第一篇：二面角教學設計（大全）

二面角教學設計

四川梓潼中學 李光銀

教學分析：

二面角的計算是立體幾何中重要內容之一。是繼空間異面直線、直線與平面夾角之后又一個空間角的計算。二面角的概念發展、完善了空間角的概念；進一步體現了空間問題平面化的思想。

學情分析：

學生學習了線與線、線與面、面與面的平行與垂直問題，形成了一定的認知結構，并且又學習了異面直線所成的角、線現面所成的角，所以，有了一定的基礎。但是二面角與其它知識不一樣，學生理解有困難，對學生來說作二面角的平面角又是一個很難的事，我們就要細分析、多引導，讓學生自己去發現并解決。

教學目標：

1．使學生了解二面角及其平面角的概念、作法，并能初步運用定義法和三垂線法求二面角的平面角，二面角及其平面角的知識解決實際問題。

2．引導學生探索和研究“二面角的平面角”應該如何定義，在概念形成的過程中，發展學生的思維能力． 能力目標：

培養學生的觀察分析能力、空間想象能力和猜想能力，進而培養學生的創造能力。培養學生的數形結合和把空間問題轉化為平面問題的化歸思想。教學重點和難點：

本課的重點是“二面角”和“二面角的平面角”的概念； 本課的難點是“二面角的平面角”概念形成的過程． 教學設計過程 一．復習引入

學習過平面幾何中的角，在立體幾何中，學習“異面直線所成的角”、“直線和平面所成的角”，分別為線線角，線面角，在現實生活中要研究面面角。引入現實實例：1人造地球衛星繞地球旋轉，衛星的軌道平面和地球赤道平面成一定的角度． 2.安裝太陽能熱水器的時候，集熱板與地面成一定的角度 二．講授新課

1．二面角的概念(1)有關定義：

半平面：一個平面內的一條直線，把這個平面分成兩部分，其中的每一部分都叫做半平面。

二面角：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。

這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。(2)平面角與二面角的比較：平面角由射線—點—射線構成．二面角由半平面—線—半平面構成．（3）二面角的畫法及表示：

2．二面角的平面角 問題1：我們常說“把門開大一些”，“把書翻開一些”是指哪個角增大了?

我們怎樣來度量一個二面角的大小呢? 問題2：我們以前學過的空間角，如異面直線所成的角，空間線面所成的角怎樣度量的? 設計這個問題意在引發學生回憶：空間角都是轉化成平面角進行度量的，從化歸思想的角度引導學生猜想得到：二面角也可以轉化成平面角進行度量，并且角的大小唯一確定

問題3：平面角度量二面角，那這個平面角的頂點和兩邊應放在什么位置? 設計這個問題讓學生嘗試二面角的度量方法，結合學生情況，引導思考，解決問題。

二面角的平面角的定義:以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個半平面內分別做垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。教師示范如何正確做出二面角的平面角.應該根據具體問題的情況抓住“二面角的平面角”的三個要素：（1）確定二面角的棱上一點；

（2）經過這點分別在兩個半平面內引射線；（3）所引的射線都垂直于棱。

注意：①二面角的平面角與頂點在棱上的位置無關，只與二面角的張角大小有關。

②二面角是用它的平面角來度量的，一個二面角的平面角多大，就說這個二面角是多少度的二面角。

3．二面角的平面角的取值范圍：

0° ≤ α≤ 180 ° 直二面角：平面角是直角的二面角是直二面角

4.二面角的平面角的作法： 定義法：在二面角的棱上找一個特殊點，在兩個半平面內分別作垂直于棱的射線，這兩射線的夾角即為二面角的平面角。一般有等腰型（兩個半平面由同底的兩個等腰三角形組成）和全等型（兩個半平面由能對折重合的兩個全等三角形組成）兩種。例1.在三棱錐V?ABC中，VA?VB?AC?BC?2,AB?23,VC?1,試畫出二面角V?AB?C的平面角，并求他的度數。解：取AB的中點D，連接VD,CD.在?VAB中，?VA?VB,D為AB的中點。

?VD?AB

同理可證：CD?AB

??VDC是二面角V-AB-C的平面角。

計算的：VD=CD=1??VDC是正三角形。??VDC=60?

?二面角V?AB?C為60?.反思：等腰型的二面角作平面角時，取棱的中點是關鍵，再連接兩個面的頂點，由等腰三角形三線合一可證的兩射線均垂直于棱。即產生二面角的平面角。例2.在正四棱錐P-ABCD中，側棱長為2，底面邊長為1.求二面角A-PB-C的余弦值。反思：全等型的二面角作平面角，在其中一個面內向棱作垂線，將垂足與第二個面內的頂點向連。可證的兩射線均垂直于棱。即產生二面角的平面角。練習：在正方體ABCD-A1B1C1D1中。

① 求二面角C1?AB?C的大小。② 求二面角D1?AC?D的正切值。③ 求二面角D1?AC?B1的余弦值。

三．課堂小結：

求二面角的平面角的過程和求兩條異面所成的角、求直線和平面所成的等角類似，步驟都是：

一找（或作）─—找（或作）出二面角的平面角；

二證─—用定義來證明上面所得角就是二面角的平面角； 三算─—通過解三角形求出二面角的平面角的度數。

四、課堂練習

如圖，?、?、?為平面，????L,????AO,????BO,l??，指出圖中哪個角是二面角的平面角，并說明理由。五．課后作業

課本P74習題2.3 A組 7 課本P78復習參考題

A 組

第二篇：“二面角”教學設計

“二面角”教學設計

一、教學內容解析

“二面角”在人教版新課標教材《必修2》第二章第三節第二小節的一個子內容，它的主要用途在于去定義兩平面垂直關系，同時它也是繼討論了直線與直線所成的角、直線與平面所成的角之后的另一種自然的空間角。在《必修2》中教材沒有例題進行二面角的計算，只是在小節習題中以正方體為背景設計了一個題，在《選修2-1》的第三章第二節中教材著重的加強了利用空間向量的工具去解決二面角的計算。

“二面角”的內容在以前的大綱版教材中是專設一節來進行詳細的介紹，以及對二面角平面角的找尋進行了細致的劃分，諸如：定義法，三垂線定理法等。對比兩個版本教材的編寫情況可以看出，本節在新課程中主要起到的作用是更好地理解兩平面垂直的關系，而且對前面兩者——直線與直線的垂直，直線與平面的垂直起著銜接和完善整個關系體系的作用。

故而，“二面角”這節的重點應該是理解概念，以及通過學習本節讓學生在各自的思維中構建整個知識脈絡，建立相關關系。

二、教學目標設置

在《說明》中對《必修2》教材第二章“點、直線、平面之間的位置關系”的目標設置為能用數學語言表述有關平行、垂直的性質與判定，并對某些結論進行論證，以及以立體幾何中的定義、公理和定理為出發點，通過直觀感知、操作確認、思辨論證，認識和理解空間中線面平行、垂直的有關性質與判定。

又在《說明》中對《選修2-1》教材第三章“空間向量與立體幾何”的目標設置為能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用，足以見得，對于二面角這個子內容的作用就是過渡，提出面面垂直的定義。

故而，在本節我設計的目標要求如下：

（1）引導學生探索和研究兩平面垂直應該如何定義，在概念形成的過程中，使得學生認同學習“二面角”概念的必要，并發展學生的思維。

（2）在經歷概念形成的過程中去理解二面角平面的作法，并掌握。

三、學生學情分析

在學習“二面角”之前，學生已經學習了空間中兩直線的垂直定義，兩直線所成角的定義，直線與平面垂直的定義和直線與平面所成角的定義，至此學生已經具備一定的空間想象力和概括能力，在這里很自然的能夠聯想到缺少了兩個平面垂直的關系，兩個平面的垂直是生活中常見的形式，學生能夠去感受，而數學是嚴格的，也就自然會想該怎樣去定義這種關系，根據前兩種關系從“角度”出發的描述形式，“二面角”是呼之欲出，是勢在必然。

不過這其中的矛盾就在于角是能夠觀察出圖形，關鍵在于怎樣去計算“二面角”的大小，它的大小又是用哪個角去代替，兩面中有很多的線，哪個線更直接，更方便，教學的難點就在這里，是要讓學生達成共識，對二面角的平面角的“代表性”進行認同。

四、教學問題診斷分析

學生對“二面角”學習的必然性能夠水到渠成，但在其中的確切定義的理解會出現差異，從名稱可以看出應是兩個平面組成的角，但實際是兩個半平面，而且在尋找到二面角平面角后，對平面角的認同也會存在著一定的誤區，就是忽略兩個半平面內的射線需垂直于棱。本節知識沒有理解的難點，因為有具體的空間為想象的基礎，只是在其中有需要去具體細化的概念。

五、教學過程 1．課題引入

首先讓學生一起來回顧一下前面剛學習的直線與平面垂直的判定定理，再讓學生去回顧直線與平面垂直的定義，直線與直線垂直的定義，在兩直線垂直的定義中可以發現是從90o角去定義的，再喚起學生對直線與平面所成角定義的印象，即直線與平面垂直是可以從90o的線面角去描述的，從而引出新課題從哪個角度去定義兩平面垂直。2．探究二面角的定義

先展示兩個平面相交的圖形，如圖①，從圖中就可以感受到有四個角的形式，而且從大小的方面也可以體會到有對頂角相等的情況，借此機會教師提出疑問，什么時候才能夠說對頂角，當然是在兩直線相交的情況，所以教師通過軟件從不同的角度去觀察兩個平面相交的情形，就會有如圖②的情況。

圖②

圖①

面縮成了直線，線變成了點，那就會有角的真實存在了，既然換一個觀察角度可以把兩個平面所成的角變成平面角，那么“二面角”的定義就可以類比到平面角的定義，借此教師引導學生回憶平面中的角的定義從而自然得到“二面角”的定義。

再類比平面中角的表示法自然得到“二面角”的表示形式。3．探究二面角平面角的定義

平面中的角是有大小的，而且兩個平面的展開形式也有所不同，有的大，有的小，所以“二面角”的也應該有大小。問題就來了，“二面角”的大小該用哪個角去表示呢？用一點時間讓學生像剛才一樣利用身邊的工具——課本，打開課本就可以形成一個“二面角”，然后從不同的角度去觀察變化過程中有哪個平面角與之相對應。

教師就利用軟件展示一個動態的過程，形成統一的認識，如圖③。

圖③

再讓二面角的其中一個半平面繞著棱進行旋轉變化，觀察“二面角”與∠POQ的變化對應關系可以發現它們的對應關系，后引導學生觀察∠POQ的特征，故而給出“二面角”平面角的具體概念。

4．對比其他空間角的度量形式

異面直線所成的角是學生進入立體幾何的第一類空間角，它的定義是通過平移讓直線相交后所形成的角為異面直線的角，在空間中從不同角度觀察兩異面直線，便可得到如圖④。

從圖中可以觀察出，“二面角”平面角的找尋實際也是自然的。

圖④ 5．完善點、直線、平面垂直關系

有了描述兩個平面角度形式的“二面角”后，那么就可以從90o去定義兩個平面的垂直，同時也就完善了整個關系體系，即每種垂直關系都可以從各種形式的角為90o去描述，對比直線與直線平行。直線與平面平行，平面與平面平行一樣都可以從無交點去描述。

第三篇：《二面角》教學設計及反思

《二面角》教學設計及反思

一、教材分析

二面角及其平面角的概念是立體幾何最重要的概念之一。二面角的概念發展、完善了空間角的概念；而二面角的平面角不但定量描述了兩相交平面的相對位置，同時它也是空間中線線、線面、面面垂直關系的一個匯集點。搞好本節課的學習，對學生系統地掌握直線和平面的知識乃至于創新能力的培養都具有十分重要的意義。教學大綱明確要求要讓學生掌握二面角及其平面角的概念和運用。

二、學情分析

學生學習了線與線、線與面、面與面的平行與垂直問題，形成了一定的認知結構，并且又學習了異面直線所成的角、線現面所成的角，所以，有了一定的基礎。但是二面角與其它知識不一樣，學生理解有困難，對學生來說作二面角的平面角又是一個很難的事，我們就要細分析、多引導，讓學生自己去發現并解決。

三、教學目標

知識與技能：（1）使學生正確理解二面角及其平面角的概念，并能初步運用它們解決實際問題。（2）進一步培養學生把空間問題轉化為平面問題的化歸思想。

能力與方法：以培養學生的創新能力和動手能力為重點。(1)突出對類比、直覺、發散等探索性思維的培養，從而提高學生的創新能力。（2）通過對圖形的觀察、分析、比較和操作來強化學生的動手操作能力。

情感與態度：(1)使學生認識到數學知識來自實踐，并服務于實踐，從而增強學生應用數學的意識。(2)通過揭示線線、線面、面面之間的內在聯系，進一步培養學生聯系的辯證唯物主義觀點。

四、教學重難點

1、二面角的平面角概念的形成過程

2、尋找二面角的平面角的方法的發現過程

五、教學過程

1、二面角概念的引入

師：我們知道，面與面的位置關系分相交和平行兩種，對于兩個平面平行的研究已經很深刻了，現在我們來探討兩個平面相交的問題

讓學生觀察老師手里的教具（用兩塊硬紙板做成的大小可變的“二面角”）的變化。

師：你觀察到了什么？生：好象有一個角在不斷改變。師：對，它就是我們今天要學習的二面角；二面角在生產生活中隨處可見，水壩面與水平面所成的角，衛星的運行軌道與赤道平面所成的角都給我們二面角的形象。

啟發學生從這些形象中抽象出二面角的定義：

半平面—平面內的一條直線把平面分成兩部分，其中的每一部分都叫做半平面。二面角—從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。

二面角與平面中的角的對比如圖1。

畫法、記法如圖2。

2、二面角的平面角的探討

老師再次拿起教具在學生的睽睽眾目下，全神貫注地把玩著，嘴里還在嘟嚕：“這是二面角。”隨著二面角的變化，語氣變得十分驚訝：“看來二面角還有大小的，這時大，這時小。”終于頭抬起來了，聲音也提高了八度：“他的大小由誰決定呢？”

學生也開始了沉思。

老師不時時機地啟發著，兩條異面直線所成的角、平面的斜線與平面所成的角是怎么定義的？

前者是通過平移轉化為兩條相交直線所成角，后者是通過找射影轉化為兩條相交直線所成角，所以人們考慮二面角的大小也轉化為某兩相交直線所成角來度量。

老師又第三次那起了教具，問：角的頂點（這兩相交直線的交點）應選在那里？生1：棱上。老師回答：好（并用黃色粉筆在棱上標出一點）。

師：角的兩邊呢？生1：兩個半平面內，老師回答：好（并用黃色粉筆過上面標出的點，在兩個半平面內做出多條射線）。

師：這樣的角多不多？生1：多。

師：這些角相等嗎？生1：不一定相等。

師：那到底用哪個角來表示二面角呢？生1：不知道。

老師若有所思：“這個角應該有這樣的特點—只要二面角定了，這個角的大小也就定了”，并板書該特點。

師：要滿足這個特點，看來對這兩邊的作法還要加以限制。還加怎樣的限制呢？

沉默一會之后，生2：過棱上標出的那點，在兩個半平面內分別作垂直于棱的兩條射線試看。老師按照學生2的意見，做出了這兩條射線。

師：二面角定了，這個角的大小就定了嗎？在不太整齊的“是的”之后，有同學提出：還得把頂點任意換個位置再作個角來比較了才知道。

師：說得好，說得好，說得太好了，下面我們就來解決這個問題。如右圖： ?AP?l? ??AP//A1P?A1P?l????APB??A1PB1 ? 同理AP//BP1?

即這樣做出的角與頂定的位置無關，只與兩個半平面的相對位置有關，所以可用它來表示二面角的大小，我們把這個角叫二面角的平面角。

師：下面我們來給二面角的平面角下個定義。

找生3回答（不準確老師補充）：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。

由此可見二面角的平面角有三要素：（1）角的頂點在棱上；（2）角的兩邊分別在兩個面內；

（3）角的兩邊都要垂直于二面角的棱。二面角的平面角的范圍:??[0?,180? ]

001800；當兩個半平面共面時，具體地當兩個半平面重合時，??0；當兩個半平面相交時，??0，????1800。

平面角是直角的二面角叫做直二面角。

二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度。木工用活動尺測量工件的兩個面所成的角時，就是測量這兩個面所成的二面角的平面角。我國發射的第一顆人造地球衛星的傾斜角是68.5，就是說衛星軌道平面與地球赤道平面所成的二面角的平面角是

068.50。

3、應用舉例 例1.如圖，河堤斜面與水平面所成的二面角為60°, 堤面有一條直道CD,它和堤腳的水平線AB的夾角是30°, 沿條直道從堤腳向上行走到10米時人升高了多少米？ 解：設水平面是?，作EG??于G，作GF⊥AB于F，連結EF，上這?FE?AB（三垂線定理）。

答：沿直道行走10m時人升高約4.3m。?FG是斜線FE在水平面內的射影，GF⊥AB，∴∠EFG就是河堤斜面與水平面所成的二面角的平面角。∴EG?EFsin600?CEsin300sin600?2.53?4.3?m?。

小結：

1、求二面角的平面角的過程和求兩條異面所成的角、求直線和平面所成的等角類似，步驟都是：

一找（或作）─—找（或作）出二面角的平面角； 二說─—用定義來說明上面所得角就是二面角的平面角； 三算─—通過解三角形求出二面角的平面角的度數。

2、用三垂線（逆）定理作二面角的平面角的過程是：

一垂面、二垂線、三連線得二面（二面角的平面角）。

如本題：一作EG??于G、二作GF⊥AB于F（或作EF⊥AB于F）、三連結EF（作的是EF?AB時，三連結EF），得∠EFG就是所求二面角的平面角。

師：除可用三垂線（逆）定理得二面角的平面角以外，還可用另外的方法求二面角的平面角嗎？

4、課堂練習

練習1.如圖，?、?、?為平面，????L,????AO,????BO,l??，指出圖中哪個角是二面角的平面角，并說明理由。

學生4起來給出了完滿的答。

師：這說明通過作棱的垂面也可以得到二面角的平面角。

其實，二面角的平面角就是棱垂直的平面與兩個半平面的交線所成的角。師：最后還要強調的求法得先做下面的練習。

練習2.如圖,已知P是二面角??AB??棱上一點，過P 分別在?、?內引射線PM、PN，且∠MPN=60，∠

0BPM =∠BPN =450，求此二面角的度數。經過充分醞釀后，學生5：

在PB上取不同于P 的一點O，在? 內過O作OC⊥AB交PM 于C，在 ? 內作OD⊥AB 交PN于D，連結CD，可得： ∠COD是二面角??AB??的平面角。

師：可見最后要強調的是更可以用定義去求二面角的平面角。

5、知識回顧、小結

6、布置作業

7、板書設計

1、二面角的定義、畫法和表示法

定義 從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。記法 二面 角?－ l－ ?。

2、二面角的平面角的概念和求法

定義 以二面角的棱上任意一點為端點,在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線, 這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。

六、教學反思

（1）現行教材省略了概念的形成過程和方法的發現過程，沒有反映出科學認識產生的辯證過程，與學生的認知規律相悖，給學生的學習造成了很大的困難，非常不利于學生創新能力、獨立思考能力以及動手能力的培養。

（2）現代認知學認為，揭示知識的形成過程，對學生學習新知識是十分必要的。同時通過 展現知識的發生、發展過程，給學生思考、探索、發現和創新提供了最大的空間，可以使學生在整個教學過程中始終處于積極的思維狀態，進而培養他們獨立思考和大膽求索的精神，這樣才能全面落實本節課的教學目標。

第四篇：《二面角及其平面角》教學設計范文

《二面角及其平面角》教學設計

袁素燕（江西省泰和縣第二中學 343700）

課題：二面角及其平面角 學科：數學

版本：人民教育出版社2006版 年級：高二年級 冊別：第二冊下（A）課時：1課時

一、教學目的

1、知識目的：①理解二面角的概念 ②能正確畫出二面角及二面角的平面角 ③會求簡單二面角的平面角的大小

2、能力目的：

①通過二面角的教學，培養學生的空間想象能力 ②通過將研究二面角的大小轉化為研究其平面角的大小，培養學生的轉化能力。

3、情感目的

①通過實際問題的引入，激發學生學習數學的興趣，讓學生明白數學與生活是密不可分的。

②培養學生認真參與，積極交流的主體意識和樂于探 索、勇于創新的科學精神。

二、教學重點、難點

1、教學重點

①二面角及二面角平面角的定義 ②作二面角平面角的三種方法

2、教學難點：理解二面角的平面角定義的科學性，解決的辦法是：讓學生打開書的過程，書的兩頁之間形成了二面角，引導學生動手測量其大小，從而解決本節課的教學難點。

三、教具準備：三角板、紙板和多媒體

四、教學過程

1、復習引入（5分鐘）通過下列一組問題的設計，經啟發引導，提出今天的學習課題

①問題一：在平面幾何中“角”是怎樣定義的？（引導學生從兩種不同的角度回答）是這樣定義的：（1）從平面內一點出發的兩條射線所組成的圖形，叫做角。（2）一條射線繞它的端點旋轉所形成的圖形，叫做角。

②問題二：在立體幾何中，我們還學習了哪些角？（學生能容易地回答）異面直線所成的角，直線與平面所成的角。

③問題三：在空間和日常生活中，我們還會遇到一些角（1）（動畫演示）修水壩時，為了使水壩堅固耐久，必 須使水壩面與水平面成一定的角度。

（2）（動畫演示）人造地球衛星繞地球飛行的軌道平面與地球的赤道平面成一定的角度。

（3）（師生動手演示）打開數學課本的過程，書的兩頁之間形成了一定的角。

④上面問題三中所說的角就是我們今天要學習的另一個空間的角——二面角（板書課題）

2、新課探究（22分鐘）

①問題一：如何給二面角下定義？（讓學生充分思考，討論并展示打開書的過程，通過角的定義用類比的方法給二面角下定義）。

②問題二：二面角是否有大小？用什么方法度量？（可以先回顧度量“角”的方法及使用的工具<量角器>，再讓學生思考并展開討論，教師可提示、引導“異面直線所成的角”、“斜線與平面所成的角”的度量方法——轉化為一個平面角，讓學生嘗試二面角的度量方法，結合學生情況，引導思考，解決問題。）

③師生共同總結得出：

二面角的平面角的定義：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個半平面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。④（師生合作）由定義出發得出作二面角的平面角的步驟：

（1）確定二面角的棱上一點；（2）經過這點分別在兩個半平面內引與棱垂直的射線。

⑤由以上活動，師生共同總結得出以下結論：（1）二面角的大小，可以用它的平面角來度量。（2）二面角的大小范圍是：[0°，180°]（3）平面角是直角的二面角，是直二面角 ⑥歸納得出過空間一點作二面角的平面角的方法：（1）定義法（已知點在棱上）

（2）三垂線法（已知點在二面角的某一個面上）（3）垂面法（已知點在二面角內）

3、應用舉例（13分鐘）

例1：二面角指的是從一條直線出發的兩個半平面所夾的角；從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形；兩個平面相交時，兩個平面所夾的銳角或鈍角；過棱上一點和棱垂直的二射線所成的角（啟發引導，邊講解，邊畫圖，同時強調正確畫圖的重要性）

設計意圖：從不同方位認識二面角和二面角的平面角，進而突出本節課的重點。

例2：已知二面角α-l-β的平面角為60°，P∈α，若P到平面β的距離為9cm，則點P到棱l的距離為，點P在β上的射影為P1，則P1到平面α的距離為。（師生共同完成作圖）。

設計意圖：進一步強調正確作圖的重要性，讓學生掌握用三垂線法作二面角的平面角。

例3：如圖，平面角為銳角的二面角α－EF－β，A∈EF，AG α，∠GAE=45°，若AG與β所成角為30°，求二面角α－EF－β的平面角的大小（多媒體幻燈片演示圖例）。

解：作GH垂直β于H，作HB垂直EF于B，連GB，則GB垂直EF，∴∠GBH為二面角的平面角。又∠GAH是AG與β所成的角，即∠GAH=30°，設AG=a，則GB=，GH=，sin∠GBH=，∴∠GBH=，故二面角α－EF－β的平面角為（45°）。

設計意圖：做立體幾何的計算題，規范解題至關重要，本例起到一個示范作用，同時本例也提供了一種作二面角的平面角的最常用方法。

4、小結與作業（5分鐘）： ①小結

（1）二面角的定義（2）二面角的平面角的定義

（3）作二面角的平面角的方法：定義法、三垂線法、垂面法

（4）兩個教學思想：將空間問題向平面問題轉化及類比的數學思想

②作業和練習

（1）作業：P32第2、3題

（2）練習課題：用今天學的數學知識測學校辦公樓前臺階的坡度

五、教學后記

課堂教學設計說明本節課屬于新授課型，應主要把握以下幾個方面：

1、要做好新知識的鋪墊。數學教學的過程，實質上就是原有認知結構不斷地同化或順應的過程。學生原有的認知結構，始終是關系遷移功能的一個關鍵因素。為了有效遷移和構建就應認真尋找和了解學生的原認知，及時組織改造和喚起這些關鍵因素，為學習新知識提供基礎。

2、要做好新知識的導入。新課導入就是在新舊問題之間架起一座“認知橋梁”，從而順利實現遷移。導入時要尋求新舊問題的最短距離，要瞄準新舊關系的最佳方位，要把握新舊轉換的最精確地表達。

3、新授課的重點是新授。新授是一堂課的重要環節，也是學生思維最活躍、最緊張、最有效的認知高潮。因此，新授過程應確保在教學中的最佳時域進行，要讓學生有觀察、動手、表達、思考、交流、表現等時機，讓學生真正成為學習的主人，主動地和生動地進行認知建構。

4、要做好課堂鞏固。鞏固的主要目的是幫助學生建立起關于某道范例的思維模式，形成積極有益的認知定勢，從而去解決實際問題。對于鞏固練習，應恰當地變換形式或角度，集中突破教學重點和難點。

5、結合實際，做好作業的選題、批改、訂正、講評，進一步提高學習質量。練習課題的布置，能夠很好地激發學生學習數學的興趣。

附：板書設計

1、二面角定義

2、二面角的平面角定義

3、作二面角的平面角的方法（1）（2）（3）

4、例題講解：例1 例2 例3

第五篇：二面角教案

二面角教案

教學目標

1．使學生正確理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”的概念，并能初步運用它解決實際問題；

2．引導學生探索和研究“二面角的平面角”應該如何定義，在概念形成的過程中，發展學生的思維能力．

教學重點和難點

本課的重點是“二面角”和“二面角的平面角”的概念； 本課的難點是“二面角的平面角”概念形成的過程． 教學設計過程

教師：在平面幾何中“角”是怎樣定義的？

學生：從平面內一點出發的兩條射線所組成的圖形叫做角．

教師：在立體幾何中，“異面直線所成的角”、“直線和平面所成的角”又是怎樣定義的？它們有什么共同的特征？

學生；直線a，b是異面直線，經過空間任意一點O，分別引直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角．

它們的共同特征是都是將三維空間的角轉化為二維空間的角． 教師：請同學們觀察下面的幾個問題．

（當教師說完上述話后，利用多媒體技術，讓學生通過計算機看兩個例子）例子之一：

鏡頭一：淡藍色的地球．（圖片）

鏡頭二：火箭發射人造地球衛星．（錄相）

鏡頭三：人造地球衛星繞地球旋轉，最后畫出衛星的軌道平面和地球赤道平面．

讓學生觀察這兩個平面相交成一定的角度． 例子之二：

鏡頭一：人走在坡度不太大的橋上．（錄相）鏡頭二：人在爬山．（錄相）鏡頭三：攀巖運動．（錄相）

鏡頭四：演示下面動態圖象．（讓水平面靜止不動，坡面在不斷變化，目的是讓學生看到，在生活實踐中，有許多問題要涉及到兩個平面相交所成的角的情形）

（注意：四個鏡頭要連續編排在一起進行演示，時間一分鐘）

教師：如何給二面角下定義呢？下面我們用類比的辦法，與角的概念對比，探討二面角的定義．

這一段教學采用計算機輔助手段，每一個問題分三步完成，首先給出平面角的問題，然后請學生思考并回答二面角的問題，最后計算機顯示正確結果．這部分共有四個問題，全部研究完畢后，將整個過程列成一個總表，顯示在屏幕上．

教師：請看角的圖形，思考二面角的圖形． 學生可以將自己畫的圖展示給大家． 計算機顯示：二面角的圖形．

教師：（給出平面角的定義）請同學們給二面角下定義． 顯示：從平面內一點出發的兩條射線所組成的圖形． 學生：（口答）

計算機顯示：從空間一直線出發的兩個半平面所組成的圖形． 教師：平面角由射線—點—射線構成．二面角呢？ 學生：二面角由半平面—線—半平面構成． 教師：平面角表示法：∠AOB． 二面角表示法 α-a-β或α-AB-β． 最后計算機顯示整個過程．

教師：經過上面的研究我們已經看到，平面上的角，可以看作是一條射線繞其端點旋轉形成的圖形；類似地，一個半平面繞其界線旋轉到一定位置所得到的圖形，就是二面角．

教師：二面角與平面內的角一樣，是可以比較大小的，其比較方法，與平面內的角的大小的比較方法類似．

（教師讓學生打開書本）

打開書本的過程，給我們一種二面角的大小連續變化的形象．（前面看到的爬山問題也是如此）

教師：用量角器可以量出平面內的角的大小，能否也能用量角器直接去量出二面角的大小呢？

比如，這里有一個對頂量角器和一個三角木塊（直三棱柱）模型，你們能用我們自制的對頂量角器來量出三角木塊模型的某兩面角的大小嗎？比如平面α與β的夾角？

教師：一般地說，量角器只能測量“平面角”（指兩條相交直線所成的角．相應地，我們把異面直線所成的角，直線與平面所成的角和二面角，均稱為空間角）那么，如何去度量二面角的大小呢？我們以往是如何度量某些角的？

學生：分別通過“取點、平移（相交）”（對異面直線所成的角）與“斜線的射影（相交）”（對斜線與平面所成的角）去度量的．

教師：這些做法的共同點是什么？ 學生：都是將空間角化為平面角．

教師：對！再回到剛才的量角操作，你是怎樣用對頂量角器去量二面角α-l-β的大小呢？

學生：將對頂量角器的一個角的兩邊靠緊二面角的兩個面，角的頂點則在二面角的棱上．

教師：大家注意，實際上同學們量的是一個平面內的角：∠BAC．這個角的頂點在二面角的棱上，它的兩邊分別在二面角的兩個面內且與棱垂直．而且對于確定的二面角，這樣的角的大小是唯一的，確定的，我們把它叫做二面角的平面角．

（對于訓練有素，肯于思考的學生可能會提出下面的問題）

學生：若以棱a上任意一點O為端點，在兩個面內作與棱成等角θ′（0°＜θ′＜90°）的兩條射線OA′，OB′，由空間等角定理知，∠A′OB′也是存在且唯一的，為什么不用這樣的角定義二面角的平面角？

教師：記∠AOB=θ，∠A′OB′= ．當OA′，OB′在平面AOB同側時θ＞ ；當OA′，OB′在平面AOB異側時θ＜ ．請看圖6：

設 A′P′=a，A′P=b，A′B′=x 由余弦定理，得：

x2=b2+b2-2b2cos =2b2（1-cos），x2=a2+a2-2a2cosθ=2a2（1-cosθ），當OA′，OB′在平面AOB的同側時，若用∠A′OB′= 表示二面角的大小，由（*）知，與θ之間會有常數關系，這將給表示，尤其是計算、應用帶來諸多不便；另外，若用∠A′OB′= 表示二面角的大小，當平面α⊥平面β時；

≠90°，當半平面α與半平面β在同一平面時，=2θ′≠180°，都與已有知識和經驗不符，不能直觀反映出空間兩個相交平面的相對位置關系。

教師板書二面角的平面角的定義．

定義 以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．

教師：“二面角的平面角”的定義三個主要特征是什么？ 學生：過棱上任意一點（0∈a），分別在兩個面內作射線（OA β），射線垂直于棱（OA⊥a，OB⊥a）．

α，OB

教師：經過上面的研究我們看到，二面角的大小，可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是幾度，就說這個二面角是幾度．

教師：許多立體幾何問題，若能正確地作出圖形，則問題就便于解決．若能正確地作出二面角的平面角乃是解決這類問題的關鍵步驟．下面我們總結一下作二面角平面角的幾種基本方法．如何利用定義作二面角的平面角呢？

學生：在二面角的棱a上任意取一點O為端點，在面α，β內分別引垂直于棱a的兩條射線OA，OB，則∠AOB為該二面角的平面角．

教師：如何利用三垂線定理作二面角的平面角呢？

學生：在二面角α-a-β的面α上任取一點A，過A分別作棱a和另一面β的垂線AO和AB（O，B分別是垂足），連BO；或者過A作面β的垂線AB，又過垂足B引棱a的垂線BO，連AO；則∠AOB為該二面角的平面角．

教師：能否用作垂面的辦法作二面角的平面角呢？

學生：過二面角的棱a上任一點O，作平面γ與該棱垂直（作棱的垂面），平面γ與α，β分別交于OA，OB，則可用∠AOB來度量二面角α-a-β的大小．

教師：下面我們研究一道例題．

題目：如圖11，山坡的傾斜度（坡面與水平面所成二面角的度數）是60°，山坡上有一條直道CD，它和坡腳的水平線AB的夾角是30°，沿這條路上山，行走100米后升高多少米？

（投影打出下圖）

（此例是一個實際應用問題，難度較低，一般不易引起人們的注意，但教師應深入思考，講清下面幾點）

分析：

1．建模過程

此例的求解首先要對實際圖形作出想象理解，然后在教學中抽象出數學模型．雖然建模過程難度較低，但教學中應主要向學生滲透建模的思想和增強學生對立體幾何中一些基本圖形的認識與理解．

設過AB的水平面為α，坡面DAB所在的平面為β，CD=100m．

本題要求“升高了多少米”？即是求點D到水平面α的距離DH．這自然會想到解直角三角形DHC，但該直角三角形不可解，故必須另尋途徑．（如圖，利用計算機顯示在屏幕上）

再看看給出的條件，已知二面角α-AB-β是60°，如何作出它的平面角呢？過D在平面β內作DG⊥AB，G是垂足，再連結HG，則根據三垂線定理，可得HG⊥AB，則∠DGH就是該二面角的平面角，即∠DGH=60°．再根據∠DCH=30°及直角三角形DGH和DCG的邊角關系，就可以求出DH．

2．提煉方法

此例的求解是應用三垂線定理作二面角的平面角的典型例子，也是立體幾何的一個基本方法．為了強化此法，應在本節練習中配套出相應的題目．這表明在教學中加強對基本方法的提煉、理解是很有必要的，也是加強通法教學的具體表現．

練習：

①在30°二面角的一個面內有一個點，它到另一個面的距離是a，求它到棱的距離．

②把邊長為a的正方形ABCD以BD為軸折疊，使二面角A-BD-C成60°的二面角，求A、C兩點的距離．

3．導出等式 在圖12中，不妨從一般性出發，記∠DCH=θ1，∠DCG=θ2，∠HCG=θ3，∠DGH=θ．引導學生從例題圖形中推導出等式：

①sinθ1=sinθ2sinθ； ②cosθ2=cosθ1cosθ3．

這樣的練習既鍛煉了學生的動手能力，還揭示了例題的引申功能，使例題的作用突出，導向明確，極有利于學生對知識串聯、累積、加工，從而達到舉一反三的作用．

sinθ1=sinθ2sinθ．

cosθ2=cosθ1cosθ3．

4．挖掘引申

教師在學生導出等式①，②后，把課堂教學進一步引向深入，對等式①，②作出說明與解釋．

由等式①可得sinθ1≤sinθ，即θ1≤θ，說明沿山坡直道CD上山時與水平面所成的角θ1不大于山坡的傾斜度，這使例題的實際性增強，又使學生在教學過程中對數學知識與實際生活進行比較、聯系、評價，突出了數學應用的廣泛性，進一步強化了學生的應用意識，從而有利于學生數學素養的提高．

小結

1．空間的“二面角”，是平面幾何中角的概念在空間中的拓廣．處理問題的思想方法是將“空間的角”轉化為“平面的角”來處理．定義的原則是：這個“平面角”的大小必須是由空間的角完全確定而且是唯一的．

2．凡是涉及到二面角的幾何問題，都要根據題目的條件，在圖形的恰當位置作出二面角的平面角，主要方法有“定義法”，“應用三垂線定理”和“作垂面”的方法．我們將在下一課做進一步的研究．

布置作業 1．閱讀課本．

2．正四面體ABCD，求側面與底面所成二面角的大小的余弦值． 3．如果兩個二面角的兩個面對應平行，那么這兩個二面角相等或互補． 課堂教學設計說明

本節課屬于新授課型．應主要把握下述幾個方面．

1．要有良好的鋪墊．數學教學的過程，實質上就是原有認知結構不斷地同化或順應的能動過程．學生原有的認知結構，始終是關系遷移功能的一個關鍵的因素．為了有效遷移和建構，就應認真尋找和了解學生的原認知，及時組織改造和喚起這些關鍵因素，為學習新的知識提供基礎．主要要做到三個方面的鋪墊：（1）知識性鋪墊．（2）技能性鋪墊．（3）原理性鋪墊．

2．抓著新知識的導入點．新課導入就是在新舊問題之間架起一座“認知橋梁”，從而順利實現遷移．導入時要尋求新舊問題的最短距離，要瞄準新舊關系的最佳方位，要把握新舊轉換的最精確表達．

3．新授課的重點是新授．新授是一堂課的重要環節，也是學生思維最活躍、最緊張、最有效的認知高潮．因此，新授過程應確保在教學中的最佳時域進行．要讓學生有觀察、動手、表達、思考、交流、表現等時機，讓學生真正成為學習的主人，主動地和生動地進行認知建構．

4．做好課堂鞏固．鞏固的主要目的就是幫助學生建立起關于某道范例的思維模式，形成積極有益的認知定勢作為學習優勢去解決實際問題．這樣的鞏固練習，不能單純停留于對范例的模仿上，而應恰當地變換形式或角度，集中突破教學難點和重點．

5．做好作業的選題、批改、訂正、講評，進一步提高學習質量．