第一篇：05-06-1線代(B類)及答案

線 性 代 數(B)試 卷----A卷

一、單項選擇題（每題3分，共15分）

?2，?，?s(s?2)線性無關，?2，?，?s線性表示，1.向量組?1，且可由向量組?1，則以下結論中不能成立的是

?2，?，?s線性無關；(A)向量組?1，?2，?，?s線性相關；(B)對任一個?j(0?j?s)，向量組?j，?2，?，?s線性無關；(C)存在一個?j(0?j?s)，向量組?j，?2，?，?s與向量組?1，?2，?，?s等價。(D)向量組?1，?a

?

2.設三階矩陣A??b

?b?

bab

b??

b?，已知伴隨矩陣A?的秩為1，則必有a??

(A)a?b且a?2b?0；(B)a?b且a?2b?0；(C)a＝b或a?2b?0；(D)a?b或a?2b?0。3.設?是n維非零實列向量,矩陣A?E???T,n?3，則___________

(A)A至少有n－1個特征值為1；(B)A只有1個特征值為1；

(C)A恰有n?1個特征值為1；(D)A沒有1個特征值為1。4.設A,B為n階方陣，且r(A)?r(B)，則______________

(A)r(A?B)?0；(B)r(A?B)?2r(A)；(C)r(A，B)?2r(A)；(D)r(A，B)?r(A)?r(B)。5.設A為m?n實矩陣，r(A)?n，則

(A)ATA 必合同于n階單位矩陣；(B)AAT 必等價于m階單位矩陣；

(C)ATA 必相似于n階單位矩陣；(D)AAT 是m階單位矩陣。

二、填空題（每題3分，共15分）

1．已知A，B為n階方陣，???1不是B的特征值，且AB?A?B?E，則A?1?

(A卷)

2.若三階方陣A有特征值 1,1,2，則行列式A?1?2A??。3．已知實二次型f(x1,x2,x3)?x12?4x22?2x32?2ax1x2?2x2x3正定,則常數a的取值范圍為________________。

?2，?，?n是A的列向量組，行列式|A|?0，其伴隨 4.已知A為n階方陣，?1，矩陣A??0，則齊次線性方程組A?x?0的通解為。5.設A為n階實矩陣，且AT?A?1，|A|?0，則行列式 |A?E|?。

三、計算題(每題9分,共54分)

?x1?x2?2x3?0

?

1．線性方程組為 ?2x1?x2?ax3?1，問a,b各取何值時，線性方程組無解，?3x?2x?4x?b

23?1

有唯一解，有無窮多解？在有無窮多解時求出其通解。

2．設3階方陣A，B，C滿足方程 C(2A?B)?A，試求矩陣A，其中

?1

?B??0

?0?

210

OB

3??1??2?，C??0

?01???

AO

?210

4?

?

?2?。1??

|B|3．計算行列式|A|，其中

n?x??1

??n??0??，B???

??n??0

??n??0

02?00

?????

00?n?10

0?

?0??? ?0??n?

?1??1A???

??1?

?1?x

22?2?x2

?????

n?1(n?1)?x

?n?1n?1

4.已知實二次型 f(x1,x2,x3)=2x1x2?2x2x3?2x3x1，求正交變換x?Qy, 化f(x1,x2,x3)為標準形，并寫出正交變換x?Qy

TT

1，0),?2?(?1，0，1),是 5.已知A為三階實對稱矩陣，秩r(A)?2,?1?(0，A

對應特征值?1??2?3的特征向量，試求：

（1）A的另一個特征值?3及其特征向量?3；（2）矩陣A，矩陣An。

6.設R3的兩個基?1

?1?????1?，??0???

?2?????1?，??1???

?2??1???????2?；?1??0?，??2??0?????

?1??1?

??????1?，?3??1??0??1?????

（1）求由基 ?1,?2,?3到?1,?2,?3的過渡矩陣P；

（2）已知向量???1??2??3，求向量?在基 ?1,?2,?3 下的坐標；(3)求在基?1,?2,?3和?1,?2,?3下有相同坐標的所有向量。

四、證明題(每題8分,共16分)

1．設A為m?n矩陣，證明：存在n?s非零矩陣B，使AB?O的充分必要

條件為秩r(A)?n。

2.設A，B是n階實矩陣,A的特征值互異。證明:矩陣AB?BA的充分必要條件為A的特征向量都是B的特征向量。

線性代數（B）（05－06－1）期末試卷（A）參考答案

一、選擇題

1.(B)2.(B)3.(C)4.(D)5.(A)

二、填空題

1.(B?E)(B?E)?1；2.n?1

1252

；3.|a|?

7/2；

4.?k?

i

i?1

ji

?2，?，?，?ji，i?1，2，?，n－1是?1，n的極大線性無關組；

5.|A?E|?0

三、計算題

?1

?A?1.?2

?3?

112

2a4

0??1??1???0

?0b???

24?a2?a

0?

??1? b?1??

當a?2時，方程組有唯一解

當a?2，b?1時，方程組無解

當a?2，b?1時，r(A)?r(A)＝2 < 3，方程組有無窮多組解,其通解為

??(1,?1,0)T?k(0,?2,1)T，k為任意常數。

2.(2C?E)A?CB，A?(2C?E)?1(CB)

?1?

A??0

?0?

?410

8???4?1??

?1

?1

??0?0?

010

3??1??0???0

?1???0

410

11?

?4?1??

n(n?1)

3.|A|?(?1)

OB

AO

（n(n?1)

n(n?1)

?x)x

n?1，|B|?n!，?(?1)

?n

（n(n?1)2

?x)n!x

n?1。

?0

?

4.f的矩陣A??1

?1?

10?1

1??

?1?，有特征值 ?1??2?1,?3??20??

A對應的線性無關的特征向量與單位正交特征向量

?1??1??1???1??1???1?

???????????111?

?2??0?，?1??1??1?，?3??1?；?2? ?3??1?，??1?，?1?

2??6?3??1??0??1???02???????????1??111

x?y?y?y3

12?1

263?

111?

y1?y2?y3于是正交變換x?Qy即?x2?263?

21?

x3?y2?y3?63?

化二次型為標準形f?y12?y22?2y32。

5．（1）因為r(A)?2,|A|?0，所以?3?0；設A??0?，由?與?1，?2正交，得 ?＝k(1,0,1)T（2）設P?(?1,?2,?3)，則

?3

?A?P?0

?0?

030

0??3??11?0?P??0

2??0???3

060

?3?

?0?3??

An

?3n

??P?0

??0

03

n

?3n0?

?1??1

0?P??0

2??n

0???3

02?30

n

n

?3?

?0?n?3?。

6.(1)設 A?(?1,?2,?3),B?(?1,?2,?3),(?1,?2,?3)?(?1,?2,?3)P

?0?

P?A?1B??1

??1/2?

0??

0?1/2??

(2)???1??2?3?3，坐標 x?(1,1,3)T（3）設??(?1,?2,?3)x?(?1,?2,?3)x

?0?

則((?1,?2,?3)?(?1,?2,?3))x??1

?0?

1??

1?x?0 1??

解得x?(1,1,?1)T，故???1??2??3?k(1,0,?1)T。

四、證明題

2，?s都是線性方程組Ax?0的解。故（?1，?2，?，?s）1．設B?，則?j,j?1，AB?O?

方程組Ax?0有非零解?r(A)?n。

2．必要性： 設A????，則當B??0時，由A(B?)?B(A?)??(B?)，知?,B?都是A對應特征值?的特征向量，?是A的一重特征值，?,B?線性相關。因此，存在常數?，使B????，?是B的對應特征值?的特征向量。

當B??0時，?是對應B的特征值??0的特征向量。故A的特征向量都是B的特征向量。

充分性：A的特征值互異，相似于對角陣，即存在可逆陣P?(?1,?2,?,?n)，??1

?A?P使?

??

???1

?P。?n??

?

??1

?P。?n??

?

??1

?

A的特征向量都是B的特征向量，故B?P?

??

?

因為

??1?

AB?P?

????1?1?

BA?P?

?

???1??1??PP?

??n???

?

???1?1

??1?P?P??

??n???

?

?

??1

?P，?n?n??

?

?

??1

?P，??

所以AB?BA。

??n?n?

第二篇：線代知識點總結

《線性代數》復習知識點和考題分析

一． 行列式的計算

1.方陣的行列式；2.如何判斷行列式是否等于0

二． 矩陣及其運算

1.判斷方陣是否可逆，并會求逆矩陣；2.解矩陣方程或求矩陣中的參數；3.求矩陣的 n次冪；4.初等矩陣與初等變換的關系的判定；5.矩陣關系的判定 三． 向量組

1.向量組線性相關性的判定或證明；2.根據向量的線性相關性判斷空間位置關

系或逆問題；3向量由向量組線性表示；4.向量組的秩和極大無關組 四． 方程組的解

1.一般方程組求解問題；2.向量組的線性表示、線性相關、線性無關問題；3.與方程組有關的問題

五． 特征值及對角化

1.求矩陣的特征值或特征向量；2.已知含參數矩陣的特征向量或特征值或特征

方程的情況，求參數；3.已知矩陣的特征值或特征向量，求矩陣、其他矩陣的特征值等問題；4.將矩陣對角化或判斷矩陣是否可對角化；5.矩陣相似的判定或證明或求一個矩陣的相似矩陣

六． 二次型

1.化實二次型為標準二次型或求相應的正交變換；2.已知一含參數的二次型化

為標準形的正交變換，反求參數或正交矩陣；3.已知二次型的秩，求二次型中的參數和二次型所對應矩陣的表達式；4.矩陣關系合同的判定或證明；5.矩陣正定的證明

第三篇：線代試題庫知識點

題型
A 行列式

章

知識點
a 行列式的性質(K)b 余子式、代數余子式與展開法則(K)c 低階數字行列式的計算(K)d Cramer 法則(K)e 高階行列式的計算(J)a 矩陣的基本運算(包括向量的線性運算)(K)b 矩陣運算的性質(包括雜題)(X)c 抽象矩陣的行列式(K)d 數字矩陣的逆(K)e 可逆性、正交性等問題的判斷與證明(K, X, Z)f 矩陣的秩與矩陣的等價(X, K, Z)g 解矩陣方程(包括行最簡形)(J)h 初等方陣與初等變換的關系(X)a 向量組的線性相關性(K, X, Z)b 向量組的秩與最大無關組(X, J)c 線性表示與向量組的等價(X, Z, J)d 過渡矩陣與向量的坐標(K)a 線性方程組解的性質與通解結構(X, K)b 線性方程組解的判別定理(X)c 齊次線性方程組的基礎解系(X, K)d 不帶參數的線性方程組的解(J)e 帶參數的線性方程組的解(J)f 兩個線性方程組的公共解(J)g 線性方程組的幾何意義(X)a 特征值、特征向量的定義與基本性質(包括對稱陣)(X)b 特征值與矩陣的關系、各種運算下特征值間的關系(K)c 抽象矩陣的特征值與特征向量(K)d 矩陣的相似與合同(X)e 矩陣的相似對角化(J)f 對稱矩陣的正交相似對角化(正交變換法化二次型為標準形)(J)g 由矩陣的特征值及特征向量反求矩陣(J)a 二次型及其矩陣(K)b 二次型的秩(K)c 二次型的標準形與規范形(K)d 二次型的正定性(K, Z)

K 填空題

B 矩陣的運算 與矩陣的秩

X 選擇題

C 向量組

D 線性方程組

J 計算題

E 特征值與特征向量 矩陣的相似對角化

Z 證明題

F 二次型

注：綠色部分表示暫未激活

第四篇：線代復習要點

線性代數期末復習要點

1.行列式及矩陣運算(乘法、轉置、伴隨)的基本性質；

2.可逆矩陣(含初等矩陣)的性質及其逆矩陣的求法；

3.矩陣的秩及其分塊的性質與計算；

4.向量組的線性關系和向量組的秩；

5.一般線性方程組的求解(含判定定理及結構定理)；

6.向量空間的內積的性質及其標準正交基的求法(施密特正交化方法)；

7.正交矩陣的性質；

8.方陣的特征值與特征向量的性質及其求法；

9.矩陣的相似與對角化問題；

10.矩陣的合同與對角形問題；

11.實對稱矩陣(實二次型)的標準形的求法(配方法、合同變換法、正交變換法)；

12.正定矩陣(正定二次型)的性質及判定.-----戴躍進

第五篇：考研數學線代

考研數學常見的十種題型列出如下：

一、運用洛必達法則和等價無窮小量求極限問題，直接求極限或給出一個分段函數討論基連續性及間斷點問題。

二、運用導數求最值、極值或證明不等式。

三、微積分中值定理的運用，證明一個關于“存在一個點，使得……成立”的命題或者證明不等式。

四、重積分的計算，包括二重積分和三重積分的計算及其應用。

五、曲線積分和曲面積分的計算。

六、冪級數問題，計算冪級數的和函數，將一個已知函數用間接法展開為冪級數。

七、常微分方程問題?？煞蛛x變量方程、一階線性微分方程、伯努利方程等的通解、特解及冪級數解法。

八、解線性方程組，求線性方程組的待定常數等。

九、矩陣的相似對角化，求矩陣的特征值，特征向量，相似矩陣等。

十、概率論與數理統計。求概率分布或隨機變量的分布密度及一些數字特征，參數的點估計和區間估計。

此外還需提醒考生，到考前一周，考研數學，這個時候就只能在考場上看看題型，總結失利原因了。若因晚上熬夜影響考試是最得不償失的事情，而在考前一周能預防的就是此事的發生了。即使開了夜車而在考場也沒有睡著，但頭腦不清楚，對數學的考試依然是非常不利的，因為數學計算與證明思路最需要清醒和快速的反應。

對于考數學的考生來說，數學的150分是很重要的，下面是一些考研數學的常識，希望對大家有幫助。

2015考研數學常識：卷種及考試內容

考研數學從卷種上來看分為數學

一、數學

二、數學三;從考試內容上來看，涵蓋了高等數學、線性代數、概率論與數理統計;試卷結構上來看，設有三種題型：選擇題(8道共32分)、填空題(6道共24分)、解答題(9道共94分)，其中數一與數三在題目類型的分布上是一致的，1-

4、9-

12、15-19屬于高等數學的題目，5-6、13、20-21屬于線性代數的題目，7-8、14、22-23屬于概率論與數理統計的題目;而數學二不同，1-

6、9-

13、15-21均是高等數學的題目，7-8、14、22-23為線性代數的題目。

一、科目考試區別： 1.線性代數

數學一、二、三均考察線性代數這門學科，而且所占比例均為22%，從歷年的考試大綱來看，數一、二、三對線性代數部分的考察區別不是很大，唯一不同的是數一的大綱中多了向量空間部分的知識，不過通過研究近五年的考試真題，我們發現對數一獨有知識點的考察只在09、10年的試卷中出現過，其余年份考查的均是大綱中共同要求的知識點，而且從近兩年的真題來看，數

一、數

二、數三中線性代數部分的試題是一樣的，沒再出現變化的題目，那么也就是說從以往的經驗來看，2015年的考研數學中數

一、數

二、數三線性代數部分的題目也不會有太大的差別!2.概率論與數理統計

數學二不考察，數學一與數學三均占22%，從歷年的考試大綱來看，數一比數三多了區間估計與假設檢驗部分的知識，但是對于數一與數三的大綱中均出現的知識在考試要求上也還是有區別的，比如數一要求了解泊松定理的結論和應用條件，但是數三就要求掌握泊松定理的結論和應用條件，廣大的考研學子們都知道大綱中的“了解”與“掌握”是兩個不同的概念，因此，建議廣大考生在復習概率這門學科的時候一定要對照歷年的考試大綱，不要做無用功!3.高等數學

數學一、二、三均考察，而且所占比重最大，數一、三的試卷中所占比例為56%，數二所占比例78%。由于考察的內容比較多，故我們只從大的方向上對數一、二、三做簡單的區別。以同濟六版教材為例，數一考察的范圍是最廣的，基本涵蓋整個教材(除課本上標有*號的內容);數二不考察向量代數與空間解析幾何、三重積分、曲線積分、曲面積分以及無窮級數;數三不考察向量空間與解析幾何、三重積分、曲線積分、曲面積分以及所有與物理相關的應用。

二、試卷考試內容區別 1.數學一

高等數學：同濟六版高等數學中除了第七章微分方程考帶*號的歐拉方程，伯努利方程外，其余帶*號的都不考；所有“近似”的問題都不考；第四章不定積分不考積分表的使用；第九章第五節不考方程組的情形；第十二章第五節不考歐拉公式； 線性代數：數學一用的教材是同濟五版線性代數1-5章：行列式、矩陣及其運算、矩陣的初等變換及其方程組、向量組的線性相關性、相似矩陣及二次型。其中向量組的線性相關性中數一考向量空間，線性方程組跟空間解析幾何結合數一也要考；

概率與數理統計：

1、概率論的基本概念

2、隨機變量及其分布

3、多維隨機變量及其分布

4、隨機變量的數字特征

5、大數定律及中心極限定理

6、樣本及抽樣分布

7、參數估計

8、假設檢驗 2.數學二

高等數學：同濟六版高等數學中除了第七章微分方程考帶*號的伯努利方程外，其余帶*號的都不考；所有“近似”的問題都不考；第四章不定積分不考積分表的使用；不考第八章空間解析幾何與向量代數；第九章第五節不考方程組的情形；到第十章二重積分、重積分的應用為止，后面不考了。

線性代數：數學二用的教材是同濟五版線性代數，1-5章：行列式、矩陣及其運算、矩陣的初等變換及其方程組、向量組的線性相關性、相似矩陣及二次型。概率與數理統計：不考。3.數學三

高等數學：同濟六版高等數學中所有帶*號的都不考；所有“近似”的問題都不考；第三章微分中值定理與導數的應用不考曲率；第四章不定積分不考積分表的使用；不考第六章定積分在物理學上的應用以及曲線的弧長。第七章微分方程不考可降階的高階微分方程，另外補充差分方程。不考第八章空間解析幾何與向量代數。第九章第五節不考方程組的情形，第十章二重積分為止，第十二章的級數中不考傅里葉級數；

線性代數：數學一用的參考教材是同濟五版線性代數，1-5章：行列式、矩陣及其運算、矩陣的初等變換及其方程組、向量組的線性相關性、相似矩陣及二次型。數三不考向量組的線性相關性中的向量空間，線性方程組跟空間解析幾何結合的問題；

概率與數理統計的內容包括：

1、概率論的基本概念

2、隨機變量及其分布

3、多維隨機變量及其分布

4、隨機變量的數字特征

5、大數定律及中心極限定理

6、樣本及抽樣分布

7、參數估計，其中數三的同學不考參數估計中的區間估計。

廣大的考研學子們，考研數學要想取得高分并不難，但是想要考得滿分也不容易，在這里老師提醒大家，在考研數學復習的初期一定要有一個考研數學考試大綱，14、13、12年的都可以，因為考研數學的大綱這么多年來壓根就沒變過，唯一變化的是將克萊姆法則改成了克萊默法則。建議大家認真研讀考試大綱要求，弄明白自己考試什么不考什么，做到有的放矢!最后，預祝2015的考生復習順利!最后，滬江考研祝全體考生取得好成績。

2015考研數學線代沖刺注意歷年考點

考研數學沖刺階段，把真題吃透，通過對歷年真題題型、機構、安排，可以熟悉各位出題老師的出題意向、重點，融匯貫通對于后期大幅提高復習效果明顯。下面為同學們總結了歷年真題中線性代數各章節易考點，可以幫助大家在復習中查漏補缺。

第一章行列式，這一塊唯一的重點是行列式的計算，主要有數值型和抽象型兩類行列式的計算，06、08、10、12年的真題中均有抽象行列式的計算問題，而且均是以填空題的形式出現的，個別的還出現在了大題的第一問中。

第二章矩陣，重點在矩陣的秩、逆、伴隨、初等變換以及初等矩陣、分塊矩陣。這一章概念和運算較多，考點也較多，而且考點以填空和選擇為主，當然也會結合其他章節的知識考大題。06、09、11、12年均考了一個小題是有關初等變換與矩陣乘法之間的關系，10年考了一個小題關于矩陣的秩，08年考了一道抽象矩陣求逆的問題。

第三章向量，可以分為三個重點，第一個是向量組的線性表示，第二個是向量組的線性相關性，第三個是向量組的秩及極大線性無關組。這一章無論是大題還是小題都特別容易出考題，06年以來每年都有一道考題，不是向量組的線性表示就是向量組的線性相關性的判斷，10年還考了一道向量組秩的問題。

第四章線性方程組，有三個重點。第一個是線性方程組解的判定問題，第二個是解的性質問題，第三個是解的結構問題。06年以來只有11年沒有出大題，其他幾年的考題均是含參方程的求解或者是解的判定問題。

第五章矩陣的特征值與特征向量，也是分三個重點。第一個是特征值與特征向量的定義、性質以及求法。第二個為矩陣的相似對角化問題，第三是實對稱矩陣的性質以及正交相似對角化的問題。實對稱矩陣的性質與正交相似對角化問題可以說每年必考，12年、11年、10年09年都考了。

第六章二次型有兩個重點。第一個是化二次型為標準形，同學們必須掌握兩種方法，第一個是配方法，第二個是正交變換法。第二個重點是正定二次型的判定。11年考的一個小題，用通過正交變換法將二次型化為標準形，12年、11年、10年均以大題的形式出現，但主要用的是正交變換化二次型為標準形。