第一篇：中考數學2013年24題證明題及輔助線作法

2013年中考數學培優訓練題

一些幾何題的證明或求解，由原圖形分析探究，有時顯得十分繁難，若通過適當的“補形”來進行，即添置適當的輔助線，將原圖形填補成一個完整的、特殊的、簡單的新圖形，則能使原問題的本質得到充分的顯示，通過對新圖形的分析，使原問題順利獲解。這種方法，我們稱之為補形法，它能培養思維能力和解題技巧。我們學過的三角形、特殊四邊形、圓等都可以作為“補形”的對象?，F就常見的添補的圖形舉例如下，以供參考。

一、補成三角形

1.補成三角形

例1.如圖1，已知E為梯形ABCD的腰CD的中點；

證明：△ABE的面積等于梯形ABCD面積的一半。

2.補成等腰三角形

例2 如圖2.已知∠A＝90°，AB＝AC，∠1＝∠2，CE⊥BD，求證：BD＝2CE

3.補成直角三角形

例3.如圖3，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＋∠C＝90°，F、G分別是AD、BC的中點，若BC＝18，AD＝8，求FG的長。

4.補成等邊三角形

例4.圖4，△ABC是等邊三角形，延長BC至D，延長BA至E，使AE＝BD，連

結CE、ED。證明：EC=ED

二、補成特殊的四邊形

1.補成平行四邊形

例5.如圖5，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、CD、AC、BD的中點，并且E、F、G、H不在同一條直線上，求證：EF和GH互相平分。

圖

32.補成矩形

例6.如圖6，四邊形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AB＝200m，CD＝100m，求AD、BC的長。

3.補成菱形

例7.如圖7，凸五邊形ABCDE中，∠A=∠B＝120°，EA＝AB＝BC＝2，CD＝DE＝4，求其面積

4.補成正方形

例8.如圖8，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAC＝45°，BD＝3，DC＝2。

求△ABC的面積。

5.補成梯形

例9．如圖9，已知： G是△ABC中BC邊上的中線的中點，L是△ABC外的一條直線，自A、B、圖8

圖7

圖6

C、G向L作垂線，垂足分別為A1、B1、C1、G1。求證：GG1＝4(2AA1＋BB1＋CC1)。

圖9

第二篇：輔助線幾何證明題

輔助線的幾何證明題

三角形輔助線做法

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現。

角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。

線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短可試驗。

三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。

常見的輔助線做法

1、遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質解題，思維模式是全等變換中的“對折”。

2、遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉”。

3、遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理。

4、過圖形上某一點作特定的平分線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”。

5、截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。

6、特殊方法：在求有關三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答。

一、倍長中線（線段）造全等

（一）例題講解

例

1、（“希望杯”試題）已知，如圖?ABC中，AB?5，AC?3，求中線AD的取值范圍。分析：本題的關鍵是如何把AB，AC，AD三條線段轉化到同一個三角形當中。解:延長AD到E，使DE?DA，連接BE

又∵BD?CD，?BDE??CDA

∴?BDE??CDA?SAS?，BE?AC?3

∵AB?BE?AE?AB?BE(三角形三邊關系定理)

即2?2AD?8

∴1?AD?4

經驗總結：見中線，延長加倍。

E B D C A

第三篇：中考 數學證明題輔助線經典做法訓練

新智慧輔導中心吳老師：***

初中數學培優訓練題

補形法的應用

班級________姓名__________分數_______

一些幾何題的證明或求解，由原圖形分析探究，有時顯得十分繁難，若通過適當的“補形”來進行，即添置適當的輔助線，將原圖形填補成一個完整的、特殊的、簡單的新圖形，則能使原問題的本質得到充分的顯示，通過對新圖形的分析，使原問題順利獲解。這種方法，我們稱之為補形法，它能培養思維能力和解題技巧。我們學過的三角形、特殊四邊形、圓等都可以作為“補形”的對象?，F就常見的添補的圖形舉例如下，以供參考。

一、補成三角形

1.補成三角形

例1.如圖1，已知E為梯形ABCD的腰CD的中點；

證明：△ABE的面積等于梯形ABCD面積的一半。

分析：過一頂點和一腰中點作直線，交底的延長線于一點，構造等面積的三角形。這也是梯形中常用的輔助線添法之一。

略證：

2.補成等腰三角形

例2 如圖2.已知∠A＝90°，AB＝AC，∠1＝∠2，CE⊥BD，求證：BD＝2CE

分析：因為角是軸對稱圖形，角平分線是對稱軸，故根據對稱性作出輔助

線，不難發現CF＝2CE，再證BD＝CF即可。

略證：

3.補成直角三角形

例3.如圖3，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＋∠C＝90°，F、G分別

是AD、BC的中點，若BC＝18，AD＝8，求FG的長。

分析：從∠B、∠C互余，考慮將它們變為直角三角形的角，故延長BA、CD，要求FG，需求PF、PG。

略解：

圖

34.補成等邊三角形

例4.圖4，△ABC是等邊三角形，延長BC至D，延長BA至E，使AE＝BD，連結CE、ED。證明：EC＝ED

分析：要證明EC＝ED，通常要證∠ECD＝∠EDC，但難以實現。這樣可采

用補形法即延長BD到F，使BF＝BE，連結EF。

略證：

二、補成特殊的四邊形

1.補成平行四邊形

例5.如圖5，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、CD、AC、BD的中點，并且E、F、G、H不在同一條直線上，求證：EF和GH互相平分。

分析：因為平行四邊形的對角線互相平分，故要證結論，需考慮四邊

形GEHF是平行四邊形。

略證：

2.補成矩形

例6.如圖6，四邊形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AB＝200m，CD＝100m，求AD、BC的長。

分析：矩形具有許多特殊的性質，巧妙地構造矩形，可使問題轉化為解直角三角

形，于是一些四邊形中較難的計算題不難獲解。

略解：

圖6

3.補成菱形

例7.如圖7，凸五邊形ABCDE中，∠A=∠B＝120°，EA＝AB＝BC＝2，CD＝

DE＝4，求其面積

分析：延長EA、CB交于P，根據題意易證四邊形PCDE為菱形。

略解：

4.補成正方形

例8.如圖8，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAC＝45°，BD＝3，DC＝2。

求△ABC的面積。

分析：本題要想從已知條件直接求出此三角形的面積確實有些困難，如果

從題設∠BAC＝45°，AD⊥BC出發，可以捕捉到利用軸對稱性質構造一個正方

形的信息，那么問題立即可以獲解。

略解：

5.補成梯形

例9．如圖9，已知： G是△ABC中BC邊上的中線的中點，L是△ABC外的一條直線，自A、B、圖8

圖7

C、G向L作垂線，垂足分別為A1、B1、C1、G1。求證：GG1＝4(2AA1＋BB

1＋CC1)。

分析：本題從已知條件可知，中點多、垂線多特點，聯想到構造直角梯形

來加以解決比較恰當，故過D作DD1⊥L于D1，則DD1既是梯形BB1C1C的中

位線，又是梯形DD1A1A的一條底邊，因而，可想到運用梯形中位線定理突破，使要證的結論明顯地顯示出來，從而使問題快速獲證。

略證：

圖9

第四篇：初中幾何常見輔助線作法口訣

初中幾何常見輔助線作法口訣

三角形

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短可試驗。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，中線加倍全等現。四邊形

平行四邊形出現，對稱中心等分點。梯形里面作高線，平移一腰試試看。平行移動對角線，補成三角形常見。證相似，比線段，添線平行成習慣。

要作等角添個圓，證明題目少困難。

等積式子比例換，尋找線段很關鍵。

輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。

直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項一大片。

常見基本圖形：8字形，平行8字形，平行等8字形，領子，射影，類射影 1．平行、平分、等腰，知二推一。2． 中線加倍 3． 補形

4． 旋轉、平移、軸對稱

5． 遇角分線截長補短或作雙垂直，構成一對全等三角形。

6． 遇兩個等邊三角形有公共頂點，用一長一短和長短間的夾角證全等 7． 遇2倍角常變作等腰三角形頂角的外角

8． 證線段的1/2時，常變作中位線，直角三角形斜邊中線或30°Rt△ 9． 等邊三角形面積：

10．30°底角等腰三角形，腰是a，底是a，面積是

11．圖中見120°角，想60°角；見15°角，想30°角；

12．梯形常用輔助線：延兩腰，作雙高，平行于一腰，平行于對角線。遇一腰中點，作平行等8字13．見直徑，有直角

14．證切線，兩方法：（1）連半徑，證垂直；（2）作垂直，證半徑 15．正多邊形內切圓與外接圓對應線段比：面積比：

假如圖形較分散，對稱旋轉去實驗。圓

半徑與弦長計算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點圓心半徑連。切線長度的計算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。弧有中點圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。要想作個外接圓，各邊作出中垂線。還要作個內接圓，內角平分線夢圓如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內外相切的兩圓，經過切點公切線。若是添上連心線，切點肯定在上面。

第五篇：上海中考數學題

上海中考數學題“奧數”難度？ 考生考完“淚汪汪”

2012-06-19 07:28

“語文考完美滋滋，理化考完苦哈哈，英語考完樂呵呵，數學考完淚汪汪?！薄@是今年上海中考結束后網上的一句“流行”語。中考結束后，不少考生、初三數學老師紛紛表示數學卷子偏難，部分高中數學老師接受記者采訪時表示，考卷難可能便于高中選拔，而一些初中生和家長期望學奧數來提高應考能力，其實這種訓練方法對中考的幫助并不大。昨天上午,一名送考的初三數學老師在網上發帖講述了自己對中考數學的看法。他說，“伴著旁潑大雨，孩子們考完了最后一門數學。走出考場的學生大部分面色僵直，好的同學也沒有很大把握。甚至有幾題都沒有做出來?！?/p>

這名教師表示自己晚上第一時間把中考卷完整做了一遍，“個人感覺比前兩年的都難，題型有一點突破。對能力有較高要求，填空選擇也考了些比較冷門、學生容易忽視的知識點。幾何證明依然是有關于四邊形，但是這次的方法是學生最薄弱的或者說學生不善于運用的：比例線段推出平行線。對于那些基礎較差的同學可能一點思路也沒有?！?/p>

對于學生普遍反映的最后兩題，這名教師認為，“如果能想出合理的方法，解答非常簡便，但是前提是學生對基本圖形掌握非常牢固，能夠用多角度去尋找方法。方法還是老的，但是需要學生有極強的應變能力。對普通的公辦學校的學生來說，確實難度不小?！钡绕鸪踔袛祵W老師，高中的數學教師則表示考題難度可以接受。在上海一所公辦中學任教的張老師告訴東方網記者，他看過了今年中考題目，感覺題目并沒有想象中和“傳聞”中的那么難。張老師說，“學生對于考題難不難的判斷標準就是自己能否做出來，但教師看題目難不難，主要還是看題目考察了學生哪些方面的能力。”

張老師表示，很多考生覺得數學難，但他認為主要原因還是由于現在很多學生不喜歡數學，覺得學數學沒用，甚至有學生對數學學習產生厭惡的情緒，這樣的狀態下，更加學不好數學。

提到中考數學考題的難易程度，上海吳淞中學數學老師劉剛銘認為，其實考生不必糾結，“如果真的很難，那么可能大家都答不上來?！眲傘懻f，有些初中學生去學奧數，期望以此增加自己的“實力”，但在他看來幫助并不大?！皩W生的接受能力、思維能力不是讀了奧數就一定會變強的，關鍵還是要通過自己的努力?！?/p>

也有數學教師指出，從目前的情況來看，選拔也是中考的一個功能，難度越大的考卷，越容易拉開不同程度的學生，便于選拔。當然，考分并不能決定一個考生能力，一個思維能力、接受能力強的考生，即使初中階段成績一般，通過努力，在高中階段也能成為“尖子生”。