第一篇：初中幾何證明兩直線平行和垂直的方法大全

初中幾何證明兩直線平行和垂直的方法大全

三、證明兩直線平行

1.垂直于同一直線的各直線平行。

2.同位角相等，內錯角相等或同旁內角互補的兩直線平行。

3.平行四邊形的對邊平行。

4.三角形的中位線平行于第三邊。

5.梯形的中位線平行于兩底。

6.平行于同一直線的兩直線平行。

7.一條直線截三角形的兩邊（或延長線）所得的線段對應成比例，則這條直線平行于第三邊。

四、證明兩直線互相垂直

1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。

2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對的角是直角。

3.在一個三角形中，若有兩個角互余，則第三個角是直角。

4.鄰補角的平分線互相垂直。

5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。

6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。

7.利用到一線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的對角線互相垂直。

10.在圓中平分弦（或弧）的直徑垂直于弦。

11.利用半圓上的圓周角是直角。

第二篇：1.初中證明直線垂直、平行的方法

證明兩條直線垂直（直角）的常用方法

（一）相交線與平行線

1.定義法：兩條直線相交成直角則兩直線垂直。

2.兩條平行線中有一條垂直第三直線，則另一條也垂直第三直線。即：若a‖b，a⊥c，則b⊥c。

3.鄰補角的平分線互相垂直。

4.到線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上。

（二）三角形

5.證直角三角形：直角三角形的兩直角邊互相垂直。①三角形的兩內角互余，則第三個內角為直角。

②三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，則這邊所對的內角為直角。

③勾股定理的逆定理：三角形一邊的平方等于其他兩邊的平方和，則這邊所對的內角為直角。

6.三線合一法：等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。7.三角形相似法：證一個三角形與直角三角形相似。8.三角形全等法：證一個三角形與直角三角形全等。

（三）四邊形

9.矩形的兩鄰邊互相垂直。

10.菱形的兩條對角線互相垂直平分，且平分每一組對角。

（四）圓

12.半圓或直徑所對的圓周角是直角。13.圓的切線垂直于過切點的半徑。

（五）圖形變換法

14.軸對稱圖形的對稱軸垂直平分對應點之間的連線。15.同一法或反證法（不要求掌握）

證明直線平行的常用方法

（一）平行線與相交線：

1.在同一平面內，兩條不相交的直線互相平行。

2.在同一平面內，垂直于同一直線的兩直線互相平行。3.平行于同一直線的兩直線互相平行。4.平行線的判定方法：

（1）同位角相等，兩直線平行；（2）內錯角相等，兩直線平行；（3）同旁內角互補，兩直線平行。

（二）三角形

5.三角形中位線定理：三角形的中位線平行且等于第三邊的一半。

6.一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，則這條直線平行于三角形的第三邊。

（三）四邊形 7.平行四邊形的兩組對邊互相平行。8.梯形的兩底邊平行。

9.梯形的中位線平行于兩底。

（四）同一法或反證法（不要求掌握）

證明兩線段相等的常用方法

（一）三角形

1.等角對等邊：兩線段在同一三角形中，證明等腰或等邊三角形。2.證明三角形全等：全等三角形的對應邊相等。

3.三線合一：等腰三角形頂角的平分線或底邊上的高平分底邊。

4.線段中垂線性質：線段垂直平分線上的點到這條線段兩端的距離相等。5.角平分線性質：角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等。6.過三角形一邊的中點平行于另一邊的直線必平分第三邊。

（二）特殊四邊形

7.平行四邊形的對邊相等、對角線互相平分。8.矩形的對角線相等，菱形的四條邊都相等。9.等腰梯形兩腰相等，兩條對角線相等。

（三）圓

10.同圓或等圓的半徑相等。

11.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦。

12.圓的旋轉不變性：同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弦或兩條弧中有一組量相等，那么對應的其余各組量也相等。

13.切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等。

（四）其他

14.等量代換：若a=b，b=c，則a=c。

15.等式性質：若a=b，則a-c=b-c；若?，則a=b。

16..等量的一半相等。

17.計算長度：證明兩線段相等。

18.面積相等法：面積相等的三角形（或平行四邊形），若底（高）相等，則高（底）相等。

19.平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等。20.圖形變換法

（1）軸對稱圖形（或成軸對稱的兩個圖形）的對應線段相等，對應角相等。（2）平移、軸反射、旋轉不改變圖形的形狀與大小。（3）位似變換不改變圖形的形狀。22.同一法或反證法（不要求掌握）

acbc證明兩角相等的常用方法

（一）平行線與相交線

1.同角（或等角）的余角相等、補角相等。2.兩直線平行，同位角相等、內錯角相等。

3.證角平分線：到角的兩邊距離相等的點，在角的平分線上。

（二）三角形

5.全等三角形的對應角相等。

6.相似三角形的對應角相等。7.同一個三角形中，等邊對等角。

8.三線合一：等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線與頂角平分線互相重合。

（三）特殊四邊形

9.平行四邊形的對角相等。

10.菱形的對角線互相垂直平分，且平分每一組對角。

（四）圓

11.同圓等圓中，同弧或等弧所對的圓周角、圓心角相等。

12.切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分這兩條切線的夾角。

13.圓的內接四邊形的每一個外角等于它的內對角。14.補充：圓的弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。

（五）15.計算角度，證明兩角相等。

16.等量代換：若a=b，b=c，則a=c。17.等式性質。

18.等量的一半相等。

19.等量加等量，其和相等；等量減等量，其差相等。20.若?，則a=b.21.若a+c=b+c，則a=b.22.圖形變換法

（1）軸對稱圖形(或成軸對稱的兩個圖形)的對應線段相等，對應角相等。（2）平移、軸反射、旋轉不改變圖形的形狀與大小。（3）位似變換不改變圖形的形狀。23.同一法或反證法（不要求掌握）acbc證明線段的和差倍分

1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。

2.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段。3.延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等。4.取長線段的中點，再證其一半等于短線段。

5.三角形中位線定理：三角形的中位線平行且等于第三邊的一半。6.直角三角形中30度銳角所對的直角邊等于斜邊的一半。7.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。8.利用相似三角形對應邊比例的性質。9.利用銳角的三角函數值。

證明角的和差倍分

1.與證明線段的和、差、倍、分思路相同。2.利用角平分線的定義。

3.三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和。

證明比例式或等積式

1.利用相似三角形對應線段成比例。2.平行線分線段成比例：兩條直線被一組平行線所截，截得的對應線段的長度成比例。3.直角三角形射影定理：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項，每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。4.利用比利式或等積式化得。

5.與圓有關的比例定理---相交弦定理、切割線定理及其推論。

第三篇：證明兩直線垂直的方法

證明兩直線垂直的方法

1.矩形四個內角

2.三角形中的兩角之和為90°，則另一角必為直角

3.證明兩直線中的一條是等腰三角形的底邊，另一邊是頂角平分線或底邊上的中線

4.勾股定理逆定理

5.圓直徑所對的圓周角

6.垂徑定理的判定

7.利用菱形的對角線互相垂直

8.利用正方形的對角線互相垂直

9.圓的切線垂直于過切點的半徑

10.證這兩直線中的一直線與第三直線平行，另一直線與第三直線垂直；或證明這兩直線各與已知的兩垂線平行

11.相交兩圓的連心線垂直平分公共弦

12.軸對稱那類的圖形，對應點垂直于軸

13.到線段兩邊距離相等的點在這個線段的中垂線上

14.如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形

15.與直角三角形相似的三角形 對應角是直角

16.與直角三角形全等的三角形 對應角是直角

17.利用鄰角相等：兩直線相交所成的兩個鄰角相等，可確定兩直線垂直

18.點到直線最短的線段

19.45圓周角所對的圓心角

20.等邊三角形中，任一頂點與內心所在直線垂直于底邊

21.利用已知的直角或其余角：證兩直線的夾角等于已知的直角，或證明兩直線的夾角是兩銳角互余的三角形的第三角

22.矩形中位線垂直他所在的兩邊

23.利用反證法、同一法

24.平面直角坐標系x、y軸垂直

第四篇：兩直線平行證明

兩直線平行相關證明題目

1、如圖，已知∠ABC=30，∠ADC=60，DE為ADC的平分線，請你判斷哪兩條直線平行，并說明理由。

2、如圖，在△ABC中，∠B=90,D在AC邊上，DF⊥BC于點F，DE⊥AB于點E，那么AB與DF平行嗎？CB與DE平行嗎？為什么？

3、如圖，根據下列條件：∠A=∠AOD，∠ACB=∠F，∠BED+∠B=180，分別可以判定哪兩條直線平行？并說明判定的依據。

4、如圖，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∠1=∠2，那么直線AB與CD的位置關系如何？

5、如圖，EF平分∠BEG，GF平分∠DGE，若∠1+∠2=90，猜測AB、CD的位置關系，并說明理由。

6、如圖，AE∥BC，∠

B=

∠C，試說明∠

1=∠2。

7、如圖，AD∥BC，∠A = ∠C，試說明AB∥CD8、如圖，AB∥CD，∠B=∠D,試說明BF∥DE.9、如圖，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，求∠EMF的度數10、1.已知∠BED=∠B+∠D，試判斷AB與CD的位置關系。

2.如圖，AB∥CD,猜想∠E與∠B、∠D之間有何關系，試說明你的結論。

11、如圖，AB∥CD, ∠1: ∠2:

∠，求證：

BA平分

EBF

第五篇：空間幾何——平行與垂直證明

三、“平行關系”常見證明方法

（一）直線與直線平行的證明

1)利用某些平面圖形的特性：如平行四邊形的對邊互相平行

2)利用三角形中位線性質

3)利用空間平行線的傳遞性（即公理4）：

平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

4)利用直線與平面平行的性質定理： a∥c?a∥bb∥c

如果一條直線與一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。

a∥?

a??β a ?a∥

b

α b ????b

5)利用平面與平面平行的性質定理：

如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行．?//???????a??a//b

??

??b??

6)利用直線與平面垂直的性質定理：

垂直于同一個平面的兩條直線互相平行。

ba?????a∥

b7)利用平面內直線與直線垂直的性質：

8)利用定義：在同一個平面內且兩條直線沒有公共點

（二）直線與平面平行的證明

1)利用直線與平面平行的判定定理：

平面外的一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

a??b??

?a∥?

b

a∥b

2)利用平面與平面平行的性質推論：

兩個平面互相平行，則其中一個平面內的任一直線平行于另一個平面。

a??

?∥?

?a∥?

a

β

3)利用定義：直線在平面外，且直線與平面沒有公共點

（二）平面與平面平行的證明

常見證明方法：

1)利用平面與平面平行的判定定理：

一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。

a??b??a∩b?Pa//?b//?

?//?

b

2)利用某些空間幾何體的特性：如正方體的上下底面互相平行等 3)利用定義：兩個平面沒有公共點

三、“垂直關系”常見證明方法

（一）直線與直線垂直的證明

1)利用某些平面圖形的特性：如直角三角形的兩條直角邊互相垂直等。2)看夾角：兩條共（異）面直線的夾角為90°，則兩直線互相垂直。3)利用直線與平面垂直的性質：

如果一條直線與一個平面垂直，則這條直線垂直于此平面內的所有直線。

a??

b??

?b?a

b

a

4)利用平面與平面垂直的性質推論：

如果兩個平面互相垂直，在這兩個平面內分別作垂直于交線的直線，則這兩條直線互相垂直。

???????l

a??b??a?lb?l

?a?

b

5)利用常用結論：

① 如果兩條直線互相平行，且其中一條直線垂直于第三條直線，則另

一條直線也垂直于第三條直線。

a∥b

a?c

?b?

c

② 如果有一條直線垂直于一個平面，另一條直線平行于此平面，那么

這兩條直線互相垂直。

a??

b∥?

?a?b

b

（二）直線與平面垂直的證明

1)利用某些空間幾何體的特性：如長方體側棱垂直于底面等

2)看直線與平面所成的角：如果直線與平面所成的角是直角，則這條直線垂

直于此平面。

3)利用直線與平面垂直的判定定理：

a??b??a?b?Al?al?b

???

??l?????

l

b

A

a

4)利用平面與平面垂直的性質定理：

兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。

???????l

a??a?l

?

????

a

l

5)利用常用結論：

①

a∥bb??

?a??

② 兩個平面平行，一直線垂直于其中一個平面，則該直線也垂直于另一

個平面。

?∥?

a??

?

a??

（三）平面與平面垂直的證明

1)利用某些空間幾何體的特性：如長方體側面垂直于底面等

2)看二面角：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角（即平面角

是直角的二面角），就說這連個平面互相垂直。3)利用平面與平面垂直的判定定理

一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。

a??a??

???

?

?

a

?