第一篇：10專題十數列極限與函數極限
2012年高考復習資料—第二輪復習專題練習題
華中師大一附中孟昭奎
專題十數列極限與函數極限
一、選擇題
(1?x)m?a?b，則a·b=（）1．（2008年高考·湖北卷）已知m∈N, a、b∈R，若lim n?0x
A．-mB．mC．-1D．1 *
2．lim(?n??1
4A．1 111????)的值為（）4?64?6?84?6?8???2n1111B．C．418D．11 24
?x3?2x?a2(x?1)?3．若函數f(x)??15a在點x=1處連續，則實數a=（）(x?1)??3x?
1A．4B．-14C．4或-14 D．1或-4 4
4．下列命題：①發果f(x)=1，那么limf(x)=0；②如果f(x)=x?1，那么f(x)=0；③如x??x
?x2?2x?x,x?0果f(x)=，那么limf(x)不存在；④如果f(x)??，那么limf(x)=0，其中真x??2x?0x?2?x?1,x?0?
命題是（）
A．①②B．①②③C．③④D．①②④
ax2?bx3cx3?bx?ccx?a1?，則lim5．設abc≠0，lim的值等于（）?，limx??ax?bx??bx3?cx2?a3x??bx2?c4
419 A．4B．C．D． 944
an?1?abn?126．設正數a, b滿足lim(x+ax-b)=4，則lim等于（）n??ax?2?2b11 A．0B．C．D．1 4
27．把1+(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n展開成關于x的多項式，其各項系數和為an，則lim等于（）
A．2an?1n??a?1n14B．12C．1D．2
二、填空題
8．已知數列的通項an=-5n+2，其前n項和為Sn，則lim
9．lim(x?2Sn=________． n??n241?)=________． x2?4x?
2專題十數列極限與函數極限
2012年高考復習資料—第二輪復習專題練習題
華中師大一附中孟昭奎
10．（2008年高考·安徽卷）在數列{an}中，an=4n-5, a1+a2+…+an=an2+bn, n∈N*，其中a, b2
an?bn
為常數，則limn的值為__________． n??a?bn
?e?x?1,(x?0)11．關于函數f(x)??(a是常數且a>0)．下列表述正確的是_________．（將你?2ax,(x?0)
認為正確的答案的序號都填上）
①它的最小值是0
②它在每一點處都連續
③它在每一點處都可導
④它在R上是增函數
⑤它具有反函數
12．如圖所示，如果一個凸多面體是n棱錐，那么這個凸多面體的所有頂點所確定的直線共有_______條．這些直線中共有f(n)對異面直線，則f(4)=_______;f(n)=_______．（答案用數字或n的解析式表示）
三、解答題
?1??x(x?0),?13．已知f(x)?? x?a?bx(x?0).?
（1）求f(-x)；（2）求常數a的值，使f(x)在區間(-∞, +∞)內處處連續．
14．已知{an}, {bn}都是公差不為0的等差數列，且limana?a2???an?2，求lim1的值． n??bn??nbn2n
15．已知數列{an}中a1=2, an+1=(2-1)(an+2), n=1, 2, 3, …．
（1）求{an}的通項公式；（2）若數列{bn}中b1=2, bn+1=3bn?4, n=1, 2, 3, …． 專題十數列極限與函數極限 數列極限和函數極限 極限概念是數學分析中最重要的概念，如連續、導數、積分等都要用極限來定義，而且由極限出發產生的極限方法，是數學分析的最基本的方法.更好的理解極限思想，掌握極限理論，應用極限方法是繼續學習數學分析的關鍵.本文將主要闡述極限的概念、性質、判別方法等問題.1.極限定義 1．1 數列極限定義 設有數列?an?與常數A，如果對于任意給定的正數?（不論它有多么小），總存在正整數N，使得當n?N時，不等式an?A?? 都成立，那么就稱常數A是數列?an?的極限，或者稱數列?an?收斂于A，記作liman?A.n?? 讀作“當趨n于無窮大時，an的極限等于A或an趨于A”.數列極限存在，稱數列?an? 為收斂數列，否則稱為發散數列.關于數列極限的??N定義，著重注意以下幾點： （1）?的任意性: 定義中正數的?作用在于衡量數列通項an與定數的a接近程度越?小，表示接近的越好.而正數可?以任意的小,說明an與可a以接近到任何程度，然而，盡管?有其任意性，但一經給出，就暫時的被確定下來，以便依靠它來求出N.（2）N的相應性: 一般說，N隨的?變小而變大，由此常把N寫作N???，來強調N是依賴與的?，但這并不意味著N是由?所唯一決定的，重要的是N的存在性，而不在于它值得大小.另外,定義中n?N的也可以改寫成n?N.（3）幾何意義:對于任何一個以A為中心，?為半徑的開區間?A??,A???，總可以在數列?an?中找到某一項aN，使得其后的所有項都位于這個開區間內，而在該區間之外，最多只有?an?的有限項（N項）.數列是定義在自然數集上的函數,當自變量從小到大依次取自然數時,便得到相應的一系列函數值,其解析表達式為an?f?n?;我們把數列中的n用x來替換后就得到了一個函數f?x?,數列和函數的區別在于數列中的點是離散的,而函數是連續的,那么類似的我們也有函數極限的定義.1．2 函數極限定義 1.2.1x???時函數的極限：設函數f?x?為?a,???上的函數，A為定數，若對任給的??0，總存在著正數M??a?，使得當x?M時有f?x??A??，則稱函數f?x?當 x趨于??時以A為極限，記作limf?x??A.x??? 即有limf?x??A????0,?M?0,?x?M,有f?x??A??.x??? 對應的,我們也有limf?x??A,limf?x??A的相應的? x?? x??? M語言成立.對于函數極限的?M定義著重注意以下幾點: （1）在定義中正數M的作用與數列極限定義中的N類似,表明x充分大的程度；但這里所考慮的是比M大的所有實數x,而不僅僅是正整數n.（2）當x???時,函數f?x?以A為極限意味著: A的任意小鄰域內必含有f?x?在??的某鄰域內的全部函數值.（3）幾何意義是:對任給??0的,在坐標平面上,平行于x軸的兩條直線y?A??與 y?A??,圍成以直線y?A為中心線,寬2?為的帶形區域；定義中的“當x?M時,有f?x??A??”表示:在直線x?M的右方,曲線y?f?x?全部落在這個帶形區域之內.1.2.2x?x0時函數的極限：設函數f?x? 在點x0的某一去心鄰域U ? ?x;??內有 '0 '定義，A為定數，如果對于任意給定的正數?（無論它多么小），總存在正數???，使 ?? 得當0?x?x0??時，有f?x??A??，則常數A為函數f?x?在x?x0時的極限，記作limf?x??A.x?x0 即limf?x??A????0,???0,?x:x0???x?x0??,有f?x??A??.x?x0 對應的,我們也有lim?f?x??A,lim?f?x??A的相應的? x?x0 x?x0 ?語言成立.對于函數極限的? ?定義著重注意以下幾點: N定義中的N,它依賴于?,但也不是由?所唯 （1）定義中的正數?,相當于數列極限? 一確定的,一般來說, ?愈小, ?也相應地要小一些,而且把?取得更小些也無妨.（2）定義中只要求函數在的某一空心鄰域內有定義,而一般不考慮在點處的函數值是否有意義,這是因為,對于函數極限我們所研究的是當x趨于x0過程中函數值的變化趨勢.（3）定義中的不等式0?x?x0??等價于x?U??x0;??，而不等式f?x??A??等價于f?x??U?A;??.于是，? ?定義又可寫成： 任給??0,存在??0,使得一切x?U??x0;??有f?x??U?A;??.或更簡單的表為: ? 任給??0,存在??0,使得fU?x0;???U?A;??.?? （4）幾何意義是：將極限定義中的四段話用幾何語言表述為 對任給??0的,在坐標平面上畫一條以直線y?A為中心線,寬2?為的橫帶,則必存在以直線x?x0為中心線、寬為2?的數帶，使函數y?f?x?的圖像在該數帶中的部分全部落在橫帶內，但點x,f?x0?可能例外（或無意義）.?? 2.極限性質 2．1數列極限的性質 收斂數列有如下性質： （1）極限唯一性:若數列?an?收斂,則它只有一個極限.（2）若數列?an?收斂，則?an?為有界數列.（3）若數列?an?有極限，則其任一子列?an?也有極限.'' （4）保號性，即若liman?a?0??0?，則對任何a??0,a?a??a,0?,存在正整數N1，n?? ?? n>N1時,an?a'?an?a'?.（5）保不等式性:即若?an?與?bn?均為收斂數列, 若存在正整數N1，使得當n>N1時有 an n?? （6）數列極限的基本公式（四則運算）設limxn,limyn存在,則 n?? n?? lim?xn?yn??limxn?limyn n??n?? n?? n?? lim?xn?yn??limxn?limyn n?? n?? xn xnlimn??lim?limyn?0n??ylimynn??n ?? n?? limxn?limyn?xn?yn? n?? n?? 2．2函數極限性質 （1）極限唯一性；若極限limf?x?存在，則此極限是唯一的.x?x0 （2）局部有界性 若limf?x?存在，則f?x?在x0的某空心鄰域U??x?內是有界的，當x0趨于無窮大時，x?x0 亦成立.（3）局部保號性 若limf?x??A?0??0?，則對任何正數r?A???A?,存在U??x0?使得對一切 x?x0 x?U??x0?有f?x??r?0?f?x??r?0?，當趨于無窮大時，亦成立.（4）保不等式性 若limf?x??A，limg?x??B，且在某鄰域U x?x0 x?x0 ? ?x;??內有f?x??g?x?，則 '0 x?x0 limf?x??limg?x?.x?x0 （5）函數極限的基本公式（四則運算） 設limf?x?,limg?x?存在,則 x?a x?a lim?f?x??g?x???limf?x??limg?x? x?ax?a x?a x?a lim?f?x??g?x???limf?x??limg?x? x?a x?a f?x?f?x?limx?alim?limg?x??0x?agxlimgxx?a ?? x?a 通過以上對數列極限與函數極限的介紹,可以知道數列極限與函數極限的本質相同,性質一致.3.極限的判別法 3.1 數列極限的判別法 （1）單調有界定理：單調有界數列必有極限.證明:不妨設?an?為有上界的遞增數列.由確界原理,數列?an?有上確界,記 a?sup?an?.下面證明a就是?an?的極限.事實上,任給??0,按上確界的定義,存在數列 ?an?中某一項aN,使得a???aN.又由?an?的遞增性，當n?N時有 a???aN?an。 另一方面，由于a是?an?的一個上界，故對一切an都有an?a?a?? 所以當n?N時有 a???an?a?? 這樣就證得, liman?a.n?? 同理可證有下界的遞減數列必有極限，且極限即為它的下確界.(2)數列收斂的柯西準則: 數列?an?收斂的充分必要條件是：對于任意給定的正數?，存在著這樣的正整數N，使得當m,n>N時，有xn?xm??.(3)數列極限的夾逼準則 如果收斂數列?an?，?bn?都以為a極限，數列?cn?滿足下列條件： 存在正數N，當n>N時有 an?cn?bn 則數列?cn?收斂,且 limcn?a.n?? 3.2函數極限的判別法：（1）函數極限的夾逼準則: 設limf?x??limg?x??A且在某U x?x0 x?x0 ? ?x;??內有 '0 f?x??h?x??g?x? 則limh?x??A.x?x0 （2）函數收斂的柯西準則： x?x0 limf?x?存在的充要條件是:任給, ??0，存在正數????'?,使得對任何 x',x“?U??x0;??，有 f?x'??f?x”???. 高等數學(1)標準化作業題參考答案—2班級姓名學號 第二節數列的極限 一、單項選擇題 1.數列極限limyn?A的幾何意義是n?? A．在點A的某一鄰域內部含有{yn}中的無窮多個點 B.在點A的某一鄰域外部含有{yn}中的無窮多個點 C.在點A的任何一個鄰域外部含有{yn}中的無窮多個點 D.在點A的任何一個鄰域外部至多含有{yn}中的有限多個點 2.limyn?A的等價定義是n?? A.對于任意??0及K?0，總存在正整數N，使得當n?N時，yn?A?K? B.對于某個充分小的??0，總存在正整數N，使得當n?N時，yn?A?? C.對于任意正整數N，總存在??0，使得當n?N時，yn?A?? D.對于某個正整數N，總存在??0，使得當n?N時，yn?A?? 3.“對任意給定的??(0,1)，總存在正整數N，當n?N時，恒有xn?a??”是數列?xn?收斂于a的C條件.A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要 ﹡ 二、利用數列極限的定義證明:lim 證明： 對???0，要使1?cosn?0.n??n21?cosn1?cosn2?0????，只需n?.?nnn 1?cosn1?cosn?2????0,取N???，?0.則當n?N時，就有所以lim?0??成立，n??n?n?? 3高等數學(1)標準化作業題參考答案—2班級姓名學號 第三節函數的極限 一、單項選擇題 1.極限limf(x)?A定義中?與?的關系為x?x0 A.先給定?，后唯一確定?B.先給定?后確定?,但?的值不唯一 C.先確定?，后確定?D.?與?無關 2.若函數f(x)在某點x0極限存在，則A.f(x)在點x0的函數值必存在且等于該點極限值 B.f(x)在點x0的函數值必存在,但不一定等于該點極限值 C.f(x)在點x0的函數值可以不存在D.若f(x)在點x0的函數值存在，必等于該點極限值 3.以下結論正確的是C.A.若limf(x)?A?0，則f(x)?0 x?x0 B.若limf(x)?A?0，則必存在??0，使當x?x0??時，有f(x)?0 x?x0 C.若limf(x)?A?0，則必存在??0，使當0?x?x0??時，有f(x)?x?x0A 2D.若在x0的某鄰域內f(x)?g(x)，則limf(x)?limg(x)x?x0x?x0 4.極限limx?0x?x A.1B.?1C.0D.不存在x2?x?6?5.﹡ 二、利用函數極限的定義證明:limx?3x?3 x2?x?6證明： ???0，要使?5?x?3??，只需取???，則當0?x?3??時，x?3 x2?x?6x2?x?6?5.就有?5?x?3??成立,所以limx?3x?3x?3 習題 1.按定義證明下列極限: (1)limx???6x?5=6;(2)lim(x2-6x+10)=2;x?2x x2?5?1;(4)lim?(3)lim2x???x?1x?2 (5)limcos x = cos x0 x?x04?x2=0; 2.根據定義2敘述limf(x)≠ A.x?x0 3.設limf(x)= A.,證明limf(x0+h)= A.x?x0h?0 4.證明:若limf(x)= A,則lim| f(x)| = |A|.當且僅當A為何值時反之也成立? x?x0x?x0 5.證明定理3.1 6.討論下列函數在x0→0 時的極限或左、右極限:(1)f(x)=x x;(2)f(x)= [x] ?2x;x?0.?(3)f(x)=?0;x?0.?1?x2,x?0.? 7.設 limf(x)= A,證明limf(x???x?x01)= A x 8.證明:對黎曼函數R(x)有limR(x)= 0 , x0∈[0,1](當x0=0或1時,考慮單側極限).x?x0 習題 1． 求下列極限： x2?1（1）lim2（sinx－cosx－x）;(2)lim;?x?02x2?x?1x?22 x2?1?x?1???1?3x?; lim(3)lim;(4) x?12x2?x?1x?0x2?2x3 xn?1(5)limm(n,m 為正整數)；（6）lim x?1xx?4?1 （7）lim x?0 ?2x?3x?2 70； a2?x?a?3x?6??8x?5?.（a>0）;(8)lim x???x5x?190 2． 利用斂性求極限：(1)lim x??? x?cosxxsinx ;(2)lim2 x?0xx?4 x?x0 3． 設 limf(x)=A, limg(x)=B.證明： x?x0 （1）lim[f(x)±g(x)]=A±B; x?x0 （2）lim[f(x)g(x)]=AB; x?x0 （3）lim x?x0 f(x)A =(當B≠0時)g(x)B 4． 設 a0xm?a1xm?1???am?1x?am f(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn?1 b0x?b1x???bn?1x?bn 試求 limf(x) x??? 5． 設f(x)>0, limf(x)=A.證明 x?x0 x?x0 lim f(x)=A，其中n≥2為正整數.6.證明limax=1(0 x?0 7.設limf(x)=A, limg(x)=B.x?x0 x?x0 (1)若在某∪(x0)內有f(x)< g(x)，問是否必有A < B ? 為什么？ （2）證明：若A>B,則在某∪(x0)內有f(x)> g(x).8.求下列極限（其中n皆為正整數）：(1)lim ? x?0 x x11 lim;(2);nn?x?0x1?xx1?x x?x2???xn?n (3)lim;(4)lim x?0x?0x?1 ?x?1 x (5)lim x?? ?x?(提示：參照例1) x x?0 x?0 x?0 9．（1）證明：若limf(x3)存在，則limf(x)= lim f(x3)（2）若limf(x2)存在，試問是否成立limf(x)=limf(x2)? x?0 x?0 x?0 習題 1.敘述函數極限limf(x)的歸結原則,并應用它證明limcos x不存在.n??? n??? 2.設f 為定義在[a,+?)上的增(減)函數.證明: lim= f(x)存在的充要條件是f在n??? [a,+?)上有上(下)界.3.(1)敘述極限limf(x)的柯西準則; n??? (2)根據柯西準則敘述limf(x)不存在的充要條件,并應用它證明limsin x不存在.n??? n??? 4.設f在∪0(x0)內有定義.證明:若對任何數列{xn}?∪0(x0)且limxn=x0,極限limf(xn)都 n?? n?? 存在,則所有這極限都相等.提示: 參見定理3.11充分性的證明.5設f為∪0(x0)上的遞減函數.證明:f(x0－0)和f(x0+0)都存在,且f(x0－0)=supf(x),f(x0+0)= 0x?u? ?x0? 0x?un(x0) inff(x) 6.設 D(x)為狄利克雷函數,x0∈R證明limD(x)不存在.x?x0 7.證明:若f為周期函數,且limf(x)=0,則f(x)=0 x??? 8.證明定理3.9 習題 1.求下列極限 sin2xsinx3 (1)lim;(2)lim x?0x?0sinx2x (3)lim x? cosxx? ? tanx?sinxarctanx lim(5)lim;(6);3x?0x?0xx sin2x?sin2a1 (7)limxsin;(8)lim; x???x?axx?a ;(4)lim x?0 tanx ;x ?cosx2 (9)lim;(10)lim x?0x?01?cosxx?1?1 sin4x 2.求下列極限 12?x (1)lim(1?);(2)lim?1?ax?x(a為給定實數); n??x?0x x (3)lim?1?tanx? x?0 cotx ;(4)lim? ?1?x? ?; x?01?x?? (5)lim（x??? 3x?22x?1?);(6)lim(1?)?x(?,?為給定實數) n???3x?1x 3.證明:lim?lim?cosxcoxcos4.利用歸結原則計算下列極限:(1)limnsin n?? ? x?0n?? ?? ? x2 xx???cos?1 2n??22?? ? n ;(2) 習題 1． 證明下列各式 (1)2x－x2=O(x)(x→0);(2)x sinx?O(x)(x→0); + (3)?x?1?o(1)(x→0); (4)(1+x)n= 1+ nx+o(x)(x→0)(n 為正整數)(5)2x3 + x2=O(x3)(x→∞); (6)o(g(x))±o(g(x))=o(g(x))(x→x0) (7)o(g1(x))·0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0)2． 應用定理3.12求下列極限： ?x2?1x(1)lim(2)lim x?01?cosxx??x?cosx x3． 證明定理3.13 4． 求下列函數所表示曲線的漸近線： 13x3?4 (1)y =;(2)y = arctan x;(3)y = 2 xx?2x 5． 試確定a的值，使下列函數與xa當x→0時為同階無窮小量： (1)sin2x－2sinx;(2) －(1－x);1?x (3)?tanx??sinx;(4) x2?4x3 6． 試確定a的值，使下列函數與xa當x→∞時為同階無窮大量： (1) x2?x5;(2)x+x2(2+sinx); (3)(1+x)(1+x2)…(1+xn).7． 證明：若S為無上界數集，則存在一遞增數列{xn}?s，使得xn→+∞(n→∞) 8． 證明：若f為x→r時的無窮大量，而函數g在某U0(r)上滿足g(x)≥K>0，則fg為x→r 時的無窮大量。 9． 設 f(x)~g(x)(x→x0)，證明： f(x)－g(x)= o(f(x))或 f(x)－g(x)= o(g(x)) 總 練習題 1． 求下列極限： ?1 (x?[x])lim([x]?1)(1)lim;(2)?? x?3 x?1 (3)lim（x??? a?xb?x?a?xb?x) xx?a (4)lim x??? (5)lim xx?a x??? (6)lim ?x??x?x??x x?0 (7)lim? n??m,m,n 為正整數 ?n?x?11?xm1?x?? 2． 分別求出滿足下述條件的常數a與b： ?x2?1? (1)lim??ax?b???0 x????x?1?? x(3)limx (2)lim x???x???x?2 ??x?1?ax?b??0 ?x?1?ax?b?0 x?2 3． 試分別舉出符合下列要求的函數f： (1)limf(x)?f(2)；(2)limf(x)不存在。 4． 試給出函數f的例子，使f(x)>0恒成立，而在某一點x0處有limf(x)?0。這同極限的x?x0 局部保號性有矛盾嗎？ 5． 設limf(x)?A，limg(u)?B，在何種條件下能由此推出 x?a g?A limg(f(x))?B? x?a 6． 設f(x)=x cos x。試作數列 (1){xn} 使得 xn→∞(n→∞), f(xn)→0(n→∞);(2){yn} 使得 yn→∞(n→∞), f(yn)→0(n→∞);(3){zn} 使得 zn→∞(n→∞), f(zn)→0(n→∞).7． 證明：若數列{an}滿足下列條件之一，則{an}是無窮大數列： (1)liman?r?1 n?? (2)lim an?1 ?s?1(an≠0,n=1,2,…) n??an n2 n2 8． 利用上題（1）的結論求極限： (1)lim?1? ?n?? ?1??1??(2)lim?1?? n??n??n? 9． 設liman???，證明 n?? (1)lim (a1?a2???an)??? n??n n?? (2)若an > 0(n=1,2,…),則lima1a2?an??? 10.利用上題結果求極限： (1)limn!(2)lim n?? In(n!) n??n 11.設f為U-0(x0)內的遞增函數。證明：若存在數列{xn}?U-0(x0)且xn→x0(n→∞)，使得 limf(xn)?A，則有 n?? f(x0－0)= supf(x)?A 0x?U?(x0) 12.設函數f在(0,+∞)上滿足方程f(2x)=f(x)，且limf(x)?A。證明：f(x)?A，x∈(0,+∞) x??? 13.設函數f在(0,+∞)此上滿足方程f(x2)= f(x)，且 f(x)=limf(x)?f(1)lim? x?0 x??? 證明：f(x)?f(1)，x∈(0,+∞) 14.設函數f定義在(a,+∞)上，f在每一個有限區間內(a,b)有界，并滿足 x??? lim(f(x?1)?f(1))?A證明 x??? lim f(x) ?A x 《數學分析》教案 第三章 函數極限 xbl 第三章 函數極限 教學目的： 1.使學生牢固地建立起函數極限的一般概念，掌握函數極限的基本性質； 2.理解并運用海涅定理與柯西準則判定某些函數極限的存在性； 3.掌握兩個重要極限 和，并能熟練運用； 4.理解無窮小（大）量及其階的概念，會利用它們求某些函數的極限。教學重（難）點： 本章的重點是函數極限的概念、性質及其計算；難點是海涅定理與柯西準則的應用。 教學時數：16學時 § 1 函數極限概念（3學時） 教學目的：使學生建立起函數極限的準確概念；會用函數極限的定義證明函數極限等有關命題。 教學要求：使學生逐步建立起函數極限的???定義的清晰概念。會應用函數極限的???定義證明函數的有關命題，并能運用???語言正確表述函數不以某實數為極限等相應陳述。 教學重點：函數極限的概念。 教學難點：函數極限的???定義及其應用。 一、復習：數列極限的概念、性質等 二、講授新課： （一）時函數的極限： 《數學分析》教案 第三章 函數極限 xbl 例4 驗證 例5 驗證 例6 驗證 證 由 = 為使 需有 需有 為使 于是, 倘限制 , 就有 例7 驗證 例8 驗證(類似有 （三）單側極限: 1．定義：單側極限的定義及記法.幾何意義: 介紹半鄰域 《數學分析》教案 第三章 函數極限 xbl 我們引進了六種極限:.以下以極限，為例討論性質.均給出證明或簡證.二、講授新課： （一）函數極限的性質: 以下性質均以定理形式給出.1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保號性: 4.單調性(不等式性質): Th 4 若使，證 設 和都有 = (現證對 都存在, 且存在點 的空心鄰域)，有 註: 若在Th 4的條件中, 改“ 就有 5.6.以 迫斂性: ”為“ 舉例說明.”, 未必 四則運算性質:(只證“+”和“ ”) （二）利用極限性質求極限： 已證明過以下幾個極限： 《數學分析》教案 第三章 函數極限 xbl 例8 例9 例10 已知 求和 補充題:已知 求和（）§ 3 函數極限存在的條件（4學時） 教學目的：理解并運用海涅定理與柯西準則判定某些函數極限的存在性。教學要求：掌握海涅定理與柯西準則，領會其實質以及證明的基本思路。教學重點：海涅定理及柯西準則。教學難點：海涅定理及柯西準則 運用。 教學方法：講授為主，輔以練習加深理解，掌握運用。本節介紹函數極限存在的兩個充要條件.仍以極限 為例.一.Heine歸并原則——函數極限與數列極限的關系： Th 1 設函數在,對任何在點 且的某空心鄰域 內有定義.則極限都存在且相等.(證) 存Heine歸并原則反映了離散性與連續性變量之間的關系,是證明極限不存在的有力工具.對單側極限,還可加強為 單調趨于 .參閱[1]P70.例1 證明函數極限的雙逼原理.7 《數學分析》教案 第三章 函數極限 xbl 教學難點：兩個重要極限的證明及運用。 教學方法：講授定理的證明，舉例說明應用，練習。一． （證）（同理有） 例1 例2.例3 例4 例5 證明極限 不存在.二.證 對 有 例6 特別當 等.例7 例8 《數學分析》教案 第三章 函數極限 xbl 三． 等價無窮小： Th 2(等價關系的傳遞性).等價無窮小在極限計算中的應用: Th 3(等價無窮小替換法則) 幾組常用等價無窮小:（見[2]） 例3 時, 無窮小 與 是否等價? 例4 四.無窮大量: 1.定義: 2.性質: 性質1 同號無窮大的和是無窮大.性質2 無窮大與無窮大的積是無窮大.性質3 與無界量的關系.無窮大的階、等價關系以及應用, 可仿無窮小討論, 有平行的結果.3.無窮小與無窮大的關系: 無窮大的倒數是無窮小,非零無窮小的倒數是無窮大 習題 課（2學時） 一、理論概述： 《數學分析》教案 第三章 函數極限 xbl 例7.求 .注意 時, 且 .先求 由Heine歸并原則 即求得所求極限 .例8 求是否存在.和.并說明極限 解; 可見極限 不存在.--32第二篇：數列極限和函數極限（最終版）
第三篇：D1.2-1.3數列的極限函數的極限
第四篇：函數極限
第五篇：函數極限
點擊咨詢 