第一篇：【數(shù)學】1.3.1《柱體、錐體、臺體的表面積與體積(二)》教案(新人教A版必修2)

1.3.1 柱體、錐體、臺體的表面積與體積

（二）第二課時

一、教學目標

1、知識與技能

（1）通過對柱、錐、臺體的研究，掌握柱、錐、臺的體積的求法。

（2）能運用公式求解，柱體、錐體和臺體的體積，并且熟悉臺體與柱體和錐體之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。（3）培養(yǎng)學生空間想象能力和思維能力。

2、過程與方法

（1）讓學生經(jīng)歷幾何全的側(cè)面展一過程，感知幾何體的形狀。

（2）讓學生通對照比較，理順柱體、錐體、臺體三間的體積的關(guān)系。

3、情感與價值

通過學習，使學生感受到幾何體體積的求解過程，對自己空間思維能力影響。從而增強學習的積極性。

二、教學重點、難點

重點：柱體、錐體、臺體的體積計算 難點：臺體體積公式的推導(dǎo)

三、學法與教學用具

1、學法：學生通過閱讀教材，自主學習、思考、交流、討論和概括，通過剖析實物幾何體感受幾何體的特征，從而更好地完成本節(jié)課的教學目標。

2、教學用具：實物幾何體，投影儀

四、教學過程

1、復(fù)習準備：

(1).提問：圓柱、圓錐、圓臺的表面積計算公式？(2).提問：正方體、長方體、圓柱的體積計算公式？

2、探究新知

教學柱錐臺的體積計算公式：

① 討論：等底、等高的棱柱、圓柱的體積關(guān)系？（祖暅(gèng，祖沖之的兒子)原理，教材P30）

② 根據(jù)正方體、長方體、圓柱的體積公式，推測柱體的體積計算公式？

→給出柱體體積計算公式：V柱?Sh（S為底面面積，h為柱體的高）→V圓柱?Sh??r2h

③ 討論：等底、等高的棱柱與棱錐之間的體積關(guān)系？ 等底等高的圓錐、棱錐之間的體積關(guān)系？

④ 根據(jù)圓錐的體積公式公式，推測錐體的體積計算公式？

→給出錐體的體積計算公式：V錐?13Sh

S為底面面積，h為高）

⑤ 討論：臺體的上底面積S’，下底面積S，高h，由此如何計算切割前的錐體的高？

→ 如何計算臺體的體積？ ⑥ 給出臺體的體積公式：V臺?

→ V圓臺?13(S?''13(S?132'SS?S)h

（S，S分別上、下底面積，h為高）

2''SS?S)h??(r?rR?R)h（r、R分別為圓臺上底、下底半徑）

⑦ 比較與發(fā)現(xiàn)：柱、錐、臺的體積計算公式有何關(guān)系？

從錐、臺、柱的形狀可以看出，當臺體上底縮為一點時，臺成為錐；當臺體上底放大為與下底相同時，臺成為柱。因此只要分別令S’=S和S’=0便可以從臺體的體積公式得到柱、錐的相應(yīng)公式。從而錐、柱的公式可以統(tǒng)一為臺體的體積公式

討論：側(cè)面積公式是否也正確？ 圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積和體積公式又可如何統(tǒng)一？

3、例題分析講解

① 出示例：一堆鐵制六角螺帽，共重11.6kg, 底面六邊形邊長12mm，內(nèi)空直徑10mm，高10mm，估算這堆螺帽多少個？（鐵的密度7.8g/cm3）

討論：六角螺帽的幾何結(jié)構(gòu)特征？ → 如何求其體積？ → 利用哪些數(shù)量關(guān)系求個數(shù)？

→ 列式計算

→ 小結(jié)：體積計算公式

② 練習：將若干毫升水倒入底面半徑為2cm的圓柱形容器中，量得水面高度為6cm；若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形容器中，求水面的高度.4、小結(jié)：柱錐臺的體積公式及相關(guān)關(guān)系；公式實際運用.5、作業(yè)：P30 3題； P32習題 3、4題.五、教學后記:

第二篇：高中數(shù)學 (1.3.1 柱體、錐體、臺體的表面積與體積)示范教案 新人教A版必修2

1.3 空間幾何體的表面積與體積 1.3.1 柱體、錐體、臺體的表面積與體積

整體設(shè)計

教學分析

本節(jié)一開始的“思考”從學生熟悉的正方體和長方體的展開圖入手，分析展開圖與其表面積的關(guān)系，目的有兩個：其一，復(fù)習表面積的概念，即表面積是各個面的面積的和；其二，介紹求幾何體表面積的方法，把它們展成平面圖形，利用平面圖形求面積的方法，求立體圖形的表面積.接著，教科書安排了一個“探究”，要求學生類比正方體、長方體的表面積，討論棱柱、棱錐、棱臺的表面積問題，并通過例1進一步加深學生的認識.教學中可以引導(dǎo)學生討論得出：棱柱的展開圖是由平行四邊形組成的平面圖形，棱錐的展開圖是由三角形組成的平面圖形，棱臺的展形圖是由梯形組成的平面圖形.這樣，求它們的表面積的問題就可轉(zhuǎn)化為求平行四邊形、三角形和梯形的面積問題.教科書通過“思考”提出“如何根據(jù)圓柱、圓錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，求它們的表面積？”的問題.教學中可引導(dǎo)學生回憶圓柱、圓錐的形成過程及其幾何特征，在此基礎(chǔ)上得出圓柱的側(cè)面可以展開成為一個矩形，圓錐的側(cè)面可以展開成為一個扇形的結(jié)論，隨后的有關(guān)圓臺表面積問題的“探究”，也可以按照這樣的思路進行教學.值得注意的是，圓柱、圓錐、圓臺都有統(tǒng)一的表面積公式，得出這些公式的關(guān)鍵是要分析清楚它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)的側(cè)面展開圖中的邊長之間的關(guān)系，教學中應(yīng)當引導(dǎo)學生認真分析，在分別學習了圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式后，可以引導(dǎo)學生用運動、變化的觀點分析它們之間的關(guān)系.由于圓柱可看成上下兩底面全等的圓臺；圓錐可看成上底面半徑為零的圓臺，因此圓柱、圓錐就可以看成圓臺的特例.這樣，圓柱、圓錐的表面積公式就可以統(tǒng)一在圓臺的表面積公式之下.關(guān)于體積的教學.我們知道，幾何體占有空間部分的大小，叫做幾何體的體積.這里的“大小”沒有比較大小的含義，而是要用具體的“數(shù)”來定量的表示幾何體占據(jù)了多大的空間，因此就產(chǎn)生了度量體積的問題.度量體積時應(yīng)知道：①完全相同的幾何體，它的體積相等；②一個幾何體的體積等于它的各部分體積的和.體積相等的兩個幾何體叫做等積體.相同的兩個幾何體一定是等積體，但兩個等積體不一定相同.體積公式的推導(dǎo)是建立在等體積概念之上的.柱體和錐體的體積計算，是經(jīng)常要解決的問題.雖然有關(guān)公式學生已有所了解，但進一步了解這些公式的推導(dǎo)，有助于學生理解和掌握這些公式，為此，教科書安排了一個“探究”，要求學生思考一下棱錐與等底等高的棱柱體積之間的關(guān)系.教學中，可以引導(dǎo)學生類比圓柱與圓錐之間的體積關(guān)系來得出結(jié)論.與討論表面積公式之間的關(guān)系類似，教科書在得出柱體、錐體、臺體的體積公式后，安排了一個“思考”，目的是引導(dǎo)學生思考這些公式之間的關(guān)系，建立它們之間的聯(lián)系.實際上，這幾個公式之間的關(guān)系，是由柱體、錐體和臺體之間的關(guān)系決定的.這樣，在臺體的體積公式中，令S′=S，得柱體的體積公式；令S′=0，得錐體的體積公式.值得注意的是在教學過程中，要重視發(fā)揮思考和探究等欄目的作用，培養(yǎng)學生的類比思維能力，引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)這些公式之間的關(guān)系，建立它們的聯(lián)系.本節(jié)的重點應(yīng)放在公式的應(yīng)用上，防止出現(xiàn)：教師在公式推導(dǎo)過程中“糾纏不止”，要留出“空白”，讓學生自己去思考和解決問題.如果有條件，可以借助于信息技術(shù)來展示幾何體的展開圖.對于空間想象能力較差的學生，可以通過制作實物模型，經(jīng)過操作確認來增強空間想象能力.三維目標

1.了解柱體、錐體、臺體的表面積和體積計算公式（不要求記憶），提高學生的空間想象能力和幾何直觀能力，培養(yǎng)學生的應(yīng)用意識，增加學生學習數(shù)學的興趣.2.掌握簡單幾何體的體積與表面積的求法，提高學生的運算能力，培養(yǎng)學生轉(zhuǎn)化、化歸以及類比的能力.重點難點

教學重點：了解柱體、錐體、臺體的表面積和體積計算公式及其應(yīng)用.教學難點：表面積和體積計算公式的應(yīng)用.課時安排 1課時

教學過程

導(dǎo)入新課

思路1.在過去的學習中，我們已經(jīng)接觸過一些幾何體的面積和體積的求法及公式，哪些幾何體可以求出表面積和體積？（引導(dǎo)學生回憶，互相交流，教師歸類）幾何體的表面積等于它的展開圖的面積，那么，柱體、錐體、臺體的側(cè)面展開圖是怎樣的？你能否計算？ 思路2.被譽為世界七大奇跡之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲爾鐵塔落成前的四千多年的漫長歲月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生產(chǎn)工具很落后的中古時代，埃及人是怎樣采集、搬運數(shù)量如此之多，每塊又如此之重的巨石壘成如此宏偉的大金字塔，真是一個十分難解的謎.胡夫大金字塔是一個正四棱錐外形的建筑，塔底邊長230米，塔高146.5米，你能計算建此金字塔用了多少石塊嗎？ 推進新課 新知探究 提出問題

①在初中，我們已經(jīng)學習了正方體和長方體的表面積，以及它們的展開圖（圖1），你知道上述幾何體的展開圖與其表面積的關(guān)系嗎？

正方體及其展開圖(1)長方體及其展開圖(2)

圖1 ②棱柱、棱錐、棱臺也是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的展開圖是什么？如何計算它們的表面積？

③如何根據(jù)圓柱、圓錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，求它們的表面積？

④聯(lián)系圓柱、圓錐的側(cè)面展開圖，你能想象圓臺側(cè)面展開圖的形狀，并且畫出它嗎？如果圓臺的上、下底面半徑分別是r′,r，母線長為l，你能計算出它的表面積嗎？ ⑤圓柱、圓錐和圓臺的表面積之間有什么關(guān)系？

活動：①學生討論和回顧長方體和正方體的表面積公式.②學生思考幾何體的表面積的含義，教師提示就是求各個面的面積的和.③讓學生思考圓柱和圓錐的側(cè)面展開圖的形狀.④學生思考圓臺的側(cè)面展開圖的形狀.⑤提示學生用動態(tài)的觀點看待這個問題.討論結(jié)果：①正方體、長方體是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的表面積就是各個面的面積的和.因此，我們可以把它們展成平面圖形，利用平面圖形求面積的方法，求立體圖形的表面積.2

②棱柱的側(cè)面展開圖是平行四邊形，其表面積等于圍成棱柱的各個面的面積的和；棱錐的側(cè)面展開圖是由多個三角形拼接成的，其表面積等于圍成棱錐的各個面的面積的和；棱臺的側(cè)面展開圖是由多個梯形拼接成的，其表面積等于圍成棱臺的各個面的面積的和.③它們的表面積等于側(cè)面積與底面積的和，利用它們的側(cè)面展開圖來求得它們的側(cè)面積，由于底面是圓面，其底面積直接應(yīng)用圓的面積公式即得.其中，圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，圓錐的側(cè)面展開圖是扇形.我們知道，圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形（圖2）.如果圓柱的底面半徑為r,母線長為

2l，那么圓柱的底面面積為πr,側(cè)面面積為2πrl.因此，圓柱的表面積2S=2πr+2πrl=2πr(r+l).圖2 圖3 圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形（圖3）.如果圓錐的底面半徑為r,母線長為l，那么它2的表面積S=πr+πrl=πr(r+l).點評：將空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題，是解決立體幾何問題基本的、常用的方法.④圓臺的側(cè)面展開圖是一個扇環(huán)（圖4），它的表面積等于上、下兩個底面的面積和加上側(cè)22面的面積，即S=π(r+r′+rl+r′l).圖4 ⑤圓柱、圓錐、圓臺側(cè)面積的關(guān)系：

圓柱和圓錐都可以看作是圓臺退化而成的幾何體.圓柱可以看作是上下底面全等的圓臺，圓錐可看作是上底面退化成一點的圓臺，觀察它們的側(cè)面積，不難發(fā)現(xiàn)：

1212S圓柱表=2πr(r+l)????S圓臺表=π(r1l+r2l+r1+r2)?????S圓錐表=πr(r+l).r?r?r2

2r?0,r?r從上面可以很清楚地看出圓柱和圓錐的側(cè)面積公式都可以看作由圓臺側(cè)面積公式演變而來.提出問題

①回顧長方體、正方體和圓柱的體積公式，你能將它們統(tǒng)一成一種形式嗎？并依次類比出柱體的體積公式？

②比較柱體、錐體、臺體的體積公式： V柱體=Sh(S為底面積，h為柱體的高)；

1Sh(S為底面積，h為錐體的高)； 31V臺體=(S?SS'?S')h(S′,S分別為上、下底面積，h為臺體的高).3V錐體=你能發(fā)現(xiàn)三者之間的關(guān)系嗎？柱體、錐體是否可以看作“特殊”的臺體？其體積公式是否可以看作臺體體積公式的“特殊”形式？

活動：①讓學生思考和討論交流長方體、正方體和圓柱的體積公式.3

②讓學生類比圓柱、圓錐和圓臺的表面積的關(guān)系？ 討論結(jié)果：

32①棱長為a的正方體的體積V=a=aa=Sh；

長方體的長、寬和高分別為a,b,c，其體積為V=abc=(ab)c=Sh；

2底面半徑為r高為h的圓柱的體積是V=πrh=Sh，可以類比，一般的柱體的體積也是V=Sh，其中S是底面面積，h為柱體的高.11Sh(S為底面面積，h為高)，它是同底等高的圓柱的體積的.3311棱錐的體積也是同底等高的棱柱體積的,即棱錐的體積V=Sh(S為底面面積，h為高).33圓錐的體積公式是V=由此可見，棱柱與圓柱的體積公式類似，都是底面面積乘高；棱錐與圓錐的體積公式類似，都是底面面積乘高的1.31(S′+S'S+S)h, 3 由于圓臺（棱臺）是由圓錐（棱錐）截成的，因此可以利用兩個錐體的體積差，得到圓臺（棱臺）的體積公式V=其中S′，S分別為上、下底面面積，h為圓臺（棱臺）高.注意：不要求推導(dǎo)公式，也不要求記憶.②柱體可以看作是上、下底面相同的臺體，錐體可以看作是有一個底面是一個點的臺體.因此柱體、錐體可以看作“特殊”的臺體.當S′=0時，臺體的體積公式變?yōu)殄F體的體積公式;當S′=S時，臺體的體積公式變?yōu)橹w的體積公式，因此，柱體、錐體的體積公式可以看作臺體體積公式的“特殊”形式.柱體和錐體可以看作由臺體變化得到，柱體可以看作是上、下底面相同的臺體，錐體可以看作是有一個底面是一個點的臺體，因此很容易得出它們之間的體積關(guān)系,如圖5：

圖5 應(yīng)用示例

思路1

例1 已知棱長為a，各面均為等邊三角形的四面體S—ABC（圖6），求它的表面積.圖6

活動：回顧幾何體的表面積含義和求法.分析：由于四面體S—ABC的四個面是全等的等邊三角形，所以四面體的表面積等于其中任何一個面面積的4倍.解：先求△SBC的面積，過點S作SD⊥BC，交BC于點D.4

因為BC=a,SD=SB?BD?22a3a2?()2?a，22所以S△SBC=13321a?a.BC·SD=a?224232a?3a2.4因此，四面體S—ABC的表面積S=4×點評：本題主要考查多面體的表面積的求法.變式訓(xùn)練

1.已知圓柱和圓錐的高、底面半徑均分別相等.若圓柱的底面半徑為r，圓柱側(cè)面積為S，求圓錐的側(cè)面積.解：設(shè)圓錐的母線長為l，因為圓柱的側(cè)面積為S，圓柱的底面半徑為r，即S圓柱側(cè)=S，根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式可得：圓柱的母線（高）長為

SS，由題意得圓錐的高為，又圓錐2?r2?r2的底面半徑為r，根據(jù)勾股定理，圓錐的母線長l=r?(得

S2)，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式2?rS2)?S圓錐側(cè)=πrl=π·r·r?(2?r24?2r4?S2.22.兩個平行于圓錐底面的平面將圓錐的高分成相等的三段，那么圓錐被分成的三部分的體積的比是（）

A.1∶2∶3 B.1∶7∶19 C.3∶4∶5 D.1∶9∶27 分析：因為圓錐的高被分成的三部分相等，所以兩個截面的半徑與原圓錐底面半徑之比為1∶2∶3，于是自上而下三個圓錐的體積之比為（?3［r2h)∶

?3∶［(2r)2·2h］

?3(3r)2·3h］=1∶8∶27，所以圓錐被分成的三部分的體積之比為1∶（8－1）∶（27－8）=1∶7∶19.答案：B 3.三棱錐V—ABC的中截面是△A1B1C1，則三棱錐V—A1B1C1與三棱錐A—A1BC的體積之比是（）

A.1∶2 B.1∶4 C.1∶6 D.1∶8

分析：中截面將三棱錐的高分成相等的兩部分，所以截面與原底面的面積之比為1∶4，將三棱錐A—A1BC轉(zhuǎn)化為三棱錐A1—ABC，這樣三棱錐V—A1B1C1與三棱錐A1—ABC的高相等，底面積之比為1∶4，于是其體積之比為1∶4.答案：B 例2 如圖7，一個圓臺形花盆盆口直徑為20 cm，盆底直徑為15 cm，底部滲水圓孔直徑為1.5 cm，盆壁長為15 cm.為了美化花盆的外觀，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100個這樣的花盆需要多少毫升油漆？（π取3.14，結(jié)果精確到1毫升，可用計算器）

圖7

活動：學生思考和討論如何轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題.只要求出每個花盆外壁的表面積，就可以求出油漆的用量.而花盆外壁的表面積等于花盆的側(cè)面積加上底面積，再減去底面圓孔的面積.解：如圖7，由圓臺的表面積公式得一個花盆外壁的表面積S=π［(-π（1521520)??15??15］2221.5222)≈1 000(cm)=0.1(m).2涂100個這樣的花盆需油漆：0.1×100×100=1 000（毫升）.答：涂100個這樣的花盆需要1 000毫升油漆.點評：本題主要考查幾何體的表面積公式及其應(yīng)用.變式訓(xùn)練

21.有位油漆工用一把長度為50 cm，橫截面半徑為10 cm的圓柱形刷子給一塊面積為10 m的木板涂油漆，且圓柱形刷子以每秒5周的速度在木板上勻速滾動前進，則油漆工完成任務(wù)所需的時間是多少?（精確到0.01秒）

解：圓柱形刷子滾動一周涂過的面積就等于圓柱的側(cè)面積，2∵圓柱的側(cè)面積為S側(cè)=2πrl=2π·0.1·0.5=0.1π m，又∵圓柱形刷子以每秒5周勻速滾動，2∴圓柱形刷子每秒滾過的面積為0.5π m，10m220?因此油漆工完成任務(wù)所需的時間t=≈6.37秒.?0.5?m2點評：本題雖然是實際問題，但是通過仔細分析后，還是歸為圓柱的側(cè)面積問題.解決此題的關(guān)鍵是注意到圓柱形刷子滾動一周所經(jīng)過的面積就相當于把圓柱的側(cè)面展開的面積，即滾動一周所經(jīng)過的面積等于圓柱的側(cè)面積.從而使問題迎刃而解.2.（2007山東濱州一模，文14）已知三棱錐O—ABC中，OA、OB、OC兩兩垂直，OC=1,OA=x，OB=y，且x+y=4，則三棱錐體積的最大值是___________.11112?xy?x(4?x)??(x-2)2+，由于x＞0，則當

332662x=2時，三棱錐的體積取最大值.32答案：

3分析：由題意得三棱錐的體積是例3 有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是7.8 g/cm）六角螺帽（圖8）共重5.8 kg,已知底面是正六邊形，邊長為12 mm,內(nèi)孔直徑為10 mm,高為10 mm，問這堆螺帽大約有多少個?（π取3.14）

3圖8

活動：讓學生討論和交流如何轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題.六角帽表示的幾何體是一個組合體，在一個六棱柱中間挖去一個圓柱，因此它的體積等于六棱柱的體積減去圓柱的體積.解：六角螺帽的體積是六棱柱體積與圓柱體積的差，即V=3102233×12×6×10-3.14×()×10≈2 956(mm)=2.956(cm).42所以螺帽的個數(shù)為5.8×1 000÷(7.8×2.956)≈252(個).答：這堆螺帽大約有252個.點評：本題主要考查幾何體的體積公式及其應(yīng)用.變式訓(xùn)練

如圖9，有個水平放置圓臺形容器，上、下底面半徑分別為2分米，4分米，高為5分米，現(xiàn)以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，當水面的高度為3分米時，求所用的時間.（精確到0.01秒）

圖9

解：如圖10，設(shè)水面的半徑為r，則EH=r-2分米，BG=2分米，圖10 在△ABG中，∵EH∥BG，AHEH.∵AH=2分米, ?AGBG2r?214∴?.∴r=分米.525∴∴當水面的高度為3分米時，容器中水的體積為

14214876?2)+×4+4］=立方分米，2555876?292?∴所用的時間為25?≈36.69秒.325V水=?·3［(13答：所用的時間為36.69秒.思路2

例1（2007山東煙臺高三期末統(tǒng)考，理8）如圖11所示，一個空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長為1，那么這個幾何體的體積為（）

圖11 A.1 B.111 C.D.236活動：讓學生將三視圖還原為實物圖，討論和交流該幾何體的結(jié)構(gòu)特征.分析：根據(jù)三視圖，可知該幾何體是三棱錐，圖12所示為該三棱錐的直觀圖，并且側(cè)棱PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC.則該三棱錐的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以這個幾何體的體積為V=1111S?ABCPA???1?.3326

圖12

答案：D 點評：本題主要考查幾何體的三視圖和體積.給出幾何體的三視圖，求該幾何體的體積或面積時，首先根據(jù)三視圖確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再利用公式求得.此類題目成為新課標高考的熱點，應(yīng)引起重視.變式訓(xùn)練

1.（2007山東泰安高三期末統(tǒng)考，理8）若一個正三棱柱的三視圖如圖13所示，則這個正三棱柱的表面積為（）

圖13 A.183 B.153 C.24?83 D.24?163 分析：該正三棱柱的直觀圖如圖14所示，且底面等邊三角形的高為23，正三棱柱的高為

2，則底面等邊三角形的邊長為4，所以該正三棱柱的表面積為 3×4×2+2×1×4×23=24+83.2

圖14

答案：C 2.（2007山東濰坊高三期末統(tǒng)考，文3）如果一個空間幾何體的正視圖與側(cè)視圖均為全等的等邊三角形，俯視圖為一個半徑為1的圓及其圓心，那么這個幾何體的體積為（）A.3?23?? B.C.3? D.333分析：由三視圖知該幾何體是圓錐，且軸截面是等邊三角形，其邊長等于底面直徑2，則圓錐的高是軸截面等邊三角形的高為

3，所以這個幾何體的體積為V=13????12?3?.33答案：A 3.（2007廣東高考，文17）已知某幾何體的俯視圖是如圖15所示的矩形，正視圖（或稱主視圖）是一個底邊長為

8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖（或稱左視圖）是一個底邊長為

6、高為4的等腰三角形.圖15（1）求該幾何體的體積V；（2）求該幾何體的側(cè)面積S.解：由三視圖可知該幾何體是一個底面邊長分別為6、8的矩形，高為4的四棱錐.設(shè)底面矩形為ABCD.如圖16所示，AB=8，BC=6，高VO=4.圖16（1）V=1×(8×6)×4=64.3AB28)?42?()2?42, 229(2)設(shè)四棱錐側(cè)面VAD、VBC是全等的等腰三角形，側(cè)面VAB、VCD也是全等的等腰三角形，在△VBC中，BC邊上的高為h1=VO?（在△VAB中，AB邊上的高為h2=VO?(2BC26)?42?()2=5.22所以此幾何體的側(cè)面積S=2(?6?42?121?8?5)=40+242.2點評：高考試題中對面積和體積的考查有三種方式，一是給出三視圖，求其面積或體積；二是與的組合體有關(guān)的面積和體積的計算；三是在解答題中，作為最后一問.例2 圖17所示的幾何體是一棱長為4 cm的正方體，若在它的各個面的中心位置上，各打一個直徑為2 cm、深為1 cm的圓柱形的孔，求打孔后幾何體的表面積是多少?（π取3.14）

圖17 活動：因為正方體的棱長為4 cm，而孔深只有1 cm，所以正方體沒有被打透.這樣一來打孔后所得幾何體的表面積，等于原來正方體的表面積，再加上六個完全一樣的圓柱的側(cè)面積，這六個圓柱的高為1 cm，底面圓的半徑為1 cm.2解：正方體的表面積為16×6=96（cm），2一個圓柱的側(cè)面積為2π×1×1=6.28（cm），2則打孔后幾何體的表面積為96＋6.28×6=133.68（cm）.2答：幾何體的表面積為133.68 cm.點評：本題主要考查正方體、圓柱的表面積.求幾何體的表面積問題，通常將所給幾何體分成基本的柱、錐、臺，再通過這些基本柱、錐、臺的表面積，進行求和或作差，從而獲得幾何體的表面積.本題中將幾何體的表面積表達為正方體的表面積與六個圓柱側(cè)面積的和是非常有創(chuàng)意的想法，如果忽略正方體沒有被打透這一點，思考就會變得復(fù)雜，當然結(jié)果也會是錯誤的.變式訓(xùn)練

圖18所示是由18個邊長為1 cm的小正方體拼成的幾何體，求此幾何體的表面積.圖18

分析：從圖18中可以看出，18個小正方體一共擺了三層，第一層2個，第二層7個，因為18-7-2=9，所以第三層擺了9個.另外，上、下兩個面的表面積是相同的，同樣，前、后,左、右兩個面的表面積也是分別相同的.22解：因為小正方體的棱長是1 cm，所以上面的表面積為1×9=9（cm），2222前面的表面積為1×8=8（cm），左面的表面積為1×7=7（cm），2則此幾何體的表面積為9×2+8×2+7×2=48(cm).2答：此幾何體的表面積為48 cm.知能訓(xùn)練

1.正方體的表面積是96，則正方體的體積是（）

A.486 B.64 C.16 D.96 分析：設(shè)正方體的棱長為a，則6a=96，解得a=4，則正方體的體積是a=64.答案：B 2.（2007山東臨沂高三期末統(tǒng)考，文2）如圖19所示，圓錐的底面半徑為1，高為3，則圓錐的表面積為（）

A.π B.2π C.3π D.4π

3分析：設(shè)圓錐的母線長為l，則l=3?1=2，所以圓錐的表面積為S=π×1×(1+2)=3π.答案：C 3.正三棱錐的底面邊長為3，側(cè)棱長為23，則這個正三棱錐的體積是（）

A.27393279 B.C.D.444422分析：可得正三棱錐的高h=(23)?(3)=3，于是V=?133293?3?3?.44答案：D 4.若圓柱的高擴大為原來的4倍，底面半徑不變，則圓柱的體積擴大為原來的_________倍；若圓柱的高不變，底面半徑擴大為原來的4倍，則圓柱的體積擴大為原來的_________倍.2分析：圓柱的體積公式為V圓柱=πrh，底面半徑不變，高擴大為原來的4倍，其體積也變?yōu)?/p>

2原來的4倍；當圓柱的高不變，底面半徑擴大為原來的4倍時，其體積變?yōu)樵瓉淼?=16倍.答案：4 16 5.圖20是一個正方體，H、G、F分別是棱AB、AD、AA1的中點.現(xiàn)在沿△GFH所在平面鋸掉正方體的一個角，問鋸掉部分的體積是原正方體體積的幾分之幾?

圖20

分析：因為鋸掉的是正方體的一個角，所以HA與AG、AF都垂直，即HA垂直于立方體的上底面，實際上鋸掉的這個角，是以三角形AGF為底面，H為頂點的一個三棱錐.3解：設(shè)正方體的棱長為a，則正方體的體積為a.三棱錐的底面是Rt△AGF，即∠FAG為90°，G、F又分別為AD、AA1的中點，所以AF=AG=

1a.2 11

1111?a?a?a2.又因AH是三棱錐的高，H又是AB的中點，所以2228111113AH=a.所以鋸掉的部分的體積為?a?a2?a.2328481311又因,所以鋸掉的那塊的體積是原正方體體積的.a?a3?484848所以△AGF的面積為6.（2007山東臨沂高三期末考試，理13）已知一圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，且面積為S，則圓錐的底面面積是____________.??2S?l?S,分析：如圖21，設(shè)圓錐底面半徑為r，母線長為l，由題意得?2解得r=，所

2????l?2?r,以圓錐的底面積為πr=??

2SS?.2?2

圖21

答案：S 27.如圖22，一個正三棱柱容器，底面邊長為a，高為2a，內(nèi)裝水若干，將容器放倒，把一個側(cè)面作為底面，如圖23，這時水面恰好為中截面，則圖22中容器內(nèi)水面的高度是_________.圖22 圖23 分析：圖22中容器內(nèi)水面的高度為h，水的體積為V，則V=S△ABCh.又圖23中水組成了一個

3S?ABC?2a3334?a.直四棱柱，其底面積為S?ABC，高度為2a，則V=S?ABC·2a，∴h=

S?ABC244答案：3a 28.圓臺的兩個底面半徑分別為2、4，截得這個圓臺的圓錐的高為6，則這個圓臺的體積是_____________.12

分析：設(shè)這個圓臺的高為h，畫出圓臺的軸截面，可得臺的體積是

26?h，解得h=3，所以這個圓?46?22(2+2×4+4)×3=28π.3答案：28π

9.已知某個幾何體的三視圖如圖24，根據(jù)圖中標出的尺寸（單位：cm）,可得這個幾何體的體積是（）

圖24 A.400080003333 cm B.cm C.2 000 cm D.4 000 cm 33分析：該幾何體是四棱錐，并且長為20 cm的一條側(cè)棱垂直于底面，所以四棱錐的高為20 cm,2底面是邊長為20 cm的正方形（如俯視圖），所以底面積是20×20=400 cm，所以該幾何體的體積是180003×400×20=cm.33答案：B 拓展提升

問題：有兩個相同的直三棱柱，高為

2，底面三角形的三邊長分別為3a,4a,5a(a＞0).用它a們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面積最小的是一個四棱柱，則a的取值范圍是___________.探究：兩個相同的直三棱柱并排放拼成一個三棱柱或四棱柱，有三種情況：

2四棱柱有一種，就是邊長為5a的邊重合在一起，表面積為24a+28，三棱柱有兩種，邊長為

224a的邊重合在一起，表面積為24a+32，邊長為3a的邊重合在一起，表面積為24a+36，兩

2個相同的直三棱柱豎直放在一起，有一種情況，表面積為12a+48, 最小的是一個四棱柱，這說明24a+28＜12a+48?12a＜20?0＜a＜

15.3答案：0＜a＜15 3課堂小結(jié)

本節(jié)課學習了：

1.柱體、錐體、臺體的表面積和體積公式.2.應(yīng)用體積公式解決有關(guān)問題.作業(yè)

習題1.3 A組 第1、2、3題.設(shè)計感想

新課標對本節(jié)內(nèi)容的要求是了解棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式（不要求記憶公式），也就是說對體積和面積公式的推導(dǎo)、證明和記憶不作要求，按通常的理解是會求體積和面積，以及很簡單的應(yīng)用即可.因此本節(jié)教學設(shè)計中就體現(xiàn)了這一點，沒有過多地在公式的推導(dǎo)上“糾纏不休”，把重點放在了對公式的簡單應(yīng)用上.由于本節(jié)圖形較多，建議在使用時，盡量結(jié)合信息技術(shù).

第三篇：高中數(shù)學 課題：柱體、錐體、臺體的表面積與體積(二)教案 新人教A版

課題：柱體、錐體、臺體的表面積與體積

（二）課 型：新授課 教學目標

1、知識與技能

（1）通過對柱、錐、臺體的研究，掌握柱、錐、臺的體積的求法。

（2）能運用公式求解，柱體、錐體和臺全的全積，并且熟悉臺體與術(shù)體和錐體之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

（3）培養(yǎng)學生空間想象能力和思維能力。

2、過程與方法

讓學生通對照比較，理順柱體、錐體、臺體三間的體積的關(guān)系。

3、情感與價值

通過學習，使學生感受到幾何體體積的求解過程，對自己空間思維能力影響。從而增強學習的積極性。

教學要求：了解柱、錐、臺的體積計算公式；能運用柱錐臺的表面積公式及體積公式進行計算和解決有關(guān)實際問題.教學重點：運用公式解決問題.教學難點：理解計算公式之間的關(guān)系.教學過程：

一、復(fù)習準備：

1.提問：圓柱、圓錐、圓臺的表面積計算公式？

2.練習：正六棱錐的側(cè)棱長為6, 底面邊長為4, 求其表面積.3.提問：正方體、長方體、圓柱、圓錐的體積計算公式？

二、講授新課：

1.教學柱錐臺的體積計算公式： ① 討論：等底、等高的棱柱、圓柱的體積關(guān)系？（祖暅(gèng，祖沖之的兒子)原理，教材P30）② 根據(jù)正方體、長方體、圓柱的體積公式，推測柱體的體積計算公式？

→給出柱體體積計算公式：V柱?Sh（S為底面面積，h為柱體的高）→V圓柱?Sh??r2h

③ 討論：等底、等高的圓柱與圓錐之間的體積關(guān)系？ 等底等高的圓錐、棱錐之間的體積關(guān)系？

④ 根據(jù)圓錐的體積公式公式，推測錐體的體積計算公式？

→給出錐體的體積計算公式：V錐?Sh S為底面面積，h為高）

⑤ 討論：臺體的上底面積S’，下底面積S，高h，由此如何計算切割前的錐體的高？

→ 如何計算臺體的體積？

⑥ 給出臺體的體積公式：V臺?(S'?S'S?S)h（S，S分別上、下底面積，h為高）

→ V圓臺?(S'?S'S?S)h??(r2?rR?R2)h（r、R分別為圓臺上底、下底半徑）

⑦ 比較與發(fā)現(xiàn)：柱、錐、臺的體積計算公式有何關(guān)系？

從錐、臺、柱的形狀可以看出，當臺體上底縮為一點時，臺成為錐；當臺體上底放大為與下底相同時，臺成為柱。因此只要分別令S’=S和S’=0便可以從臺體的體積公式得到柱、錐的相應(yīng)公式。從而錐、柱的公式可以統(tǒng)一為臺體的體積公式

1313'1313

討論：側(cè)面積公式是否也正確？ 圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積和體積公式又可如何統(tǒng)一？

公式記憶：V錐?Sh 131V臺?(S'?S'S?S)h

311V圓臺?(S'?S'S?S)h??(r2?rR?R2)h

332.教學體積公式計算的運用：

例

1、一堆鐵制六角螺帽，共重11.6kg, 底面六邊形邊長12mm，內(nèi)空直徑10mm，高10mm，估

3算這堆螺帽多少個？（鐵的密度7.8g/cm）

討論：六角螺帽的幾何結(jié)構(gòu)特征？ → 如何求其體積？ → 利用哪些數(shù)量關(guān)系求個數(shù)？

→ 列式計算 → 小結(jié)：體積計算公式

② 練習：將若干毫升水倒入底面半徑為2cm的圓柱形容器中，量得水面高度為6cm；若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形容器中，求水面的高度.三、鞏固練習：

1.把三棱錐的高分成三等分，過這些分點且平行于三棱錐底面的平面，把三棱錐分成三部分，求這三部分自上而下的體積之比。

2、棱臺的兩個底面面積分別是245c㎡和80ｃ㎡，截得這個棱臺的棱錐的高為35cm，3求這個棱臺的體積。（答案：2325cm）

3.已知圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，它的軸截面的面積為4，求圓錐的體積.234.高為12cm的圓臺，它的中截面面積為225πcm,體積為2800cm，求它的側(cè)面積。

5.倉庫一角有谷一堆，呈1/4圓錐形，量得底面弧長2.8m，母線長2.2m，這堆谷多重？3720kg/m

四、小結(jié)：柱錐臺的體積公式及相關(guān)關(guān)系；公式實際運用

五、作業(yè)：P28 2、3題； P30習題 3題.課后記

第四篇：高中數(shù)學_1.3.1單調(diào)性與最值教案_新人教A版必修1 2

1.3.1 單調(diào)性與最值（3）

教學目標： 1.使學生理解函數(shù)最大（小）值及其幾何意義；

2.使學生掌握函數(shù)最值與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系；

3.使學生掌握一些單調(diào)函數(shù)在給定區(qū)間上的最值的求法； 4.培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合、辯證思維的能力；

5.養(yǎng)成細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣。

教學重點：函數(shù)最值的含義 教學難點：單調(diào)函數(shù)最值的求法 教學方法：講授法

1．函數(shù)最大值與最小值的含義

①定義：一般地，設(shè)函數(shù)y?f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：（1）對于任意的x?I，都有f(x)?M；（2）存在x0?I，使得f(x0)?M。那么，我們稱M是函數(shù)y?f(x)的最大值（maximum value）.②幾何意義：函數(shù)y?f(x)的最大值是圖象最高點的縱坐標。

思考：你能仿照函數(shù)最大值的定義，給出函數(shù)y?f(x)的最小值（minimum value）嗎？并說明幾何意義？

一般地，設(shè)函數(shù)y?f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：

（1）對于任意的x?I，都有f(x)?M；（2）存在x0?I，使得f(x0)?M。那么，我們稱M是函數(shù)y?f(x)的最小值（minimum value）.幾何意義：函數(shù)y?f(x)的最大值是圖象最低點的縱坐標。2．最值的求法

①配湊法：研究二次函數(shù)y?ax2?bx?c(a?0)的最大（小）值，若給定區(qū)間是(??,??)，先配b24ac?b24ac?b2方成y?a(x?)?后，當a?0時，函數(shù)取最小值為；當a?0時，函數(shù)取最大值。2a4a4a若給定區(qū)間是[a,b]，則必須先判斷函數(shù)在這個區(qū)間上的單調(diào)性，然后再求最值（見下列例題）。（此處順帶說出求值域的方法——配方法）

②單調(diào)法：一些函數(shù)的單調(diào)性，比較容易觀察出來，或者可以先證明出函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大值或最小值.③數(shù)形結(jié)合法：先作出其函數(shù)圖象后，然后觀察圖象得到函數(shù)的最大值或最小值.3．例題分析（講解最值求解方法時帶出值域）

例1．教材第30頁例題3。

用心

愛心

專心 例2．

1、求函數(shù)y?x2?1在下列各區(qū)間上的最值：

（1）(??,??)（2）[1，4]（3）[?6,?2]（4）[?2,2]（5）[?2,4]

6的最大值.2x?x?166133?8.解：配方為y?，由(x?)2??，得0?123123244(x?)?(x?)?2424

2、求函數(shù)y?例3．求函數(shù)y?2在區(qū)間[2，6]上的最大值和最小值（教材第31頁例4）。x?1 分析：先判定函數(shù)在區(qū)間[2，6]上的單調(diào)性，然后再求最大值和最小值。變式：若區(qū)間為[?6,?2]呢？

例4.求下列函數(shù)的最大值和最小值：

53（1）y?3?2x?x2,x?[?,]；（2）y?|x?1|?|x?2|.22b解：（1）二次函數(shù)y?3?2x?x2的對稱軸為x??，即x??1.2a39畫出函數(shù)的圖象，由圖可知，當x??1時，ymax?4； 當x?時，ymin??.24953所以函數(shù)y?3?2x?x2,x?[?,]的最大值為4,最小值為?.422?3(x?2)?（2）y?|x?1|?|x?2|??2x?1(?1?x?2).???3(x??1)作出函數(shù)的圖象，由圖可知，y?[?3,3].所以函數(shù)的最大值為3, 最小值為-3.點評：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值或最小值，常根據(jù)閉區(qū)間與對稱軸的關(guān)系，結(jié)合圖象進行分析.含絕對值的函數(shù)，常分零點討論去絕對值，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)進行研究.分段函數(shù)的圖象注意分段作出.直接觀察得到。隨堂鞏固：

1、指出下列函數(shù)圖象的最高點或最低點，→ 能體現(xiàn)函數(shù)值有什么特征？ f(x)??2x?3，f(x)??2x?3 x?[?1,2]；f(x)?x2?2x?1，f(x)?x2?2x?1 x?[?2,2]

2在區(qū)間[2，4]上的最大值，最小值是（）x111111A．

1、B.、1 C.、D.、2224422、函數(shù)y?3函數(shù)4若0f(x)?1?x(11?x)的最大值

?t?14，那么1?tt的最小值 用心

愛心

專心

5、函數(shù)y?x?1?x?1的最大值是

能力提升

1已知f(x)?

2已知函數(shù)x?1,x?[3,5]函數(shù)，求函數(shù)的最大值和最小值。x?2f(x)?x2?2ax?2,x?[?5,5]

（1）當a??1時，求f(x)的最值-5,37.（2）求實數(shù)a的取值范圍，使y?f(x)在x?[?5,5]上的單調(diào)函數(shù)a??5或?5

x2?2x?a3已知函數(shù)f(x)?，若對任意x?[1,??)，f(x)?0恒成立，試求實數(shù)a的取x值范圍 a??3

用心

愛心

專心 3

第五篇：高中數(shù)學 1.3.1 單調(diào)性與最大(小)值1教案 新人教A版必修1

福建省漳州市薌城中學高中數(shù)學 1.3.1 單調(diào)性與最大（小）值

1教案 新人教A版必修1 三維目標定向 〖知識與技能〗

理解函數(shù)的最大（小）值及其幾何意義，會用函數(shù)的單調(diào)性求一些函數(shù)的最大（小）值。〖過程與方法〗

借助具體函數(shù)，體驗函數(shù)最值概念的形成過程，領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。〖情感、態(tài)度與價值觀〗

滲透特殊到一般，具體到抽象、形成辯證的思維觀點。教學重難點

函數(shù)最值的意義及求函數(shù)的最值。教學過程設(shè)計

一、引例

畫出下列函數(shù)的草圖，并根據(jù)圖象解答下列問題：

（1）f(x)??2x?3；

（2）

f(x)??x2?2x?1。1）說出y?f(x)的單調(diào)區(qū)間，以及在各單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性； 2）指出圖象的最高點或最低點，并說明它能體現(xiàn)函數(shù)的什么特征？

y y o x o x

二、核心內(nèi)容整合

1、函數(shù)的最大（小）值的概念

設(shè)函數(shù)y?f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：

（1）對于任意的x?I，都有f(x)?M；（2）存在x0?I，使得f(x0)?M。

那么稱M是函數(shù)y?f(x)的最大值。學生類比給出函數(shù)最小值的概念：

設(shè)函數(shù)y?f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：

（1）對于任意的x?I，都有f(x)?M；（2）存在x0?I，使得f(x0)?M。那么稱M是函數(shù)y?f(x)的最小值。

注意：

（1）函數(shù)最大（小）值首先應(yīng)該是某一個函數(shù)值，即存在x0?I，使得f(x0)?M；

（2）函數(shù)最大（小）值應(yīng)該是所有函數(shù)值中最大（小）的，即對于任意的x?I，都有f(x)?M（f(x)?M）。

2y?ax?bx?c(a?)的最值：

2、一元二次函數(shù)

b24ac?b2y?a(x?)?2a4a；（1）配方：（2）圖象：

（3）a > 0時，ymin4ac?b24ac?b2ymax??4a。4a；a < 0時，二、例題分析示例

例

1、“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一，制造時一般是期望在它達到最高點時爆裂。如果煙花距地面的高度h m與時間t s之間的關(guān)系為h(t)??4.9t?14.7t?18，那么煙花沖出后什么時候是它爆裂的最佳時刻？這時距地面的高度是多少（精確到1m）？

〖知識提煉〗函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系：

（1）f(x)在[a , b]上為增函數(shù)，則f(a)為最小值，f(b)為最大值；（2）f(x)在[a , b]上為減函數(shù)，則f(a)為最大值，f(b)為最小值。

2y?例

3、已知函數(shù)2(x?[2,6])x?1，求函數(shù)的最大值和最小值。

分析：證明函數(shù)在給定區(qū)間上為減函數(shù)。

三、學習水平反饋：P36，練習5。補充練習：

2f(x)?x?4ax?2在區(qū)間(– ∞，6] 內(nèi)遞減，則a的取值范圍是（）

1、函數(shù)（A）a ≥ 3

（B）a ≤ 3

（C）a ≥ – 3

（D）a ≤ – 3

22、在已知函數(shù)f(x)?4x?mx?1在(??,?2]上遞減，在(?2,??]上遞增，則f(x)在[1，2]上的值域是____________。四、三維體系構(gòu)建

1、函數(shù)的最大（小）值的含義。

2、利用函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)的最大(小)值的方法：（1）利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；（2）利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；

（3）利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值。

如果函數(shù)y?f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，則函數(shù)y?f(x)在x = a處有最小值f(a)，在x = b處有最大值f(b)；

如果函數(shù)y?f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增，則函數(shù)y?f(x)在x = b處有最小值f(b)；

五、課后作業(yè)：P39，習題1.3，A組5，B組2。教學反思：