第一篇：高中數學新課程創新教學設計案例50篇__8_函數的單調性

函數的單調性

教材分析

函數的單調性是函數的重要特性之一，它把自變量的變化方向和函數值的變化方向定性地聯系在一起．在初中學習函數時，借助圖像的直觀性研究了一些函數的增減性．這節內容是初中有關內容的深化、延伸和提高．這節通過對具體函數圖像的歸納和抽象，概括出函數在某個區間上是增函數或減函數的準確含義，明確指出函數的增減性是相對于某個區間來說的．教材中判斷函數的增減性，既有從圖像上進行觀察的直觀方法，又有根據其定義進行邏輯推理的嚴格方法，最后將兩種方法統一起來，形成根據觀察圖像得出猜想結論，進而用推理證明猜想的體系．這節內容的重點是理解函數單調性的概念以及利用函數的單調性的概念證明函數的單調性，難點是理解函數單調性的概念．

教學目標

1.通過對增函數、減函數概念的歸納、抽象和概括，體驗數學概念的產生和形成過程，培養學生從特殊到一般的抽象概括能力．

2.掌握增函數、減函數等函數單調性的概念，理解函數增減性的幾何意義，并能初步運用所學知識判斷或證明一些簡單函數的單調性，培養學生對數學的理解能力和邏輯推理能力．

3.通過對函數單調性的學習，初步體會知識發生、發展、運用的過程，培養學生形成科學的思維．

任務分析

這節內容學生在初中已有了較為粗略的認識，即主要根據觀察圖像得出結論．這節函數增減性的定義，是運用數學符號將自然語言的描述提升到形式化的定義，學生接受起來可能比較困難．在引入定義時，要始終結合具體函數的圖像來進行，以增強直觀性，采用由具體到抽象，再由抽象到具體的思維方法，便于學生理解．對于定義，要注意對區間上所取兩點x1，x2的“任意性”的理解，多給學生操作與思考的時間和空間．

教學設計

一、問題情境

1.如圖為某市一天內的氣溫變化圖：

（1）觀察這個氣溫變化圖，說出氣溫在這一天內的變化情況．

（2）怎樣用數學語言刻畫在這一天內“隨著時間的增大，氣溫逐漸升高或下降”這一特征？

2.分別作出下列函數的圖像：

（1）y＝2x．

（2）y＝－x＋2．

（3）y＝x2．

根據三個函數圖像，分別指出當x∈（－∞，＋∞）時，圖像的變化趨勢？

二、建立模型

1.首先引導學生對問題2進行探討———觀察分析

觀察函數y＝2x，y＝－x＋2，y＝x2圖像，可以發現：y＝2x在（－∞，＋∞）上、y＝x2在（０，＋∞）上的圖像由左向右都是上升的；y＝－x＋2在（－∞，＋∞）上、y＝x2在（－∞，０）上的圖像由左向右都是下降的．函數圖像的“上升”或“下降”反映了函數的一個基本性質———單調性．那么，如何描述函數圖像“上升”或“下降”這個圖像特征呢？ 以函數y＝x2，x∈（－∞，０）為例，圖像由左向右下降，意味著“隨著x的增大，相應的函數值y＝f（x）反而減小”，如何量化呢？取自變量的兩個不同的值，如x1＝－5，x2＝－3，這時有x1＜x2，f（x1）＞f（x2），但是這種量化并不精確．因此，x1，x2應具有“任意性”．所以，在區間（－∞，0）上，任取兩個x1，x2得到f（x1）＝，f（x2）＝

．當x1＜x2時，都有f（x1）＞f（x2）．這時，我們就說f（x）＝x2在區間（－∞，0）上是減函數．

注意：在這里，要提示學生如何由直觀圖像的變化規律，轉化為數學語言，即自變量ｘ變化時對函數值y的影響．必要時，對x，y可舉出具體數值，進行引導、歸納和總結．這里的“都有”是對應于“任意”的．

2.在學生討論歸納函數單調性定義的基礎上，教師明晰———抽象概括 設函數f（x）的定義域為I： 如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2），那么我們就說函數f（x）在區間Ｄ上是增函數［如圖8-2（1）］． 如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1＜x2時，都有f（x1）＞f（x2），那么我們就說函數f（x）在區間Ｄ上是減函數［如圖8-2（2）］．

如果函數y＝f（x）在區間D上是增函數或減函數，那么我們就說函數y＝f（x）在這一區間具有（嚴格的）單調性，區間D叫作y＝f（x）的單調區間．

3.提出問題，組織學生討論

（1）定義在R上的函數f（x），滿足f（2）＞f（1），能否判斷函數f（x）在R是增函數？

（2）定義在R上函數f（x）在區間（－∞，0］上是增函數，在區間（0，＋∞）上也是增函數，判斷函數f（s）在R上是否為增函數．

（3）觀察問題情境1中氣溫變化圖像，根據圖像說出函數的單調區間，以及在每一單調區間上，它是增函數還是減函數．

強調：定義中x1，x2是區間D上的任意兩個自變量；函數的單調性是相對于某一區間而言的．

三、解釋應用 ［例 題］

1.證明函數f（x）＝2x＋1，在（－∞，＋∞）是增函數． 注：要規范解題格式．

2.證明函數f（x）＝，在區間（－∞，0）和（0，＋∞）上都是減函數．

思考：能否說，函數f（x）＝在定義域（－∞，0）∪（0，＋∞）上是減函數？ 3.設函數y＝f（x）在區間D上保號（恒正或恒負），且f（x）在區間D上為增函數，求證：f（x）＝在區間D上為減函數．

證明：設x1，x2∈Ｄ，且x1＜x2，∵f（x）在區間D上保號，∴f（x1）f（x2）＞0．

又f（x）在區間D上為增函數，∴f（x1）－f（x2）＜0，從而g（x1）－g（x2）＞0，∴g（x）在D上為減函數．

［練習］

1.證明：（1）函數f（x）＝在（0，＋∞）上是增函數．

（2）函數f（x）＝x2－x在（－∞，］上是減函數．

2.判斷函數的單調性，并寫出相應的單調區間．

3.如果函數y＝f（x）是R上的增函數，判斷g（x）＝kf（x），（k≠0）在R上的單調性．

四、拓展延伸

1.根據圖像，簡要說明近150年來人類消耗能源的結構變化情況，并對未來100年能源結構的變化趨勢作出預測．

2.判斷二次函數f（x）＝ax2＋bx＋c，（a≠0）的單調性，并用定義加以證明． 3.如果自變量的改變量Δx＝x2－x1＜0，函數值的改變量Δy＝f（x2）－f（x1）＞0，那么函數f（x）在區間D上是增函數還是減函數？

4.函數值的改變量與自變量的改變量的比的平均變化率．

叫作函數f（x）在x1，x2之間（1）根據函數的平均變化率判斷y＝f（x）在區間D上是增函數還是減函數．

（2）比值的大小與函數值增長的快慢有什么關系？

點 評

這篇案例設計完整，思路清晰．案例首先通過實例闡述了函數單調性產生的背景，歸納、抽象概括出了增函數、減函數的定義，充分體現了數學教學的本質是數學思維過程的教學，符合新課程標準的精神．例題與練習由淺入深，完整，全面．“拓展延伸”的設計有新意，有深度，為學生數學思維能力、創造能力的培養提供了平臺．

這篇案例的突出特點，體現在如下幾個方面： 1.強調對基本概念和基本思想的理解和掌握

由于數學高度抽象的特點，注重體現基本概念的來龍去脈．在數學中要引導學生經歷從具體實例抽象出數學概念的過程，在初步運用中逐步理解概念的本質．

2.注重聯系，提高對數學整體的認識

數學的發展既有內在的動力，也有外在的動力．在高中數學的教學中，要注重數學的不同分支和不同內容之間的聯系，數學與日常生活的聯系，數學與其他學科的聯系．例如，通過研討本節課“拓展延伸”中的第1個問題，可以大大提高了學生學習的積極性和主動性． 3.注重數學知識與實際的聯系，發展學生的應用意識和能力

在數學教學中，應注重發展學生的應用意識；通過豐富的實例引入數學知識，引導學生應用數學知識解決實際問題，經歷探索、解決問題的過程，體會數學的應用價值，幫助學生認識到：數學與我有關，與實際生活有關；數學是有用的，我要用數學，我能用數學．

第二篇：《函數單調性》教學案例

《函數單調性》教學案例

1.【案例背景】

“函數的單調性”是新課標人教版《數學·1》第一章第三節的教學內容。“課標”規定兩個課時，所選案例為第一課時。

函數的單調性是函數的一條基本性質，從知識結構上看，函數的單調性既是函數概念的延續和拓展，又是后續研究基本初等函數、三角函數等內容的基礎。在這之前，學生已經學過函數的定義，函數的表示，學習過一次函數，二次函數，反比例函數等，函數單調性是學生研究函數整體性質的開始，之后還有奇偶性周期性等，所以本節內容承前啟后，解決有關的函數問題，這一節學好了，學生獲得的知識就會對后面幾節的知識產生正遷移作用。

2.【教學內容分析】

首先，從單調性知識本身來講.學生對于函數單調性的學習共分為三個階段，第一階段是在初中學習了一次函數、二次函數、反比例函數圖象的基礎上對增減性有一個初步的感性認識；第二階段是在高一進一步學習函數單調性的嚴格定義，從數和形兩個方面理解單調性的概念；第三階段則是在高三利用導數為工具研究函數的單調性.高一單調性的學習，既是初中學習的延續和深化，又為高三的學習奠定基礎．

其次，從函數角度來講.函數的單調性是學生學習函數概念后學習的第一個函數性質，也是第一個用數學符號語言來刻畫的概念.函數的單調性與函數的奇偶性、周期性一樣，都是研究自變量變化時，函數值的變化規律；學生對于這些概念的認識，都經歷了直觀感受、文字描述和嚴格定義三個階段，即都從圖象觀察，以函數解析式為依據，經歷用符號語言刻畫圖形語言，用定量分析解釋定性結果的過程.因此，函數單調性的學習為進一步學習函數的其它性質提供了方法依據.3.【學情分析】

高一的學生正處于經驗邏輯思維發展階段，具備了一定的邏輯思維但要想 使學生“以一系列的行動隊一系列的條件作出反應”卻需要很大的努力的。函數單調性的本質是利用定量的方法來研究函數圖象的性質，如何將圖形特征用嚴謹的數學語言來刻畫是本節課的難點之一．另一難點是學生在高中階段第一次接觸代數證明，如何進行嚴格的推理論證并完成規范的書面表達．

因此首先要重視學生的親身體驗：將新知識與學生的已有知識建立了聯系．如：學生對一次函數、二次函數和反比例函數的認識。運用新知識嘗試解決新 問題．其次重視學生發現的過程．充分展現學生將函數圖象（形）的特征轉化為函數值（數）的特征的思維過程。充分展現在正、反兩個方面探討活動中，學生認知結構升華、發現的過程． 最后重視學生的動手實踐過程．通過對定義的解讀、鞏固，讓學生動手去實踐運用定義．

4.【教學過程】

一、創設情境，引入課題 課前布置任務：

(1)由于某種原因，2008年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.(2)通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況.課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事.下圖是北京市今年8月8日一天24小時內氣溫隨時間變化的曲線圖.引導學生識圖，捕捉信息，啟發學生思考． 問題1：請同學們觀察圖，指出該天的氣溫在如何變化？（學生獨立思考）

【設計意圖】通過生活實例，讓學生對圖象的上升和下降有一個初步的感性認識，讓學生感受到函數的單調性和我們的生活密切相關，進而激發學生的興趣，引發學生進一步學習的好奇心。

生1（主動回答）：0～4時，溫度下降，4～14時溫度上升，14～24時溫度下降。問題2：還能舉出生活中其他的數據變化情況嗎？ 預案：水位高低、燃油價格、股票價格等．

歸納：用函數觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數值是變大還是變小． 〖設計意圖〗由生活情境引入新課，激發興趣． 二．借助圖象，直觀感知

問題3：觀畫出y=x和y?x2的函數圖象，回答下面兩個問題：

⑴分別指出上面兩個函數的圖象在哪個區間是上升的，在哪個區間是下降的？

【設計意圖】順應學生的認知規律。

（小組合作探求）

生1：一次函數y=x其定義域上是上升的，二次函數y?x2是先下降后上升。師：這樣回答準確嗎？

生2：一次函數y=x在區間（-∞，+∞）上是“上升”的；二次函數y=x2在區間（-∞，0）上是“下降”的，（0，-∞）上是“上升”的。

⑵同學們能用數學語言把這兩個函數圖象“上升”或“下降”的特征描述出來嗎？

【設計意圖】有感性上升到理性。（給學生適當的思考時間）

這時學生們思維較為混亂，無從下手。教師及時通過“幾何畫板”展示y=x圖象上A點的運動情況，讓學生觀察x，y值的變化。師（及時提問）：同學們能用數學語言把y=x圖象“上升”的特征描述出來嗎？ 生3：該函數隨著x的值增大，y的值相應的增大。師（面向全體學生）：大家同意生4的回答嗎？

生4：老師，我有補充，應該說：該函數在區間（-∞，+∞）上隨著x的值增大，y的值相應的增大。師：生5補充的很好，明確提出了函數變量在對應區間上的變化情況，那么函數y?x2呢？ 生5：函數y?x2在區間（-∞，0）上隨著x的值增大，y的值相應的減小；在區間（0，+∞）上是隨著x的值增大，y的值相應的增大。

師：在數學上，我們把y隨著x的增大而增大，稱為增函數；把y隨著x的增大而減小，稱為減函數。

五、鞏固概念，適當延展

練習2：證明函數f(x)?x在[0,??)上是增函數． 〖設計意圖〗初步掌握根據定義證明函數單調性的方法和步驟．等價形式進一步發展可以得到導數法，為用導數方法研究函數單調性埋下伏筆．

六、歸納小結，提高認識 學生交流在本節課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結． 1．小結

(1)概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)證明方法和步驟：設元、作差、變形、斷號、定論．

(3)數學思想方法和思維方法：數形結合，等價轉化，類比等． 2.課后探究：

研究函數y?x?1(x?0)的單調性，并結合描點法畫出函數的草圖． x 在整個教學過程當中收獲了以下幾點心得：

1、概念教學就是對知識發生過程的了解，數學概念是一系列常識不斷精細化的結果，之所以要進一步形式化，完全是數學精確性、嚴密性的要求。本案例通過“直觀”到“抽象”的跨越，使學生意識到自己能力上的缺陷，從而引發認知上的不平衡，產生學習的動力。

2、概念形成困難的原因在于新舊知識結構上的矛盾（如語言形式上的差異太大，學生認知水平、抽象水平與新內容的要求落差大等），所以解決的策略應是要培植知識的生長點，搭建恰當的腳手架。為此，我循序漸進、螺旋式地設計了問題組和運用了信息技術，是學生從“形”到“數”有了清新的認識。

第三篇：函數單調性教學設計

函數單調性教學設計

關于函數的單調性習題課教學設計，本人在聽了專家的講解后感到受益匪淺，結合平時的教學，有些教學方面的心得如下，希望專家和同行批評指正。

本節課是高中數學新課程標準必修1的第2章函數里的函數基本性質中介紹的第一個性質。它既是在學生學過函數概念等知識后的延續和拓展，又是后面研究指數函數、對數函數、三角函數各類函數的單調性的基礎，而且函數單調性在解決函數變化趨勢、值域、最值、不等式等許多問題中有著廣泛的應用。對整個高中數學教學起著重要的奠基作用。研究函數單調性的過程體現了數學的數形結合和歸納轉化的思想方法，反映了從特殊到一般的數學歸納思維形式，這對培養學生的創新意識、發展學生的思維能力，掌握數學的思想方法具有重大意義。下面我就這部分內容的習題教學提出一些不成熟的做法。

教學目標：

（1）在知識方面，通過習題訓練，使學生能加深對函數單調性概念的理解，進一步掌握判斷并證明函數的單調性方法、學會應用函數的單調性解決相關問題。

（2）在能力方面，培養學生歸納、抽象以及推理的能力，提高學生創新的意識，并滲透數形結合的思想。

（3）在價值觀和情感教育方面，讓學生在解題的過程中體驗數學美，培養學生樂于求索的精神，提高學生的數學修養，使其養成科學、嚴謹的研究態度。教學重點和難點：

本節課的教學重點是函數單調性的判定、證明及應用。其中的教學難點是函數單調性的應用和復合函數單調性的理解。教法和學法：

在教法上采用傳統的講練結合。在具體實施上，將采用計算機輔助教學的手段，為了貼切地服務于教學目標，課件的制作是為了能更好的講練習題，提高課堂效率，用是PowerPoint軟件。而學生在學習過程中不僅要訓練知識技能，還要達到思維的訓練，因此這節課要以學生為主體，給學生充足的活動空間。作為教師，我要做好啟發和規范地指導，引領學生大膽地探索，并培養其嚴謹的數學品質。

教學過程設計：

大概分為復習回顧、例題講解、規律小結、鞏固練習四個版塊，最后布置作業。下面為每部分的具體構思。

1、復習分為概念回顧和基礎練習兩部分，預計費時7到8分鐘左右，其中概念為（1）函數單調性和單調區間的定義以及用定義證明函數單調性的步驟，（2）怎么判斷函數單調性及單調區間——可以用定義法，也可以從圖象上觀察。形式主要由學生口答。基礎練習部分選擇了5道小題目，課件形式給出，請學生口答，內容涉及單調性的理解，一次函數、二次函數的單調性，最后一題讓學生們畫出圖象，觀察圖象的“升降”寫出單調區間，滲透數形結合的思想，都是小題目，難度小，用時少，但緊扣概念，也讓學生迅速熱身，無形中抓住了學生的課堂注意力。

2、例題選擇方面：

關于例

1、試判斷函數f(x)?變式：討論函數f(x)?x(?1?x?1)的單調性并證明； x2?1ax(?1?x?1)的單調性。x2?1選擇這個題目是為了讓學生更好地掌握定義法證明函數單調性的方法和基本步驟，變式的選擇是為培養學生分情況討論的意識和能力，講解過程中要注意證明的規范性，進一步培養學生嚴謹、規范的科學態度和品質。

關于例

2、求函數y?x?2?1的值域。x?2函數單調性的一個很重要的應用是求函數的值域或最值，選擇這道題，教會學生利用單調性來求函數值域的方法。讓學生體會利用單調性求值域時的簡捷有效。豐富學生的知識體系。

關于例

3、已知函數f(x)是定義在(0,??)上的增函數，且f()?f(x)?f(y)

xy（1）求f(1)的值

（2）若f(3)?1,解不等式f(x?5)?2

這是一道抽象函數的題目，對于求出f(1)、f(9)分別是0和2用的是賦值法，這是抽象函數中常用的方法，不等式變為f(x?5)?f(9)，應用函數單調性，將抽象函數函數值的大小關系，轉化為自變量之間的大小關系，即??x?5?9，提醒學生注意函數定義域！

?x?5?0選擇這個抽象函數的例子，目的就是讓學生體會并掌握怎么樣利用單調性轉化函數和自變量的大小關系。

關于例

4、已知f(x)是R上的減函數，g(x)??x2?4x，求函數h(x)?f(g(x))的單調增區間。

最終的那個函數明顯是個復合函數，函數g(x)圖象的對稱軸是x?2，開口向下，在[2,??)上遞減，又f(x)也遞減，所以[2,??)是個增區間。

本題小結：兩個函數單調性相同則復合后是增，相反則復合后是減。

3、關于這部分的課堂小結：

我們可以應用函數的單調性求函數值域、解不等式，以及證明一些代數命題。

4、關于鞏固練習題目方面的選擇：

這部分選兩題，類型在例題中已出現，其中第一個要先證明函數的單調性，再求值域。而第二題則先要判斷單調性，再進行證明，確定了單調性之后再應用到三角形的問題中，使學生在解題的過程中體會在一些代數不等式證明中如何應用函數單調性的。

這部分讓學生自己做，用投影儀和板書結合，規范其書寫和論證。

5、關于作業布置方面：

結合本節課的講解內容，為進一步鞏固教學成果，在作業題型選擇上，本人力求做到緊扣和深化上課內容。一共有三大題，第一題是求單調區間，其中要用圖形，數形結合；第二題要利用例4的小結“兩個函數單調性相同則復合后是增，相反則復合后是減。”；第三題是抽象函數題，與課上的例3類型一樣，讓學生課后練習鞏固。

以上是我對這部分習題教學方面的一些思考，希望得到專家的指正！

第四篇：《函數單調性》的教學案例

《函數單調性》的教學案例

一、教學目標:

(1)知識與技能：理解增函數、減函數的概念，初步掌握判斷 函數單調性的方法;

(2方法與過程：通過觀察、歸納、抽象、概括等，培養學生 從圖象中發現函數的單調性，并用數學語言加以刻畫的能力，領會數形結合的數學思想方法。

(3)情感態度與價值觀：在學習中，體驗數學的科學價值和應

用價值，培養善于觀察、勇于探索的良好習慣和嚴謹的科學態度。

二、教學重點、難點

教學重點：在圖象中發現函數的單調性并形成概念;

教學難點：將函數單調性的圖形語言或直觀語言轉化為數學 語言，用定義證明函數的單調性。

三、《函數單調性》 教學過程：

在下一頁用圖表說明。

《函數單調性》 教學過程

第五篇：函數的單調性教學案例

函數的單調性教學案例

【教材分析】

《函數單調性》是高中數學新教材必修一第二章第三節的內容。在此之前，學生已學習了函數的概念、定義域、值域及表示法，這為過渡到本節的學習起著鋪墊作用。本節內容是高中數學中相當重要的一個基礎知識點，是研究和討論初等函數有關性質的基礎。掌握本節內容不僅為今后的函數學習打下理論基礎，還有利于培養學生的抽象思維能力，及分析問題和解決問題的能力。【教學目標】

知識與技能：

1．通過生活中的例子幫助學生理解增函數、減函數及其幾何意義。2．學會應用函數的圖象理解和研究函數的單調性及其幾何意義。過程與方法：

1．通過本節課的教學，滲透數形結合的數學思想，對學生進行辨證唯物主義的教育。2．通過探究與活動，使學生明白考慮問題要細致，說理要明確。情感與態度：

1．通過本節課的教學，使學生能理性的描述生活中的增長、遞減的現象。

2．通過生活實例感受函數單調性的意義，培養學生的識圖能力和數形語言轉化的能力。【重點難點】

重點：函數單調性概念的理解及應用。難點：函數單調性的判定及證明。關鍵：增函數與減函數的概念的理解。【教法分析】

為了實現本節課的教學目標，在教法上我采取了：

1．通過學生熟悉的實際生活問題引入課題，為概念學習創設情境，拉近數學與現實的距離，激發學生求知欲，調動學生主體參與的積極性。

2．在形成概念的過程中，緊扣概念中的關鍵語句，通過學生的主體參與，正確地形成概念。3．在鼓勵學生主體參與的同時，不可忽視教師的主導作用，要教會學生清晰的思維、嚴謹的推理，并順利地完成書面表達。【學法分析】

在教學過程中，教師設置問題情景讓學生想辦法解決；通過教師的啟發點撥，學生的不斷探索，最終把解決問題的核心歸結到判斷函數的單調性。然后通過對函數單調性的概念的學習理解，最終把問題解決。整個過程學生主動參與、積極思考、探索嘗試的動態活動之中；同時讓學生體驗到了學習數學的快樂，培養了學生自主學習的能力和以嚴謹的科學態度研究問題的習慣。【教學過程設計】

（一）問題情境

1．海寧潮，又名錢江潮，自古稱之為“天下奇觀”。“八月十八潮，壯觀天下無”。海寧潮是一個壯觀無比的自然動態奇觀，當江潮從東面來時，似一條銀線，“則玉城雪嶺際天而來，大聲如雷霆，震撼激射，吞天沃日，勢極雄豪”。潮起潮落，牽動了無數人的心。

如何用函數形式來表示，起和落？

2．教師和學生一起舉出生活中描述上升或下降的變化規律的成語：蒸蒸日上、每況愈下、此起彼伏。

如何用學過的函數圖象來描繪這些成語？

設計意圖：創設海寧潮潮起潮落，成語→圖象的問題情境，讓學生用樸素的生活語言描述他們對變化規律的理解，并請學生將文字語言轉化為圖形語言，這樣做可使教學過程富有情趣，可激發 學生的學習熱情，教學起點的設定也比較恰當，學生的參與度較高。

（二）溫故知新

1．問題1：觀察學生繪制的函數的圖象（實際教學中可根據學生回答的情況而定），指出圖象的變化的趨勢。

觀察得到：隨著x值的增大，函數圖象有的呈上升趨勢，有的呈下降趨勢，有的在一個區間內呈上升趨勢，在另一區間內呈下降趨勢。

2．問題2：對“圖象呈逐漸上升趨勢”這句話初中是怎樣描述的？ 例如：初中研究y?x時，我們知道，當x<0時，函數值y隨x的增大而減小，當x>0時，函數值y隨x的增大而增大。

回憶初中對函數單調性的解釋：

圖象呈逐漸上升趨勢?數值y隨x的增大而增大；圖象呈逐漸下降趨勢?數值y隨x的增大而減小。

函數這種性質稱為函數的單調性。

設計意圖：學生在函數單調性這一概念的學習上有三個認知基礎：一是生活體驗，二是函數圖象，三是初中對函數單調性的認識。對照繪制的函數圖象，讓學生回憶初中對函數單調性的描述的定義，并在此基礎上進行概念的符號化建構，與學生的認知起點銜接緊密，符合學生的認知規律。

（三）建構概念

問題3：如何用符號化的數學語言來準確地表述函數的單調性呢？

對于區間I內的任意兩個值x1,x2，當x1?x2時，都有f(x1)?f(x2)。

單調增函數的定義：

問題4：如何定義單調減函數呢？ 2可以通過類比的方法由學生給出。

設計意圖：通過師生雙邊活動及學生討論，可以讓學生充分參與用嚴格的數學符號語言定義函數單調性的全過程，讓他們親身體驗數學概念如何從直觀到抽象，從文字到符號，從粗疏到嚴密。讓他們充分感悟數學概念符號化的建構原則。問題4則要求學生結合圖象化單調增函數的定義，通過類比的方法，由學生自己得到單調減函數的概念，在這個過程中，學生可以體會數學概念是如何擴充完善的。

（四）理解概念

1．顧名思義，對“單調”兩字加深理解

漢語大詞典對“單調”的解釋是：簡單、重復而沒有變化。2．呼應引入，解決問題情境中的問題

如：y?2x?1的單調增區間是(??,??)；y?3．單調性是函數的“局部”性質 如：函數y?上減函數？

引導學生討論，從圖象上觀察或用特殊值代入驗證否定結論（如取x1??1,x2?

1在(0,??)上是減函數。x11在(0,??)和(??,0)上都是減函數，能否說y?在定義域(??,0)?(0,??)上xx

1）。

2設計意圖：學生對一個概念的認識不可能一次完成，教師要善于從多個角度，通過概念變式教學和構造反例幫助學生理解概念的內涵與外延。在學習如何證明一個函數的單調性之前，先與學生一起探討怎樣才能否定一個函數的單調性對幫助學生理解函數單調性的概念尤為重要，可以加深學生對“任意”兩字的理解。

（五）運用概念

通過兩例，教師要向學生說明：

1．判斷函數單調性的主要方法：①觀察法：畫出函數圖象來觀察；②定義法：嚴格按照定義進行驗證；③分解法：對函數進行恰當的變形，使之變成我們所熟悉的且已知其單調性的較簡單函數的組合。

2．概括出證明函數單調性的一般步驟：取值→作差→變形→定號。練習：作出函數y?|x?1|?

1、y?|x2?1|的圖象，寫出他們的單調區間。

設計意圖：單調性證明是學生在函數內容中首次接觸到的代數論證問題，通過本例，要讓學生理解判斷函數單調性與證明函數單調性的差別，掌握證明函數單調性的程序，并深入理解什么是代數證明，代數證明要做什么事。

（六）回顧總結

本節課主要學習了函數單調性的定義，單調區間的概念，能利用（1）圖象法；（2）定義法來判定函數的單調性，從中體會了數形結合的思想，學會從“特殊到一般再到特殊”的思維方法來研究問題。