第一篇：3.5 直線和圓的位置關(guān)系教案二

直線和圓的位置關(guān)系

教學目標(一)教學知識點

1．能判定一條直線是否為圓的切線． 2．會過圓上一點畫圓的切線． 3．會作三角形的內(nèi)切圓．(二)能力訓練要求

1．通過判定一條直線是否為圓的切線，訓練學生的推理判斷能力． 2．會過圓上一點畫圓的切線，訓練學生的作圖能力．(三)情感與價值觀要求

經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學活動過程，發(fā)展合情推理能力和初步演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點．

經(jīng)歷探究圓與直線的位置關(guān)系的過程，掌握圖形的基礎(chǔ)知識和基本技能，并能解決簡單的問題．

教學重點

探索圓的切線的判定方法，并能運用． 作三角形內(nèi)切圓的方法． 教學難點

探索圓的切線的判定方法． 教學方法 師生共同探索法． 教具準備 投影片三張

第一張：(記作§3．5．2A)第二張：(記作§3．5．2B)第三張：(記作§3．5．2C)教學過程

Ⅰ．創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課

[師]上節(jié)課我們學習了直線和圓的位置關(guān)系，圓的切線的性質(zhì)，懂得了直線和圓有三種位置關(guān)系：相離、相切、相交．判斷直線和圓屬于哪一種位置關(guān)系，可以從公共點的個數(shù)和圓心到直線的距離與半徑作比較兩種方法進行判斷，還掌握了圓的切線的性質(zhì)、圓的切線垂直于過切點的直徑．

由上可知，判斷直線和圓相切的方法有兩種，是否僅此兩種呢？本節(jié)課我們就繼續(xù)探索切線的判定條件．

Ⅱ．新課講解

1．探索切線的判定條件 投影片(§3．5．2A)如下圖，AB是⊙O的直徑，直線l經(jīng)過點A，l與AB的夾角∠α，當l繞點A旋轉(zhuǎn)時，(1)隨著∠α的變化，點O到l的距離d如何變化？直線l與⊙O的位置關(guān)系如何變化？

(2)當∠α等于多少度時，點O到l的距離d等于半徑r？此時，直線l與⊙O有怎樣的位置關(guān)系？為什么？

[師]大家可以先畫一個圓，并畫出直徑AB，拿直尺當直線，讓直尺繞著點A移動．觀察∠α發(fā)生變化時，點O到l的距離d如何變化，然后互相交流意見．

[生](1)如上圖，直線l1與AB的夾角為α，點O到l的距離為d1，d1＜r，這時直線l1與⊙O的位置關(guān)系是相交；當把直線l1沿順時針方向旋轉(zhuǎn)到l位置時，∠α由銳角變?yōu)橹苯牵cO到l的距離為d，d＝r，這時直線l與⊙O的位置關(guān)系是相切；當把直線l再繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到l2位置時，∠α由直角變?yōu)殁g角，點O到l的距離為d2，d2＜r，這時直線l與⊙O的位置關(guān)系是相離．

[師]回答得非常精彩．通過旋轉(zhuǎn)可知，隨著∠α由小變大，點O到l的距離d也由小變大，當∠α＝90°時，d達到最大．此時d＝r；之后當∠α繼續(xù)增大時，d逐漸變?。?2)題就解決了．

[生](2)當∠α＝90°時，點O到l的距離d等于半徑．此時，直線l與⊙O的位置關(guān)系是相切，因為從上一節(jié)課可知，當圓心O到直線l的距離d＝r時，直線與⊙O相切．

[師]從上面的分析中可知，當直線l與直徑之間滿足什么關(guān)系時，直線l就是⊙O的切線？請大家互相交流．

[生]直線l垂直于直徑AB，并經(jīng)過直徑的一端A點．

[師]很好．這就得出了判定圓的切線的又一種方法：經(jīng)過直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線．

2．做一做

已知⊙O上有一點A，過A作出⊙O的切線．

分析：根據(jù)剛討論過的圓的切線的第三個判定條件可知：經(jīng)過直徑的一端，并且垂直于直徑的直線是圓的切線，而現(xiàn)在已知圓心O和圓上一點A，那么過A點的直徑就可以作出來，再作直徑的垂線即可，請大家自己動手．

[生]如下圖．

(1)連接OA．

(2)過點A作OA的垂線l，l即為所求的切線． 3．如何作三角形的內(nèi)切圓． 投影片(§3．5．2B)如下圖，從一塊三角形材料中，能否剪下一個圓使其與各邊都相切．

分析：假設(shè)符號條件的圓已作出，則它的圓心到三角形三邊的距離相等．因此，圓心在這個三角形三個角的平分線上，半徑為圓心到三邊的距離．

解：(1)作∠B、∠C的平分線BE和CF，交點為I(如下圖)．(2)過I作ID⊥BC，垂足為D．(3)以I為圓心，以ID為半徑作⊙I． ⊙I就是所求的圓．

[師]由例題可知，BE和CF只有一個交點I，并且I到△ABC三邊的距離相等，為什么？

[生]∵I在∠B的角平分線BE上，∴ID＝IM，又∵I在∠C的平分線CF上，∴ID＝IN，∴ID＝IM＝IN．這是根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得出的．

[師]因此和三角形三邊都相切的圓可以作出一個，因為三角形三個內(nèi)角的平分線交于一點，這點為圓心，這點到三角形三邊的距離相等，這個距離為半徑，圓心和半徑都確定的圓只有一個．并且只能作出一個，這個圓叫做三角形的內(nèi)切圓(inscribed circle of triangle)，內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內(nèi)心(incenter)．

4．例題講解 投影片(§3．5C)如下圖，AB是⊙O的直徑，∠ABT＝45°，AT＝AB．

求證：AT是⊙O的切線．

分析：AT經(jīng)過直徑的一端，因此只要證AT垂直于AB即可，而由已知條件可知AT＝AB，所以∠ABT＝∠ATB，又由∠ABT＝45°，所以∠ATB＝45°．

由三角形內(nèi)角和可證∠TAB＝90°，即AT⊥AB． 請大家自己寫步驟．

[生]證明：∵AB＝AT，∠ABT＝45°． ∴∠ATB＝∠ABT＝45°．

∴∠TAB＝180°－∠ABT－∠ATB＝90°． ∴AT⊥AB，即AT是⊙O的切線． Ⅲ．課堂練習隨堂練習Ⅳ．課時小結(jié)

本節(jié)課學習了以下內(nèi)容： 1．探索切線的判定條件． 2．會經(jīng)過圓上一點作圓的切線． 3．會作三角形的內(nèi)切圓．

4．了解三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)心概念． Ⅴ．課后作業(yè)習題3．8 Ⅵ．活動與探究

已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點為B，OC平行于弦AD．

求證：DC是⊙O的切線．

分析：要證DC是⊙O的切線，需證DC垂直于過切點的直徑或半徑，因此要作輔助線半徑OD，利用平行關(guān)系推出∠3＝∠4，又因為OD＝OB，OC為公共邊，因此△CDO≌△CBO，所以∠ODC＝∠OBC＝90°．

證明：連結(jié)OD．

∵OA＝OD，∴∠1＝∠2，∵AD∥OC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∴∠3＝∠4．

∵OD＝OB，OC＝OC，∴△ODC≌△OBC． ∴∠ODC＝∠OBC． ∵BC是⊙O的切線，∴∠OBC＝90°． ∴∠ODC＝90°． ∴DC是⊙O的切線． 板書設(shè)計

§3．5．2 直線和圓的位置關(guān)系(二)

一、1．探索切線的判定條件

2．做一做

3．如何作三角形的內(nèi)切圓 4．例題講解

二、課堂練習

三、課時小結(jié)

四、課后作業(yè)

第二篇：直線與圓的位置關(guān)系教案

《直線與圓的位置關(guān)系》教案

教學目標：

根據(jù)學過的直線與圓的位置關(guān)系的知識，組織學生對編出的有關(guān)題目進行討論.討論中引導學生體會

（1）如何從解決過的問題中生發(fā)出新問題.（2）新問題的解決方案與原有舊方法之間的聯(lián)系與區(qū)別.通過編解題的過程，使學生基本了解、把握有關(guān)直線與圓的位置關(guān)系的知識可解決的基本問題，并初步體驗數(shù)學問題變化、發(fā)展的過程，探索其解法.重點及難點：

從學生所編出的具體問題出發(fā)，適時適度地引導學生關(guān)注問題發(fā)展及解決的一般策略.教學過程

一、引入：

1、判斷直線與圓的位置關(guān)系的基本方法：

（1）圓心到直線的距離

（2）判別式法

2、回顧予留問題：

要求學生由學過知識編出有關(guān)直線與圓位置關(guān)系的新題目，并考慮下面問題：

（1）為何這樣編題.（2）能否解決自編題目.（3）分析解題方法及步驟與已學過的基本方法、步驟的聯(lián)系與區(qū)別.二、探討過程：

教師引導學生要注重的幾個基本問題：

1、位置關(guān)系判定方法與求曲線方程問題的結(jié)合.2、位置關(guān)系判定方法與函數(shù)或不等式的結(jié)合.3、將圓變?yōu)橄嚓P(guān)曲線.備選題

1、求過點P（-3，-2）且與圓x2+y2+2x-4y+1=0相切的直線方程.備選題

2、已知P(x, y)為圓(x+2)2+y2=1上任意一點，求（1）（2）2x+3y=b的取值范圍.備選題

3、實數(shù)k取何值時，直線L：y=kx+2k-1與曲線: y=兩個公共點；沒有公共點.三、小結(jié)：

1、問題變化、發(fā)展的一些常見方法，如：

（1）變常數(shù)為常數(shù)，改系數(shù).（2）變曲線整體為部分.有一個公共點；=m的最大、最小值.（3）變定曲線為動曲線.2、理解與體會解決問題的一般策略，重視“新”與“舊”的聯(lián)系與區(qū)別，并注意哪些可化歸為“舊”的方法去解決.自編題目：

下面是四中學生在課堂上自己編的題目，這些題目由學生自己親自編的或是自學中從課外書上找來的題目，這些題目都與本節(jié)課內(nèi)容有關(guān).①已知圓方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，P（x0, y0）是圓外一點，求過P點的圓的兩切線的夾角如何計算？

②P（x0, y0）是圓x2+(y-1)2=1上一點，求x0+y0+c≥0中c的范圍.③圓過A點（4，1），且與y=x相切，求切線方程.④直線x+2y-3=0與x2+y2+x-2ay+a=0相交于A、B兩點，且OA⊥OB，求圓方程？

⑤P是x2+y2=25上一點，A（5，5），B（2，4），求|AP|2+|BP|2最小值.⑥圓方程x2+y2=4，直線過點（-3，-1），且與圓相交分得弦長為3∶1，求直線方程.⑦圓方程x2+y2=9，x-y+m=0，弦長為

2，求m.⑧圓O(x-a)2+(y-b)2=r2，P(x0, y0)圓一點，求過P點弦長最短的直線方程？

⑨求y=的最值.圓錐曲線的定義及其應用

[教學內(nèi)容]

圓錐曲線的定義及其應用。

[教學目標]

通過本課的教學，讓學生較深刻地了解三種圓錐的定義是對圓錐曲線本質(zhì)的刻畫，它決定了曲線的形狀和幾何性質(zhì)，因此在圓錐曲線的應用中，定義本身就是最重要的性質(zhì)。

1．利用圓錐曲線的定義，確定點與圓錐曲線位置關(guān)系的表達式，體現(xiàn)用二元不等式表示平面區(qū)域的研究方法。

2．根據(jù)圓錐曲線定義建立焦半徑的表達式求解有關(guān)問題，培養(yǎng)尋求聯(lián)系定義的能力。

3．探討使用圓錐曲線定義，用幾何法作出過圓錐曲線上一點的切線，激發(fā)學生探索的興趣。

4．掌握用定義判斷圓錐曲線類型及求解與圓錐曲線相關(guān)的動點軌跡，提高學生分析、識別曲線，解決問題的綜合能力。

[教學重點]

尋找所解問題與圓錐曲線定義的聯(lián)系。

[教學過程]

一、回顧圓錐曲線定義，確定點、直線（切線）與曲線的位置關(guān)系。

1．由定義確定的圓錐曲線標準方程。

2．點與圓錐曲線的位置關(guān)系。

3．過圓錐曲線上一點作切線的幾何畫法。

二、圓錐曲線定義在焦半徑、焦點弦等問題中的應用。

例1．設(shè)橢圓+=1(a>b>0)，F(xiàn)1、F2是其左、右焦點，P(x0, y0)是橢圓上任意一點。

（1）寫出|PF1|、|PF2|的表達式，求|PF1|、|PF1|·|PF2|的最大最小值及對應的P點位置。

（2）過F1作不與x軸重合的直線L，判斷橢圓上是否存在兩個不同的點關(guān)于L對稱。

（3）P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P3(x3, y3)是橢圓上三點，且x1, x2, x3成等差，求證|PF1|、|PF2|、|PF3|成等差。

（4）若∠F1PF2=2?，求證：ΔPF1F2的面積S=btg?

（5）當a=2, b=最小值。

時，定點A（1，1），求|PF1|+|PA|的最大最小值及|PA|+2|PF2|的2例2．已知雙曲線-=1，F(xiàn)1、F2是其左、右焦點。

（1）設(shè)P(x0, y0)是雙曲線上一點，求|PF1|、|PF2|的表達式。

（2）設(shè)P(x0, y0)在雙曲線右支上，求證以|PF1|為直徑的圓必與實軸為直徑的圓內(nèi)切。

（3）當b=1時，橢圓求ΔQF1F2的面積。

+y=1 恰與雙曲線有共同的焦點，Q是兩曲線的一個公共點，2例3．已知AB是過拋物線y=2px(p>0)焦點的弦，A(x1, y1), B(x2, y2)、F為焦點，求證：

（1）以|AB|為直徑的圓必與拋物線的準線相切。

（2）|AB|=x1+x2+p

（3）若弦CD長4p, 則CD弦中點到y(tǒng)軸的最小距離為

2（4）+為定值。

（5）當p=2時，|AF|+|BF|=|AF|·|BF|

三、利用定義判斷曲線類型，確定動點軌跡。

例4．判斷方程=1表示的曲線類型。

例5．以點F（1，0）和直線x=-1為對應的焦點和準線的橢圓，它的一個短軸端點為B，點P是BF的中點，求動點P的軌跡方程。

備用題：雙曲線實軸平行x軸，離心率e=，它的左分支經(jīng)過圓x+y+4x-10y+20=0的2

2圓心M，雙曲線左焦點在此圓上，求雙曲線右頂點的軌跡方程。

第三篇：直線與圓的位置關(guān)系教案

教學目標：

1．使學生理解直線和圓的相交、相切、相離的概念。

2．掌握直線與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)與判定并能夠靈活運用來解決實際問題。

3．培養(yǎng)學生把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力及分類和化歸的能力。

重點難點：

1．重點：直線與圓的三種位置關(guān)系的概念。

2．難點：運用直線與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)及判定解決相關(guān)的問題。

教學過程：

一．復習引入

1．提問：復習點和圓的三種位置關(guān)系。

（目的：讓學生將點和圓的位置關(guān)系與直線和圓的位置關(guān)系進行類比，以便更好的掌握直線和圓的位置關(guān)系）

2．由日出升起過程中的三個特殊位置引入直線與圓的位置關(guān)系問題。

（目的：讓學生感知直線和圓的位置關(guān)系，并培養(yǎng)學生把實際問題抽象成數(shù)學模型的能力）

二．定義、性質(zhì)和判定

1．結(jié)合關(guān)于日出的三幅圖形，通過學生討論，給出直線與圓的三種位置關(guān)系的定義。

（1）線和圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交。這時直線叫做圓的割線。

（2）直線和圓有唯一的公點時，叫做直線和圓相切。這時直線叫做圓的切線。唯一的公共點叫做切點。

（3）直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離。

2．直線和圓三種位置關(guān)系的性質(zhì)和判定：

如果⊙O半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，那么：

（1）線l與⊙O相交 d＜r

（2）直線l與⊙O相切d=r

（3）直線l與⊙O相離d＞r

三．例題分析：

例（1）在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，以C為圓心，r為半徑。

①當r= 時，圓與AB相切。

②當r=2cm時，圓與AB有怎樣的位置關(guān)系，為什么？

③當r=3cm時，圓與AB又是怎樣的位置關(guān)系，為什么？

④思考：當r滿足什么條件時圓與斜邊AB有一個交點？

四．小結(jié)（學生完成）

五、隨堂練習：

（1）直線和圓有種位置關(guān)系，是用直線和圓的個數(shù)來定義的；這也是判斷直線和圓的位置關(guān)系的重要方法。

（2）已知⊙O的直徑為13cm，直線L與圓心O的距離為d。

①當d=5cm時，直線L與圓的位置關(guān)系是；

②當d=13cm時，直線L與圓的位置關(guān)系是；

③當d=6。5cm時，直線L與圓的位置關(guān)系是；

（目的：直線和圓的位置關(guān)系的判定的應用）

（3）⊙O的半徑r=3cm，點O到直線L的距離為d，若直線L 與⊙O至少有一個公共點，則d應滿足的條件是（）

（A）d=3（B）d≤3（C）d<3 d="">

3（目的：直線和圓的位置關(guān)系的性質(zhì)的應用）

（4）⊙O半徑=3cm。點P在直線L上，若OP=5 cm，則直線L與⊙O的位置關(guān)系是（）

（A）相離（B）相切（C）相交（D）相切或相交

（目的：點和圓，直線和圓的位置關(guān)系的結(jié)合，提高學生的綜合、開放性思維）

想一想：

在平面直角坐標系中有一點A（—3，—4），以點A為圓心，r長為半徑時，思考：隨著r的變化，⊙A與坐標軸交點的變化情況。（有五種情況）

六、作業(yè)：P100—

2、3

第四篇：優(yōu)質(zhì)課教案直線與圓的位置關(guān)系

《直線與圓的位置關(guān)系》

教材：華東師大版實驗教材九年級上冊

一、教材分析： 教材的地位和作用 圓的有關(guān)性質(zhì)，被廣泛地應用于工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、交通運輸?shù)确矫?，所涉及的?shù)學知識較為廣泛；學好本章內(nèi)容，能提高解題的綜合能力。而本節(jié)的內(nèi)容緊接點與圓的位置關(guān)系，它體現(xiàn)了運動的觀點，是研究有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)，也為后面學習圓與圓的位置關(guān)系及高中繼續(xù)學習幾何知識作鋪墊。教學目標 知識目標：使學生從具體的事例中認知和理解直線與圓的三種位置關(guān)系并能概括其定義，會用定義來判斷直線與圓的位置關(guān)系，通過類比點與圓的位置關(guān)系及觀察、實驗等活動探究直線與圓的位置關(guān)系的數(shù)量關(guān)系及其運用。

過程與方法：通過觀察、實驗、討論、合作研究等數(shù)學活動使學生了解探索問題的一般方法；由觀察得到“圓心與直線的距離和圓半徑大小的數(shù)量關(guān)系對應等價于直線和圓的位置關(guān)系”從而實現(xiàn)位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化，滲透運動與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。

情感態(tài)度與價值觀：創(chuàng)設(shè)問題情景，激發(fā)學生好奇心；體驗數(shù)學活動中的探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學的嚴謹性和數(shù)學結(jié)論的正確性，在學習活動中獲得成功的體驗；通過“轉(zhuǎn)化”數(shù)學思想的運用，讓學生認識到事物之間是普遍聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的辨證唯物主義思想。教學重、難點

重點：理解直線與圓的相交、相離、相切三種位置關(guān)系；

難點：學生能根據(jù)圓心到直線的距離d與圓的半徑r之間的數(shù)量關(guān)系，揭示直線與圓的位置關(guān)系；直線與圓的三種位置關(guān)系判定方法的運用。

二、教法與學法分析

教無定法，教學有法，貴在得法。數(shù)學是一門培養(yǎng)人的思維、發(fā)展人的思維的基礎(chǔ)學科。在教學過程中，不僅要對學生傳授數(shù)學知識，更重要的應該是對他們傳授數(shù)學思想、數(shù)學方法。初三學生雖然有一定的理解力，但在某種程度上特別是平面幾何問題上，學生還是依靠事物的具體直觀形象，所以我以參與式探究教學法為主，整堂課緊緊圍繞“情景問題——學生體驗——合作交流”的模式，并發(fā)揮微機的直觀、形象功能輔助演示直線與圓的位置關(guān)系，激勵學生積極參與、觀察、發(fā)現(xiàn)其知識的內(nèi)在聯(lián)系，使每個學生都能積極思維。這樣，一方面可激發(fā)學生學習的興趣，提高學生的學習效率，另一方面拓展學生的思維空間，培養(yǎng)學生用創(chuàng)造性思維去學會學習。

三、教學過程：

我的教學流程設(shè)計是：

創(chuàng)設(shè)情景、孕育新知；

2、啟發(fā)誘導、探索新知；

3、講練結(jié)合、鞏固新知；

4、知識拓展、深化提高

5、小結(jié)新知，畫龍點睛

6、布置作業(yè)，復習鞏固 教學環(huán)節(jié)

教學過程

教師活動

學生活動 設(shè)計意圖

（一）創(chuàng)設(shè)情景，孕育新知，引入新課

1、微機演示唐朝詩人王維《使至塞上》： 單車欲問邊，屬國過居延。征蓬出漢塞，歸雁入胡天。大漠孤煙直，長河落日圓。蕭關(guān)逢候騎，都護在燕然。

第三句以出色的描寫，道出了邊塞之景的奇特壯麗和作者的孤寂之感。“荒蕪人煙的戈壁灘上只有烽火臺的濃煙直沖天空”，如果我們從數(shù)學的角度看到的將是這樣一幅幾何圖形：一條直線垂直于一個平面。那么“圓圓的落日慢慢地沉入黃河之中”又是怎樣的幾何圖形呢？請同學們猜想并動手畫一畫。借助微機展示“圓圓的落日慢慢地沉入黃河之中”的動畫圖片從而展現(xiàn)直線與圓的三種位置關(guān)系。

3、引入課題——直線與圓的位置關(guān)系

提出問題，引導學生思考和探索；深入學生，了解學生探究情況 展示動畫但不明示學生三種位置關(guān)系的名稱 教師板書題目

觀察思考，動手探究，交流發(fā)現(xiàn)

通過直觀畫面展示問題情景，學生大膽猜想，激發(fā)學生學習興趣，營造探索問題的氛圍。同時讓學生體會到數(shù)學知識無處不在，應用數(shù)學無處不有。符合“數(shù)學教學應從生活經(jīng)驗出發(fā)”的新課程標準要求。

（二）啟發(fā)誘導、講解新知，探索結(jié)論；

1、提出問題（讓學生帶著問題去學習）：（1）、概括直線與圓的有哪幾種位置關(guān)系，你是怎樣區(qū)分這幾種位置關(guān)系的？（2）如何用語言描述三種位置關(guān)系？（3）回顧點與圓的位置關(guān)系，你能不能探索圓心到直線的距離與圓的半徑之間的數(shù)量關(guān)系。（小組交流合作）

2、講解新知：利用直線與圓的交點情況，引導學生分析、小結(jié)三種位置關(guān)系：（1）直線與圓沒有交點，稱為直線與圓相離

（2）直線與圓只有一個交點，稱為直線與圓相切，此時這條直線叫做圓的切線，這個公共點叫切點。

（3）直線與圓有兩個交點，稱為直線與圓相交。此時這條直線叫做圓的割線。大膽猜想，探索結(jié)論：

微機演示三個圖形，觀察圓心到直線的距離d與圓半徑r之間的大小關(guān)系。（當d?r時，直線在圓的外部，與圓沒有交點，因此此時直線與圓相離； 當d=r時，直線與圓只有一個交點，此時直線與圓相切； 當d?r時，直線與圓有兩個交點，此時直線與圓相交）即：d?r

直線與圓相離

d=r

直線與圓相切 d?r

直線與圓相交

反之：若直線與圓相離，有d?r嗎？ 若直線與圓相切，有d=r嗎？ 若直線與圓相交，有d?r嗎？ 總結(jié)：

d?r

直線與圓相離

d=r

直線與圓相切 d?r

直線與圓相交

教師層層設(shè)問，讓學生思維自然發(fā)展，教學有序的進入實質(zhì)部分。在第（1）個問題中，學生如果回答“從直線與圓的交點個數(shù)上來進行區(qū)分”，則順利地進行后面的學習；如果回答“類比點與圓的位置關(guān)系比較圓半徑r與圓心到直線的距離d的大小進行區(qū)分”，則在補充交點個數(shù)多少的區(qū)分方法。

教師引導小組合作、組織學生完成 教師板書講解內(nèi)容并總結(jié)：可利用直線與圓的交點個數(shù)判斷直線與圓的三種位置關(guān)系。特別強調(diào)“只有一個交點”的含義

教師重復演示引導學生探索，學生歸納總結(jié)之后教師對提出的問題給予肯定回答，并強調(diào)：利用圓心到直線的距離d與圓半徑r之間的大小關(guān)系也可以判斷直線與圓的三種位置關(guān)系。

觀察、思考、猜測、概括 學生回答問題，概括定義

學生觀察圖形，積極思考，歸納總結(jié)，獲得直線與圓的位置關(guān)系的兩種判斷方法

通過學生概括定義，培養(yǎng)學生歸納概括能力。由點與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)與判定，遷移到直線與圓的位置關(guān)系，學生較容易想到畫圖、測量等實驗方法，小組交流合作，教師適時指導，探索圓心到直線的距離與圓的半徑之間的數(shù)量關(guān)系。

在本環(huán)節(jié)中教師應關(guān)注如下幾點：

1、學生是否有獨自的見解；

2、學生能否理解“互逆”的關(guān)系。如有需要，教師應在課中或課后加以解釋。

（三）講練結(jié)合，應用新知，鞏固新知

已知圓的直徑為10cm，圓心到直線l的距離是：（1）3cm ；（2）5cm ；（3）7cm。直線和圓有幾個公共點？為什么？

已知Rt△ABC的斜AB=6cm，直角邊AC=3cm。圓心為A，半徑分別為2cm、4cm的兩個圓與直線BC有怎樣的位置關(guān)系？半徑r多長時，BC與⊙A相切？ 變式訓練

1、在上題中，“圓心為C，半徑分別為2cm、4cm的兩個圓與直線AB有怎樣的位置關(guān)系？半徑r多長時，直線AB與⊙C相切？

變式訓練

2、在上題中，若將直線AB改為邊AB，⊙C與邊AB相交，則圓半徑r應取怎樣的值？

組織學生完成，引導學生探索

教師加強個別指導，收集信息評估回授，充分發(fā)揮教學評價的激勵、調(diào)控功能，及時采取補救措施，使全體學生即使是學習有困難的學生都達到基本的學習目標，獲得成功感。

觀察分析，獨立完成，同桌點評，自我修正 觀察分析 積極思考，小組交流 合作

本環(huán)節(jié)的練習難度層層加大，其目的是讓學生加強對新知的理解和應用，培養(yǎng)學生解決問題的能力；基礎(chǔ)題目和變式題目的結(jié)合既面向全體學生，也考慮到了學有余力的學生的學習，體現(xiàn)了因材施教的教學原則。

在本環(huán)節(jié)中，一定要充分教師的主導作用，發(fā)揮教學評價的激勵、調(diào)控功能。

（四）知識拓展、深化提高

在某張航海圖上，標明了三個觀測點的坐標，如圖，O（0，0），B（6，0），C（6，8），由三個觀測點確定的圓形區(qū)域是海洋生物保護區(qū)。求 圓形區(qū)域的面積（取3.14）

某時刻海面上出現(xiàn)一漁船A，在觀察點O測得A位于北偏東45，同時在觀測點B測得A位于北偏東30，那么當漁船A向正西方向航行時，是否會進入海洋生物保護區(qū)？

幫助學生理清思路，規(guī)范解題格式；讓學生明白解此題的關(guān)鍵是：圓半徑的大小、點A的坐標。學會將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，把“漁船A向正西方向航行時，是否會進入海洋生物保護區(qū)”的問題轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系的幾何問題。

分組討論，理解數(shù)學建模思想和轉(zhuǎn)化化歸思想。

這一階段是學生形成技能、技巧，發(fā)展智力的重要階段，但也是學生因疲勞而注意力易分散的時期。如果教師此時教學設(shè)計得當、選題新穎，由于學生前面已嘗到成功的甜蜜，則會乘勝追擊，破解難題；否則學生會就此罷休，無法達到預期目的。同時向?qū)W生滲透數(shù)學建模思想和轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學思想，也適時進行環(huán)保教育。

（五）小結(jié)新知，畫龍點睛

一、填表：直線與圓的三種位置關(guān)系 直線與圓的位置

相交

相切

相離

公共點的個數(shù)

圓心到直線距離d與半徑r的關(guān)系

無

直線名稱

無

二、直線與圓的位置關(guān)系的兩種判斷方法： 直線與圓的交點個數(shù)的多少

圓心到直線距離d與半徑r的大小關(guān)系

教師提問，注意數(shù)學語言的簡潔、準確

學生回答，同時反思不足

通過提問方式進行小結(jié)，交流收獲與不足，讓學生養(yǎng)成學習——總結(jié)——再學習的良好學習習慣，有利于幫助學生理清知識脈絡(luò)，同時明確本節(jié)課的學習目標，鞏固學習效果。

（六）布置作業(yè)，復習鞏固

閱讀教材55、56頁 P56練習1.2.3 提高練習：臺風是一種在沿海地區(qū)較為常見的自然災害，它在以臺風中心為圓心的數(shù)十千米乃至數(shù)百千米范圍內(nèi)肆虐，房屋、莊稼、汽車等將遭到極強破壞。2006年8月7日，臺灣省的東南方向距臺灣省500公里處有一名叫“桑美”的臺風中心形成。其中心最大風力為14級，每離開臺風中心30km風力將降低一級。若此臺風中心沿著北偏西15的方向以15km/h的速度移動，且臺風中心風力不變。若城市所受到的臺風風力為不小于4級，則稱為受臺風影響

臺灣省會受到“桑美”臺風的影響嗎？

若會受影響，那會臺風將會影響臺灣省多長時間呢？最大風力將會是幾級呢？

本環(huán)節(jié)的設(shè)計：一方面讓學生養(yǎng)成課后復習閱讀的良好習慣并通過適量的練習復習鞏固課堂知識，另一方面設(shè)計提高練習，旨在培優(yōu)，體現(xiàn)了分層教學的原則和因材施教的原則，同時滲透愛國注意教育。

教案設(shè)計說明：

本節(jié)課的設(shè)計體現(xiàn)了“學會學習，為終身學習作準備”的理念，讓學生在“數(shù)學活動”中獲得學習的方法、能力和數(shù)學的思想，同時獲得對數(shù)學學習的積極情感。

教師是教學工作的服務(wù)者，教師的責任是為學生的發(fā)展創(chuàng)造一個和諧、開放、富有情趣的學習新知識的探究氛圍。本課引用唐朝詩人王維的千古絕唱“大漠孤煙直，長河落日圓”配以美倫美奐的景色，營造了探索問題的氛圍；例題和提高練習的選用，讓學生體會到數(shù)學知識無處不在，應用數(shù)學無處不有，讓學生感受到“生活處處不數(shù)學”，從而在生活中主動發(fā)覺問題加以解決，達到“樂學”的目的；把實際問題與數(shù)學知識緊密聯(lián)系，逐步滲透數(shù)學建模的思想方法，讓學生掌握到更多的技能技巧。

課前設(shè)問，呈現(xiàn)本課知識目標。課前的3個設(shè)問，直奔主題，學生對本課應掌握的知識一目了然，重點分明。

變式訓練，把學生置于創(chuàng)新思維的深入培養(yǎng)過程之中。眾所周知，實施素質(zhì)教育的突破口是創(chuàng)新教育，要培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，就要有讓學生進行創(chuàng)新思維的問題，而變式訓練就是讓學生展開創(chuàng)新思維的主陣地。教師在教學活動中應努力的去挖掘教材，有意識的去訓練學生的思維，從而使學生逐漸形成良好的個性思維品質(zhì)和良好的數(shù)學學習習慣。

第五篇：解析幾何-9.4 直線、圓的位置關(guān)系(教案)

響水二中高三數(shù)學（理）一輪復習

教案 第九編 解析幾何 主備人 張靈芝 總第46期

§9.4 直線、圓的位置關(guān)系

基礎(chǔ)自測

1.若直線ax+by=1與圓x+y=1相交，則P（a，b）與圓的位置關(guān)系為.答案 在圓外

2.若直線4x-3y-2=0與圓x+y-2ax+4y+a-12=0總有兩個不同交點，則a的取值范圍是.答案-6＜a＜4 3.兩圓x+y-6x+16y-48=0與x+y+4x-8y-44=0的公切線條數(shù)為.答案 2 4.若直線y=k(x-2)+4與曲線y=1+答案 ??5?12,3??4?22222

22224?x2有兩個不同的交點，則k的取值范圍是.5.(2008·重慶理，15)直線l與圓x+y+2x-4y+a=0(a＜3)相交于兩點A,B,弦AB的中點為(0,1),則直線l的方程為.答案 x-y+1=0 22例題精講

例1 已知圓x+y-6mx-2（m-1）y+10m-2m-24=0（m∈R）.（1）求證：不論m為何值，圓心在同一直線l上；（2）與l平行的直線中，哪些與圓相交、相切、相離；

（3）求證：任何一條平行于l且與圓相交的直線被各圓截得的弦長相等.（1）證明 配方得：（x-3m）+［y-(m-1)］=25，設(shè)圓心為（x，y），則?l：x-3y-3=0，則圓心恒在直線l：x-3y-3=0上.（2）解 設(shè)與l平行的直線是l1：x-3y+b=0，則圓心到直線l1的距離為d=

3m?3(m?1)?b10

2222

2?x?3m?y?m?1，消去m得

=

3?b10.∵圓的半徑為r=5，∴當d＜r，即-5

10-3＜b＜

510-3時，直線與圓相交；

289 當d=r,即b=±510-3時，直線與圓相切；-3或b＞5

-3時，直線與圓相離.3?b10當d＞r，即b＜-51010（3）證明 對于任一條平行于l且與圓相交的直線l1：x-3y+b=0，由于圓心到直線l1的距離d=，弦長=2r2?d2且r和d均為常量.∴任何一條平行于l且與圓相交的直線被各圓截得的弦長相等.2

2例2 從點A（-3，3）發(fā)出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x+y-4x-4y+7=0相切，求光線l 所在直線的方程.解 方法一 如圖所示，設(shè)l與x軸交于點B（b,0)，則kAB=率k反=3b?3?3b?3,根據(jù)光的反射定律，反射光線的斜.∴反射光線所在直線的方程為y=

3b?3(x-b),即3x-(b+3)y-3b=0.∵已知圓x+y-4x-4y+7=0的圓心為C（2,2），半徑為1, 6?(b?3)?2?3b9?(b?3)222∴=1,解得b1=-34,b2=1.∴kAB=-43或kAB=-34.∴l(xiāng)的方程為4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.方法二 已知圓C：x+y-4x-4y+7=0關(guān)于x軸對稱的圓為C1：(x-2)+(y+2)=1，其圓心C1的坐標為（2，-2），半徑為1，由光的反射定律知，入射光線所在直線方程與圓C1相切.5k?5122222設(shè)l的方程為y-3=k(x+3),則=1,即12k+25k+12=0.22?k∴k1=-43，k2=-34.則l的方程為4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.方法三 設(shè)入射光線方程為y-3=k(x+3),反射光線所在的直線方程為y=-kx+b,由于二者橫截距相等，b??3?3k??kk?且后者與已知圓相切.∴?2k?2?b??1?21?k?,消去b得

5k?51?k2?1.即12k+25k+12=0,∴k1=-243,k2=-34.則l的方程為4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.290 例3 已知圓C1：x+y-2mx+4y+m-5=0,圓C2：x+y+2x-2my+m-3=0,m為何值時，（1）圓C1與圓C2相外切；（2）圓C1與圓C2內(nèi)含？

解 對于圓C1與圓C2的方程，經(jīng)配方后C1:(x-m)+(y+2)=9;C2:(x+1)+(y-m)=4.222

2222222（1）如果C1與C2外切，則有2(m?1)?(m?2)=3+2.(m+1)+(m+2)=25.m+3m-10=0,解得m=-5或m=2.∴當m=-5或m=2時，圓C1與圓C2外切；（2）如果C1與C2內(nèi)含，則有

22(m?1)?(m?2)＜3-2.(m+1)+(m+2)＜1,m+3m+2＜0，222得-2＜m＜-1, ∴當-2＜m＜-1時，圓C1與圓C2內(nèi)含.例4 已知點P（0，5）及圓C：x+y+4x-12y+24=0.（1）若直線l過P且被圓C截得的線段長為4（2）求過P點的圓C的弦的中點的軌跡方程.解（1）方法一 如圖所示，AB=422

3，求l的方程；

3，D是AB的中點，CD⊥AB，AD=2

3，圓x+y+4x-12y+24=0可化為（x+2）+（y-6）=16，圓心C（-2，6），半徑r=4，故AC=4，在Rt△ACD中，可得CD=2.設(shè)所求直線的斜率為k，則直線的方程為y-5=kx,即kx-y+5=0.?2k?6?5k2由點C到直線AB的距離公式：=2，得k=

34.此時直線l的方程為3x-4y+20=0.?(?1)2又直線l的斜率不存在時，此時方程為x=0.則y-12y+24=0,∴y1=6+2∴y2-y1=

3,y2=6-2

3, 3,故x=0滿足題意.∴所求直線的方程為3x-4y+20=0或x=0.方法二 設(shè)所求直線的斜率為k，則直線的方程為y-5=kx,即y=kx+5, 291 聯(lián)立直線與圓的方程???y?kx?5??x2?y2,消去y得（1+k）x+(4-2k)x-11=0

①

?4x?12y?24?0設(shè)方程①的兩根為

2k?4?x?x?12?2?1?kx1,x2,由根與系數(shù)的關(guān)系得??xx??11122?1?k?2 ②

由弦長公式得1?k|x1-x2|=(1?k)[(x1?x2)22?4x1x2]=4

3,將②式代入，解得k=

34，此時直線的方程為3x-4y+20=0.又k不存在時也滿足題意，此時直線方程為x=0.∴所求直線的方程為x=0或3x-4y+20=0.（2）設(shè)過P點的圓C的弦的中點為D（x,y）,則CD⊥PD，即CD·PD=0，（x+2,y-6）·(x,y-5)=0,化簡得所求軌跡方程為x+y+2x-11y+30=0.2

2鞏固練習

1.m為何值時，直線2x-y+m=0與圓x+y=5.（1）無公共點；（2）截得的弦長為2；（3）交點處兩條半徑互相垂直.解（1）由已知，圓心為O（0，0），半徑r=

m222

5, 圓心到直線2x-y+m=0的距離d==

2m5，?(?1)∵直線與圓無公共點，∴d＞r,即

m5＞

5,∴m＞5或m＜-5.故當m＞5或m＜-5時，直線與圓無公共點.（2）如圖所示，由平面幾何垂徑定理知 r-d=1，即5-∴當m=±2222m52=1.得m=±25, 5時，直線被圓截得的弦長為2.（3）如圖所示，由于交點處兩條半徑互相垂直，292 ∴弦與過弦兩端的半徑組成等腰直角三角形，∴d=22r，即522m5?22·5,解得m=±

522.故當m=±22時，直線與圓在兩交點處的兩條半徑互相垂直.2.從圓C：x+y-4x-6y+12=0外一點P（a，b）向圓引切線PT，T為切點，且|PT|=|PO|（O為原點）.求|PT|的最小值及此時P的坐標.解 已知圓C的方程為(x-2)+(y-3)=1.∴圓心C的坐標為（2，3），半徑r=1.如圖所示，連結(jié)PC，CT.由平面幾何知，|PT|=|PC|-|CT|=（a-2）+（b-3）-1.由已知，|PT|=|PO|，∴|PT|=|PO|，即（a-2）+（b-3）-1=a+b.化簡得2a+3b-6=0.得|PT|=a+b=12***2

22222

192（13a-24a+36）.12136132當a=時，|PT|min=6131313?()?24??36=,13.|PT|的最小值為，此時點P的坐標是??12?1318??13?.3.求過點P（4，-1）且與圓C：x+y+2x-6y+5=0切于點M（1，2）的圓的方程.解 方法一 設(shè)所求圓的圓心為A（m,n)，半徑為r,則A,M,C三點共線，且有|MA|=|AP|=r，2?3?n?2??C（-1，3），則?m?11?1?22?(m?1)?(n?2)?2

222因為圓C：x+y+2x-6y+5=0的圓心為22，(m?4)2?(n?1)2?r解得m=3,n=1,r=5,所以所求圓的方程為(x-3)+(y-1)=5.22方法二 因為圓C：x+y+2x-6y+5=0過點M（1，2）的切線方程為2x-y=0, 所以設(shè)所求圓A的方程為x+y+2x-6y+5+?(2x-y)=0, 因為點P（4，-1）在圓上，所以代入圓A的方程，解得?=-4, 所以所求圓的方程為x+y-6x-2y+5=0.293 22224.圓x+y=8內(nèi)一點P（-1，2），過點P的直線l的傾斜角為?，直線l交圓于A、B兩點.（1）當?=3?422時,求AB的長；

（2）當弦AB被點P平分時，求直線l的方程.解（1）當?=3?4時，kAB=-1，0?0?1222直線AB的方程為y-2=-（x+1），即x+y-1=0.故圓心（0，0）到AB的距離d=12=，從而弦長|AB|=28?=30.（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=-2，y1+y2=4.?x2?y2?8,?11由?22??x2?y2?8,兩式相減得（x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0，即-2（x1-x2）+4（y1-y2）=0，∴kAB=12y1?y2x1?x2?12.∴直線l的方程為y-2=（x+1），即x-2y+5=0.回顧總結(jié) 知識 方法 思想

課后作業(yè)

一、填空題

1.（2008·遼寧理）若圓x+y=1與直線y=kx+2沒有公共點，則k的取值范圍為.22答案(-3,3)2

2222.（2008·重慶理，3）圓O1：x+y-2x=0和圓O2：x+y-4y=0的位置關(guān)系是.答案 相交

3.已知圓C：（x-a）+(y-2)=4(a＞0)及直線l:x-y+3=0,當直線l被圓C截得的弦長為2則a=.答案 222

3時，-1 294 4.（2008·全國Ⅰ文）若直線答案 1a2xa?yb?1與圓x+y=1有公共點，則

1a2?1b2與1的大小關(guān)系是.?1b2≥1 225.能夠使得圓x+y-2x+4y+1=0上恰有兩個點到直線2x+y+c=0距離等于1的c的取值范圍為

.答案（-35，-5）∪（5，35）

26.（2008·湖北理）過點A（11，2）作圓x+y+2x-4y-164=0的弦，其中弦長為整數(shù)的共有 條.答案 32 7.設(shè)直線ax-y+3=0與圓（x-1）+(y-2)=4相交于A、B兩點，且弦AB的長為2答案 0 8.（2008·湖南文，14）將圓x+y=1沿x軸正向平移1個單位后得到圓C，則圓C的方程是 ；若過點（3，0）的直線l和圓C相切，則直線l的斜率是.2222

223，則a=.答案（x-1）+y=1

二、解答題 33或-33

9.已知圓C：x+y+2x-4y+3=0.若圓C的切線在x軸和y軸上的截距的絕對值相等，求此切線的方程.解 ∵切線在兩坐標軸上截距的絕對值相等，∴切線的斜率是±1，或切線過原點.當切線不過原點時，設(shè)切線方程為y=-x+b或y=x+c,分別代入圓C的方程得 2x-2（b-3）x+（b-4b+3）=0.或2x+2(c-1)x+(c-4c+3)=0, 由于相切，則方程有等根，∴Δ1=0，即［2(b-3)］-4×2×（b-4b+3)=-b+2b+3=0, ∴b=3或-1,Δ2=0,即［2(c-1)］-4×2×(c-4c+3)=-c+6c-5=0.∴c=5或1, 當切線過原點時，設(shè)切線為y=kx,即kx-y=0.?k?21?k2

2222

222

222由=2，得k=2±6,∴y=(2±

6)x.故所求切線方程為：x+y-3=0，x+y+1=0，x-y+5=0，x-y+1=0,y=(2±

295

6)x.10.已知曲線C：x+y-4ax+2ay-20+20a=0.（1）證明：不論a取何實數(shù)，曲線C必過定點；

（2）當a≠2時，證明曲線C是一個圓，且圓心在一條直線上；（3）若曲線C與x軸相切，求a的值.（1）證明 曲線C的方程可變形為(x+y-20)+(-4x+2y+20)a=0，22??x?y?20?02

222由????4x?2y?20?0,解得??x?4?y??2，點（4，-2）滿足C的方程，故曲線C過定點（4，-2）.（2）證明 原方程配方得(x-2a)+(y+a)=5(a-2), ∵a≠2時，5(a-2)＞0,∴C的方程表示圓心是（2a,-a),半徑是設(shè)圓心坐標為（x,y），則有?（3）解 由題意得222222

5|a-2|的圓.12?x?2a?y??a,消去a得y=-5?2512x,故圓心必在直線y=-x上.5|a-2|=|a|,解得a=.11.已知圓C：x+y-2x+4y-4=0,問是否存在斜率是1的直線l，使l被圓C截得的弦AB，以AB為直徑的圓經(jīng)過原點，若存在，寫出直線l的方程；若不存在，說明理由.解 假設(shè)存在直線l滿足題設(shè)條件，設(shè)l的方程為y=x+m,圓C化為（x-1）+(y+2)=9,圓心C（1，-2），則AB中點N是兩直線x-y+m=0與y+2=-(x-1)的交點即N????m?1m?1?,?22?22

2,以AB為直徑的圓經(jīng)過原點，∴|AN|=|ON|，又CN⊥AB，|CN|=

1?2?m2，∴|AN|=

9?(3?m)2.又|ON|=(?m?12)2?(m?12)2，由|AN|=|ON|，解得m=-4或m=1.∴存在直線l，其方程為y=x-4或y=x+1.12.設(shè)O為坐標原點，曲線x+y+2x-6y+1=0上有兩點P、Q，滿足關(guān)于直線x+my+4=0對稱，又滿足OP22·OQ=0.22（1）求m的值；（2）求直線PQ的方程.解（1）曲線方程為（x+1）+(y-3)=9表示圓心為（-1，3），半徑為3的圓.296 ∵點P、Q在圓上且關(guān)于直線x+my+4=0對稱，∴圓心（-1，3）在直線上，代入得m=-1.（2）∵直線PQ與直線y=x+4垂直，∴設(shè)P（x1，y1）、Q(x2，y2)，PQ方程為y=-x+b.將直線y=-x+b代入圓的方程，得2x+2(4-b)x+b-6b+1=0.Δ=4(4-b)-4×2×(b-6b+1)＞0,得2-322

2＜b＜2+3

22.2由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=-(4-b),x1·x2=

b?6b?12.y1·y2=b-b(x1+x2)+x1·x2=

b2?6b?12+4b.∵OP·OQ=0，∴x1x2+y1y2=0，即b-6b+1+4b=0,解得b=1∈(2-3∴所求的直線方程為y=-x+1.2,2+3

2)，297