第一篇：一次函數課題學習、_選擇方案__教案
19.3 課題學習選擇方案
（第1課時）
一、教學目標
（1）進一步了解一次函數的解析式和圖象在解決簡單實際中的應用．（2）嘗試解決最佳方案設計問題．建立函數模型解決實際問題.二、教學重點、難點: 重點：建立函數模型選擇最佳方案． 難點:建立函數模型選擇最佳方案．
三、教學過程：
活動一.方案設計: 問題1 怎樣選取上網收費方式？ 如下表給出A，B，C三種上寬帶網的收費方式。
選取哪種方式能節省上網費？
分析：1.哪種方式上網費是會變化的？哪種不變？ 答：A、B會變化，C不變
2.在A、B兩種方式中，上網費由哪些部分組成？ 答：上網費=月使用費+超時費 3.影響超時費的變量是什么？ 答：上網時間
4.這三種方式中有一定最優惠的方式嗎？ 答：沒有一定最優惠的方式，與上網的時間有關。設月上網時間為x，則方式A、B的上網費y1、y2都是x的函數，要比較它們，需在 x > 0 時，考慮何時
（1）y1 = y2；（2）y1 < y2；（3）y1 > y2.上網費=月使用費+超時費
5．在方式A中，超時費一定會產生嗎？什么情況下才會有超時費？ 答：超時費不是一定有的，只有在上網時間超過25h時才會產生． 當0≤x≤25時，y1=30；
當x＞25時，y1=30+0.05×60（x-25）=3x-45.合起來可寫為：
30,? 45.?3x???25)y1?x?(0(x＞25)6.你能自己寫出方式B的上網費y2關于上網時間 x之間的函數關系式嗎? 50,? 100.?3x???50)y2?x?(0(x＞50)7．方式C的上網費y3關于上網時間x之間的函數關系式呢? 當x≥0時，y3=120.8.你能在同一直角坐標系中畫出它們的圖象嗎? 解：略。
活動二.方案設計:問題2 怎樣租車？
某學校計劃在總費用2300元的限額內，租用汽車送234名學生和6名教師集體外出活動，每輛汽車上至少要有1名教師.現在有甲、乙兩種大客車，它們的載客量和租金如下表:(1)共需租多少輛汽車？(2)給出最節省費用的租車方案.分析:（1）從乘車人數的角度考慮租多少輛汽車條件 ①要保證240名師生有車坐，則汽車總數不能小于6輛 ②要使每輛汽車至少要有1名教師.則汽車總數不能大于6輛 ∴ 汽車總數只有6輛
（2）如果設租用 x 輛甲種客車，則租用乙種客車是（6-x）輛 根據租車費用（單位:元）是x的函數，可得y=400x+280（6-x）即 y=120x+1680 討論:x的取值范圍
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①保證240名師生有車坐則4≤x≤6 ②租車費不超2300元則0≤x＜6 ∴ x的取值范圍是4 ≤x ≤5即x=4或5兩種可能.為節省應選甲車4輛，乙車2輛方案.四、課堂小結：
歸納：解決含有多個變量的問題時,可以分析這些變量之間的關系,從中選取有代表性的變量作為自變量,然后根據問題的條件尋求可以反映實際問題的函數,以此作為解決問題的數學模型。
五、布置作業：
1.課堂：復習題19 第12、15題 2.家庭： 數學作業本。
——馮小龍
第二篇：一次函數課題學習、,選擇方案, 教學反思
一次函數課題學習---選擇方案 教學反思
各位領導老師下午好，我今天講的這節課是人教版八年級下冊第十九章一次函數的課題學習---選擇方案
一、教材分析：
《怎樣選擇較優方案》是人教版《數學》八年級下冊第19章一次函數課題學習的內容，通過分段定義函數及利用函數圖象解決簡單的實際問題的課題研究。本節內容是學生已經學過的一系列知識的延續與提高，比如由列代數式發展為確定一次函數解析式再發展為求分段函數；由列方程或不等次解決選優問題發展到利用一次函數及圖像解決選優問題再發展到利用分段函數解決選優問題。
二、學情分析：
在本節課前學生已學習一次函數性質及其圖像并經歷過綜合運用一次函數解決簡單實際問題．特別是上一課時學生經歷過兩種不同方案的選擇問題。這類問題解決大致有兩種辦法：一是建立各種方案的一次函數的解析式，直接將各個解析式作比較，化歸為解一元一次不等式或方程來解。二是畫各種函數的圖像，求出它們的交點坐標，然后把自變量劃分幾個較小范圍來比較各種方案的優劣，這為本節課提供了很好的知識、能力儲備。
三、教學目標及重難點分析：
根據教材的內容及其在教材體系中的作用和地位，確定本節課的教學目標如下： 知識目標：進一步了解一次函數的解析式和圖像在解決實際問題中的應用。能力目標：嘗試用圖解法解決簡單實際問題。培養學生合作能力。
情感目標：體驗數形結合數學思想和方法。讓學生了解數學來源于生活又服務生活。為了實現以上教學目標，確定本節課的教學重點是：用圖解法解決簡單實際問題．本節范例涉及到分段定義函數，在這種情況下畫函數的圖象，并形成圖解法思路有一定的難度，是本節教學難點。
四、教法選擇與學法指導
我認為在教學過程中，要善于調動學生的學習積極性，讓學生有很多的數學活動機會，關注學生的學習過程，結合本節課的特點，我選擇了“啟發式教學法、合作式教學法”。
根據教材的特點，為了更有效地突出重點，突破難點，我設計了以學生自主探究、小組合作交流為主的學習方式，啟發學生進行觀察、分析，讓學生積極主動的參與到數學模型的建立，同時給學生充分思考與討論時間及機會。再利用多媒體展示圖片、表格等，生動直觀分析問題，創設良好學習氛圍，引導學生積極參與。
五．教學過程設計
上課開始直接出示問題1上網交費問題，本例題解決需要學生一定的生活經驗。通過這三個
問題讓學生對這三種方案有了一定感性認識。同時為本節課突破難點做好準備。為了引導學生用函數思想解決本例題我呈現如下二個問題：
1、每種方案每月付費與什么有關？
2、能否用一次函數表示每月網費與上網時間的關系？ 學生的探索可能有較大的盲目性，精心設計的“問題串”可以給學生的探索提供適當的幫助，激發學生的求知欲．
因為是學生第一次接觸分段定義函數教師做好示范。A方案有教師示范，引導學生比較本題與上一節課求一次函數有什么區別。B，C方案由學生獨立完成。給學生積極參與機會。
同樣教師在坐標系中畫出A方案圖，做好示范。學生在同一直角坐標系中畫出B方案圖象。給學生參與例題解決機會。
師生共同完成圖像后，為了引導學生利用圖像分析選優問題，讓學生會看圖我設計如下問題。師問：
1、圖中出現交點坐標代表什么意義？
2、如何求出這個交點坐標？
3、交點坐標前面部分圖象表示什么意義，后面部分圖象表示什么意義？ 最后師生總結：用圖解法解題過程：
1、審題求出解析式。
2、畫圖
3、求出交點
4、根據局部圖像做出較優方案結論。接著出示問題2（租車問題）
首先引導學生：租車方案就是問：租用甲種客車多少輛？乙種客車多少輛？
并請學生思考：影響費用的變量是什么？它與費用之間有什么關系？
從而讓學生通過合作交流能夠：明確研究的是租車費用和租用甲種客車數量之間的關系，并找到兩個變量之間的函數關系式，突出教學重點（1），也滲透了建模的數學思想。
具體操作：
求范圍即找到x的上限和下限，它們分別體現在題目中什么地方？（下限：240名師生都有車坐，則六輛車的座位總數大于等于240。上限：費用不超過2300元）。
然后引導學生根據分析列式求解，最終確定自變量的取值范圍。
在以上環節的基礎上，學生基本具備了分析確定函數最值的能力，所以直接由各小組合作完成，并展示成果，我再加以評價。
小組展示后，師生共合作。
最后總結本節課解決此類問題的方法
在本節課的教學中，一定存在著很多不足之處，懇請各位領導老師指正
第三篇：課題學習——選擇方案⑴教學反思
本學期非常榮幸地被挑選參加區里青年教師講課比賽，剛接到任務時，其實心里還是感到很大壓力，除了來至比賽的壓力，更是要教別人的學生，而對于他們真的是一無所知，我們之間能有默契嗎？在比賽前一天我終于接到比賽的內容了，居然是一次函數最后一節的內容：課題學習——選擇方案，課題學習——選擇方案⑴教學反思。
走進新課堂，我不斷反思自己的教學實踐，做到在實踐中反思，在反思后實踐，新課程理念如何轉化為教學行為始終讓我在思考，在嘗試，究竟怎樣教會學生，使復雜的數學問題簡單化呢？尤其是上好“課題學習”。
“數學課題學習” 我想是在老師的指導下，通過學生自主活動，以獲得直接經驗和培養實踐能力的課程。它可以彌補數學學科實踐能力的不足，加強實踐環節，重視數學思維的訓練，促進學生興趣、個性、特長等自主和諧的發展，從而全面提高學生的數學素質。它提倡的是參與探索、思考、實踐的學習方式，真正體現了新課程理念所倡導的自主、探究、合作交流的學習方式。
在備課組老師的熱心指導和幫助下，整節課我個人感覺還是比較滿意的，學生各有所獲。下面就談談本人這堂公開課的教學反思：
一、反思本課教學過程的成功之處：
（1）本節課指導思想正確，達到了以下目的：
①鞏固一次函數知識，會運用函數關系解決相關實際問題．
②會把選擇方案的實際問題轉化為數學模型，再通過函數統一起來使用，利用函數的解析式與圖象，并結合方程，不等式來解決實際問題。
精心設計教學程序，讓學生自己經歷“問題情境——分析研究——建立模型——解釋應用”的過程，體驗數學與現實生活的聯系。
（2）新課開始先利用了豐富的實際情景
（如圣誕大餐準備炸雞翅，是直接去麥當勞6塊/對，還是選擇自己加工；寒假的旅行路線多家旅行社各自采取不同的打折優惠，又如何選擇），引起學生的興趣，使學生更積極地參與到教學中來，因為情境熟悉，也能快速地與學生產生共鳴，教學反思《課題學習——選擇方案⑴教學反思》。創設了輕松和諧的教學環境與氛圍，師生互動較好，使學生主動開動思維，利用已有的知識順利的解決這這些選擇方案的問題。
（3）而對于教學中的重點例題，注意到利用問題串的形式，將難點分散，層層遞進，逐步讓學生掌握選擇方案的一般方法。
在講解例題的同時，試著讓學生利用圖象解決問題，培養學生數形結合的思想，并提示學生注意自變量在實際情境中的取值范圍問題。教學中還注意到尊重學生的個體差異，使每個學生都學有所獲。
（4）最后通過鞏固練習，訓練了學生靈活應用函數的知識解決問題的能力。
小結中讓學生體會到利用一次函數解決實際問題，關鍵在于建立數學函數模型。從總體看整個教學環節也比較完整。
教學時，能夠達到三維目標的要求，突出重點把握難點。能夠讓學生經歷數學知識的應用過程，關注對問題的分析過程，讓學生自己利用已經具備的知識分析實例。用函數的觀點處理實際問題的關鍵在于分析實際情境，建立函數模型，并進一步提出明確的數學問題，注意分析的過程，即將實際問題置于已有的知識背景之中，用數學知識重新理解（這是什么？可以看成什么？），讓學生逐步學會用數學的眼光考察實際問題。同時，在解決問題的過程中，要充分利用函數的圖象，滲透數形結合的思想。
二、反思本課教學過程的不足之處：
1．給學生自己思考的時間少了一些。
沒有留有足夠的時間讓他們在思考后進行合作交流，若能變“知識課堂”為“生活課堂”，讓他們“邊參與、邊應用、邊體驗、邊評價”貫穿于整個過程之中，應該更能激發學生探究的積極性。
2．回答問題對象選擇的盲目性。
在講解例題、練習時，讓學生回答，我沒有課前選好對象。什么時候差生答，什么時候中等生，什么時候尖子生，應該有所選擇。進而發現為什么學生這樣思考，也就是發現問題的真正所在。
三、反思本課教學過給以后教學的啟示：
1.“課題學習”應該強調學生的自主探索、合作交流和動手實踐。
這也是數學課題學習課的精髓，因而真正讓學生“動”起來是上好數學課題學習課的核心要素。因此，課前準備十分重要。它包括必要的資料查找、必要的實情調查及體驗、必要的教具學具的準備、必要的相關知識準備。
2.應突出數學教學在活動中進行，即“數學+活動”。
活動中既包括操作性活動（動手），也包括觀念性活動（動腦）。學生通過“做一做、議一議、讀一讀”等形式，在“做中學”，“學中做”，導、學、做三合一，讓學生在活動中感受到學習的快樂。
3.應突出注意根據學生的個性差別，允許學生在活動中興趣轉移，以滿足學生多種興趣愛好的需求，適應每個學生不同發展的需要，讓每一個學生都能“動”有所得。
4．在評析問題時,留給學生反思的時間。教給學生掌握方法，積極引導學生整理思維過程，確定解題關鍵，回顧解題思路，概括解題方法，使解題的過程清晰、思維條理化、精確化和概括化。鼓勵學生在獲取知識后反思學習過程，分析具體解答中包含的數學基本方法，從中提煉出應用范圍的數學思想；在分析解題方法中引導學生分析解題方法的優劣，優化解題過程，努力尋找解決問題的最佳方案。
以上僅是我課后的一些反思，而數學“課題學習”課，是近年來我國數學新課程標準中增設的一個嶄新的課題。所以我們不僅要積極鉆研教材，發掘教材中的研究性課題，而且善于引導從多個方面選擇研究的學習，激發并喚起學生的學習興趣，點燃學生智慧的火花，使學生的探究能力和創新能力得到充分發展。
第四篇：《14.4課題學習選擇方案》教學設計
《14．4 課題學習選擇方案》教學設計
城關中學
趙新成
教學目標：
（一）教學知識點
１．鞏固一次函數知識，靈活運用變量關系解決相關實際問題．
２．熟練掌握一次函數與方程，不等式關系，有機地把各種數學模型通過函數統一起來使用，提高解決實際問題的能力．
（二）能力訓練要求
經歷活動過程，讓學生認識數學在現實生活中的意義，發展學生運用數學知識解決實際問題的能力．
（三）情感與價值觀要求
１．體會數學與生活的聯系，了解數學的價值，增強對數學的理解和學好數學的信心．
２．認識數學是解決實際問題的重要工具，了解數學對促進人類理性精神的作用．
教學重點
1.建立函數模型。２.靈活運用數學模型解決實際問題。
教學難點：
運用一次函數知識解決實際問題．
教學方法：
自主─合作，思考─交流．
教具準備：
多媒體演示．
教學過程：
（一）復習檢查
1一次函數一般形式如何表示? 圖象是什么？K和b有什么意義？你知道它的哪些性質？
2一次函數和正比例函數的聯系和區別是什么?
（一）激趣導學
在前面我們學習了有關一次函數的一些知識，認識了變量間的變化情況，利用函數觀點把方程（組）、不等式有機地統一起來，使我們解決實際相關問題時更方便了。通過今天的幾個專題的學習，同學們可以體會到如何運用一次函數選擇最佳方案，體會到數學與生活的聯系非常緊密。我也想信同學們個個都是解決問題的能手，祝同學們學習快樂。
（三）所得展示
專題一
哪種燈省錢中的一次函數
小剛家蓋起了一座三層樓房，現正在裝修，準備安裝照明燈，他和他父親一起去燈具店買燈具，燈具店老板介紹說：一種節能燈的功率是10瓦(即0.01千瓦)的,售價60元．一種白熾燈的功率是60瓦(即0.06千瓦)的,售價為3元．兩種燈的照明效果是一樣的．使用壽命也相同（3000小時）。父親說：“買白熾燈可以省錢。”而小剛正好讀八年級，他在心里默算了一下說：“還是買節能燈吧”．父子二人爭執不下，如果當地電費為0.5元／千瓦.時。請聰明的你幫助他們選擇哪種燈可以節省費用呢？
1.設照明時間是X小時，請用含X的代數式分別表示用一盞節能燈的費用Y1（元）和一盞白熾燈的費用Y2（元）？［燈的費用=燈的售價+電費，電費=0.5×燈的功率（千瓦）×照明時間（小時）］
2.小剛想在這兩種燈中選購一盞
（1）
當照明時間是多少時，使用兩種燈的費用一樣多？（Y1——Y2-）
（2）
當照明時間在什么范圍內，選用白熾燈費用低？
（Y1——Y2-）
（3）
當照明時間在什么范圍內，選用節能燈費用低？
（Y1——Y2-）
3.在同一坐標系畫出兩個函數圖象，根據圖象討論（2）的結果。
4.小剛想在這兩種燈中選購兩盞
假定照明時間是3500小時，使用壽命是3000小時，請你幫他設計一種費用最低的選燈方案，并說明理由。
【變式訓練】
旅游中的一次函數
學校準備去白云山春游，甲、乙兩家旅行社原價都是每人60元，且都表示要優惠。甲旅行社表示全部8折收費，乙旅行社表示，全部9折收費，但同時免去2個老師的費用。
（1）請分別寫出選擇甲、乙兩家旅行社的費用Y（元）與人數X（人）間的函數關系式，并在同一坐標系中畫出兩函數的圖象。
（2）根據圖象判斷組織多少人春游選擇甲旅行社合算？ 專題二 租車中的一次函數
某學校計劃在總費用2300元的限額內，利用汽車送234名學生和6名教師集體外出活動，每輛汽車上至少有1名教師。現有甲、乙兩種大客車，它們的載客量和租金如表：
甲種客車
乙種客車
載客量（單位：人/輛）
租金
（單位：元/輛）
400
280
（1）共需租多少輛汽車？
（2）給出最節省費用的租車方案。
分析填空:題目要求（1）要保證240名師生有車坐（2）要使每輛汽車上至少要有1名教師
1.根據（1）可知，汽車總數不能小于＿＿＿＿；根據（2）可知，汽車總數不能大于＿＿＿。綜合起來可知汽車總數為
＿＿＿＿＿。
2.設租用x輛甲種客車，則租車費用y（單位：元）是 x 的函數，即
y=___________________化簡為： y=___________________
討論填表:根據問題中的條件，自變量x和y 的取值應有幾種可能？
甲車45/輛
乙車/30輛
總人數(240)
總費用(y≤2300)
0
為使240名師生有車坐，x不能 小于＿＿＿＿；為使租車費用不超過2300元，X不能超過＿＿＿＿。綜合起來可知x 的取值為＿＿或＿＿。
在考慮問題的基礎上，你能得出幾種不同的租車方案？為節省費用應選擇其中的哪種方案？試說明理由。
【變式訓練】
環保中的一次函數
為了保護環境，某企業決定購買10臺污水處理設備，現有A、B兩種型號的設備，其中每臺的價格、月處理污水量如下表：經預算,該企業購買設備資金不高于105萬元。
A型
B型
價格（萬元/臺）
12×___臺
10×___臺
處理污水量（噸/月）
240
200
（1）求購買設備的資金Y萬元與A型X臺的函數關系，并設計該企業有幾種購買方案？
（2）若企業每月的污水量為2040噸，應選擇哪種購買方案既能處理完污水又能節省費用？
（四）點撥小結
方法總結
1、建立數學模型——列出兩個函數關系式（設出變量，有時需要列表格）
2、通過解不等式或利用圖象來確定自變量的取值范圍。
3、選擇出最佳方案。
課堂小結本節課你有哪些收獲？
（五）基礎練習
某單位要印刷一批北京奧運會宣傳資料，在需要支付制版費600元和每份資料0.3元印刷費的前提下，甲、乙兩個印刷廠分別提出了不同的優惠條件，甲印刷廠提出：凡印刷數量超過2000份的，超過部分的印刷費可按9折收費，乙印刷廠提出：凡印刷數量超過3000份的，超過部分印刷費可按8折收費。根據印刷數量大小，請討論該單位到哪家印刷廠印刷資料可獲得更大優惠？
（六）拓展延伸
專題三
調水中的一次函數 從A,B兩水庫向甲乙兩地調水，其中甲地需水15萬噸，乙地需水13萬噸，A,B兩水庫各可調水14萬噸，從A地到甲地50千米，到乙地30千米，從B地到甲地60千米，到乙地45千米。設計一個調運方案，使得水的調運量（單位：萬噸×千米）最小
甲
乙
總計
A
x
14-x
B
15-x
x-1
C
【變式訓練】
調運中的一次函數
A城有肥料200噸，B城有肥料300噸，現要把這些肥料全部運往C、D兩鄉。從A城往C、D兩鄉運肥料的費用分別為每噸20元和25元；從B城往C、D兩鄉運肥料的費用分別為每噸15元和24元，現C鄉需要肥料240噸，D鄉需要肥料260噸，怎樣調運總運費最少
（七）課后反思
第五篇：一次函數教案
一、要點解讀
1,知識總攬
一次函數是函數大家族中的主要成員之一,是研究兩個變量和學習其它函數的基礎,它的表達式簡單,性質也不復雜,但在我們的日常生活中的應用卻十分廣泛,與其它函數的聯系也十分密切,許多實際問題只要我們注意細心觀察,認真分析,及時將問題轉化為一次函數模型,再得用一次函數的性質即可求解.2,疑點、易錯點
(1)若兩個變量x、y間的關系式可以表示成y=kx+b(k≠0),則稱y是x的一次函數.特別地,當b=0時,稱y是x的正比例函數,就是說,正比例函數是一次函數的特例,而一次函數包含正比例函數,是正比例函數一定是一次函數,但一次函數不一定是正比例函數.如y=-x是正比例函數,也是一次函數,而y=-2x-3是一次函數,但并不是正比例函數.因此,同學們在復習時一定要注意正確理解正比例函數和一次函數的概念,注意掌握它們之間的區別和聯系.(2)一次函數的圖象是一條直線,它所經過的象限是由k與b決定的,所以在復習鞏固一次函數的性質時可以通過函數圖象來鞏固,從而可以避免因k與b的符號的干擾.如,在如圖中,表示一次函數y=mx+n與正比例函數y=mnx(m、n是常數且mn≠0)圖象是()對于兩不同函數圖象共存同一坐標系問題,常假設某一圖象正確而后根據字母系數所表示的實際意義來判定另一圖象是否正確來解決問題.例如,假設選項B中的直線y=mx+n正確則m<0,n>0,mn<0則正比例函數y=mnx則應過第二、四象限,而實際圖象則過第一、三象限,所以選項B錯誤.同理可得A正確.故應選A.(3)雖然一次函數的表達式簡單,性質也并不復雜,且一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象是一條直線,它的位置由k、b的符號確定.但是,涉及實際問題的一次函數圖象與自變量的取值范圍,畫出來的圖象不一定是直線,可能是線段或其他圖形,這一點既是學習一次函數的疑點,也是難點,更是解題量的易錯點.如,拖拉機開始工作時,油箱中有油40L,如果每小時耗油5L,那么工作時,油箱中的余油量Q(L)與工作時間t(h)的函數關系用圖象可表示為()依題意可以得到油箱中的余油量Q(L)與工作時間t(h)的函數關系為Q=40-5t,就這個一次函數的解析式而言,它的圖象是一條直線,所以不少同學就會選擇A,而事實上,自變量t有一個取值范圍,即0≤t≤8,所以正確的答案應該選擇C.二、思想方法
復習一次函數這一章的知識一定注意數學思想方法的鞏固.具體地說,一次函數的知識涉及常見的思想方法有:(1)函數思想
所謂的函數思想就是用一個表達式將兩個變量表示出來其兩個變量之間是一個對應的關系.確定兩個變量之間的關系和列一元一次方程解應用題基本相似,即弄清題意和題目中的數量關系,找到能夠表示應用題全部含義的一個相等的關系,根據這個相等的數量關系式,列出所需的代數式,從而列出兩個變量之間的關系式.例1 長方形的長是20,寬是x,周長是y.寫出x和y之間的關系式.簡析(1)由長方形的周長公式,得y=2(x+20)=2x+40;說明 在依據題意寫出兩個變量之間的關系式時,會經常用到以前學到的各種公式,所以對以前常用的公式我們要熟練掌握,分析每一個公式的結構特征,做到運用自如,方可避免常見錯誤.(2)數形結合思想
數形結合就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系,既分析其代數含義,又揭示其幾何意義,使問題的數量關系巧妙、和諧地結合起來,通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想.例2 某博物館每周都吸引大量中外游客前來參觀.如果游客過多,對館中的珍貴文物會產生不利影響.但同時考慮到文物的修繕和保存等費用問題,還要保證一定的門票收入.因此,博物館采取了漲浮門票價格的方法來控制參觀人數.在該方法實施過程中發現:每周參觀人數與票價之間存在著如圖2所示的一次函數關系.在這樣的情況下,如果確保每周4萬元的門票收入,那么每周應限定參觀人數是多少?門票價格應是多少元? 解 設每周參觀人數與票價之間的一次函數關系式為y=kx+b.由題意,得 解得
所以y=-500x+12 000.而根據題意,得xy=40 000,即x(-500x+12 000)=40 000,x2-24x+80=0, 所以方程變形為(x-12)2=64,兩邊開平方求得x1=20,x2=4.把x1=20,x2=4分別代入y=-500x+12 000中得y1=2 000,y2=10 000.因為控制參觀人數,所以取x=20,y=2 000.即每周應限制參觀人數是2 000人,門票價格應是20元.說明 本題中得到方程x2-24x+80=0,雖然沒有學過不會解,但通過適當變形還是可以求解的.(3)待定系數法
待定系數法是確定代數式中某項系數的數學方法.它是方程思想的具體運用.例3 為了學生的身體健康,學校課桌、凳的高度都是按一定的關系科學設計的.小明對學校所添置的一批課桌、凳進行觀察研究,發現它們可以根據人的身長調節高度.于是,他測量了一套課桌、凳上相對應的四檔高度,得到如下數據: 第一檔 第二檔 第三檔 第四檔
凳高x(cm)37.0 40.0 42.0 45.0 桌高y(cm)70.0 74.8 78.0 82.8(1)小明經過對數據探究,發現:桌高y是凳高x的一次函數,請你求出這個一次函數的關系式(不要求寫出x的取值范圍);(2)小明回家后,測量了家里的寫字臺和凳子,寫字臺的高度為77cm,凳子的高度為43.5cm,請你判斷它們是否配套,說明理由.解(1)設y=kx+b(k≠0),依題意得 解得
所以這個一次函數的關系式y=1.6x+10.8;(2)當小明家寫字臺的高度y=77cm時,由(1)中的一次函數的關系式y=1.6x+10.8得77=1.6x+10.8,解得x=41.375<凳子的高度43.5cm,所以小明家的寫字臺和凳子的高度是不配套的.說明 對于(2)中的問題也可以利用凳子的高度x,求出寫字臺的高度y,再與77cm比較.由此,用待定系數法求一次函數的解析式的方法可歸納為:“一設二列三解四還原”.就是說,一設:設出一次函數解析式的一般形式y=kx+b(k≠0);二列:根據已知兩點或已知圖象上的兩個點坐標列出關于k、b的二元一次方程組;三解:解這個方程組,求出k、b的值;四還原:將已求得
(4)方程思想
方程思想即將問題中的數量關系運用數學語言轉化為方程模型加以解決.方程思想是最重要的一種數學思想,在數學解題中所占比重較大,綜合知識強、題型廣、應用技巧靈活.從例
1、例2和例3中,我們都可以看出用到了方程思想求解.三、考點解密
(所選例題均出自2006年全國部分省市中考試卷)考點1 確定自變量的取值范圍
確定函數解析式中的自變量的取值范圍,只需保證其函數有意義即可.例1(鹽城市)函數y= 中,自變量x的取值范圍是.分析 由于函數的表達式是分式型的,因此必需保證分母不等于0即可.解 要使函數y= 有意義,只需分母x-1≠0,即x≠1.說明 確定一個函數的自變量的取值范圍,對于函數是整式型的可以取任何數,若是分數型,只需使分母不為0,對于從實際問題中求出的解析式必須保證使實際問題有意義.考點2 函數圖象
把一個函數的自變量x與對應因變量y的值分別作為點的橫坐標和縱坐標,在直角坐標系內描出它的對應點,所有這些點組成的圖形叫做函數函數圖象.例2(泉州市)小明所在學校離家距離為2千米,某天他放學后騎自行車回家,行駛了5分鐘后,因故停留10分鐘,繼續騎了5分鐘到家.如圖1中,哪一個圖象能大致描述他回家過程中離家的距離s(千米)與所用時間t(分)之間的關系()分析 依據題意,并觀察分析每一個圖象的特點,即可作出判斷.解 依題意小明所在學校離家距離為2千米,先行駛了5分鐘后,因故停留10分鐘,繼續騎了5分鐘到家,即能大致描述他回家過程中離家的距離s(千米)與所用時間t(分)之間的關系只有D圖符合,故應選D.說明 求解時要充分發揮數形結合的作用,及時從圖象中捕捉求解有用的信息,并依據函數圖象的概念對圖象作出正確判斷.考點3 判斷圖象經過的象限
對于一次函數y=kx+b:①當k>0,b>0時,圖象在第一、二、三象限內;②當k>0,b<0時,圖象在第一、三、四象限內;③當k<0,b>0時,圖象在第一、二、四象限內;④當k<0,b<0時,圖象在第二、三、四象限內.特別地,b=0即正比例函數y=kx有:①當k>0時,圖象在第一、三象限內;②當k<0時,圖象在第二、四象限內.例3(十堰市)已知直線l經過第一、二、四象限,則其解析式可以為___(寫出一個即可).分析 由題意直線l經過第一、二、四象限,此時滿足條件的解析式有無數個.解 經過第一、二、四象限的直線有無數條,所以本題是一道開放型問題,答案不唯一.如:y=-x+2,y=-3x+1.等等.說明 處理這種開放型的問題,只要選擇一個方便而又簡單的答案即可.考點4 求一次函數的表達式,確定函數值
要確定一次函數的解析式,只需找到滿足k、b的兩個條件即可.一般地,根據條件列出關于k、b的二元一次方程組,解出k與b的值,從而就確定了一次函數的解析式.另外,對于實際問題可妨照列方程解應用題那樣,但應注意自變量的取值范圍應受實際條件的制約.例4(衡陽市)為了鼓勵市民節約用水,自來水公司特制定了新的用水收費標準,每月用水量,x(噸)與應付水費(元)的函數關系如圖2.(1)求出當月用水量不超過5噸時,y與x之間的函數關系式;(2)某居民某月用水量為8噸,求應付的水費是多少?
分析 觀察函數圖象我們可以發現是一條分段圖象,因此只要分0≤x≤5和x≥5求解.解(1)由圖象可知:當0≤x≤5時是一段正比例函數,設y=kx,由x=5時,y=5,得5=5k,即k=1.所以0≤x≤5時,y=x.(2)當x≥5時可以看成是一條直線,設y=k1x+ b由圖象可知 解得 所以當x≥5時,y=1.5x-2.5;當x=8時,y=1.5×8-2.5=9.5(元).說明 確定正比例函數的表達式需要一個獨立的條件;確定一次函數的表達式需要兩個獨立的條件.對于在某個變化過程中,有兩個變量x和y,如果給定一個x值,相應地就確定了一個y值.在處理本題的問題時,只需利用待定系數法,構造出相應的二元一次方程組求解.另外,在處理這類問題時,一定要從圖形中獲取信息,并把所得到的信息進行聯系處理.考點5 比較大小 利用一次函數的性質可以比較函數值的大小,具體地應由k的符號決定.例5(青島市)點P1(x1,y1),點P2(x2,y2)是一次函數y=-4x+3 圖象上的兩個點,且 x1
對于一次函數y=kx+b與坐標軸的兩個交點坐標分別是(0,b)和(-,0),由此與坐標軸圍成的三角形的面積為 =.例6(日照市)已知直線y=mx-1上有一點B(1,n),它到原點的距離是 ,則此直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為()A.B.或 C.或 D.或
分析 若能利用直線y=mx-1上有一點B(1,n),它到原點的距離是 求出n,則可以進一步求出了m,從而可以求出直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積.解 因為點B(1,n)到原點的距離是 ,所以有12+ n2=10,即n=±3,則點B的坐標為(1,3)或(1,-3).分別代入y=mx-1,得m=4,或m=-2.所以直線的表達式為y=4x-1或y=-2x-1,即易求得直線與坐標軸圍成的三角形的面積為 或.故應選C.說明 要求直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積,只要能求出直線與坐標軸的交點坐標即可,這里的分類討論是正確求解的關鍵.考點7 利用一次函數解決實際問題
利用一次函數解決實際問題可妨照列方程解應用題那樣,但應注意自變量的取值范圍應受實際條件的制約.例7(長沙市)我市某鄉A、B兩村盛產柑桔,A村有柑桔200噸,B村有柑桔300噸.現將這些柑桔運到C、D兩個冷藏倉庫,已知C倉庫可儲存240噸,D倉庫可儲存260噸;從A村運往C、D兩處的費用分別為每噸20元和25元,從B村運往C、D兩處的費用分別為每噸15元和18元.設從A村運往C倉庫的柑桔重量為x噸,A,B兩村運往兩倉庫的柑桔運輸費用分別為yA元和yB元.(1)請填寫下表,并求出yA、yB與x之間的函數關系式;C D 總計
A x噸 200噸
B 300噸
總計 240噸 260噸 500噸
(2)試討論A,B兩村中,哪個村的運費較少;(3)考慮到B村的經濟承受能力,B村的柑桔運費不得超過4830元.在這種情況下,請問怎樣調運,才能使兩村運費之和最小?求出這個最小值.分析 依題意可以知道從A村運往C倉庫的柑桔重量、從A村運往D倉庫的柑桔重量、從B村運往C倉庫的柑桔重量和從B村運往D倉庫的柑桔重量,這樣就可以求得yA、yB與x之間的函數關系式,進而利用不等式和一次函數的性質求解.解(1)依題意,從A村運往C倉庫的柑桔重量為x噸,則從A村運往D倉庫的柑桔重量應為(200-x)噸,同樣從B村運往C倉庫的柑桔重量為(240-x)噸,從B村運往D倉庫的柑桔重量應為(300-240+x)噸,即(60+x)噸.所以表中C欄中填上(240-x)噸,D欄中人上到下依次填(200-x)噸、(60+x)噸.從而可以分別求得yA=-5x+5000(0≤x≤200),yB=3x+4680(0≤x≤200).(2)當yA=yB時,-5x+5000=3x+4680,即x=40;當yA>yB時,-5x+5000>3x+4680,即x<40;當yA 1,(衡陽市)函數y= 中自變量劣的取值范圍是___.2,(攀枝花市)如圖,直線y=-x+4與y軸交于點A,與直線y= x+ 交于點B,且直線y= x+ 與x軸交于點C,則△ABC的面積為___.3,(海淀區)打開某洗衣機開關,在洗滌衣服時(洗衣機內無水),洗衣機經歷了進水、清洗、排水、脫水四個連續過程,其中進水、清洗、排水時洗衣機中的水量y(升)與時間x(分鐘)之間滿足某種函數關系,其函數圖象大致為()4,(江西省)如圖,已知直線l1經過點A(-1,0)與點B(2,3),另一條直線l2經過點B,且與x軸交于點P(m,0).(1)求直線l1的解析式;(2)若△APB的面積為3,求m的值.5,(南安市)近兩年某地外向型經濟發展迅速,一些著名跨國公司紛紛落戶該地新區,對各類人才需求不斷增加,現一公司面向社會招聘人員,其信息如下: [信息一]招聘對象:機械制造類和規劃設計類人員共150名.[信息二]工資待遇:機械類人員工資為600元/月,規劃設計類人員為1000元/月.設該公司招聘機械制造類和規劃設計類人員分別為x人、y人.(1)用含x的代數式表示y;(2)若公司每月付給所招聘人員的工資為p元,要使本次招聘規劃設計人員不少于機械制造人員的2倍,求p的取值范圍.參考答案: 1,≥1;2,4;3,D; 4,(1)設直線l1的解析式為 y=kx + b,由題意,得 解得 所以,直線l1的解析式為 y=x +1.(2)當點P在點A的右側時,AP=m-(-1)=m +1,有.解得 m=1,此時,點P的坐標為(1,0);當點P在點A的左側時,AP=-1-m,有.解得 m =-3,此時,點P的坐標為(-3,0).綜上所述,m的值為1或-3;5,(1)y=150-x.(2)根據題意,得:y≥2x,所以150-x≥2x,解得:x≤50,又x≥0,150-x≥0,即0≤x≤50,所以p=600x+1000(150-x)=-400x+150000;又因為p隨x的增大而減小,并且0≤x≤50,所 以 -400×50+150000≤p≤-400×0+150000,即130000≤p≤150000
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