第一篇：中考 數學證明題輔助線經典做法訓練

新智慧輔導中心吳老師：***

初中數學培優訓練題

補形法的應用

班級________姓名__________分數_______

一些幾何題的證明或求解，由原圖形分析探究，有時顯得十分繁難，若通過適當的“補形”來進行，即添置適當的輔助線，將原圖形填補成一個完整的、特殊的、簡單的新圖形，則能使原問題的本質得到充分的顯示，通過對新圖形的分析，使原問題順利獲解。這種方法，我們稱之為補形法，它能培養思維能力和解題技巧。我們學過的三角形、特殊四邊形、圓等都可以作為“補形”的對象。現就常見的添補的圖形舉例如下，以供參考。

一、補成三角形

1.補成三角形

例1.如圖1，已知E為梯形ABCD的腰CD的中點；

證明：△ABE的面積等于梯形ABCD面積的一半。

分析：過一頂點和一腰中點作直線，交底的延長線于一點，構造等面積的三角形。這也是梯形中常用的輔助線添法之一。

略證：

2.補成等腰三角形

例2 如圖2.已知∠A＝90°，AB＝AC，∠1＝∠2，CE⊥BD，求證：BD＝2CE

分析：因為角是軸對稱圖形，角平分線是對稱軸，故根據對稱性作出輔助

線，不難發現CF＝2CE，再證BD＝CF即可。

略證：

3.補成直角三角形

例3.如圖3，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＋∠C＝90°，F、G分別

是AD、BC的中點，若BC＝18，AD＝8，求FG的長。

分析：從∠B、∠C互余，考慮將它們變為直角三角形的角，故延長BA、CD，要求FG，需求PF、PG。

略解：

圖

34.補成等邊三角形

例4.圖4，△ABC是等邊三角形，延長BC至D，延長BA至E，使AE＝BD，連結CE、ED。證明：EC＝ED

分析：要證明EC＝ED，通常要證∠ECD＝∠EDC，但難以實現。這樣可采

用補形法即延長BD到F，使BF＝BE，連結EF。

略證：

二、補成特殊的四邊形

1.補成平行四邊形

例5.如圖5，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、CD、AC、BD的中點，并且E、F、G、H不在同一條直線上，求證：EF和GH互相平分。

分析：因為平行四邊形的對角線互相平分，故要證結論，需考慮四邊

形GEHF是平行四邊形。

略證：

2.補成矩形

例6.如圖6，四邊形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AB＝200m，CD＝100m，求AD、BC的長。

分析：矩形具有許多特殊的性質，巧妙地構造矩形，可使問題轉化為解直角三角

形，于是一些四邊形中較難的計算題不難獲解。

略解：

圖6

3.補成菱形

例7.如圖7，凸五邊形ABCDE中，∠A=∠B＝120°，EA＝AB＝BC＝2，CD＝

DE＝4，求其面積

分析：延長EA、CB交于P，根據題意易證四邊形PCDE為菱形。

略解：

4.補成正方形

例8.如圖8，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAC＝45°，BD＝3，DC＝2。

求△ABC的面積。

分析：本題要想從已知條件直接求出此三角形的面積確實有些困難，如果

從題設∠BAC＝45°，AD⊥BC出發，可以捕捉到利用軸對稱性質構造一個正方

形的信息，那么問題立即可以獲解。

略解：

5.補成梯形

例9．如圖9，已知： G是△ABC中BC邊上的中線的中點，L是△ABC外的一條直線，自A、B、圖8

圖7

C、G向L作垂線，垂足分別為A1、B1、C1、G1。求證：GG1＝4(2AA1＋BB

1＋CC1)。

分析：本題從已知條件可知，中點多、垂線多特點，聯想到構造直角梯形

來加以解決比較恰當，故過D作DD1⊥L于D1，則DD1既是梯形BB1C1C的中

位線，又是梯形DD1A1A的一條底邊，因而，可想到運用梯形中位線定理突破，使要證的結論明顯地顯示出來，從而使問題快速獲證。

略證：

圖9

第二篇：中考數學2013年24題證明題及輔助線作法

2013年中考數學培優訓練題

一些幾何題的證明或求解，由原圖形分析探究，有時顯得十分繁難，若通過適當的“補形”來進行，即添置適當的輔助線，將原圖形填補成一個完整的、特殊的、簡單的新圖形，則能使原問題的本質得到充分的顯示，通過對新圖形的分析，使原問題順利獲解。這種方法，我們稱之為補形法，它能培養思維能力和解題技巧。我們學過的三角形、特殊四邊形、圓等都可以作為“補形”的對象。現就常見的添補的圖形舉例如下，以供參考。

一、補成三角形

1.補成三角形

例1.如圖1，已知E為梯形ABCD的腰CD的中點；

證明：△ABE的面積等于梯形ABCD面積的一半。

2.補成等腰三角形

例2 如圖2.已知∠A＝90°，AB＝AC，∠1＝∠2，CE⊥BD，求證：BD＝2CE

3.補成直角三角形

例3.如圖3，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＋∠C＝90°，F、G分別是AD、BC的中點，若BC＝18，AD＝8，求FG的長。

4.補成等邊三角形

例4.圖4，△ABC是等邊三角形，延長BC至D，延長BA至E，使AE＝BD，連

結CE、ED。證明：EC=ED

二、補成特殊的四邊形

1.補成平行四邊形

例5.如圖5，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、CD、AC、BD的中點，并且E、F、G、H不在同一條直線上，求證：EF和GH互相平分。

圖

32.補成矩形

例6.如圖6，四邊形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AB＝200m，CD＝100m，求AD、BC的長。

3.補成菱形

例7.如圖7，凸五邊形ABCDE中，∠A=∠B＝120°，EA＝AB＝BC＝2，CD＝DE＝4，求其面積

4.補成正方形

例8.如圖8，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAC＝45°，BD＝3，DC＝2。

求△ABC的面積。

5.補成梯形

例9．如圖9，已知： G是△ABC中BC邊上的中線的中點，L是△ABC外的一條直線，自A、B、圖8

圖7

圖6

C、G向L作垂線，垂足分別為A1、B1、C1、G1。求證：GG1＝4(2AA1＋BB1＋CC1)。

圖9

第三篇：輔助線幾何證明題

輔助線的幾何證明題

三角形輔助線做法

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現。

角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。

線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短可試驗。

三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。

常見的輔助線做法

1、遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質解題，思維模式是全等變換中的“對折”。

2、遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉”。

3、遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理。

4、過圖形上某一點作特定的平分線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”。

5、截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。

6、特殊方法：在求有關三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答。

一、倍長中線（線段）造全等

（一）例題講解

例

1、（“希望杯”試題）已知，如圖?ABC中，AB?5，AC?3，求中線AD的取值范圍。分析：本題的關鍵是如何把AB，AC，AD三條線段轉化到同一個三角形當中。解:延長AD到E，使DE?DA，連接BE

又∵BD?CD，?BDE??CDA

∴?BDE??CDA?SAS?，BE?AC?3

∵AB?BE?AE?AB?BE(三角形三邊關系定理)

即2?2AD?8

∴1?AD?4

經驗總結：見中線，延長加倍。

E B D C A

第四篇：中考數學證明題

中考數學證明題

O是已知線段AB上的一點，以OB為半徑的圓O交AB于點C，以線段AO為直徑的半圓圓o于點D，過點B作AB的垂線與AD的延長線交于點E

(1)說明AE切圓o于點D

(2)當點o位于線段AB何處時，△ODC恰好是等邊三角形〉?說明理由

答案：一題：顯然三角形DOE是等邊三角形：

理由：

首先能確定O為圓心

然后在三角形OBD中：BO=OD，再因角B為60度，所以三角形OBD為等邊三角形;

同理證明三角形OCE為等邊三角形

從而得到：角BOD=角EOC=60度，推出角DOE=60度

再因為OD=OE，三角形DOE為等腰三角形，結合上面角DOE=60度，得出結論：

三角形DOE為等邊三角形

第三題沒作思考，有事了，改天再解

二題：

要證明三角形ODE為等邊三角形，其實還是要證明角DOE=60度，因為我們知道三角形ODE是等腰三角形。

此時，不妨設角ABC=X度，角ACB=Y度，不難發現，X+Y=120度。

此時我們要明確三個等腰三角形：ODE;BOD;OCE

此時在我們在三角形BOD中，由于角OBD=角ODB=X度

從而得出角BOD=180-2X

同理在三角形OCE中得出角EOC=180-2Y

則角BOD+角EOC=180-2X+180-2Y，整理得：360-2(X+Y)

把X+Y=120代入，得120度。

由于角EOC+角BOD=120度，所以角DOE就為60度。

外加三角形DOE本身為等腰三角形，所以三角形DOE為等邊三角形!

圖片發不上來，看參考資料里的1如圖，AB⊥BC于B，EF⊥AC于G，DF⊥AC于D，BC=DF。求證：AC=EF。

2已知AC平分角BAD，CE垂直AB于E，CF垂直AD于F，且BC=CD

(1)求證：△BCE全等△DCF

3.如圖所示，過三角形ABC的頂點A分別作兩底角角B和角C的平分線的垂線，AD垂直于BD于D，AE垂直于CE于E，求證：ED||BC.4.已知，如圖，pB、pC分別是△ABC的外角平分線，且相交于點p。

求證：點p在∠A的平分線上。

回答人的補充2010-07-1900:101.在三角形ABC中,角ABC為60度,AD、CE分別平分角BAC角ACB,試猜想,AC、AE、CD有怎么樣的數量關系

2.把等邊三角形每邊三等分,經其向外長出一個邊長為原來三分之一的小等邊三角形,稱為一次生長,如生長三次,得到的多邊形面積是原三角形面積的幾倍

求證：同一三角形的重心、垂心、三條邊的中垂線的交點三點共線。(這條線叫歐拉線)求證：同一三角形的三邊的中點、三垂線的垂足、各頂點到垂心的線段的中點這9點共圓。~~(這個圓叫九點圓)

3.證明：對于任意三角形，一定存在兩邊a、b，滿足a比b大于等于1，小于2分之根5加

14.已知△ABC的三條高交于垂心O，其中AB=a，AC=b,∠BAC=α。請用只含a、b、α三個字母的式子表示AO的長(三個字母不一定全部用完，但一定不能用其它字母)。

5.設所求直線為y=kx+b(k,b為常數.k不等于0).則其必過x-y+2=0與x+2y-1=0的交點(-1,1).所以b=k+1,即所求直線為y=kx+k+1(1)過直線x-y+2=0與Y軸的交點(0,2)且垂直于x-y+2=0的直線為y=-x+2(2).直線(2)與直線(1)的交點為A,直線(2)與直線x+2y-1=0的交點為B,則AB的中點為(0,2),由線段中點公式可求k.6.在三角形ABC中,角ABC=60,點p是三角ABC內的一點,使得角ApB=角BpC=角CpA,且pA=8pC=6則pB=2p是矩形ABCD內一點，pA=3pB=4pC=5則pD=3三角形ABC是等腰直角三角形，角C=90O是三角形內一點，O點到三角形各邊的距離都等于1，將三角形ABC饒點O順時針旋轉45度得三角形A1B1C1兩三角形的公共部分為多邊形KLMNpQ，1)證明：三角形AKL三角形BMN三角形CpQ都是等腰直角三角形2)求三角形ABC與三角形A1B1C1公共部分的面積。

已知三角形ABC,a,b,c分別為三邊.求證:三角形三邊的平方和大于等于16倍的根號3(即:a2+b2+c2大于等于16倍的根號3)

初一幾何單元練習題

一.選擇題

1.如果α和β是同旁內角，且α=55°，則β等于()

(A)55°(B)125°(C)55°或125°(D)無法確定

2.如圖19-2-(2)

AB‖CD若∠2是∠1的2倍，則∠2等于()

(A)60°(B)90°(C)120°(D)150

3.如圖19-2-(3)

∠1+∠2=180°，∠3=110°，則∠4度數()

(A)等于∠1(B)110°

(C)70°(D)不能確定

4.如圖19-2-(3)

∠1+∠2=180°，∠3=110°，則∠1的度數是()

(A)70°(B)110°

(C)180°-∠2(D)以上都不對

5.如圖19-2(5)，已知∠1=∠2，若要使∠3=∠4，則需()

(A)∠1=∠2(B)∠2=∠

3(C)∠1=∠4(D)AB‖CD

6.如圖19-2-(6)，AB‖CD，∠1=∠B，∠2=∠D，則∠BED為()

(A)銳角(B)直角

(C)鈍角(D)無法確定

7.若兩個角的一邊在同一條直線上，另一邊相互平行，那么這兩個角的關系是()

(A)相等(B)互補(C)相等且互補(D)相等或互補

8.如圖19-2-(8)AB‖CD，∠α=()

(A)50°(B)80°(C)85°

答案：1.D2.C3.C4.C5.D6.B7.D8.B

初一幾何第二學期期末試題

1.兩個角的和與這兩角的差互補，則這兩個角()

A.一個是銳角，一個是鈍角B.都是鈍角

C.都是直角D.必有一個直角

2.如果∠1和∠2是鄰補角，且∠1>∠2，那么∠2的余角是()

3.下列說法正確的是()

A.一條直線的垂線有且只有一條

B.過射線端點與射線垂直的直線只有一條

C.如果兩個角互為補角，那么這兩個角一定是鄰補角

D.過直線外和直線上的兩個已知點，做已知直線的垂線

4.在同一平面內，兩條不重合直線的位置關系可能有()

A.平行或相交B.垂直或平行

C.垂直或相交D.平行、垂直或相交

5.不相鄰的兩個直角，如果它們有一條公共邊，那么另一邊互相()

A.平行B.垂直

C.在同一條直線上D.或平行、或垂直、或在同一條直線上

答案：1.D2.C3.B4.A5.A回答人的補充2010-07-1900:211.如圖所示，一只老鼠沿著長方形逃跑，一只花貓同時從A點朝另一個方向沿著長方形去捕捉，結果在距B點30cm的C點處捉住了老鼠。已知老鼠與貓的速度之比為11：14，求長方形的周長。設周長為X.則A到B的距離為X/2;X/2-30:X/2+30=11:14X=500cm如圖，梯形ABCD中，AD平行BC，∠A=2∠C，AD=10cm，BC=25cm，求AB的長解：過點A作AB‖DE。∵AB‖DE，AD‖BC∴四邊形ADEB是平信四邊形∴AB=DE，AD=BE∵∠DEB是三角形DEC的外角∴∠DEB=∠CDE+∠C∵四邊形ADEB是平信四邊形∴∠A=∠DEB又∵∠A=2∠C，∠DEB=∠CDE+∠C∴∠CDE+∠C∴DE=CE∵AD=10，BC=25，AD=BE∴CE=15=DE=AB如圖：等腰三角形ABCD中，AD平行BC，BD⊥DC，且∠1=∠2，梯形的周長為30CM，求AB、BC的長。因為等腰梯形ABCD，所以角ABC=角C，AB=CD，AD//BC所以角ADB=角2，又角1=角2，所以角1=角2=角ADB，而角ABC=角C=角1+角2且角2=角ADB所以角ADB+角C=90度，所以有角1+角2+角ADB=90度所以角2=30度因此BC=2CD=2AB所以周長為5AB=30所以AB=6，BC=12回答人的補充2010-07-0311:25如圖：正方形ABCD的邊長為4，G、F分別在DC、CB邊上，DG=GC=2，CF=1.求證：∠1=∠2(要兩種解法提示一種思路：連接并延長FG交AD的延長線于K)

1.連接并延長FG交AD的延長線于K∠KGD=∠FGC∠GDK=∠GCFBG=CG△CGF≌△DGKGF=GKAB=4BF=3AF=5AB=4+1=5AB=AFAG=AG△AGF≌△AGK∠1=∠

22.延長AC交BC延長線與E∠ADG=∠ECG∠AGD=∠EGCDG=GC△ADG≌△EGF∠1=∠EAD=CEAF=5EF=1+4=5∠2=∠E所以∠1=∠2如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，BE平行DF，分別交AC于E、F連接ED、BF求證∠1=∠2

答案：證三角形BFE全等三角形DEF。因為FE=EF，角BEF=90度=角DFE，DF=BE(全等三角形的對應高相等)。所以三角形BFE全等三角形DEF。所以∠1等于∠2(全等三角形對應角相等)

就給這么多吧~~N累~！回答人的補充2010-07-1900:341已知ΔABC，AD是BC邊上的中線。E在AB邊上，ED平分∠ADB。F在AC邊上，FD平分∠ADC。求證：BE+CF>EF。

2已知ΔABC，BD是AC邊上的高，CE是AB邊上的高。F在BD上，BF=AC。G在CE延長線上，CG=AB。求證：AG=AF，AG⊥AF。

3已知ΔABC，AD是BC邊上的高，AD=BD，CE是AB邊上的高。AD交CE于H，連接BH。求證：BH=AC，BH⊥AC。

4已知ΔABC，AD是BC邊上的中線，AB=2，AC=4，求AD的取值范圍。

5已知ΔABC，AB>AC，AD是角平分線，p是AD上任意一點。求證：AB-AC>pB-pC。

6已知ΔABC，AB>AC，AE是外角平分線，p是AE上任意一點。求證：pB+pC>AB+AC。

7已知ΔABC，AB>AC，AD是角平分線。求證：BD>DC。

8已知ΔABD是直角三角形，AB=AD。ΔACE是直角三角形，AC=AE。連接CD，BE。求證：CD=BE，CD⊥BE。

9已知ΔABC，D是AB中點，E是AC中點，連接DE。求證：DE‖BC，2DE=BC。

10已知ΔABC是直角三角形，AB=AC。過A作直線AN，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E。求證：DE=BD-CE。

等形2

1已知四邊形ABCD，AB=BC，AB⊥BC，DC⊥BC。E在BC邊上，BE=CD。AE交BD于F。求證：AE⊥BD。

2已知ΔABC，AB>AC，BD是AC邊上的中線，CE⊥BD于E，AF⊥BD延長線于F。求證：BE+BF=2BD。

3已知四邊形ABCD，AB‖CD，E在BC上，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，若AB=2，CD=3，求AD。

4已知ΔABC是直角三角形，AC=BC，BE是角平分線，AF⊥BE延長線于F。求證：BE=2AF。

5已知ΔABC，∠ACB=90°，AD是角平分線，CE是AB邊上的高，CE交AD于F，FG‖AB交BC于G。求證：CD=BG。

6已知ΔABC，∠ACB=90°，AD是角平分線，CE是AB邊上的高，CE交AD于F，FG‖BC交AB于G。求證：AC=AG。

7已知四邊形ABCD，AB‖CD，∠D=2∠B，若AD=m，DC=n，求AB。

8已知ΔABC，AC=BC，CD是角平分線，M為CD上一點，AM交BC于E，BM交AC于F。求證：ΔCME≌ΔCMF，AE=BF。

9已知ΔABC，AC=2AB，∠A=2∠C，求證：AB⊥BC。

10已知ΔABC，∠B=60°。AD，CE是角平分線，求證：AE+CD=AC

全等形4

1已知ΔABC是直角三角形，AB=AC，ΔADE是直角三角形，AD=AE，連接CD，BE，M是BE中點，求證：AM⊥CD。

2已知ΔABC，AD，BE是高，AD交BE于H，且BH=AC，求∠ABC。

3已知∠AOB，p為角平分線上一點，pC⊥OA于C，∠OAp+∠OBp=180°，求證：AO+BO=2CO。

4已知ΔABC是直角三角形，AB=AC，M是AC中點，AD⊥BM于D，延長AD交BC于E，連接EM，求證：∠AMB=∠EMC。

5已知ΔABC，AD是角平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求證：AD⊥EF。

6已知ΔABC，∠B=90°，AD是角平分線，DE⊥AC于E，F在AB上，BF=CE，求證：DF=DC。

7已知ΔABC，∠A與∠C的外角平分線交于p，連接pB，求證：pB平分∠B。

8已知ΔABC，到三邊AB，BC，CA的距離相等的點有幾個?

9已知四邊形ABCD，AD‖BC，AD⊥DC，E為CD中點，連接AE，AE平分∠BAD，求證：AD+BC=AB。

10已知ΔABC，AD是角平分線，BE⊥AD于E，過E作AC的平行線，交AB于F，求證：∠FBE=∠FEB。

第五篇：數學常見輔助線做法與小結

幾何最難的地方就是輔助線的添加了，但是對于添加輔助線，還是有規律可循的，下面可小編給大家整理了一些常見的添加輔助線的方法，掌握了對你一定有幫助！

三角形中常見輔助線的添加

1.與角平分線有關的（1）可向兩邊作垂線。

（2）可作平行線，構造等腰三角形

（3）在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形

2.與線段長度相關的（1）截長：證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時，經常在較長的線段上截取一段，使得它和其中的一條相等，再利用全等或相似證明余下的等于另一條線段即可

（2）補短：證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時，也可以在較短的線段上延長一段，使得延長的部分等于另外一條較短的線段，再利用全等或相似證明延長后的線段等于那一條長線段即可

（3）倍長中線：題目中如果出現了三角形的中線，方法是將中線延長一倍，再將端點連結，便可得到全等三角形。

（4）遇到中點，考慮中位線或等腰等邊中的三線合一。3.與等腰等邊三角形相關的（1）考慮三線合一

（2）旋轉一定的度數，構造全都三角形，等腰一般旋轉頂角的度數，等邊旋轉60 °

四邊形中常見輔助線的添加

特殊四邊形主要包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解決一些和四邊形有關的問題時往往需 要添加輔助線。下面介紹一些輔助線的添加方法。1.和平行四邊形有關的輔助線作法

平行四邊形是最常見的特殊四邊形之一，它有許多可以利用性質，為了利用這些性質往往需要添加輔助線構造平行四邊形。（1）利用一組對邊平行且相等構造平行四邊形

（2）利用兩組對邊平行構造平行四邊形（3）利用對角線互相平分構造平行四邊形

2.與矩形有輔助線作法

（1）計算型題，一般通過作輔助線構造直角三角形借助勾股定理解決問題（2）證明或探索題，一般連結矩形的對角線借助對角線相等這一性質解決問題.和矩形有關的試題的輔助線的作法較少.3.和菱形有關的輔助線的作法

和菱形有關的輔助線的作法主要是連接菱形的對角線，借助菱形的判定定理或性質定定理解決問題.（1）作菱形的高

（2）連結菱形的對角線

4.與正方形有關輔助線的作法

正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，有關正方形的試題較多.解決正 方形的問題有時需要作輔助線，作正方形對角線是解決正方形問題的常用輔助線

圓中常見輔助線的添加

1.遇到弦時（解決有關弦的問題時）

常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結過弦的端點的半徑。

作用： ①

利用垂徑定理

②

利用圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關系

③

利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據勾股定理求有關量 2.遇到有直徑時，常常添加（畫）直徑所對的圓周角

作用：利用圓周角的性質得到直角或直角三角形

3.遇到90度的圓周角時，常常連結兩條弦沒有公共點的另一端點 作用：利用圓周角的性質，可得到直徑

4.遇到弦時，常常連結圓心和弦的兩個端點，構成等腰三角形，還可連結圓周上一點和弦的兩個端點

作用： ①可得等腰三角形

②據圓周角的性質可得相等的圓周角

5.遇到有切線時，常常添加過切點的半徑（連結圓心和切點）

作用：利用切線的性質定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形

常常添加連結圓上一點和切點

作用：可構成弦切角，從而利用弦切角定理。

6.遇到證明某一直線是圓的切線時

（1）若直線和圓的公共點還未確定，則常過圓心作直線的垂線段。

作用：若OA=r，則l為切線

（2）若直線過圓上的某一點，則連結這點和圓心（即作半徑）作用：只需證OA⊥l，則l為切線

（3）有遇到圓上或圓外一點作圓的切線 7.遇到兩相交切線時（切線長）

常常連結切點和圓心、連結圓心和圓外的一點、連結兩切點

作用：據切線長及其它性質，可得到

①

角、線段的等量關系

②

垂直關系

③

全等、相似三角形

8.遇到三角形的內切圓時

連結內心到各三角形頂點，或過內心作三角形各邊的垂線段

作用：利用內心的性質，可得

① 內心到三角形三個頂點的連線是三角形的角平分線 ② 內心到三角形三條邊的距離相等

9.遇到三角形的外接圓時，連結外心和各頂點

作用：外心到三角形各頂點的距離相等

10.遇到兩圓外離時（解決有關兩圓的外、內公切線的問題）

常常作出過切點的半徑、連心線、平移公切線，或平移連心線

作用： ①利用切線的性質；

②利用解直角三角形的有關知識

11.遇到兩圓相交時

常常作公共弦、兩圓連心線、連結交點和圓心等

作用： ①

利用連心線的性質、解直角三角形有關知識

②

利用圓內接四邊形的性質

③

利用兩圓公共的圓周的性質

④ 垂徑定理

12．遇到兩圓相切時 常常作連心線、公切線

作用： ①

利用連心線性質

②

切線性質等

13.遇到三個圓兩兩外切時

常常作每兩個圓的連心線

作用：可利用連心線性質

14.遇到四邊形對角互補或兩個三角形同底并在底的同向且有相等“頂角”時

常常添加輔助圓

作用：以便利用圓的性質