第一篇：平行線證明題目的總結

平行線證明題目的總結：

1、在證明平行線的題目中，證明的依據是平行線的判定定理（內錯角，同位角，同旁內角互補等）運用此方

法是直接找出角度關系，注意內錯角、同位角、同旁內角不要找錯就可以了）例

1、如圖，已知：∠1=∠2，∠1=∠B，求證：AB∥EF，DE∥BC（直接利用平行線判定定理求證）

2、還有一個很重要的方法就是一條直線同時和兩條直線都平行，那么這兩條直線也平行。在圖形中如果出現

了二條以上的類似平行線的時候通常要借助于這一判定方法。

例2：如圖，已知：∠DAF=∠AFE，∠ADC+∠DCB=180°，求證：EF∥BC3、在直接利用內錯角相等、同位角相等及同旁內角互補的方法中，一定要注意角與角之間的等量代換。大多

數的題目不會直接告訴同位角、內錯角相等、及同旁內角互補的，而是讓同學們從中發現間接的關系根據等理代換的方式進行求解。

例

3、如圖，已知：∠1+∠2=180°，求證：AB∥CD.例

4、如圖，已知：∠2=∠3，∠1+∠3=180°，求證：EF∥GH.BF

C

D

F

B

C

A

C

2D

E G F

A

B

C

H

D

例

5、如圖，已知：AB∥CD，AE∥BD，試說明∠ABD=∠E.E

D

C

例

6、如圖，已知：AC∥DE，∠1=∠2，試說明AB∥CD.例

7、如圖，已知：AB∥CD，∠A=70°∠DHE=70°,求證：AM∥EF

B

C

E

M

E

A

C

F

B D

（補充說明：在證明平行的過程中，注意圖形的識別，如5、6題目中兩對平行線在圖中的位置不容易看出，一定要提高自己的識圖能力）

4、在證明角相等的過程中，等量代換是常用的方法，比較單一的題目就是利用已知平行線的性質得到角相等，如內錯角同位角相等，另外一種等量代換就是巧妙利用角平分線的性質。例

7、如圖，已知：∠1=∠2，BD平分∠ABC，試說明AD∥BC.5、在證明角有關的證明題時，除了運用平行線決定的角的關系外，還要巧妙利用一些

AD

B

C

輔助線的作用，把一個角巧妙轉換成二個角的關系，這樣就把一個角分解為二個角，再找到相對應的平行線被第三條直線所截的所對應角對應關系。

例8．已知：如圖5，AB∥CD，求證：∠B+∠D=∠BED。

例

9、已知：如圖6，AB∥CD，求證：∠BED=360°-（∠B+∠D）

例

10、如圖7，AB∥CD，求證：∠BED=∠D-∠B。

6、有關求角的大小的題目：求角大小的題目大多數是利用角的等量代換，要充分利用題目中給出的與角有關的條件，如平行線，垂線等

例

11、、如圖13，已知OA⊥OC，OB⊥OD，∠3=26°，求∠

1、∠2的度數。

例

12、如圖14，已知AB∥ED，∠CAB=135°∠ACD=80°，求∠CDE的度數。

例

13、已知：如圖15，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E =∠3。求證：AD平分∠BAC。

7.在平行線與相交線的題目中，垂線段的有關題目也是必考內容，一般是和點到直線的距離結合一起去考察的，所以此類題目一定要掌握的。易錯題目：

1、從直線外一點到這條直線的 ____，叫做點到直線的距離．

2、已知，如圖，直線AB、CD相交于O，OE平分∠BOD且∠AOE=150°，你能求出∠AOC的度數嗎？

3、如圖，直線AB、CD相交于點O，OE⊥AB于點O，OF平分∠AOE，∠1=15°30，則下列結論中不正確的是（）.A.∠2=45°B.∠1=∠

3C.∠AOD與∠1互為補角D.∠1的余角等于75°30′

4、已知，如圖，直線AB、CD互相垂直，垂足為O，直線EF過點O，∠DOF＝32°，你能求出∠AOE的度數嗎？

5、如圖3，直線AB與CD相交于點F，EF⊥CD，則∠AFE與∠DFB之間的關系是_______.6、平行直線AB和CD與相交直線EF、GH相交，圖中的同旁內角共有（）對.A.4對B.8對C.12對D.16對

7、如圖1，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=50°，BD∥AC，則∠CBD的度數是°.8、已知：如圖2，直線AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于點E、F，∠BEF的平分線與∠DFE 的平分線相交于點

P．你能說明∠P=90°嗎？

9、如圖3，已知AB∥CD，∠C=75°，∠A=25°，則∠E的度數為.10、如圖1，如果∠B＝∠1=∠2＝50°，那么∠D＝.11、如圖2，直線l1、l2分別與直線l3、l4相交，∠1與∠3互余，∠3的余角與∠2互補，∠4＝125°，則∠3＝.二元一次方程組題目：

1、有關二元一次方程組的基本題目如二元一次方程定義的考察及解法代入消元或者加減消元配合使用，這類

題目一定要掌握，在此不在多述，對于一些考察定義及其有關解法的相關題目靈活運用進行簡單講解

(2x?3y?5)?x?y?2?0，則x＝，y＝。

如：

1、若

2、已知a3、若?

?a?1?2，那么a?a2?1的值是。

?x?1是關于、y的方程

xax?by?1的一個解，且a?b??3，則5a?2b＝。

?y??

27x4、如果3a5、已知?

by?7和?7a2?4yb2x是同類項，則x、y的值是

?x??3是方程組?ax?cy?1的解，則、間的關系是（）

ab?

?cx?by?2?y??

2?3x?y?1?3a的解滿足

x?y＞0，則a的取值范圍是（）

?x?3y?1?a

?bx?1的值為6，那么當x??2時這個式子的值為（）

A、4b?9a?1B、3a?2b?1C、4b?9a??1D、9a?4b?1

6、若方程組?

A、a＜－1B、a＜1C、a＞－1D、a＞1

7、當x?2時，代數式ax

3A、6B、－4C、5D、12、在解決此類題目時，要結合一元一次方程組的解決題目的有關經驗，再根據方程的性質，找出題目中所列舉的有關等量關聯立方程組，解決問題。

經常出現的題目類型利潤題目、配套問題、銀行利息題目、工作分配問題、工作進程問題、追及問題等

例

1、一個兩位數，比它十位上的數與個位上的數的和大9；如果交換十位上的數與個位上的數，所得兩位數比原兩位數大27，求這個兩位數．

例2一件商品如果按定價打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，問此商品的定價是多少？

例3 某廠共有120名生產工人，每個工人每天可生產螺栓25個或螺母20個，如果一個螺栓與兩個螺母配成一套，那么每天安排多名工人生產螺栓，多少名工人生產螺母，才能使每天生產出來的產品配成最多套？

例4 在某條高速公路上依次排列著A、B、C三個加油站，A到B的距離為120千米，B到C的距離也是120千米．分別在A、C兩個加油站實施搶劫的兩個犯罪團伙作案后同時以相同的速度駕車沿高速公路逃離現場，正在B站待命的兩輛巡邏車接到指揮中心的命令后立即以相同的速度分別往A、C兩個加油站駛去，結果往B站駛來的團伙在1小時后就被其中一輛迎面而上的巡邏車堵截住，而另一團伙經過3小時后才被另一輛巡邏車追趕上．問巡邏車和犯罪團伙的車的速度各是多少？

例5 某船的載重量為300噸，容積為1200立方米，現有甲、乙兩種貨物要運，其中甲種貨物每噸體積為6立方米，乙種貨物每噸的體積為2立方米，要充分利用這艘船的載重和容積，甲、乙兩重貨物應各裝多少噸？

例6 某服裝廠接到生產一種工作服的訂貨任務，要求在規定期限內完成，按照這個服裝廠原來的生產能力，每天可生產這種服裝150套，按這樣的生產進度在客戶要求的期限內只能完成訂貨的；現在工廠改進了人員

5組織結構和生產流程，每天可生產這種工作服200套，這樣不僅比規定時間少用1天，而且比訂貨量多生產25套，求訂做的工作服是幾套？要求的期限是幾天？

為滿足市民對優質教育的需求，某中學決定改變辦學條件，計劃拆除一部分舊校舍，建造新校舍，拆除舊校舍每平方米需80元，建新校舍每平方米需700元.計劃在年內拆除舊校舍與建造新校舍共7200平方米，在實施中為擴大綠地面積，新建校舍只完成了計劃的80%，而拆除舊校舍則超過了計劃的10%，結果恰好完成了原計劃的拆、建總面積.（1）求：原計劃拆、建面積各是多少平方米？

（2）若綠化1平方米需200元，那么在實際完成的拆、建工程中節余的資金用來綠化大約是多少平方米？ 答案：（1）原計劃拆、建面積各是4800平方米、2400平方米；（2）可綠化面積為1488平方米.

第二篇：平行線的證明

平行線的證明：命題：判斷一個事情的句子。

命題一般由條件和結論組成。通常可以寫成如果…那么…的形式。如果引出的是條件那么引出的是結論。

正確的為真命題不正確的為假命題

要證明一個命題是假命題通常要舉一個例子，使它具備問題得條件不具備問題得結論，我們稱這樣的例子為反例。

經過證明的真命題為定理

平行線的判定：兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么兩條直線平行。

（內錯角相等，兩直線平行）

兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么

兩條直線平行。

（同位角相等，兩直線平行）

兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么兩條直線平行。

（同旁內角互補，兩直線平行）

平行線的性質：兩直線平行同位角相等

兩直線平行內錯角相等

兩直線平行同旁內角互補

平行線及其判定練習題

一、選擇題:

1.如圖1所示,下列條件中,能判斷AB∥CD的是()

A.∠BAD=∠BCDB.∠1=∠2;C.∠3=∠4D.∠BAC=∠ACD

A

D

AE

DA

E

C

(1)(2)(3)2.如圖2所示,如果∠D=∠EFC,那么()

A.AD∥BCB.EF∥BCC.AB∥DCD.AD∥EF3.如圖3所示,能判斷AB∥CE的條件是()

A.∠A=∠ACEB.∠A=∠ECDC.∠B=∠BCAD.∠B=∠ACE4.下列說法錯誤的是()

A.同位角不一定相等B.內錯角都相等

C.同旁內角可能相等D.同旁內角互補,兩直線平行

5.不相鄰的兩個直角,如果它們有一邊在同一直線上,那么另一邊相互()A.平行B.垂直C.平行或垂直D.平行或垂直或相交

二、填空題:

1.在同一平面內,直線a,b相交于P,若a∥c,則b與c的位置關系是______.2.在同一平面內,若直線a,b,c滿足a⊥b,a⊥c,則b與c的位置關系是______.CD3.如圖所示,BE是AB的延長線,量得∠CBE=∠A=∠C.(1)由∠CBE=∠A可以判斷______∥______,根據是(2)由∠CBE=∠C可以判斷______∥______,根據是

三、訓練平臺:(每小題15分,共30分)

1.如圖所示,已知∠1=∠2,AB平分∠DAB,試說明DC∥AB.A

2.如圖所示,已知直線EF和AB,CD分別相交于K,H,且EG⊥AB,∠CHF=600,∠E=?30°,試說明AB∥CD.E

AC

四、提高訓練:

K

H

BD

如圖所示,已知直線a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3+∠4=180°,則a與c平行嗎??為什么?

de

abc

五、探索發現:

如圖所示,請寫出能夠得到直線AB∥CD的所有直接條件.24AC

B

657D

六、中考題與競賽題:

(2000.江蘇)如圖所示,直線a,b被直線c所截,現給出下列四個條件:?①∠1=∠5;②∠1=∠7;③∠2+∠3=180°;④∠4=∠7.其中能說明a∥b的條件序號為()

A.①②B.①③C.①④D.③④

c

41a

57b

第三篇：平行線的證明

優毅教育2014年3月22日春季數學同步提高課導學案設計人：杜老師學生：

第八章平行線的有關證明

一、知識點歸納

（一）關于命題、定理及公理

1.對名稱和術語的含義加以描述，作出明確的規定，也就是給出它們的。

2.判斷一件事情的句子，叫做。3.每個命題都由和兩部分組成。4.正確的命題稱為，不正確的命題稱為。想要判定一個命題是假命題只需要,而要說明一個命題是真命題則需.（二）平行線的性質及判定

判定：（1）（公理）（2）（3）性質：（1）（公理）（2）（3）

1.如圖1，已知直線a，b與直線c相交，下列條件中不能判定直線a與直線b平行的是（）

A.∠2＋∠3＝180°B.∠1＋∠5＝180°

C.∠4＝∠7D.∠1＝∠8

5.公認的真命題稱為公理（所有公理）6.推理的過程稱為。7.經過證明的真命題稱為。

8．由一個公理或定理直接推出的定理，叫做這個公理或定理的同步練習：

1.把命題“對頂角相等”改寫成“如果??那么??”形式為。2.請給出命題：“如果兩個數的積是正數，那么這兩個數一定都是正數”是（真命題或假命題），理由：______________________________________。3.下列語句不是命題的是（）

A.2008年奧運會的舉辦城是北京B.如果一個三角形三邊a，b，c滿足a＝b＋c，則這個三角形是直角三角形C.同角的補角相等D.過點P作直線l的垂線4.下列命題是真命題的是（）

ca3 25b

7圖1圖23.如圖2，用兩個相同的三角板按照如圖方式作平行線，能解釋其中道理的定理是（）

A同位角相等兩直線平行 B.同旁內角互補，兩直線平行 C內錯角相等兩直線平行D平行于同一條直線的兩直線平行4.已知，如右圖AB∥CD，若∠ABE = 130°,∠CDE = 152,則∠BED =__________.AFB

E5、如下圖，平行直線AB和CD與相交直線EF、GH相交，圖中的同旁內角共有（）對.6、如下圖1，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=50°，BD∥AC，則∠CBD的度是.A.?a一定是負數B.a?0

C.平行于同一條直線的兩條直線平行

D.有一角為80°的等腰三角形的另兩個角都為50° 5．舉例說明“兩個銳角的和是銳角”是假命題.第5題圖

中考（平行線）

1．（山東濟寧）在一次夏令營活動中，小霞同學從營地A點出發，要到距離A點1000m的C地去，先沿北偏東70?方向到達B地，然后再沿北偏西20?方向走了500m到達目的地C,此時小霞在營地A的A.北偏東20?方向上B.北偏東30?方向上C.北偏東40?方向上D.北偏西30?方向上 5．（湖南郴州）下列圖形中，由AB?CD，能得到?1??2的是（）

6．（2010湖北襄樊）如圖1，已知直線AB//CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150°，則∠C的度數為（）A．150° B．130° C．120° D．100°

圖1．

2．（山東威海）如圖，在△ABC中，∠C＝90°．若BD∥AE，7.（甘肅）如圖，AB∥CD，EF?AB于E，EF

交CD 于F，已知?1?60°，則?2?（）∠DBC＝20°，則∠CAE的度數是 A．30°B．20°C．25°D．35° A．40°

B．60°D C．70°D．80°E A

B A E3．（山東聊城）如圖，l∥m，∠1＝115o，∠2＝95o，則

∠3＝（）8．如圖1，直線a∥b，C與a、b均相交，則?

＝（）

A．120oB．130oC．140oD．150o

4．（山東省德州）如圖，直線AB∥CD，∠A＝70?，∠C＝40?，則∠E等于

第2題圖

C9．（荷澤）如圖，直線PQ∥MN，C是MN上一點，CE交

PQ于A，CF交PQ于B，且∠ECF＝90°，如果∠FBQ＝50°，則∠ECM的度數為

A．60° B．50° C．40° D．30°

M

Q N

（Ａ）30°（Ｂ）40°（C）60°（Ｄ）70°

C 5題圖

10．（新疆維吾爾）如圖，小明課間把老師的三角板的直角頂點放在黑板的兩條平行線a、b上，已知∠1=55°，則∠2的度數為（）

A.45°B.35°C.55°D.125°

11．（2010貴州遵義）如圖，梯子的各條橫檔互相平行，若∠1=80°，則∠2的度數是 A．80°B．100°C．110°D．120 °

15．（福建三明）如圖，已知∠C=100°，若增加一個條件，使得AB//CD，試寫出符合要求的一個條件：。

（三）三角形的內角和外角的定理

1.三角形內角和定理：。2.三角形一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和。

12．（2010廣東肇慶）如圖1，AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E，則∠C等于（）

B．25°

D．40°

3.三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。

1、（2011?昭通）將一副直角三角板如圖所示放置，使含30°

角的三角板的一條直角邊和含45°角的三角板的一條直角邊重合，則∠1的度數為（）

13．（2010山東日照）如圖，C島在A島的北偏東50o方向，C島在B島的北偏西40方向，則從C島看A，B兩島的視角∠ACB等于．

o

A、45°B、60°

C、75°D、85°

2、（2011?臺灣）如圖中有四條互相不平行的直線L1、L2、L3、L4所截出的七個角．關于這七個角的度數關系，下列何者正確（）

14．（2010山東煙臺）將兩張矩形紙片如圖所示擺放，使其中一張矩形紙片的一個頂點恰好落在另一張矩形紙片的一條邊上，則∠1+∠2=_____________。

A、∠2=∠4+∠7B、∠3=∠1+∠6C、∠1+∠4+∠6=180°D、∠2+∠3+∠5=360°

3、（2011?臺灣）若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，則∠B的外角度數為何（）

4、（2011?臺灣）若鈍角三角形ABC中，∠A=27°，則下列何者不可能是∠B的度數？（）A、37B、57C、77D、975、直角三角形中兩銳角平分線所交成的角的度數是（）

6、（2009?荊門）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，將其折疊，使點A落在邊CB上A′處，折痕為CD，則∠A′DB=（）

2.如圖所示，?XOY=90°，點A、B分別在射線OX，OY上移動，BE是?ABY的平分線，BE的反向延長線與?OAB的平分線相交于點C，試問?ACB的大小是否變化，如果保持不變，請給出證明，如果隨點A、B的移動變化，請給出變化范圍。

7、關于三角形的內角，下列判斷不正確的是（）

A、至少有兩個銳角B、最多有一個直角

C、必有一個角大于60°D、至少有一個角不小于60°

8、如圖，BE、CF都是△ABC的角平分線，且∠BDC=110°，則∠A=（）

3.一件商品如果按定價打九折出售可以盈利20%；如果打八

9如圖，將等邊三角形ABC剪去一個角后，則∠1+∠2的大

小為（）

折出售可以盈利10元，問此商品的定價是多少？

4.一個兩位數，比它十位上的數與個位上的數的和大9；如果交換十位上的數與個位上的數，所得兩位數比原兩位數大27，求這個兩位數．

10、若一個三角形的兩個內角的平分線所成的鈍角為145°，則這個三角形的形狀為（）

解答題

1.已知：如圖15，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E =∠3。求證：AD平分∠BAC。

第四篇：平行線證明難題

第二章平行線的性質和判定拔高訓練

1．(1)如圖1所示，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點D，C分別落在D，C的位置．若∠EFB=65°，則?AED等于__________．

(2)如圖2所示，AD∥EF，EF∥BC，且EG∥AC．那么圖中與∠1相等的角(不包括∠1)的個數是__________．

(3)如圖3所示，AB∥CD，直線AB，CD與直線l相交于點E，F，EG平分∠AEF，FH平分∠EFD，則GE與FH的位置關系為__________．

''

'

2．如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，且其中一個角比另一個角的4倍少30°，那么這兩個角分別是（）A．30°和150°

B．42°和138°

C．都等于10°

D．42°和138°或都等于10°

3．如圖所示，點E在CA延長線上，DE、AB交于點F，且∠BDE=∠AEF，∠B=∠C，∠EFA比∠FDC的余角小10°，P為線段DC上一動點，Q為PC上一點，且滿足∠FQP=∠QFP，FM為∠EFP的平分線．則下列結論：①AB∥CD，②FQ平分∠AFP，③∠B＋∠E=140°，④∠QEM的角度為定值．其中正確的結論有（）個數 A．1

B．2

C．3

D．4

4．如圖所示，AB∥EF，EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B＋∠BED＋∠D=192°，∠B－∠D=24°，則∠GEF=__________．

5．已知：如圖所示，AD⊥BC于點D，EG⊥BC于點G，∠E＝∠3．求證：AD平分∠BAC． 6．如圖所示，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，試說明：AD∥BE．

7．如圖所示，已知∠DBF=∠CAF，CE⊥FE．垂足為E，∠BDA＋∠ECA=180°，求證：DA⊥EF

8．已知，如圖所示，∠1＋∠2=180°，∠1＋∠EFD=180°，∠3=∠B，試判斷∠AED與∠C的關系，并證明你的結論．

9．已知，如圖所示，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA．求證：EF平分∠BED．

10．如圖所示，在△ABC中，CE⊥AB于點E，DF⊥AB于點F，AC∥ED，CE是△ACB的角平分線．求證：∠EDF=∠BDF．

11．如圖，AB∥CD，∠ABF=∠DCE，求證∠BFE=∠FEC

第五篇：平行線證明基礎訓練

例

1、已知，如圖，EF//BC,?A??D,?AOB?70，?1??C?150,求?B的度數．

解：

?EF?BC,?A??D(已知)

?AB?CD（內錯角相等，兩直線平行）

?

?COE??1?180（兩直線平行，同旁內角互補）

?

??AOB??COE?70（對頂角相等）

???

??1?180?70?110（等式的性質）

?

??1??C?150（已知）

???

??C?150-110?40（等式的性質）

??

??C??B（兩直線平行，內錯角相等）

?

??B?40（等量代換）

例

2、已知：如圖，AC//BD,?A??D，求證：?E??F.證明：

?AC?BD(已知)

??

??ABD??BAC?180，?BOC??ACD?180（兩直線平行，同旁內角互補）?1??（兩直線平行，內錯角相等）2??A??O（已知）

??ABD??ACD（等式的性質）

?

??1??A??E?180

?

?2??D??F?180（三角形內角和定理）

??E??F（等式的性質）

練習：

1、如右圖,AB //CD ,AD // BE ,試說明∠ABE=∠D.∵ AB∥CD(已知)

∴ ∠ABE=___________(兩直線平行,內錯角相等)∵ AD∥BE(已知)

∴ ∠D=_________()∴∠ABE=∠D(等量代換)

2、已知：如圖，AB∥CD，EF為直線，∠1=67°，∠2=23°，求證：EF⊥CD．證明：因為AB∥CD（），所以∠1=∠3=67°（）．又因為∠2=23°（），所以∠2+∠3=90°

故EF⊥CD（垂直的定義）．

3、已知：如圖，AB∥CD，∠1=∠2，求證：EF∥CD．證明：因為AB∥CD（），所以∠A=∠）．又因為∠1=∠A（），所以∠1=∠FCD（）．

故EF∥CD（）．

E

A

B

2C

3DF

.cn

E

O

F

D

.cn

A

例

1、如圖，（1）根據同位角相等，兩直線平行，若要EF∥AC，只要∠=∠，或者∠=∠；

（2）根據內錯角相等，兩直線平行，由∠4=∠，可得 EF∥；由∠4=∠，可得ED∥；

（3）根據同旁內角互補，兩直線平行，由∠4+∠=1800，可得EF∥； 由∠4+∠=1800，可得ED∥；

? 例

2、如圖所示，由下列條件?，?，?，可以判定那兩條直線平行，BEDB???180A??AODACB??F

并說明判定的依據。

解：?（）?A??AOD

?//（）?（）?ACB??F

?//（）?（）?ACB??F

?//（）

?

（）??BED??B?180

AD

?//（）例

3、如圖,已知:∠1=∠2,∠A=760,求∠ABC的度數.解:∵∠1=∠

2()

AD∥

BC()∠ABC=1800－∠A()∵∠A=76()

∠ABC=_______－______=_______度.例

3、如圖,已知:AB∥CD.說明∠2=∠B－∠D的理由.解:過點E畫EF∥CD.∵ AB∥

CD()

AB∥

EF()∠BEF=∠B,∠1=∠

D.()∠BEF－∠1=∠B－∠D.()即 ∠___=∠B－∠D.例

4、一個角的余角與這個角的補角的一半互為余角，求這個角。

??0??A)，外角為(180??A)A，則它的余角為(9解：設這個角為?

D

CA

A

B

C

D

E

F

1????

由題意得：(解得? 90??A)(180??A)?90A?60

例

5、已知如下圖，若∠BED=∠B+∠D，則直線AB與CD平行嗎？為什么？解：過點E作EF∥AB．

所以∠BEF=∠B（），又因為∠BED=∠B+∠D（），∠BED=∠BEF+∠DEF，所以∠B+∠D=∠BEF+∠DEF（），所以∠D=∠DEF（）所以EF∥CD（）所以AB∥CD（）

例

6、如圖所示，已知AB//CD，?BAE?40?，?ECD?62?，EF平分?，求?AECAEF的度數。

解：過E作EG//AB

D

?AB//CD（已知）

?EG//CD（）

??

??（）??AEG??BAE40CEGE??CD?60???? ?AEC??AEG??CEG?40?62?10

2（已知）AEC?EF平分?

??AEF?

?AEC?51?（角平分線定義）2

練習

1、如圖所示，已知AB//CD，? 1??2?AB//CD（），???1______（）?（），??1??2??2_____（）?BD是?的________.ABC2、如圖所示，已知??，?? A?FC?D?（）?A??F

?AC//DF（）

DC

AB

DEF

ABC

?D??______（）?C??D?（）

?1??C?（）

?BD//CE（）

作業：1.如圖，直線a、b都與直線c相交，給出下列條件：①∠1=∠2；②∠3=∠6；③∠4＋∠7=180°；④∠5＋∠8=180°.其中能判斷a∥b的是（）.（A）①③（B）②④（C）①③④（D）①②③④

2.如圖，AB∥CD，P為AB、CD之間的一點，已知∠1=∠2=250，求∠BPC的度數？

析解：由于此圖不是“三線八角”的基本圖形，需要添加輔助線構造基本圖形。

過點P作射線PN∥CD，因為AB∥CD（），所以PN∥AB（），所以∠1=∠3=250

（）。

由PN∥CD（已作），所以∠2=∠4=250

（）。所以∠BPC=∠3+∠4=500。

說明：通過作輔助線構造圖形，使圖形滿足某些性質，從而達到解決問題的目的。3.如圖，CD⊥AB于D，E是BC上一點，EF⊥AB于F，∠l=∠2．試說明：∠AGD=∠ACB．

析解：要說明兩個角相等，其方法很多，但由于∠AGD=∠ACB是同位角，這樣問題轉化為說明GD∥CB。

因為CD⊥AB，EF⊥AB，所以CD∥。

所以∠3=∠2（），而∠l=∠2（已知），所以∠3=∠l（），所以GD∥CB（），所以∠AGD=∠ACB（）。4.如圖,已知:DE∥AC,EF∥CD.說明∠1=∠2的理由.解: A DF

BC

A

5.如圖,已知:AC∥DE,DC∥EF, ∠1=∠2.說明∠3=∠4的理由.解:

F

B

E

A

B

6.如圖, 已知∠1=∠2, BE∥CF, 說明

BA∥CD的理由.EFC

D