第一篇：概率論數理統計(經管類)重點及性質總結

第一章 隨機事件與概率

（1）事件的包含和相等

包含：設A，B為二事件，若A發生必然導致B發生，則稱事件B包含事件A，或事A包含于事件B，記作相等：若且，或

性質：，則稱事件A與事件B相等，記作A＝B。

（2）和事件

概念：稱事件“A與B至少有一個發生”為事件A與事件B的和事件，或稱為事件A與事件B的并，記作

或A＋B。

解釋：

包括三種情況①A發生，但B不發生，②A不發生，但B發生，③A與B都發生。

性質：①，；②若

；則

（3）積事件

概念：稱“事件A與事件B同時發生”為事件A與事件B的積事件，或稱為事件A與B的交，記作A∩B或AB。

解釋：A∩B只表示一種情況，即A與B同時發生。

性質：①，；② 若，則AB＝A。

（4）差事件

概念：稱“事件A發生而事件B不發生”為事件A與事件B的差事件，記作A－B.性質：① A－（5）互不相容事件

概念：若事件A與事件B不能同時發生，即AB＝，則稱事件A與事件B互不相容。；② 若，則A－B＝

推廣：n個事件A1，A2，?，An兩兩互不相容，即AiAj＝，i≠j，i，j＝1，2，?n。

（6）對立事件：

概念：稱事件“A不發生”為事件A的對立事件，記做

.解釋：事件A與B互為對立事件，滿足：①AB＝ф；②A∪B＝Ω 性質：①；

②，；

③A－B＝

＝A－AB ④A與B相互對立A與B互不相容.小結：關系：包含，相等，互不相容，互為對立；

運算：和，積，差，對立.（7）事件的運算性質

①（和、積）交換律 A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A；

②（和、積）結合律（A∪B）∪C＝A∪（B∪C），（A∩B）∩C＝A∩（B∩C）；

③（和、積）分配律 A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）；A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）

④對偶律 ；

.由頻率的性質推出概率的性質

①推出①

②，推出②P（ф）＝0，P（Ω）＝1

推出③P（A∪B）=P（A）＝P（B），可推

③A，B互不相容，廣到有限多個和無限可列多個.2.古典概型

概念：具有下面兩個特點的隨機試驗的概率模型，稱為古典概型：

①基本事件的總數是有限個，或樣本空間含有有限個樣本點；

②每個基本事件發生的可能性相同。

計算公式：

概率的定義與性質

（1）定義：設Ω是隨機試驗E的樣本空間，對于E的每一個事件A賦予一個實數，記為

P（A），稱P（A）為事件A的概率，如果它滿足下列條件：

①P（A）≥0；

②P（Ω）＝1；

③設，?，?是一列互不相容的事件，則有，；

； ；

④

..（2）性質 ①

②對于任意事件A，B有

③條件概率與乘法公式

定義：設A，B為兩個事件，在已知事件B發生的條件下，事件A發生的概率，稱為事件B發生條件下事件A發生的條件概率，記做P（A|B）

計算公式：設AB為兩個事件，且P（B）>0，則。

乘法公式：當P（A）>0時，有P（AB）＝P（A）P（B|A）；

當P（B）>0時，有P（AB）＝P（B）P（A|B）推廣：

①設P（AB）>0，則P（ABC）＝P（A）P（B|A）P（C|AB）

②設，則

2.全概率公式與貝葉斯公式

（1）劃分：設事件

①

②，?，，?，滿足如下兩個條件：，i＝1，2，?，n；，?，至少有一個發生，則稱，?，互不相容，且，即，為樣本空間Ω的一個劃分。

當，?，為樣本空間Ω的一個劃分時，每次試驗有且僅有其中一個發生。

（2）全概公式：設隨機試驗的樣本空間為Ω，，?，為樣本空間Ω的一個劃分，B為任意一個事件，則注意：當0

.就是Ω的一個劃分，對任意事件B則有全概公式的最，?，為樣本空間Ω的（3）貝葉斯公式：設隨機試驗的樣本空間為Ω，一個劃分，B為任意一個事件，且P（B）>0，則

，i＝1，2，?，n.注意：①在使用貝葉斯公式時，往往先利用全概公式計算P（B）；

②理解貝葉斯公式“后驗概率”的意義.事件的獨立性

（1）概念：若P（AB）＝P（A）P（B），則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱A，B獨立。

（2）性質：① 設P（A）>0，則A與B相互獨立的充分必要條件是。

② 若A與B相互獨立，則A與，與B，與都相互獨立。（3）推廣：① 3個事件相互獨立：設A，B，C為3個事件，若滿足

P（AB）＝P（A）P（B），P（AC）＝P（A）P（C），P（BC）＝P（B）P（C），P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）則稱A，B，C相互獨立，簡稱A，B，C獨立。

② 3個事件兩兩相互獨立：設A，B，C為3個事件，若滿足

P（AB）＝P（A）P（B），P（AC）＝P（A）P（C），P（BC）＝P（B）P（C），則稱A，B，C兩兩相互獨立。

顯然，3事件相互獨立必有3事件兩兩相互獨立，反之未必。

③ n個事件相互獨立：設A1，A2，?，An為n個事件，若對于任意整數k

（1≤k≤n）和任意k個整數1≤i1< i2

則稱A1，A2，?，An相互獨立，簡稱A1，A2，?，An獨立 n重貝努利試驗

概念：如果一次試驗只有兩個結果：事件A發生或不發生，且P（A）＝p（0

計算：在n重貝努利試驗中，設每次試驗事件A發生的概率為p，則事件A恰好發生k次的概率Ｐn（k）為，k＝0，1，2，?，n。

第二章 隨機變量及其概率分布

隨機變量的概念 定義：設E是隨機試驗，樣本空間為Ω，如果對于每一個樣本點ω∈Ω，有一個實數X（ω）與之對應，則稱X＝X（ω）為隨機變量，記做X, Y, Z,?。

（4）解釋：① 隨機變量不是普通變量，它的取值不是任意的，它是以一定的可能性（概率）取某一個值的，即具有隨機性，因此稱為“隨機變量”；

② 在一次隨機試驗中，可以根據不同的需要來定義不同的隨機變量。

③ 引入隨機變量后，可用隨機變量來描述事件，如擲骰子，設出現的點數為隨機變量X，則“出現4點”可表示為{X＝4}，“不少于4點”可表示為{X≥4},等等 離散型隨機變量定義：若隨機變量X只取有限多個或可列無限多個值，則稱X為離散型隨機變量。

離散型隨機變量的分布律：設X為離散型隨機變量，可能取值為x1，x2，?，xk，?，且P{X＝xk }＝pk，k＝1，2，?，則稱{ pk }為X的分布律（或分布列，概率分布）。

分布律也可以用表格形式表示：

（3）分布律{pk}的性質：① pk≥0，k＝1，2，?；②.反之，若一個數列{pk}具有以上兩條性質，則它可以作為某隨機變量的分布律。

（4）用途：可用分布律求任意事件的概率

三種常用的離散型隨機變量的分布

（1）0－1分布（兩點分布）

定義：若隨機變量X只取兩個可能值0，1，且P{X＝1}＝p，P{X＝0}＝q, 其中0

（2）二項分布

定義：若隨機變量X的可能取值為0，1，2，?，n，而X的分布律為，k＝0，1，2，?，n其中0

解釋：n＝1時，二項分布即為0－1分布，所以，二項分布是服從0－1分布的隨機試驗進行n次的情況。

泊松定理：設λ>0是常數，n是任意正整數，且，則對于任意取定的非負整數k，有。

泊松定理的應用：當n很大，p很小時，二項分布可以用泊松逼近來近似計算。

在實際計算中，當n≥20，p≤0.05時計算效果頗佳（3）泊松分布

定義：設隨機變量X的可能取值為0，1，2，?，n，?，而X的分布律為，k＝0，1，2，?，其中λ>0，則稱X服從參數為λ的泊松分布，記做X ～ P（λ）分布函數的概念

定義：設X為隨機變量，稱函數F（x）=P（X≤x），x∈（-∞,+∞）為X的分布函數。

離散型隨機變量X的分布函數為

分布函數的性質

（1）0≤F（x）≤1。

（2）F（x）是不減函數，即對于任意的x1

（3）F（-∞）=0，F（+∞）=1，即

（4）F（x）右連續，即。

用分布函數表示事件的概率：設隨機變量X的分布函數為F（x）, 則

（1）P{X≤b}=F（b）；

（2）P{a

（3）P{X>b}=1-F（b）連續型隨機變量及其概率密度

（1）定義：設隨機變量X的分布函數為F（x），若存在非負函數f（x），使得對任意實數x，有則稱X為連續型隨機變量，并稱f（x）為X的概率密度函數，簡稱概率密度（或密度函數）。

解釋：連續型隨機變量的“連續”指的是其密度函數在某區間或整個實軸上是連續函數。

（2）概率密度的性質：① f（x）≥0；

②

③④ 設x為f（x）的連續點，則存在三種常用連續型隨機變量的分布

Ⅰ.均勻分布

，且

；

（1）定義：若隨機變量X的概率密度為上的均勻分布，記做X～U（a,b），則稱X服從區間[a,b]（2）分布函數為 Ⅱ.指數分布

（1）定義：若隨機變量X的概率密度為稱X服從參數為λ的指數分布，記做X～E（λ）.，其中λ>0為常數，則

（2）指數分布的分布函數為Ⅲ.正態分布

，（1）定義：若隨機變量X的概率密度為

22，－∞

2μ,σ為常數，－∞<μ<+∞，σ>0，則稱X服從參數為μ,σ的正態分布，記做X～N（μ,σ）

（2）概率密度函數的性質：

①曲線關于直線x=μ對稱，則對于任意h>0，有P（μ-h

②當x=μ時取得最大值.在x=μ±σ處曲線有拐點，曲線以x軸為漸近線.③當σ給定，μ1<μ2時，對應的密度函數的圖象可沿x軸互相平移得到.④當μ給定，σ1<σ2時，對應的密度函數的圖象如圖下圖所示，σ越小，圖象越尖銳，σ越大，圖象越平緩.（3）分布函數為.（4）標準正態分布：當μ=0，σ=1時的正態分布N（0,1），稱為標準正態分布，其概率密度和分布函數分別記做和Φ（x），即，，（5）標準正態分布的分布函數的性質

①Φ（-x）=1-Φ（x）；

②.（6）正態分布與標準正態分布的關系

設X～N（μ,σ），分布函數為F（x），標準正態分布的分布函數為Φ（x），則

①

②

③.Ⅳ.上側α分位數

（1）定義：設X～N（0,1），若uα滿足條件P{X>uα}=α，0<α<1，則稱點uα為標準正態分布的上側α分位數。（2）求法：反查標準正態分布表

隨機變量函數的概念：設

是已知連續函數，為隨機變量，則函數也是一個隨機變量，稱之為隨機變量的函數.設離散型隨機變量的分布律為

則在隨機變量的取值,，不同的情況下，其分布律為

但是，若

有相同的情況，則需要合并為一項.連續型隨機變量函數的概率密度

定理：設為連續型隨機變量，其密度函數為其值域為，且

.記

.設的反函數，則

是嚴格單調的可導函數，的概率密度為

.兩個重要結論：當 時，,且隨機變量稱為X的標準化。另外，正態隨機變量的線性變換，這兩個結論十分有用，必須記住

仍是正態隨機變量，即aX+b～第三章 多維隨機變量及概率分布

設（，）為一個二維隨機變量，記為二維隨機變量（，）的聯合分布函數，或稱為（＝

＝

，則稱函數

和，稱二元函數函數.記函數，）的分布為二維隨機變量（，）的兩個分量 和 的邊緣分布函數.二維隨機變量分布函數的性質：

（1）

（2）0，（3）是變量（或）的不減函數；

1，對任意給定的，；

.；對任意給定的，；關于和關于均右連續，即，有（4）對任意給定的二維離散型隨機變量

設二維隨機變量（X，Y）的所有可能取值為（各個可能取值的概率為（＝1，2，?）為（X，Y）的分布律，（），（＝1，2，?），（X，Y）的，＝1，2，?），稱（X，Y）分布律的性質

[1]，（＝1，2，?）；

[2]

二維連續型隨機變量的概率密度

（1）設二維隨機變量（X，Y）的分布函數為F（x,y），若存在非負可積函數使得對任意實數x，y，有量；并稱，則稱（X，Y）為二維連續型隨機變為（X，Y）的概率密度或X與Y的聯合密度函數.的性質：

；

（2）概率密度

① 非負；

②

③ 若在 處連續，則有

； ④ 兩種二維連續型隨機變量分布

（1）均勻分布

①定義：設D為平面上的有界區域，其面積為S且S＞0，如果二維隨機變量（X,Y）的概率密度為

則稱（X,Y）服從區域D上的均勻分布（或稱（X,Y）在D上服從均勻分布），記作（X,Y）～UD。

②兩種特殊區域的情況：

ⅰ.D為矩形區域a≤x≤b，c≤y≤d，此時

ⅱ.D為圓形區域，如（X,Y）在以原點為中心，R為半徑的圓形區域上服從均勻分布，則（X,Y）概率密度為

二維隨機變量的邊緣分布

（1）定義：對于連續型隨機變量（X,Y），分量X（或Y）的概率密度稱為（X,Y）關于X（或Y）的邊緣概率密度，簡稱邊緣密度，記為

（2）求法：它們可由（X,Y）的概率密度f（x，y）求出，P71

定義：設F（x,y），FX（x）和FY（y）分別是二維隨機變量（x,y）的分布函數和兩個邊緣分布函數，若對任意實數x，y，有F（x,y）= FX（x）FY（y），則稱X與Y相互獨立.（2）等價關系：P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}

設（X,Y）為二維連續型隨機變量，其概率密度為f（x,y）及關于X和Y的邊緣概率密度為和 則X與Y相互獨立的充分必要條件是等式

幾乎處處成立

P81 兩個相互獨立且都服從泊松分布（參數分別為 和）的隨機變量之和仍服從泊松分布，且具有參數（泊松分布可加性）

求Z=X+Y的概率密度

設（X，Y）為二維連續型隨機變量，其密度函數為f（x，y），關于X，Y的邊緣概率

分別為fx（x），fY（y），又設X與Y相互獨立，求Z=X+Y的概率密度：

這就是二維連續型獨立隨機變量和的卷積公式

第四章 隨機變量的數字特征

離散型隨機變量的期望

定義：設離散型隨機變量X的分布律為P{X=xk}=pk，k＝1，2，?.若級數（即級數收斂），則定義X的數學期望（簡稱均值或期望）為三種離散型隨機變量的數學期望

① 兩點分布

設離散型隨機變量X的分布律為

② 二項分布 設X～B（n,p），即③ 泊松分布

（i＝0,1，2，?，n），q=1-p，則E（X）=np.絕對收斂

其中0

設X～P（λ）其分布律為，i＝0，1，2，?，則E（X）= λ.定理4－1 設離散型隨機變量X的分布律為P{X=xk}=pk，k＝1，2，? 令Y=g（X），若級數絕對收斂，則隨機變量Y的數學期望為

連續型隨機變量的期望

（1）定義：設連續型隨機變量X的概率密度f（x），若廣義積分稱該積分為隨機變量X的數學期望（簡稱期望或均值），記為E（X），即（2）三種連續型隨機變量的期望

① 均勻分布

絕對收斂，則

.設X～U（a,b），其概率密度為

② 指數分布

，則.設X～E（λ），其概率密度為③ 正態分布

，則.設X～N（μ,σ），其概率密度為 2，-∞

二維隨機變量分量的期望

定理4－3：（1）若（X,Y）為離散型隨機變量，其分布律為分布律為，則，邊緣

說明：也可以先求Y的概率，.（2）若（X,Y）為連續型隨機變量，其概率密度與邊緣概率密度分別為f（x,y），fX（x），fY（y），則

二維隨機變量函數的期望，.定理4－4： 設g（x,y）為二元連續函數，對于二維隨機變量（X,Y）的函數Z=g（X,Y），（1）若（X,Y）為離散型隨機變量，級數則

；

絕對收斂，則

.絕對收斂，（2）若（X，Y）為連續型隨機變量，且積分

期望的性質

（1）常數的期望等于該常數，即E（C）=C，C為常數；

（2）常數與隨機變量X乘積的期望等于該常數與隨機變量期望的乘積，即E（CX）=CE（X）；

（3）隨機變量和的期望等于隨機變量期望之和，即E（X+Y）=E（X）+E（Y）；

綜合性質（2）和（3），則有E（C1X+C2Y）=C1E（X）+C2E（Y），其中C1,C2為常數.一般地，其中Ci為常數.（4）兩個相互獨立的隨機變量的乘積的期望等于隨機變量期望的乘積，即若X,Y為相互獨立的隨機變量，則E（XY）=E（X）E（Y）

4.2節 方差

定義：設隨機變量X，且（X-E（X））的期望存在，則稱E（X-E（X））為隨機變量X 的方差，記為D（X），即D（X）=E（X-E（X））；又稱 若離散型隨機變量X的分布律為P（X=xk）=pk，k＝1，2，?，則

若連續型隨機變量X的概率密度為f（x），則

為隨機變量X的標準差...方差計算公式：①D（X）=E（X）-（E（X））即X的方差等于X的期望—X的期望的平方 ② 若離散型隨機變量X的分布律為P{X=xk}=pk，k＝1，2，?，則③若連續型隨機變量X的概率密度為f（x），則 常用隨機變量的方差

（1）0－1分布

設離散型隨機變量X的分布律為

（2）二項分布 設X～B（n,p），即（3）泊松分布

（i＝1，2，?，n），q=1-p，則 D（X）=npq.其中0

..設X～P（λ），其分布律為（4）均勻分布，i＝0，1，2，?，則 D（X）=λ.設X～U（a,b），即概率密度為

（5）指數分布

，則.設X～E（λ），即概率密度為（6）正態分布

，則.設X～N（μ，σ），即概率密度為2，-∞

（1）常數的方差等于零，隨機變量與常數之和的方差等于隨機變量的方差，即

D（C）=0，D（X+C）=D（X）

2.常數與隨機變量乘積的方差等于該常數的平方與隨機變量方差的乘積，即D（CX）=CD（X）.（3）兩個相互獨立隨機變量之和的方差等于它們方差之和，即若X，Y相互獨立，則

D（X+Y）=D（X）+D（Y）

下表是六種常見分布的期望和方差的結果。

4.3 協方差與相關系數

定義：設二維隨機變量（X,Y），且E（X），E（Y）存在，如果E[（X-E（X））（Y-E（Y））]存在，則稱之為X與Y的協方差，記為cov（X,Y），即cov（X,Y）=E[（X-E（X））（Y-E（Y））].（2）若離散型二維隨機變量（X,Y）的分布律為

則.（3）若連續型二維隨機變量（X,Y）的概率密度為f（x,y），則

.，（i,j＝1，2，?），（4）計算公式：cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）特例：當X=Y時，cov（X,X）=D（X）（5）協方差的性質

① cov（X,Y）=cov（Y,X）； ② cov（aX,bY）=abcov（X,Y），其中a,b為任意常數；

③

④ 若X與Y相互獨立，則cov（X,Y）=0.f（x,y）≠fX（x）·fY（y）,知X，Y一定不相互獨立。可見Cov（X,Y）=0是X與Y相互獨立的必要非充分條件。2.相關系數

（1）定義：若D（X）>0，D（Y）>0，稱為X與Y的相關系數，記為，即（2）性質

①

.② 相關系數的絕對值=1的充分必要條件是存在常數a，b，使 P{Y=aX+b}=1且a≠0.（3）不相關定義：若相關系數ρXY=0，則稱X與Y不相關.（4）相關系數的意義：兩個隨機變量的相關系數是它們之間線性關系程度的度量：，表示它們之間存在完全線性關系，即一次函數關系；

ρXY=0，表示它們之間無線性相關關系，但是，不表示它們之間不存在其他相關關系；，表示它們之間存在一定的線性相關關系.若ρXY>0，表示它們之間存在正線性相關關系，即上式中a>0； 若ρXY<0，表示它們之間存在負線性相關關系，即上式中a<0.（5）兩個重要結論

① 隨機變量X與Y相互獨立

X與Y不相關；反之未必.② 若二維隨機變量（X,Y）服從二維正態分布，則ρXY=ρ，且二維隨機變量（X,Y）的兩個分量不相關兩個分量相互獨立.ρ=0.3.矩、協方差矩陣

kk

（1）矩的定義：設X為隨機變量，k為正整數，① 如果E（X）存在，則稱E（X）為X的k階原點矩，記為vk=E（X）；② 如果X的k階中心矩，記為

＝

.k

存在，則稱 為（2）兩種隨機變量的矩

① 離散型隨機變量的矩：若離散型隨機變量X的分布律為P{X=xi}=pi，i＝1，2，?，則，②連續型隨機變量的矩：若連續型隨機變量的概率密度為，則，.顯然，一階原點矩是期望，二階中心矩是方差.（3）混合矩定義：設X，Y為隨機變量，① 若為X和Y的階混合原點矩；②若

（k,l＝1，2，?）存在，則稱其

存在，則稱其為X和Y的階混合中心矩.顯然，協方差是二階混合中心矩.（4）協方差矩陣

① 二維隨機變量的協方差矩陣定義：設二維隨機變量（X1,X2）的4個二階中心矩為

C11=E[X1-E（X1）]=cov（X1 ,X1）=D（X1），C12=E[（X1-E（X1））（X2-E（X2））] =cov（X1 ,X2），C21=E[（X2-E（X2））（X1-E（X1））] =cov（X2 ,X1），

2C22=E[（X2-E（X2））] =cov（X2 ,X2）= D（X2），則稱矩陣

為二維隨機變量（X1,X2）的協方差矩陣.② n維隨機變量（X1,X2,?,Xn）的協方差矩陣定義：設n維隨機變量（X1,X2,?,Xn）的二階中心矩為矩陣

（i,j＝1，2，?，n），則稱為維隨機變量（X1,X2,?,Xn）的協方差矩陣.第五章 大數定律及中心極限定理

切比雪夫不等式定理：設隨機變量X的期望E（X）及方差D（X）存在，則對任意小正數

ε＞0，有 因為事件

與事件

是對立事件，所以 貝努利大數定律

定理：設m是n次獨立重復試驗中事件A發生的次數，p是事件A的概率，則對于任意正數ε，有

獨立同分布隨機變量序列的切比雪夫大數定律

定理：設X1, X2，?，Xn，?是獨立同分布隨機變量序列，E（Xi）=μ，D（Xi）=σ，（i

2＝1，2，?）均存在，則對于任意ε＞0有

獨立同分布隨機變量序列的中心極限定理

定理：設X1, X2，?，Xn，?是獨立同分布隨機變量序列，且具有相同數學期望和方差E（Xi）=μ，D（Xi）=σ，（i＝1，2，?）均存在；再設隨機變量 2的分布函數為F（，則對任意實數x有nx）其中Φ（x）為標準正態分布函數 兩個結論

① 定理說明，當n充分大時，不論獨立同分布隨機變量服從什么分布，其和近似服從正態分布；

② 定理說明：當n充分大時，不論獨立同分布隨機變量服從什么分布，其平均值

棣莫弗-拉普拉斯D－L中心極限定理

定理：設隨機變量Zn是獨立重復試驗中事件A發生的次數，p是事件A發生的概率，則對任意實數x有，其中q=1-p，Φ（x）為標準正態分布函數.由D-L定理得到 計算公式

兩個結論：

①當n充分大時，②當n充分大時，；

第六章 統計量及其抽樣分布

統計量與抽樣分布

定義：設x1, x2，?，xn為總體X的樣本，若樣本函數T=T（x1, x2，?，xn）中不含任何未知參數，則稱T為統計量；統計量的分布稱為抽樣分布.2.經驗分布函數 定義：設x1, x2，?，xn為總體X的樣本，總體X的分布函數為F（x），若將樣本觀察值x1, x2，?，xn按由小到大排列為x（1），x（2），?，x（n），則稱之為有序樣本；用有序樣本定義函數，k＝1，2，?，n-1，則稱Fn（x）為經驗分布函數.顯然，Fn（x）是一個非減右連續函數，且滿足Fn（-∞）=0，Fn（+∞）=1 樣本均值及其抽樣分布

（1）樣本均值的定義：設x1, x2，?，xn為總體X的樣本，其算術平均值稱為樣本均值，一般記為，即.在將樣本分為k組的情況下，樣本均值的計算公式為

fi為第i組的頻數.樣本均值的性質，其中，k為組數，xi為第i組的組中值，① 若稱樣本的數據與樣本均值的差為偏差，則樣本偏差之和為零，即

② 偏差平方和最小，即對任意常數c，函數樣本均值的抽樣分布，當時取得最小值.定理：設x1, x2，?，xn為總體X的樣本，為樣本均值，（1）若X～N（μ，σ），則的精確分布為

22（2）若總體X的分布未知或不是正態分布，且E（X）= μ，D（X）= σ，則當樣本容量n較大時，的漸近分布為樣本方差與樣本標準差

.這里的漸近分布是指n較大時的近似分布。

（1）定義：設x1, x2，?，xn為總體X的樣本，則它關于的平均偏差平方和

稱為樣本方差；其算術根稱為樣本標準差.在上面的定義中，稱為樣本偏差平方和，它有3個不同的表達式：

＝

樣本均值的數學期望和方差, 以及樣本方差的期望

定理：設x1, x2，?，xn為總體X的樣本，具有二階矩，即E（X）= μ，D（X）= σ，和

2s分別為樣本的均值和方差，則2，E（s）=σ此定理表明，樣本均值

22的均值與總體均值相同，而樣本均值的方差是總體方差的1/n.樣本矩及其函數

定義：設x1, x2，?，xn為總體X的樣本，則稱統計量為樣本k階原點矩；

稱統計量2

為樣本k階中心矩.樣本均值是樣本一階原點矩，但本書中樣本

表示，以示區別 方差s不是樣本k階中心矩，而用順序統計量

定義：設總體X的分布函數為F（x），分布密度為f（x），樣本為x1, x2，?，xn，則稱 x（1）=min{x1, x2，?，xn}和x（n）=max{x1, x2，?，xn}為此樣本的極小順序統計量和極大順序統計量

定理：設總體X的分布函數為F（x），分布密度為f（x），樣本為x1, x2，?，xn，x（1），x（n）為樣本的極小、極大順序統計量，則x

（1）的分布密度為f1（x）=n（1-F（x））

n-1f（x），x（n）的分布密度為fn（x）=nFn-1（x）f（x）

正態總體的抽樣分布（1）分布

① 定義：設X1, X2，?，Xn為相互獨立且服從同分布N（0,1）的隨機變量，則統計量的分布稱為自由度為n的分布，記為

.②

求法：反查（2）F分布 分布的α分位點：當隨機變量的分布表

時，對給定的α∈（0，1），稱滿足

分布的α分位點.為自由度為n的① 定義：設X1，X2相互獨立，且，則稱的分布為自由度為m與n的F分布，記為F～F（m,n）, 其中m稱為分子自由度，n稱為分母自由度.② F分布的α分位點：當隨機變量F～F（m,n）時，對給定的α∈（0，1），稱滿足

P{F>Fα（m,n）}= α 的Fα（m,n）為自由度為m與n的F分布的α分位點.③ F分布的α分位點的性質：若F～F（m,n），則1/F～F（n,m）.從這個性質可以推出

④ 求法：當α較小時，分位點Fα（m,n）可直接從附表5中查得，而分位點F1-α（m,n）可通過上式查得（3）t分布

① 定義：設X1，X2相互獨立，且X1～N（0,1），為自由度為n的t分布，記為t～t（n），則稱的分布

② t分布的α分位點：當隨機變量t～t（n）時，對給定的α∈（0，1），稱滿足 P{t>tα（n）}= α的tα（n）為自由度為n的t分布的α分位點.③ t分布α分位點的性質：由于t分布的密度函數關于0對稱，則有t1-α（n）=-t α（n）.④ 求法：同上

（4）一些重要結論

定理：設x1, x2，?，xn是來自正態總體N（μ，σ）樣本，其樣本均值與方差分別為

和，則有 ①與s相互獨立；

②；

③.（推論6－1）

推理6－2 設x1, x2，?，xm是來自的樣本，y1, y2，?，yn是來自的樣本，記，其中，則有；特別的，若，則 推理6－3 在推理6－2的條件下，設，并記

則

第七章 參數估計

點估計的兩種常用方法

（1）替換原理和矩法估計

① 替換原理：替換原理常指如下兩句話：一是：用樣本矩替換總體矩；二是：用樣本矩的函數替換相應的總體矩的函數.② 矩估計的方法：根據替換原理，用樣本矩或樣本矩的函數對總體的矩或矩的函數進行估計。例如： 用樣本均值估計總體均值E（X），即用樣本二階中心矩估計總體方差，即；

；

用事件A的頻率估計事件A的概率等 極大似然估計

設總體的概率函數為p（x,θ），是參數θ，其中θ是一個未知參數或未知參數向量，的取值范圍，x1,x2,?xn是該總體的樣本，將樣本聯合概率函數記為，簡記為存在統計量，使得

則稱為樣本的似然函數.如果，則稱為θ的極大似然估計 計算方法：

① 構造似然函數；② 求似然函數的對數.由于似然函數是以乘積形式構成，對數函數是的單調增加函數，則似然函數的對數與其有相同的極值點，所以在求導數之前先求似然函數的對數；③ 用導數求似然函數對數的極值，得極大似然估計值

分別給出離散型隨機變量和連續型隨機變量的極大似然估計求未知參數 的估計 的步驟

（一）離散型隨機變量

第一步，從總體X取出樣本x1,x2,?,xn 第二步，構造似然函數

L（x1,x2,?,xn，）＝P（X＝x1）P（X＝x2）?P（X＝xn）第三步，計算ln L（x1,x2,?,xn，）并化簡 第四步，當＝時ln L（x1,x2,?,xn，）取最大值則取＝ 常用方法是微積分求最值的方法。

（二）連續型隨機變量

若X～f（x,）

第一步 從總體X取出樣本x1,x2,?,xn 第二步 構造似然函數

L（x1,x2,?,xn，）＝f（x1，）f（x2，）?f（xn，）第三步 計算ln L（x1,x2,?,xn，）并化簡

第四步 當＝時ln L（x1,x2,?,xn，）取最大值則取＝ 常用方法是微積分求最值的方法

二項分布：設總體X～B（1，P）即

抽樣x1,x2,?,xn，問最大似然法求

設P（A）＝，從總體X中

是最大點 ∴取

例抽樣n次A發生m次，則在x1，x2?xn中有m個1，其余為0，∴設總體X服從泊松分布p（），求的極大似然估計；

p（X=k）=解得的極大似然估計易知的矩估計亦為

設總體X服從指數分布E（），求的極大似然估計

X～E（）∴

設，即從中取樣x1，x2?xn，試用最大似然法求

若,從中抽樣x1，x2?xn，試用最大似然估計法求：，駐點，的極大似然估計為，給出的極大似然估計

極大似然估計的一個簡單而有用的性質：若是θ的極大似然估計，則對任一θ的函數

g（θ）, 它的極大似然估計為相合性 定義：設為未知參數，這就是極大似然估計的不變性。

是θ的一個估計量，n是樣本容量，若對

，則稱

為參數θ的相合估計 任何ε>0，有

是μ的相合估計； 是σ的相合估計；

也是σ的相合估計。

2相合性判定定理：設，則稱無偏性 定義：設

是θ

為參數θ的相合估計.的一個估計量，若，是θ的一個估計，θ的參數空間為，若對任意，有，則稱為θ的無偏估計；否則稱為有偏估計.解釋：無偏估計表示估計值與被估計量之間沒有系統偏差.幾個有用的結論 ①是的無偏估計 ②

即

是σ的漸進無偏估計；③s是σ的無偏估計；

不是gθ的無偏估計.2

2④ 若為θ的無偏估計，一般地，除gθ是θ的線性函數外，所以，無偏性沒有不變性。

有效性 定義：設一個，是θ的兩個無偏估計，如果對任意的比

有效.有，且至少有使上式的不等號嚴格成立，則稱解釋：這是在無偏估計中選擇更好的估計的評價標準。7.3 參數的區間估計

點估價的兩點不足：① 很難準確；② 沒有用數量表示的可信度。為此，引入區間估計 置信區間的定義：設θ為總體的未知參數，是由樣本x1，x2，?，xn給出的兩個統計量，若對于給定的概率1－α（0<α<1），有，則隨機區間[稱為置信下限，稱為置信上限.]稱為參數θ的置信度為1－α的置信區間，（3）解釋：參數θ落入區間[]的概率為1－α

（4）置信度與精度的關系

① 在樣本容量固定的條件下，置信度增大，將引起置信區間長度增大，使區間估計的精度降低；置信度減小，將引起置信區間長度減小，使區間估計的精度提高；

② 在置信度固定不變的條件下，樣本容量增大，將引起置信區間長度減小，區間估計的精度提高；反之，精度降低.步驟：① 選取合適的估計函數；② 根據置信度查表求上置信區間公式，求出置信區間.分位點；③ 根據樣本及相應的單正態總體參數的置信區間： 設總體X～N（μ，σ），x1，x2，?，xn為其樣本.2（1）σ已知時，μ的置信度為1－α的區間估計（2）σ未知時，μ的置信度為1－α的區間估計

.選擇統計量～，得到μ的置信度為1－α的置信區間為，其中，是σ的無偏估計

23.μ未知，σ的置信區間 2

.第八章 假設檢驗

統計假設檢驗中的一些基本概念

（1）參數檢驗與非參數檢驗

如果需要檢驗的量僅僅涉及總體分布的未知參數，則稱之為參數檢驗.這是本章講解的主要內容；如果涉及分布函數形式等時，則稱之為非參數檢驗.（2）原假設與備擇假設

引例中的假設H0，即正常情況下放棄H0是小概率事件，則稱H0為原假設或零假設；

與之相對立的是假設H1，稱之為備擇假設.兩個假設有且僅有一個為真.（3）檢驗統計量

引例中的，稱為檢驗統計量.對樣本數據進行加工并用來判斷是否接受原假設的統計量稱為檢驗統計量.檢驗統計量應滿足：①必須與統計假設有關；②當H0為真時，檢驗統計量的分布是已知的.（4）顯著水平

假設檢驗的基本理論根據是小概率原理，即小概率事件在一次試驗中幾乎不可能發生，根據這一原理，如果小概率事件不發生，則接受原假設，否則拒絕原假設。那么，確定多大范圍算作小概率呢？選擇一個小數α（0<α<1）作為標準，通常取0.05,0.01等，稱之為顯著水平，所以，假設檢驗問題要規定一個顯著水平α.（5）接受域與拒絕域

應用檢驗統計量及其分布和顯著水平，可以求出小概率事件發生和不發生的臨界值，即引例中的.此數值將統計量可能取值劃分為兩部分，一部分是原假設成立的取值范圍，稱為接受域；另一部分是使小概率事件發生的統計量取值范圍，即拒絕原假設的范圍，稱為拒絕域，本書用W表示.3.假設檢驗中的兩類錯誤

第一類錯誤是：在H0為真的情況下，樣本值落入拒絕域W，因而拒絕H0.這種錯誤也稱為“拒真”錯誤，犯這類錯誤的概率是α.第二類錯誤是：在H0為不真的情況下，樣本值落入接受域，因而接受H0.這種錯誤也稱為“取偽”錯誤，犯這類錯誤的概率是β.（2）如何減小犯錯誤的可能？

①犯兩類錯誤的概率是相互關聯的.當樣本容量n固定時，犯一類錯誤的概率的減小將導致犯另一類錯誤的概率增加.②要同時降低犯兩類錯誤的概率，只有增大樣本容量n.在實際使用中，只能采取折中方案.一般地，先控制α值，再盡可能減少β值，并把這一檢驗方法稱為顯著性水平為α的顯著性檢驗，簡稱水平為α的檢驗.4.假設檢驗的基本步驟（1）提出假設：根據實際問題提出原假設H0和備擇假設H1，要求H0與H1有且僅有一個為真.（2）選統計量：選擇適當的檢驗統計量，并在原假設H0成立的條件下確定該檢驗統計量的分布.（3）求拒絕域：根據給定的顯著水平α，查檢驗統計量的分布表，求出對應于α的臨界值，從而得到對原假設H0的拒絕域W.（4）作出決策：計算樣本的統計量的值，若落入拒絕域W，則認為H0不真，拒絕H0，接受備擇假設H1；否則，接受H0.1.u檢驗（在其他書上也稱Z檢驗）

（1）單正態總體，方差已知，均值的檢驗(小樣本情況下)

22設x1，x2，?，xn為正態總體N（μ，σ）的一個樣本，σ已知，欲檢驗假設H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0，其中，μ0為已知數.可選擇統計量，并且，在H0成立的條件下，u～N（0，1）.當給定的顯著水平為α時，查標準正態分布表求得臨界值絕域

.，從而得到拒（2）雙正態總體，方差已知，均值差的檢驗(小樣本情況下)

設總體X～，Y～，其中，已知，又x1，x2，?，xm和y1，y2，?，yn分別為X和Y的樣本，且相互獨立.欲檢驗 H0：μ1=μ2，H1：μ1≠μ2.～.當給定的顯著水平為α時，查標準正態分布表求得臨界值

.，從而得到拒絕域

（1）（2）由樣本觀察值計算統計量u的觀察值，若此數值落入拒絕域W內，則作出拒絕H0的決策，否則，接受H0.2.t檢驗

（1）單正態總體，方差未知，均值的檢驗

22設x1，x2，?，xn為正態總體N（μ，σ）的一個樣本，σ未知，欲檢驗假設 H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0.其中，μ0為已知數.2222由于σ未知，不能應用u檢驗.但是，由點估計知，s是σ的無偏估計，考慮用s代替σ，構造新的檢驗統計量 2

.當給定的顯著水平為α時，查t分布表求得臨界值

.，從而得到拒絕域

由樣本觀察值計算統計量t的觀察值，若此數值落入拒絕域W內，則作出拒絕H0的決策，否則，接受H0.（2）雙正態總體，方差未知，均值差的檢驗

設總體X～Y的樣本，且相互獨立.① 方差未知，但

.欲檢驗H0：μ1=μ2，H1：μ1≠μ2.構造如下檢驗統，Y～，x1，x2，?，xm和y1，y1，?，yn分別為X和計量

著水平為α時，查t分布表求得臨界值

～，從而得到拒絕域..當給定的顯

由樣本觀察值計算統計量t的觀察值，若此數值落入拒絕域W內，則作出拒絕H0的決策，否則，接受H0.（2）方差未知，但m=n（配對問題）.欲檢驗

H0：μ1=μ2，H1：μ1≠μ2.令 Zi=Xi-Yi，i＝1，2，?，n，由正態分布的可加性，Zi也服從正態分布總體的樣本，則有

E（Zi）=E（Xi-Yi）=μ1-μ2=d，2，上式中所設的d，σ均未知，但所設的假設等價于下述假設：H0：d=0，H1：d≠0.可構造檢驗統計量，其中，.在H0為真，從而得到時，t～t（n-1）.當給定的顯著水平為α時，查t分布表求得臨界值拒絕域

.由樣本觀察值計算統計量t的觀察值，若此數值落入拒絕域W內，則作出拒絕H0的決策，否則，接受H0.1.檢驗

單正態總體，均值未知，方差的檢驗

設x1，x2，?，xn為正態總體N（μ，σ）的一個樣本，μ未知，欲檢驗假設

HO：，H1：，其中，為已知數.由點估計知，s是σ的無偏估計，2

2即當HO為真時，s應該在σ附近波動，則22

應該在1附近波動；如果的值與1相比過大或過小，都應否定HO，因此構造檢驗統計量.由§6.3定理可知，當HO為真時，～.當給定的顯著水平為α時，查 分布表求得臨界值

.與，從而得拒絕域

由樣本觀察值計算統計量策，否則，接受HO.2.F檢驗

雙正態總體，均值未知，方差是否相等的檢驗

設總體X～，Y～

：的觀察值，若此數值落入拒絕域W內，則作出拒絕HO的決，x1，x2，?，xm和y，y2，?，yn分別為X和Y，：

.由于

和

分別為

和的樣本，且相互獨立.欲檢驗假設的無偏估計，當HO為真時，由§6.3定理的推論6－4可得到檢驗統計量，當HO為真時

.當給定的顯著水平為α時，查F分布表求得臨界值與，從而得拒絕域.由樣本觀察值計算統計量F的觀察值，若此數值落入拒絕域W內，則作出拒絕HO的決策，否則，接受HO.下面，討論單邊檢驗問題.（1）單正態總體，方差已知，均值μ的單邊檢驗

設x1，x2，?，xn為正態總體X～N（μ，σ）的一個樣本，σ已知，欲檢驗假設

HO：μ≤μO，H1：μ>μO，其中，μO為已知數.由于是μ的無偏估計，故當HO為真時，不應過大，若u過大，應拒絕HO，即，uα待定.根據前面講過的內容知，～，故待定數值，即臨界值uα應滿足

，其中，α為顯著水平，O<α<1.顯然，uα是標準正態分布的上，+∞）.α分位點，通過查標準正態分布表求得，從而得到拒絕域 W=（類似地，對于單邊假設檢驗問題： H0：μ≤μ0，H1：μ>μ0，仍取計量，得到拒絕域為 W=（-∞，）.為檢驗統（2）對于單正態總體，方差未知的情況。

設x1，x2，?，xn為正態總體X～N（μ，σ）的一個樣本，σ未知，欲檢驗假設

H0：，H1：

及 H0：，H1：，其中，為已知數.仍選擇檢驗統計量～，分別得到拒絕域 及.（3）兩個正態總體方差未知的情況。假設檢驗見表8－4.第九章 回歸分析，這就是Y與x之間的線性關系經驗公式.我們稱此式為Y關于x的一元線性回歸方程，稱此方程的直線為回歸直線，稱線的截距

為回歸系數，稱

為回歸常數，它是回歸直

則有

其中，.若引進記號，容易驗證，β0，β1的最小二乘估計

（i），；，有如下性質：

（ii），.由此結果知

，.

第二篇：概率論與數理統計復習重點

概率論與數理統計復習重點

第一章：概率的性質（尤其兩個事件的和，差公式和對立事件公式，獨立和互不相容的關系），全概率公式和貝葉斯公式（大題），獨立性。

第二章：離散型隨機變量的分布律的性質，；連續性隨機變量的概率密度的性質，分布函數的性質，隨機變量的函數的分布（大題）。

第三章：給定聯合概率密度求未知參數，求邊緣概率密度，判斷獨立性，求落在某區域內的概率（大題）。獨立的正態分布的線性組合仍然服從正態分布。

第四章：期望的性質，方差的性質，協方差和相關系數的性質，獨立不相關的關系，六個基本分布的期望方差，切比雪夫不等式做估計，離散型二維分布求相關系數（大題）。

第五章：中心極限定理近似計算（Laplace中心極限定理）（大題）

第六章：三個抽樣分布的構造，正態總體均值和方差的分布

第七章：點估計（尤其矩估計）（大題），單個正態總體均值的區間估計（大題），估計量的評選標準（無偏性，有效性）

第八章：區分第一類、第二類錯誤，單個正態總體均值的假設檢驗（大題）。

第三篇：概率論與數理統計

概率論與數理統計，運籌學，計算數學，統計學，還有新增的應用數學，每個學校情況不太一樣，每個導師研究的方向也不太一樣。看你報的哪個學校了~~ 贊同

數學的方向還是比較多的，比如金融，計算機，理科的方向 贊同

參看08年該校碩士招生簡章中的專業目錄及參考書目，先做到心里有數 09年的在08年7、8月份才能出 每年新的招生簡章都是在上一年的研究生招生錄取工作結束之后才能公布的 所以不要急 最早也要等到7月份 現在不要急 先按照08的看 一般兩三年之內不會有什么變化 即使有 也是在原有基礎上 增加或改動一兩本參考書的版本 不會有實質性的變動 而且 你如果現在就開始準備考研復習那就算比較早的了 一般從暑假開始復習就可以的 所以這個時期是基礎段復習可把精力主要放在英語上 強化英語考研詞匯是非常必要的 至于專業課 可以先按08的指定參考書初步復習等新的招生簡章出來 再進行有針對性地復習不用擔心萬一改動了我會不會白白看了 以一個過來人的經驗 知識儲備的越多越好 名校的試題往往不局限于指定參考書的范圍（樓主既然這么問了，這要好好慢慢的回答）

建議樓主考清華的經濟學研究生，清華的工科類要強于北大（個人意見）；2，清華現在要考考A版的數學對你的有點好處，但影響不大，復試對你有利。3，清華的專業課考的難都因人而異，初試復試考一樣的專業課,包括金融學（含國際金融、證券投資、投資市場、保險精算等，本專業所招人數最多）、國際經貿（研究生階段叫做世界經濟）、西方經濟學、財政學、政治經濟學專業;報考時可以隨意報考自己喜歡的專業，錄取時先全院統一錄取（按分數高低），再按分數與志愿選擇；專業課考的不是很難；（建議樓主去看下金融學基礎，復旦大學出版社簡稱白皮書，或許對你有幫助）4，清華經濟就業形勢就目前環境下就業非常棒，中國才處于開始階段，每年畢業生到各大銀行、金融機構、保險機構、證券公司、財政貨幣機關、國家機關及高校任職，待遇非常之高！

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因你是轉專業，再給你一點個人建議吧

一、慎重選擇：不要輕易下決定

不斷地學習不同領域的知識，是所有有求知欲的人們的美好愿望，然而，這同樣會成為朝三暮四的借口。

其實，很多考研人本來就存有逃避現實社會的壓力，而選擇繼續呆在學校的心理;而在跨專業考研的人中，更有許多人根本就沒有好好學過原來的專業，甚至從沒認真考慮過是否自己適合它，只為了逃避，才選個看起來容易的專業去考。

如果是這樣，請先停下來想想自己到底想要什么再說。因為一顆對待生活從不認真的心，是不會因為換了個專業就能有起色的。

如果不是這樣，那么，也請三思。就因為一直認真，這次更要謹慎。

首先，考研復習將是艱巨的歷程。隔行如隔山——這句古諺將貫穿之后的整個求學過程。自己原來的專業，再不濟也學了三四年，耳濡目染，基礎知識一定比沒學過的扎實，細節也許沒鉆研，但大的格局和概念、思維方式是存在于腦海中的，即使是每次考前一個月的突擊，突擊了四年，也不是沒有用的。這就是本專業對于外專業的一大優勢。反過來，即是跨專業者相對于本專業者的劣勢。

復習的時候，要花更多的時間在專業課上，使得基礎課很容易就被擱置了，而任何一科的掉隊，都會影響整個復習過程的心態和考試結果。

其次，備考中可能出現意想不到的困難。

不熟悉專業試題的答題慣例，會莫名其妙丟掉不該丟的分。而且，筆試通過了，復試中存在的不確定性因素，使跨專業者總是難以擁有“盡在掌握”的自信，而它確實也是難以“盡在掌握”的。

最后，也是最重要的，考上之后三年的研究生生活。

不管是面對基本功扎實的同學們，還是面對有一定要求和標準的導師，還是面對也許讓自己一時找不到坐標點的新求學生涯——如何給自己定位，如何重拾自信，如何建立對新專業的“新感情”，如何規劃以后的職業和人生，這都是需要付出比別人更多心力去克服的問題。所以，是否要轉變方向，換一個專業，需要尖銳嚴格地審視自身，而不是盲目跟風，可以考慮以下幾點：

是否真正熱愛將要為之付出心血的新專業?

長遠來看，這個新領域是否有自己的天賦和性格發揮的空間?

是否可以肯定學習三年之后真能豐富完善自己的知識結構，而不是剃頭擔子兩頭塌?最后也是最基本最當前的問題：基礎課是否有自身優勢?沒有優勢怎么撥得出更多的時間給專業課的復習?

二、審時度勢：了解自己，踏實去做

經過了自我的拷問，還堅定地要跨專業考研的朋友——相信你一定是個頭腦清醒、夢想堅定的人。

在此，我們不得不再次強調跨專業考研的理由和標準：第一，熱愛;第二，基于對自身才智和優勢短處進行全面評估而做出的決定;第三，要自信，更要不怕苦不怕累。

可以舉個例子。一個在學校并非不認真對待自己學業的考研人，在經過四年的學習之后，發現仍然不喜歡自己所學的數學專業，而愛好文史哲。如果基礎課英語政治還不錯，那么他就具備了考慮跨專業考研的最低要求。那么，接下來怎么確定專業呢?首先，看愛好。對新聞傳播、考古、文學皆有興趣，怎么辦?一個一個排除。對于新聞，多搜集資料，看作為一個新聞工作者需要什么樣的素質，比如，敏銳的新聞感、強烈的爭取和參與意識、健康的身體。直面自己的優缺點，如果有敏銳的新聞感，卻沒有強烈的爭取和參與意識，甚至都無法面對需要長時間的工作強度，那么放棄。對于考古，作同樣評估;另外，如果這時你的父母親反對你的考古夢想，請把他們的憂慮考慮進去，一意孤行并不可取，要考慮到家庭的實際情況;并且，父母也是了解你的人，他們對你的性格、天分其實很了解。那么如果你認為父母意見的可接受性大過你對于考古的熱忱，考古這一項，也被劃去。最后剩下文學，如果經過一系列評估，覺得可行，那么它之下還有很多專業細分，是中國文學還是世界、比較文學，是古代文學還是現當代文學?要根據自己平時看書的偏好、積累的多少、考試試題能否應付等等內在和外在的因素來決定。這些將和下一部分聯系起來談。

這只是一個例子，跨專業的方向轉變五花八門，幾頁紙不可能描述詳盡，我們只能通過這個例子，了解一下需要考慮和平衡的各方面因素。

當然，請牢記，內心的熱愛和對自己學習能力的自信在選擇中最為重要。有了這兩點，相

信你的選擇會是對你而言最好的選擇。這將是一個美麗的決定，決定之后，一定有云開見日的感覺。方向確定了，就朝著那兒毫不回頭地走吧。

三、報考準備：眼觀六路，耳聽八方

讓我們直接進入主題。

第一，細分專業和學校，確定報考目標。一定要看自己喜歡哪個城市，既然想借助這次的考研改變現狀開始一段新的求學歷程，一直想去哪個(或哪些)城市念書就不要將就。圈出大致范圍，再找到那里學校的招生簡章、專業招生表——網上查找或動用一切關系。特別要注意的是，你有意向的專業是否拒絕跨專業考生。在進行認真細致的對比之下確定兩到三個你想去的名校和你喜歡的專業。這一步可以和前面確定城市同時進行，每個人情況不同，自行制定每一步適合自己的計劃是必要的，而且能從中得到極大的充實感，總之，它讓我們感到：一切都在自己的控制之下。

然后，盡可能地多找一些這幾個可選學校可選專業的歷年試題，仔細研究，看看哪一類的試題自己更有把握。這一步至關重要，這一步不可省略也不可推后，它將直接影響到以后的考試發揮。經過這一步，學校和細分專業幾乎都能定下來了。

這一階段什么時候進行呢?越早越好。我們不提倡把戰線拉得太長，真正有效的復習從4月到次年1月足矣;然而跨專業不同，需要“醞釀”。可以不用過早開始真正的復習，但至少要比別人早兩個月到半年開始尋找學校、涉獵與新專業相關的期刊、書籍、尋找對于新專業的親近感和對于新學校新未來的向往感——這是真正復習開始的前站，用這段時間彌補跨專業的不足，在真正的戰役打響時，我們將更加堅定更有信心。

第二，專業課教材到位。前面把工作真正做到細致，4月份到5月份一定要定下最終要考的學校和專業。定下之后，就要相信自己的判斷，不要猶疑，快去買專業課教材!按照學校列出的書目買全專業課教材，還要找出一兩個能幫上忙師兄師姐、找同學、找親戚，甚至找網友去打聽沒有列出的那些。

這里有兩個問題：買書和找師兄師姐——自己能買到的書，盡量自己去買，有學校可以郵購，有書店可以搜尋，再不行，去圖書館系統或網上找出這本書的出版社，找到出版社電話，打電話、匯款去郵購。不要一開始就事事麻煩別人，自己能解決的自己找渠道解決。后面有更重要的事去麻煩他們。實在不行了，去找師兄師姐，最重要的是問題要明確。隨便說：“我要考你們學校某專業，請幫助我”是沒用的。要明確說出你的具體問題，要考哪些書，重點看哪些泛讀看哪些，打聽到哪里能買到自己卻沒辦法，請他們幫忙——聽到這么明確的問題，人人都會樂意幫忙。6月底之前，主要的專業課教材一定要到位。

第三，復習時要注意的問題。

首先，基礎課不能偏廢。前面說了，基礎課要有一定把握，才可能跨專業考研，否則到關鍵時刻就會感到分身乏術。在主攻專業課時，基礎課一天都不能停。可以用早晨、吃午飯前、吃晚飯前以及睡覺前的時間去復習英語：閱讀、單詞、聽力，一個都不能少。如果每天堅持，就是這些邊邊角角的時間都足夠英語的復習準備。政治也一樣，最好報一個秋季班，幾個月上下來，有老師領著復習，比自己摸索更有效率，大致的知識脈絡也會清晰起來了。請相信自己，從初中就開始學的這門課，不會差到哪里去，但也要在心里培養對它的興趣，一討厭它、擱置一段日子，一切都晚了;反過來，每天花兩個小時，只要堅持，就會既輕松又有成就感。

跨專業考生往往把一腔熱情放在專業課上，有意無意地就偏廢了基礎課，等發覺時間緊迫的時候，回頭一看基礎課落下一大截，這會大大影響后面沖刺和考試的信心。

其次，專業課復習。11月份報名之前一定要把專業書踏踏實實至少細讀一遍。這一遍不要欺騙自己，質量至上，一定要全部弄通弄懂。這樣在后面的兩個月才會更有底。

筆記一定要做。當11月報名時間來臨時，你會發現越來越多的人們討論起復習進度。那時候本專業考生和別的跨專業考生所做的準備和進度會讓你大驚失色——有那么多人準備得那么好!本來就對不熟悉的專業容易產生的“心虛”這個時候會更加強烈，那么回過頭總結一下自己的成果，只有實實在在密密麻麻的幾本筆記會成為自己的強心劑，數數看，幾本筆記，七八萬字是少不了的。加上政治英語，你會為自己所做的上10萬字的筆記而驚訝的。這是積聚信心、抬頭挺胸的重要來源。

四、全力復習：堅持到底，毫不畏懼

首先，研究歷年試題，自己劃重點。歷年試題非常非常重要，報名之前即11月初，一定要把學校相關專業的歷年試題弄到手。這需要積極調動網絡資源，自己能下載的下載，能買到的去買，最后一招：求助師兄師姐。這時提出的請求也一樣要盡可能明確。有一個女生，考某大學某專業，通過同學的同學的姐姐，找到一位師姐，打電話給她：“我知道你們學校圖書館五樓的閱覽室有歷年試題的專柜，可以借出來復印。請幫忙復印某年到某年某專業的??”該師姐大驚：“我都不知道有這樣一個地方，你怎么知道的?”這個女生慢慢說來，怎么從網上找到該學校專欄討論、怎么了解到的，師姐大開眼界，興趣高漲，幫她把相關專業能找到的試題全都復印一通寄去。

接下來就是更仔細地研究試題。只需要一個晚上時間，把歷年試題全都擺在桌面，總結規律和重點難點，老師出題的習慣等等。借此可以劃出下一步復習的重點(甚至是考試的重點)，不再一律通讀，而是有頭腦的、有目標的復習。不要怕系內老師改朝換代，再改也有一脈相承的科研風格，掌握了大體，以不變應萬變。

劃完重點，一股“運籌帷幄”的氣勢油然而生，趁著這股氣勢，投入到更深入的復習中去，一定事半功倍。

其次，為考試做準備，掌握專業答題習慣。在剩下的兩個月當中，一定要找點時間去學校的自己要考的專業宿舍混混，目的是了解專業答題有什么慣例、有什么特殊要求和需要注意的地方。隨便哪個學校都行，自己方便找的、正規的大學就可以;當然，方便的話，最佳選擇就是所考學校研一同專業學生宿舍，這樣就不僅了解試題情況，還可以挖掘更多這兩個月應該注意的問題。

考試的時候，和復習中所強調的一樣——一定要自信。要相信自己經過了周密的計劃、萬全的準備。拿到試卷的時候，要像熱愛專業書籍一樣熱愛它們，冷靜的頭腦，熱情的心靈，一定戰無不勝。

最后，就是復試了。關于導師是否要找，各有各的說法，能找到最好，沒找過的也不用惴惴不安。相信自己最重要。

其實接到復試通知書的時候，一般都沒有更多時間去擴展知識面了，這些是最初就應該做的。這時候跨專業考生常常擔心自己的基礎不夠，再次心虛。那么與其瞎抓一把，不如把以前看過的書拿出來再翻一遍，總有用得上的，做生不如做熟。對于某些領域的熟悉或精通，比泛泛而談更能顯出自己的特色。用真誠的微笑和哪怕是使勁鼓才能鼓起的信心和勇氣，去直面導師。好歹經過這一年的學習，我們也算復合型人才了，怕什么!

說到這里，整個過程看起來完了——其實沒有!拿到錄取通知書的時候，是一個開始。

進入研究生階段的學習，是一個更自主、更專業的學習過程，跨專業學生一踏入這片天地，肯定會受到沖擊。不熟悉的領域，老師覺得應該是常識自己卻聞所未聞的知識，難以找到的新生活定位??這些都要有心理準備。建議在5月到8月這段天堂般的生活中也不要忘記看看與專業相關的書籍(并非專業課本)，繼續打基礎，進入研究生生活根本沒有時間給你去打基礎。

總之，對于勇敢的考研人，繼續用韌性和信心，在開學前調養好身心，并不放棄不斷學習的好習慣，為進入一個新的求學生涯做好準備，都是必要的。相信這樣貫穿始終的準備，一定會迎來新的局面，實現挑戰人生充實自己的夢想。對生活認真，生活也會認真地回報你。要相信，要堅持。

第四篇：概率論與數理統計

《概率論與數理統計》公共基礎課教學實踐

1012502-31 湯建波

概率與數理統計在現實的牛產和生活中有著廣泛的應用，因此，《概率論與數理統計》作為公共課是很多專業所必修的。但是，由于這門課的學習方法與《微積分》《線性代數》等其他課程有著極大的差異，很多學生在學習過程中感到難以把握概念與理論，在遇到問題時不知如何人手。因此，筆者在總結這幾年教學實踐的基礎上，提出以下思考。

一、適度引入案例。形成生動教學及啟發性教學

概率論源于博弈，是賭博中的很多問題催生了概率論這門數學學科。在開課伊始，教師就適度引入觸發概率論的一些問題，如“De．mere”問題，“分賭金問題”等等，使學生在故事中不僅得到r課本里所沒有的歷史知識，而且無形中可以提高學習興趣，消弭一部分同學的畏難情緒。另外，再在隨后的教學過程中引入“彩票中獎問題”“蒙特卡羅法求訂法”“保險付賠問題”等等，引導學生了解、探索這門學科在現實中的應用，使學乍實現由知識向能力的轉化，從而增強學，F利用概率統計解決實際問題的“欲望”，促使他們更好地認識現實世界。

概念是概率課程中最基本的內容，對概念的理解程度直接影響學生對這門課程的學習與掌握程度。在教學中，應盡量從實際問題入手，先提出問題，接著在問題的分析和解決中抽象出概念，讓學生清楚概念的來龍去脈，而不是硬性給出定義，讓學生死記硬背。例如，在講述“事件”這個定義時，引入“衛瞿嫦娥二號將于2010年10月1日發射”這一現實中的“事件”在概率論中應該是“實驗”，而其結果“發射成功”才能算是概率論所定義的“事件”，這樣，在區別現實的“事件”與概率論所研究的“事件”基礎上，學生加深了對“事件”這一定義的理解。在闡明相互獨立和互不相容之間的區別有P(A)>0，P(B)>0時，A、B相瓦獨屯與互不相容是不能同時成立的，直觀上可以這樣解釋：相互獨立意味這

4、B其中一方發生與否并不影響另一方的發生，而互不相容意味著A、B只要其中一方發生了，另一方就一定不發生，所以這兩個關系不能同時存在。從公式上解釋是：P(A)>0，P(B)>0且A、B相互獨立，則P(AB)=P(A)P(B)>0，而如果A、B互不相容，則P(AB)=P(西)=0。但是只要有一方的概率為0，如，如果A=西，則A與B既相互獨立又互不相容，因為此時P(AB)=P(A)P(B)=0。綜上所述，相互獨立與互不相容并沒有必然的聯系。

而在區別“不相關”與“相互獨立”的區別時，可以通過舉例得知J]|f、y不相關不一定就獨立，因為X、l，之間有可能存在其他的函數關系，但是存在函數關系的隨機變量是否就不獨立了呢？答案是未必，例子如下：

考察隨機變量X、l，和Z：假定x與l，獨立月．都服從參數為P的(0—1)分布，令z為x與y的函數：

可以得到當P=1／2時，Z與X相互獨立。轉載于 無憂論文網 http://www.tmdps.cn

通過這些舉例，避免了學生將“獨立”和“互不相容”等同起來，又說明了“獨立”與“函數關系”之間的聯系。

二、課堂教學中注重數學思想的教育。培養學生建模能力

概率統計中的很多問題都可以歸結為同一類問題，數學模型就是這類事物共同本質的抽象。“數學建模”是指對于現實世界的一個特定對象，為了一個特定目的，根據特有的內在規律，做出一些必要的簡化假設，運用適當的數學工具，得到一個數學結構。數學模型在概率統計中的應用隨處可見，模型化方法貫穿本課程全過程，因此，在教學過程中應該注意培養學生抽象出問題的本質以建立起一般的數學模型的能力。

如“將n只球隨機地放入Ⅳ(N大于等于n)個盒子中去，求每個盒子至多有一只球的概率”與“班級同學生日各不相同”具有相同的數學模型。另外，還有古典概型、貝努利概型、正態分布等等這些都是生產生活中抽象出來的，在很多問題中都可以歸結為以上的模型。如以下兩個

：

例1，設有80臺同類型設備，各臺工作是相互獨立的，發生故障的概率都是0．01，且一臺設備的故障能由一個人處理。考慮兩種配備維修工人的方法，其一是由4人維護，每人負責20臺；其二是由3人共同維護80臺。試比較這兩種方法在設備發生故障時不能及時維修的概率的大小。

例2，保險公司在一天內承保了5000張相同年齡、為期1年的壽險保單，每人一份。在合同有效期內若投保人死亡，則公司賠付3萬元。設在一年內，該年齡段的死亡率為0．0015，且各個投保人是否死亡相互獨立。求該公司對于這批投保人的賠付總額不超過30萬元的概率。

以上兩個例子雖然不同，但都可以歸結為伯努利概型，利用二項分布解決。對這類模型，不應簡單地給出它的結果，而應注秀模型的建立、模型的應用范圍以及如何把實際問題轉化為有關的數學模型去解決。

三、適度引入多媒體教學及數據處理軟件。促進課堂教學手段多樣化

在概率統計教學中，實際題目信息及文字很多，“一支粉筆、一塊黑板，以講授為主”的傳統教學方法顯然已經跟不上現代化的教學要求，不利于培養學生的綜合素質和創新能力。因此，有必要借助于現代化媒體技術和統計軟件，制作內容、圖形、聲音、圖像等結合起來的多媒體課件。～方面，采用多媒體教學手段進行輔助教學，能夠將教師從很多重復性的勞動中解脫出來，教師可以將更多的精力和時間投入到如何分析和解釋問題，以提高課堂效率，與學生有效地進行課堂交流。另一方面，用圖形動畫和模擬實驗等多媒體作為輔助教學手段，便于學生對概念、圖形等的理解。如投幣試驗、高爾頓板釘實驗等小動畫在不占用太多課堂時間的同時，又增添了課堂的趣味性。又如在利用Mathematica軟件演示大數定律和中心極限定理時，就能將抽象的定理化為形象的直觀認識，達到一定的教學效果。在處理概率統計問題中，教師也會面對大量的數據，另外，集數學計算、處理與分析為一身的數據處理軟件如：Excel，Matlab，Mathematic，SAS，SPSS等，在計算一些冗長數據時可以簡化計算，降低理論難度。而且，在教師的演示過程中，能讓學生初步了解如何應用計算機及軟件，將所學的知識用于解決生產生活中的實際問題，從而激發他們學習概率知識的熱情，提高他們利用計算機解決問題的能力。

最后，在教學過程中，教師應該考慮到各個專業的學生今后學習與發展的需要，在滿足教學大綱的要求下，選擇與其專業關系緊密的知識點進行重點講授。同時，在講授過程中，本著以人為本的教學理念，注意多種方法靈活應用，建立積極的互動教學模式，盡量避免教師在課堂上滿堂灌、填鴨式地教學，充分調動學生學習的主動性，挖掘學生的學習潛能，最大限度地發揮和發展學生的聰明才智，使學生能理解概率統計這一學科領域思想方法的精髓。

論文參考文獻：

[1]盛驟，謝式千。潘承毅．概率論與數理統計[M]．北京：高等教育出版社，2009．

[2] 姜啟源．數學模型[M]．北京：高等教育出版社。2003：4—7．

[3] 徐鐘濟．蒙特卡羅方法[M]．上海：上海科學技術出版社，1985：171—188．

[4] 郝曉斌，董西廣．數學建模思想在概率論與數理統計課程教學中的應用[J]．經濟研究導刊，2010，90(16)：244—245．

[5]徐榮聰，游華．(概率論與數理統計)課程案例教學法[J]．寧德師專學報(自然科學版)，2008(2)：145—147．

第五篇：概率論與數理統計

概率論與數理統計

一、隨機事件和概率

考試內容

隨機事件與樣本空間 事件的關系與運算 完備事件組 概率的概念 概率的基本性質 古典型概率 幾何型概率 條件概率 概率的基本公式 事件的獨立性 獨立重復試驗

考試要求

1．了解樣本空間(基本事件空間)的概念，理解隨機事件的概念，掌握事件的關系及運算．

2．理解概率、條件概率的概念，掌握概率的基本性質，會計算古典型概率和幾何型概率，掌握概率的加法公式、減法公式、乘法公式、全概率公式，以及貝葉斯(Bayes)公式．

3．理解事件獨立性的概念，掌握用事件獨立性進行概率計算；理解獨立重復試驗的概念，掌握計算有關事件概率的方法.二、隨機變量及其分布

考試內容

隨機變量 隨機變量分布函數的概念及其性質 離散型隨機變量的概率分布 連續型隨機變量的概率密度 常見隨機變量的分布 隨機變量函數的分布

考試要求

1．理解隨機變量的概念，理解分布函數的概念及性質，會計算與隨機變量相聯系的事件的概率．

2．理解離散型隨機變量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二項分布、幾何分布、超幾何分布、泊松（Poisson）分布 及其應用．

3.了解泊松定理的結論和應用條件，會用泊松分布近似表示二項分布.4．理解連續型隨機變量及其概率密度的概念，掌握均勻分布、正態分布、指數分布及其應用，其中參數為 的指數分布 的概率密度為

5．會求隨機變量函數的分布．

三、多維隨機變量及其分布

考試內容

多維隨機變量及其分布 二維離散型隨機變量的概率分布、邊緣分布和條件分布 二維連續型隨機變量的概率密度、邊緣概率密度和條件密度隨機變量的獨立性和不相關性 常用二維隨機變量的分布 兩個及兩個以上隨機變量簡單函數的分布

考試要求

1．理解多維隨機變量的概念，理解多維隨機變量的分布的概念和性質.理解二維離散型隨機變量的概率分布、邊緣分布和條件分布，理解二維連續型隨機變量的概率密度、邊緣密度和條件密度，會求與二維隨機變量相關事件的概率．

2．理解隨機變量的獨立性及不相關性的概念，掌握隨機變量相互獨立的條件.3．掌握二維均勻分布，了解二維正態分布的概率密度，理解其中參數的概率意義．

4．會求兩個隨機變量簡單函數的分布，會求多個相互獨立隨機變量簡單函數的分布.四、隨機變量的數字特征

考試內容

隨機變量的數學期望（均值）、方差、標準差及其性質 隨機變量函數的數學期望 矩、協方差、相關系數及其性質

考試要求

1．理解隨機變量數字特征（數學期望、方差、標準差、矩、協方差、相關系數）的概念，會

運用數字特征的基本性質，并掌握常用分布的數字特征．

2.會求隨機變量函數的數學期望.五、大數定律和中心極限定理

考試內容

切比雪夫（Chebyshev）不等式 切比雪夫大數定律 伯努利（Bernoulli)大數定律 辛欽（Khinchine）大數定律 棣莫弗－拉普拉斯（De Moivre－laplace）定理 列維－林德伯格（Levy-Lindberg）定理

考試要求

1．了解切比雪夫不等式．

2．了解切比雪夫大數定律、伯努利大數定律和辛欽大數定律(獨立同分布隨機變量序列的大數定律)．

3．了解棣莫弗-拉普拉斯定理(二項分布以正態分布為極限分布)和列維-林德伯格定理(獨立同分布隨機變量序列的中心極限定理)．

六、數理統計的基本概念

考試內容

總體 個體 簡單隨機樣本 統計量 樣本均值 樣本方差和樣本矩分布分布分布 分位數 正態總體的常用抽樣分布

考試要求

1．理解總體、簡單隨機樣本、統計量、樣本均值、樣本方差及樣本矩的概念，其中樣本方差定義為：

2．了解 分布、分布和 分布的概念及性質，了解上側 分位數的概念并會查表計算．

3．了解正態總體的常用抽樣分布．

七、參數估計

考試內容

點估計的概念 估計量與估計值 矩估計法 最大似然估計法 估計量的評選標準 區間估計的概念 單個正態總體的均值和方差的區間估計 兩個正態總體的均值差和方差比的區間估計

考試要求

1．理解參數的點估計、估計量與估計值的概念．

2．掌握矩估計法（一階矩、二階矩）和最大似然估計法．

3．了解估計量的無偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并會驗證估計量的無偏性．

4、理解區間估計的概念，會求單個正態總體的均值和方差的置信區間，會求兩個正態總體的均值差和方差比的置信區間.八、假設檢驗

考試內容

顯著性檢驗 假設檢驗的兩類錯誤 單個及兩個正態總體的均值和方差的假設檢驗

考試要求

1．理解顯著性檢驗的基本思想，掌握假設檢驗的基本步驟，了解假設檢驗可能產生的兩類錯誤．

2．掌握單個及兩個正態總體的均值和方差的假設檢驗．

數學大綱和去年相比變化之處

從拿到大綱的情況來說，今年的大綱和往年是沒有什么變化，這一點和我前面所預測的是基本上一致的。當然大綱沒有變化，對大家也有一個好處，也就是大家可以按照原先的計劃，按步就班的走，不用考慮有一些計劃

調整等等這樣一類的東西。

2011年考試的難度是有一個怎樣的趨勢

至于難度，咱們要說2011年的難度，可以看一下這幾年的難度水平。數一2008，2009年的難度水平基本上是一致的，2010年的考試難度有一定的上升，我認為2011年難度水平應該有所下降。大綱沒有變，而考研是一個選拔性的考試，要求有一定的穩定性。所以，數一的同學，2011年的考試試題難度可能有所下降，水平和2008，2009是一致的。對數二和數三來說，水平應該和往年基本上是一致的。

2011年的考察重點會在哪個方面

由于今年考研大綱沒有變化，我們可以根據考試的一些要求，還有歷年考試真題的情況，咱們可以看一下歷

年考試的重難點。

咱們看高等數學部分，高等數學部分第一部分函數、極限連續這一塊，重點要求掌握兩個重要極限，未定式的極限、等價無窮小代換，這樣一些東西，還有一些極限存在性問題，間斷點的類型，這些東西在歷年的考察中都比較高，而我上課的時候一直給大家強調，考極限的話，主要考的是洛必達法則加等價無窮小代換，特別針對

數三的同學，這兒可能出大題。

第二部分是一元函數微分學，這塊大家主要處理這幾個關系，連續性，可導性和可微性的關系，掌握各種函數的求導方法。比如隱函數求導，參數方程求導等等這一類的，還有注意一元函數的應用問題，這也是歷年考試的一個重點。數三的同學這兒結合經濟類的一些試題進行考察。

一元函數微分學涉及面非常廣，題型比較多，而且這一部分還有一個比較重點的內容，就是出證明題。咱們知道中值定理是歷年經常考的一個考點，所用的主要方式就是構造輔助函數的方法進行證明。當然，這里還包含

一部分等式和不等式的證明，零點問題，以及極值和凹凸性。

多元函數微分學，這一塊內容實際上也是按照一元函數微分學的形式進行考察的，比如咱們求偏導數，先固定一個變量，給另一個變量求導數，歸根到底還是考察一元函數微分學。對多元函數微分學，大家還有一個內容

要掌握，連續性、偏導性和可微性，特別是抽象函數求二階導數和二階混合偏導這一類的題。

當然，還有一個問題，多元函數微分學的應用，主要牽扯兩方面，一個是條件極值，一個是最值問題。這兩

塊。

積分學包含兩塊，也就是一元函數積分學和多元函數積分學，對于一元函數積分學一個是不定積分和定積分的計算，對不定積分一定要非常熟練掌握基本運算，對于定積分除了掌握用不定積分計算的方式，還要注意用定

積分的性質，比如定積分的奇偶性，周期性，單調性等等。

還有一塊，定積分應用，主要考察面積問題，體積問題，或者說這塊和微積分的結合等等。對于數一的同學來說，咱們還牽扯到一塊，三重積分，曲線和曲面積分這兩塊，對于三重積分來說，大家主要掌握一些基本的，比如對球體、錐體、圓柱的積分，對于曲線和曲面積分主要掌握格林公式和高斯公式，利用格林公式把第二類曲線積分轉化成二重積分，利用高斯公式把曲面積分轉化成三重積分進行運算，這里有一個比較常考的知識點，曲

線積分與路徑無關，這個要作為一個主要的知識點進行掌握。

第四部分，就是微分方程，微分方程有兩個重點，一個是一元線性微分方程，第二個是二階常系數齊次/非齊次線性微分方程，對第一部分，大家掌握九種小類型，針對每一種小類型有不同的解題方式，針對每個不同的方程，套用不同的公式就行了。對于二階常系數線性微分方程大家一定要理解解的結構。另一塊對于非齊次的方程來說，大家要注意它和特征方程的聯系，有齊次為方程可以求它的通解，當然給出的通解大家也要寫出它的特征

方程，這個變化是咱們這幾年的一個趨勢。這一類問題就是逆問題。

對于二階常系數非齊次的線性方程大家要分類掌握。當然，這一塊對于數三的同學來說，還有一個差分方程的問題，差分方程不作為咱們的一個重點，而且提醒大家一下，學習的時候要注意，差分方程的解題方式和微方

程是相似的，學習的時候要注意這一點。

第五個，級數問題，主要針對數一和數三，有兩個重點，一個是常數項級數的性質，包括斂散性。

第二塊，牽扯到冪級數，大家要熟練掌握冪級數的收斂區間的計算，收斂半徑與和函數，冪級數展開的問題，要掌握一個熟練的方法來進行計算。對于冪級數求和函數它可能直接給咱們一個冪級數求它的和函數或者給出一

個常數項級數讓咱們求它的和，要轉化成適當的冪級數來進行求和。

關于線性代數這一塊，有這樣幾個重點的內容，一個是逆矩陣和矩陣的秩。第二個，向量的線性相關性和向量的線性表示。向量組合的相關性，這一塊極有可能考的類似于計算的證明題。比如讓咱們證明幾個向量線性無關。第三塊是方程組的解的討論，其中還包括有待定參數的解的討論，這塊的問題，往年也考得比較多。

第四塊特征值和特征向量的性質，以及矩陣的對角化。

第五塊，正定二次型的判斷。大家在學線代的時候，還要注意一個方向，就是線性代數各個章節的連貫性是比較強的，我們在復習總結的時候，特別是后期，對于這一塊內容要自己有一個總結，然后還可以看一看比如咱

們的復習全書或者復習指南這之類的書，在腦海中對線性參數的知識點要形成一個知識性框架。

概率統計這塊（數二不考），概率統計要注重這幾塊內容，一個是概率的性質與概率的公式，這一塊要求咱們非常熟練的掌握，比方說加法公式，減法公式，乘法公式，全概率公式和Bayes公式，這塊要非常熟悉的掌握。

還有一部分，古典概率和幾何概率，這塊大家掌握中等難度的題就可以了。

第二塊，一維隨機變量函數的分布，這個要重點掌握連續性變量的這一塊。這里面有個難點，一維隨機變量函數這是一個難點，求一元隨機變量函數的分布有兩種方式，一個是分布函數法，這是最基本要掌握的。另外是

公式法，公式法相對比較便捷，但是應用范圍有一定的局限性。

第三塊，多維隨機變量的聯合分布和邊緣分布還有條件分布，多維隨機變量的獨立性，這塊是考試的重點，當然也是一個難點。這塊還有一個問題要求大家掌握的，隨機變量的和函數和最值函數的分布。

第四塊，隨機變量的數字特征，這塊很重要，要記住一維隨機變量的數字特征都要記熟，數字特征很少單獨性考察，往往和前面的一維隨機變量函數和多維隨機變量函數和第六章的數理統計結合進行考察。特別針對數一的同學來說，考察矩估計和最大似然估計的時候會考察無偏性。

第五塊，參數估計這一點是咱們經常出大題的地方，這一塊對咱們數一，數二，數三的同學，包含兩塊知識點，一個是矩估計，一個是最大似然估計，這兩個集中出大題。數一的同學，咱們特別強調一點，考這個矩估計

或者最大似然估計，極有可能結合無偏性或者有效性進行考察。