第一篇：導數的概念教案說明(南充高中韓永強)

《導數的概念》教案說明

四川省南充高級中學 韓永強

本節課的設計以新課程的教學理念為指導，遵循“學生為主體，教師為主導，知識為主線，發展思維為主旨”的原則。以學生發展為本，讓學生在經歷數學知識再發現的過程中獲取知識，發展思維，感悟數學。教學的設計充分考慮了以下幾方面內容 ：

一、教學內容的數學本質

（1）導數的科學價值和應用價值

導數是微積分的核心概念之一，是從生產技術和自然科學的需要中產生的，它深刻揭示了函數變化的本質，其思想方法和基本理論在在天文、物理、工程技術中有著廣泛的應用，而且在日常生活及經濟領域也日漸顯示出其重要的功能。

（2）知識的內在聯系

在中學數學中，導數具有相當重要的地位和作用。從橫向看，導數在現行高中教材體系中處于一種特殊的地位。它是眾多知識的交匯點，是解決函數、不等式、數列、幾何等多章節相關問題的重要工具，它以更高的觀點和更簡捷的方法對中學數學的許多問題起到以簡馭繁的處理。

從縱向看，導數是函數一章學習的延續和深化，也是對極限知識的發展，同時為后繼研究導數的幾何意義及應用打下必備的基礎，具有承前啟后的重要作用。

（3）數學思想方法的提煉

通過本課導數概念的形成過程，讓學生掌握從具體到抽象，特殊到一般的思維方法；領悟極限思想和函數思想；提高類比歸納、抽象概括、聯系與轉化的思維能力．進一步體會數學的本質。

二、教學目標的確定

學情是確定教學目標的基礎之一。導數概念建立在極限基礎之上，無限逼近的思想超乎學生的直觀經驗，抽象度高；再者，本課所用教材沒有給出嚴格的函數極限的定義。如果對教學目標沒有準確的定位，教學的重心很可能被難以理解的極限所牽制。因此，教學中，兼顧數學理想與嚴謹的同時，也充分考慮學生的認知規律和可接受性原則，循序漸近，螺旋上升。

立足于學情，結合教學大綱的要求，本課從“知識與技能”“過程與方法”“情感、態度與價值觀”三方面擬定了立體化的教學目標。以過程與方法為平臺，以情感、態度的體驗與價值觀為依托，讓數學知識在課堂中得以傳承，能力得到發展。做到知識與能力并重，認知與情感相融。

三、教學診斷分析

導數的定義和用定義求導數的方法是本節的重點，教材后續內容在推導導數運算法則與某些導數公式時，都是以此為依據的。根據求物體瞬時速度的方法和思想進行遷移，并結合導數的定義學生不難掌握求導方法。但是學生對文字，符號，圖形三種語言的相互轉化仍有一定困難，特別是對符號語言的規范使用要加以強調，因此在教學中注重培養學生的數學交流能力。

對導數概念的理解是本課的難點。具體教學表明，難點又主要集中在對瞬時變化率中“瞬時”二字的理解上。教學中借助于多媒體直觀演示，無限逼近的過程，幫助學生更好理解極限思想，掃清思維障礙，有效突破難點。

導數的定義中還包含了可導的概念，如果?x?0時，?y有極限，才有函數y?f(x)在?x點x0處可導，進而才能得到f(x)在點x0處的導數。那么“可導”和“導數”兩個問題可結合起來，利用轉化的思想與已有的極限知識相聯系，將問題化歸為考察一個關于自變量?x的函數F(?x)?f(x0??x)當?x?0時極限是否存在以及極限是什么的問題。教學表明，一部?x份學生往往把需要判斷的極限誤認為是f(x)在x0處的極限，須重視。

導函數簡稱導數，教材前后兩處出現“導數”定義，初學者易產生混淆。問題的實質就在于弄清“函數f(x)在一點處的導數”、“函數f(x)在開區間內的導數”與“導數”三者的區別與聯系。教學中通過改編的例題，組織學生動腦思考，動手操作，相互交流，幫助學生理清概念間的關系。

適當的變式訓練，有助于加深學生對概念內涵的理解。在練習與作業中分別設計了“設函數f（x）在x0處可導，則lim?x?0f(x0??x)?f(x0??x)等于（）A.f′（x0）B.0

?xx?3C.2 f′（x0）D.－2 f′（x0）”和“已知f（3）=2，f?(3)??2,則lim2x?3f(x)的x?3值為（）（A）0（B）－4（C）8（D）不存在”這樣兩個題，提高學生的思維和能力水平。

四、教法的特點以及預期效果

教學中充分發揮學生的主體和教師的主導作用。用新課程理念處理傳統教材，以恰當的問題為紐帶，給學生創設自主探究、合作交流的空間，指導學生類比探究形成導數概念，引導學生經歷數學知識再發現的過程。因此采用了引導發現式教學法。

（1）教學設計上，把數學知識的“學術形態”轉化為數學課堂的“教學形態”，返璞歸真，從兩個反應概念現實原型的具體問題出發，讓學生像數學家那樣去“想數學”，“經歷”一遍發現、創新的過程，體現了以學生的發展為本，不是教教材而是用教材教。

（2）在概念的教學過程中，與一般設想不同。如一般設想是“重結果，輕過程”，常常是直接給出一個定義，幾項注意后，就是大量變式訓練。本課的設計上注重過程教學，提出問題、觀察歸納、概括抽象，拓展概念讓學生充分經歷了具體到抽象，特殊到一般，感性到理性，直觀到嚴謹的知識再發現過程，引導學生經歷了一個完整的數學概念發生、發展的探究過程，讓學生在參與中獲取知識，發展思維，感悟數學。（3）教學過程中，以三種不同數學語言的識別、理解、組織、轉換為切入點，組織學生進行數學閱讀，培養自主學習的能力。借助于多媒體，直觀顯示?t?0而引起平均速度的系列變化，讓學生從“數”的角度領悟極限思想，通過割線變切線的動態過程，讓學生從“形”的角度領悟極限思想。從而，更好地揭示導數的本質。

（4）教學中，對不同層次的學生，提出不同的教學要求，采取不同的教學方法進行情感激勵。對學有困難的學生更多地給予幫助和肯定，以激發他們學習數學的興趣和信心。根據不同學情，把可導與連續的關系，設計成彈性化的選作題，既不影響主體知識建構,又能使學有余力的學生得到進一步的發展，尊重了學生的個體差異，讓每位學生的數學才能都能獲得較好的發展。

（5）教學中，努力以數學文化滋養課堂。讓學生了解導數的科學價值、文化價值和基本思想，體會到數學的理性與嚴謹，激發起對數學知識的熱愛，養成實事求是的科學態度。同時，培養學生正確認識量變與質變、運動與靜止等辯證唯物主義觀點，形成正確的數學觀。

以上的教學設計，符合學生認知規律，促進了個性化學習，有利于教學目標的落實。

第二篇：導數的概念教案

【教學課題】：§2.1 導數的概念（第一課時）

【教學目的】：能使學生深刻理解在一點處導數的概念，能準確表達其定義；明確其實際背景并給出物理、幾何解釋；能夠從定義出發求某些函數在一點處的導數；明確一點處的導數與單側導數、可導與連續的關系。

【教學重點】：在一點處導數的定義。【教學難點】：在一點處導數的幾種等價定義及其應用。【教學方法】：系統講授，問題教學，多媒體的利用等。【教學過程】：

一）導數的思想的歷史回顧

導數的概念和其它的數學概念一樣是源于人類的實踐。導數的思想最初是由法國數學家費馬（Fermat）為研究極值問題而引入的，但導數作為微積分的最主要的概念，卻是英國數學家牛頓（Newton）和德國數學家萊布尼茲（Leibniz）在研究力學與幾何學的過程中建立起來的。

二）兩個來自物理學與幾何學的問題的解決

問題1（以變速直線運動的瞬時速度的問題的解決為背景）已知：自由落體運動方程為：s(t)?12gt，t?[0,T]，求：落體在t0時刻（t0?[0,T]）的瞬時速度。2t0t

問題解決：設t為t0的鄰近時刻，則落體在時間段[t0,t]（或[t,t0]）上的平均速度為

v?若t?t0時平均速度的極限存在，則極限

s(t)?s(t0)

t?t0v?limt?t0s(t)?s(t0)

t?t0為質點在時刻t0的瞬時速度。

問題2（以曲線在某一點處切線的斜率的問題的解決為背景）已知：曲線y?f(x)上點M(x0,y0)，求：M點處切線的斜率。

下面給出切線的一般定義；設曲線C及曲線C上的一點M，如圖，在M外C上另外取一點N，作割線MN，當N沿著C趨近點M時，如果割線MN繞點M旋轉而趨于極 限位置MT，直線MT就稱為曲線C在點M處的切線。

問題解決：取在C上M附近一點N(x,y)，于是割線PQ的斜率為

tan??y?y0f(x)?f(x0)（?為割線MN的傾角）?x?x0x?x0當x?x0時，若上式極限存在，則極限

k?tan??f(x)?fx(0)（?為割線MT的傾角）limx?x0x?x0為點M處的切線的斜率。

上述兩問題中，第一個是物理學的問題，后一個是幾何學問題，分屬不同的學科，但問 題的解決都歸結到求形如

limx?x0f(x)?f(x0）

（1）

x?x0的極限問題。事實上，在學習物理學時會發現，在計算諸如物質比熱、電流強度、線密度等問題中，盡管其背景各不相同，但最終都化歸為討論形如（1）的極限問題。也正是這類問題的研究，促使“導數”的概念的誕生。

三）導數的定義

定義

設函數y?f(x)在x0的某鄰域內有定義，若極限

x?x0limf(x)?f(x0）

x?x0存在，則稱函數f在點x0處可導，并稱該極限為f在點x0處的導數，記作f'(x0)。即

f'(x0)?limx?x0f(x)?f(x0）

（2）

x?x0也可記作y?x?x，odydx，x?xodf(x)。若上述極限不存在，則稱f在點x0處不可導。

dxx?xof在x0處可導的等價定義：

設x?x0??x,?y?f(x0??x)?f(x0)，若x?x0則等價于?x?0，如果 函數f在點x0處可導，可等價表達成為以下幾種形式： f'(x0)?limx?x0?yf(x)?f(x0）

（3）

?f'(x0)?lim?x?0?xx?x0?f'(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0）

（4）

?x?f'(x0)?lim四）

f(x0?)?f(x0）?0

（5）

利用導數定義求導數的幾個例子

例1 求f(x)?x2在點x?1處的導數，并求曲線在點(1,1)處的切線方程。解 由定義

?yf(1??x)?f(1)(1??x)2?1f(1)?lim?lim?lim

?x?0?x?x?0?x?0?x?x'2?x??x2?lim?lim(2??x)?2 ?x?0?x?0?x于是曲線在(1,1)處的切線斜率為2，所以切線方程為y?1?2(x?1)，即y?2x?1。

例2 設函數f(x)為偶函數，f?(0)存在，證明：f?(0)?0。

(x)

?f(?x)?f(??x)證

?f(x)?f? 又f(0)?lim

?lim?x?0'?x?0f(0??x)?f(0)f(?x)?f(0)?lim ?x?0?x?xf(??x)?f(0)f[0?(??x)]?f(0)??lim??f?(0)

?x?0?x??x?f?(0)?0

注意：f'(x0)?limf(x0?)?f(x0）這種形式的靈活應用。此題的?0為??x。

1?xsin,x?0?x例3 討論函數f(x)?? 在x?0處的連續性，可導性。?0,x?0?解

首先討論f(x)在x?0處的連續性：limf(x)?limxsinx?0x?01?0?f(0)x即f(x)在x?0處連續。

再討論f(x)在x?0處的可導性：

?x?0limf(0??x)?f(0)?lim?x?0?x

?xsin1?01?x

此極限不存在 ?limsin?x?0?x?x即f(x)在x?0處不可導。

問

怎樣將此題的f(x)在x?0的表達式稍作修改，變為f(x)在x?0處可導？

1?n?1xsinx,?0?x答 f(x)?? n?1,2,3?，即可。

?0,x?0?四）可導與連續的關系

由上題可知；在一點處連續不一定可導。反之，若設f(x)在點x0可導，則

?y?f'(x0)

?x?0?xlim由極限與無窮小的關系得：

?y?f'(x0)?x?o(?x)，所以當?x?0，有?y?0。即f在點x0連續。

故在一點處連續與可導的關系是：連續不一定可導，可導一定連續。

五）單側導數的概念

例4 證明函數f(x)?|x|在x?0處不可導。證明 ?lim?x?0f(x)?f(0)xf(x)?f(0)?x?lim?1lim?lim??1，x?0?xx?0?x?0?xx?0x?0?limx?0f(x)?f(0)極限不存在。

x?0故f(x)?|x|在x?0處不可導。

在函數分段點處或區間端點等處，不得不考慮單側導數：

定義

設函數y?f(x)在點x0的某右鄰域(x0,x0??)上有定義，若右極限

?x?0lim?f(x0??x)?f(x0）?y?lim?（0??x??）?x?0?x?x存在，則稱該極限為f在點x0的右導數，記作f?'(x0)。

?左導數

f?'(x0)?yli?m。?x?0?x左、右導數統稱為單側導數。

導數與左、右導數的關系：若函數y?f(x)在點x0的某鄰域內有定義，則f'(x0)存在?f?'(x0)，f?'(x0)都存在，且f?'(x0)=f?'(x0)。例5 設f(x)??解 由于 ?1?cosx, x?0，討論f(x)在x?0處的可導性。

x?0?x , f?'(0)?lim??x?0f(x0??x)?f(x0)1?cos?x?lim??0 ?x?0?x?xf(x0??x)?f(x0)?x?lim??1 ?x?0?x?xf?'(0)?lim??x?0從而f?'(0)?f?'(0)，故f(x)在x?0處不可導。

六）小結: 本課時的主要內容要求：

① 深刻理解在一點處導數的概念，能準確表達其定義；

② 注意f'(x0)?limf(x0?)?f(x0）這種形式的靈活應用。

?0③ 明確其實際背景并給出物理、幾何解釋； ④ 能夠從定義出發求某些函數在一點處的導數；

⑤ 明確導數與單側導數、可導與連續的關系。

第三篇：13252ja_1.1.2導數的概念教案

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§1.1.2導數的概念

教學目標

1．了解瞬時速度、瞬時變化率的概念；

2．理解導數的概念，知道瞬時變化率就是導數，體會導數的思想及其內涵； 3．會求函數在某點的導數

教學重點：瞬時速度、瞬時變化率的概念、導數的概念； 教學難點：導數的概念． 教學過程： 一．創設情景

（一）平均變化率

（二）探究：計算運動員在0?t?6549這段時間里的平均速度，并思考以下問題：

⑴運動員在這段時間內使靜止的嗎？

⑵你認為用平均速度描述運動員的運動狀態有什么問題嗎？

探究過程：如圖是函數h(t)=-4.9t2+6.5t+10的圖像，結合圖形可知，h(h(65)?h(0)?0(s/m)，?065496549)?h(0)，h 所以v?496549雖然運動員在0?t?這段時間里的平均速度為0(s/m)，但實際情況是運動員仍然運動，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運動員的運動狀態． 二．新課講授 1．瞬時速度

我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度。運動員的平均速度不能反映他在某一時刻的瞬時速度，那么，如何求運動員的瞬時速度呢？比如，t?2時的瞬時速度是多少？

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考察t?2附近的情況：

思考：當?t趨近于0時，平均速度v有什么樣的變化趨勢？

結論：當?t趨近于0時，即無論t從小于2的一邊，還是從大于2的一邊趨近于2時，平均速度v都趨近于一個確定的值?13.1．

從物理的角度看，時間?t間隔無限變小時，平均速度v就無限趨近于史的瞬時速度，因此，運動員在t?2時的瞬時速度是?13.1m/s 為了表述方便，我們用limh(2??t)?h(2)?t?t?0??13.1

表示“當t?2，?t趨近于0時，平均速度v趨近于定值?13.1”

小結：局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。2 導數的概念

從函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是: ?x?0limf(x0??x)?f(x0)?x?lim?f?x

'?x?0'我們稱它為函數y?f(x)在x?x0出的導數，記作f(x0)或y|x?x，即

0 f?(x0)?limf(x0??x)?f(x0)?x

?x?0說明：（1）導數即為函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率

（2）?x?x?x0，當?x?0時，x?x0，所以f?(x0)?lim三．典例分析

例1．（1）求函數y=3x2在x=1處的導數.分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)再求?f?x?6??x再求lim?f?x?6

f(x)?f(x0)x?x0

?x?0?x?0解：法一（略）

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上教考資源網 助您教考無憂 法二：y?|x?1?lim3x?3?1x?122x?1?lim3(x?1)x?1x?1?lim3(x?1)?6

x?12（2）求函數f(x)=?x?x在x??1附近的平均變化率，并求出在該點處的導數．

解：?y?x??(?1??x)?(?1??x)?2?x?y?x22?3??x

f?(?1)?lim?x?0??(?1??x)?(?1??x)?2?x?lim(3??x)?3

?x?0例2．（課本例1）將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱，如果第xh時，原油的溫度（單位：?C）為f(x)?x2?7x?15(0?x?8)和第6h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義．

解：在第2h時和第6h時，原油溫度的瞬時變化率就是f'(2)和f'(6)根據導數定義，2，計算第2h時?f?x?f(2??x)?f(x0)?x2

?(2??x)?7(2??x)?15?(2?7?2?15)?x?f?lim(?x?3)??3

?x?0??x?3

所以f?(2)?lim?x同理可得:f?(6)?5 ?x?0在第2h時和第6h時，原油溫度的瞬時變化率分別為?3和5，說明在2h附近，原油溫度大約以3C/h的速率下降，在第6h附近，原油溫度大約以5C/h的速率上升．

'注：一般地，f(x0)反映了原油溫度在時刻x0附近的變化情況． ??四．課堂練習

21．質點運動規律為s?t?3，求質點在t?3的瞬時速度為．

2．求曲線y=f(x)=x3在x?1時的導數．

3．例2中，計算第3h時和第5h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義． 五．回顧總結

1．瞬時速度、瞬時變化率的概念

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2．導數的概念

六．布置作業

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第四篇：導數的概念第一課時教案

數學歸納法第二課時教案（2010年4月7日）

課題 導數的概念第一課時

授課人

康玉梅

學校

三河市第二中學

1、知識目標：掌握數學歸納法的定義，理解數學歸納法原理的兩個步驟，教學目標： 會用數學歸納法證明簡單的與自然數有關的等式

2、能力目標：培養學生的觀察能力、理解能力和分析能力。

3、情感目標：從理解學習數學歸納法的必要性和重要性激發學生的求知欲

教學重點 教學難點 教學方法 教師活動

1、復習引入 明確數學歸納法的兩個原理缺一不可 對原理的準確理解 講練結合

教

學

過

程

學

生活動

回顧 理解 記憶 記筆記

思考并回答問題

教具：多媒體

問題圓的切線與圓的關系

問題

2能否將圓的切線的概念推廣為一般曲線的切線：直線與曲線有唯一公共點時，直線叫曲線過該

點的切線？如果能，請說明理由；如果不能，請舉出反例。

問題

3為什么與拋物線對稱軸平行的直線不是拋物線的切線？ 111?11n?????1??2121?22?3n?(n?1)n?1

三、布置作業。練習冊 P337.338

四、板書設計

第五篇：高二數學導數與導函數的概念教案

高二數學導數與導函數的概念教案

教學目標：

1、知識與技能：理解導數的概念、掌握簡單函數導數符號表示和求解方法； 理解導數的幾何意義； 理解導函數的概念和意義；

2、過程與方法：先理解概念背景，培養解決問題的能力；再掌握定義和幾何意義，培養轉化問題的能力；最后求切線方程，培養轉化問題的能力

3、情感態度及價值觀；讓學生感受事物之間的聯系，體會數學的美。教學重點：

1、導數的求解方法和過程；

2、導數符號的靈活運用 教學難點：

1、導數概念的理解；

2、導函數的理解、認識和運用 教學過程：

一、情境引入

在前面我們解決的問題：

1、求函數f(x)?x在點（2，4）處的切線斜率。2?yf(2??x)?f(x)??4??x，故斜率為4 ?x?x2、直線運動的汽車速度V與時間t的關系是V?t?1，求t?to時的瞬時速度。

2?Vv(to??t)?v(to)??2to??t，故斜率為4 ?t?t

二、知識點講解

上述兩個函數f(x)和V(t)中，當?x(?t)無限趨近于0時，個常數。

歸納：一般的，定義在區間（a，b）上的函數f(x)，xo?(a，b)，當?x無限趨近于0時，?V?V()都無限趨近于一?t?x?yf(xo??x)?f(xo)?無限趨近于一個固定的常數A，則稱f(x)在x?xo處可導，并稱A?x?x為f(x)在x?xo處的導數，記作f'(xo)或f'(x)|x?xo，上述兩個問題中：（1）f'(2)?4，（2）V'(to)?2to

三、幾何意義：

我們上述過程可以看出

f(x)在x?x0處的導數就是f(x)在x?x0處的切線斜率。

四、例題選講

例

1、求下列函數在相應位置的導數

2（1）f(x)?x?1，x?2（2）f(x)?2x?1，x?2

用心 愛心 專心

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（3）f(x)?3，x?2

例

2、函數f(x)滿足f'(1)?2，則當x無限趨近于0時，f(1?x)?f(1)?

2xf(1?2x)?f(1)?（2）x（1）變式:設f(x)在x=x0處可導，（3）f(x0?4?x)?f(x0)無限趨近于1，則f?(x0)=___________ ?xf(x0?4?x)?f(x0)無限趨近于1，則f?(x0)=________________ ?xf(x0?2?x)?f(x0?2?x)所對應的常數與f?(x0)的關系。

?x（4）（5）當△x無限趨近于0，總結：導數等于縱坐標的增量與橫坐標的增量之比的極限值。例

3、若f(x)?(x?1)，求f'(2)和(f(2))' 注意分析兩者之間的區別。例4：已知函數f(x)?2x，求f(x)在x?2處的切線。

導函數的概念涉及：f(x)的對于區間（a,b）上任意點處都可導，則f(x)在各點的導數也隨x的變化而變化，因而也是自變量x的函數，該函數被稱為f(x)的導函數，記作f'(x)。

五、小結與作業

用心 愛心 專心

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