第一篇：4.3《運用平方差公式因式分解》說課稿

4.3《運用平方差公式因式分解》說課稿

今天我說課的內容是九年義務教育北師大版八年級下冊第四章——分解因式，第三節——“運用公式法”。本著以學生為主體，教師為主導的教學原則，我將從教材分析、學法與教法、教學設計、板書設計四個方面進行說明，教學設計是我闡敘的重點。首先我們來看 教材分析

教材的地位及作用分析: 它主要讓學生經歷通過整式乘法的平方差公式的逆向運用得出因式分解的平方差公式的過程，發展學生的觀察能力和逆向思維能力，讓學生進一步了解分解因式與整式的乘法運算之間的互逆關系．同時，本節課還體現了數學的眾多思想，如：“類比”思想、“整體”思想、“換元”思想等。它既是對前面所學知識的應用，又是為后續學習作鋪墊，因此本節課在教材中起到了承上啟下的重要的作用。

為此我確定了以下本著課程標準，在吃透教材的基礎上，我確立如下

【教學目標】

（1）使學生了解運用公式法分解因式的意義；

（2）會用平方差公式進行因式分解；

（3）使學生了解提公因式法是分解因式首先考慮的方法，再考慮用平方差公式分解因式．

【教學重點】

會用平方差公式進行因式分解

【教學難點】

準確理解和掌握公式的結構特征

學生是學習的主體，只有學生真正融入到課堂教學中，學生才會深切地感受到數學帶給他們的樂趣。這節課，我主要采用以下 教法學法

教法分析：根據新《課標》的要求，結合本班學生的知識水平，本堂課主要采用觀察、分析、啟發、誘導的方法，引導學生把握平方差公式分解因式的基本思路，靈活地運用“換元”和“化歸”思想把問題中的多項式轉化成適當的公式形式。學法分析：

（1）、由于運用平方差公式分解因式，因此指導學生學會運用比較、類比的學習方法記憶、理解知識。

（2）指導學生采用練習法以達到鞏固、熟練知識的目的。

（3）對于換元法要求較靈活，應該指導學生注意運用觀察、分析、類比的學習方法。教學設計

（一）、創設情景，導入新課

看誰算得快： 1、992 —1= 2、10032—10022= 你想知道怎樣算得快嗎？（學生討論）

我們知道（a+b）（a—b）=a2-b2，是否有結論a2-b2=（a+b）（a—b）？引出課題。

【設計意圖】 調動學生的學習興趣。

（二）、合作交流，探索新知

學生相互討論下列問題：

1、公式有什么特點？

2、用語言敘述公式。

3、公式中的a，b可以表示什么？

4、根據你對公式的理解，請舉出幾個用平方差公式分解因式的例

子，并指出多項式中誰相當于公式中的a，誰相當于公式中的b？

以上問題，盡量讓學生探索、發現。【設計意圖】鞏固平方差公式。

【說明】強調公式中的a和b，可以是數或代數式

（三）、指導運用，鞏固知識。

1、判斷正誤：

（1）x2+y2=（x+y）(x–y)

（）

（2）–x2+y2=–（x+y）(x–y)

（）

（3）x2–y2=（x+y）(x–y)

（）

（4）–x2–y2=–（x+y）(x–y)

（）2.例題講解

［例1］把下列各式分解因式：（1）25－16x2;

1（2）9a2－4b2.［例2］把下列各式分解因式:（1）9(m+n)2－(m-n)2;（2）2x3－8x.(3)x4 –16

以上例題進一步讓學生理解平方差公式中的字母a、b不僅可以表示數而且可以表示代數式，引導學生體會多項式中若含于公因式，就要先提取公因式，然后進一步分解，直至不能再分解為止。【分析】當多項式是二項式時，要考慮用平方差公式分解因式；如果多項式有公因式，要先提取公因式。抓住公式的特征，靈活應用公式。應用公式時要把問題中的數或式子看作公式中的a和b，這就是換元思想，而將問題中多項式轉化為公式的形式，這就是化歸思想。

【設計意圖】讓學生掌握分解因式的解題步驟和思路。

（四）、強化訓練，深化知識。

利用學案，引導學生自主學習，完成習題

（五）、整理知識，形成結構。

從今天的課程中，你學到了哪些知識？ 掌握了哪些方法？

（六）布置作業

課本習題2.4：1（1）（3）（5）（7）2（1）（3）（5）板書設計

§2.3 運用平方差公式因式分解 定義：

1、平方差公式

2、運用平方差公式分解因式 例1 把下列各式因式分解：

1b2（1）25–16x2

（2）9a2–4

例2 運用平方差公式分解因式

（1）9（x–y）2–（x+y）2（2）2x3–8x

(3)x4 –16

第二篇：運用平方差公式因式分解求值

運用平方差公式因式分解求值

【知識點】

①

利用平方差公式分解因式

②

整體代入求值

③

聯立方程組，解方程組

【練習題】

1.已知，則

2.已知，則

3.已知，則

4.已知，則

5.已知，則

6.已知，則

7.已知，則，8.已知，則，9.已知，則，10.已知，則，11.已知，則，12.已知，則，13.已知，則

14.已知，則

15.已知，則

16.已知，則

17.已知，則

答案

1.2

2.3

3.4

4.2

5.4

6.3

7.2；

8.5；1

9.5；

10.4；

11.-1；2

12.2；1

13.21

14.7

15.2

16.4

17.4

第三篇：平方差公式的運用

淺談平方差公式在初中數學中的運用

提要：平方差公式(a?b)(a?b)?a2?b2是初中階段的一個重要的公式，應用也十分廣泛，必須引起教師的高度重視。

關鍵詞：平方差

整式乘法

因式分解

無理數

平方差公式在初中數學上占據了重要位置，在近幾年的中考和期末測試中經常出現，所以要求學生掌握并運用好平方差公式。

一、平方差公式乘法中的運用

平方差公式：(a?b)(a?b)?a2?b2，其形式是：兩項之和與這兩項的差的乘積等于這個項的平方差，其中的a、b可以是具體數，也可以是單項式、多項式。可用公式的都有兩個共同特點：前一個因式與后一個因式中各有一項是相同，剩下的兩項是互為相反數。有些形式上不符合公式，但只要符合這個特點，可以根據公式的特點，應用加法加換律、結合律進行靈活變形，或者用提負號的方法把題轉化成平方差公式。

（一）、整式乘法中的運用 例1.(2x?3)(2x?3)

分析：本題是整式乘法中的最簡單的，是這兩個項的和與這兩個項的差的積等于這兩項的平方差，可直接用公式進行計算。

(2x?3)(2x?3)?(2x)2?32?4x2?9例2．(?3a?2b)(3a?2b)

分析：本類題是屬于兩個多項項式的乘積，這類題形首先要觀察是否符合公式特點，看出前一個因式中與后一個因式中都是-2b，剩下的一個是-3a，一個3a，它們互為相反數，可以用公式。計算本題有兩種方法（1）是利用加法加換律調整位置，把它轉化為一般式；（2）提一個負號轉化成一般式，再用公式計算。

解法

1、加法加換律進行調整其位置

解法

2、提取負號

(?3a?2b)(3a?2b)

(?3a?2b)(3a?2b)

???2b?3a?(?2b?3a)

??(3a?2b)(3a?2b)

??(9a2?4b2)

22=??2b???3a?

例

3、?2x?y?z??2x?y?z? ?4b2?9a??9a?4b

分析：本類題每一個因式中都是三個或三個以上的項，所以先利用加法結合律，把一個因式中的多項式轉化成兩個式子的和差形式，再觀察是否符合公式特點。前一個因式中的?2x?y?z?結合成[(2x?y)?z]，后一個因式?2x?y?z?結合成[(2x?y)?z]，(2x?y)與(2x?y)為相等，z與-z互為相反數，可用公式進行計算。

?2x?y?z??2x?y?z?

??2x?y?z??2x?y?z? ???2x?y??z???2x?y??z?

??2x?y??z2 2?4x2?4xy?y2?z2

小結：注意平方差進行乘法運算時，經常出現的的誤區有（1）對因式中各項的系數，符號要仔細觀察、比較，不能誤用公式，如(3a?2b)(2a?3b)、如（2）公式中的字母是多種形式(?3a?2b)(3a?2b)，此類題目不能運用平方差公式；的，所以當這個字母表示一個負數、或分數、或單項式與多項式，應加上括號，避免出現只把字母平方，而系數忘了平方的錯誤。

二、因式分解中的應用

因式分解我們一般采用的方法是：一提（提取公因式）、二套（套用公式）、三分組，其中套用平方差公式，也就是整式乘法中(a?b)(a?b)?a2?b2的逆用：a2?b2?(a?b)(a?b)，其題可以是二項式，也可以是多項式。能用公式的共同特點：題目中都可以轉化成一項或一式的平方減去一項或一式的平方。如有這種形式的都能用平方差公式進行了分解因式。分解因式時，要求掌握好逆用冪的運算法則，弄清楚多項式中可轉化哪幾個數組成平方差，清楚題形中的a、b各代表什么式。

例

1、分解因式x2?y2

分析：本題與公式是一樣的，可直接套用公式。

x2?y2?(x?y)(x?y)

例

2、分解因式x4y?16y

分析：此題先提公因式y，所剩下的x4?16轉化成(x2)2?42，其中a為x2、b為4，本題用平方差公式到各因式不能再分解為止。

x4y?16y?y(x4?16)

?y(x2?4)(x2?4)

?y(x2?4)(x?2)(x?2)例

3、因式分解x2?2xy?y2?9

分析：本題我們先要進行分組成能轉化成平方差公式，前三項分在一組里，最后一項為一組，把x2?2xy?y2轉化成(x?y)2，從而形成(x?y)2?32

x2?2xy?y2?9?(x?y)2?32?(x?y?3)(x?y?3)

小結：因式分解中的平方差公式的運用是必要的，有些題目只有用平方差公式才能分解因式，它的作用更大于整式乘法中的應用，整式乘法中如果不會用公式，也可以用一般的多項式乘以多項式的方法來計算，只是復雜而已。分解因式中時常的錯誤有：（1）各項沒有轉化為平方就用公式，如4x2?y2?(4x?y)(4x?y)；（2）誤用公式，如x2?y2?(x?y)(x?y)

三、平方差公式在一些特殊題中的運用

（一）、簡便運算中的運用

如某兩數的乘積，如果這兩個數與另一個數都要都相差相同的一個數時，就可以把這兩數的乘積轉化成另外一個數與相同數的和與差的乘積，從而做到轉化成平方差公式。

例1、98×102

分析：98與102都與100相差2，98轉化成100-2，102轉化成100+2。98×102 =（100-2）（100+2）=1002?22 =9996 例2、2563?255?256?257

分析：本題的技巧在于三個連續的整數，我們可以將第一個數轉化成中間數減1，第三個數可以轉化中間數加1。

(3)2563?255?256?257?2563?256?256?1??256?1? ?2563?256(2562?12)?2563?2563?256?256例3、1002?992?982?972???22?12

分析：本題中每兩組都要可以轉化成平方差公式，計算后會發現它是一個等差數列。

1002?992?982?972???22?12?(100?99)(100?99)?(98?97)(98?97)???(2?1)(2?1)?100?99?98?97???2?1100(100?1)?2?5050小結：有關復雜的數字計算中，如能抓住數字特點，巧用平方差公式，可簡化運算過程，提高運算效率，培養良好的數學素養。數字中的平方差公式的運算會出現錯識有：98×102=（100-2）（100+2）=1002?22?982

（二）、二次根式計算及分母有理化中的運用

用平方差公式進行二次根式計算及分母有理化，是初三二次根式計算和化簡中的重點。它的方法在于分子分母同時乘以一個式子，使其分母轉化成一平方差公式，從而做到分母去根號（有理化）的效果。

例1：(6?2)(6?2)

分析：本類題是二次根式的計算，是這兩個數的和與這兩個數的差的積等于這兩個數的平方差，用公式6為a，2為b進行計算。

(6?2)(6?2)?(6)2?(2)2?6?2?4

例2化簡 45?2

分析：觀察此題分母中含有二次根式，要進行有理化，分母本身是5?2，分子分母同時乘以5?2，使分母轉化成平方差公式。

45?2?4(5?2)(5?2)(5?2)?45?4245?42?223(5)?(2)

小結：這種類型題分母有理化中要抓住分母的特點，想辦法使其轉化為平方差公式，做題時切記，如果是單用完全平方去分母是起不到有理化的效果，所以要用平方差公式進行有理化。例如：

除了初中價段的應用外，以后的數學學科都有其有關的知識，可見平方差公式在數學領域中應用及其廣泛，值得一提的是這個公式從初中到大學都有不同程度的應用，教學上初中至關重要，因此我們應該從不同的角度去掌握并運用平方差公式。

44216 ??25?2(5?2)5?210?2

淺談平方差公式在初中數學中的運用

玉龍縣魯甸中學

和祺劍

提要：平方差公式(a?b)(a?b)?a2?b2是初中階段的一個重要的公式，應用也十分廣泛，必須引起教師的高度重視。

關鍵詞：平方差

整式乘法

因式分解

無理數

平方差公式在初中數學上占據了重要位置，在近幾年的中考和期末測試中經常出現，所以要求學生掌握并運用好平方差公式。

一、平方差公式乘法中的運用

平方差公式：(a?b)(a?b)?a2?b2，其形式是：兩項之和與這兩項的差的乘積等于這個項的平方差，其中的a、b可以是具體數，也可以是單項式、多項式。可用公式的都有兩個共同特點：前一個因式與后一個因式中各有一項是相同，剩下的兩項是互為相反數。有些形式上不符合公式，但只要符合這個特點，可以根據公式的特點，應用加法加換律、結合律進行靈活變形，或者用提負號的方法把題轉化成平方差公式。

（一）、整式乘法中的運用 例1.(2x?3)(2x?3)

分析：本題是整式乘法中的最簡單的，是這兩個項的和與這兩個項的差的積等于這兩項的平方差，可直接用公式進行計算。

(2x?3)(2x?3)?(2x)2?32?4x2?9例2．(?3a?2b)(3a?2b)

分析：本類題是屬于兩個多項項式的乘積，這類題形首先要觀察是否符合公式特點，看出前一個因式中與后一個因式中都是-2b，剩下的一個是-3a，一個3a，它們互為相反數，可以用公式。計算本題有兩種方法（1）是利用加法加換律調整位置，把它轉化為一般式；（2）提一個負號轉化成一般式，再用公式計算。

解法

1、加法加換律進行調整其位置

解法

2、提取負號

(?3a?2b)(3a?2b)

(?3a?2b)(3a?2b)

???2b?3a?(?2b?3a)

??(3a?2b)(3a?2b)

??(9a2?4b2)

22=??2b???3a?

例

3、?2x?y?z??2x?y?z? ?4b2?9a??9a?4b

分析：本類題每一個因式中都是三個或三個以上的項，所以先利用加法結合律，把一個因式中的多項式轉化成兩個式子的和差形式，再觀察是否符合公式特點。前一個因式中的?2x?y?z?結合成[(2x?y)?z]，后一個因式?2x?y?z?結合成[(2x?y)?z]，(2x?y)與(2x?y)為相等，z與-z互為相反數，可用公式進行計算。

?2x?y?z??2x?y?z?

??2x?y?z??2x?y?z?

???2x?y??z???2x?y??z?

??2x?y??z2 2?4x2?4xy?y2?z2

小結：注意平方差進行乘法運算時，經常出現的的誤區有（1）對因式中各項的系數，符號要仔細觀察、比較，不能誤用公式，如(3a?2b)(2a?3b)、如（2）公式中的字母是多種形式(?3a?2b)(3a?2b)，此類題目不能運用平方差公式；的，所以當這個字母表示一個負數、或分數、或單項式與多項式，應加上括號，避免出現只把字母平方，而系數忘了平方的錯誤。

二、因式分解中的應用

因式分解我們一般采用的方法是：一提（提取公因式）、二套（套用公式）、三分組，其中套用平方差公式，也就是整式乘法中(a?b)(a?b)?a2?b2的逆用：a2?b2?(a?b)(a?b)，其題可以是二項式，也可以是多項式。能用公式的共同特點：題目中都可以轉化成一項或一式的平方減去一項或一式的平方。如有這種形式的都能用平方差公式進行了分解因式。分解因式時，要求掌握好逆用冪的運算法則，弄清楚多項式中可轉化哪幾個數組成平方差，清楚題形中的a、b各代表什么式。

例

1、分解因式x2?y2

分析：本題與公式是一樣的，可直接套用公式。

x2?y2?(x?y)(x?y)

例

2、分解因式x4y?16y

分析：此題先提公因式y，所剩下的x4?16轉化成(x2)2?42，其中a為x2、b為4，本題用平方差公式到各因式不能再分解為止。

x4y?16y?y(x4?16)

?y(x2?4)(x2?4)

?y(x2?4)(x?2)(x?2)例

3、因式分解x2?2xy?y2?9

分析：本題我們先要進行分組成能轉化成平方差公式，前三項分在一組里，最后一項為一組，把x2?2xy?y2轉化成(x?y)2，從而形成(x?y)2?32

x2?2xy?y2?9?(x?y)2?32?(x?y?3)(x?y?3)

小結：因式分解中的平方差公式的運用是必要的，有些題目只有用平方差公式才能分解因式，它的作用更大于整式乘法中的應用，整式乘法中如果不會用公式，也可以用一般的多項式乘以多項式的方法來計算，只是復雜而已。分解因式中時常的錯誤有：（1）各項沒有轉化為平方就用公式，如4x2?y2?(4x?y)(4x?y)；（2）誤用公式，如x2?y2?(x?y)(x?y)

三、平方差公式在一些特殊題中的運用

（一）、簡便運算中的運用

如某兩數的乘積，如果這兩個數與另一個數都要都相差相同的一個數時，就可以把這兩數的乘積轉化成另外一個數與相同數的和與差的乘積，從而做到轉化成平方差公式。

例1、98×102

分析：98與102都與100相差2，98轉化成100-2，102轉化成100+2。98×102 =（100-2）（100+2）=1002?22 =9996 例2、2563?255?256?257

分析：本題的技巧在于三個連續的整數，我們可以將第一個數轉化成中間數減1，第三個數可以轉化中間數加1。

(3)2563?255?256?257?2563?256?256?1??256?1? ?2563?256(2562?12)?2563?2563?256?256例3、1002?992?982?972???22?12

分析：本題中每兩組都要可以轉化成平方差公式，計算后會發現它是一個等差數列。

1002?992?982?972???22?12?(100?99)(100?99)?(98?97)(98?97)???(2?1)(2?1)?100?99?98?97???2?1100(100?1)?2?5050小結：有關復雜的數字計算中，如能抓住數字特點，巧用平方差公式，可簡化運算過程，提高運算效率，培養良好的數學素養。數字中的平方差公式的運算會出現錯識有：98×102=（100-2）（100+2）=1002?22?982

（二）、二次根式計算及分母有理化中的運用

用平方差公式進行二次根式計算及分母有理化，是初三二次根式計算和化簡中的重點。它的方法在于分子分母同時乘以一個式子，使其分母轉化成一平方差公式，從而做到分母去根號（有理化）的效果。

例1：(6?2)(6?2)

分析：本類題是二次根式的計算，是這兩個數的和與這兩個數的差的積等于這兩個數的平方差，用公式6為a，2為b進行計算。

(6?2)(6?2)?(6)2?(2)2?6?2?4

例2化簡 45?2

分析：觀察此題分母中含有二次根式，要進行有理化，分母本身是5?2，分子分母同時乘以5?2，使分母轉化成平方差公式。

45?2?4(5?2)(5?2)(5?2)?45?4245?42?223(5)?(2)

小結：這種類型題分母有理化中要抓住分母的特點，想辦法使其轉化為平方差公式，做題時切記，如果是單用完全平方去分母是起不到有理化的效果，所以要用平方差公式進行有理化。例如：

除了初中價段的應用外，以后的數學學科都有其有關的知識，可見平方差公式在數學領域中應用及其廣泛，值得一提的是這個公式從初中到大學都有不同程度的應用，教學上初中至關重要，因此我們應該從不同的角度去掌握并運用平方差公式。

44216 ??25?2(5?2)5?210?2

第四篇：用平方差公式因式分解教學反思

用平方差公式因式分解

--------教學反思

在新課引入的過程中，我首先讓學生回憶了前面在整式的乘法中遇到的乘法公式，比如平方差公式、完全平方公式。接著就讓學生利用平方差公式做兩個整式乘法的運算。然后，我巧妙的將剛才用平方差公式計算得出的兩個多項式作為因式分解的題目請學生嘗試一下。只見我的題目一出來，學生就爭先恐后地回答出來了。待學生回答完之后，我馬上追問“為什么”時，學生輕而易舉地講出是將原來的平方差公式反過來運用，馬上使學生形成了一種逆向的思維方式。之后，我就順利地和同學們一起分析了因式分解中的平方差公式——兩數的平方差等于這兩個數的和與這兩個數的差的積，討論了“怎樣的多項式能用平方差公式因式分解？”可以說，對新問題的引入，我是采取了由淺入深的方法，使學生對新知識不產生任何的畏懼感。接下來，通過例題的講解、練習的鞏固讓學生逐步掌握了運用平方差公式進行因式分解。

第五篇：平方差公式法因式分解學案

平方差公式法因式分解

[教學目標] 會用公式a2－b2=（a＋b）（a－b）分解因式

[教學重點]掌握可用平方差公式分解因式的特點，并能使用平方差公式分解因式 [教學難點]使學生能把多項式轉換成符合平方差公式的形式進行因式分解。[教學過程]

創設情景：把如圖卡紙剪開，拼成一張長方形卡紙，作為一幅精美剪紙襯底，怎么剪？你能給出數學解釋嗎？根據面積可得到： a2－b2=（a＋b）（a－b）

自學導讀：A因式分解的概念是什么？B平方差公式的內容用字母怎樣表示？

1、計算：（1）（a+3）(a-3)（2）(4x-3y)(4x+3y)閱讀課本P167－P168思考：

1、a2-9=？16x2-9y2 =？

bb2、當一個多項式具有什么特點時可用平方差公式因式分解？ 左邊：右邊：

□－△2 2

＝(□＋△)(□－△)

a3、因式分解中的平方差公式和乘法公式中的平方差公式有何區別和聯系？

小結：兩個數的平方差，等于嘗試探究練習Ⅰ： 1 填空：

(1)a6

=()2

;(2)9x2

=()2

;(3)m8n10

=()2

;(4)254x4

=()2

(5)0.25a2n

=()2

;(6)

3649

x4

-0.81=()2

-()下列多項式可以用平方差公式分解因式嗎？

(1)a2+4b2

;(2)4a2

-b2

;(3)a2

-(-b)2

;(4)–4+a2

;(5)–4-a2

;(6)x2

2n+2

;(7)x

-x2n分解因式：

(1)1-25a2

;(2)-9x2

+y2

;(3)a2b2

-c2

;(4)164

925

x-

y2

.（5）(a+b)2-(a-c)2（6）x4-16（7）3x3-12x（8）(9y2-x２)+(x+3y).練習Ⅱ:4 分解因式：

(1)-a4 + 16(2)6a2b?54b(3)(x+y+z)2-(x-y-z)2

(4)(x-y)3+(y-x).*(5)x2n+2

-x

2n用簡便方法計算：(1)9992-10002

;(2)(1-

1)(1-

11)……(1-

3)(1-

410)

小結：

1、能使用平方差公式分解因式的多項式形式

2、是能否使用平方差公式進行因式分解，判斷的依據是：課外作業

1、已知x2

－y2

=－1，x+y=

1，求x－y的值。

?n?22、你能說明

7???n?5?

能被24整除嗎？

3、解方程：(21x+3)2–(21x–3)2

=36.4、已知：4m+n=90，2m－3n=10，求(m+2n)2

－(3m－n)2的值。