第一篇：考研數學中的不等式證明

考研數學中的不等式證明

陳玉發

鄭州職業技術學院基礎教育處450121

摘要：在研究生入學考試中，中值定理是一項必考的內容，幾乎每年都有與中值定理相關的證明題．不等式的證明就是其中一項．在不等式的證明中，利用函數的單調性，構造輔助函數是一種常用并且非常有效的方法．但是，有時這種方法非常繁瑣．巧用中值定理可使一些不等式的證明簡化．

關鍵詞：考研數學不等式中值定理冪級數

（作者簡介：陳玉發，男，漢族，出生于1969年5月工作單位：鄭州職業技術學院，副教授，碩士，從事數學教育研究．郵編：450121）

微分中值定理是微積分學中的一個重要定理，在研究生入學考試中，幾乎每年都會有與中值定理相關的證明題．不等式就是其中一項。下面就考研數學中的不等式證明談一下中值定理的應用． 在不等式的證明中，利用函數的單調性，構造輔助函數是一種常用并且非常有效的方法．但是，有時這種方法非常繁瑣．巧用中值定理可以使一些不等式的證明過程得到簡化．下面就歷年考研數學中的不等式證明題談一下．

例1（1993年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷第六題）

(2)設b?a?e，證明a?b ba

xa對此不等式的證明，一般我們會想到構造輔助函數，f(x)?a?x，f(a)?0，然后證明

在x?a時，f?(x)?0．這個想法看似簡單，而實際過程非常繁瑣，有興趣的讀者可以試著證明一下．下面筆者給出幾個簡便的證明．

證：Ⅰ利用拉格朗日中值定理：ab?ba?b?alogab?b?alnb lna

lnb?lna lna

lnb?lnalna?? b?aa

1???lna，其中e?a???b?lna?b?a?a

?1

??1lna，其中e?a???b． a

原命題得證．

證：Ⅱ 利用微分中值定理，ab??e?blna?alnb

?

?

?

?

?blnb? alnablnb?lna?1? alnab1b?1?ln alnaab1b?1?(ln?ln1)alnaabln?ln1?lna（微分中值定理）?1a

?1

??lna，（1???b）a

原命題得證．

證明Ⅲ 利用冪級數展開：

設b?a?x，原不等式等價于

aa?xa ?(a?x)a?aa?ax?(a?)x

x?a?(1?

而 xa)，a

ln2a2a?1?lna?x?x?2!xlnnan?x?n!，xxa?(a?1)x2a?(a?1)(a?n?1)xn(1?)a?1?a??()??()?． aa2!an!a

a?(a?1)(a?n?1)n由于x?0，a?e，所以lna?1，lna?．通過比較以上兩個級數可知原na

不等式成立．

對于不等式a?(1?

一下．

例2（1992年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷第六題）xxa)的證明仍可以利用拉格朗日中值定理證明，有興趣的讀者可以自己證a

設f??(x)?0，f(0)?0，證明對任何x1?0,x2?0，有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)． 證：不妨設x1?x2，f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)?f(x1?x2)?f(x2)?f(x1)

f(x1?x2)?f(x2)f(x1)?f(0)?(x1?x2)?(x2)x1?0?

?f?(?1)?f?(?2)，x2??1?x1?x2，0??2?x1?x2，顯然?2??1，而f??(x)?0，所以f?(x)單調遞減．原不等式得證．

例3（1999年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷第六題）

論證：當x?0時,(x2?1)lnx?(x?1)2 ．(x2?1)lnx

證：(x?1)lnx?(x?1)?(x?1)2?1 22

(x?1)lnx?1 x?1

(x?1)lnx?(1?1)ln1??1，（柯西中值定理）x?1?

?ln??(??1)

??1，（?介于1與x之間）

1ln???0． 當??1時，上式顯然成立；當0???1時，我們可以證明，?

命題得證．

例4（2004年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷第三題）

(15)設e?a?b?e2，證明lnb?lna?

22224(b?a)． 2e4ln2b?ln2a4證：lnb?lna?2(b?a)??2 e(b?a)e

14?2ln??2，(e?a???b?e2)?e

?1

?ln??2，2e

因為e?a???b?e2，所以，?ln??eln?e2?2?2． e?ee

所以，原不等式成立．

例5（2006年全國碩士研究生入學統一考試數學三試題第（17）題）

證明：當0?a?b??時，bsinb?2cosb??b?asina?2cosa??a．

證：令f(x)?xsinx?2cosx??x

bsinb?2cosb??b?asina?2cosa??a

?f(b)?f(a)? 0

?f(b)?f(a)?0 b?a

?f?(?)??cos??sin????0，0?a???b??

令f?(x)?xcosx?sinx??，f?(?)?0，f??(x)?cosx?xsinx?cosx??xsinx?0，0?a?x?b??，所以在(0,?)內，f?(x)單調減少，即f?(x)?0．

原命題得證．

例6（2010年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷第(17)題

(1)比較?1

0lnt[ln(1?t)]ndt與?tnlnt的大小,說明理由。01

解：因為lnt[ln(1?t)]n

tnlnt[ln(1?t)]n ?tn

?[ln(1?t)nln(1?t)?ln(1?0)n]?[]（拉格朗日中值定理）tt?0

?()?1，0???t?1，1n

?

所以lnt[ln(1?t)]?tlnt。即nn?1

0lnt?t)]dt?n?10tnlnt。

例7（2012年全國碩士研究生入學統一考試數學三試題第（18）題）

1?xx2

?cosx?1?，(?1?x?1)．證明：xln1?x2

證：原不等式等價于：

x2

x[ln(1?x)?ln(1?x)]?1?cosx? 2

xx2

?（僅當x?0時取等號）?x[ln(1?x)?ln(1?x)]?2sin222

?[ln(1?x)?ln(1?x)]1?（當x?0時）2xxx2sin2?22

11?1??1??1??，（柯西中值定理，其中0???x?1），sin???x

?21?，0???x?1 2(sin???)(1??)x

因為(sin???)(1??2)?2??2x，所以不等式成立．

利用同樣的方法可以證明當?1?x?0時，不等式成立．

綜上所述，原不等式成立．

xx例8 證明：當x?0時，x?e?1?xe．

證：當x?0時，ex?1xx?e?1?xe?1??e xxx

ex?e0

?1??ex，（利用柯西中值定理）x?0

?1?e??ex，其中0???x．

原不等式成立．

例9 證明：當0?x??

2時，sinx?tanx?2x．

證明：sinx?tanx?2x?sinx?tanx?2 x

?sinx?tanx?(sin0?tan0)?2 x?0

cos??sec2??2（柯西中值定理）?1

?cos??sec2??2，因為

cos??sec2???所以，原不等式成立．

中值定理是證明不等式時常用的一個非常有效的工具．我們習慣于構造輔助函數，利用單調性來證明不等式．而函數的單調性還是通過拉格朗日中值定理進行證明的．因此，利用單調性證明不等式的基礎還是微分中值定理．以上幾例體現了中值定理在證明不等式時的效果．

?2，

第二篇：2018考研數學難點必看題型：不等式的證明

為學生引路，為學員服務

2018考研數學難點必看題型：不等式的證明

為學生引路，為學員服務

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第三篇：大學數學中不等式的證明方法

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大學數學中不等式的證明方法

作者：吳瑩

來源：《學園》2013年第01期

【摘 要】不等式在科學研究中的地位很重要，但對不等式的證明有些同學無從下手，用什么方法是個難題，所以本文對大學數學中遇到的不等式的各種證明方法進行歸納總結，并給出了相應的例子。

【關鍵詞】數學歸納法 導數 單調性 中值定理 最值 積分

【中圖分類號】O211 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674－4810（2013）01－0076－02

第四篇：用數學歸納法證明不等式

人教版選修4—5不等式選講

課題：用數學歸納法證明不等式

教學目標：

1、牢固掌握數學歸納法的證明步驟，熟練表達數學歸納法證明的過程。

2、通過事例，學生掌握運用數學歸納法，證明不等式的思想方法。

3、培養學生的邏輯思維能力，運算能力和分析問題，解決問題的能力。

重點、難點：

1、鞏固對數學歸納法意義和有效性的理解，并能正確表達解題過程，以及掌握用數學歸納法證明不等式的基本思路。

2、應用數學歸納法證明的不同方法的選擇和解題技巧。

教學過程：

一、復習導入：

1、上節課學習了數學歸納法及運用數學歸納法解題的步驟，請同學們回顧，說出數學歸納法的步驟？

（1）數學歸納法是用于證明某些與自然數有關的命題的一種方法。

（2）步驟：1）歸納奠基;

2）歸納遞推。

2、作業講評：（出示小黑板）

習題：用數學歸納法證明：2+4+6+8+……+2n=n(n+1)

如采用下面的證法，對嗎？

證明：①當n=1時，左邊=2=右邊，則等式成立。

②假設n=k時，（k∈N，k≥1）等式成立，即2+4+6+8+……+2k=k(k+1)

當n=k+1時，2+4+6+8+……+2k+2(k+1)

∴ n=k+1時，等式成立。

由①②可知，對于任意自然數n，原等式都成立。

（1）學生思考討論。

（2）師生總結： 1）不正確

2）因為在證明n=k+1時，未用到歸納假設，直接用等差數列求和公式，違背了數學歸納法本質：遞推性。

二、新知探究

明確了數學歸納法本質，我們共同討論如何用數學歸納法證明不等式。(出示小黑板)

例1觀察下面兩個數列，從第幾項起an始終小于bn？證明你的結論。｛an=n｝:1,4,9,16,25,36,49,64,81, …… ｛bn=2｝:2,4,8,16,32,64,128,256,512, ……（1）學生觀察思考（2）師生分析

（3）解：從第5項起，an ＜ bn，即 n2＜2,n∈N+（n≥5）

證明：（1）當 n=5時，有52＜25，命題成立。（2）假設當n=k（k≥5）時命題成立 即k＜

2當n=k+1時，因為

（k+1）2=k2+2k+1＜k2+2k+k=k2+3k＜k2+k2=2k2<2×2k=2k+1 所以，（k+1）2＜2k+1 即n=k+1時，命題成立。

由（1）（2）可知n2＜2n（n∈N+，n≥5）

學生思考、小組討論：①放縮技巧：k2+2k+1＜k2+2k+k；k2+3k＜k2+k

2②歸納假設：2k<2×2

例2

證明不等式│Sin nθ│≤n│Sinθ│(n∈N+)

k n

n2

2k

分析：這是一個涉及正整數n的三角函數問題，又與絕對值有關，在證明遞推關系時，應注意利用三角函數的性質及絕對值不等式。

證明：（1）當 n=1時，上式左邊=│Sinθ│=右邊，不等式成立。（2）假設當n=k（k≥1）時命題成立，即有│Sin kθ│≤k│Sinθ│

當n=k+1時，│Sin（k+1）θ│=│Sin kθCosθ+Cos kθSin θ│ ≤│Sin kθCosθ│+│Cos kθSin θ│ =│Sin kθ││Cosθ│+│Cos kθ││Sin θ│ ≤│Sin kθ│+│Sin θ│ ≤k│Sinθ│+│Sin θ│ =（k+1）│Sinθ│

所以當n=k+1時，不等式也成立。

由（1）（2）可知，不等式對一切正整數n均成立。

學生思考、小組討論：①絕對值不等式: │a+b│≤ │a│+│b│

②三角函數的有界性：│Sinθ│≤1,│Cosθ│≤1 ③三角函數的兩角和公式。

（板書）例3 證明貝努力（Bernoulli）不等式:

如果x是實數且x＞-1，x≠0,n為大于1的自然數，那么有（1+x）＞1+nx 分析：①貝努力不等式中涉幾個字母？（兩個：x,n）

②哪個字母與自然數有關？(n是大于1的自然是數)

（板書）證：（1）當n=2時，左邊=（1+x）=1+2x+x，右邊=1+2x，因x＞0，則原不等式成立．

（在這里，一定要強調之所以左邊＞右邊，關鍵在于x＞0是由已知條件x≠0獲得，為下面證明做鋪墊）

（2）假設n=k時（k≥2），不等式成立，即（1+x）＞1+kx． 師：現在要證的目標是（1+x）＞1+（k+1）x，請同學考慮．

生：因為應用數學歸納法，在證明n=k+1命題成立時，一定要運用歸納假設，所以當

k+1k

n=k+1時．應構造出歸納假設適應的條件．所以有：（1+x）=（1+x）（1+x），因為x＞

k

-1（已知），所以1+x＞0于是（1+x）（1+x）＞（1+kx）（1+x）．

師：現將命題轉化成如何證明不等式（1+kx）（1+x）≥1+（k+1）x． 顯然，上式中“=”不成立．

k+

1k

2n

故只需證：（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x． 提問：證明不等式的基本方法有哪些？

生：證明不等式的基本方法有比較法、綜合法、分析法．

（提問的目的是使學生明確在第二步證明中，合理運用歸納假設的同時，其本質是不等式證明，因此證明不等式的所有方法、技巧手段都適用）

生：證明不等式（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x，可采用作差比較法．（1+kx）（1+x）-[1+（k+1）x] =1+x+kx+kx-1-kx-x

=kx＞0（因x≠0，則x＞0）． 所以，（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x． 生：也可采用綜合法的放縮技巧．

（1+kx）（1+x）=1+kx+x+lx=1+（k+1）x+kx．

因為kx＞0，所以1+（k+1）x+kx＞1+（k+1）x，即（1+kx）（1+x）＞1+（1+k）x成立．

生：……

（學生可能還有其他多種證明方法，這樣培養了學生思維品質的廣闊性，教師應及時引導總結）

師：這些方法，哪種更簡便，更適合數學歸納法的書寫格式？學生用放縮技巧證明顯然更簡便，利于書寫．

（板書）將例3的格式完整規范．

證明：（1）當n=2時，由x≠0得（1+x）=1+2x+x＞1+2x,不等式成立。

（2）假設n=k（k≥2）時，不等式成立，即有（1+x）＞1+kx 當n=k+1時，（1+x）k+1=（1+x）（1+x）＞（1+x）（1+kx）

k

k

=1+x+kx+ kx＞1+x+kx=1+（k+1）x 所以當n=k+1時，不等式成立

由①②可知，貝努力不等式成立。

（通過例題的講解，在第二步證明過程中，通常要進行合理放縮，以達到轉化目的）

三、課堂小結

1．用數學歸納法證明，要完成兩個步驟，這兩個步驟是缺一不可的．但從證題的難易來分析，證明第二步是難點和關鍵，要充分利用歸納假設，做好命題從n=k到n=k+1的轉化，這個轉化要求在變化過程中結構不變．

2．用數學歸納法證明不等式是較困難的課題，除運用證明不等式的幾種基本方法外，經常使用的方法就是放縮法，針對目標，合理放縮，從而達到目標．

四、課后作業

1．課本P53：1，3，5 2．證明不等式：

第五篇：4.2數學歸納法證明不等式

二用數學歸納法證明不等式

教學要求：了解數學歸納法的原理，并能以遞推思想作指導，理解數學歸納法的操作步驟，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題，并能嚴格按照數學歸納法證明問題的格式書寫.教學重點：能用數學歸納法證明幾個經典不等式.教學難點：理解經典不等式的證明思路.教學過程：

一、復習回顧：

1、數學歸納法是高考考查的重點內容之一，在數列推理能力的考查中占有重要的地位；

2、復習數學歸納法的定義和數學歸納法證題的基本步驟；

二、本節主要內容是用數學歸納法證明不等式；

在用數學歸納法證明不等式的具體過程中，要注意以下幾點：

（1）在從n=k到n=k+1的過程中，應分析清楚不等式兩端（一般是左端）的變化，要認清不等式的結構

特征；

（2）瞄準當n=k+1時的遞推目標，有目的地進行放縮、分析；

（3）活用起點的位置；

（4）有的題目需要先作等價變換。

三、例題

例1：比較n2與2n的大小，試證明你的結論.分析：將n?1,2,3,4,5,6代入比較后猜想結論，而后用數學歸納法加以證明

證明：見書P50 ；要點：(k?1)2?k2?2k?1?k2?2k?k?k2?3k?k2?k2?….例2：證明不等式|sinn?|?n|sin?|(n?N?).證明：（1）當n=1時，不等式顯然成立；

（2）假設當n=k時不等式成立，即有：|sink?|?k|sin?|，則當n=k+1時，|sin(k?1)?|?|sink?cos??cosk?sin?|?|sink?cos?|?|cosk?sin?|

?|sink?|?|cos?|?|cosk?|?|sin?|?|sink?|?|sin?|?k|sin?|?|sin?|?(k?1)|sin?|即當n=k+1時，原不等式也成立；

由（1）（2）知，不等式對一切正整數n均成立；

例3：證明貝努利（Bernoulli）不等式：(1?x)n?1?nx(x??1,x?0,n?N,n?1)

22證明：（1）當n=2時，由x?0得(1?x)?1?2x?x?1?2x，即不等式成立；

（2）假設當n=k（k≥2）時不等式成立，即有(1?x)?1?kx：，則當n=k+1時，(1?x)k?1k?(1?x)(1?x)k?(1?x)(1?kx)?1?x?kx?kx2?1?(k?1)x，所以當n=k+1時，原不等式也成立；

由（1）（2）知，貝努利不等式成立；

注：事實上，把貝努利不等式中的正整數n改為實數?仍有類似不等式成立.當?是實數,且???或??0時,有(1?x)≥1??x(x??1)

?當?是實數,且0???1時,有(1?x)≤1??x(x??1)?

例

4、證明：如果n(n為正整數)個正數a1,a2,a3???,an的乘積a1a2a3???an?1，那么它們的和

a1?a2?a3?????an?n；

證明：（1）當n=1時，a1=1，命題顯然成立；

（2）假設當n=k時命題成立，即若k個正數a1,a2,a3???,ak的乘積a1a2a3???ak?1，那么他們的和

a1?a2?a3?????ak?k，則當n=k+1時，有k+1個正數a1,a2,a3???,ak,ak?1滿足乘積a1a2a3???akak?1?1，若這k+1個正數相等，則它們都是1，其和為k+1，命題成立；

若這k+1個正數不全相等，則其中必有大于1的數，也有小于1的數，不妨設a1>1，a2<1, 則由歸納假設可得：a1a2?a3?????ak?ak?1?k（*），又由a1>1，a2<1可得：(a1?1)(a2?1)?0?a1a2?a1?a2?1?0?a1?a2?a1a2?1與（*）式相加即得：

a1?a2?a3?????ak?ak?1?k?1，即當n=k+1時，命題也成立；

由（1）（2）知，如果n(n為正整數)個正數a1,a2,a3???,an的乘積a1a2a3???an?1，那么它們的和

a1?a2?a3?????an?n；

思考：課本P53的探究

課堂練習：當n≥2時,求證

:1?

2??

?

證明：（1）當n?2時，左式?1?

?1?

?1.7?

2?右式，?當n?2時，不等式成立

（2）假設當n?k（?2)時，不等式成立，即1?

??

?則當n?k?

1時，左式?1?

???

?

?

?

?

??右式

?當n?k?1時，不等式成立。

由（1）（2）可知，對一切n?N，且n?2，不等式都成立。

四、作業：課本P53習題4.1中1，2，3，4，5，6