第一篇：兩條直線(xiàn)的垂直

兩條直線(xiàn)的垂直

撰稿：第一組審稿：高二數(shù)學(xué)組時(shí)間;2009/9/2

5一、教學(xué)目標(biāo)：

1.掌握用斜率判定兩直線(xiàn)垂直的方法，感受用代數(shù)方法研究幾何圖形性質(zhì)的思想。

2.通過(guò)分類(lèi)討論，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、辯證性。

二、教學(xué)重點(diǎn)：用斜率來(lái)判定兩直線(xiàn)垂直的方法。

教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合求垂直直線(xiàn)的斜率和方程

三、知識(shí)鏈接:1.直線(xiàn)的傾斜角、斜率的概念

2.直線(xiàn)的方程及各種形式的互化

3.兩條直線(xiàn)的平行

四、教學(xué)過(guò)程：

通過(guò)上一節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道與直線(xiàn)Ax+By+C＝0平行的所在直線(xiàn)的方程可以表示為Ax+By+m＝0（m∈R，m?C）

那么：與直線(xiàn)Ax+By+C＝0垂直的所有直線(xiàn)的方程又如何表示呢？我們來(lái)看：

若l1⊥ l2（l1、l2都不與x軸垂直）

如圖：作出兩個(gè)直角三角形。（直角邊分別平行于坐標(biāo)軸）

STPQ

=k2設(shè)l1、l2的斜率為k1、k2，=k1QRPS

由于Rt⊿PST∽R(shí)t⊿PQR（因?yàn)椤蟃PS=∠RPQ）

故ST

PS=QR

PQ

k2從而k1=－即k1k2=－

1反過(guò)來(lái)，若k1k2=－1，則l1⊥ l2。因此，我們得到：

當(dāng)兩條直線(xiàn)的斜率都存在時(shí)，如果它們互相垂直，那么，它們的斜率的乘積等于－1。反之；如果它們的斜率的乘積等于－1，那么它們互相垂直。即：

l1⊥ l

2k1k2=－1（k1、k2均存在）

還有其他的證明方法嗎？

思考題：若l1、l2其中一條直線(xiàn)的斜率不存在，那么這兩條直線(xiàn)什么時(shí)候互相垂直？逆命題成立嗎？

若一條直線(xiàn)的斜率不存在，且l1⊥ l2，則另一條直線(xiàn)的斜率為0。逆命題同樣成立。

例1：已知四點(diǎn)A(5,3)，B(10,6)，C(3,-4)，D(-6,11)

求證：AB⊥CD

(1)已知直線(xiàn)l1的斜率k1=34，直線(xiàn)l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3a，－2)，B（0,a2＋1），且l1⊥ l2，求實(shí)數(shù)a的值

例2如圖：已知三角形的頂點(diǎn)為A(2,4), B（1,-2），C(-2,3),求BC邊上的高AD所在的直線(xiàn)方程。

練習(xí)：判斷兩條直線(xiàn)的是否垂直：

（1）??2x?3y?7

?3x?2y?4（2）??5x?2y?

5?2x?5y?

3（3）??x?3

?y?0（4）??2x?y?5

?6x?3y?

4如果它們垂直，試分別計(jì)算A1A2+ B1B2的值

結(jié)論：（若兩直線(xiàn)斜率存在）對(duì)于兩直線(xiàn)l1：A1x+B1y+C1＝0和l2：A2x+B2y+C2＝0,若l1⊥ l2，則A1A2+ B1B2＝0

例3在路邊安裝路燈，路寬23m，燈桿長(zhǎng)2.5m，且與燈柱成120°角，路燈采用錐形燈罩，燈罩軸線(xiàn)與燈桿垂直，當(dāng)燈柱高h(yuǎn)為多少米時(shí)，燈罩軸線(xiàn)正好通過(guò)道路路面的中線(xiàn)（精確到0.01m）

五、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：

1.過(guò)原點(diǎn)O作直線(xiàn)l的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)N（-2，1），則直線(xiàn)l的方程為.2.直線(xiàn)l1：ax+2y+6=0與直線(xiàn)l2：x+(a-1)y+a2-1=0垂直，則a=.3.已知△ABC頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，2），B（-1，1），C（0，3），求BC邊上的高所在直線(xiàn)的方程

4.已知直線(xiàn)l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,a),B(a?1,3)，直線(xiàn)l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(2,2),D(?2,a?2),（1）若l1//l2,求 a的值；（2）若l1?l2,求a的值。

今天我的收獲。

第二篇：證明兩直線(xiàn)垂直的方法

證明兩直線(xiàn)垂直的方法

1.矩形四個(gè)內(nèi)角

2.三角形中的兩角之和為90°，則另一角必為直角

3.證明兩直線(xiàn)中的一條是等腰三角形的底邊，另一邊是頂角平分線(xiàn)或底邊上的中線(xiàn)

4.勾股定理逆定理

5.圓直徑所對(duì)的圓周角

6.垂徑定理的判定

7.利用菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直

8.利用正方形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直

9.圓的切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑

10.證這兩直線(xiàn)中的一直線(xiàn)與第三直線(xiàn)平行，另一直線(xiàn)與第三直線(xiàn)垂直；或證明這兩直線(xiàn)各與已知的兩垂線(xiàn)平行

11.相交兩圓的連心線(xiàn)垂直平分公共弦

12.軸對(duì)稱(chēng)那類(lèi)的圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)垂直于軸

13.到線(xiàn)段兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)線(xiàn)段的中垂線(xiàn)上

14.如果三角形一邊上的中線(xiàn)等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形

15.與直角三角形相似的三角形 對(duì)應(yīng)角是直角

16.與直角三角形全等的三角形 對(duì)應(yīng)角是直角

17.利用鄰角相等：兩直線(xiàn)相交所成的兩個(gè)鄰角相等，可確定兩直線(xiàn)垂直

18.點(diǎn)到直線(xiàn)最短的線(xiàn)段

19.45圓周角所對(duì)的圓心角

20.等邊三角形中，任一頂點(diǎn)與內(nèi)心所在直線(xiàn)垂直于底邊

21.利用已知的直角或其余角：證兩直線(xiàn)的夾角等于已知的直角，或證明兩直線(xiàn)的夾角是兩銳角互余的三角形的第三角

22.矩形中位線(xiàn)垂直他所在的兩邊

23.利用反證法、同一法

24.平面直角坐標(biāo)系x、y軸垂直

第三篇：兩直線(xiàn)平行與垂直的判定[推薦]

3.1.2 兩條直線(xiàn)平行與垂直的判定

授課時(shí)間：第八周一、教學(xué)目標(biāo)

1．知識(shí)與技能

理解并掌握兩條直線(xiàn)平行與垂直的條件，會(huì)運(yùn)用條件判定兩直線(xiàn)是否平行或垂直.2．過(guò)程與方法

通過(guò)探究?jī)芍本€(xiàn)平行或垂直的條件，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用正確知識(shí)解決新問(wèn)題的能力，以及數(shù)形結(jié)合能力.3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀

通過(guò)對(duì)兩直線(xiàn)平行與垂直的位置關(guān)系的研究，培養(yǎng)學(xué)生的成功意識(shí)，合作交流的學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：兩條直線(xiàn)平行和垂直的條件.難點(diǎn)：?jiǎn)l(fā)學(xué)生，把研究?jī)蓷l直線(xiàn)的平行或垂直問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為研究?jī)蓷l直線(xiàn)的斜率的關(guān)系問(wèn)題.三、教學(xué)方法

嘗試指導(dǎo)與合作交流相結(jié)合，通過(guò)提出問(wèn)題，觀察實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生理解掌握兩條直線(xiàn)平行與垂直的判定方法.教學(xué)設(shè)想

第四篇：直線(xiàn)和平面垂直教案

直線(xiàn)和平面垂直教案

教學(xué)目的

1．進(jìn)一步理解直線(xiàn)與平面垂直定義的兩種用法； 2．理解并掌握直線(xiàn)與平面垂直的判定定理2； 3．理解并掌握直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)定理． 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

這節(jié)課的重點(diǎn)是使學(xué)生進(jìn)一步理解、掌握直線(xiàn)和平面垂直的定義和判定定理．這節(jié)課的難點(diǎn)是直線(xiàn)和平面垂直的性質(zhì)定理的證明．

教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程

一、復(fù)習(xí)，講練上節(jié)課所留的作業(yè)

師：先請(qǐng)一位同學(xué)講他所做的第32頁(yè)習(xí)題四中的第1題．（教師寫(xiě)出已知、求證并畫(huà)出直觀圖）

已知：△ABC，l⊥AB，l⊥AC．（如圖1）求證：l⊥BC．

生：因?yàn)閘⊥AB，l⊥AC，所以 l⊥平面ABC．（線(xiàn)面垂直的判定定理）故 l⊥BC．（線(xiàn)面垂直的定義）

師：對(duì)，在上一節(jié)我們講直線(xiàn)和平面垂直的定義時(shí)，就強(qiáng)調(diào)過(guò)在立體幾何中這是一個(gè)很重要的定義，我們一定要很好地理解、應(yīng)用．線(xiàn)面垂直的定義既是線(xiàn)面垂直最基本的判定方法，在線(xiàn)面垂直判定定理的證明思路就是回到定義去．關(guān)于這一應(yīng)用在上節(jié)課中已經(jīng)做了詳細(xì)的說(shuō)明．線(xiàn)面垂直的定義又是線(xiàn)面垂直的最基本的性質(zhì)，當(dāng)我們知道直線(xiàn)和平面垂直后，這平面的垂線(xiàn)就和平面內(nèi)任何一直線(xiàn)都垂直，所以應(yīng)用線(xiàn)面垂直的定義是證明兩直線(xiàn)垂直常用的方法之一． 師：現(xiàn)在我們來(lái)看第32頁(yè)習(xí)題四的第2題．請(qǐng)一個(gè)同學(xué)回答．（寫(xiě)出已知、求證和根據(jù)已知條件而畫(huà)的直觀圖，我們叫它為起始圖）

已知：直線(xiàn)a∥平面α，直線(xiàn)b⊥平面α．（如圖2（1））求證：b⊥a．

生：過(guò)a作平面β，設(shè)β∩α＝c，因?yàn)閍∥α，所以a∥c．（線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理）

又因?yàn)閎⊥α，因此b⊥c，故b⊥a． 師：我們?cè)鯓酉氲揭^(guò)a作平面β的呢？

生：這是線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理的要求．因?yàn)樵诰€(xiàn)面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線(xiàn)的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線(xiàn)就和交線(xiàn)平行．在圖中沒(méi)有這條交線(xiàn)，所以我們就要作平面β∩α＝c，作出這條交線(xiàn)，以滿(mǎn)足定理的要求a平行交線(xiàn)c．

師：這是定理要求我們作輔助面．在立體幾何解題過(guò)程中，我們經(jīng)常要作輔助線(xiàn)、輔助面，我們根據(jù)什么原則來(lái)作輔助線(xiàn)、輔助面呢？有兩條原則：一是用概念來(lái)指導(dǎo)作圖，這在求異面直線(xiàn)所成的角時(shí)，我們?cè)磸?fù)強(qiáng)調(diào)；二是用定理來(lái)指導(dǎo)作圖．這就是今天我們?cè)谧C明這個(gè)題時(shí)要明確的．這是在立體幾何中作輔助線(xiàn)、輔助面的兩條基本原則，遵循這兩條原則就說(shuō)明解題的思路是正確的，就使解題的正確性有了基本的保證；反之，如果違背了這兩條原則，那就說(shuō)明了第一步就走錯(cuò)了方向．這一題肯定不可能做對(duì)．所以作輔助線(xiàn)、輔助面這兩條原則我

們一定要理解、記住，并且在解題過(guò)程中應(yīng)用．當(dāng)然，以后隨著課程內(nèi)容不斷的展開(kāi)，我們還會(huì)反復(fù)強(qiáng)調(diào)這兩條原則．

以前我們還講過(guò)要使直觀圖有好的視覺(jué)效果，還要注意視角的選擇，這一題的起始圖（根據(jù)已知條件所畫(huà)出的直觀圖）看起來(lái)它的視覺(jué)效果并不好，但當(dāng)我們證完這道題，看到它的終止圖（解完題后的直觀圖）視覺(jué)效果就比較好，所以視角選擇好與不好要以終止圖的視覺(jué)效果好與不好為標(biāo)準(zhǔn)．這樣在解完一道題后，有時(shí)要重新設(shè)計(jì)起始圖的畫(huà)法，以保證終止圖有最好的視覺(jué)效果．

二、直線(xiàn)與平面垂直的判定定理2．

師：這是課本第25頁(yè)的例1，我們把它正式升格為判定定理2．我們來(lái)看下面的模型就很容易了解定理的內(nèi)容．（這時(shí)拿出兩根小棍平行地放在課桌面上，并使其中一根與桌面垂直，讓學(xué)生觀察另一根與桌面的關(guān)系）a∥b，如果a⊥平面α，那么b與平面α是什么關(guān)系？

生：b也垂直平面α．

師：這就是線(xiàn)面垂直的判定定理2．

判定定理

2如果兩條平行直線(xiàn)中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于同一個(gè)平面．

已知：a∥b，a⊥α．（如圖3）求證：b⊥α．

師：判定定理

1、判定定理2，這里的1，2不是人為的排列，而是有它內(nèi)在的邏輯關(guān)系，也就是說(shuō)我們可以應(yīng)用判定定理1來(lái)證明判定定理2，那么我們?nèi)绾斡门卸ǘɡ?來(lái)證明判定定理2呢？

生：為了用判定定理1，我們可以首先在平面α內(nèi)作兩條相交直線(xiàn)m，n． 因?yàn)? a⊥α，所以 a⊥m，a⊥n．（線(xiàn)面垂直的定義）

又因?yàn)? a∥b，所以 b⊥m，b⊥n．（一條直線(xiàn)垂直于平行線(xiàn)中的一條也就垂直于另一條）故 b⊥α．（線(xiàn)面垂直的判定定理1）

三、直線(xiàn)和平面垂直的性質(zhì)定理

師：現(xiàn)在我們來(lái)研究直線(xiàn)和平面垂直的性質(zhì)定理，先來(lái)看模型．（這時(shí)教師用兩根小棍都垂直于桌面，讓學(xué)生觀察、回答）

生：這兩直線(xiàn)平行．

師：這就是直線(xiàn)和平面垂直的性質(zhì)定理．

直線(xiàn)和平面垂直的性質(zhì)定理

如果兩條直線(xiàn)同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線(xiàn)平行．

已知：a⊥平面α，（如圖4）b⊥平面α，求證：a∥b．

師：我們講過(guò)了線(xiàn)面垂直的判定定理1、2．也曾經(jīng)在講線(xiàn)面垂直的定義時(shí)，把課本中的兩句話(huà)（第24頁(yè)）升格為兩個(gè)定理，即：

定理

過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)和一個(gè)平面垂直． 定理 過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一條直線(xiàn)垂直． 現(xiàn)在可以根據(jù)上述定理來(lái)證明線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理：

生：可用反證法，假設(shè)b a，設(shè)b∩α＝O，過(guò)O點(diǎn)作b′∥a，因?yàn)閍⊥α，所以b′⊥α（判定定理2），所以過(guò)點(diǎn)O有兩條直線(xiàn)b，b′都與平面α垂直，與垂線(xiàn)的唯一性矛盾，所以b

a不能成立，所以b∥a．

師：用反證法證明可以，也可以用同一法，即在證明的開(kāi)始不做假設(shè)b a，證完b′⊥α后，根據(jù)垂線(xiàn)的唯一性b′應(yīng)與b重合，所以b∥a．當(dāng)然，對(duì)反證法和同一法，我們主要要掌握反證法，對(duì)同一法只要求有所了解．

四、兩個(gè)定義

1．點(diǎn)到平面的距離

從平面外一點(diǎn)引一個(gè)平面的垂線(xiàn)，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離．

（教師可先用一根小棍垂直于桌面演示，然后給點(diǎn)到平面的距離下定義，下完定義后可指出，點(diǎn)到平面的距離可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離，即這個(gè)點(diǎn)和垂足之間的距離）

2．平行的直線(xiàn)和平面的距離

一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行，這條直線(xiàn)上任意一點(diǎn)到平面的距離，叫做這條直線(xiàn)和平面的距離．

（教師可先用一根小棍和平面平行，演示讓學(xué)生觀察，如何給平行的直線(xiàn)和平面的距離下定義，定義給出后，教師可指出平行的直線(xiàn)和平面的距離可能轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，當(dāng)然也就可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離）

師：在這定義中，是這條直線(xiàn)上任意一點(diǎn)到平面的距離叫做這條直線(xiàn)和平面的距離，那會(huì)不會(huì)因在直線(xiàn)上所取的點(diǎn)不同，而使距離不同呢？

生：不會(huì)，它們之間的距離都相等．

師：對(duì)，但為了在理論上說(shuō)明這個(gè)定義的合理性，我們來(lái)看下面這個(gè)例題． 例

已知：l∥平面α，A∈l，B∈l，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′．（如圖5）

求證：AA′＝BB′．

生：因?yàn)锳A′⊥α，BB′⊥α，所以AA′∥BB′（性質(zhì)定理），所以過(guò)AA′，BB′作平面β，設(shè)β∩α＝A′B′，因?yàn)閘∥α，所以l∥A′B′，故AA′＝BB′．（平行線(xiàn)間的距離處處相等）

師：通過(guò)這個(gè)例題的證明，我們就了解了定義的合理性．可以在直線(xiàn)上任意取點(diǎn)．這對(duì)于以后我們求平行的直線(xiàn)和平面的距離，提供了很好的思路． 今天我們講了直線(xiàn)和平面垂直的第2個(gè)判定定理，講了直線(xiàn)和平面垂直的性質(zhì)定理，在這個(gè)基礎(chǔ)上還講了點(diǎn)到平面的距離、平行的直線(xiàn)和平面的距離兩個(gè)定義．

作業(yè)

課本第32頁(yè)習(xí)題四第3，5，8題． 補(bǔ)充題

1．已知：平面α∩平面β＝直線(xiàn)l．A∈α，AB⊥β于B，BC⊥α于C． 求證：AC⊥l．

［提示：證明直線(xiàn)l⊥平面ABC］

2．已知：AB是圓O的直徑，C是圓O上不同于A和B的點(diǎn)，PA⊥⊙O所在的平面．

求證：BC⊥PC．

［提示：證明BC⊥平面PAC］

3．已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，PB⊥平面ABC，BD⊥PC于D． 求證：（1）AC⊥BD；（2）BD⊥PA．

［提示：（1）證明AB⊥平面PBC：（2）證明BD⊥平面PAC］ 課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

1．立體幾何第一章直線(xiàn)和平面主要研究的是空間兩條直線(xiàn)、空間直線(xiàn)和平面、空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系，其中以直線(xiàn)與直線(xiàn)的垂直、直線(xiàn)與平面的垂直、平面與平面垂直為重點(diǎn)．而直線(xiàn)與平面的垂直是其中的最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，它是三垂線(xiàn)定理及其逆定理、兩平面垂直的判定和性質(zhì)的基礎(chǔ)．所以對(duì)直線(xiàn)與平面垂直的定義與判定定理一定要讓學(xué)生深刻理解、牢固記憶、靈活應(yīng)用．

2．直線(xiàn)與平面垂直的定義，既是直線(xiàn)與平面垂直的最基本的判定方法，別的判定定理都是根據(jù)定義和有關(guān)定理經(jīng)過(guò)演繹推理而得，在這個(gè)意義上，我們說(shuō)直線(xiàn)與平面垂直的定義是最基本的判定方法；直線(xiàn)與平面垂直的定義又是直線(xiàn)與平面垂直最基本的性質(zhì)．別的性質(zhì)定理是根據(jù)定義和有關(guān)定理經(jīng)過(guò)演繹推理而得，在這個(gè)意義上，我們說(shuō)直線(xiàn)與平面垂直的定義是直線(xiàn)與平面最基本的性質(zhì)． 為了使學(xué)生理解直線(xiàn)與平面垂直的定義這兩種用法，以平面幾何中的平行四邊形的定義為例．平行四邊形的定義既是平行四邊形的最基本的判定方法，也是平行四邊形的最基本的性質(zhì)．別的判定定理和性質(zhì)定理都是根據(jù)定義和有關(guān)定理經(jīng)過(guò)演繹推理而得．

在這里一定要讓學(xué)生深刻的理解并掌握應(yīng)用直線(xiàn)與平面垂直的定義是證明兩直線(xiàn)垂直最常用的方法．

3．在課本第24頁(yè)給直線(xiàn)與平面垂直下定義后的這兩句話(huà)：“過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)和一個(gè)平面垂直；過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一條直線(xiàn)垂直．”是兩個(gè)定理．關(guān)于垂線(xiàn)的唯一性和垂面的唯一性的這兩個(gè)定理是可以證明的．關(guān)于這兩個(gè)定理的證明可以參看1989年出版的《立體幾何全一冊(cè)（甲種本）教學(xué)參考書(shū)》第47頁(yè)第11題（1）、（2）．要讓學(xué)生了解這兩個(gè)定理，并會(huì)應(yīng)用這兩個(gè)定理，在證明直線(xiàn)和平面垂直的性質(zhì)定理時(shí)，用到垂線(xiàn)的唯一性，以后在證課本第38頁(yè)習(xí)題五第4題時(shí)還要用到垂線(xiàn)的唯一性和垂面的唯一性．

為什么課本在這里只是提出兩個(gè)唯一性沒(méi)有明確是兩個(gè)定理也沒(méi)有證明呢？這是課本的編者為了降低學(xué)習(xí)立體幾何的難度而這樣處理的．但我以為還是明確垂線(xiàn)的唯一性、垂面的唯一性是兩個(gè)定理，但可以不予證明而直接應(yīng)用為好． 4．前面我們提出了“視覺(jué)語(yǔ)言”這個(gè)概念，既然作為一種“語(yǔ)言”它應(yīng)該而且必須與思維過(guò)程相一致．所以這里我們又提出“起始圖”（根據(jù)題中的條件而出現(xiàn)的“視覺(jué)語(yǔ)言”）和“終止圖”（解完題后，或思維過(guò)程完結(jié)時(shí)出現(xiàn)的“視覺(jué)語(yǔ)言”）這兩個(gè)概念．

前面我們也提到過(guò)為了使“視覺(jué)語(yǔ)言”達(dá)到最佳的視覺(jué)效果，必須注意視角的選擇，我們認(rèn)為視角的選擇要以終止圖有最佳的視覺(jué)效果為標(biāo)準(zhǔn)，這樣有時(shí)會(huì)出現(xiàn)起始圖視覺(jué)效果較好而終止圖視覺(jué)效果并不好；或者起始圖視覺(jué)并不太好而終止圖視覺(jué)效果較好這樣不一致情況，所以這樣就要求教立體幾何的教師對(duì)于直觀圖要精心地、反復(fù)地設(shè)計(jì)，務(wù)必使終止圖有最佳的視覺(jué)效果，這樣才能使這個(gè)“視覺(jué)語(yǔ)言”起到它應(yīng)有正面效應(yīng)；否則，這個(gè)“視覺(jué)語(yǔ)言”不但不能起到它應(yīng)有正面效應(yīng)，相反，卻起到負(fù)面效應(yīng)．增加了學(xué)生在學(xué)習(xí)立體幾何中的困難．這是每一個(gè)教立體幾何的教師務(wù)必要理解并切實(shí)掌握的基本功．

起始圖和終止圖不僅僅是形式上的不同，而且它們之間還應(yīng)該有“時(shí)間差”．因?yàn)檫@兩個(gè)圖是與思維過(guò)程相一致，思維既然以一個(gè)過(guò)程而出現(xiàn)，所以與這抽象思維過(guò)程相一致，或者說(shuō)要以具體形象來(lái)表現(xiàn)這個(gè)抽象思維過(guò)程的“視覺(jué)語(yǔ)言”當(dāng)然也要以一個(gè)過(guò)程而展現(xiàn)．這兩個(gè)過(guò)程當(dāng)然是一致的，但是“視覺(jué)語(yǔ)言”展現(xiàn)的過(guò)程應(yīng)該比思維過(guò)程慢“半拍”，而不是同步，也就是說(shuō)動(dòng)腦先于動(dòng)手．我們說(shuō)以概念指導(dǎo)作圖，以定理指導(dǎo)作圖，也就是說(shuō)在我們動(dòng)手作圖前，腦中得先有有關(guān)概念和定理．

在一篇文章中，我看到中國(guó)畫(huà)畫(huà)家在總結(jié)他們的創(chuàng)作國(guó)畫(huà)經(jīng)驗(yàn)時(shí)，用“蓄圖在胸、意在筆先”這八個(gè)字來(lái)概括．當(dāng)我看過(guò)這篇文章后，這八個(gè)字就牢記在心，感到對(duì)于立體幾何的教學(xué)很有啟發(fā)、很有教益．我們?cè)谀X中所蓄的圖應(yīng)該是由起始圖到終止圖一個(gè)不斷的展現(xiàn)過(guò)程，而以終止圖為主．這里的所謂意，就是思想，就是有關(guān)的概念和定理．

最后我還想以江澤民同志在1998年一次講話(huà)中所引用的李白的《春夜宴桃李園序》“夫天地者，萬(wàn)物之逆旅也，光陰者，百代之過(guò)客也”．后說(shuō)李白已經(jīng)意識(shí)到了四維空間．明確指出“視覺(jué)語(yǔ)言”是要在二維平面來(lái)展現(xiàn)“四維空間”。不論用什么手段進(jìn)行教學(xué)，一定要把這“時(shí)間差”表現(xiàn)出來(lái)．即展現(xiàn)出一個(gè)隨時(shí)間的變化而變化的有“動(dòng)感”的空間圖形．

當(dāng)然有的立體幾何題的起始圖和終止圖是同一個(gè)圖形，不要作任何的輔助線(xiàn)和輔助面，如這節(jié)課所講的課本第32頁(yè)習(xí)題四中的第1題．但伴隨著思維過(guò)程的進(jìn)展，作為對(duì)起始圖的認(rèn)識(shí)到對(duì)作為終止的認(rèn)識(shí)（由直線(xiàn)與直線(xiàn)的垂直，到直線(xiàn)與平面的垂直，再到直線(xiàn)與直線(xiàn)的垂直）也同樣有一個(gè)過(guò)程．

科學(xué)和藝術(shù)在一定條件下是可以統(tǒng)一的．記得在《新華月報(bào)》上曾看到有名的華人物理學(xué)家請(qǐng)中國(guó)有名的美術(shù)家用他們的繪畫(huà)來(lái)展現(xiàn)高深抽象的物理內(nèi)容．因此在立體幾何教學(xué)中我們有可能也有必要把科學(xué)和藝術(shù)統(tǒng)一起來(lái)，即所畫(huà)的每一個(gè)空間圖形既要展示它所包含的數(shù)學(xué)科學(xué)的內(nèi)涵，又要展示它的形式的藝術(shù)的美．把數(shù)學(xué)中（立體圖形）的美滲透在每一節(jié)課中，這樣可以培養(yǎng)學(xué)生對(duì)美的感受，可以更好吸引學(xué)生的注意力，從而達(dá)到更好的教學(xué)效果．

每一個(gè)聽(tīng)過(guò)我的課的人，都表?yè)P(yáng)我所畫(huà)的圖很美．在上課時(shí)有時(shí)讓學(xué)生做練習(xí)，我踱步向教室后面走去，回過(guò)頭來(lái)也很自我欣賞所畫(huà)圖的美．因?yàn)閺哪撤N意義上來(lái)說(shuō)，每一個(gè)圖都是一幅美術(shù)作品——空間圖形的素描．當(dāng)然我們?cè)诹Ⅲw幾何畫(huà)“素描”的方法用的是平行投影中的斜二測(cè)畫(huà)法，而在美術(shù)課中畫(huà)素描的方法用的是中心投影中的透視法．（可參看1989年版，人民教育出版社出版《立體幾何（甲種本）全一冊(cè)教學(xué)參考書(shū)》第78頁(yè)）

第五篇：證明兩條直線(xiàn)垂直

證明兩條直線(xiàn)垂直

根據(jù)定義推

線(xiàn)線(xiàn)垂直←→線(xiàn)面垂直←→面面垂直

線(xiàn)線(xiàn)平行←→線(xiàn)面平行←→面面平行

就這樣

還是得實(shí)際操作

1利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內(nèi)角和定理可知直角三角形的兩個(gè)銳角和等于90°，即直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論：直徑所對(duì)的圓周角是直角，一個(gè)三角形的一邊中線(xiàn)等于這邊的一半，則這個(gè)三角形是直角三角形。

二、高中部分

線(xiàn)線(xiàn)垂直分為共面與不共面。不共面時(shí)，兩直線(xiàn)經(jīng)過(guò)平移后相交成直角，則稱(chēng)兩條直線(xiàn)互相垂直。

1向量法兩條直線(xiàn)的方向向量數(shù)量積為0

2斜率兩條直線(xiàn)斜率積為-1

3線(xiàn)面垂直，則這條直線(xiàn)垂直于該平面內(nèi)的所有直線(xiàn)

一條直線(xiàn)垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊

4三垂線(xiàn)定理在平面內(nèi)的一條直線(xiàn)，如果和穿過(guò)這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線(xiàn)垂直。

5三垂線(xiàn)定理逆定理如果平面內(nèi)一條直線(xiàn)和平面的一條斜線(xiàn)垂直，那么這條直線(xiàn)也垂直于這條斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影。

2高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標(biāo)系時(shí)再考慮)：

Ⅰ.平行關(guān)系：

線(xiàn)線(xiàn)平行：1.在同一平面內(nèi)無(wú)公共點(diǎn)的兩條直線(xiàn)平行。2.公理4(平行公理)。3.線(xiàn)面平行的性質(zhì)。4.面面平行的性質(zhì)。5.垂直于同一平面的兩條直線(xiàn)平行。

線(xiàn)面平行：1.直線(xiàn)與平面無(wú)公共點(diǎn)。2.平面外的一條直線(xiàn)與平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行。3.兩平面平行，一個(gè)平面內(nèi)的任一直線(xiàn)與另一平面平行。

面面平行：1.兩個(gè)平面無(wú)公共點(diǎn)。2.一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)分別與另一平面平行。

Ⅱ.垂直關(guān)系：

線(xiàn)線(xiàn)垂直：1.直線(xiàn)所成角為90°。2.一條直線(xiàn)與一個(gè)平面垂直，那么這條直線(xiàn)與平面內(nèi)的任一直線(xiàn)垂直。

線(xiàn)面垂直：1.一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的任一直線(xiàn)垂直。2.一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直。3.面面垂直的性質(zhì)。4.兩條平行直線(xiàn)中的一條垂直與一個(gè)平面，那么另一直線(xiàn)也與此平面垂直。5.一條直線(xiàn)垂直與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，那么這條直線(xiàn)也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個(gè)平面過(guò)另一平面的垂線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面垂直

線(xiàn)線(xiàn)垂直分為共面與不共面。不共面時(shí)，兩直線(xiàn)經(jīng)過(guò)平移后相交成直角，則稱(chēng)兩條直線(xiàn)互相垂直。

1向量法兩條直線(xiàn)的方向向量數(shù)量積為0

2斜率兩條直線(xiàn)斜率積為-1

3線(xiàn)面垂直，則這條直線(xiàn)垂直于該平面內(nèi)的所有直線(xiàn)

一條直線(xiàn)垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊

4三垂線(xiàn)定理在平面內(nèi)的一條直線(xiàn)，如果和穿過(guò)這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線(xiàn)垂直。

5三垂線(xiàn)定理逆定理如果平面內(nèi)一條直線(xiàn)和平面的一條斜線(xiàn)垂直，那么這條直線(xiàn)也垂直于這條斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標(biāo)系時(shí)再考慮)：。