九年級上冊數學知識點總結歸納

第二十一章

一元二次方程

第二十二章

二次函數

第二十三章

旋轉

第二十四章

圓

第二十五章

概率初步

第二十一章

一元二次方程

知識點1：一元二次方程的概念

一元二次方程：只含有一個未知數，未知數的最高次數是2，且系數不為

0，這樣的方程叫一元二次方

程．

一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0）。注意：判斷某方程是否為一元二次方程時，應首先將方程化為一般形式。

知識點2：一元二次方程的解法

1.直接開平方法：對形如(x+a）2=b（b≥0）的方程兩邊直接開平方而轉化為兩個一元一次方程的方法。

X+a=

=-a+

=-a-

2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步驟是：①化為一般形式；②移項，將常數項移到方程的右邊；③化二次項系數為1，即方程兩邊同除以二次項系數；④配方，即方程兩邊都加上一次項系數的一半的平方；化原方程為(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用兩邊開平方來求出方程的解；如果b<0，則原方程無解．

3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通過配方推導出來的．一元二次方程的求根公式是(b2－4ac≥0)。步驟：①把方程轉化為一般形式；②確定a，b，c的值；③求出b2－4ac的值，當b2－4ac≥0時代入求根公式。

4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理論根據：若ab=0，則a=0或b=0。步驟是：①將方程右邊化為0；②將方程左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式等于0，得到兩個一元一次方程乘積的形式，解這兩個一元一次方程，它們的解就是原一元二次方程的解．

因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。

5．一元二次方程的注意事項：

⑴

在一元二次方程的一般形式中要注意，強調a≠0．因當a=0時，不含有二次項，即不是一元二次方程．

⑵

應用求根公式解一元二次方程時應注意：①先化方程為一般形式再確定a，b，c的值；②若b2－4ac＜0，則方程無解．

⑶

利用因式分解法解方程時，方程兩邊絕不能隨便約去含有未知數的代數式．如－2(x＋4)

=3（x＋4）中，不能隨便約去x＋4。

⑷

注意：解一元二次方程時一般不使用配方法（除特別要求外）但又必須熟練掌握，解一元二次方程的一般順序是：開平方法→因式分解法→公式法．

6．一元二次方程解的情況

⑴b2－4ac≥0方程有兩個不相等的實數根；

⑵b2－4ac=0方程有兩個相等的實數根；

⑶b2－4ac≤0方程沒有實數根。

解題小訣竅：當題目中含有“兩不等實數根”“兩相等實數根”“沒有實數根”時，往往首先考慮用b2－4ac解題。主要用于求方程中未知系數的值或取值范圍。

知識點3：根與系數的關系:韋達定理

對于方程ax2＋bx+c=0(a≠0）來說，x1

+x2

=—，x1●x2=。

利用韋達定理可以求一些代數式的值（式子變形），如。

解題小訣竅：當一元二次方程的題目中給出一個根讓你求另外一個根或未知系數時，可以用韋達定理。

知識點4：一元二次方程的應用

一、考點講解：

1．構建一元二次方程數學模型，常見的模型如下：

⑴

與幾何圖形有關的應用：如幾何圖形面積模型、勾股定理等；

⑵

有關增長率的應用：此類問題是在某個數據的基礎上連續增長（降低）兩次得到新數據，常見的等量關系是a(1±x）2=b，其中a表示增長（降低）前的數據，x表示增長率（降低率），b表示后來的數據。注意：所得解中，增長率不為負，降低率不超過1。

⑶

經濟利潤問題：總利潤=（單件銷售額－單件成本）×銷售數量；或者，總利潤=總銷售額－總成本。

⑷

動點問題：此類問題是一般幾何問題的延伸，根據條件設出未知數后，要想辦法把圖中變化的線段用未知數表示出來，再根據題目中的等量關系列出方程。

2．注重解法的選擇與驗根：在具體問題中要注意恰當的選擇解法，以保證解題過程簡潔流暢，特別要對方程的解注意檢驗，根據實際做出正確取舍，以保證結論的準確性．

一元二次方程與實際問題

1、病毒傳播問題

2、樹干問題

3、握手問題（單循環問題）

4、賀卡問題（雙循環問題）

5、圍欄問題

6、幾何圖形（道路、做水箱）

7、增長率、降價率問題

8、利潤問題（注意減少庫存、讓顧客受惠等字樣）

9、數字問題

10、折扣問題

第二十二章

二次函數一、二次函數概念：

1．二次函數的概念：一般地，形如（是常數，）的函數，叫做二次函數。

這里需要強調：和一元二次方程類似，二次項系數，而可以為零．二次函數的定義域是全體實數．

2.二次函數的結構特征：

⑴

等號左邊是函數，右邊是關于自變量的二次式，的最高次數是2．

⑵

是常數，是二次項系數，是一次項系數，是常數項．

二、二次函數的基本形式

1.二次函數基本形式：的性質：

a的絕對值越大，拋物線的開口越小。的符號

開口方向

頂點坐標

對稱軸

性質

時，隨的增大而

；時，隨的增大而

；時，有最

值

．

時，隨的增大而

；時，隨的增大而

；時，有最

值

．

2.的性質：

上加下減。的符號

開口方向

頂點坐標

對稱軸

性質

時，隨的增大而

；時，隨的增大而

；時，有最

值

．

時，隨的增大而

；時，隨的增大而

；時，有最

值

．

3.的性質：

左加右減。的符號

開口方向

頂點坐標

對稱軸

性質

時，隨的增大而

；時，隨的增大而

；時，有最

值

．

時，隨的增大而

；時，隨的增大而

；時，有最

值

．

4.的性質：的符號

開口方向

頂點坐標

對稱軸

性質

時，隨的增大而

；時，隨的增大而

；時，有最

值

．

時，隨的增大而

；時，隨的增大而

；時，有最

值

．

三、二次函數圖象的平移

1.平移步驟：

方法一：⑴

將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點坐標；

⑵

保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下：

2.平移規律

在原有函數的基礎上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”．

概括成八個字“左

右，上

下

”．

方法二：

⑴沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成（或）

⑵沿軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或）

四、二次函數與的比較

從解析式上看，與是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中．

五、二次函數圖象的畫法

五點繪圖法：利用配方法將二次函數化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與軸的交點、以及關于對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點）.畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.六、二次函數的性質

1.當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為．

當時，隨的增大而減小；當時，隨的增大而增大；當時，有最小值．

2.當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點坐標為．當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小；當時，有最大值．

七、二次函數解析式的表示方法

1.一般式：（，為常數，）；

2.頂點式：（，為常數，）；

3.兩根式（兩點式）：（，是拋物線與軸兩交點的橫坐標）.注意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函數解析式的這三種形式可以互化.八、二次函數的圖象與各項系數之間的關系

1.二次項系數

二次函數中，作為二次項系數，顯然．

⑴

當時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大；

⑵

當時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大．

總結起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小．

2.一次項系數

在二次項系數確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸．

⑴

在的前提下，當時，即拋物線的對稱軸在軸左側；

當時，即拋物線的對稱軸就是軸；

當時，即拋物線對稱軸在軸的右側．

⑵

在的前提下，結論剛好與上述相反，即

當時，即拋物線的對稱軸在軸右側；

當時，即拋物線的對稱軸就是軸；

當時，即拋物線對稱軸在軸的左側．

總結起來，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置．的符號的判定：對稱軸在軸左邊則，在軸的右側則，概括的說就是“左同右異”

總結：

3.常數項

⑴

當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱坐標為正；

⑵

當時，拋物線與軸的交點為坐標原點，即拋物線與軸交點的縱坐標為；

⑶

當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱坐標為負．

總結起來，決定了拋物線與軸交點的位置．

總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的．

二次函數解析式的確定：

根據已知條件確定二次函數解析式，通常利用待定系數法．用待定系數法求二次函數的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況：

1.已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；

2.已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式；

3.已知拋物線與軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；

4.已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式．

九、二次函數圖象的對稱

二次函數圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達

1.關于軸對稱

關于軸對稱后，得到的解析式是；

關于軸對稱后，得到的解析式是；

2.關于軸對稱

關于軸對稱后，得到的解析式是；

關于軸對稱后，得到的解析式是；

3.關于原點對稱

關于原點對稱后，得到的解析式是；

關于原點對稱后，得到的解析式是；

4.關于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉180°）

關于頂點對稱后，得到的解析式是；

關于頂點對稱后，得到的解析式是．

5.關于點對稱

關于點對稱后，得到的解析式是

根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發生變化，因此永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式．

十、二次函數與一元二次方程：

1.二次函數與一元二次方程的關系（二次函數與軸交點情況）：

一元二次方程是二次函數當函數值時的特殊情況.圖象與軸的交點個數：

①

當時，圖象與軸交于兩點，其中的是一元二次方程的兩根．這兩點間的距離.②

當時，圖象與軸只有一個交點；

③

當時，圖象與軸沒有交點.當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數，都有；

當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數，都有．

2.拋物線的圖象與軸一定相交，交點坐標為，；

3.二次函數常用解題方法總結：

⑴

求二次函數的圖象與軸的交點坐標，需轉化為一元二次方程；

⑵

求二次函數的最大（小）值需要利用配方法將二次函數由一般式轉化為頂點式；

⑶

根據圖象的位置判斷二次函數中，的符號，或由二次函數中，的符號判斷圖象的位置，要數形結合；

⑷

二次函數的圖象關于對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標.拋物線與軸有兩個交點

二次三項式的值可正、可零、可負

一元二次方程有兩個不相等實根

拋物線與軸只有一個交點

二次三項式的值為非負

一元二次方程有兩個相等的實數根

拋物線與軸無交點

二次三項式的值恒為正

一元二次方程無實數根.⑸

與二次函數有關的還有二次三項式，二次三項式本身就是所含字母的二次函數；下面以時為例，揭示二次函數、二次三項式和一元二次方程之間的內在聯系：

圖像參考：

十一、函數的應用

二次函數應用

二次函數考查重點與常見題型

1．考查二次函數的定義、性質，有關試題常出現在選擇題中，如：

已知以為自變量的二次函數的圖像經過原點，則的值是

2．綜合考查正比例、反比例、一次函數、二次函數的圖像，習題的特點是在同一直角坐標系內考查兩個函數的圖像，試題類型為選擇題，如：

如圖，如果函數的圖像在第一、二、三象限內，那么函數的圖像大致是（）

y

y

y

y

0

x

o-1

x

0

x

0

x

A

B

C

D

3．考查用待定系數法求二次函數的解析式，有關習題出現的頻率很高，習題類型有中檔解答題和選拔性的綜合題，如：

已知一條拋物線經過(0,3)，(4,6)兩點，對稱軸為，求這條拋物線的解析式。

4．考查用配方法求拋物線的頂點坐標、對稱軸、二次函數的極值，有關試題為解答題，如：

已知拋物線（a≠0）與x軸的兩個交點的橫坐標是－1、3，與y軸交點的縱坐標是－

（1）確定拋物線的解析式；（2）用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標.5．考查代數與幾何的綜合能力，常見的作為專項壓軸題。

【例題經典】

由拋物線的位置確定系數的符號

例1

（1）二次函數的圖像如圖1，則點在（）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

（2）已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖2所示，則下列結論：①a、b同號；②當x=1和x=3時，函數值相等；③4a+b=0；④當y=-2時，x的值只能取0.其中正確的個數是（）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

(1)

(2)

【點評】弄清拋物線的位置與系數a，b，c之間的關系，是解決問題的關鍵．

例2.已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(-2，O)、(x1，0)，且1O；③4a+cO，其中正確結論的個數為（）

A

1個

B.2個

C.3個

D．4個

會用待定系數法求二次函數解析式

例3.已知：關于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一個根為x=-2，且二次函數y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=2，則拋物線的頂點坐標為（）

A(2，-3)

B.(2，1)

C(2，3)

D．(3，2)

例4、如圖（單位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直線L向正方形移動，直到AB與CD重合．設x秒時，三角形與正方形重疊部分的面積為ym2．

（1）寫出y與x的關系式；

（2）當x=2，3.5時，y分別是多少？

（3）當重疊部分的面積是正方形面積的一半時，三角形移動了多長時間？求拋物線頂點坐標、對稱軸.例5、已知拋物線y=x2+x-．

（1）用配方法求它的頂點坐標和對稱軸．

（2）若該拋物線與x軸的兩個交點為A、B，求線段AB的長．

【點評】本題（1）是對二次函數的“基本方法”的考查，第（2）問主要考查二次函數與一元二次方程的關系．

例6.已知：二次函數y=ax2-(b+1)x-3a的圖象經過點P(4，10)，交x軸于，兩點，交y軸負半軸于C點，且滿足3AO=OB．

(1)求二次函數的解析式；(2)在二次函數的圖象上是否存在點M，使銳角∠MCO>∠ACO?若存在，請你求出M點的橫坐標的取值范圍；若不存在，請你說明理由．

例7、“已知函數的圖象經過點A（c，－2），求證：這個二次函數圖象的對稱軸是x=3。”題目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無法辨認的文字。

（1）根據已知和結論中現有的信息，你能否求出題中的二次函數解析式？若能，請寫出求解過程，并畫出二次函數圖象；若不能，請說明理由。

（2）請你根據已有的信息，在原題中的矩形框中，填加一個適當的條件，把原題補充完整。

點評：

對于第（1）小題，要根據已知和結論中現有信息求出題中的二次函數解析式，就要把原來的結論“函數圖象的對稱軸是x=3”當作已知來用，再結合條件“圖象經過點A（c，－2）”，就可以列出兩個方程了，而解析式中只有兩個未知數，所以能夠求出題中的二次函數解析式。對于第（2）小題，只要給出的條件能夠使求出的二次函數解析式是第（1）小題中的解析式就可以了。而從不同的角度考慮可以添加出不同的條件，可以考慮再給圖象上的一個任意點的坐標，可以給出頂點的坐標或與坐標軸的一個交點的坐標等。

用二次函數解決最值問題

例1

某產品每件成本10元，試銷階段每件產品的銷售價x（元）與產品的日銷售量y（件）之間的關系如下表：

x（元）

…

y（件）

…

若日銷售量y是銷售價x的一次函數．

（1）求出日銷售量y（件）與銷售價x（元）的函數關系式；

（2）要使每日的銷售利潤最大，每件產品的銷售價應定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？

【點評】解決最值問題應用題的思路與一般應用題類似，也有區別，主要有兩點：（1）設未知數在“當某某為何值時，什么最大（或最小、最省）”的設問中，“某某”要設為自變量，“什么”要設為函數；（2）問的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．

例2.你知道嗎?平時我們在跳大繩時，繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線．如圖所示，正在甩繩的甲、乙兩名學生拿繩的手間距為4

m，距地面均為1m，學生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m、2．5

m處．繩子在甩到最高處時剛好通過他們的頭頂．已知學生丙的身高是1．5

m，則學生丁的身高為(建立的平面直角坐標系如右圖所示)

（）

A．1．5

m

B．1．625

m

C．1．66

m

D．1．67

m

分析：本題考查二次函數的應用

第二十三章

旋轉

一、旋轉

1、定義

把一個圖形繞某一點O轉動一個角度的圖形變換叫做旋轉，其中O叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角。

2、性質

（1）對應點到旋轉中心的距離相等。

（2）對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角。

二、中心對稱

1、定義

把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心。

2、性質

（1）關于中心對稱的兩個圖形是全等形。

（2）關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分。

（3）關于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或在同一直線上）且相等。

3、判定

如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關于這一點對稱。

4、中心對稱圖形

把一個圖形繞某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個店就是它的對稱中心。

考點五、坐標系中對稱點的特征

（3分）

1、關于原點對稱的點的特征

兩個點關于原點對稱時，它們的坐標的符號相反，即點P（x，y）關于原點的對稱點為P’（-x，-y）

2、關于x軸對稱的點的特征

兩個點關于x軸對稱時，它們的坐標中，x相等，y的符號相反，即點P（x，y）關于x軸的對稱點為P’（x，-y）

3、關于y軸對稱的點的特征

兩個點關于y軸對稱時，它們的坐標中，y相等，x的符號相反，即點P（x，y）關于y軸的對稱點為P’（-x，y）

第二十四章

圓

一、知識回顧

圓的周長：

C=2πr或C=πd、圓的面積：S=πr2

圓環面積計算方法：S=πR2-πr2或S=π（R2-r2）(R是大圓半徑，r是小圓半徑）

二、知識要點

一、圓的概念

集合形式的概念：

1、圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合；

2、圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合；

3、圓的內部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合軌跡形式的概念：

1、圓：到定點的距離等于定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓；

固定的端點O為圓心。連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經過圓心的弦叫直徑。圓上任意兩點之間的部分叫做圓弧，簡稱弧。

2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線；

3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線；

4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；

5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。

二、點與圓的位置關系

1、點在圓內

點在圓內；

2、點在圓上

點在圓上；

3、點在圓外

點在圓外；

三、直線與圓的位置關系

1、直線與圓相離

無交點；

2、直線與圓相切

有一個交點；

3、直線與圓相交

有兩個交點；

四、圓與圓的位置關系

外離（圖1）

無交點；

外切（圖2）

有一個交點；

相交（圖3）

有兩個交點；

內切（圖4）

有一個交點；

內含（圖5）

無交點；

五、垂徑定理

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。

推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；

（2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；

（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧

以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結論，即：

①是直徑

②

③

④

弧弧

⑤

弧弧

中任意2個條件推出其他3個結論。

推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。

即：在⊙中，∵∥

∴弧弧

六、圓心角定理

頂點到圓心的角，叫圓心角。

圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。

此定理也稱1推3定理，即上述四個結論中，只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的3個結論，即：①；②；

③；④

弧弧

七、圓周角定理

頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角，叫圓周角。

1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。

即：∵和是弧所對的圓心角和圓周角

∴

2、圓周角定理的推論：

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧；

即：在⊙中，∵、都是所對的圓周角

∴

推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑。

即：在⊙中，∵是直徑

或∵

∴

∴是直徑

推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。

即：在△中，∵

∴△是直角三角形或

注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。

八、圓內接四邊形

圓的內接四邊形定理：圓的內接四邊形的對角互補，外角等于它的內對角。

即：在⊙中，∵四邊形是內接四邊形

∴

九、切線的性質與判定定理

（1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；

兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可

即：∵且過半徑外端

∴是⊙的切線

（2）性質定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖）

推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點。

推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓心。

以上三個定理及推論也稱二推一定理：

即：①過圓心；②過切點；③垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。

十、切線長定理

切線長定理：

從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。

即：∵、是的兩條切線

∴

平分

十一、圓冪定理

（1）相交弦定理：圓內兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。

即：在⊙中，∵弦、相交于點，∴

（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。

即：在⊙中，∵直徑，∴

（3）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。

即：在⊙中，∵是切線，是割線

∴

（4）割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等（如上圖）。

即：在⊙中，∵、是割線

∴

十二、兩圓公共弦定理

圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個圓的的公共弦。

如圖：垂直平分。

即：∵⊙、⊙相交于、兩點

∴垂直平分

十三、圓的公切線

兩圓公切線長的計算公式：

（1）公切線長：中，；

（2）外公切線長：是半徑之差；

內公切線長：是半徑之和。

十四、圓內正多邊形的計算

（1）正三角形

在⊙中△是正三角形，有關計算在中進行：；

（2）正四邊形

同理，四邊形的有關計算在中進行，：

（3）正六邊形

同理，六邊形的有關計算在中進行，.十五、扇形、圓柱和圓錐的相關計算公式

1、扇形：（1）弧長公式：；

（2）扇形面積公式：

：圓心角

：扇形多對應的圓的半徑

：扇形弧長

：扇形面積

2、圓柱：

（1）A圓柱側面展開圖

=

B圓柱的體積：

（2）A圓錐側面展開圖

=

B圓錐的體積：

第二十五章

概率初步

一、概率的概念

某種事件在某一條件下可能發生，也可能不發生，但可以知道它發生的可能性的大小，我們把刻劃（描述）事件發生的可能性的大小的量叫做概率.2、事件類型：

①必然事件：有些事情我們事先肯定它一定發生，這些事情稱為必然事件.②不可能事件：?有些事情我們事先肯定它一定不會發生，這些事情稱為不可能事件.③不確定事件：?許多事情我們無法確定它會不會發生，這些事情稱為不確定事件.3、概率的計算

一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發生的可能性都

相等，事件A包含其中的m中結果，那么事件A發生的概率為

（1）

列表法求概率

當一次試驗要設計兩個因素，并且可能出現的結果數目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用列表法。

（2）

樹狀圖法求概率

當一次試驗要設計三個或更多的因素時，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹狀圖法求概率。

4、利用頻率估計概率

①利用頻率估計概率

：在同樣條件下，做大量的重復試驗，利用一個隨機事件發生的頻率逐漸穩定到某個常數，可以估計這個事件發生的概率。

②在統計學中，常用較為簡單的試驗方法代替實際操作中復雜的試驗來完成概率估計，這樣的試驗稱為模擬實驗。

③隨機數：在隨機事件中，需要用大量重復試驗產生一串隨機的數據來開展統計工作。把這些隨機產生的數據稱為隨機數。