第一篇：算法總結

算法分析與設計總結報告

71110415 錢玉明

在計算機軟件專業中，算法分析與設計是一門非常重要的課程，很多人為它如癡如醉。很多問題的解決，程序的編寫都要依賴它，在軟件還是面向過程的階段，就有程序=算法+數據結構這個公式。算法的學習對于培養一個人的邏輯思維能力是有極大幫助的，它可以培養我們養成思考分析問題，解決問題的能力。作為IT行業學生，學習算法無疑會增強自己的競爭力，修煉自己的“內功”。

下面我將談談我對這門課程的心得與體會。

一、數學是算法的基礎

經過這門課的學習，我深刻的領悟到數學是一切算法分析與設計的基礎。這門課的很多時間多花在了數學公式定理的引入和證明上。雖然很枯燥，但是有必不可少。我們可以清晰的看到好多算法思路是從這些公式定理中得出來的，尤其是算法性能的分析更是與數學息息相關。其中有幾個定理令我印象深刻。

①主定理

本門課中它主要應用在分治法性能分析上。例如：T(n)=a*T(n/b)+f(n)，它可以看作一個大問題分解為a個子問題，其中子問題的規模為b。而f(n)可看作這些子問題的組合時的消耗。這些可以利用主定理的相關結論進行分析處理。當f(n)量級高于nlogba時，我們可以設法降低子問題組合時的消耗來提高性能。反之我們可以降低nlogba的消耗，即可以擴大問題的規模或者減小子問題的個數。因此主定理可以幫助我們清晰的分析出算法的性能以及如何進行有效的改進。

②隨機算法中的許多定理的運用

在這門課中，我學到了以前從未遇見過的隨機算法，它給予我很大的啟示。隨機算法不隨機，它可通過多次的嘗試來降低它的錯誤率以至于可以忽略不計。這些都不是空穴來風，它是建立在嚴格的定理的證明上。如素數判定定理是個很明顯的例子。它運用了包括費馬小定理在內的各種定理。將這些定理進行有效的組合利用，才得出行之有效的素數判定的定理。尤其是對尋找證據數算法的改進的依據，也是建立在3個定理上。還有檢查字符串是否匹配也是運用了許多定理：指紋的運用，理論出錯率的計算，算法性能的評價也都是建立在數學定理的運用上。

這些算法都給予了我很大啟發，要想學好算法，學好數學是必不可少的。沒有深厚的數學功力作為地基，即使再漂亮的算法框架，代碼實現也只能是根底淺的墻上蘆葦。

二、算法的核心是思想

我們學習這門課不是僅僅掌握那幾個經典算法例子，更重要的是為了學習蘊含在其中的思想方法。為什么呢？舉個例子。有同學曾問我這樣一個問題：1000只瓶子裝滿水，但有一瓶有毒，且毒發期為1個星期。現在用10只老鼠在一個星期內判斷那只瓶子有毒，每只老鼠可以喝多個瓶子的水，每個瓶子可以只喝一點。問如何解決？其實一開始我也一頭霧水，但是他提醒我跟計算機領域相關，我就立馬有了思路，運用二進制。因為計算機的最基本思想就是二進制。所以說，我們不僅要學習算法，更得學習思想方法。

①算法最基本的設計方法包括分治法，動態規劃法，貪心法，周游法，回溯法，分支定界法。我們可利用分治法做快速排序，降低找n個元素中最大元和最小元的量級，降低n位二進制x和y相乘的量級，做Strassen矩陣乘法等等。它的思想就是規模很大的問題分解為規模較小的獨立的子問題，關鍵是子問題要與原問題同類，可以采取平衡法來提高性能。

動態規劃法是把大問題分解為子問題，但是子問題是重復的，后面的問題可以利用前面解決過的問題的結果。如構造最優二叉查找樹，解決矩陣連乘時最小計算次數問題，尋找最長公共子序列等等。

貪心法就是局部最優法，先使局部最優，再依次構造出更大的局部直至整體。如Kruscal最小生成樹算法，求哈夫曼編碼問題。

周游法就是簡單理解就是采取一定的策略遍歷圖中所有的點，典型的應用就是圖中的深度優先搜索(DFS)和廣度優先搜索(BFS)。

回溯法就是就是在滿足一定的條件后就往前走，當走到某步時，發現不滿足條件就退回一步重新選擇新的路線。典型的應用就是8皇后問題，平面點集的凸包問題和0-1背包問題。

分支定界法：它是解決整數規劃問題一種最常用的方法。典型應用就是解決整數規劃問題。

②評價算法性能的方法如平攤分析中的聚集法，會計法和勢能法。聚集法就是把指令分為幾類，計算每一類的消耗，再全部疊加起來。會計法就是計算某個指令時提前將另一個指令的消耗也算進去，以后計算另一個指令時就不必再算了。勢能法計算每一步的勢的變化以及執行這步指令的消耗，再將每一步消耗全部累計。

這幾種方法都是平攤分析法，平攤分析的實質就是總體考慮指令的消耗時間，盡管某些指令的消耗時間很大也可以忽略不計。上述三種方法難易程度差不多，每種方法都有屬于它的難點。如聚集法中如何將指令有效分類，會計法中用什么指令提前計算什么指令的消耗，勢能法中如何選取勢能。因此掌握這些方法原理還不夠，還要學會去應用，在具體的問題中去判斷分析。

三、算法與應用緊密相關

我認為學習算法不能局限于書本上的理論運算，局限于如何提高性能以降低復雜度，我們要將它與實際生活聯系起來。其實算法問題的產生就來自于生活，設計出高效的算法就是為了更好的應用。如尋找最長公共子序列算法可以應用在生物信息學中通過檢測相似DNA片段的相似成分來檢測生物特性的相似性，也可以用來判斷兩個字符串的相近性，這可應用在數據挖掘中。快速傅立葉變換（FFT）可應用在計算多項式相乘上來降低復雜度，脫線min算法就是利用了Union-Find這種結構。還有圖中相關算法，它對于解決網絡流量分配問題起了很大的幫助，等等。

這些應用給了我很大的啟發：因為單純講一個Union-Find算法，即使了解了它的實現原理，遇到具體的實際問題也不知去如何應用。這就要求我們要將自己學到的算法要和實際問題結合起來，不能停留在思想方法階段，要學以致用，做到具體問題具體分析。

四、對計算模型和NP問題的理解

由于對這部分內容不是很理解，所以就粗淺的談一下我的看法。

首先談到計算模型，就不得不提到圖靈計算，他將基本的計算抽象化，造出一個圖靈機，得出了計算的本質。并提出圖靈機可以計算的問題都是可以計算的，否則就是不可計算的。由此引申出一個著名論題：任何合理的計算模型都是相互等價的。它說明了可計算性本身不依賴于任何具體的模型而客觀存在。

NP問題比較復雜，我認為它是制約算法發展的瓶頸，但這也是算法分析的魅力所在。NP問題一般可分為3類，NP-C問題，NP-hard問題以及頑型問題。NP-C它有個特殊的性質，如果存在一個NP-C問題找到一個多項式時間的解法，則所有的NP-C問題都能找到多項式時間解法。如哈密頓回路問題。NP-hard主要是解決最優化問題。它不一定是NP問題。這些問題在規模較小時可以找出精確解，但是規模大時，就因時間太復雜而找不到最優解。此時一般會采用近似算法的解法。頑型問題就是已經證明不可能有多項式時間的算法，如漢諾塔問題。

最后談談對這門課程的建議

①對于這門算法課，我認為應該加強對算法思想方法的學習。所以我建議老師可不可以先拋出問題而不給出答案，講完一章，再發課件。讓我們先思考一會兒，或者給出個獎勵機制，誰能解決這個問題，平時成績加分。這在一定程度上會將強我們思考分析問題的能力。因為我感覺到，一個問題出來，未經過思考就已經知曉它的答案，就沒什么意思，得不到提高，而且也不能加深對問題的思考和理解。下次遇到類似的問題也就沒有什么印象。而且上課讓我們思考，點名回答問題可以一定程度上有效的防止不認真聽課的現象。

②作業安排的不是很恰當。本門課主要安排了三次作業，個人感覺只有第一次作業比較有意思。后面兩次作業只是實現一下偽代碼，沒有太多的技術含量。而且對于培養我們的解決問題的能力也沒有太多的幫助，因為這間接成為了程序設計題，不是算法設計題。

③本門課的時間安排的不太恰當，因為本學期的課程太多，壓力太大。沒有太多的時間去學習這門課程。因為我相信大家都對它感興趣，比較重視，想花功夫，但苦于沒時間。所以可不可以將課程提前一個學期，那時候離散數學也已經學過，且課程的壓力也不是很大。錯開時間的話，我覺得應該能夠更好提高大家算法分析設計的能力。

第二篇：算法總結

算法分塊總結

為備戰2005年11月4日成都一戰，特將已經做過的題目按算法分塊做一個全面詳細的總結，主要突出算法思路，盡量選取有代表性的題目，盡量做到算法的全面性，不漏任何ACM可能涉及的算法思路。算法設計中，時刻都要牢記要減少冗余，要以簡潔高效為追求目標。另外當遇到陌生的問題時，要想方設法進行模型簡化，轉化，轉化成我們熟悉的東西。

圖論模型的應用

分層圖思想的應用：

用此思想可以建立起更簡潔、嚴謹的數學模型，進而很容易得到有效算法。重要的是，新建立的圖有一些很好的性質： 由于層是由復制得到的，所以所有層都非常相似，以至于我們只要在邏輯上分出層的概念即可，根本不用在程序中進行新層的存儲，甚至幾乎不需要花時間去處理。由于層之間的相似性，很多計算結果都是相同的。所以我們只需對這些計算進行一次，把結果存起來，而不需要反復計算。如此看來，雖然看起來圖變大了，但實際上問題的規模并沒有變大。層之間是拓撲有序的。這也就意味著在層之間可以很容易實現遞推等處理，為發現有效算法打下了良好的基礎。

這些特點說明這個分層圖思想還是很有潛力的，尤其是各層有很多公共計算結果這一點，有可能大大消除冗余計算，進而降低算法時間復雜度。二分圖最大及完備匹配的應用： ZOJ place the robots: 二分圖最優匹配的應用：

最大網絡流算法的應用：典型應用就求圖的最小割。最小費用最大流的應用：

容量有上下界的最大流的應用：

歐拉路以及歐拉回路的應用：主要利用求歐拉路的套圈算法。最小生成樹：

求最小生成樹，比較常用的算法有Prim算法和Kruskal算法。前者借助Fibonacci堆可以使復雜度降為O(Vlog2V+E)，后者一般應用于稀疏圖，其時間復雜度為O(Elog2V)。最小K度限制生成樹：

抽象成數學模型就是：

設G=(V,E,ω)是連通的無向圖，v0 ∈V是特別指定的一個頂點,k為給定的一個正整數。首先考慮邊界情況。先求出問題有解時k 的最小值：把v0點從圖中刪去后，圖中可能會出 現m 個連通分量，而這m 個連通分量必須通過v0來連接，所以，在圖G 的所有生成樹中 dT(v0)≥m。也就是說，當k

首先，將 v0和與之關聯的邊分別從圖中刪去，此時的圖可能不再連通，對各個連通分量，分別求最小生成樹。接著，對于每個連通分量V’，求一點v1，v1∈V’,且ω(v0,v1)=min{ω(v0,v’)|v’∈V’}，則該連通分量通過邊(v1,v0)與v0相連。于是，我們就得到了一個m度限制生成樹，不難證明，這就是最小m度限制生成樹。這一步的時間復雜度為O(Vlog2V+E)我們所求的樹是無根樹，為了解題的簡便，把該樹轉化成以v0為根的有根樹。

假設已經得到了最小p度限制生成樹，如何求最小p+1 度限制生成樹呢？在原先的樹中加入一條與v0相關聯的邊后，必定形成一個環。若想得到一棵p+1 度限制生成樹，需刪去一條在環上的且與v0無關聯的邊。刪去的邊的權值越大，則所得到的生成樹的權值和就越小。動態規劃就有了用武之地。設Best(v)為路徑v0—v上與v0無關聯且權值最大的邊。定義father(v)為v的父結點，動態轉移方程：Best(v)=max(Best(father(v)),(father(v),v))，邊界條件為Best[v0]=-∞，Best[v’]=-∞|(v0,v’)∈E(T)。

狀態共|V|個，狀態轉移的時間復雜度O(1)，所以總的時間復雜度為O(V)。故由最小p度限制生成樹得到最小p+1度限制生成樹的時間復雜度為O(V)。1 先求出最小m度限制生成樹；

2由最小m度限制生成樹得到最小m+1度限制生成樹;3 當dT(v0)=k時停止。

加邊和去邊過程，利用動態規劃優化特別值得注意。

次小生成樹：

加邊和去邊很值得注意。

每加入一條不在樹上的邊，總能形成一個環，只有刪去環上的一條邊，才能保證交換后仍然是生成樹，而刪去邊的權值越大，新得到的生成樹的權值和越小。具體做法：

首先做一步預處理，求出樹上每兩個結點之間的路徑上的權值最大的邊，然后，枚舉圖中不在樹上的邊，有了剛才的預處理，我們就可以用O(1)的時間得到形成的環上的權值最大的邊。如何預處理呢？因為這是一棵樹，所以并不需要什么高深的算法，只要簡單的BFS 即可。

最短路徑的應用：

Dijkstra 算法應用： Folyed 算法應用：

Bellman-Ford 算法的應用：

差分約束系統的應用：

搜索算法

搜索對象和搜索順序的選取最為重要。一些麻煩題，要注意利用數據有序化，要找一個較優的搜索出發點，凡是能用高效算法的地方盡量爭取用高效算法。基本的遞歸回溯深搜，記憶化搜索，注意剪枝： 廣搜（BFS）的應用： 枚舉思想的應用： ZOJ 1252 island of logic A*算法的應用：

IDA*算法的應用，以及跳躍式搜索探索： 限深搜索，限次： 迭代加深搜索：

部分搜索+高效算法（比如二分匹配，動態規劃）： ZOJ milk bottle data: 剪枝優化探索：

可行性剪枝，最優性剪枝，調整搜索順序是常用的優化手段。

動態規劃

動態規劃最重要的就是狀態的選取，以及狀態轉移方程，另外還要考慮高效的預處理（以便更好更快的實現狀態轉移）。最常用的思想就是用枚舉最后一次操作。

狀態壓縮DP，又叫帶集合的動態規劃：題目特點是有一維的維數特別小。類似TSP問題的DP：

狀態劃分比較困難的題目： 樹形DP：

四邊形不等式的應用探索：四邊形不等式通常應用是把O(n^3)復雜度O(n^2)

高檔數據結構的應用

并查集的應用：

巧用并查集中的路徑壓縮思想： 堆的利用： 線段樹的應用：

總結用線段樹解題的方法

根據題目要求將一個區間建成線段樹，一般的題目都需要對坐標離散。建樹時，不要拘泥于線段樹這個名字而只將線段建樹，只要是表示區間，而且區間是由單位元素(可以是一個點、線段、或數組中一個值)組成的，都可以建線段樹；不要拘泥于一維，根據題目要求可以建立面積樹、體積樹等等

樹的每個節點根據題目所需，設置變量記錄要求的值

用樹形結構來維護這些變量：如果是求總數，則是左右兒子總數之和加上本節點的總數，如果要求最值，則是左右兒子的最大值再聯系本區間。利用每次插入、刪除時，都只對O(logL)個節點修改這個特點，在O(logL)的時間內維護修改后相關節點的變量。

在非規則刪除操作和大規模修改數據操作中，要靈活的運用子樹的收縮與葉子節點的釋放，避免重復操作。

Trie的應用：；

Trie圖的應用探索： 后綴數組的應用研究：

在字符串處理當中，后綴樹和后綴數組都是非常有力的工具，其中后綴樹了解得比較多，關于后綴數組則很少見于國內的資料。其實后綴數組是后綴樹的一個非常精巧的替代品，它比后綴樹容易編程實現，能夠實現后綴樹的很多功能而時間復雜度也不太遜色，并且，它比后綴樹所占用的空間小很多。

樹狀數組的應用探索：；

計算幾何

掌握基本算法的實現。凸包的應用：；

半平面交算法的應用：；

幾何+模擬類題目：幾何設計好算法，模擬控制好精度。掃描法：；

轉化法：ZOJ 1606 將求所圍的格子數，巧妙的轉化為求多邊形的面積。離散法思想的應用：；

經典算法：找平面上的最近點對。

貪心

矩形切割

二分思想應用

活用經典算法

利用歸并排序算法思想求數列的逆序對數：

利用快速排序算法思想，查詢N個數中的第K小數：

博弈問題

博弈類題目通常用三類解法：第一類推結論； 第二類遞推，找N位置，P位置； 第三類SG函數的應用。第四類極大極小法，甚至配合上αβ剪枝。最難掌握的就是第四類極大極小法。

第一類：推結論。典型題目： 第二類：遞推。典型題目：

比如有向無環圖類型的博弈。在一個有向圖中，我們把選手I有必勝策略的初始位置稱為N位置(Next player winning)，其余的位置被稱為P位置(Previous player winning)。很顯然，P位置和N位置應該具有如下性質：

1． 所有的結束位置都是P位置。

2． 對于每一個N位置，至少存在一種移動可以將棋子移動到一個P位置。3． 對于每一個P位置，它的每一種移動都會將棋子移到一個N位置。

這樣，獲勝的策略就是每次都把棋子移動到一個P位置，因為在一個P位置，你的對手只能將棋子移動到一個N位置，然后你總有一種方法再把棋子移動到一個P位置。一直這樣移動，最后你一定會將棋子移動到一個結束位置（結束位置是P位置），這時你的對手將無法在移動棋子，你便贏得了勝利。

與此同時，得到了這些性質，我們便很容易通過倒退的方法求出哪些位置是P位置，哪些位置是N位置，具體的算法為：

1． 將所有的結束位置標為P位置。

2． 將所有能一步到達P位置的點標為N位置。

3． 找出所有只能到達N位置的點，將它們標為P位置。

4． 如果在第三步中沒有找到新的被標為P位置的點，則算法結束，否則轉到步驟2。這樣我們便確定了所有位置，對于題目給出的任一初始位置，我們都能夠很快確定出是選手I獲勝還是選手II獲勝了。第三類：SG函數的應用。

關于SG函數的基本知識：對于一個有向圖(X, F)來說，SG函數g是一個在X上的函數，并且它返回一個非負整數值，具體定義為

g(x)?min{n?0,n?g(y)對于所有y?F(x)}

1． 對于所有的結束位置x，g(x)= 0。

2． 對于每一個g(x)≠ 0的位置x，在它可以一步到達的位置中至少存在一個位置y使得g(y)= 0。

3．對于每一個g(x)＝ 0的位置x，所有可以由它一步到達的位置y都有g(y)≠ 0。

定理 如果g(xi)是第i個有向圖的SG函數值，i = 1,…,n，那么在由這n個有向圖組成的狀態的SG函數值g(x1,…xn)= g(x1)xor g(x2)xor … xor g(xn)

第四類：極大極小法。

典型題目：ZOJ 1155：Triangle War

ZOJ 1993：A Number Game

矩陣妙用

矩陣最基本的妙用就是利用快速乘法O（logn）來求解遞推關系（最基本的就是求Fibonacci數列的某項）和各種圖形變換，以及利用高斯消元法變成階梯矩陣。典型題目：

數學模型舉例

向量思想的應用：

UVA 10089：注意降維和向量的規范化 ；

利用復數思想進行向量旋轉。

UVA 10253：

遞推

數代集合

數代集合的思想：

ACM ICPC 2002-2003, Northeastern European Region, Northern Subregion 中有一題：Intuitionistic Logic 用枚舉+數代集合思想優化，注意到題中有一句話：“You may assume that the number H = |H| of elements of H?doesn't exceed 100”，這句話告訴我們H的元素個數不會超過100，因此可以考慮用一個數代替一個集合，首先把所有的運算結果都用預處理算出來，到計算的時候只要用O(1)的復雜度就可以完成一次運算。

組合數學

Polya定理則是解決同構染色計數問題的有力工具。

補集轉化思想

ZOJ 單色三角形：

字符串相關

擴展的KMP算法應用：；最長回文串； 最長公共子串； 最長公共前綴；

填充問題

高精度運算

三維空間問題專題

無論什么問題，一旦擴展到三難空間，就變得很有難度了。三維空間的問題，很考代碼實現能力。

其它問題的心得

解決一些判斷同構問題的方法：同構的關鍵在于一一對應，而如果枚舉一一對應的關系，時間復雜度相當的高，利用最小表示，就能把一個事物的本質表示出來。求最小表示時，我們一定要仔細分析，將一切能區分兩個元素的條件都在最小表示中體現，而且又不能主觀的加上其他條件。得到最小表示后，我們往往還要尋求適當的、高效的匹配算法（例如KMP字符匹配之類的），來比較最小表示是否相同，這里常常要將我們熟悉的高效算法進行推廣

第三篇：算法總結材料

源程序代碼：

}

一、自然數拆分（遞歸）

} #include

二、快速排序（遞歸）int a[100];void spilt(int t)#include { int k,j,l,i;main()for(k=1;k<=t;k++){int i,a[11]={0,14,12,5,6,32,8,9,15,7,10};{ printf(“%d+”,a[k]);} for(i=0;i<11;printf(“%4d”,a[i]),++i);printf(“n”);printf(“n”);j=t;l=a[j];quicksort(a,10);for(i=a[j-1];i<=l/2;i++)for(i=0;i<11;printf(“%4d”,a[i]),++i);{ a[j]=i;a[j+1]=l-i;printf(“n”);}

spilt(j+1);} } int partitions(int a[],int from,int to)void main(){ { int n,i;

int value=a[from];printf(“please enter the number:”);

while(from

a[from]=a[to];

while(from

++from;

a[to]=a[from];

}

a[from]=value;

return from;

}

void qsort(int a[],int from,int to){ int pivottag;if(from

{pivottag=partitions(a,from,to);qsort(a,from,pivottag-1);qsort(a,pivottag+1,to);

} scanf(“%d”,&n);

for(i=1;i<=n/2;i++){ a[1]=i;a[2]=n-i;spilt(2);

三、刪數字（貪心）

#include #include void main(){

int a[11]={3,0,0,0,9,8,1,4,7,5,1};

int k=0,i=0,j;

int m;

while(i<11)

{

printf(“%d ”,a[i]);

i++;}

printf(“n please input delete number:”);

四、全排列（遞歸）#include A(char a[],int k,int n){

int i;char temp;if(k==n)

for(i=0;i<=3;i++)

{printf(“%c ”,a[i]);} else {

for(i=k;i<=n;i++)

{ temp=a[i];

a[i]=a[k];

a[k]=temp;

A(a,k+1,n);

} } } main(){

int n;

char a[4]={'a','b','c','d'},temp;

A(a,0,3);

getch();

return 0;}

五、多段圖（動態規劃）#include “stdio.h”

#define n 12 //圖的頂點數

{ while(from=value)--to;

scanf(“%d”,&m);for(k=0;k

{

for(i=0;i<=11-k;i++)

{

if(a[i]>a[i+1])

{

for(j=i;j<10;j++)

{a[j]=a[j+1];}

break;//滿足條件就跳轉

}

} }

int quicksort(int a[],int n){

qsort(a,0,n);}

}

printf(“the change numbers:”);

for(i=0;i<11-m;i++)

{

if(a[i]!=0)

{ printf(“%d ”,a[i]);}

}

}

#define k 4 //圖的段數 #define MAX 23767 int cost[n][n];//成本值數組

int path[k];//存儲最短路徑的數組

void creatgraph()//創建圖的(成本)鄰接矩陣 { int i,j;

for(i=0;i

for(j=0;j

scanf(“%d”,&cost[i][j]);//獲取成本矩陣數據 }

void printgraph()//輸出圖的成本矩陣 { int i,j;

printf(“成本矩陣:n”);

for(i=0;i

{ for(j=0;j

printf(“%d ”,cost[i][j]);

printf(“n”);

} }

//使用向前遞推算法求多段圖的最短路徑 void FrontPath(){ int i,j,length,temp,v[n],d[n];

for(i=0;i

v[i]=0;for(i=n-2;i>=0;i--){ for(length=MAX,j=i+1;j<=n-1;j++)

if(cost[i][j]>0 &&(cost[i][j])+v[j]

{length=cost[i][j]+v[j];temp=j;}

v[i]=length;

d[i]=temp;

}

path[0]=0;//起點

path[k-1]=n-1;//最后的目標

for(i=1;i<=k-2;i++)(path[i])=d[path[i-1]];//將最短路徑存入數組中 }

//使用向后遞推算法求多段圖的最短路徑

void BackPath(){ int i,j,length,temp,v[n],d[n];

for(i=0;i

for(i=1;i<=n-1;i++)

{ for(length=MAX,j=i-1;j>=0;j--)

if(cost[j][i]>0 &&(cost[j][i])+v[j]

{length=cost[j][i]+v[j];temp=j;}

v[i]=length;

d[i]=temp;

}

path[0]=0;

path[k-1]=n-1;

for(i=k-2;i>=1;i--)(path[i])=d[path[i+1]];}

//輸出最短路徑序列 void printpath(){ int i;

for(i=0;i

printf(“%d ”,path[i]);}

main(){ freopen(“E:1input.txt”,“r”,stdin);

creatgraph();

printgraph();

FrontPath();

printf(“輸出使用向前遞推算法所得的最短路徑:n”);

printpath();

printf(“n輸出使用向后遞推算法所得的最短路徑:n”);

BackPath();

printpath();printf(“n”);}

六、背包問題（遞歸）int knap(int m, int n){

int x;

x=m-mn;

if x>0

sign=1;

else if x==0

sign=0;

else

sign=-1;

switch(sign){

case 0: knap=1;break;

case 1: if(n>1)

if knap(m-mn,n-1)

knap=1;

else

knap= knap(m,n-1);

else

knap=0;

case-1: if(n>1)

knap= knap(m,n-1);

else

knap=0;

} }

七、8皇后（回溯）#include #include #define N 4 int place(int k, int X[N+1]){

int i;

i=1;

while(i

if((X[i]==X[k])||(abs(X[i]-X[k])==abs(i-k)))

return 0;

i++;

}

return 1;}

void Nqueens(int X[N+1]){

int k, i;

X[1]=0;k=1;

while(k>0){

X[k]=X[k]+1;

while((X[k]<=N)&&(!place(k,X)))

X[k]=X[k]+1;

if(X[k]<=N)

if(k==N){ for(i=1;i<=N;i++)

printf(“%3d”,X[i]);printf(“n”);

}

else{ k=k+1;

X[k]=0;

}

else k=k-1;

} }

void main(){

int n, i;

int X[N+1]={0};

clrscr();

Nqueens(X);

printf(“The end!”);}

八、圖著色（回溯）#include #define N 5 int X[N]={0,0,0,0,0};int GRAPH[N][N]={ {0,1,1,1,0}，{1,0,1,1,1}，{1,1,0,1,0}，{1,1,1,0,1}，{0,1,0,1,0} };int M=4;int count=0;int mcoloring(int k){

int j,t;

while(1){

nextValue(k);

if(X[k]==0)

return 0;

if(k==(N-1)){

for(t=0;t

printf(“%3d”,X[t]);

printf(“n”);

count++;

}

else

mcoloring(k+1);

} } int nextValue(int k){

int j;

while(1){

X[k]=(X[k]+1)%(M+1);

if(X[k]==0)

return 0;

for(j=0;j

if((GRAPH[k][j]==1)&&(X[k]==X[j]))

break;

}

if(j==N){

return 0;

}

} } void main(){

int k;

clrscr();

k=0;

mcoloring(k);

printf(“ncount=%dn”,count);}

矩陣鏈乘法（動態規劃）? 符號S[i, j]的意義：

符號S(i, j)表示，使得下列公式右邊取最小值的那個k值

public static void matrixChain(int [ ] p, int [ ][ ] m, int [ ][ ] s)

{

int n=p.length-1;

for(int i = 1;i <= n;i++)m[i][i] = 0;

for(int r = 2;r <= n;r++)

for(int i = 1;i <= n-r+1;i++){

int j=i+r-1;

m[i][j] = m[i+1][j]+ p[i-1]*p[i]*p[j];

s[i][j] = i;

for(int k = i+1;k < j;k++){

int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];

if(t < m[i][j]){

m[i][j] = t;

s[i][j] = k;}

}

}

}

O的定義：

如果存在兩個正常數c和n0，對于所有的n≥n0時，有：

|f(n)|≤c|g(n)|，稱函數f(n)當n充分大時的階比g(n)低，記為

f(n)=O(g(n))。計算時間f(n)的一個上界函數 Ω的定義：

如果存在正常數c和n0，對于所有n≥n0時，有：

|f(n)|≥c|g(n)|，則稱函數f(n)當n充分大時下有界，且g(n)是它的一個下界，即f(n)的階不低于g(n)的階。記為：

f(n)=Ω(g(n))。Θ的定義：

如果存在正常數c1，c2和n0，對于所有的n>n0，有：

c1|g(n)|≤f(n)≤c2|g(n)|，則記f(n)=Θ(g(n))意味著該算法在最好和最壞的情況下計算時間就一個常因子范圍內而言是相同的。(1)多項式時間算法：

O(1)

(2)指數時間算法：

O(2n)

Move(n,n+1)(2n+1,2n+2)move(2n-1,2n)(n,n+1)call chess(n-1)

貪心方法基本思想：

貪心算法總是作出在當前看來最好的選擇。也就是說貪心算法并不從整體最優考慮，它所作出的選擇只是在某種意義上的局部最優選擇

所求問題的整體最優解可以通過一系列局部最優的選擇，即貪心選擇來達到。這是貪心算法可行的第一個基本要素，也是貪心算法與動態規劃算法的主要區別。

多段圖：

COST[j]=c(j,r)+COST[r];

回溯法：

(假定集合Si的大小是mi)不斷地用修改過的規范函數Pi(x1,…,xi)去測試正在構造中的n-元組的部分向量(x1,…,xi)，看其是否可能導致最優解。如果判定(x1,…,xi)不可能導致最優解，那么就將可能要測試的mi+1…mn個向量略去。約束條件：

(1)顯式約束：限定每一個xi只能從給定的集合Si上取值。

(2)解

空

間：對于問題的一個實例，解向量滿足顯式

約束條件的所有多元組，構成了該實例

的一個解空間。

(3)隱式約束：規定解空間中實際上滿足規范函數的元

組，描述了xi必須彼此相關的情況。基本做法：

在問題的解空間樹中，按深度優先策略，從根結點出發搜索解空間樹。算法搜索至解空間樹的任意一點時，先判斷該結點是否包含問題的解：如果肯定不包含，則跳過對該結點為根的子樹的搜索，逐層向其祖先結點回溯；否則，進入該子樹，繼續按深度優先策略搜索。

8皇后問題

約束條件

限界函數：

子集和數問題：

約束條件

限界函數：

回溯法－－術語：

活結點：已生成一個結點而它的所有兒子結點還沒有

全部生成的結點稱為活結點。

E-結點：當前正在生成其兒子結點的活結點叫E-結點。

死結點：不再進一步擴展或其兒子結點已全部生成的結點稱為死結點。

使用限界函數的深度優先節點生成的方法成為回溯法；E-結點一直保持到死為止的狀態生成的方法 稱之為分支限界方法

且用限界函數幫助避免生成不包含答案結點子樹的狀態空間的檢索方法。區別：

分支限界法本質上就是含有剪枝的回溯法，根據遞歸的條件不同，是有不同的時間復雜度的。

回溯法深度優先搜索堆棧或節點的所有子節點被遍歷后才被從棧中彈出找出滿足約束條件的所有解

分支限界法廣度優先或最小消耗優先搜索隊列，優先隊列每個結點只有一次成為活結點的機會找出滿足約束條件下的一個解或特定意義下的最優解

一般如果只考慮時間復雜度二者都是指數級別的

可是因為分支限界法存在著各種剪枝，用起來時間還是很快的int M, W[10],X[10];void sumofsub(int s, int k, int r){

int j;

X[k]=1;

if(s+W[k]==M){

for(j=1;j<=k;j++)

printf(“%d ”,X[j]);

printf(“n”);

}

else

if((s+W[k]+W[k+1])<=M){

sumofsub(s+W[k],k+1,r-W[k]);

}

if((s+r-W[k]>=M)&&(s+W[k+1]<=M)){

X[k]=0;

sumofsub(s,k+1,r-W[k]);

} } void main(){

M=30;

W[1]=15;

W[2]=9;

W[3]=8;

W[4]=7;

W[5]=6;

W[6]=5;

W[7]=4;

W[8]=3;

W[9]=2;

W[10]=1;

sumofsub(0,1,60);}

P是所有可在多項式時間內用確定算法求解的判定問題的集合。NP是所有可在多項式時間內用不確定算法求解的判定問題的集合 如果可滿足星月化為一個問題L，則此問題L是NP-難度的。如果L是NP難度的且L NP，則此問題是NP-完全的

第四篇：行列式算法歸納總結

數學與統計學學院

中期報告

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行列式的算法歸納

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指導教師姓名 職稱:

2012年6月20日

目錄

引言..................................................................................................................................................2 1 行列式性質...................................................................................................................................2 2 行列式計算方法...........................................................................................................................5

2.1定義法.................................................................................................................................5 2.2遞推法.................................................................................................................................6 2.3化三角法.............................................................................................................................9

2.4拆元法...............................................................................................................................11.4加邊法..............................................................................................................................12 2.6數學歸結法.......................................................................................................................14 2.7降價法...............................................................................................................................15 2.8利用普拉斯定理...............................................................................................................16 2.9利用范德蒙行列式...........................................................................................................17 結論................................................................................................................................................18 參考文獻.........................................................................................................................................18

行列式的概念及應用

摘要：本文先列舉行列式計算相關性質，然后歸納總結出了行列式的計算方法，包括：定義法，化三角法，遞推法，拆元法，加邊法，數學歸結法，降價法，利用拉普拉斯定理和利用范德蒙行列式的方法。

關鍵詞：行列式；線性方程組；范德蒙行列式

The concept and application of determinant

In this article, it first lists some calculated properties of determinants, and then characterizes some methods to calculate determinant, including: definition, triangulation, recursive method, remove method, bordered，Mathematical induction，reduction，the method using Laplace theorem or the van demon determinant.Keywords: determinant;system of linear equations;Van demon determinant

引言

行列式的概念最初是伴隨著方程組的求解而發展起來的。行列式的提出可以追溯到十七世紀，最初的雛形由日本數學家關孝和與德國數學家戈特弗里德·萊布尼茨各自獨立得出，時間大致相同。日本數學家關孝和提出來的，他在1683年寫了一部名為解伏題之法的著作，意思是“解行列式問題的方法”，書中對行列式的概念和它的展開已經有了清楚的敘述。歐洲第一個提出行列式概念的是德國數學家，微積分學奠基人之一萊布尼茨。十八世紀開始，行列式開始作為獨立的數學概念被研究。十九世紀以后，行列式理論進一步得到發展和完善。矩陣概念的引入使得更多有關行列式的性質被發現，行列式在許多領域都逐漸顯現出重要的意義和作用，出現了線性自同態和向量組的行列式的定義。行列式的性質

性質1 行列互換，行列式值不變，即

a11a12?a1na21a22?a2n????an1an2?anna11[1]

a21a22?a2n?an1?an2 ??anna12?a1n其實，元素aij在上式的右端位于第j行第i列，即此時i是列指標，j為行指標。

在行列式中，行與列的地位是對稱的，所以有關行的性質，對列也成立。

性質2 如果行列式中一行為零，那么行列式為零。

?的元都是二項式，那么這個行列式等于把這些性質3 如果行列式的某一行?或一列二項式各取一項作成相應行?或列?而其余行?或列?不變的兩個行列式的和。

即

a11?b1j?c1ja21?b2j?c2j??an1?bnj?cnj?a1na11?b1j?a2na21?b2j?????annan1?bnj?a1na11?c1j?a2na21?c2j?????annan1?cnj?a1n?a2n ??ann這就是說，如果某一行是兩組數的和，那么這個行列式就等于兩個行列式的和，而這兩個行列式除這一行以外全與原來行列式的對應的行一樣。

性質4 如果行列式中有兩行相同，那么行列式為零，所謂兩行相同就是說兩行的對應元素都相等。

性質5 如果行列式中兩行成比例，那么行列式為零。性質6 把一行的倍數加到另一行，行列式不變。性質7 對換行列式中兩行的位置，行列式反號。

2.行列式的計算方法

2.1 定義法

n階行列式計算的定義[3]：

a11Dn?a21?an1?其中，j1j2?jna12?a1na22?a2n??an2?ann(?1)?(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn

?j1j2?jn?表示對所有n級排列求和。j1j2?jn是1,2,?,n的一個排列，當j1j2?jn是?(j1j2?jn)偶排列時，(?1)是正號；當j1j2?jn是奇排列時，(?1)?(j1j2?jn)是負的。a1j1a2j2?anjn是D中取自不同行不同列的n個元素的乘積。

a11a21例2.1：證明D?a31a12a22a32a42a52a13a23000a14a24000a15a250?0.00a41a51分析 觀察行列式我們會發現有許多零,故直接用定義法.證明： 由行列式的定義知除去符號差別外行列式一般項可表示為a1j1a2j2?anjn 則

Dn?j1j2?j5?(?1)?(j1j2?j5)a1j1a2j2?anjn.（3）

其中j1,j1,?,j5為1,2,3,4,5的任意排列,在D中位于后三行后三列的元素為零,而在前兩行前兩列中,取不同行不同列的元素只有四個,就是說（3）式中每一項至少有一個來自后三行后三列.故D=0.注意 此方法適用于階數較低的行列式或行列式中零的個數較多.2.3 遞推法

應用行列式的性質，把一個較高階行列式表示為具有相同結構的較低階行列式（比如，n-1階或n-1階與n-2階等）的線性關系式，這種關系式稱為遞推關系式。根據遞推關系式及某個低階初始行列式（比如二階或一階行列式）的值，便可遞推求得所給n階行列式的值，這種計算行列式的方法稱為遞推法。

注意：用此方法一定要看行列式是否具有較低階的相同結構如果沒有的話，即很難 找出遞推關系式，從而不能使用此方.[4]

例2.2證如下行列式等式

???Dn?10?0?????1?00?0000

???0????0?0???1???n?1??n?1?,其中???（雖然這是一道證明題，但我們可以直接求 證明： Dn????出其值，從而證之）。

分析：此行列式的特點是：除主對角線及其上下兩條對角線的元素外，其余的元素

都為零，這種行列式稱“三對角”行列式。從行列式的左上方往右下方看，即知Dn?1與Dn具有相同的結構。因此可考慮利用遞推關系式計算。

證明：Dn按第1列展開，再將展開后的第二項中n-1階行列式按第一行展開有：

Dn?（?＋?）Dn－1－??Dn－2，這是由Dn?1 和Dn?2表示Dn的遞推關系式。若由上面的遞推關系式從n階逐階往低 階遞推，計算較繁，注意到上面的遞推關系式是由n-1階和n-2階行列式表示n階行列式，因此，可考慮將其變形為：

Dn－?Dn－1＝?Dn－1－??Dn－2＝（?Dn－1－?Dn－2）或 Dn－?Dn－1＝?Dn－1－??Dn－2＝（。?Dn－1－?Dn－2）現可反復用低階代替高階，有：

23Dn－?Dn－1＝（?Dn－1－?Dn－2）＝?（Dn－2－?Dn－3）＝?（Dn－3－?Dn－4）＝?＝?（D2－?D1）=?同樣有 n?2n－2[(???)?????(???)]????(1)2n

23Dn－?Dn－1＝?（Dn－1－?Dn－2）＝?（Dn－2－?Dn－3）＝?（Dn－3－?Dn－4）[(???)?????(???)]????(2)?n?1??n?1因此當 ???時，由（1）（2）式可解得：Dn?。

???＝?＝?（D2－?D1）=?n?2n－22n

小結：雖然我們從一個行列式中可以看出有低階的相同的結構，然后得到一遞推關系式，但我們不要盲目亂代，一定要看清這個遞推關系式是否可以簡化我們的計算，如果不行的話，就要適當地換遞 推關系式，如本題。

2.3化三角形法

運用行列式的性質是計算行列式的一個重要途徑,大多數行列式的計算都依賴于行列式的性

[7]質,將行列式化成上三角(下三角或反三角)的形式,再根據行列式的定義來計算行列式.行列式的性質告訴了我們該如何求行列式,而一切的行列式都可以根據以上性質來進行初等行變換(列變換),變成階梯形(上三角)的行列式,再根據定義計算即可.其計算步驟可歸納如下:

(ⅰ)看行列式的行和(列和),如果行列和相等,則均加到某一列(行)（直觀上加到第一列(行)）.(ⅱ)有公因子的提出公因子.(ⅲ)進行初等行變換(列變換)化成上三角(下三角或反三角)的行列式.(ⅳ)由行列式的定義進行計算.由以上四步,計算一般行列式都簡潔多了.123?n?1234?[6]例2.3 計算行列式Dn?345?n1n12.?????n12?n?2n?1分析 直接用化三角形法化簡很煩,觀察發現對于任意相鄰兩列中的元素,位于同一行的元素中,后面元素與前面元素相差1,因此先從第n?1列乘-1加到第n列,第n?2列乘-1加到第n?1列, 這樣做下去直到第1列乘-1加到第2列,然后再計算就顯得容易.123?n?1234?解：Dn?345?n1n1212?31111?111?11?n1?1?n1

?1000?10?00?????n12?n?2n?1

???n1?n1?1?2???n12?n?111?21001?110?0?n10??n0?n?????n?1?n0?00000?0?n0

?00?0?n0??n0

?0?0???n0?000??n1n(n?1)?000?n2?????n0?0(n?1)(n?2)1n(n?1)?(?1)2 n2n(n?1)(n?1)n?1?n(?1)2.2問題推廣

在例2.3中1,2,?,n,這n個數我們可以看成有限個等差數列在循環,那么對于一般的等差數列也應該適應.計算行列式 [1]

a1D?a1?da1?2d?a1?(n?1)da1?a1?da1?2d?a1?(n?1)da1?d2d?(n?1)da1??a1?da1?2da1?3d?a1ddd?a1?2d?a1?(n?1)da1?3d?a1?4d??a1?dd?da1?nda1??a1?(n?3)dda1?nda1a1?d?a1?(n?2)d

d?dd?(1?n)d?d?dd?nd

?d(1?n)dd ?d(1?n)dd?d???nd??nd?0?0?0?00??00?nd?0 d(n?1)d???nnd2d?(n?1)d??nd??nd??0?0(n?1)(n?2)d(n?1)dn?1?(a1????)(?nd)(?1)2

nn(n?1)(n?2)1n(a1?a1?(n?1)d)n?1?()(?nd)(?1)2.n2

(n?1)(n?2)1n(a1?a1?(n?1)dn?1)(?nd)(?1)2結論如果將例2.3中的數a1?1，d?1代入?(n2顯然成立.2.4．拆元法

由行列式拆項性質知，將已知行列式拆成若干個行列式之積，計算其值，再得原行 列式值，此法稱為拆行（列）法。

由行列式的性質知道，若行列式的某行（列）的元素都是兩個數之和，則該行列式可拆成兩個行列式的和，這兩個行列式的某行（列）分別以這兩數之一為該行（列）的元素，而其他各行（列）的元素與原行列式的對應行（列）相同，利用行列式的這一性質，有時較容易求得行列式[2]的值。

例2.4求下列行列式的值 設n階行列式：

a11a21?an1a12?a1na22?a2n?1

??an2?ann且滿足aij??aji,i,j?1,2,?,n,對任意數b，求n階行列式

a11?ba12?b?a1n?ba21?ba22?b?a2n?b?????

an1?ban2?b?ann?b 分析:該行列式的每個元素都是由兩個數的和組成，且其中有一個數是b，顯然 用拆行（列）法。

解：

a11?ba12?b?a1n?ba11a12?b?a1n?bba12?b?Da21?ba22?b?a2n?ba21a22?b?a2n?bba22?b?n???????????an1?ban2?b?ann?ban1an2?b?ann?bban2?b?a11a12?a1n?ba11b?a1n?b1a12?a1n?a21a22?a2n?b1a22?a2n????a21b?a2n?b????b???

an1an2?ann?ban1b?ann?b1an2?anna11a12?a1na111?a1n1a12?a1n?a21a22?a2n???ba211?a2n1a22?a2n???????b???

an1an2?annan11?ann1an2?annnnn?1?b?A2i???b?A1i?1?bi?1i?Aij。

i?1,j?1又令

a11a12?a1nA=a21a22?a2n???,且aij??aji,i,j?1,2,?,n。

an1an2?ann

所以 有A?1,且A'??A。

由A－1＝A＊A得：A?A－1?A＊即A＊?A＝E 所以 A＊＝A－1。7

a1n?ba2n?b?ann?b

又（A＊）?(A?1)'?(A')?1??(A)?1??A＊，所以 A*也為反對稱矩陣。

*又 Aij(i,j?1,2,?,n)為A的元素，所以有i?1,j?1'?nAij?0。

從而知：Dn?1?bi?1,j?1?nAij?1。

2.5．加邊法

計算行列式往往采用降階的辦法，但在一些特殊的行列式的計算上卻要采用加邊法。行列式的加邊法是為了將行列式降階作準備的。更有利于將行列式化成上三角的形式，其加邊的元素，也可根據計算的難易程度來確定。具有隨意性。利用行列式按行（列）展開的性質把n階行列式通過

[3]加行（列）變成與之相等的n?1階行列式,然后計算.添加行列式的四種方法[18]:設Dn?a11a21?an1a12?a1na22?a2n??an2?ann.（1）首行首列Dn?a11a21?an1a11a21?an1a11a21?an1a11a21?an1a12?a1na22?a2n??an2?anna12?a1na22?a2n??an2?anna12?a1na22?a2n??an2?anna12?a1na22?a2n??an2?ann1a1a2?an0a11?0a21?0a11?a21?an1a1a2?a3?1a11a21?a31?0?0a12a22?an2a11a21a31?0a12a22a32?0a12?a1na22?a2n.??an2?ann0?1a13?a1a23?a2.??an3?ana12?a1na22?a2na32?a3n.??0?0a13?a1a23?a2a33?a3.??0?10an1（2）首行末列Dn?（3）末行首列Dn?（4）末行末列Dn?例2.5 計算n 階行列式： [4]

x12?1Dn?x1x2x1x2x1x2x22?1x1x2x1x2x1x2xn2?1

分析 我們先把主對角線的數都減1，這樣我們就可明顯地看出第一行為x1與x1,x2,?,xn相乘，第二行為x2與x1,x2,?,xn相乘，??，第n行為xn與x1,x2,?,xn相乘。這樣就知道了該行列式每行有相同的因子x1,x2,?,xn，從而就可考慮此法。解：

1x1x2?0x12?1x1x2?2Dn?0x2x1x2?1??0?xnx1nxn1x1x2?x1(i?1,?,n)x2xn?x2ri?1?xir1x110?0x2?xn0?01?0?0??1?xnx22i?1?2?xn?1x110?0??xnn?1

1??xic1?xici?1(i?1,?,n)x2?xn01?0???00?1?1??xi2。i?1n00?0n?1注意:加邊法最在的特點就是要找出每行或每列相同的因子，那么升階之后，就可利用行列式的性質把絕大部分元素化為零，然后再化為三角形行列式，這樣就達到了簡化計算的效果。

2.6數學歸結法

數學歸納法有兩種一種是不完全歸納法,另一種是完全歸納法,通常用不完全歸納法尋找行列式

[5]的猜想,再用數學歸納法證明猜想的正確性.基本方法

1)先計算n?1,2,3時行列式的值.2)觀察D1,D2,D3的值猜想出Dn的值.3)用數學歸納法證明.例2.6 證明： [6]2cos?1 Dn?12cos?1?0001?00??000?000?12cos??sin(n?1)?sin?(sin??0)0?002cos???2cos??1證：當n?1,2時，有

sin(1?1)?sin?

2cos?1sin(2?1)?D2??4cos2??1?12cos?sin?D1?2cos??結論顯然成立。

現假定結論對小于等于n?1時成立。即有

Dn?2?將Dn按第1列展開，得

sin(n?2?1)?,sin?Dn?1?

sin(n?1?1)?。

sin?2cos?1Dn??001?2cos???0000?00?12cos?2cos?1??000?2cos???0000?00?12cos??2cos??1(n?1)?2cos??1(n?1)?2cos??Dn?1?Dn?2sin(n?1?1)?sin(n?2?1)??sin?sin?2cos??sinn??sin(n?1)??sin?2cos??sinn??sinn??cos??cosn??sin??sin?sinn??cos??cosn??sin??sin?sin(n?1)??sin??2cos??

故當對n時，等式也成立。得證。

2.7降階法

n階行列式等于它的任意一行(列)各元素與其對應的代數余子式乘積的和.即

D??aijAij(i?1,2,?,n)或D??aijAij(j?1,2,?,n).j?1i?1nn行列式按一行（列）展開將高階轉化為若干低階行列式計算方法稱為降階法.這是一種計算[9]行列式的常用方法.1301例2.7 計算D?30141121011001.1解 D?30?9110?2200110?911?1??220?110?21??4.21注意 對于一般的n階行列式若直接用降階法計算量會大大加重.因此必須先利用行列式的性質將行列式的某一行（列）化為只含有一個非零元素,然后再按此行（列）展開,如此進行下去,直到二階.2.8 利用拉普拉斯定理

在利用行列式的一行(列)展開式時,我們可以發現計算行列式可以按某一行(列)展開,進行計算行列式.試想,我們可以根據行列式的某一個K級字式展開嗎? 拉普拉斯經過對行列式的研究.終于發現此種方法可行,并給出了嚴密的證明,為了使行列式的計算更為簡潔,現引入拉普拉斯定理.拉普拉斯定理[12]:設在行列式D中任意取定了k?1?k?n?1?個行,由這k行元素所組成的一切K級字式與它們的代數余子式的乘積的和等于行列式D.拉普拉斯定理的四種特殊情形：

1）AnnCmn00BmmAnnCmn?Ann?Bmm

Ann2）

0Cnm?Ann?Bmm Bmm3）Bmm?(?1)mnAnn?Bmm 4）

CnmBmmAnn0?(?1)mnAnn?Bmm

例2.8計算n階行列式

?aaa?ab?Dn?b??b????????????

?????

解

?Dn(i?2，n?1)aaa?ab??i?1??2???0?????0(n?1)a00?0?00???0??aa?0????a

0?????C2?Ci0b??(n?2)?(i?3,?n)0?0????0?0?0?0?00????????????利用拉普拉斯定理?(n?1)ab??(n?2)??2?20?0n?20?0????0??0????(n?2)?(n?2)?[????(n?2)??ab(n?1)]?(???)2.9 利用范德蒙行列式

范德蒙行列式[14]

：

1x1x12x1n?11x2x22n?1x21x3x32n?1x31xn2xn?1?j?i?nn?1xn?(xi?xj)

(a?n?1)n?1(a?n?1)n?2例2.9[16]

(a?n?2)n?1?(a?1)n?1(a?n?2)n?2?(a?1)n?2?a?n?21???a?11an?1an?2? a1：計算n階行列式 Dn??a?n?11解 ： 顯然該題與范德蒙行列式很相似，但還是有所不同，所以先利用行列式的性質把它化為范德蒙行列式的類型。

先將的第n行依次與第n-1行，n-2行，?,2行，1行對換，再將得到到的新的行列式的第n行與第n-1行，n-2行，?,2行對換，繼續仿此作法，直到最后將第n行與第n-1行對換，這樣，共經過（n-1）+（n-2）+?+2+1=n（n-1）/2次行對換后，得到

1Dn?(?1)n(n?1)21a?n?2???1a?1?1a? an?2an?1a?n?1?(a?n?1)n?2(a?n?1)n?1(a?n?2)n?2?(a?1)n?2(a?n?2)n?1?(a?1)n?1上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的結果得

?En?AB??n?m?Em?BA

Dn?(?1)n(n?1)21?j?i?n?[(a?n?i)?(a?n?j)]?(?1)n(n?1)21?j?i?n?(i?j)

結論：

綜上所述，針對行列式結構特點而采用與之相適應的計算技巧，從而總結出了多種類型題目所適用的計算方法，因此，對于計算行列式的方法，我們首先要熟練掌握并懂得如何選擇、運用，不管是哪一種行列式的計算，選取恰當的方法，才能較快地解出其值。

參考文獻

［1］李師正等.高等代數復習解題方法與技巧.高等教育出版社, 2005 ［2］張賢科 許甫華.高等代數學.清華大學出版社, 2000 ［3］劉學鵬等.高等代數復習與研究.南海出版公司, 1995 ［4］許甫華 張賢科.高等代數解題方法.清華大學出版社, 2001 ［5］李永樂.研究生入學考試線性代數.北京大學出版社, 2000 ［6］王萼芳 石生明.高等代數學.高等教育出版社, 2003 ［7］呂林根.許子道.解析幾何.高等教育出版社 2006 ［8］賈冠軍.菏澤師專學報, Journal of Heze Teachers College, 1999年 02期

［9］吳曉慶，關豐宇.行列式的相關性質與應用.數學學習與研究 2011年第3期

[10] 張子杰.行列式計算中的一些方法.河北工程技術高等專科學院學報.[11] 北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組，高等代數（第二版）.北京：高等教育出版社，1994 [12] 王品超著，高等代數新方法.濟南：山東教育出版社，1989 [13] 李師正,高等代數復習解題方法與技巧.高等教育出版社,2005

[14] 劉洪星,高等代數選講.機械工業出版社,2009 [15] 姚慕生,高等代數.上海：復旦大學出版社，2002 [16] 許甫華，張賢科.高等代數解題方法.北京：清華大學出版社，2001 [17] 期刊論文 ,一個n階行列式的若干種計算方法.科技信息，2009，（3）：18-23 [18] 張禾瑞 郝鈵新 《高等代數》 高等教育出版社 1999 [19] 徐仲 陸全 張凱院 呂全義 安曉虹 《高等代數》 西北工業大學出版社 2006

第五篇：F2 算法總結

算法！

? High low method

p62 ? Inventory control level p123 ? Formal of EOQ

p125 ? Formal of EBQ

p127 ? Efficiency，capacity and production volume ratios

p140 ? Remuneration method

p141—p146 ? Apportioning general overheads

p165 ? Calculation of overhead absorption rates p171 ? Over and under absorption of overheads p176(over=budget>actual

under=budget

and

absorption

costing

p188-p189(important)? Reconciling profits p191 ? Process costing p199 ? Losses in process costing e.g.p200-p201 ?(FIFO

P215-p217and

Weighted

average

cost p220-p221)? Losses with scrap value e.g.p205-p207 ? Losses with a disposal cost e.g.p210(三個相對比)? Equivalent units e.g.p211-p212 ? Joint products in process accounts p230-p231 ? By products in process accounts(4ways)p233-p234 ? Batch costing p246-p247 ? Flexible budgets and budgetary controlp274-p276 ? Breakeven point p324

注意

? EOQ=order quantity which min inventory costs(Important e.g.)? Absorption costing

p160

? Apportion service department cost

p165 ? The reciprocal method of apportionment

p167 ? The reciprocal（algebraic）method of apportionment

p168 ? Blanket absorption rates and department absorption rates

p174 ? Contribution and fixed cost ?(contribution>fixed cost ===profit)? Job costing e.g.p242-p244 ? The production budget and direct labor budget e.g.p268.p270