第一篇：清華附中第12章全等三角形全章測試

第12章 《全等三角形》全章測試

學號：______________姓名：_____________分數：_____________

一、選擇題（每題4分，共32分）

1．使兩個直角三角形全等的條件是（）

A、一銳角對應相等；B、兩銳角對應相等；C、一條邊對應相等；D、兩條邊對應相等.2．下列條件中，能夠證明兩個三角形全等的有（）

①兩邊及其中一邊上的中線對應相等；②兩角及第三個角的角平分線對應相等；

③兩個直角三角形任意兩條對應邊相等；④兩個等腰三角形任意兩條對應邊相等

A、1個B、2個C、3個D、4個

3．若△ABC≌△DEF，△ABC的周長為100，AB=30，EF=25，則AC=（）

A、55B、45C、30D、2

54．如圖，OA?OB，OC?OD，?O?50?，?D?35?，則?AEC等于（）

A、60?B、50?C、45?D、30?

5．如圖，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于O，連結AO，則圖中共有全等的三角形的對數為（）

A、2對 B、3對 C、4對D、5對

6．如圖，AB//DE，CD＝BF，若△ABC≌△EDF，還需要補充的條件可以是（）

A、AC＝EFB、AB＝DEC、∠B＝∠ED、不用補充

O AB

D AC

第4題圖第5題圖第6題圖

7．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC

交BC于D，若BC=64，且BD：CD=9：7，則點D到AB邊的距離為()

A、18B、32C、28D、2

4第7題圖C D B

18．如圖，∠AOB和一條定長線段a，在∠AOB內找一點P，使P到OA、OB的距離都等于a，做法如下：

（1）作OB的垂線NH，使NH=a，H為垂足．（2）過N作NM∥OB．

（3）作∠AOB的平分線OP，與NM交于P．（4）點P即為所求． 其中（3）的依據是（）

A．平行線之間的距離處處相等第8題圖 B．到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上 C．角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等

D．到線段的兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上

二、填空題（每題4分，共16分）

9．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2，則△ABD的面積是______； 10．如圖，∠B=∠C=90°，E是BC的中點，DE平分∠ADC，∠CED=35°，則∠EAB是____度 11．如圖，△ABC≌△ADE，且∠EAB＝120°，∠B＝30°，∠CAD＝10°，∠CFD=______° 12．如圖所示，△ABE和△ADC是△ABC分別沿著AB，AC邊翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，則∠α的度數為

第9題圖第10題圖第11題圖第12題圖

答題紙

三、解答題（第16題12分，其余每題10分，共52分）

13．如圖，公園有一條“Z”字形道路ABCD，其中AB∥CD，在E,M,F處各有一個小石凳，且

BE?CF，M為BC的中點，請問三個小石凳是否在一條直線上？說出你推斷的理由

14．已知：如圖，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分線相交于點F.求證：點F在∠DAE的平分線上.A

F

E

15．如圖，AD為∠BAC的平分線，DF⊥AC于F，∠B=90°，DE＝DC，試說明：BE＝CF.EB

D

C

16．兩個大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B，C，E在同一條直線上，連結DC．

（1）請找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說明：結論中不得含有未標識的字母）；（2）證明：DC?BE．

D

圖

1圖

217．已知：如圖，BD、CD平分∠ABC、∠ACB，CE垂直BD交BD延長線于點E，求證：∠DCE=∠CAD

四、附加題（共20分）

18．如圖，在△ABC中，AD是?A的外角平分線，P是AD上異于A的任意一點，則PB＋PC與AB＋AC的大小關系是什么？

19．如圖，已知△

20．如圖，已知：

ABC中，AB＝2AC，AD平分∠BAC，AD＝BD，求證：DC⊥AC.B

C

D

CD＝AB，∠BAD＝∠BDA，AE是△ABD的中線，求證：AC＝2AE.

第二篇：清華附中第18章平行四邊形全章測試（本站推薦）

平行四邊形單元測試

學號：姓名：得分：

一、選擇題（每題4分，共24分）

1．平行四邊形一邊長是6cm，周長是28cm，則這邊的鄰邊長是()．

A．22cm B．16cm C．11cm D．8cm 2．矩形鄰邊之比3∶4，對角線長為10cm，則周長為()．

A．14cm B．28cm C．20cm D．22cm 3．菱形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶5，若周長為8，則此菱形的高等于()．

A．

2B．4 C．1 D．2

4．對角線互相平分的四邊形一定是（）

A．平行四邊形 B．矩形C．菱形D．正方形

5． 在正方形ABCD中，點E是BC邊的中點，若DE=5，則四邊形ABED的面積為（）

A．10B．15C．20D．2

56．如圖，E、F分別是□ABCD的邊AB、CD的中點，則圖中共有平行四邊形的個數為()．

A．2 B．3C．4 D．5

二、填空題（每空4分，共28分）

7．若在□ABCD中，∠A＝30°，AB＝7，AD＝6，則S□ABCD＝_______．

8．在□ABCD中，AB＝5，AD＝8，若∠A、∠D的平分線分別交BC于E、F點，則EF＝_______．

9．若菱形的兩條對角線長分別是6cm，8cm，則它的周長為________cm，面積為________cm

2． 10．如圖，在正方形ABCD內，以AB為邊作等邊△ABE，則∠BEG＝_______． 11．如圖，BD為□ABCD的對角線，M、N分別在AD、AB上，且MN∥BD，則 S△DMC___________S△BNC．(填“＜”、“＝”或“＞”)

12．在矩形ABCD中，AD=5，CD=12，P是AB上任意一點，PE⊥AC，PF⊥BD，那么PE＋PF的長為____________．

第6題圖第10題圖第11題圖

三、解答題（共48分）

13．已知：如圖，□ABCD中，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F．求證：DE＝BF．（10分）

14．已知：如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，點D、E分別是AC、AB的中點，點F在BC的延長線上，且∠CDF＝∠A．求證：四邊形DECF是平行四邊形．（12分）

15．已知：如圖，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE∶ED＝1∶3，從兩條對角線的交點O作OF⊥AD于F，且OF＝2，求BD的長．（12分）

16．已知：P是正方形ABCD對角線BD上一點，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分別為垂足，求證：（1）AP=EF，（2）AP⊥EF．（14分）

E

17．已知：如圖，△ABC中，D是BC邊的中點，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E點，若AB＝5，AC＝7，則ED=．（4分）

18．折疊矩形紙片ABCD，先折出折痕(對角線)BD，再折疊使AD邊落在對角線BD上，得折痕DG，若

21.圖中的矩形是由六個正方形組成，其中最小的正方形的面積為1，AB＝8，BC＝6，則AG=．（4分）

第18題圖

19．已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，E、F分別是DC、AB邊的中點，FE的延長線分別與AD、BC的延長線交于H、G點．求證：∠AHF＝∠BGF．（6分）

20．已知：如圖，正方形ABCD中，點E、M、N分別在AB、BC、AD邊上，CE＝MN，∠MCE＝35°，求∠ANM的度數．（6分）

ABM

求這個矩形的長和寬務是多少？

22.如圖，E是正方形ABCD外一點，AE＝AD，∠ADE＝75°，求∠AEB的度數。

23.如圖，ABCD的對角線AC的垂直平分線與AD，BC分別交于點E，F．求證：四邊形AFCE是菱形．AE

D

O

B

F

C

第三篇：全等三角形全章教案

第十二章 全等三角形 12．1 全等三角形

1．了解全等形及全等三角形的概念． 2．理解全等三角形的性質．

重點

探究全等三角形的性質． 難點

掌握兩個全等三角形的對應邊、對應角的尋找規律，能迅速正確地指出兩個全等三角形的對應元素．

一、情境導入

一位哲人曾經說過：“世界上沒有完全相同的葉了”，但是在我們的周圍卻有著好多形狀、大小完全相同的圖案．你能舉出這樣的例子嗎？

二、探究新知 1．動手做

(1)和同桌一起將兩本數學課本疊放在一起，觀察它們能重合嗎？

(2)把手中三角板按在紙上，畫出三角形，并裁下來，把三角板和紙三角形放在一起，觀察它們能夠重合嗎？

得出全等形的概念，進而得出全等三角形的概念．

能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形，能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形． 2．觀察

觀察△ABC與△A′B′C′重合的情況．

總結知識點：

對應頂點、對應角、對應邊．

全等的符號：“≌”，讀作：“全等于”．

如：△ABC≌△A′B′C′.3．探究

(1)在全等三角形中，有沒有相等的角、相等的邊呢？

通過以上探索得出結論：全等三角形的性質． 全等三角形的對應邊相等，對應角相等．

(2)把△ABC沿直線BC平移、翻折，繞定點旋轉，觀察圖形的大小形狀是否變化．

得出結論：平移、翻折、旋轉只能改變圖形的位置，而不能改變圖形的大小和形狀． 把兩個全等三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應頂點，重合的邊叫做對應邊，重合的角叫做對應角．如△ABC和△DEF全等，記作△ABC≌△DEF，其中點A和點D，點B和點E，點C和點F是對應頂點；AB和DE，BC和EF，AC和DF是對應邊；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是對應角．

三、應用舉例

例1 如圖，△ADE≌△BCF，AD＝6 cm，CD＝5 cm，求BD的長．

分析：由全等三角形的性質可知，全等三角形的對應邊相等，找出對應邊即可． 解：∵△ADE≌△BCF，∴AD＝BC.∵AD＝6 cm，∴BC＝6 cm.又∵CD＝5 cm，∴BD＝BC－CD＝6－5＝1(cm)．

四、鞏固練習教材練習第1題．

教材習題12.1第1題． 補充題：

1．全等三角形是（）A．三個角對應相等的三角形 B．周長相等的三角形

C．面積相等的兩個三角形 D．能夠完全重合的三角形

2．下列說法正確的個數是（）①全等三角形的對應邊相等； ②全等三角形的對應角相等； ③全等三角形的周長相等； ④全等三角形的面積相等．

A．

1B．

2C．

3D．4 3．如圖，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EF＝5，求∠DFE的度數與DE的長．

補充題答案： 1．D 2．D

3．∠DFE＝35°，DE＝8

五、小結與作業

1．全等形及全等三角形的概念． 2．全等三角形的性質．

作業：教材習題12.1第2，3，4，5，6題．

本節課通過學生在做模型、畫圖、動手操作等活動中親身體驗，加深對三角形全等、對應含義的理解，即培養了學生的畫圖識圖能力，又提高了邏輯思維能力．

12．2 三角形全等的判定(4課時)

第1課時 “邊邊邊”判定三角形全等

1．掌握“邊邊邊”條件的內容．

2．能初步應用“邊邊邊”條件判定兩個三角形全等． 3．會作一個角等于已知角．

重點

“邊邊邊”條件． 難點

探索三角形全等的條件．

一、復習導入

多媒體展示，帶領學生復習全等三角形的定義及其性質，從而得出結論：全等三角形的對應邊相等，對應角相等．反之，這六個元素分別相等，這樣的兩個三角形一定全等．

思考：三角形的六個元素分別相等，這樣的兩個三角形一定全等嗎？

二、探究新知

根據上面的結論，提出問題：兩個三角形全等，是否一定需要六個條件呢？如果只滿足上述六個條件中的一部分，是否也能保證兩個三角形全等呢？

出示探究1：先任意畫出一個△ABC，再畫一個△A′B′C′，使△ABC與△A′B′C′滿足上述六個條件中的一個或兩個．你畫出的△A′B′C′與△ABC一定全等嗎？

(1)三角形的兩個角分別是30°，50°.(2)三角形的兩條邊分別是4 cm，6 cm.(3)三角形的一個角為30°，一條邊為3 cm.學生剪下按不同要求畫出的三角形，比較三角形能否和原三角形重合．

引導學生按條件畫三角形，再通過畫一畫，剪一剪，比一比的方式得出結論：只給出一個或兩個條件時，都不能保證所畫出的三角形一定全等．

出示探究2：先任意畫出一個△A′B′C′，使A′B′＝AB，B′C′＝BC，C′A′＝CA.把畫好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它們全等嗎？

讓學生充分交流后，教師明確已知三邊畫三角形的方法，并作出△A′B′C′，通過比較得出結論：三邊分別相等的兩個三角形全等．

強調在應用時的簡寫方法：“邊邊邊”或“SSS”． 實物演示：由三根木條釘成的一個三角形的框架，它的大小和形狀是固定不變的． 明確：三角形的穩定性．

三、舉例分析

例1 如右圖，△ABC是一個鋼架，AB＝AC，AD是連接點A與BC中點D的支架．求證：△ABD≌△ACD.引導學生應用條件分析結論，尋找兩個三角形的已有條件，學會觀察隱含條件． 讓學生獨立思考后口頭表達理由，由教師板演推理過程．

教師引導學生作圖．

已知∠AOB，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.討論尺規作圖法，作一個角等于已知角的理論依據是什么？

教師歸納：(1)什么是尺規作圖；(2)作一個角等于已知角的依據是“邊邊邊”．

四、鞏固練習

教材第37頁練習第1，2題． 學生板演．

教師巡視，給出個別指導．

五、小結與作業

回顧反思本節課對知識的研究探索過程，小結方法及結論，提煉數學思想，掌握數學規律．

進一步明確：三邊分別相等的兩個三角形全等． 布置作業：教材習題12.2第1，9題．

本節課的重點是探索三角形全等的“邊邊邊”的條件；運用三角形全等的“邊邊邊”的條件判別兩個三角形是否全等．在課堂上讓學生參與到探索的活動中，通過動手操作、實驗、合作交流等過程，學會分析問題的方法．通過三角形穩定性的實例，讓學生產生學數學的興趣，學會用數學的眼光去觀察、分析周圍的事物，為下一節內容的學習打下基礎．

第2課時 “邊角邊”判定三角形全等

1．掌握“邊角邊”條件的內容．

2．能初步應用“邊角邊”條件判定兩個三角形全等．

重點

“邊角邊”條件的理解和應用． 難點

指導學生分析問題，尋找判定三角形全等的條件．

一、復習引入

1．什么是全等三角形？ 2．全等三角形有哪些性質？ 3．“SSS”具體內容是什么？

二、新知探究

已知△ABC，畫一個三角形△A′B′C′，使AB＝A′B′∠B＝∠B′，BC＝B′C′.教師畫一個三角形△ABC.先讓學生按要求討論畫法，再給出正確的畫法．

操作：

(1)把畫好的三角形剪下和原三角形重疊，觀察能重合在一起嗎？

(2)上面的探究說明什么規律？

總結：判定兩個三角形全等的方法：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊角邊”或“SAS”．

三、舉例分析

多媒體出示教材例2.例2 如圖，有一池塘，要測池塘兩端A，B的距離，可先在平地上取一個點C，從點C不經過池塘可以直接到達點A和B.連接AC并延長到點D，使CD＝CA.連接BC并延長到點E，使CE＝CB.連接DE，那么量出DE的長就是A，B的距離，為什么？

分析：如果證明△ABC≌△DEC，就可以得出AB＝DE.證明：在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC(SAS)． ∴AB＝DE.歸納解決實際問題的一般方法是：分析實際問題，按要求畫出圖形，根據圖形及已知條件選擇對應的方法．

四、課堂練習

如圖，已知AB＝AC，點D，E分別是AB和AC上的點，且DB＝EC.求證：∠B＝∠C.學生先獨立思考，然后討論交流，用規范的書寫完成證明過程．

五、小結與作業 1．師生小結：

(1)“邊角邊”判定兩個三角形全等的方法．

(2)在判定兩個三角形全等時，要注意使用公共邊和公共角． 2．布置作業：教材習題12.2第3，4題．

本節課的重點是讓學生認識掌握運用“邊角邊”判定兩個三角形全等的方法，讓學生自己動手操作，合作交流，通過學生之間的質疑討論，發現此定理中角必為夾角，從而得出“邊角邊”的判定方法．不僅學習了知識，也訓練了思維能力，對三角形全等的判定(SAS)掌握的也好，但要強調書寫的格式的規范，同時讓學生感受到在證明分別屬于兩個三角形的線段或角相等的問題時，通常通過證明這兩個三角形全等來解決．

第3課時 “角邊角”和“角角邊”判定三角形全等

1．掌握“角邊角”及“角角邊”條件的內容．

2．能初步應用“角邊角”及“角角邊”條件判定兩個三角形全等．

重點

“角邊角”條件及“角角邊”條件． 難點

分析問題，尋找判定兩個三角形全等的條件．

一、復習導入 1．復習舊知：

(1)三角形中已知三個元素，包括哪幾種情況？

三個角、三個邊、兩邊一角、兩角一邊．

(2)到目前為止，可以作為判定兩三角形全等的方法有幾種？各是什么？

2．[師]在三角形中，已知三個元素的四種情況中，我們研究了三種，我們接著探究已知兩角一邊是否可以判定兩三角形全等．

二、探究新知

1．[師]三角形中已知兩角一邊有幾種可能？

[生](1)兩角和它們的夾邊；(2)兩角和其中一角的對邊． 做一做：

三角形的兩個內角分別是60°和80°，它們的夾邊為4 cm，你能畫一個三角形同時滿足這些條件嗎？將你畫的三角形剪下，與同伴比較，觀察它們是不是全等，你能得出什么規律？

學生活動：自己動手操作，然后與同伴交流，發現規律． 教師活動：檢查指導，幫助有困難的同學．

活動結果展示：

以小組為單位將所得三角形重疊在一起，發現完全重合，這說明這些三角形全等． 提煉規律：

兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等．(可以簡寫成“角邊角”或“ASA”)[師]我們剛才做的三角形是一個特殊三角形，隨意畫一個△ABC，能不能作一個△A′B′C′，使∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，AB＝A′B′呢？

[生]能．

學生口述畫法，教師進行多媒體課件演示，使學生加深對“ASA”的理解． [生](1)先用量角器量出∠A與∠B的度數，再用直尺量出AB的邊長；

(2)畫線段A′B′，使A′B′＝AB；

(3)分別以A′，B′為頂點，A′B′為一邊作∠DA′B′，∠EB′A′，使∠DA′B′＝∠CAB，∠EB′A′＝∠CBA；

(4)射線A′D與B′E交于一點，記為C′.即可得到△A′B′C′.將△A′B′C′與△ABC重疊，發現兩三角形全等． [師]

于是我們發現規律：

兩角和它們的夾邊分別相等的兩三角形全等．(可以簡寫成“角邊角”或“ASA”)這又是一個判定兩個三角形全等的條件． 2．出示探究問題：

如圖，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF，△ABC與△DEF全等嗎？能利用角邊角條件證明你的結論嗎？

證明：∵∠A＋∠B＋∠C＝∠D＋∠E＋∠F＝180°，∠A＝∠D，∠B＝∠E，∴∠A＋∠B＝∠D＋∠E.∴∠C＝∠F.在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF(ASA)． 于是得規律：

兩角和其中一個角的對邊分別相等的兩個三角形全等．(可以簡寫成“角角邊”或“AAS”)例 如下圖，點D在AB上，點E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C.求證：AD＝AE.[師生共析]AD和AE分別在△ADC和△AEB中，所以要證AD＝AE，只需證明△ADC≌△AEB即可．

學生寫出證明過程．

證明：在△ADC和△AEB中，∴△ADC≌△AEB(ASA)． ∴AD＝AE.[師]到此為止，在三角形中已知三個條件探索兩個三角形全等問題已全部結束．請同學們把兩個三角形全等的判定方法作一個小結．

學生活動：自我回憶總結，然后小組討論交流、補充．

三、隨堂練習1．教材第41頁練習第1，2題． 學生板演． 2．補充練習

圖中的兩個三角形全等嗎？請說明理由．

四、課堂小結

有五種判定兩個三角形全等的方法： 1．全等三角形的定義 2．邊邊邊(SSS)3．邊角邊(SAS)4．角邊角(ASA)5．角角邊(AAS)推證兩個三角形全等，要學會聯系思考其條件，找它們對應相等的元素，這樣有利于獲得解題途徑．

五、課后作業

教材習題12.2第5，6，11題．

在前面研究“邊邊邊”和“邊角邊”兩個判定方法的前提下，本節研究“角邊角”和“角角邊”對于學生并不困難，讓學生通過直觀感知、操作確認的方式體驗數學結論的發現過程，在這節課的教學中，學生也了解了分類思想和類比思想．

第4課時 “斜邊、直角邊”判定三角形全等

1．探索和了解直角三角形全等的條件：“斜邊、直角邊”． 2．會運用“斜邊、直角邊”判定兩個直角三角形全等．

重點

探究直角三角形全等的條件． 難點

靈活運用直角三角形全等的條件進行證明．

一、情境引入

(顯示圖片)舞臺背景的形狀是兩個直角三角形，工作人員想知道這兩個直角三角形是否全等，但每個三角形都有一條直角邊被花盆遮住無法測量．

(1)你能幫他想個辦法嗎？

(2)如果他只帶了一個卷尺，能完成這個任務嗎？

方法一：測量斜邊和一個對應的銳角(AAS)；

方法二：測量沒遮住的一條直角邊和一個對應的銳角(ASA或AAS)． 工作人員測量了每個三角形沒有被遮住的直角邊和斜邊，發現它們分別相等，于是他就肯定“兩個直角三角形是全等的”．你相信他的結論嗎？

二、探究新知

多媒體出示教材探究5.任意畫出一個Rt△ABC，使∠C＝90°.再畫一個Rt△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝BC，A′B′＝AB.把畫好的Rt△A′B′C′剪下來，放到Rt△ABC上，它們全等嗎？

畫一個Rt△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝BC，A′B′＝AB.想一想，怎么樣畫呢？

按照下面的步驟作一作：(1)作∠MC′N＝90°；

(2)在射線C′M上截取線段B′C′＝BC；

(3)以B′為圓心，AB為半徑畫弧，交射線C′N于點A′；

(4)連接A′B′.△A′B′C′就是所求作的三角形嗎？

學生把畫好的△A′B′C′剪下放在△ABC上，觀察這兩個三角形是否全等．

由探究5可以得到判定兩個直角三角形全等的一個方法： 斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等．簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”． 多媒體出示教材例5 如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分別為C，D，AC＝BD.求證：BC＝AD.證明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C與∠D都是直角．

在Rt△ABC和Rt△BAD中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)． ∴BC＝AD.想一想：

你能夠用幾種方法判定兩個直角三角形全等？ 直角三角形是特殊的三角形，所以不僅有一般三角形判定全等的方法：SAS，ASA，AAS，SSS，還有直角三角形特殊的判定全等的方法——“HL”．

三、鞏固練習

如圖，兩根長度為12米的繩子，一端系在旗桿上，另一端分別固定在地面兩個木樁上，兩個木樁離旗桿底部的距離相等嗎？請說明你的理由．

學生獨立思考完成．教師點評．

四、小結與作業

1．判定兩個直角三角形全等的方法：斜邊、直角邊． 2．直角三角形全等的所有判定方法： 定義，SSS，SAS，ASA，AAS，HL.思考：兩個直角三角形只要知道幾個條件就可以判定其全等？ 3．作業：教材習題12.2第7題．

本節課教學，主要是讓學生在回顧全等三角形判定的基礎上，進一步研究特殊的三角形全等的判定的方法，讓學生充分認識特殊與一般的關系，加深他們對公理的多層次的理解．在教學過程中，讓學生充分體驗到實驗、觀察、比較、猜想、歸納、驗證的數學方法，一步步培養他們的邏輯推理能力．

12．3 角的平分線的性質

掌握角的平分線的性質和判定，能靈活運用角的平分線的性質和判定解題．

重點

角的平分線的性質和判定，能靈活運用角的平分線的性質和判定解題． 難點

靈活運用角的平分線的性質和判定解題．

一、復習導入

1．提問角的平分線的定義．

2．給定一個角，你能不用量角器作出它的平分線嗎？

二、探究新知

(一)角的平分線的畫法 教師出示：已知∠AOB.求作：∠AOB的平分線．

然后讓學生閱讀教材第48頁上方思考．(教師演示畫圖)通過對分角儀原理的探究，得出用直尺和圓規畫已知角的平分線的方法，師生共同完成具體作法．

(二)角的平分線的性質

試驗：(1)讓學生在已經畫好的角的平分線上任取一點P；(2)分別過點P作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足為D，E；(3)測量PD和PE的長，觀察PD與PE的數量關系；

(4)再換一個新的位置看看情況怎樣？ 歸納總結得到角的平分線的性質． 分析討論PD＝PE的理由．(三)角平分線的判定

教師指出：角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上．(1)寫出已知、求證．(2)畫出圖形．(3)分析證明過程． 鞏固應用：

解決教材第49頁思考

(四)三角形的三個內角的平分線相交于一點 1．例題：教材第50頁例題．

2．針對例題的解答，提出：P點在∠A的平分線上嗎？ 通過例題明確：三角形的三個內角的平分線相交于一點． 練習：教材第50頁練習．

三、歸納總結

引導學生小組合作交流：(1)本節課學到了哪些知識？(2)你有什么收獲？

四、布置作業

教材習題12.3第1～4題．

教學始終圍繞著角平分線及其性質、判定的問題而展開，先從出示問題開始，鼓勵學生思考，探索問題中所包含的數學知識，讓學生經歷了知識的形成與應用的過程，從而更好的理解掌握角平分線的性質。發展學生應用數學的意識與能力，增強學生學好數學的愿望和信心．

第四篇：第十三章 全等三角形全章教案（共）

www.tmdps.cn 第13章 全等三角形

13.1 全等三角形

教學目標

①通過實例理解全等形的概念和特征，并能識別圖形的全等.②知道全等三角形的有關概念，能正確地找出對應頂點、對應邊、對應角；掌握全等三角形對應邊相等，對應角相等的性質.③能運用性質進行簡單的推理和計算，解決一些實際問題.④通過兩個重合的三角形變換其中一個的位置，使它們呈現各種不同位置的活動，讓學生從中了解并體會圖形變換的思想，逐步培養學生動態的研究幾何圖形的意識.教學重點與難點

重點：全等三角形的有關概念和性質.難點：理解全等三角形邊、角之間的對應關系.教學準備

復寫紙、剪刀、半透明的紙、多媒體課件(幾個重要片斷中使用)等.教學設計

問題情境

1.展現生活中的大量圖片或錄像片斷.片斷1：圖案.注：豐富的圖形容易引起學生的注意，使他們能很快地投入到學習的情境中.片斷2：一幅漂亮的山水倒影畫，一幅用七巧板拼成的美麗圖案.片斷3：教科書第90頁的3幅圖案.2.學生討論：

(1)從上面的片斷中你有什么感受?(2)你能再舉出生活中的一些類似例子嗎? 注：它反映了現實生活中存在著大量的全等圖形.圖片的收集與制作 1.收集學生討論中的圖片.2.討論(或介紹)用復寫紙、手撕、剪紙、扎針眼等制作類似圖形的方法.注：對學生進行操作技能的培訓與指導.www.tmdps.cn 注：目的是使學生在操作的過程中理解全等三角形的概念，發展空間觀念.鼓勵學生根據全等三角形的概念和性質，通過觀察、嘗試找到分割的方法，并可用分出來的圖形是否重合來驗證所得的結論.隨堂練習

注：檢查學生對本節課的掌握情況.1.全等用符號__表示.讀作__.2.△ABC全等于三角形△DEF，用式子表示為__.3.△ABC≌△DEF，∠A的對應角是∠D，∠B的對應角∠E，則∠C與__是對應角；AB與__是對應邊，BC與__是對應邊，AC與__是對應邊.4.判斷題：

(1)全等三角形的對應邊相等，對應角相等.()(2)全等三角形的周長相等.()(3)面積相等的三角形是全等三角形.()(4)全等三角形的面積相等.()5.找出由七巧板拼成的圖案中的全等三角形.小結提高

1.回憶這節課：在自己動手實際操作中，得到了全等三角形的哪些知識? 注：對于學生的發言，教師要給予肯定的評價.2.找全等三角形對應元素的方法，注意挖掘圖形中隱含的條件，如公共元素、對頂角等，但公共頂點不一定是對應頂點；

3.在運用全等三角形的定義和性質時應注意規范書寫格式.布置作業

1.必做題：教科書92頁習題13.1第1題，第2題，第3題.2.選做題：教科書92頁習題13.1第4題.3.備選題：

(1)如下圖，一柵欄頂部是由全等的三角形組成的，其中AC=0.15m，BC=2AC，求BD的長.第(1)題

第(2)題

www.tmdps.cn 13.2 三角形全等的條件(1)教學目標

①經歷探索三角形全等條件的過程，體會利用操作、歸納獲得數學結論的過程.②掌握三角形全等的“邊邊邊”條件，了解三角形的穩定性.③通過對問題的共同探討，培養學生的協作精神.教學重點與難點

重點：指導學生分析問題，尋找判定三角形全等的條件.難點：三角形全等條件的探索過程.教學設計

復習過程，引入新知

多媒體顯示，帶領學生復習全等三角形的定義及其性質，從而得出結論：全等三角形三條邊對應相等，三個角分別對應相等.反之，這六個元素分別相等，這樣的兩個三角形一定全等.注：在教師引導下回憶前面知識，為探究新知識作好準備.創設情境，提出問題

根據上面的結論，提出問題：兩個三角形全等，是否一定需要六個條件呢?如果只滿足上述六個條件中的一部分，是否也能保證兩個三角形全等呢? 注：問題的提出使學生產生濃厚的興趣，激發他們的探究欲望.組織學生進行討論交流，經過學生逐步分析，各種情況逐漸明朗，進行交流予以匯總歸納.注：對學生提出的解決問題的不同策略，要給予肯定和鼓勵，以滿足多樣化的學生需要，發展學生的個性思維.建立模型，探索發現

出示探究1，先任意畫一個△ABC，再畫一個△A'B'C'，使△ABC與△A'B'C'滿足上述條件中的一個或兩個.你畫出的△A'B'C'與△ABC一定全等嗎? 注：學生動手操作，通過實踐、自主探索、交流，獲得新知，同時也滲透了分類的思想.讓學生按照下面給出的條件作出三角形.(1)三角形的兩個角分別是30°、50°.(2)三角形的兩條邊分別是4 cm，6 cm.(3)三角形的一個角為30°，一條邊為3 cm.www.tmdps.cn ①以A為圓心畫弧，分別交角的兩邊于點B和點C；

②分別以點B、C為圓心，相同長度為半徑畫兩條弧，兩弧交于點D； ③畫射線AD.AD就是∠BAC的平分線.你能說明該畫法正確的理由嗎?(2)如圖四邊形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，你能把四邊形ABCD分成兩個相互全等的三角形嗎?你有幾種方法?你能證明你的方法嗎?試一試.注：培養學生良好的學習習慣，鞏固所學的知識，作業2是讓學生對所學知識進行延伸和應用，滿足不同層次學生的不同要求.設計思想

對于全等三角形的研究，實際是平面幾何中對封閉的兩個圖形關系研究的第一步，它是兩個三角形間最簡單、最常見的關系.它不僅是學習后面知識的基礎，并且是證明線段相等，角相等以及兩線互相垂直、平行的重要依據.因此在本課時的教學設計中，充分利用教科書提供的素材和活動，鼓勵學生通過畫圖、比較、推理、交流等過程，在條件由少到多的過程中逐步探索出最后的結論.在這個過程中，學生不僅得到了兩個三角形全等的條件，同時體會了分析問題的一種方法，積累了數學活動的經驗.學生通過前面的學習已了解了圖形的全等的概念及特征，掌握了全等圖形的對應邊、對應角的關系，這為探究三角形全等的條件做好了知識上的準備.因此為了使學生更好地掌握這一部分內容，遵循啟發式教學原則，用設問形式創設問題情境，設計一系列的活動，引導學生經歷從現實世界抽象出幾何模型和運用所學內容，解決實際問題的過程，真正把學生放到主體位置，同時培養學生有條理的思考、表達和交流的能力.并且在直觀操作的基礎上，將直觀與簡單推理相結合，注意學生推理意識的建立和對推理過程的理解，能運用自己的方式有條理的表達推理過程，為以后的證明打下基礎.www.tmdps.cn 性質，體驗數學來源于實踐，又服務于實踐的思想，同時使學生進一步熟悉推理論證的模式，進一步完善學生的證明書寫.讓學生充分思考后，書寫推理過程，并說明每一步的依據.(若學生不能順利得到證明思路，教師也可作如下分析：

要想證AB＝DE,只需證△ABC≌△DEC，△ABC與△DEC全等的條件現有??還需要??)注：明確證明分別屬于兩個三角形的線段相等或者角相等的問題，常常通過證明這兩個三角形全等來解決.再次探究，釋解疑惑

出示探究4，我們知道，兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等.由“兩邊及其中一邊的對角對應相等”的條件能判定兩個三角形全等嗎?為什么? 讓學生模仿前面的探究方法，得出結論：兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等.注：讓學生思考、交流、探討，通過學生之間的交流、探討活動，培養學生的協作精神，同時也釋解心中的疑惑.教師演示：方法(一)教科書98頁圖13.2-7.方法(二)通過畫圖，讓學生更直觀地獲得結論.鞏固練習

教科書第99頁，練習(1)(2).注：教給學生尋找全等條件的方法，完善學生全等的證明書寫.小結

1.判定三角形全等的方法；

2.證明線段、角相等常見的方法有哪些?讓學生自由表述，其他學生補充，讓學生自己將知識系統化，以自己的方式進行建構.注：通過課堂小結，歸納整理本節課學習的內容，幫學生完善認知結構，形成解題經驗.作業

1.必做題：教科書第104頁，習題13.2第3、4題.注：讓學生鞏固所學知識，注意學生能力的發展.2.選做題：教科書第105頁第10題.3.備選題：

www.tmdps.cn 13.2 三角形全等的條件(3)教學目標

①探索并掌握兩個三角形全等的條件：“ASA”“AAS”，并能應用它們判別兩個三角形是否全等.②經歷作圖、比較、證明等探究過程，提高分析、作圖、歸納、表達、邏輯推理等能力；并通過對知識方法的總結，培養反思的習慣，培養理性思維.③敢于面對教學活動中的困難，能通過合作交流解決遇到的困難.教學重點與難點

重點：理解、掌握三角形全等的條件：“ASA”“AAS”.難點：探究出“ASA”“AAS”以及它們的應用.教學設計

創設情境

1.復習(用課件演示)(1)作線段AB等于已知線段a，(2)作∠ABC，等于已知∠α

(課件出示題目，讓學生回顧作圖方法，用課件演示.)

注：復習舊知，為探究“ASA”中的作△A'B'C'作好知識鋪墊，讓學生在知識上做好銜接.2.引人

師：我們已經知道，三角形全等的判定條件有哪些? 生：“SSS”“SAS”

師：那除了這兩個條件，滿足另一些條件的兩個三角形是否也可能全等呢?今天我們就來探究三角形全等的另一些條件.注：復習判別兩個三角形全等的兩個條件，提出判別全等的新問題，激發學生探究的欲望，提高學習的積極性.探究新知

1.師：我們先來探究第一種情況.(課件出示“探究5??”)(1)探究5 先任意畫出一個△ABC，再畫一個△A'B'C'，使A'B'=AB，∠A'=∠A，∠B'=∠B(即使兩角和它們的夾邊對應相等).把畫好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它們全等嗎?

www.tmdps.cn 生獨立思考，探究??再小組合作完成.注：留給學生充分思考的時間.師：你是怎么證明的?(讓小組派代表上臺匯報)小組1：??

小組2：??投影儀展示學生證明過程(根據學生的不同探究結果，進行不同的引導)注：讓學生上臺匯報，創設學生展示自己探究成果的機會，獲得成功的體驗，激發再次探究的熱情.師：從這可以看出，從這些已知條件中能得出兩個三角形全等.這又反映了一個什么規律? 生1：兩個角和其中一條邊對應相等的兩個三角形全等.生2：在“ASA”中，“邊”必須是“兩角的夾邊”，而這里，“邊”可以是“其中一個角的對邊”.強調“AAS”中的邊是“其中一個角的對邊”.師：非常好，這里的“邊”是“其中一個角的對邊”.那怎樣更完整的表述這一規律? 生1：兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等.多讓幾個學生描述，進一步培養歸納、表達的能力.師：生1很好，這條件我們可以簡寫成“角角邊”或“AAS”，又增加了判定兩個三角形全等的一個條件.3.例3 師：下面我們看用“ASA”、“AAS”能否解決一些問題.(課件出示例3)讓學生自己看題、審題.師：根據已知條件，能得出什么?又聯系所求證的，該如何證明?(先獨立探究，再與同桌或四人小組交換意見，再全班交流)注：留給學生較充分的獨立思考、探究的時間，在探究過程中，提高邏輯推理能力.師：說說你的證明方法.(讓學生上臺講解)生1：?? 生2：??

根據學生的回答，教師板書(注意，條件的書寫順序)?? 與學生一起回顧證明方法，逐步培養反思的習慣，形成理性思維.師：從這道例題中，我們又得出了證明線段相等的又一方法，先證兩線段所在的三角形全等，這樣，對應邊也就相等了.3

www.tmdps.cn 設計思想

1.在幾個探究中，設計了“自主探究——合作交流”的主體形式，目的是先給學生獨立思考的時間，提供給學生創新的空間與可能，再給不同層次的學生提供一個交流合作的機會，讓自己的觀點與別人的觀點相互碰撞與補充，共同解決一些困難，從而培養學生獨立探究的能力、創新能力、相互交流與合作的能力.2.經歷探究、發現規律之后，均安排了學生用自己的語言歸納與表達的環節.這是因為學生的歸納整理、表達能力的提高并非是一蹴而就的，而是一個循序漸進的過程.因此，我們在每堂課中都應予以重視，并積極鼓勵，讓學生大膽表達.3.在探究出新知識，或解決了一個問題后，引導學生及時對知識或方法進行回顧總結.目的是讓學生及時把新知識納入已有的知識結構，從而構建更完整、更有效的知識體系，并可以逐步培養學生反思的習慣，獲得更好的學習方法，也養成理性的思維習慣.5

www.tmdps.cn 2.師：好，現在不要求馬上給出結論.看看，通過動手探究，你是否能得出結論.直角三角形我們用Rt△表示.3.探究8：

任意畫出一個Rt△ABC，使∠C＝90°，再畫一個Rt△A'B'C'，使B'C'=BC，A'B'=AB，把畫好的RtΔA'B'C'剪下，放到Rt△ABC上，看看它們是否全等.(課件出示題目，師生一起看題)生：(獨立探究，動手作圖)師：遇到不能解決的問題，可提問或由四人小組解決.注：培養學生的分析、作圖能力.師：(看大部分同學已畫好)現在請同學把自己的畫法與這里出現的畫法比較一下，你是否也是這樣畫的?(課件出示畫法，出示一步畫一步)畫法直接由教師給出，而不安排學生畫出，是考慮學生反映畫圖有一定的難度，況且作圖不是本節課的重點.師：畫好后，把Rt△A'B'C'剪下，放到Rt△ABC上，看它們全等嗎? 生：全等.師：非常好.我們這樣畫的Rt△與原來的Rt△是全等的，這反映了一個什么規律?(先讓學生同桌互相說說，再全班交流)生1：??

生2：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.注：讓學生表述，培養歸納、表達能力，并能進一步理解“HL”這一條件.師：說得非常好.這規律，我們可以簡寫成“斜邊，直角邊”或“HL”，這是不同于一般全等三角形的判定方法.4.例4 師：接著我們看看，“HL”能有哪一些應用?(課件出示例4)師：結合圖形，自己先分析一下已知條件和求證.生：(讀題、思考)??(少數學生能很快得出方法)注：自己讀題、審題，先獨自證明,培養學生獨自面對困難的勇氣和信心.師：從這些已知條件中，我們能發現什么?結合所求證的，你又能發現什么?(留時間讓生思考)??

www.tmdps.cn 設計思想

1.規律的探究，例題的學習，讓學生獨立思考，自主探究得出.這體現了學生主體性原則.并在探究之后，讓學生相互交流，或上臺展示自己的成果，讓學生獲得成功的體驗，激發再次探究的熱情.2.“授人以魚，不如授之以漁”.掌握學習方法，能更有效的學習；掌握解題技巧，能更好的解題.本堂課中，把握機會，注重引導學生對知識、對學習方法、對解題技巧及時的小結，也積累更多的學習經驗；并且長此以往，能逐漸養成反思的習慣，培養理性思維.9

www.tmdps.cn 5.看一看：多媒體課件動態演示1(可用“幾何畫板”制作)，當拖動∠AOB平分線OC上的點P時，觀察PM、PN(PM⊥OA，PN⊥OB)度量值的變化規律，發現：PM=PN，即“在角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”的事實；

注：課件的演示，既激發學生的學習興趣，而且讓學生對角平分線性質有了形象、直觀的認識.6.折一折：

按教科書108頁“探究”題的要求，讓學生分組折紙，驗證上面的事實，并利用三角形全等知識進行解釋；在已有成功經驗的基礎上，繼續探究與應用，提升分析解決問題的能力并增進運用數學的情感體驗.7.試一試：

多媒體課件動態演示2，當拖動∠AOB內部的點P時，在保持PM=PN(PM⊥OA，PN⊥OB)的前提下，觀察點P留下的痕跡，發現：射線OP是∠AOB的平分線，要求學生利用三角形全等知識進行解釋；

注：在說理的過程中加深對角平分線性質；判定定理的理解.8.給出角平分線的性質和判定定理.解析、應用與拓展 1.解決教科書108頁思考題

分析：把公路、鐵路看成兩條相交線，先作其交角的平分線OB(O為頂點)，再在OB上作OS，使OS=2.5cm，點S即為所求.2.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點D，若BC=8，BD=5，則點D到AB的距離為多少? 注：發展學生應用數學的意識與能力.3.能用尺規作出一個45°的角嗎? 注：只要作法合理，均應給予肯定.1

www.tmdps.cn 13.3 角的平分線的性質(2)教學目標

①能夠利用角平分線的性質和判定進行推理和計算，解決一些實際問題.②進一步發展學生的推理證明意識和能力.③結合實際，創造豐富的情境，提高學生的學習興趣，讓他們在活動中獲得成功的體驗，培養學生的探索精神，樹立學習的信心.教學重點與難點

重點：角平分線性質和判定的應用.難點：運用角平分線性質和判定證明及解決實際問題.教學準備

三角形紙及多媒體課件.教學設計

創設情境，提出問題 播放多媒體課件.課件背景資料選自教科書第115頁第6題.注：通過有趣的問題引入，激發學生的學習積極性.討論交流，探究問題 1.學生活動一：

剪一個三角形紙片，通過折疊找出每個角的平分線，觀察這三條角平分線，你發現了什么?與同伴進行交流.2.學生活動二：

畫一個三角形，利用尺規作出這個三角形三個內角的平分線.你是否也發現了同樣的結果?與同伴進行交流.通過折紙及作圖過程，由學生自己去發現結論，教師要有足夠的耐心，要為學生的思考留有時間和空間.注：教師針對學生的討論情況，進行點評，引導分析，滲透數學建模的思想，達成共識后得到結論：

三角形三個內角的平分線交于一點，并且這一點到三邊的距離相等.建立模型，解決問題

www.tmdps.cn 要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有：()A.一處 B.兩處 C.三處 D.四處 分析：如下圖此題可以用教科書115頁第6題的方法來解決，但沒有“三條公路圍成的一塊平地上修建”的限制，因此滿足要求的地址共有四處，應選D.注：重視培養學生思維的廣闊性，鼓勵學生積極思考，勇于探索.小結歸納

今天你又學到了哪些新的知識?有什么收獲? 注：發揮學生的主體意識，培養學生的歸納能力.布置作業

1.必做題：教科書第110頁習題13.3第3、5題.2.選做題：

(1)教科書111頁習題13.3第6題.(2)與相交的兩條直線距離相等的點在：()A.一條直線上 B.兩條互相垂直的直線上 C.一條射線上 D.兩條互相垂直的射線上

3.備選題：

(1)如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，下面給出四個結論：①DA平分∠EDF；②AE=AF；③AD上的點到B、C兩點的距離相等；④到AE、AF距離相等的點，到DE、DF的距離也相等，其中正確的結論有：()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個(2)任意作一個鈍角，求作它的角平分線.設計思想

本課題設計思路按操作、猜想、驗證的學習過程，遵循學生的認知規律，體現了數學學習的必然性.教學始終圍繞著問題而展開，先從出示問題開始，鼓勵學生思考、探索問題中所包含的數學知識，而后設計了第一個學生活動——折紙，讓學生體驗三角形角平分線交于一點的事實，并得出了進一步的猜想，緊接著推出了第二個學生活動——尺規作圖，以達到復習舊知和再次驗證猜想的目的，猜想是否正確?還得進行證明，從而激發了學生

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評價建議與測試題

I、評價建議

1.關注學生在本章數學學習活動中全等三角形概念的建立和探究三角形全等的條件的過程。

2.對知識與技能的評價應側重于在三角形全等的判定、性質和角的平分線性質的運用上，同時還要有一定的數量的實際問題.3.在掌握知識的同時，關注學生在觀察、思考、探究、交流活動中主動參與的程度以及交流的意識.例如：設計一些開放性，探究性的問題，寫心得體會，通過交流進行評價.II、測試題(時間：45分鐘，滿分100分)

一、選擇題(每小題4分，共20分)1.如圖，△ABC≌△BAD，點A和點B，點C和點D是對應點，如果AB＝6cm，BD＝5cm，AD=4cm，那么BC的長是()(A)4 cm(B)5 cm(C)6 cm(D)無法確定

(第1題)

(本題意在考查全等三角形對應邊的確定和全等三角形的性質(對應邊相等).)

2.如圖，△ABE≌△ACD，AB=AC，BE=CD，∠B=50°，∠AEC=120°，則∠DAC的度數等于()(A)120°(B)70°(C)60°(D)50°

(第2題)

(本題意在考查全等三角形對應角的確定和全等三角形性質對應角相等.)

3.使兩個直角三角形全等的條件是()(A)一銳角對應相等(B)兩銳角對應相等(C)一條邊對應相等(D)兩條邊對應相等

(本題意在考查用“SAS”判定兩個三角形全等和用“HL”判定兩個直角三角形全等的方法.)

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8.如圖，∠1=∠2，要使△ABC≌△ACE，還需添加一個條件是_____(填上你認為適當的一個條件即可).(本題具有開放性，屬條件開放題，考查三角形全等判定的知識；思維發散能力和思維的全面性.)

(第8題)

9.如圖，AC⊥BD于O，BO=OD，圖中共有全等三角形__對.(本題意在考查判定三角形全等條件的綜合運用、全等三角形的性質及觀察能力、抽象思維能力.)

(第9題)

三、證明題(每題12分，共36分)10.如圖，AC=AD，BC=BD，圖中有相等的角嗎?請找出來，并說明你的理由.(本題意在考查根據已知條件證明兩個三角形全等；利用全等三角形證明角相等的方法.)

(第10題)

11.如圖，D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，∠ADE=∠AED.求證AB=AC(本題意在考查尋找隱含條件，推出所需要的條件，證明兩個三角形全等；并利用全等三角形證明線段相等的方法.)

(第11題)

www.tmdps.cn 測試題答案

1.A 2.B 3.D 4.B 5.C 6.∠B與∠D，∠AOB與∠COD；AO與CO，BO與DO，AB與CD.7.4 cm.8.∠BAE＝∠CAE或BE＝CE或∠B=∠C 9.3.10.有，它們是∠BAC＝∠BAD，∠CBA=∠DBA，∠C=∠D.提示：證明△ABC≌△ABD.11.提示：證明△ADB≌△AEC(SAS)12.提示：證明△DEB≌△DFC.13.(1)圖中是通過繞點A旋轉90°，使△ABE變到△ADF位置的.(2)BE＝DF，BE⊥DF.提示：延長BE交DF于G，由△ABE≌△ADF有BE=DF，∠ABE＝∠ADF.又∠AEB=∠DEG，∴∠DGB＝∠DAB＝90°.∴BE⊥DF.14.答案不唯一.例如：求河寬AB.可在平地上選取一個可直接到達A和B的點C，連接AC并延長到D，使CD＝CA，連接BC并延長到E，使CE=CB，連接DE，那么量出DE的長，就是A、B的距離.1-

第五篇：全等三角形經典題目測試含答案

全等三角形經典題目測試含答案

一．選擇題（共13小題,共39分）

1．（2013賀州）如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交點，則BF的長是（）

A．

4cm

B．

6cm

C．

8cm

D．

9cm

2．（2011蕪湖）如圖，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交點，CD=4，則線段DF的長度為（）

（第1題）

（第2題）

（第3題）

（第4題）

A．

B．

C．

D．

·

3．（2011恩施州）如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE=DG，△ADG和△AED的面積分別為50和39，則△EDF的面積為（）

A．

B．

C．

D．

4．（2010岳陽）如圖，要使△ABC≌△ABD，下面給出的四組條件中，錯誤的一組是（）

A．

BC=BD，∠BAC=∠BAD

B．

∠C=∠D，∠BAC=∠BAD

C．

∠BAC=∠BAD，∠ABC=∠ABD

D．

BC=BD，AC=AD

5．（2010鄂州）如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC交AC于點F．S△ABC=7，DE=2，AB=4，則AC長是（）

A．

B．

C．

D．

6．（2009西寧）用直尺和圓規作一個角等于已知角的示意圖如下，則說明∠A′O′B′=∠AOB的依據是（）

A．

（S．S．S．）

B．

（S．A．S．）

C．

（A．S．A．）

D．

（A．A．S．）

7．（2009蕪湖）如圖所示的4×4正方形網格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=（）

（第7題）

（第8題）

A．

330°

B．

315°

C．

310°

D．

320°

8．（2009臨沂）如圖，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分別為A，B．下列結論中不一定成立的是（）

A．

PA=PB

B．

PO平分∠APB

C．

OA=OB

D．

AB垂直平分OP

9．（2009江蘇）如圖，給出下列四組條件：

①AB=DE，BC=EF，AC=DF；

②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；

③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；

④AC=DF，∠A=∠D，∠B=∠E；

其中能使△ABC≌△DEF的條件共有（）

A．

1組

B．

2組

C．

3組

D．

4組

10．（2008新疆）如圖，△ABC中BC邊上的高為h1，△DEF中DE邊上的高為h2，下列結論正確的是（）

A．

h1＞h2

B．

h1＜h2

C．

h1=h2

D．

無法確定

11．如圖，點P是∠BAC的平分線AD上一點，PE⊥AC于點E．已知PE=3，則點P到AB的距離是（）

（第11題）

（第12題）

（第13題）

A．

B．

C．

D．

12．如圖，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列條件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的條件有（）

A．

4個

B．

3個

C．

2個

D．

1個

13．如圖，已知AC平分∠PAQ，點B，B′分別在邊AP，AQ上．下列條件中不能推出AB=AB′的是（）

A．

BB′⊥AC

B．

BC=B′C

C．

∠ACB=∠ACB′

D．

∠ABC=∠AB′C

二．填空題（共7小題，共21分）

14．（2013麗水）如圖，在Rt△ABC中，∠A=Rt∠，∠ABC的平分線BD交AC于點D，AD=3，BC=10，則△BDC的面積是　_________　．

（第14題）

（第15題）

15．（2012通遼）如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA長分別為40、50、60．其三條角平分線交于點O，則S△ABO：S△BCO：S△CAO=　_________　．

16．（2012臨沂）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一點E，使EC=BC，過點E作EF⊥AC交CD的延長線于點F，若EF=5cm，則AE=　_________　cm．

（第16題）

（第17題）

（第18題）

17．（2011資陽）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE相交于點F，若BF=AC，則∠ABC=　_________　度．

18．（2011郴州）如圖，已知∠1=∠2=90°，AD=AE，那么圖中有　_________　對全等三角形．

19．（2008大興安嶺）如圖，∠BAC=∠ABD，請你添加一個條件：　_________，使OC=OD（只添一個即可）．

20．如圖，已知方格紙中是4個相同的正方形，則∠1+∠2+∠3=　_________　度．

三．解答題（共6小題，共60分）

21．（2013陜西）如圖，∠AOB=90°，OA=OB，直線l經過點O，分別過A、B兩點作AC⊥l交l于點C，BD⊥l交l于點D．

求證：AC=OD．

22．（2012云南）如圖，在△ABC中，∠C=90°，點D是AB邊上的一點，DM⊥AB，且DM=AC，過點M作ME∥BC交AB于點E．

求證：△ABC≌△MED．

23．（2011烏魯木齊）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于點E．AD⊥CE于點D．

求證：△BEC≌△CDA．

24．（2012密云縣二模）已知：如圖，∠C=∠CAF=90°，點E在AC上，且AE=BC，EF⊥AB于點D．求證：AB=FE．

A

B

C

D

E

25.如圖，在ABC中，AB=AC，點D是BC的中點，點E在AD上.⑴求證：BE=CE；

⑵若BE的延長線交AC于點F，且BF⊥AC,垂足為F，∠BAC=45°，原題設其它條件不變.求證：AEF≌BCF.C

E

A

B

D

F

26.（10分）如圖，△ABC中，AD是∠CAB的平分線，且AB=AC+CD，求證：∠C=2∠B．

一．選擇題（共13小題）

1．（2013賀州）如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交點，則BF的長是（）

A．

4cm

B．

6cm

C．

8cm

D．

9cm

考點：

全等三角形的判定與性質．

分析：

求出∠FBD=∠CAD，AD=BD，證△DBF≌△DAC，推出BF=AC，代入求出即可．

解答：

解：∵F是高AD和BE的交點，∴∠ADC=∠ADB=∠AEF=90°，∴∠CAD+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，∵∠AFE=∠BFD，∴∠CAD=∠FBD，∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，∴∠BAD=45°=∠ABD，∴AD=BD，在△DBF和△DAC中

∴△DBF≌△DAC，∴BF=AC=8cm，故選C．

點評：

本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的性質和判定，三角形的內角和定理的應用，關鍵是推出△DBF≌△DAC．

2．（2011?蕪湖）如圖，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交點，CD=4，則線段DF的長度為（）

A．

B．

C．

D．

考點：

全等三角形的判定與性質．

分析：

先證明AD=BD，再證明∠FBD=∠DAC，從而利用ASA證明△BDF≌△CDA，利用全等三角形對應邊相等就可得到答案．

解答：

解：

∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADB=∠AEB=∠ADC=90°，∴∠EAF+∠AFE=90°，∠FBD+∠BFD=90°，∵∠AFE=∠BFD，∴∠EAF=∠FBD，∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，∴∠BAD=45°=∠ABC，∴AD=BD，在△ADC和△BDF中，∴△ADC≌△BDF，∴DF=CD=4，故選：B．

點評：

此題主要考查了全等三角形的判定，關鍵是找出能使三角形全等的條件．

3．（2011?恩施州）如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE=DG，△ADG和△AED的面積分別為50和39，則△EDF的面積為（）

A．

B．

C．

D．

考點：

角平分線的性質；全等三角形的判定與性質．

專題：

計算題．

分析：

作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分線的性質得到DN=DF，將三角形EDF的面積轉化為三角形DNM的面積來求．

解答：

解：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，∵DE=DG，DM=DE，∴DM=DG，∵AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，∴DF=DN，∴△DEF≌△DNM（HL），∵△ADG和△AED的面積分別為50和39，∴S△MDG=S△ADG﹣S△ADM=50﹣39=11，S△DNM=S△DEF=S△MDG==

故選B．

點評：

本題考查了角平分線的性質及全等三角形的判定及性質，解題的關鍵是正確地作出輔助線，將所求的三角形的面積轉化為另外的三角形的面積來求．

4．（2010?岳陽）如圖，要使△ABC≌△ABD，下面給出的四組條件中，錯誤的一組是（）

A．

BC=BD，∠BAC=∠BAD

B．

∠C=∠D，∠BAC=∠BAD

C．

∠BAC=∠BAD，∠ABC=∠ABD

D．

BC=BD，AC=AD

考點：

全等三角形的判定．

分析：

根據全等三角形的判定方法，對每個選項分別分析、解答出即可；

解答：

解：A、BC=BD，∠BAC=∠BAD，又由圖可知AB為公共邊，不能證明△ABC和△ABD全等，故本項錯誤，符合題意；

B、∠C=∠D，∠BAC=∠BAD，又AB=AB，能證明△ABC和△ABD全等，故本項正確，不符合題意；

C、∠BAC=∠BAD，∠ABC=∠ABD，又AB=AB，能證明△ABC和△ABD全等，故本項正確，不符合題意；

D、BC=BD，AC=AD，又AB=AB，能證明△ABC和△ABD全等，故本項正確，不符合題意．

故選A．

點評：

本題主要考查了全等三角形的判定方法，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應相等，則必須再找一組對邊對應相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應鄰邊．

5．（2010?鄂州）如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC交AC于點F．S△ABC=7，DE=2，AB=4，則AC長是（）

A．

B．

C．

D．

考點：

角平分線的性質；三角形的面積．

分析：

首先由角平分線的性質可知DF=DE=2，然后由S△ABC=S△ABD+S△ACD及三角形的面積公式得出結果．

解答：

解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC交AC于點F，∴DF=DE=2．

又∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，AB=4，∴7=×4×2×AC×2，∴AC=3．

故選B．

點評：

本題主要考查了角平分線的性質；利用三角形的面積求線段的大小是一種很好的方法，要注意掌握應用．

6．（2009?西寧）用直尺和圓規作一個角等于已知角的示意圖如下，則說明∠A′O′B′=∠AOB的依據是（）

A．

（S．S．S．）

B．

（S．A．S．）

C．

（A．S．A．）

D．

（A．A．S．）

考點：

全等三角形的判定．

專題：

作圖題．

分析：

我們可以通過其作圖的步驟來進行分析，作圖時滿足了三條邊對應相等，于是我們可以判定是運用SSS，答案可得．

解答：

解：作圖的步驟：

①以O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA、OB于點C、D；

②任意作一點O′，作射線O′A′，以O′為圓心，OC長為半徑畫弧，交O′A′于點C′；

③以C′為圓心，CD長為半徑畫弧，交前弧于點D′；

④過點D′作射線O′B′．

所以∠A′O′B′就是與∠AOB相等的角；

作圖完畢．

在△OCD與△O′C′D′，∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），∴∠A′O′B′=∠AOB，顯然運用的判定方法是SSS．

故選A．

點評：

此題是一道綜合題，不但考查了學生對作圖方法的掌握，也是對全等三角形的判定的方法的考查．

7．（2009?蕪湖）如圖所示的4×4正方形網格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=（）

A．

330°

B．

315°

C．

310°

D．

320°

考點：

全等三角形的判定與性質．

專題：

網格型．

分析：

利用正方形的性質，分別求出多組三角形全等，如∠1和∠7的余角所在的三角形全等，得到∠1+∠7=90°等，可得所求結論．

解答：

解：由圖中可知：①∠4=×90°=45°，②∠1和∠7的余角所在的三角形全等

∴∠1+∠7=90°

同理∠2+∠6=90°，∠3+∠5=90°∠4=45°

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=3×90°+45°=315°

故選B．

點評：

考查了全等三角形的性質與判定；做題時主要利用全等三角形的對應角相等，得到幾對角的和的關系，認真觀察圖形，找到其中的特點是比較關鍵的．

8．（2009?臨沂）如圖，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分別為A，B．下列結論中不一定成立的是（）

A．

PA=PB

B．

PO平分∠APB

C．

OA=OB

D．

AB垂直平分OP

考點：

角平分線的性質．

分析：

本題要從已知條件OP平分∠AOB入手，利用角平分線的性質，對各選項逐個驗證，選項D是錯誤的，雖然垂直，但不一定平分OP．

解答：

解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB

∴PA=PB

∴△OPA≌△OPB

∴∠APO=∠BPO，OA=OB

∴A、B、C項正確

設PO與AB相交于E

∵OA=OB，∠AOP=∠BOP，OE=OE

∴△AOE≌△BOE

∴∠AEO=∠BEO=90°

∴OP垂直AB

而不能得到AB平分OP

故D不成立

故選D．

點評：

本題主要考查平分線的性質，由已知能夠注意到△OPA≌△OPB，進而求得△AOE≌△BOE是解決的關鍵．

9．（2009?江蘇）如圖，給出下列四組條件：

①AB=DE，BC=EF，AC=DF；

②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；

③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；

④AC=DF，∠A=∠D，∠B=∠E；

其中能使△ABC≌△DEF的條件共有（）

A．

1組

B．

2組

C．

3組

D．

4組

考點：

全等三角形的判定．

分析：

要判斷能不能使△ABC≌△DEF一定要熟練運用判定方法判斷，做題時注意兩邊與其中一邊的對角相等的兩個三角形不一定全等，要根據已知條件的位置來選擇判定方法．

解答：

解：根據全等三角形的判定方法可知：

①AB=DE，BC=EF，AC=DF，用的判定方法是“邊邊邊”；

②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，用的判定方法是“邊角邊”；

③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F用的判定方法是“角邊角”；

④AC=DF，∠A=∠D，∠B=∠E，用的判定方法是“角角邊”；

因此能使△ABC≌△DEF的條件共有4組．

故選D．

點評：

本題考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性質，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA，HL．

注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．

10．（2008?新疆）如圖，△ABC中BC邊上的高為h1，△DEF中DE邊上的高為h2，下列結論正確的是（）

A．

h1＞h2

B．

h1＜h2

C．

h1=h2

D．

無法確定

考點：

全等三角形的判定與性質．

分析：

本題可通過構建全等三角形進行求解．過點A作AM⊥BC交BC于點M，過點F作FN⊥DE交DE的延長線于點N，則有AM=h1，FN=h2；因此只要證明△AMC≌△FNE，即可得出h1=h2．

解答：

解：過點A作AM⊥BC交BC于點M，過點F作FN⊥DE交DE的延長線于點N，則有AM=h1，FN=h2；

在△AMC和△FNE中，∵AM⊥BC，FN⊥DE，∴∠AMC=∠FNE；

∵∠FED=115°，∴∠FEN=65°=∠ACB；

∵又AC=FE，∴△AMC≌△FNE；

∴AM=FN，∴h1=h2．

故選C．

點評：

本題主要考查了全等三角形的判定幾性質；做題中通過作輔助線構造了全等三角形是解決本題的關鍵，也是一種很重要的方法，要注意學習、掌握．

11．（2007?義烏市）如圖，點P是∠BAC的平分線AD上一點，PE⊥AC于點E．已知PE=3，則點P到AB的距離是（）

A．

B．

C．

D．

考點：

角平分線的性質．

分析：

已知條件給出了角平分線還有PE⊥AC于點E等條件，利用角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，即可求解．

解答：

解：利用角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等可知點P到AB的距離是也是3．

故選A．

點評：

本題主要考查了角平分線上的一點到角的兩邊的距離相等的性質．做題時從已知開始思考，想到角平分線的性質可以順利地解答本題．

12．（2006?十堰）如圖，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列條件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的條件有（）

A．

4個

B．

3個

C．

2個

D．

1個

考點：

全等三角形的判定．

分析：

∠1=∠2，∠BAC=∠EAD，AC=AD，根據三角形全等的判定方法，可加一角或夾已知角的另一邊．

解答：

解：∠1=∠2，AC=AD，加①AB=AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；

加③∠C=∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；

加④∠B=∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；

加②BC=ED只是具備SSA，不能判定三角形全等．

故選B．

點評：

本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．做題時要根據已知條件在圖形上的位置，結合判定方法，進行添加．

13．（2005?烏蘭察布）如圖，已知AC平分∠PAQ，點B，B′分別在邊AP，AQ上．下列條件中不能推出AB=AB′的是（）

A．

BB′⊥AC

B．

BC=B′C

C．

∠ACB=∠ACB′

D．

∠ABC=∠AB′C

考點：

角平分線的性質．

分析：

根據已知條件結合三角形全等的判定方法，驗證各選項提交的條件是否能證△ABC≌△AB′C即可．

解答：

解：如圖：∵AC平分∠PAQ，點B，B′分別在邊AP，AQ上，A：若BB′⊥AC，在△ABC與△AB′C中，∠BAC=∠B′AC，AC=AC，∠ACB=∠ACB′，∴△ABC≌△AB′C，AB=AB′；

B：若BC=B′C，不能證明△ABC≌△AB′C，即不能證明AB=AB′；

C：若∠ACB=∠ACB′，則在△ABC與△AB＇C中，∠BAC=∠B′AC，AC=AC，△ABC≌△AB′C，AB=AB′；

D：若∠ABC=∠AB′C，則∠ACB=∠ACB′∠BAC=∠B′AC，AC=AC，△ABC≌△AB′C，AB=AB′．

故選B．

點評：

本題考查的是三角形角平分線的性質及三角形全等的判定；做題時要結合已知條件在圖形上的位置對選項逐個驗證．

二．填空題（共7小題）

14．（2013?麗水）如圖，在Rt△ABC中，∠A=Rt∠，∠ABC的平分線BD交AC于點D，AD=3，BC=10，則△BDC的面積是　15　．

考點：

角平分線的性質．

分析：

過D作DE⊥BC于E，根據角平分線性質求出DE=3，根據三角形的面積求出即可．

解答：

解：過D作DE⊥BC于E，∵∠A=90°，∴DA⊥AB，∵BD平分∠ABC，∴AD=DE=3，∴△BDC的面積是×DE×BC=×10×3=15，故答案為：15．

點評：

本題考查了角平分線性質和三角形的面積的應用，注意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．

15．（2012?通遼）如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA長分別為40、50、60．其三條角平分線交于點O，則S△ABO：S△BCO：S△CAO=　4：5：6　．

考點：

角平分線的性質．

分析：

首先過點O作OD⊥AB于點D，作OE⊥AC于點E，作OF⊥BC于點F，由OA，OB，OC是△ABC的三條角平分線，根據角平分線的性質，可得OD=OE=OF，又由△ABC的三邊AB、BC、CA長分別為40、50、60，即可求得S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．

解答：

解：過點O作OD⊥AB于點D，作OE⊥AC于點E，作OF⊥BC于點F，∵OA，OB，OC是△ABC的三條角平分線，∴OD=OE=OF，∵△ABC的三邊AB、BC、CA長分別為40、50、60，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（AB?OD）：（BC?OF）：（AC?OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6．

故答案為：4：5：6．

點評：

此題考查了角平分線的性質．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．

16．（2012?臨沂）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一點E，使EC=BC，過點E作EF⊥AC交CD的延長線于點F，若EF=5cm，則AE=　3　cm．

考點：

全等三角形的判定與性質．

分析：

根據直角三角形的兩銳角互余的性質求出∠ECF=∠B，然后利用“角邊角”證明△ABC和△FEC全等，根據全等三角形對應邊相等可得AC=EF，再根據AE=AC﹣CE，代入數據計算即可得解．

解答：

解：∵∠ACB=90°，∴∠ECF+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°，∴∠ECF=∠B，在△ABC和△FEC中，∴△ABC≌△FEC（ASA），∴AC=EF，∵AE=AC﹣CE，BC=2cm，EF=5cm，∴AE=5﹣2=3cm．

故答案為：3．

點評：

本題考查了全等三角形的判定與性質，根據直角三角形的性質證明得到∠ECF=∠B是解題的關鍵．

17．（2011?資陽）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE相交于點F，若BF=AC，則∠ABC=　45　度．

考點：

直角三角形全等的判定；全等三角形的性質．

分析：

根據三角形全等的判定和性質，先證△ADC≌△BDF，可得BD=AD，可求∠ABC=∠BAD=45°．

解答：

解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E

∴∠EAF+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，又∵∠BFD=∠AFE（對頂角相等）

∴∠EAF=∠DBF，在Rt△ADC和Rt△BDF中，∴△ADC≌△BDF（AAS），∴BD=AD，即∠ABC=∠BAD=45°．

故答案為：45

點評：

三角形全等的判定是中考的熱點，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等，先根據已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．

18．（2011?郴州）如圖，已知∠1=∠2=90°，AD=AE，那么圖中有　3　對全等三角形．

考點：

全等三角形的判定．

分析：

根據題意，結合圖形，可得知△AEB≌△ADC，△BED≌△CDE，△BOD≌△COE．做題時要從已知條件開始結合圖形利用全等的判定方法由易到難逐個尋找．

解答：

解：①△AEB≌△ADC；

∵AE=AD，∠1=∠2=90°，∠A=∠A，∴△AEC≌△ADC；

∴AB=AC，∴BD=CE；

②△BED≌△CDE；

∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∵∠ADC=∠AEB，∴∠CDE=∠BED，∴△BED≌△CDE．

③∵BD=CE，∠DBO=∠ECO，∠BOD=∠COE，∴△BOD≌△COE．

故答案為3．

點評：

本題重點考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，無法證明三角形全等，本題是一道較為簡單的題目

19．（2008?大興安嶺）如圖，∠BAC=∠ABD，請你添加一個條件：　∠C=∠D或AC=BD，使OC=OD（只添一個即可）．

考點：

全等三角形的判定．

專題：

開放型．

分析：

本題可通過全等三角形來證簡單的線段相等．△AOD和△BOC中，由于∠BAC=∠ABD，可得出OA=OB，又已知了∠AOD=∠BOC，因此只需添加一組對應角相等即可得出兩三角形全等，進而的得出OC=OD．也可直接添加AC=BD，然后聯立OA=OB，即可得出OC=OD．

解答：

解：∵∠BAC=∠ABD，∴OA=OB，又有∠AOD=∠BOC；

∴當∠C=∠D時，△AOD≌△BOC；

∴OC=OD．

故填∠C=∠D或AC=BD．

點評：

本題考查了全等三角形的判定；題目是開放型題目，根據已知條件結合判定方法，找出所需條件，一般答案不唯一，只要符合要求即可．

20．（2005?荊門）如圖，已知方格紙中是4個相同的正方形，則∠1+∠2+∠3=　135　度．

考點：

全等三角形的判定與性質．

專題：

網格型．

分析：

根據對稱性可得∠1+∠3=90°，∠2=45°．

解答：

解：觀察圖形可知，∠1所在的三角形與角3所在的三角形全等，∴∠1+∠3=90°，又∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=135°．

點評：

主要考查了正方形的性質和全等三角形的判定．充分利用正方形的特殊性質來找到全等的條件從而判定全等后利用全等三角形的性質解題．

三．解答題（共6小題）

21．（2013?陜西）如圖，∠AOB=90°，OA=OB，直線l經過點O，分別過A、B兩點作AC⊥l交l于點C，BD⊥l交l于點D．

求證：AC=OD．

考點：

全等三角形的判定與性質．

專題：

證明題．

分析：

根據同角的余角相等求出∠A=∠BOD，然后利用“角角邊”證明△AOC和△OBD全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可．

解答：

證明：∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，∵AC⊥l，BD⊥l，∴∠ACO=∠BDO=90°，∴∠A+∠AOC=90°，∴∠A=∠BOD，在△AOC和△OBD中，∴△AOC≌△OBD（AAS），∴AC=OD．

點評：

本題考查了全等三角形的判定與性質，同角的余角相等的性質，利用三角形全等證明邊相等是常用的方法之一，要熟練掌握并靈活運用．

22．（2012?云南）如圖，在△ABC中，∠C=90°，點D是AB邊上的一點，DM⊥AB，且DM=AC，過點M作ME∥BC交AB于點E．

求證：△ABC≌△MED．

考點：

全等三角形的判定．

專題：

證明題．

分析：

根據平行線的性質可得出∠B=∠MED，結合全等三角形的判定定理可判斷△ABC≌△MED．

解答：

證明：∵MD⊥AB，∴∠MDE=∠C=90°，∵ME∥BC，∴∠B=∠MED，在△ABC與△MED中，∴△ABC≌△MED（AAS）．

點評：

此題考查了全等三角形的判定，要求掌握三角形全等的判定定理，難度一般．

23．（2011?烏魯木齊）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于點E．AD⊥CE于點D．

求證：△BEC≌△CDA．

考點：

全等三角形的判定．

專題：

證明題．

分析：

根據垂直的定義以及等量代換可知∠CBE=∠ACD，根據已知條件∠BEC=∠CDA，∠CBE=∠ACD，BC=AC，根據全等三角形的判定AAS即可證明△BEC≌△CDA．

解答：

證明：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，∴∠BEC=∠CDA=90°，在Rt△BEC中，∠BCE+∠CBE=90°，在Rt△BCA中，∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CBE=∠ACD，在△BEC和△CDA中，∠BEC=∠CDA，∠CBE=∠ACD，BC=AC，∴△BEC≌△CDA．

點評：

本題考查了全等三角形的判定定理，本題根據AAS證明兩三角形全等，難度適中．

24．（2008?臺州）CD經過∠BCA頂點C的一條直線，CA=CB．E，F分別是直線CD上兩點，且∠BEC=∠CFA=∠α．

（1）若直線CD經過∠BCA的內部，且E，F在射線CD上，請解決下面兩個問題：

①如圖1，若∠BCA=90°，∠α=90°，則BE　=　CF；EF　=　|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；

②如圖2，若0°＜∠BCA＜180°，請添加一個關于∠α與∠BCA關系的條件　∠α+∠BCA=180°，使①中的兩個結論仍然成立，并證明兩個結論成立．

（2）如圖3，若直線CD經過∠BCA的外部，∠α=∠BCA，請提出EF，BE，AF三條線段數量關系的合理猜想（不要求證明）．

考點：

直角三角形全等的判定；三角形內角和定理．

專題：

幾何綜合題．

分析：

由題意推出∠CBE=∠ACF，再由AAS定理證△BCE≌△CAF，繼而得答案．

解答：

解：（1）①∵∠BCA=90°，∠α=90°，∴∠BCE+∠CBE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∴∠CBE=∠ACF，∵CA=CB，∠BEC=∠CFA；

∴△BCE≌△CAF，∴BE=CF；EF=|BE﹣AF|．

②所填的條件是：∠α+∠BCA=180°．

證明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE=180°﹣∠BEC=180°﹣∠α．

∵∠BCA=180°﹣∠α，∴∠CBE+∠BCE=∠BCA．

又∵∠ACF+∠BCE=∠BCA，∴∠CBE=∠ACF，又∵BC=CA，∠BEC=∠CFA，∴△BCE≌△CAF（AAS）

∴BE=CF，CE=AF，又∵EF=CF﹣CE，∴EF=|BE﹣AF|．

（2）EF=BE+AF．

點評：

本題綜合考查全等三角形、等邊三角形和四邊形的有關知識．注意對三角形全等，相似的綜合應用．

25．（2005?揚州）（本題有3小題，第（1）小題為必答題，滿分5分；第（2）、（3）小題為選答題，其中，第（2）小題滿分3分，第（3）小題滿分6分，請從中任選1小題作答，如兩題都答，以第（2）小題評分．）

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，求證：

①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；

（2）當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，求證：DE=AD﹣BE；

（3）當直線MN繞點C旋轉到圖3的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關系請寫出這個等量關系，并加以證明．

注意：第（2）、（3）小題你選答的是第2小題．

考點：

全等三角形的判定與性質．

專題：

證明題；探究型．

分析：

（1）根據已知可利用AAS證明①△ADC≌△CEB，由此可證②DE=AD+BE；

（2）根據已知可利用AAS證明△ADC≌△CEB，由此可證DE=AD﹣BE；

（3）根據已知可利用AAS證明△ADC≌△CEB，由此可證DE=BE﹣AD．

解答：

解：（1）①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°．

∴∠CAD=∠BCE．

∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB．

②∵△ADC≌△CEB，∴CE=AD，CD=BE．

∴DE=CE+CD=AD+BE．

（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE．

又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE．

∴CE=AD，CD=BE．

∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE．

（3）當MN旋轉到圖3的位置時，AD、DE、BE所滿足的等量關系是DE=BE﹣AD（或AD=BE﹣DE，BE=AD+DE等）．

∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE，又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD﹣CE=BE﹣AD．

點評：

本題重點考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，無法證明三角形全等，再根據全等三角形對應邊相等得出結論．

26．（2012?密云縣二模）已知：如圖，∠C=∠CAF=90°，點E在AC上，且AE=BC，EF⊥AB于點D．求證：AB=FE．

考點：

全等三角形的判定與性質．

專題：

證明題．

分析：

首先證明∠B=∠2，再加上條件AE=BC，∠FAF=∠BCA，可利用ASA證明△ABC≌△FEA，再根據全等三角形對應邊相等可得AB=FE．

解答：

證明：∵EF⊥AB于點D，∴∠ADE=90°．

∴∠1+∠2=90°，又∵∠C=90°，∴∠1+∠B=90°．

∴∠B=∠2，在△ABC和△FEA中，∴△ABC≌△FEA（ASA）

∴AB=FE．