第一篇：因式分解 教學設計3

http://www.tmdps.cn

第二講 因式分解(二)

1．雙十字相乘法

分解二次三項式時，我們常用十字相乘法．對于某些二元二次六項式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我們也可以用十字相乘法分解因式．

例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我們將上式按x降冪排列，并把y當作常數，于是上式可變形為

2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是關于x的二次三項式．

對于常數項而言，它是關于y的二次三項式，也可以用十字相乘法，分解為

即

-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．

再利用十字相乘法對關于x的二次三項式分解

所以

原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］

=(x+2y-3)(2x-11y+1)．

上述因式分解的過程，實施了兩次十字相乘法．如果把這兩個步驟中的十字相乘圖合并在一起，可得到下圖：

http://www.tmdps.cn

它表示的是下面三個關系式：

(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；

(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；

(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．

這就是所謂的雙十字相乘法．

用雙十字相乘法對多項式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f進行因式分解的步驟是：

(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一個十字相乘圖(有兩列)；

(2)把常數項f分解成兩個因式填在第三列上，要求第二、第三列構成的十字交叉之積的和等于原式中的ey，第一、第三列構成的十字交叉之積的和等于原式中的dx．

例1 分解因式：

(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；

(2)x2-y2+5x+3y+4；

(3)xy+y2+x-y-2；

(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．

解(1)

原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．

(2)

原式=(x+y+1)(x-y+4)．

(3)原式中缺x2項，可把這一項的系數看成0來分解．

http://www.tmdps.cn

原式=(y+1)(x+y-2)．

(4)

原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．

說明(4)中有三個字母，解法仍與前面的類似．

2．求根法

我們把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n為非負整數)的代數式稱為關于x的一元多項式，并用f(x)，g(x)，…等記號表示，如

f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，當x=a時，多項式f(x)的值用f(a)表示．如對上面的多項式f(x)

f(1)=12-3×1+2=0；

f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．

若f(a)=0，則稱a為多項式f(x)的一個根．

定理1(因式定理)若a是一元多項式f(x)的根，即f(a)=0成立，則多項式f(x)有一個因式x-a．

根據因式定理，找出一元多項式f(x)的一次因式的關鍵是求多項式f(x)的根．對于任意多項式f(x)，要求出它的根是沒有一般方法的，然而當多項式f(x)的系數都是整數時，即整系數多項式時，經常用下面的定理來判定它是否有有理根．

定理2

http://www.tmdps.cn 的根，則必有p是a0的約數，q是an的約數．特別地，當a0=1時，整系數多項式f(x)的整數根均為an的約數．

我們根據上述定理，用求多項式的根來確定多項式的一次因式，從而對多項式進行因式分解．

例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．

分析 這是一個整系數一元多項式，原式若有整數根，必是-4的約數，逐個檢驗-4的約數：±1，±2，±4，只有

f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一個根，所以根據定理1，原式必有因式x-2．

解法1 用分組分解法，使每組都有因式(x-2)．

原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)

=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)

=(x-2)(x2-2x+2)．

解法2 用多項式除法，將原式除以(x-2)，所以

原式=(x-2)(x2-2x+2)．

說明 在上述解法中，特別要注意的是多項式的有理根一定是-4的約數，反之不成立，即-4的約數不一定是多項式的根．因此，必須對-4的約數逐個代入多項式進行驗證．

例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．

http://www.tmdps.cn

分析 因為9的約數有±1，±3，±9；-2的約數有±1，±

為：

所以，原式有因式9x2-3x-2．

解 9x4-3x3+7x2-3x-2

=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2

=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2

=(9x2-3x-2)(x2+1)

=(3x+1)(3x-2)(x2+1)

說明 若整系數多項式有分數根，可將所得出的含有分數的因式化為整系數因式，如上題中的因式

可以化為9x2-3x-2，這樣可以簡化分解過程．

總之，對一元高次多項式f(x)，如果能找到一個一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解為(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多項式，這樣，我們就可以繼續對g(x)進行分解了．

3．待定系數法

待定系數法是數學中的一種重要的解題方法，應用很廣泛，這里介紹它在因式分解中的應用．

在因式分解時，一些多項式經過分析，可以斷定它能分解成某幾個因式，但這幾個因式中的某些系數尚未確定，這時可以用一些字母來表示待定的系數．由于該多項式等于這幾個因式的乘積，根據多項式恒等的性質，兩邊對應項系數應該相等，或取多項式中原有字母的幾個特殊值，列出關于待定系數的方程(或方程組)，解出待定字母系數的值，這種因式分解的方法叫作待定系數法．

http://www.tmdps.cn

例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．

分析 由于

(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的兩個一次項一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，應用待定系數法即可求出m和n，使問題得到解決．

解 設

x2+3xy+2y2+4x+5y+3

=(x+2y+m)(x+y+n)

=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比較兩邊對應項的系數，則有

解之得m=3，n=1．所以

原式=(x+2y+3)(x+y+1)．

說明 本題也可用雙十字相乘法，請同學們自己解一下．

例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．

分析 本題所給的是一元整系數多項式，根據前面講過的求根法，若原式有有理根，則只可能是±1，±7(7的約數)，經檢驗，它們都不是原式的根，所以，在有理數集內，原式沒有一次因式．如果原式能分解，只能分解為(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．

解 設

原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)

=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有

http://www.tmdps.cn

由bd=7，先考慮b=1，d=7有

所以

原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．

說明 由于因式分解的唯一性，所以對b=-1，d=-7等可以不加以考慮．本題如果b=1，d=7代入方程組后，無法確定a，c的值，就必須將bd=7的其他解代入方程組，直到求出待定系數為止．

本題沒有一次因式，因而無法運用求根法分解因式．但利用待定系數法，使我們找到了二次因式．由此可見，待定系數法在因式分解中也有用武之地．

練習二

1．用雙十字相乘法分解因式：

(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；

(2)x2-xy+2x+y-3；

(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．

2．用求根法分解因式：

(1)x3+x2-10x-6；

(2)x4+3x3-3x2-12x-4；

(3)4x4+4x3-9x2-x+2．

3．用待定系數法分解因式：

http://www.tmdps.cn

(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；

(2)x4+5x3+15x-9．

第二篇：因式分解教學設計)

因式分解教學設計

一、背景介紹

因式分解是代數式中的重要內容，它與前一章整式和后一章分式聯系極為密切。因式分解的教學是在整式四則運算的基礎上進行的，因式分解方法的理論依據就是多項式乘法的逆變形。它不僅在多項式的除法、簡便運算中有直接的應用，也為以后學習分式的約分與通分、解方程（組）及三角函數式的恒等變形提供了必要的基礎。因此，學好因式分解對于代數知識的后續學習，具有相當重要的意義。

二、教學設計 【教學內容分析】

因式分解的概念是把一個多項式化成幾個整式的積的形式，它是因式分解方法的理論基礎，也是本章中一個重要概念。教材在引入中是結合剪紙拼圖來闡述這一概念的，也可以與小學數學里因數分解的概念類比予以說明。在教學時對因式分解這一概念不宜要求學生一次徹底了解，應該在講授因式分解的三種基本方法時，結合具體例題的分解過程和分解結果，說明這一概念的意義，以達到逐步了解這一概念的教學目的。

【教學目標】

1、認知目標：（1）理解因式分解的概念和意義

（2）認識因式分解與整式乘法的相互關系——相反變形，并會運用它們之間的相互關系尋求因式分解的方法。

2、能力目標：由學生自行探求解題途徑，培養學生觀察、分析、判斷能力和創新能力，發展學生智能，深化學生逆向思維能力和綜合運用能力。

3、情感目標：培養學生接受矛盾的對立統一觀點，獨立思考，勇于探索的精神和實事求是的科學態度。

【教學重點、難點】 重點是因式分解的概念，難點是理解因式分解與整式乘法的相互關系，并運用它們之間的相互關系尋求因式分解的方法。

【教學準備】

實物投影儀、多媒體輔助教學?！窘虒W過程】 ㈠、情境導入

看誰算得快：（搶答）

(1)若a=101,b=99,則a2-b2=___________；(2)若a=99,b=-1,則a2-2ab+b2=____________；(3)若x=-3,則20x2+60x=____________。

【初一年級學生活波好動，好表現，爭強好勝。情境導入借助搶答的方式進行，引進競爭機制，可以使學生在參與的過程中提高興趣，并增強競爭意識和探究欲望?！?/p>

㈡、探究新知

1、請每題答得最快的同學談思路，得出最佳解題方法。（多媒體出示答案）(1)a2-b2=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400；(2)a2-2ab+b2=(a-b)2=(99+1)2 =10000；

(3)20x2+60x=20x（x+3）=20x(-3)(-3+3)=0。

【“與其拉馬喝水，不如讓它口渴”。探索最佳解題方法的過程，就是學生“口渴” 的地方。由此引起學生的求知欲?！?/p>

2、觀察：a2-b2=(a+b)(a-b)，a2-2ab+b2 =(a-b)2，20x2+60x=20x(x+3)，找出它們的特點。(等式的左邊是一個什么式子，右邊又是什么形式？)【利用教師的主導作用，把學生的無意識的觀察轉變為有意識的觀察，同時教師應鼓勵學生大膽描述自己的觀察結果，并及時予以肯定?！?/p>

3、類比小學學過的因數分解概念，得出因式分解概念。（學生概括，老師補充。）

【讓學生自己概括出所感知的知識內容，有利于學生在實踐中感悟知識的生成過程，培養學生的語言表達能力。】

板書課題：§6.1 因式分解

因式分解概念：把一個多項式化成幾個整式的積的形式叫做因式分解，也 叫分解因式。

㈢、前進一步

1、讓學生繼續觀察：

2、(a+b)(a-b)= a2-b2 ,(a-b)2=a2-2ab+b2，20x(x+3)= 20x2+60x,它們是什么運算？與因式分解有何關系？它們有何聯系與區別？

（要注意讓學生區分因式分解與整式乘法的區別，防止學生出現在進行因式分解當中，半路又做乘法的錯誤。）

【注重數學知識間的聯系，給學生提供探索與交流的空間，讓學生經歷數學知識的生成過程，由學生發現整式乘法與因式分解的相互關系，培養學生觀察、分析問題的能力和逆向思維能力及創新能力?！?/p>

3、因式分解與整式乘法的關系：

因式分解

結合：a2-b2=========（a+b）（a-b）

整式乘法

說明：從左到右是因式分解其特點是：由和差形式（多項式）轉化成整式的積的形式；從右到左是整式乘法其特點是：由整式積的形式轉化成和差形式（多項式）。

結論：因式分解與整式乘法的相互關系——相反變形。（多媒體展示學生得出的成果）

㈣、鞏固新知

1、下列代數式變形中，哪些是因式分解？哪些不是？為什么？(1)x2-3x+1=x(x-3)+1 ；

(2)(m＋n)(a＋b)＋(m＋n)(x＋y)＝(m＋n)(a＋b＋x＋y)；(3)2m(m-n)=2m2-2mn；(4)4x2-4x+1=(2x-1)2；(5)3a2+6a=3a（a+2）；

(6)x2-4+3x=（x-2）（x+2）+3x；(7)k2+ +2=（k+）2；(8)18a3bc=3a2b·6ac。

【針對學生易犯的錯誤，制造認知沖突，讓學生充分暴露錯誤，然后通過分析、討論，達到理解的效果?！?/p>

2、你能寫出整式相乘（其中至少一個是多項式）的兩個例子，并由此得到相應的兩個多項式的因式分解嗎？把結果與你的同伴交流。

【學生出題熱情、積極性高，因初一學生好表現，因而能激發學生學習興趣，激活學生的思維?！?/p>

㈤、應用解釋

例

檢驗下列因式分解是否正確：

22=(1)xy-xyxy(x-y)；(2)2x2-1=(2x+1)(2x-1)；(3)x2+3x+2=(x+1)(x+2).分析：檢驗因式分解是否正確，只要看等式右邊幾個整式相乘的積與右邊的多項式是否相等。

練習計算下列各題，并說明你的算法：(請學生板演)(1)872+87×13(2)1012-992 ㈥、思維拓展

1.若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5),則m= ,n= 2．機動題：（填空）x2-8x+m=(x-4)(),且m= 【進一步拓展學生在數學領域內的視野，增強學生對數學的興趣，使學生從小熱衷于數學的學習和探索。通過機動題，了解學生對概念的熟練程度和思維的靈敏性、深刻性、廣闊性及探研創造能力，及時評價，及時矯正?！?/p>

㈦、課堂回顧

今天這節課，你學到了哪些知識？有哪些收獲與感受？說出來大家分享?！菊n堂小結交給學生，讓學生總結本節課中概念的發現過程，運用概念分析問題的過程，養成學生學習——總結——學習的良好習慣。唯有總結反思，才能控制思維操作，才能促進理解，提高認知水平，從而促進數學觀點的形成和發展，更好地進行知識建構，實現良性循環。】

㈧、布置作業

教科書第153的作業題?！驹O計思想】

葉圣陶先生曾說過課堂教學的最高藝術是看學生，而不是看教師，看學生能否在課堂中煥發生命的活力。因此本教學是按“投疑——感知——概括——鞏固、應用和拓展”的敘述模式呈現教學內容的，這種呈現方式符合七年級學生的認知規律和學習規律，使學生從被動的學習到主動探索和發現的轉化中感受到學習與探索的樂趣。本堂課先采用以設疑探究的引課方式，激發學生的求知欲望，提高學生的學習興趣和學習積極性，再把因式分解概念及其與整式乘法的關系作為主線，訓練學生思維，使學生能順利地掌握重點，突破難點，提高能力。并在課堂教學中，引導學生體會知識的發生發展過程，堅持啟發式的教學方法，鼓勵學生充分地動腦、動口、動手，積極參與到教學中來，充分體現了學生的主動性原則。并改變了傳統的言傳身教的方式，恰當地運用了現代教育技術，展現了一個平等、互動的民主課堂。

第三篇：因式分解教學設計

13.5因式分解

喻屯二中張永超

因式分解（1）提公因式法

學習目標

1、了解因式分解的概念，以及因式分解與整式乘法之間的關系。明白

因式分解的結果可用式乘法來檢驗。

2、了解公因式的概念和提公因式的方法。

3、會用提公因式法分解因式。

學習重點：因式分解的概念，會用提公因式法分解因式。

學習難點：正確找出多項式各項的公因式，如何確定公因式以及提公因式后的另外一個因式。

課前診斷：

一﹑計算下列各題

（1）x（x+1）=（x2+x）÷x=

（2）-5a（a-5）=（-5a2+25a）÷（-５ａ）＝

（３）3a2b2（4a-3b2c）=（12a3b2-9a2b4c）÷3a2b2=

（4）ab（a-2b+1）=（a2b-2ab2+ab）÷ab=

導讀思考：

一﹑因式分解

小明到超市購物，他分別買了蘋果﹑香焦﹑葡萄各5千克。其中蘋果

3.75元/千克﹑香焦2.13元/千克﹑葡萄4.12元/千克。小明一看價目表，立刻就知道花了多少錢，你知道小明是怎么算的嗎？用的是什么數學方法？

若小明三種水果各買m千克，每千克分別為a ﹑b ﹑c元，則需多少錢？

ma+mb+mc=m（）從上面算式，你發現了什么？

等式左邊特點：從左到右是把一個多項式化為因式分解與整式的乘法互為逆運算?？梢杂谜降某朔z驗因式分解是否正確

判斷下列各式哪些是因式分解，哪些是整式的乘法？

（1）8x-72=8（x-9）（2）（a+3）（a-3）=a2-9

（3）a2-ab=a（a-b）（4）y2-3y+1=y（y-3）+1

（5）25a2b-5ab=5ab（5a-1）（6）a2-2ab+b2=（a-b）2

二、提公因式法

1、公因式觀察上式中的（1）（3）（5）（6）你發現了什么？

左邊多項式中各項均含有一個＿＿＿＿＿ ＿＿，我們把它稱為＿＿

＿＿＿。

思考：如何尋找公因式？并舉例說明

2、提公因式法

如果多項式中各項均含有一個公因式，那么就把這個＿＿＿＿＿ ＿＿＿提出來，把這個多項式化成＿＿＿＿＿ 的形式，這種方法就叫提公因式法。試一試：把下列各式分解因式

（1）3 x+3y（2）-5a2+25a（3）a2b-2ab2+ab

（4）a（a-b）-b（a-b）（5）（2a+b）（2a-3b）+a（2a+b）

通過以上因式分解，你能總結出分解因式的關鍵所在嗎？

精練反饋

一、把下列各式分解因式

（1）6ab-3a2b（2）?24m2x?16n2x

（3）4x3-6x2+2x（4）a（a-2）+2（2-a）

二、用提公因式法解下列各題

（1）972+97×3（2）3.7×3.8+3.7×6.2三、判斷下列因式分解是否正確？若不正確請說明理由.(1)6x2y2z-9xy3=3xy(2xyz-3y2)

(2)9a2-6ab+3a=3a(3a-2b)

(3)-7ab-14abx+49aby=-7ab(1+2x+7y)

(4)4a2b+6ab2-8a=2ab(2a+3b)-8a

課外拓展:

1、把下列各式分解因式

(1)a+a2+a3(2)15x(a-b)2-3y(b-a)(3)-ab(a-b)2+a(b-a)

(4)(x-y)2-6x+6y2、先分解因式，再求值。

4a2(x+7)-3(x+7),其中a=5,x=3

小節：

（1）因式分解的概念

（2）因式分解與整式乘法的聯系與區別

（3）公因式的意義及找公因式的方法

（4）提公因式法分解因式及應注意的問題

第四篇：因式分解教學設計

因式分解——提示公因式的教學設計

新華中學數學教研組

【設計理念】

數學是培養學生思維能力，推理能力，計算能力等。本設計重在培養學生的思維能力、推理能力，通過問題引入、探究學習、應用歸納、練習鞏固、拓展延伸，達到對知識的理解與掌握。

【教學目標】

（一）知識與能力

1、了解因式分解的概念，明確因式分解與整式乘法的關系。

2、了解公因式的概念，能用提公因式法進行因式分解。

（二）過程與方法

1、學會用提公因式法將多項式因式分解，通過逆變形探索新知識。

2、運用引導、觀察、討論、展示交流來明確提公因式的方法。

（三）情感態度價值觀

在探索提公因式法分解因式的過程中學會逆向思維，滲透化歸的思想方法。

【教學重點】因式分解的意義及提公因式法進行因式分解。

【教學難點】正確找出多項式中各項公因式及因式分解與整式乘法的異同。

【教學流程】

一、了解因式分解的概念

1、創設情景引入新課：

填空：

①2(a+b)=①2a+2b=② x(x+1)=② x2+x=

③m(a+b+c)=③ma+mb+mc=

觀察上面兩組式子特點，引導學生歸納：

（1）因式分解的概念。

（2）因式分解與整式乘法的關系。

（3）公因式概念。

二、探索因式分解的方法（提公因式法）1指出下列各式的公因式。

? ①2x+4y8a+4b6a-12c

? ②X2y-ya3b2-abm4n4-m3n2c ? ③3a2-9ab2ax2y+6x3yz4a3b-10a2b3c 歸納：找公因式的方法

? ①系數取各系數的最大公約數。

? ②相同因式的取最低次冪。

3、試著來分解因式：

?(1)x2-5xy

?(2)12mn-3n2

?(3)8a3b2+12ab3c

?(4)2a(b+c)－3(b+c)

想想：（1）提完公因式后怎樣確定另一個因式？

（2）如何檢驗因式分解？

4、拓展延伸：

變式題：①2a(b－c)－2(c－b)②運用所學知識對此式進行化簡

三、課堂小結： x?1 2x-

11、因式分解的概念。

2、提取公因式法分解因式的方法。

第五篇：因式分解教學設計

《因式分解——提公因式法》教學設計

教學目標：

1、使學生了解因式分解的意義，了解因式分解和整式的乘法是整式的兩種相反方向的變形。

2、讓學生會確定多項式中各項的公因式，會用提公因式法進行因式分解。

3、通過與因數分解的類比，讓學生感悟數學中數與式的共同點，體驗數學的類比思想。

教學重點、難點：

教學重點：因式分解的概念及提公因式法的應用。教學難點：正確找出多項式中各項的公因式

教學過程：

一、溫故知新

1、計算下列各式：

（1）x(x+1)= ；（2）(x+1)(x-1)= ； 運算：整式乘法

2、請把下列多項式寫成整式乘積的形式：

（1）x2+x=()()；（2）x2?1=()()； 運算：因式分解

歸納：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做這個多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式。

想一想：因式分解與整式乘法有何關系？

因式分解和整式乘法是方向相反的變形

二、小試牛刀

下列各式由左到右的變形，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？為什么？

(1)x-（2y）=(x+2y)(x-2y);(2)2x(x-3y)=2x2-6xy;(3)2πR+2πr=2π(R+r);(4)x2+4x+4=x(x+2)+4;(5)x2+1=x(x+);x122(6)x2-4y2=(x+4y)(x-4y).討論：如何判斷是否是因式分解？

三、觀察歸納，引出新知

1、想一想：

觀察下列各式的結構特征：

2πR+2πr ma+mb cx-cy+cz 共同特征：各式中的各項都含有一個相同的因式。小結：在多項式中每一項都含有的相同的因式叫做公因式。

2、做一做

找出下面多項式的公因式：

3x2-6x3 y 正確找出公因式的關鍵：

定系數：多項式中各項系數的最大公約數；

定字母（或因式）：多項式中各項都有的相同字母（或因式）。定指數：相同字母（或因式）的最小指數。

2、練一練

四、新知應用

請用簡便的方法計算下列式子：(1).3.8×5+5.3×5+1.9×5(2).20052-2004×2005 小結：把公因式提出來，這樣的因式分解的方法叫提公因式法。

提公因式法分解因式的依據是：乘法的分配律。

五、鞏固提高

例：把下列多項式分解因式：（1）7x2-21x（2）-8a3b2-12ab3c+ab ；（3）2a(b+c)-3(b+c)通過例題的學習，讓學生討論歸納用提公因式法進行因式分解的一般步驟：

第一步：找出多項式的公因式 第二步：提出公因式

討論：如何檢驗因式分解的正確性？

設計說明：強調如何檢驗因式分解的正確性，再一次讓學生體會因式分解和整式乘法的關系，同時也為以后學習整式的恒等變形做準備。

六、游戲中練習

七、課堂小結

1、什么叫公因式、提公因式法？

2、確定公因式的方法： 定系數、定字母（或因式）、定指數

3、提公因式法的一般步驟？

4、用提公因式法分解因式應注意的問題：

小心漏項 公因式可以是多項式形式

八、布置作業