第一篇：2.示范教案(3.2.1 一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法)

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3.2 一元二次不等式及其解法

3.2.1 一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法

從容說課

本節課是人民教育出版社A版必修數學5第三章不等式第二大節3.2一元二次不等式及其解法的第一節課.一元二次不等式及其解法教學分為三個學時，第一個學時先由師生共同分析日常生活中的實際問題來引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、求解一元二次不等式的步驟、求解一元二次不等式的程序框圖.確定一元二次不等式的概念和解法，以此激發學生對科學的探究精神和嚴肅認真的科學態度.通過具體例題的分析和求解，在這些例題中設置思考項，讓學生探究，層層鋪設，以便讓學生深刻理解一元二次不等式的概念，有利于一元二次不等式的解法的教學.講述完一元二次不等式的概念后，再回歸到先前的具體事例，總結一元二次不等式解法與二次函數的關系和一元二次不等式解法的步驟，由學生用表格將一元二次不等式解法與二次函數的數形關系的對應關系用圖表形式表示出來；然后用一個程序框圖把求解一般一元二次不等式的過程表示出來，根據這些圖表，得出一元二次不等式解法與二次函數的關系兩者之間的區別與聯系，再輔以新的例題鞏固.整個教學過程，探究一元二次不等式的概念，揭示一元二次不等式解法與二次函數的關系本質，引出一元二次不等式解法的步驟和過程，并及時加以鞏固，同時讓學生體驗數學的奧秘與數學美，激發學生的學習興趣.

教學重點 1.從實際問題中抽象出一元二次不等式模型.

2.圍繞一元二次不等式的解法展開，突出體現數形結合的思想. 教學難點 理解二次函數、一元二次方程與一元二次不等式的關系. 教具準備 多媒體及課件，幻燈片三張

三維目標

一、知識與技能

1.經歷從實際情景中抽象出一元二次不等式模型的過程;

2.通過函數圖象了解一元二次不等式與二次函數、一元二次方程的聯系; 3.會解一次二次不等式，對給定的一元二次不等式，嘗試設計求解的程序框圖.

二、過程與方法

1.采用探究法，按照思考、交流、實驗、觀察、分析、得出結論的方法進行啟發式教學; 2.發揮學生的主體作用，作好探究性實驗; 3.理論聯系實際，激發學生的學習積極性.

三、情感態度與價值觀

1.通過利用二次函數的圖象來求解一元二次不等式的解集，培養學生的數形結合的數學思想;

2.通過研究函數、方程與不等式之間的內在聯系，使學生認識到事物是相互聯系、相互轉化的，樹立辯證的世界觀.

教學過程

導入新課

師 上網獲取信息已經成為人們日常生活的重要組成部分，因特網服務公司（Internet Service Provider）的任務就是負責將用戶的計算機接入因特網，同時收取一定的費用.

某同學要把自己的計算機接入因特網，現有兩家ISP公司可供選擇，公司A每小時收費1.5元；公司B的收費原則是在用戶上網的第一小時內收費1.7元，第二小時內收費1.6元，以后每小時減少0.1元.（若用戶一次上網時間超過17小時，按17小時計算） 一般來說，一次上網時間不會超過17小時，所以，不妨一次上網時間總小于17小時，那么，一次上網在多長時間以內能夠保證選擇公司A比選擇公司B所需費用少？

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假設一次上網x小時，則A公司收取的費用為1.5x，那么B公司收取的費用為多少？怎樣得來？ 生 結果是x(35?x)20x(x?1)x(35?x)1.7x?(?0.1)?.

220x(35?x)20元，因為是等差數列，其首項為1.7，公差為-0.1，項數為x的和，即師 如果能夠保證選擇A公司比選擇B公司所需費用少，則如何列式？ 生 由題設條件應列式為推進新課

師 因此這個問題實際就是解不等式：x-5x＜0的問題.這樣的不等式就叫做一元二次不等式，它的解法是我們下面要學習討論的重點.

什么叫做一元二次不等式？

含有一個未知數并且未知數的最高次數是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a≠0）.例如2x2-3x-2＞0，3x2-6x＜-2，-2x2+3＜0等都是一元二次不等式.

那么如何求解呢？

師 在初中，我們已經學習過一元一次方程和一元一次不等式的解法，以及一次函數的有關知識，那么一元一次方程、一元一次不等式以及一次函數三者之間有什么關系呢？ 思考：對一次函數y=2x-7，當x為何值時，

y=0？當x為何值時，y＜0？當x為何值時，y＞0？ 它的對應值表與圖象如下：

2＞1.5x(0＜x＜17)，整理化簡得不等式x-5x＜0.

2x 2 2.5 3 y-3-2-1 由對應值表與圖象（如上圖）可知： 當x=3.5時，y=0，即2x-7=0； 當x＜3.5時，y＜0，即2x-7＜0； 當x＞3.5時，y＞0，即2x-7＞0.

3.5 0 1 4.5 2 5 3 師 一般地，設直線y=ax+b與x軸的交點是(x0，0),則有如下結果：（1）一元一次方程ax+b=0的解是x0；

（2）①當a＞0時，一元一次不等式ax+b＞0的解集是{x|x＞x0}；一元一次不等式ax+b＜0的解集是{x|x＜x0}.

②當a＜0時，一元一次不等式ax+b＞0的解集是{x|x＜x0}；一元一次不等式ax+b＜0的解集是{x|x＞x0}.

師 在解決上述問題的基礎上分析，一次函數、一元一次方程、一元一次不等式之間的關系.能通過觀察一次函數的圖象求得一元一次不等式的解集嗎？ 生 函數圖象與x軸的交點橫坐標為方程的根，不等式的解集為函數圖象落在x軸上方(下方)部分對應的橫坐標.中鴻智業信息技術有限公司

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a＜0

一次函數 y=ax+b(a≠0) 的圖象

一元一次方程ax+b=0的解集 一元一次不等式ax+b＞0的解集 一元一次不等式ax+b＜0的解集

a＞0

{x|x=?{x|x＞?{x|x＜?bababa

{x|x=?{x|x＜?{x|x＞?bababa} } }

} } } 師 在這里我們發現一元一次方程、一元一次不等式與一次函數三者之間有著密切的聯系.利用這種聯系（集中反映在相應一次函數的圖象上）我們可以快速準確地求出一元一次不等式的解集，類似地，我們能不能將現在要求解的一元二次不等式與二次函數聯系起來討論找到其求解方法呢？

在初中學習二次函數時，我們曾解決過這樣的問題：對二次函數y=x2-5x，當x為何值時，y=0？當x為何值時，y＜0？當x為何值時，y＞0？當時我們又是怎樣解決的呢？ 生 當時我們是通過作出函數的圖象，找出圖象與x軸的交點，通過觀察來解決的. 二次函數y=x2-5x的對應值表與圖象如下： x y-1 6

0 0-4-6-6-4 0 6

由對應值表與圖象（如上圖）可知： 當x=0或x=5時，y=0，即x2-5x=0；

2當0＜x＜5時，y＜0，即x-5x＜0； 當x＜0或x＞5時，y＞0，即x2-5x＞0.

這就是說，若拋物線y=x-5x與x軸的交點是(0，0)與(5，0), 則一元二次方程x2-5x=0的解就是x1=0，x2=5.

一元二次不等式x2-5x＜0的解集是{x|0＜x＜5};一元二次不等式x2-5x＞0的解集是{x|x＜0或x＞5}.

［教師精講］

由一元二次不等式的一般形式知，任何一個一元二次不等式，最后都可以化為ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）的形式，而且我們已經知道，一元二次不等式的解與其相應的一元二次方程的根及二次函數圖象有關，即由拋物線與x軸的交點可以確定對應的一元二次方程的解和對應的一元二次不等式的解集.

如何討論一元二次不等式的解集呢？

我們知道，對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)，設其判別式為Δ=b2-4ac，它的解按照Δ＞0,Δ=0，Δ＜0分為三種情況，相應地，拋物線y=ax2+bx+c(a＞0)與x軸的相關位置也分為三種情況（如下圖），因此，對相應的一元二次不等式ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集我們也分這三種情況進行討論.

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（1）若Δ＞0，此時拋物線y=ax 2+bx+c(a＞0)與x軸有兩個交點〔圖（1）〕，即方程ax 2+bx+c=0(a＞0)有兩個不相等的實根x1，x2（x1＜x2）,則不等式ax+bx+c＞0（a＞0）的解

2集是{x|x＜x1，或x＞x2}；不等式ax+bx+c＜0（a＞0）的解集是{x|x1＜x＜x2}.

（2）若Δ=0，此時拋物線y=ax2+bx+c(a＞0)與x軸只有一個交點〔圖（2）〕，即方程ax2+bx+c=0(a＞0)有兩個相等的實根x1=x2=?{x|x≠?b2ab2a

2,則不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集是}；不等式ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集是.

(3)若Δ＜0，此時拋物線y=ax2+bx+c(a＞0)與x軸沒有交點〔圖(3)〕，即方程ax2+bx+c=0(a＞0)無實根，則不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集是R；不等式ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集是.Δ=b2-4ac 二次函數y=ax+bx+c(a＞0)的圖象

ax2+bx+c=0的根

x1.2?2

Δ＞0 Δ=0 Δ＜0

x1=x2=?b2ab2a

?

?b?2a??

ax2+bx+c＞0的解集

2{x|x＜x1或x＞x2}

{x|x≠?}

R

? ? ax+bx+c＜0的解集 {x|x1＜x＜x2} 對于二次項系數是負數（即a＜0）的不等式，可以先把二次項系數化成正數，再求解.

［知識拓展］

【例1】 解不等式2x 2-5x-3＞0. 生 解：因為Δ＞0，2x2-5x-3=0的解是x1=-＞3}.

【例2】 解不等式-3x 2+15x＞12.

生 解：整理化簡得3x 2-15x+12＜0.因為Δ＞0，方程3x2-15x+12=0的解是x 1=1,x2=4，所以不等式的解集是{x|1＜x＜4}.

【例3】 解不等式4x 2+4x+1＞0.

生 解：因為Δ=0，方程4x +4x+1=0的解是x1=x 2=?2

12,x 2=3.所以不等式的解集是{x|x＜?12，或x

12.所以不等式的解集是{x|x≠?12}.

【例4】 解不等式-x 2+2x-3＞0.

生 解：整理化簡，得x2-2x+3＜0.因為Δ＜0，方程x 2-2x+3=0無實數解，所以不等式的解集是?.

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師 由上述討論及例題，可歸納出解一元二次不等式的程序嗎？ 生 歸納如下：

（1）將二次項系數化為“+”：y=ax 2+bx+c＞0(或＜0)(a＞0).（2）計算判別式Δ，分析不等式的解的情況： ?若y＞0,則x?x1或x＞x2;①Δ＞0時，求根x1＜x2，?

?若y＜0,則x1＜x＜x2.?若y＞0,則x?x0的一切實數;?②Δ=0時，求根x 1=x 2=x 0，?若y＜0,則x??;

?若y?0,則x?x.0??若y＞0,則x?R;③Δ＜0時，方程無解，?

?若y?0,則x??.（3）寫出解集.

師 說的很好.下面我們用一個程序框圖把求解一元二次不等式的過程表示出來，請同學們將判斷框和處理框中的空格填充完整. ［學生活動過程］

［方法引導］

上述過程以學生自主探究為主，教師起引導作用，充分體現學生的主體作用與新課程的理念.該過程中的思考、觀察、探究起到層層鋪設的作用，激起學生學習的興趣與勇于探索的精神.

課堂小結

1.一元二次不等式：含有一個未知數并且未知數的最高次數是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a≠0）. 2.求解一元二次不等式的步驟和解一元二次不等式的程序. 布置作業

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1.完成第90頁的練習.

2.完成第90頁習題3.2第1題.

板書設計

一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法

多媒體演示區

一元二次不等式概念

一元二次不等式解題步驟

例題

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第二篇：2.示范教案(3.2.1 一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法)

3.2 一元二次不等式及其解法

3.2.1 一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法

從容說課

本節課是人民教育出版社A版必修數學5第三章不等式第二大節3.2一元二次不等式及其解法的第一節課.一元二次不等式及其解法教學分為三個學時，第一個學時先由師生共同分析日常生活中的實際問題來引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、求解一元二次不等式的步驟、求解一元二次不等式的程序框圖.確定一元二次不等式的概念和解法，以此激發學生對科學的探究精神和嚴肅認真的科學態度.通過具體例題的分析和求解，在這些例題中設置思考項，讓學生探究，層層鋪設，以便讓學生深刻理解一元二次不等式的概念，有利于一元二次不等式的解法的教學.講述完一元二次不等式的概念后，再回歸到先前的具體事例，總結一元二次不等式解法與二次函數的關系和一元二次不等式解法的步驟，由學生用表格將一元二次不等式解法與二次函數的數形關系的對應關系用圖表形式表示出來；然后用一個程序框圖把求解一般一元二次不等式的過程表示出來，根據這些圖表，得出一元二次不等式解法與二次函數的關系兩者之間的區別與聯系，再輔以新的例題鞏固.整個教學過程，探究一元二次不等式的概念，揭示一元二次不等式解法與二次函數的關系本質，引出一元二次不等式解法的步驟和過程，并及時加以鞏固，同時讓學生體驗數學的奧秘與數學美，激發學生的學習興趣.

教學重點 1.從實際問題中抽象出一元二次不等式模型.

2.圍繞一元二次不等式的解法展開，突出體現數形結合的思想. 教學難點 理解二次函數、一元二次方程與一元二次不等式的關系. 教具準備 多媒體及課件，幻燈片三張

三維目標

一、知識與技能

1.經歷從實際情景中抽象出一元二次不等式模型的過程;

2.通過函數圖象了解一元二次不等式與二次函數、一元二次方程的聯系; 3.會解一次二次不等式，對給定的一元二次不等式，嘗試設計求解的程序框圖.

二、過程與方法

1.采用探究法，按照思考、交流、實驗、觀察、分析、得出結論的方法進行啟發式教學; 2.發揮學生的主體作用，作好探究性實驗; 3.理論聯系實際，激發學生的學習積極性.

三、情感態度與價值觀

1.通過利用二次函數的圖象來求解一元二次不等式的解集，培養學生的數形結合的數學思想;

2.通過研究函數、方程與不等式之間的內在聯系，使學生認識到事物是相互聯系、相互轉化的，樹立辯證的世界觀.

教學過程

導入新課

師 上網獲取信息已經成為人們日常生活的重要組成部分，因特網服務公司（Internet Service Provider）的任務就是負責將用戶的計算機接入因特網，同時收取一定的費用.

某同學要把自己的計算機接入因特網，現有兩家ISP公司可供選擇，公司A每小時收費1.5元；公司B的收費原則是在用戶上網的第一小時內收費1.7元，第二小時內收費1.6元，以后每小時減少0.1元.（若用戶一次上網時間超過17小時，按17小時計算） 一般來說，一次上網時間不會超過17小時，所以，不妨一次上網時間總小于17小時，那么，一次上網在多長時間以內能夠保證選擇公司A比選擇公司B所需費用少？ 假設一次上網x小時，則A公司收取的費用為1.5x，那么B公司收取的費用為多少？怎樣得來？ 生 結果是x(35?x)20x(x?1)x(35?x)1.7x?(?0.1)?.

220x(35?x)20元，因為是等差數列，其首項為1.7，公差為-0.1，項數為x的和，即師 如果能夠保證選擇A公司比選擇B公司所需費用少，則如何列式？ 生 由題設條件應列式為推進新課

師 因此這個問題實際就是解不等式：x-5x＜0的問題.這樣的不等式就叫做一元二次不等式，它的解法是我們下面要學習討論的重點.

什么叫做一元二次不等式？

含有一個未知數并且未知數的最高次數是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a≠0）.例如2x2-3x-2＞0，3x2-6x＜-2，-2x2+3＜0等都是一元二次不等式.

那么如何求解呢？

師 在初中，我們已經學習過一元一次方程和一元一次不等式的解法，以及一次函數的有關知識，那么一元一次方程、一元一次不等式以及一次函數三者之間有什么關系呢？ 思考：對一次函數y=2x-7，當x為何值時，

y=0？當x為何值時，y＜0？當x為何值時，y＞0？ 它的對應值表與圖象如下：

2＞1.5x(0＜x＜17)，整理化簡得不等式x-5x＜0.

2x 2 2.5 3 y-3-2-1 由對應值表與圖象（如上圖）可知： 當x=3.5時，y=0，即2x-7=0； 當x＜3.5時，y＜0，即2x-7＜0； 當x＞3.5時，y＞0，即2x-7＞0.

3.5 0 1 4.5 2 5 3 師 一般地，設直線y=ax+b與x軸的交點是(x0，0),則有如下結果：（1）一元一次方程ax+b=0的解是x0；

（2）①當a＞0時，一元一次不等式ax+b＞0的解集是{x|x＞x0}；一元一次不等式ax+b＜0的解集是{x|x＜x0}.

②當a＜0時，一元一次不等式ax+b＞0的解集是{x|x＜x0}；一元一次不等式ax+b＜0的解集是{x|x＞x0}.

師 在解決上述問題的基礎上分析，一次函數、一元一次方程、一元一次不等式之間的關系.能通過觀察一次函數的圖象求得一元一次不等式的解集嗎？ 生 函數圖象與x軸的交點橫坐標為方程的根，不等式的解集為函數圖象落在x軸上方(下方)部分對應的橫坐標.一次函數 y=ax+b(a≠0) 的圖象

一元一次方程ax+b=0的解集 一元一次不等式ax+b＞0的解集 一元一次不等式ax+b＜0的解集

a＞0 a＜0

{x|x=?{x|x＞?{x|x＜?bababa

{x|x=?{x|x＜?{x|x＞?bababa} } }

} } } 師 在這里我們發現一元一次方程、一元一次不等式與一次函數三者之間有著密切的聯系.利用這種聯系（集中反映在相應一次函數的圖象上）我們可以快速準確地求出一元一次不等式的解集，類似地，我們能不能將現在要求解的一元二次不等式與二次函數聯系起來討論找到其求解方法呢？

在初中學習二次函數時，我們曾解決過這樣的問題：對二次函數y=x2-5x，當x為何值時，y=0？當x為何值時，y＜0？當x為何值時，y＞0？當時我們又是怎樣解決的呢？ 生 當時我們是通過作出函數的圖象，找出圖象與x軸的交點，通過觀察來解決的. 二次函數y=x2-5x的對應值表與圖象如下： x y-1 6

0 0-4-6-6-4 0 6

由對應值表與圖象（如上圖）可知： 當x=0或x=5時，y=0，即x2-5x=0；

2當0＜x＜5時，y＜0，即x-5x＜0； 當x＜0或x＞5時，y＞0，即x2-5x＞0.

這就是說，若拋物線y=x-5x與x軸的交點是(0，0)與(5，0), 則一元二次方程x2-5x=0的解就是x1=0，x2=5.

一元二次不等式x2-5x＜0的解集是{x|0＜x＜5};一元二次不等式x2-5x＞0的解集是{x|x＜0或x＞5}.

［教師精講］

由一元二次不等式的一般形式知，任何一個一元二次不等式，最后都可以化為ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）的形式，而且我們已經知道，一元二次不等式的解與其相應的一元二次方程的根及二次函數圖象有關，即由拋物線與x軸的交點可以確定對應的一元二次方程的解和對應的一元二次不等式的解集.

如何討論一元二次不等式的解集呢？

我們知道，對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)，設其判別式為Δ=b2-4ac，它的解按照Δ＞0,Δ=0，Δ＜0分為三種情況，相應地，拋物線y=ax2+bx+c(a＞0)與x軸的相關位置也分為三種情況（如下圖），因此，對相應的一元二次不等式ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集我們也分這三種情況進行討論.

2（1）若Δ＞0，此時拋物線y=ax 2+bx+c(a＞0)與x軸有兩個交點〔圖（1）〕，即方程ax 2+bx+c=0(a＞0)有兩個不相等的實根x1，x2（x1＜x2）,則不等式ax+bx+c＞0（a＞0）的解

2集是{x|x＜x1，或x＞x2}；不等式ax+bx+c＜0（a＞0）的解集是{x|x1＜x＜x2}.

（2）若Δ=0，此時拋物線y=ax2+bx+c(a＞0)與x軸只有一個交點〔圖（2）〕，即方程ax2+bx+c=0(a＞0)有兩個相等的實根x1=x2=?{x|x≠?b2ab2a

2,則不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集是}；不等式ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集是.

(3)若Δ＜0，此時拋物線y=ax2+bx+c(a＞0)與x軸沒有交點〔圖(3)〕，即方程ax2+bx+c=0(a＞0)無實根，則不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集是R；不等式ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集是.Δ=b2-4ac 二次函數y=ax+bx+c(a＞0)的圖象

ax2+bx+c=0的根

x1.2?2

Δ＞0 Δ=0 Δ＜0

x1=x2=?b2ab2a

?

?b?2a??

ax2+bx+c＞0的解集

2{x|x＜x1或x＞x2}

{x|x≠?}

R

? ? ax+bx+c＜0的解集 {x|x1＜x＜x2} 對于二次項系數是負數（即a＜0）的不等式，可以先把二次項系數化成正數，再求解.

［知識拓展］

【例1】 解不等式2x 2-5x-3＞0. 生 解：因為Δ＞0，2x2-5x-3=0的解是x1=-＞3}.

【例2】 解不等式-3x 2+15x＞12.

生 解：整理化簡得3x 2-15x+12＜0.因為Δ＞0，方程3x2-15x+12=0的解是x 1=1,x2=4，所以不等式的解集是{x|1＜x＜4}.

【例3】 解不等式4x 2+4x+1＞0.

生 解：因為Δ=0，方程4x +4x+1=0的解是x1=x 2=?2

12,x 2=3.所以不等式的解集是{x|x＜?12，或x

12.所以不等式的解集是{x|x≠?12}.

【例4】 解不等式-x 2+2x-3＞0.

生 解：整理化簡，得x2-2x+3＜0.因為Δ＜0，方程x 2-2x+3=0無實數解，所以不等式的解集是?. 師 由上述討論及例題，可歸納出解一元二次不等式的程序嗎？ 生 歸納如下：

（1）將二次項系數化為“+”：y=ax 2+bx+c＞0(或＜0)(a＞0).（2）計算判別式Δ，分析不等式的解的情況： ?若y＞0,則x?x1或x＞x2;①Δ＞0時，求根x1＜x2，?

?若y＜0,則x1＜x＜x2.?若y＞0,則x?x0的一切實數;?②Δ=0時，求根x 1=x 2=x 0，?若y＜0,則x??;

?若y?0,則x?x.0??若y＞0,則x?R;③Δ＜0時，方程無解，?

?若y?0,則x??.（3）寫出解集.

師 說的很好.下面我們用一個程序框圖把求解一元二次不等式的過程表示出來，請同學們將判斷框和處理框中的空格填充完整. ［學生活動過程］

［方法引導］

上述過程以學生自主探究為主，教師起引導作用，充分體現學生的主體作用與新課程的理念.該過程中的思考、觀察、探究起到層層鋪設的作用，激起學生學習的興趣與勇于探索的精神.

課堂小結

1.一元二次不等式：含有一個未知數并且未知數的最高次數是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a≠0）. 2.求解一元二次不等式的步驟和解一元二次不等式的程序. 布置作業 1.完成第90頁的練習.

2.完成第90頁習題3.2第1題.

板書設計

一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法

多媒體演示區

一元二次不等式概念

一元二次不等式解題步驟

例題

第三篇：3.2一元二次不等式及其解法教案

3.2一元二次不等式及其解法（3課時）

（一）教學目標

1.知識與技能:從實際問題中建立一元二次不等式，解一元二次不等式；應用一元二次不等式解決日常生活中的實際問題；能用一個程序框圖把求解一般一元二次不等式的過程表示出來；

2.過程與方法:通過學生感興趣的上網問題引入一元二次不等式的有關概念，通過讓學生比較兩種不同的收費方式，抽象出不等關系；利用計算機將數學知識用程序表示出來；

3.情態與價值：培養學生通過日常生活中的例子，找到數學知識規率，從而在實際生活問題中數形結合的應用以及計算機在數學中的應用。

（二）教學重、難點

重點：從實際問題中抽象出一元二次不等式模型，圍繞一元二次不等式的解法展開，突出體現數形結合的思想；

難點：理解二次函數、一元二次方程與一元二次不等式解集的關系。

（四）教學設想

[創設情景] 通過讓學生閱讀第84頁的上網問題，得出一個關于x的一元二次不等式，即

x2?5x?0

[探索研究] 首先考察不等式x?5x?0與二次函數y?x2?5x以及一元二次方程x?5x?0的 關系。

容易知道，方程x?5x?0有兩個實根：x1?0,x2?5

由二次函數的零點與相應的一元二次方程根的關系，知x1?0,x2?5是二次函數222y?x2?5x的兩個零點。通過學生畫出的二次函數y?x2?5x的圖象，觀察而知，當x?0,x?5時，函數圖象位于x軸上方，此時y?0，即x?5x?0；

2當0?x?5時，函數圖象位于x軸下方，此時y?0，即x?5x?0。

22所以，一元二次不等式x?5x?0的解集是x0?x?5

??從而解決了以上的上網問題。

[總結歸納] 上述方法可以推廣到求一般的一元二次不等式ax?bx?c?0或

2ax2?bx?c?0(a?0)的解集：可分??0,??0,??0三種情況來討論。

引導學生將第86頁的表格填充完整。

[例題分析]：

一.分析、講解例2和例3，練習：第89頁1.（1）、（3）、（5）；2.（1）、（3）二.分析、講解例1和例4 練習：第90頁（A組）第5題，（B組）第4題。[知識拓展]：

下面利用計算器，用一個程序框圖把求解一般一元二次不等式的過程表示出來：

下面是具有一般形式ax?bx?c?0(a?0)對應的一元二次方程

2ax2?bx?c?0(a?0)的求根程序：

input “a,b,c=”;a,b,c d=b*b-4*a*c p=-b/(2*a)q=sqr(abs(d))/(2*a)if d<0 then print “the result is R” else x1=p-q x2=p+q if x1=x2 then print “the result is {x/x<> “;p,”}” else print “the result is {x/x> “;x2, “or x<”;x1,”}” endif endif end 練習：（B組）第3題。[新知小結]：

1.從實際問題中建立一元二次不等式，解一元二次不等式； 2.應用一元二次不等式解決日常生活中的實際問題；

3.能用一個程序框圖把求解一般一元二次不等式的過程表示出來：

[課后作業]：習題3.2（A組）第1、2、6題；（B組）第1、2題。

第四篇：一元二次不等式教案

§2.2.4一元二次不等式

【授課班級】10級微機化工班 【授 課 人】相福香

【授課時間】2011年1月11日

一、教學目標 1.知識目標：

（1）使學生了解一元二次不等式的概念；（2）使學生掌握用配方法解一元二次不等式。2.能力目標：

培養學生動手、觀察分析、抽象概括、歸納總結等系統的邏輯思維能力，以及良好的思維方法和思維品質。3.情感目標：

滲透抽象與具體、特殊與一般等辯證唯物主義的觀點和方法，培養學生的自信心理。

二、教學分析 1.知識結構

本節課主要內容是用配方法解一元二次不等式。首先介紹了一元二次不等式的概念，然后由對特殊形式的討論推廣到一般的情形，從而總結出用配方法解不等式的一般步驟。2.重點、難點分析

本節課的重點是掌握一元二次不等式的解法；難點是將一元二次不等

（1）(x?2)2?4

（2）(x?1)2?9 例9 解下列不等式：

（1）x2?2x?3?0（2）?2x2?5x?3?0 4.反饋演練，鞏固新知 練習1 解下列不等式：

（1）(x?1)2?64

（2）(x?2)2?100 練習2 解下列不等式：

（1）x2?3x?2?0

（2）?3x2?x?2?0 5.課堂小結

（1）使學生了解一元二次不等式的概念；（2）使學生掌握用配方法解一元二次不等式。6.作業布置

課后練習：課本習題 第8題和第9題 作業： 課本練習2-5 第3題和第5題

第五篇：一元二次不等式及其解法教學設計

《一元二次不等式及其解法》

教 學 設 計 說 明

《一元二次不等式及其解法》教學設計說明

一．教學內容分析：

1．本節課內容在整個教材中的地位和作用．

必修五第三章不等式第二節一元二次不等式及其解法共有三個課時，本節課是第一課時，教學內容的地位體現在它的基礎性，作用體現在它的工具性．一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式組的延續和深化，對已學習過的集合知識的鞏固和運用具有重要的作用．許多問題的解決都會借助一元二次不等式的解法．因此，一元二次不等式的解法在整個高中數學教學中具有很強的基礎性，體現出很大的工具作用． 2．教學目標定位．

根據教學大綱要求、高考考試大綱說明、新課程標準精神、高一學生已有的知識儲備狀況和學生心理認知特征，我確定了四個層面的教學目標．第一層面是面向全體學生的知識目標：熟練掌握一元二次不等式的解法，正確理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函數三者的關系．第二層面是能力目標，培養學生運用數形結合與分類討論等數學思想方法解決問題的能力，提高運算和作圖能力．第三層面是德育目標，通過對解不等式過程中等與不等對立統一關系的認識，向學生逐步滲透辨證唯物主義思想．第四層面是情感目標，在教師的啟發引導下，學生自主探究，交流討論，培養學生的合作意識和創新精神． 3．教學重點、難點確定．

本節課是在復習了一元二次方程和二次函數之后，利用二次函數的圖象研究一元二次不等式的解法．只要學生能夠理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函數三者的關系，并利用其關系解不等式即可．因此，我確定本節課的教學重點為一元二次不等式的解法，關鍵是一元二次方程、一元二次不等式和二次函數三者的關系． 二．教法學法分析：

數學是發展學生思維、培養學生良好意志品質和美好情感的重要學科，在教學中，我們不僅要使學生獲得知識、提高解題能力，還要讓學生在教師的啟發引導下學會學習、樂于學習，感受數學學科的人文思想，使學生在學習中培養堅強的意志品質、形成良好的道德情感．為了更好地體現課堂教學中“教師為主導，學生為主體”的教學關系和“以人為本，以學定教”的教學理念，在本節課的教學過程中，將緊緊圍繞教師組織——啟發引導，學生探究——交流發現，組織開展教學活動．我設計了①回憶舊知，服務新知，②創設情境，提出問題，③合作交流，探究新知，④數學運用，深化認知，⑤練習檢測，反饋新知,⑥談談收獲，強化思想，⑦布置作業，實踐新知，環環相扣、層層深入的教學環節，在教學中注意關注整個過程和全體學生，充分調動學生積極參與教學過程的每個環節． 三．教學過程分析：

（一）聯系舊知，構建新知

設置一系列的問題喚起學生對舊知識的回憶． 問題1：一元二次方程的解法有哪些呢？

（意圖：讓學生回顧一元二次方程的解法，為解一元二次不等式做準備．）

問題2：同學們還記得二次函數嗎？二次函數的形式是怎樣的？你記得二次函數的性質嗎？

（意圖：引導學生從圖象的角度出發，并啟發學生二次函數的圖象是一條拋物線，其開口方向由二次項系數決定，為突出重點做準備）

（二）創設情景，提出問題

1、讓學生動手畫直角坐標系，然后沿x軸方向上下對折這張紙，觀察它們的值有什么特點？

22、請在剛才的坐標系中畫出y＝x－7x+6的圖像 問題1：

（1）x軸上方有無圖像？若有請用紅線描出。這部分圖像對應的y值如何？（2）x軸下方有無圖像？若有請用藍線描出。這部分圖像對應的y值如何？（3）紅線與藍線有無交點？若有請用綠色標出。

（4）你能找出上述各種情況的x的取值范圍嗎？請在圖中寫出。

問題2：你能說一說這兩個不等式有何共同特點么？（1）含有一個未知數x；

（2）未知數的最高次數為2。通過兩問題得出一元二次不等式的概念：一般地，只含有一個未知數，且未知數的最高次數為2的不等式，叫做一元二次不等式。

問題3：判斷下列式子是不是一元二次不等式？

問題4：一元二次函數、一元二次方程之間有何聯系呢？

一元二次方程的解即一元二次函數圖象與x軸交點的橫坐標，也就是說方程的解即對應函數的零點。

問題5：一元二次不等式如何求解呢？

（三）合作交流，探究新知

1． 探究一元二次不等式x2?x?2?0的解．

容易知道：一元二次方程x2?x?2?0的有兩個實數根：x1??1或x2?2． 二次函數y?x2?x?2與x軸有兩個交點：??1,0?和?2,0?． 思考1：觀察圖象一元二次方程的根與二次函數之間有什么關系？ 思考2：觀察圖象，當x為何值時，y?0；

當x為何值時，y?0； 當x為何值時，y?0．

（設計意圖 : ①體現學生的主體性；②有利于加強對圖象的認識，從而加強數形結合的數學思想 ；③有利于加強學生理解一元二次不等式的解相關的三個因素；④為歸納解一元二次不等式做好準備．根據前面探討的問題引導學生歸納一元二次不等式的解．）

2． 探究一元二次不等式ax2?bx?c?0或ax2?bx?c?0?a?0?的解法． 組織討論：從上面的例子出發，綜合學生的意見，可以歸納出確定一元二次不等式的解集，關鍵要考慮：

2拋物線y?ax?bx?c與x軸的相關位置的情況，也就是一元二次方程2ax2?bx?c=0的根的情況，而一元二次方程根的情況是由判別式??b?4ac三 3 種取值情況(??0，??0，??0）來確定．

（設計意圖：這里我將運用多媒體圖標的形式來展現出其解法思路，學生有一個完整的邏輯思維，讓學生在探究中建立知識間的聯系，體會數形結合，強調突出本節的難點．）

（四）數學運用，深化認知．

2例1．求不等式2x?3x?2?0的解集． 2變式為：求不等式2x?3x?2?0的解集．

2例2．解不等式?x?2x?3?0．

（設計意圖：先讓學生來解答例題，若教師巡視、指導，講評學生完成情況，尋找學生中的閃光點，給予熱情表揚．）總結：

解一元二次不等式的步驟：

一化：化二次項前的系數為正(a>0).二判：判斷對應方程的根.三求：求對應方程的根.四畫：畫出對應函數的圖象.五解集：根據圖象寫出不等式的解集.（五）練習檢測，鞏固收獲

（設計意圖：為了鞏固和加深一元二次不等式的解法，讓學生學以致用，接下來及時組織學生進行課堂練習．然后就學生在解題中出現的問題共同糾正．）

（六）歸納小結，強化思想

設計意圖：梳理本節課的知識點，總結一元二次不等式解法的步驟：“一化，二判，三求根，四畫圖，五寫解集”的口訣來幫助學生記憶和歸納，讓學生掌握嚴謹的做題方法，知曉本節課的重難點．

（七）布置作業，拓展延伸

必做題：課本第80頁習題A組 1，2.選做題：（1）若關于m的一元二次方程x

2?(m?1)x?m?0有兩個不相 等的實數根，求m的取值范圍.2（2）已知不等式x?ax?b?0的解集為x2?x?3?，求a,b的

?值.（設計意圖：以作業的鞏固性和發展性為出發點，我設計了必做題和選做題，必做題是對本節課內容的反饋，選做題是對本節課知識的延伸，整體的設計意圖是反饋教學，鞏固提高．）四．教學總結

本節課的所有內容以習題的形式展現給學生，學生始終在解題中探究，在解題中發現，學生參與教學的全過程，成為課堂教學的主體和學習的主人，而老師只須時刻關注學生的活動過程，不時給予引導，及時糾正．