第一篇：不等式總結

不等式總結

一、不等式的性質

1．（不等式建立的基礎）兩個實數a與b之間的大小關系 ?(1)a－b＞0?a＞b；??(2)a－b=0?a=b；

??(3)a－b＜0?a＜b．

??(4)

???若 a、b?R，則?(5)??(6)??a＞1?a＞b；ba=1?a=b；ba＜1?a＜b．b

2．不等式的性質

(1)a＞b?b＜a(對稱性)

a＞b?(2)? ?a＞c(傳遞性)b＞c?

(3)a＞b?a＋c＞b＋c(加法單調性)

a＞b???ac＞bcc＞0?

(4)(乘法單調性)

a＞b???ac＜bcc＜0?

(5)a＋b＞c?a＞c－b(移項法則)

a＞b?(6)??a＋c＞b＋d(同向不等式可加)c＞d?---不等式相加 a＞b?(7)??a－c＞b－d(異向不等式可減)c＜d?---不等式相減

(8)a＞b＞0???ac＞bd(同向正數不等式可乘)c＞d＞0?---不等式相乘 a＞b＞0?ab(9)??＞(異向正數不等式可除)cd0＜c＜d?--不等式相除

(10)a＞b＞0?nn??a＞b(正數不等式可乘方)n?N?乘方法則

a＞b＞0?(11)?? ＞b(正數不等式可開方)n?N?開方

(＞b＞0?111＜(正數不等式兩邊取倒數2))aab----倒數法則

3．絕對值不等式的性質

?a(a≥0)，(1)|a|≥a；|a|=??－a(a＜0)．

(2)如果a＞0，那么

|x|＜a?x2＜a2?－a＜x＜a；

|x|＞a?x2＞a2?x＞a或x＜－a．

(3)|a·b|＝|a|·|b|．

a|a|(4)||＝(b≠0)．b|b|

(5)|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|．

(6)|a1＋a2＋??＋an|≤|a1|＋|a2|＋??＋|an|．

4.基本不等式

（1）如果a，b是正數，那么ab≤a?b，當且僅當a=b時，等號成立。

2注意：基本不等式的證明是利用重要的不等式推導的，即

?a,b?R,則??2ab,即有a?b?2

（2）基本不等式又稱為均值定理、均值不等式等。其中???22a?b稱為a，b的算術平均數，ab稱為a，b的2幾何平均數。兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。

（3）均值不等式中“當且僅當”的含義：

a?b＝ab 2

a?b②僅當a=b時取等號，即＝ab?a=b 2①當a=b，取等號，即a=b?

（4）幾種變形公式

a?b2a2?b2a?ba2?b2

ab≤()≤(a,b∈R)ab≤≤(a＞0, b＞0)2222

5.柯西不等式

（1）代數形式：

設a1，a2，b1，b2均為實數，(a12＋a22)(b12 + b22)≥(a1 b1+ a2 b2)2（注：等號成立條件：a1 b2= a2 b1）

（2）向量形式：|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)（n∈N，n≥2）

等號成立條件：β為零向量，或α=λβ（λ∈R）。

（3）三角不等式：由|α|＋|β|≥|α+β|可得：設a1，a2，b1，b2均為實數，則

√(a12＋a22)＋√(b12 + b22)≥√[(a1+ b1)2＋(a2 + b2)2]（注：等號成立條件：存在非負實數μ及λ使得μa1=λb1，μa2=λb2其中“√”表示平方根）

（4）平面三角不等式：設a1，a2，b1，b2，c2均為實數，則

√[(a1-b1)2＋(a2-b2)2]＋√[(b1-c1)2＋(b2-c2)2]≥√[(a1-c1)2＋(a2-c2)2]（注：等號成立條件：存在非負實數μ及λ使得μ(a1-b1)=λ(b1-c1), μ(a2-b2)=λ(b2-c2)其中“√”表示平方根）

(5)設α，β，γ為平面向量，則|α-β|+|β-γ|≥|α-γ|。當α-β，β-γ為非零向量時。（注：等號成立條件：存在正常數λ，使得α-β＝λ（β-γ）?向量α-β與β-γ同向，即夾角為零。

（6）一般形式：設a1，a2，?，an，b1，b2 ?，bn均為實數，則

2222a12?a2???an12?b2???bn?a1b1?a2b2???anbn 注：等號成立?aa1a2????n b1b2bn

6.排序不等式：

（1）定義：設有兩組數 a1 , a2 ,…… an;b1 , b2 ,…… bn 滿足 a1 ≤ a2 ≤……≤ an, b1 ≤ b2 ≤……≤ bn，其中c1,c2,……,cn是b1,b2,……，bn的任一排列，則稱a1 b1 + a2 b2+...+ an bn 為這兩個實數組的順序積之和（簡稱順序和），稱a1 bn + a2b{n-1}+...+ an b1為這兩個實數組的反序積之和（簡稱反序和），稱a1 c1 + a2 c2 +…+ an cn為這兩個實數組的亂序積之和（簡稱亂序和）

（2）定理：（排序不等式，又稱排序原理）設有兩組數 a1 , a2 ,… an;b1 , b2 ,… bn 滿足 a1 ≤ a2 ≤…≤ an, b1 ≤ b2 ≤…≤ bn，其中c1,c2,…,cn是b1,b2,…，bn的任一排列，那么

a1 bn + a2b{n-1}+...+ an b1 ≤ a1 c1 + a2 c2 +……+ an cn ≤ a1 b1 + a2 b2 + ……+an bn.當且僅當 a1 = a2 =...= an 或 b1 = b2 =...= bn 時等號成立，即反序和等于順序和。

排序原理可簡記作：反序和≤亂序和≤順序和。

7.貝努利不等式：

定理：設x＞-1，且x≠0，n為大于1的自然數，則(1+x)n≥1+nx.二、不等式的證明

1．不等式證明的依據

(1)實數的性質：a、b同號?ab＞0；a、b異號?ab＜0

a－b＞0?a＞b；a－b＜0?a＜b；a－b=0?a=b

(2)不等式的性質(略)

(3)重要不等式：

①|a|≥0；a2≥0；(a－b)2≥0(a、b∈R)（非負數）

②a2＋b2≥2ab(a、b∈R，當且僅當a=b時取“=”號)

a?b≥ab(a、b?R?，當且僅當a=b時取“=”號)

2333+④ a+b+c≥3abc(a,b,c∈R)③

b?c⑤a?

?abc

⑥ |a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|．

⑦ |a1＋a2＋??＋an|≤|a1|＋|a2|＋??＋|an|．

⑧ |x|＜a?x＜a?－a＜x＜a；

⑨ |x|＞a?x＞a?x＞a或x＜－a．

2．不等式的證明方法

(1)比較法：要證明a＞b(a＜b)，只要證明a－b＞0(a－b＜0)，這種證明不等式的方法叫做比較法．

用比較法證明不等式的步驟是：作差——變形——判斷符號．

(2)綜合法：從已知條件出發，依據不等式的性質和已證明過的不等式，推導出所要證明的不等式成立，這種證明不等式的方法叫做綜合法． 2222

(3)分析法：從欲證的不等式出發，逐步分析使這不等式成立的充分條件，直到所需條件已判斷為正確時，從而斷定原不等式成立，這種證明不等式的方法叫做分析法．

（4）三角換元法：多用于條件不等式的證明，如果所給條件較復雜，一個變量不易用另一個變量表示，這時可考慮用三角代換，將兩個變量都用同一個參數表示，此法如果運用恰當，可溝通三角與代數的聯系，將復雜的代數問題轉化為三角問題。

注意：根據具體問題，常用的三角換元技巧有：

① x2+y2=1,可設x=cosα,y=sinα；

② a≤ x2+y2≤b，可設x=rcosα,y=rsinα, a≤r2≤b

③ 對于?

④ 對于?

⑤ 對于x2，由于|x|≤1,可設x=cosα（0≤α≤π）或x=sinα(-π/2≤α≤π/2),可設x=tanα(-π/2＜α＜π/2)或x=cotα(0＜α＜π)x2x2(0≤α＜π/2或π/2＜α≤π)或x=sin(-π/2≤α＜0或0＜α≤π/2)?1,可設x=cosαα

⑥ 對于x+y+z=xyz,由于在ΔABC中有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,可設x=tanA,y=tanB,z=tanC(A+B+C=π)。

（5）放縮法：要證明不等式A＜B，有時可以將它的一邊放大或縮小，尋找一個中間量，如將A放大成C，即A＜C，后證C＜B，這種證法叫放縮法。常用技巧有：舍掉（或加進）一些項，在分式中放大或縮小分子或分母；應用基本不等式放縮。

放縮法的理論依據主要有：不等式的傳遞性、等量加不等量為不等量、同分子（分母）異分母（分子）的兩個分式大小的比較。

證明不等式除以上三種基本方法外，還有反證法、數學歸納法、綜合分析法、放縮法、函數法、幾何法、其它方法（換元法、判別式法、導數法、構造法）、柯西不等式等。

（5）利用基本不等式比較實數大小或證明不等式

① 利用均值定理求最值，必須滿足三個條件：：“一正”各項均為正數、“二定”和或積為常數、“三相等”

等號必須成立。和定積最大，積定和最小。

② 構造定值條件的常用技巧：加項變換、拆項變換、統一換元、平方后利用不等式。

③ 基本不等式：

若x，y是正數，有x+y=S（和為定值），則當x=y時，積xy=取最大值S；

42若x，y是正數，有xy=P（積為定值），則當x=y時，和x+y=取最小值；2P。

三、解不等式

1．解不等式問題的分類

(1)解一元一次不等式．

(2)解一元二次不等式．

(3)可以化為一元一次或一元二次不等式的不等式．

①解一元高次不等式；

②解分式不等式；

③解無理不等式；

④解指數不等式；

⑤解對數不等式；

⑥解帶絕對值的不等式；

⑦解不等式組．

2．解不等式時應特別注意下列幾點：

(1)正確應用不等式的基本性質．

(2)正確應用冪函數、指數函數和對數函數的增、減性．

(3)注意代數式中未知數的取值范圍．

3．不等式的同解性

?f(x)＞0?f(x)＜0(1)f(x)·g(x)＞0與 ? 或?同解．

? g(x)＞0? g(x)＜0

?f(x)＞0?f(x)＜0(2)f(x)·g(x)＜0與? 或?同解．g(x)＜0g(x)＞0??

(3)?f(x)＞0?f(x)＜0f(x)＞0與?或?同解．(g(x)≠0)g(x)?g(x)＞0?g(x)＜0

?f(x)＞0?f(x)＜0f(x)(4)＜0與? 或 ?同解．(g(x)≠0)g(x)g(x)＜0g(x)＞0??

(5)|f(x)|＜g(x)與－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0)

(6)|f(x)|＞g(x)①與f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)≥0)同解；②與g(x)＜0同解．

?f(x)＞[g(x)]2 ?f(x)≥0?(7)f(x)＞g(x)與 ?f(x)≥0或?同解．g(x)＜0???g(x)≥0

?f(x)＜[g(x)]2

(8)f(x)＜g(x)與?同解．

?f(x)≥0

(9)當a＞1時，af(x)＞ag(x)與f(x)＞g(x)同解，當0＜a＜1時，af(x)＞ag(x)與f(x)＜g(x)同解．

?f(x)＞g(x)(10)當a＞1時，logaf(x)＞logag(x)與?同解．f(x)＞0?

?f(x)＜g(x)?當0＜a＜1時，logaf(x)＞logag(x)與? f(x)＞0同解．

??g(x)＞0

第二篇：不等式知識點總結

感受生活中存在著大量的不等關系，了解不等式和一元一次不等式的意義，下面是小編幫大家整理的不等式知識點總結，希望大家喜歡。

不等式：①用符號〉，=，〈號連接的式子叫不等式。②不等式的兩邊都加上或減去同一個整式，不等號的方向不變。③不等式的兩邊都乘以或者除以一個正數，不等號方向不變。④不等式的兩邊都乘以或除以同一個負數，不等號方向相反。

不等式的解集：①能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解。②一個含有未知數的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。③求不等式解集的過程叫做解不等式。

一元一次不等式：左右兩邊都是整式，只含有一個未知數，且未知數的最高次數是1的不等式叫一元一次不等式。

一元一次不等式組：①關于同一個未知數的幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一元一次不等式組。②一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，叫做這個一元一次不等式組的解集。③求不等式組解集的過程，叫做解不等式組。

一元一次不等式的符號方向：

在一元一次不等式中，不像等式那樣，等號是不變的，他是隨著你加或乘的運算改變。

在不等式中，如果加上同一個數(或加上一個正數)，不等式符號不改向;例如：AB,A+CB+C

在不等式中，如果減去同一個數(或加上一個負數)，不等式符號不改向;例如：AB，A-CB-C

在不等式中，如果乘以同一個正數，不等號不改向;例如：AB，A*CB*C(C0)

在不等式中，如果乘以同一個負數，不等號改向;例如：AB，A*C

如果不等式乘以0，那么不等號改為等號

所以在題目中，要求出乘以的數，那么就要看看題中是否出現一元一次不等式，如果出現了，那么不等式乘以的數就不等為0，否則不等式不成立。

第三篇：不等式證明常用技巧總結

不等式的證明

一、常用方法：

作差、作商法；分析、綜合法；換元法；構造函數法；反證法；放縮法；歸納法；

（分析綜合法）已知a?0,b?0,2c?a?b,求證：c?c2?ab?a?c?c2?ab.二、不等式證明中常用技巧：

1(x?1)的值域。1.加減常數

求函數y?x?x?112.巧變常數

已知0?x?，求函數y＝x（1－2x）的最大值。

25x2?3x?33.分離常數

已知x?，求f(x)?的最值。

22x?44.巧用常數

若x,y?R?且滿足

?416??1，求x＋y的最小值。xy11?)的最小值。a?bc5.統一形式

已知a,b,c?R，求(a?b?c)(證：a2?b2?c2?ab?bc?ac..6.輪換對稱

若a,b,c是互不相等的實數，求7.重要不等式 a?b?0,求證：a?216?16

b(a?b)8.逆向運用公式型已知a,b?R,且a?b?1,求證：a??11?b??2.22a?b1111（提示：將a?，b?轉換成1?a?，）1?b?然后運用公式ab?22222如何巧用常數：

111.若a?0,b?0,且a?2b?1,則??3?22.ab1112.已知a,b,c?R?,且a?b?c?1,求證：???9.abc?1??1?3.已知a,b?R?,且a?b?1,求證：?1???1???9.?a??b?1已知x,y,z均為正數，且x?y?z?1，則x2?y2?z2?.4.3 5.已知x,y,z均為正數，求證：a?b?c?3.b?cc?aa?b2?a??b??c??a?b?c??b?c?a??c?a?b??1??1??1????????????????b?c??c?a??a?b??b?c??c?a??a?b?11?111?9?1?1?(a?b?c)????(b?c)?(c?a)???????(a?b）??.b?cc?aa?b2b?cc?aa?b????2不等式證明中的放縮法

1111????1.1.已知n?N*，且n?2，求證：??2nn?12n2.已知n?N*，求證：1?222?332???nn2?3.kk2??1kk?222??kk?kk(k?1)k?kk?1k(k?1)(k?k?1)2(k?k?1)11?2(?（）k?2）.k(k?1)k?1k

3.設n∈N，求證：

(2)引進輔助式，設

比較兩式的對應因式可知

第四篇：高考常用不等式全面總結

高考常用不等式

（1）基本不等式：a,b?R?a2?b2?2ab(當且僅當a＝b時取“=”號)．（2）均值不等式：a,b?R??a?b2?ab(當且僅當a＝b時取“=”號)．

bb?ma?na?1??

aa?mb?nb（3）分式不等式：ab ???0，m?0，n?0，則（4）證明不等式常用方法：

比較法、綜合法、分析法、反證法、換元法、判別式法、放縮法、數學歸納法（5）放縮法常用不等式：

tanx?x?exx33,sinx?x?tanx,x2x1?x?ln(1?x)?x,1

1n?1?x(x?0),1?x?1?,(1?x)n?1?（6）調和平均數≤幾何平均數≤算術平均數≤平方平均數

a?b222a?b2ab??ab?a，b?R? 當且僅當a?b時等號成立。2a?b??

（7）a3?b3?c3?3abc(a?0,b?0,c?0).ab??ca?b?bc?caa，b?R 當且僅當a?b?c時取等號。??222（8）理解絕對值不等式的幾何意義

①a?b?a?b?a?b

②∣a－b∣≤∣a－c∣＋∣c－b∣；

③∣ax＋b∣≤c；∣ax＋b∣≥c；∣x－a∣＋∣x－b∣≥c.（9）柯西不等式的幾種不同形式

①柯西不等式向量形式：|α|·|β|≥|α·β|.②(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2,a,b,c,d?R.③平面三角不等式.（10）貝努利不等式：（數學歸納法證明）

(1?x)?1?nxn＋ ≥，x??1,x?0,n為大于1的正整數

第五篇：初中不等式(組)考點總結

第四章不等式（組）

考點

一、不等式的概念（3分）

1、不等式：用不等號表示不等關系的式子，叫做不等式。

2、不等式的解集

對于一個含有未知數的不等式，任何一個適合這個不等式的未知數的值，都叫做這個不等式的解。

對于一個含有未知數的不等式，它的所有解的集合叫做這個不等式的解的集合，簡稱這個不等式的解集。

求不等式的解集的過程，叫做解不等式。

3、用數軸表示不等式的方法

考點

二、不等式基本性質

1、不等式兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，不等號的方向不變。

2、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變。

3、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變。

考點三、一元一次不等式

1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一個未知數，未知數的次數是1，且不等式的兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式。

2、一元一次不等式的解法

解一元一次不等式的一般步驟：（1）去分母（2）去括號（3）移項（4）合并同類項（5）將x項的系數化為1

考點四、一元一次不等式組

1、一元一次不等式組的概念

幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一元一次不等式組。

幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。

當任何數x都不能使不等式同時成立，我們就說這個不等式組無解或其解為空集。

2、一元一次不等式組的解

（1）分別求出不等式組中各個不等式的解集

（2）利用數軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組的解集。