ void MergeSort(int data[], int left, int right){ if(left < right){ int mid = left +(right-left)/ 2;//mid=(right+left)/2，防止溢出 MergeSort(data, left, mid); MergeSort(data , mid+1, right); Merge(data , left, mid , right);} } int main(){ int data[] = {9,8,7,2,5,6,3,55,1};//排序前的輸出 for(int i=0;i<9;i++) cout< for(int i=0;i<9;i++) cout< 三、堆排序 【不穩定的】 /* * 向堆中插入current元素的函數 */ void insert_heap(int data[], const int ¤t, int low, int high) data[k] = L[j];else //if(j for(i=j;i data[k] = R[i];delete []L;//回收內存 delete []R;{ int large;//元素data[low]左右兒子中，大者的位置 large = 2*low + 1;while(large <= high){ if(large < high && data[large] < data[ large+1]) large++; if(current > data[ large ])//待插入元素的值比它的兩個兒子都大 break; else { data[ low ] = data[ large ];//將其左右兒子的大者上移 low = large; large = 2 * large + 1; } } data[ low ] = current;} /* * 建立堆函數，num為數組data的元素個數 * 只有一個結點的<2-樹>自動滿足堆的屬性，因此不必擔心樹中的任何樹葉，即 * 不必擔心表的后一半中的元素。如果從表的中間點開始并從后向前工作，就 * 能夠使用函數insert_heap去將每個元素插入到包含了所有后面元素的部分堆 * 中，從而創建完整的堆。*/ void build_heap(int data[], int num){ int current;for(int low = num/2-1;low>=0;low--){ current = data[ low ]; insert_heap(data, current, low, num-1);} } /* * 堆排序主函數,num為數組data的元素個數 */ void heap_sort(int data[], int num){ int current, last_sorted;build_heap(data, num);//建立堆 for(last_sorted = num-1;last_sorted>0;last_sorted--){ //逐個元素處理 current = data[ last_sorted ];//data[0]在整個數組排序結束前，存儲的是待排序元素中最大的元素 data[last_sorted] = data[0]; insert_heap(data, current, 0, last_sorted-1);} } int main(){ //用于排序算法的輸入輸出 int a[8] = {5,7,1,2,9,4,6,3,};for(int i=0;i< sizeof(a)/sizeof(int);i++) cout< for(int i=0;i< sizeof(a)/sizeof(int);i++) cout<第二篇：排序算法總結
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第四篇：《算法導論》學習總結——快速排序
第五篇：C++ 八種排序算法總結及實現
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