第一篇：圓的對稱性說課稿

《圓的對稱性》說課稿

彬縣公劉中學

段海鋒

尊敬的各位領導、老師：

大家好！今天我說課的題目是義務教育課程北師大版數學九年級上冊《圓的對稱性》，下面我按教材分析、教材處理、教法的選擇與應用、教學模式和教學過程五部分來談談本節課的設計思路。

一、教材分析：

（一）教材的地位與作用

本節課是圓的性質的重要體現，是圓的軸對稱性的具體化，也是今后證明線段等、角等、弧等、垂直關系的重要依據，同時也為圓的計算和作圖提供了方法和依據，所以它在教材中處于舉足輕重的位置。

另外，本節課通過“實驗--觀察--猜想——合作交流——證明”的途徑，進一步培養學生的動手能力，觀察能力，分析、聯想能力、與人合作交流的能力，同時利用圓的軸對稱性，可以對學生進行數學美的教育。

因此，掌握垂徑定理對學生更好地認識現實世界，建立空間觀念、培養推理論證能力具有十分重要的作用。

（二）教學目標

根據《數學課程標準》對這部分知識的要求及本課的特點，結合學生的實情，本節課的教學目標確定為：

（1）知識與技能目標

使學生理解圓的軸對稱性；掌握垂徑定理；學會運用垂徑定理解決有關的證明、計算和作圖問題。培養學生觀察能力、分析能力及聯想能力。

（2）過程與方法目標

在實驗過程中，培養學生觀察、聯想、猜測、推理、探索發現新知識的能力和創新思維、創新想象的能力。通過分組訓練、深化新知，共同感受收獲的喜悅。

（3）情感與態度目標

在解決問題過程中，培養學生敢于面對挑戰和善于克服困難的意志，鼓勵學生大膽嘗試，勇于探索，從中獲得成功的經驗，充分享受數學之美，從而體驗學習數學的樂趣。

知識與技能目標固然重要，對于本節課：過程與方法和情感與態度更重要，因為這部分是幾何教學的重點，是由實驗幾何向論證幾何的過渡，過程與方法可以幫助學生學會認識事物、分析問題的方法；有良好的情感態度能培養好的學習興趣，養成好的學習習慣。

（三）教學重點和難點

教學重點：垂徑定理及其應用。

（由于垂徑定理的題設與結論比較復雜，很容易混淆遺漏，所以，對垂徑定理的題設與結論區分是難點之一，同時，對定理的證明方法“疊合法”學生不常用到，是本節的又一難點。）

教學難點：對垂徑定理題設與結論的區分及定理的證明方法。

突出重點、突破難點的關鍵：創設具有啟發性的問題情境，通過學生動手操作，多媒體生動直觀地演示，讓學生經歷“提出問題——探究討論——歸納發現”的過程，在這個過程中，要給學生在充足的活動時間，使學生在積極思維的狀態下參與探究性學習。

而理解垂徑定理的關鍵是圓的軸對稱性。

二、教學方法的選擇與應用

本節課我采用實驗操作，直觀演示，合作交流等方法指導學生動眼觀察、動手操作、動腦思考、動口表述，讓學生從實踐中獲取知識，并通過討論來深化對知識的理解。

同時采用多媒體輔助教學和實物演示，直觀生動地反映圖形特點。

三、教學模式

為了實現教學目標，優化教學過程，本節課設計了六個教學環節：課前準備（制作實驗器材、完成預習提綱）、創設問題情境引入新課、講授新課、課堂小結、創新探究、課后作業。

四、教學過程

第一環節

課前準備

活動內容：（提前一天布置）

1.每人制作兩張圓紙片（最好用16K打印紙）2.預習課本P88~P92內容

設計意圖：通過第1個活動，希望學生能利用身邊的工具去畫圖，并制作圖紙片，培養學生的動手能力；在第2個活動中，主要指導學生開展自學，培養良好的學習習慣。預期存在的問題：

學生在制作圖紙片時，有時可能沒有將圓心標出來，老師要對其進行啟發引導，找出圓心。

第二環節

創設問題情境，引入新課

活動內容：

教師提出問題：軸對稱圖形的定義是什么？我們是用什么方法研究了軸對稱圖形？學生回憶并回答。

活動目的：通過教師與學生的互動，一方面使學生能較快進入新課的學習狀態，另一方面也提高學生的學習的興趣，讓他們帶著問題去學習，揭開了探究該節課內容的序幕。預期存在的問題：

由于學生在七年級學習了軸對稱圖形的內容。部分學生可能遺忘了定義，因此教師要通過一些學生熟悉的軸對稱圖形來引導同學正確敘述其定義，比如通過矩形。教師作出演示，學生會更容易表達。第三環節

講授新課

活動內容：

（一）想一想圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？你能找到多少條對稱軸？你是用什么方法解決上述問題的？

（二）認識弧、弦、直徑這些與圓有關的概念。

（三）探索垂徑定理。

做一做

1．在一張紙上任意畫一個⊙O，沿圓周將圓剪下，把這個圓對折使圓的兩半部分重合．

2．得到一條折痕CD．

3．在⊙O上任取一點A，過點A作CD折痕 的垂線，得到新的折痕，其中，點M是兩條折痕的交點，即垂足．

4．將紙打開，新的折痕與圓交于另一點B，如右圖

問題：（1）觀察右圖，它是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么？

（2）你能發現圖中有那些等量關系？說一說你的理由。

總結得出垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。

（四）講解例題及完成隨堂練習。

[例1]如右圖所示，一條公路的轉彎處是一段圓弧(即圖中CD，點O是CD的圓心)，其中CD=600m，E為CD上一點，且OE⊥CD，垂足為F，EF=90 m．求這段彎路的半徑．

練習：完成課本P92隨堂練習：1

（五）探索垂徑定理逆定理并完成隨堂練習。想一想：

如下圖示，AB是⊙O的弦(不是直徑)，作一條平分AB的直徑CD，交AB于點M．

同學們利用圓紙片動手做一做，然后回答：（1）上圖是軸對稱圖形嗎?如果是，其對稱軸是什么?（2）你能發現圖中有那些等量關系？說一說你的理由。

總結得出垂徑定理逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧。

練習：完成課本P92隨堂練習：2

活動目的：內容

（一）的主要目的就是通過學生動手實驗，采用折疊的方法認識圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線；內容

（二）的主要目的就是讓學生弄清和圓有關的這些概念，便于以后內容的學習研究；內容

（三）的主要目的就是通過學生做一做，觀察，猜想，驗證等的過程得到新知，同時也培養學生合作交流的能力，以及再次體會研究圖形的多種方法。內容

（四）的主要目的讓學生應用新知識構造直角三角形，并通過方程的方法去解決幾何問題。內容

（五）的主要目的與內容

（三）相似。第四環節

課堂小結

活動內容：師生互相交流總結：

1.本節課我們探索了圓的軸對稱性；

2.利用圓的軸對稱性研究了垂徑定理及其逆定理；

3.垂徑定理和勾股定理相結合，構造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題。

活動目的：通過回顧本節課經歷的各個環節，鼓勵學生暢談自己的收獲和感想，培養學生良好的學習習慣。第五環節

課后作業

1.課本習題3.2，1，2。試一試1 2.預習課本P94~97內容。

以上就是我對本節課的想法與設計，有不到之處敬請指正，謝謝大家！

彬縣公劉中學

段

海 鋒

第二篇：《圓的對稱性》教案

《圓的對稱性》教案

教學目標

1．知識與技能

（1）理解圓的軸對稱性和中心對稱性，會畫出圓的對稱軸，會找圓的對稱中心；（2）掌握圓心角、弧和弦之間的關系，并會用它們之間的關系解題． 2．過程與方法

（1）通過對圓的對稱性的理解，培養學生的觀察、分析、發現問題和概括問題的能力，促進學生創造性思維水平的發展和提高；

（2）通過對圓心角、弧和弦之間的關系的探究，掌握解題的方法和技巧． 3．情感、態度與價值觀

經過觀察、總結和應用等數學活動，感受數學活動充滿了探索性與創造性，體驗發現的樂趣．

教學重難點

重點：對圓心角、弧和弦之間的關系的理解．

難點：能靈活運用圓的對稱性解決有關實際問題，會用圓心角、弧和弦之間的關系解題．

教學過程

一、創設情境，導入新課

問：前面我們已探討過軸對稱圖形，哪位同學能敘述一下軸對稱圖形的定義？

（如果一個圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸）．

問：我們是用什么方法來研究軸對稱圖形？ 生：折疊．

今天我們繼續來探究圓的對稱性．

問題1：前面我們已經認識了圓，你還記得確定圓的兩個元素嗎？ 生：圓心和半徑．

問題2：你還記得學習圓中的哪些概念嗎？ 憶一憶：

1．圓：平面上到____________等于______的所有點組成的圖形叫做圓，其中______為圓心，定長為________． 2．弧：圓上_____叫做圓弧，簡稱弧，圓的任意一條____的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做圓的半徑．__________稱為優弧，_____________稱為劣弧．

3．___________叫做等圓，_________叫做等弧． 4．圓心角：頂點在_____的角叫做圓心角．

二、探究交流，獲取新知 知識點一：圓的對稱性

1．圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？你能找到多少條對稱軸？

2．大家交流一下：你是用什么方法來解決這個問題的呢？

動手操作：請同學們用自己準備好的圓形紙張折疊：看折痕經不經過圓心？

學生討論得出結論：我們通過折疊的方法得到圓是軸對稱圖形，經過圓心的一條直線是圓的對稱軸，圓的對稱軸有無數條．

知識點二：圓的中心對稱性．

問：一個圓繞著它的圓心旋轉任意一個角度，還能與原來的圖形重合嗎？

讓學生得出結論：一個圓繞著它的圓心旋轉任意一個角度，都能與原來的圖形重合，我們把圓的這個特性稱之為圓的旋轉不變性．圓是中心對稱圖形，對稱中心為圓心．

做一做：

在等圓⊙O和⊙O? 中，分別作相等的圓心角∠AOB和?A?O?B?（如圖3-8），將兩圓重疊，并固定圓心，然后把其中的一個圓旋轉一個角度，得OA與OA?重合．你能發現哪些等量關系嗎？說一說你的理由．

小紅認為AB=A?B?，AB=A?B?，她是這樣想的： ∵半徑OA重合，?AOB=?A?O?B?，∴半徑OB與OB?重合，∵點A與點A?重合，點B與點B?重合，∴AB與A?B?重合，弦AB與弦A?B?重合，∴AB=A?B?，AB=A?B?．

生：小紅的想法正確嗎？同學們交流自己想法，然后得出結論，教師點撥． 結論：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等． 知識點三：圓心角、弧、弦之間的關系．

問：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角所對的弧相等，那么它們所對的弦相等嗎？這兩個圓心角相等嗎？你是怎么想的？

學生之間交流，談談各自想法，教師點撥．

結論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．

三、例題講解

例：如圖3-9，AB，DE是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，且AD=CE，BE與CE的大小有什么關系？為什么？

解：BE=CE，理由是： ∵∠AOD=∠BOE，∴AD=BE，又∵AD=CEa2+b2 ∴BE=CE，∴BE=CE． 議一議

在得出本結論的過程中，你用到了哪些方法？與同伴進行交流．

四、隨堂練習

1．日常生活中的許多圖案或現象都與圓的對稱性有關，試舉幾例． 2．利用一個圓及其若干條弦分別設計出符合下列條件的圖案：（1）是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形；（2）是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形；（3）既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．

3．已知，A，B是⊙O上的兩點，∠AOB=120°，C是AB的中點，試確定四邊形OACB的形狀，并說明理由．

五、知識拓展

如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，以點C為圓心，AC為半徑的圓交AB于點D，求?AD所對的圓心角的度數．

六、自我小結，獲取感悟

1．對自己說，你在本節課中學習了哪些知識點？有何收獲？ 2．對同學說，你有哪些學習感悟和溫馨提示？ 3．對老師說，你還有哪些困惑？

七、布置作業

P72-73習題1-3題．

第三篇：圓的對稱性教案

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圓的對稱性

教學目標(一)教學知識點 1．圓的軸對稱性． 2．垂徑定理及其逆定理．

3．運用垂徑定理及其逆定理進行有關的計算和證明．(二)能力訓練要求

1．經歷探索圓的對稱性及相關性質的過程，進一步體會和理解研究幾何圖形的各種方法．

2．培養學生獨立探索、相互合作交流的精神．(三)情感與價值觀要求

通過學習垂徑定理及其逆定理的證明，使學生領會數學的嚴謹性和探索精神，培養學生實事求是的科學態度和積極參與的主動精神．

垂徑定理及其逆定理． 垂徑定理及其逆定理的證明． 指導探索和自主探索相結合． 投影片兩張：

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條對稱軸？

[生]圓是軸對稱圖形，過圓心的直線是它的對稱軸，有無數條對稱軸． [師]是嗎？你是用什么方法解決上述問題的？大家互相討論一下．

[生]我們可以利用折疊的方法，解決上述問題．把一個圓對折以后，圓的兩半部分重合，折痕是一條過圓心的直線，由于過圓心可以作無數條直線，這樣便可知圓有無數條對稱軸．

[師]很好． 教師板書：

圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線． 下面我們來認識一下弧、弦、直徑這些與圓有關的概念． 1．圓弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧(arc)． 2．弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦(chord)． 3．直徑：經過圓心的弦叫直徑(diameter)．

如下圖，以A、B為端點的弧記作?；線段AB是⊙O的AB，讀作“圓弧AB”或“弧AB”一條弦，弧CD是⊙O的一條直徑．

注意：

1．弧包括優弧(major arc)和劣弧(minor arc)，大于半圓的弧稱為優弧，小于半圓的弧稱為劣弧．如上圖中，以A、D為端點的弧有兩條：優弧ACD(記作?ACD)，劣弧ABD(記作?AD)．半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧叫半圓弧，簡稱半圓．半圓是弧，但弧不一定是半圓；半圓既不是劣弧，也不是優弧．

2．直徑是弦，但弦不一定是直徑．

下面我們一起來做一做：(出示投影片§3．2．1A)按下面的步驟做一做：

1．在一張紙上任意畫一個⊙O，沿圓周將圓剪下，把這個圓對折，使圓的兩半部分重北京今日學易科技有限公司

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合．

2．得到一條折痕CD．

3．在⊙O上任取一點A，過點A作CD折痕的垂線，得到新的折痕，其中，點M是兩條折痕的交點，即垂足．

4．將紙打開，新的折痕與圓交于另一點B，如上圖． [師]老師和大家一起動手．(教師敘述步驟，師生共同操作)[師]通過

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[生]垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧．

[師]同學們總結得很好．這就是利用圓的軸對稱性得到的與圓相關的一個重要性質——垂徑定理．在這里注意；①條件中的“弦”可以是直徑．②結論中的“平分弧”指平分弦所對的劣弧、優弦．

下面，我們一起看一下定理的證明：(教師邊板書，邊敘述)如上圖，連結OA、OB，則OA＝OB． 在Rt△OAM和Rt△OBM中，∵OA＝OB，OM＝OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM，∴AM＝BM．

∴點A和點B關于CD對稱． ∵⊙O關于直徑CD對稱，∴當圓沿著直徑CD對折時，點A與點B重合，∴=，=

．

與

重合，與

重合．

[師]為了運用的方便，不易出現錯誤，易于記憶，可將原定理敘述為：一條直線若滿足：(1)過圓心；(2)垂直于弦，那么可推出：①平分弦，②平分弦所對的優弧，③平分弦所對的劣弧．

即垂徑定理的條件有兩項，結論有三項．用符號語言可表述為： 如圖3－7，在⊙O中，?AM?BM，CD是直徑???????AD?BD，CD?AB于M????AC?BC．下面，我們通過求解例1，來熟悉垂徑定理：

[例1]如下圖所示，一條公路的轉彎處是一段圓弧(即圖中，點O是的圓心)，?上一點，且OE⊥CD，垂足為F，EF＝90m，求這段彎路的半徑． 其中CD＝600m，E為CD北京今日學易科技有限公司

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[師生共析]要求彎路的半徑，連結OC，只要求出OC的長便可以了．因為已知OE⊥CD，所以CF＝何求解？

[生]連結OC，設彎路的半徑為R m，則 1CD＝300cm，OF＝OE－EF，此時就得到了一個Rt△CFO，哪位同學能口述一下如2OF＝(R－90)m，∵OE⊥CD，∴CF＝11CD＝×600＝300(m)． 22據勾股定理，得

OC2＝CF2＋OF2，即R＝300＋(R－90)解這個方程，得R＝545． ∴這段彎路的半徑為545m．

[師]在上述解題過程中使用了列方程的方法，用代數方法解決幾何問題，這種思想應在今后的解題過程中注意運用．

隨堂練習：P92．1．略

下面我們來想一想(出示投影片§3．2．1B)如下圖示，AB是⊙O的弦(不是直徑)，作一條平分AB的直徑CD，交AB于點M． 2

22[師]上圖是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么？ [生]它是軸對稱圖形，其對稱軸是直徑CD所在的直線．

[師]很好．你是用什么方法驗證上述結論的？大家互相交流討論一下，你還有什么發現？

[生]通過折疊的方法，與剛才垂徑定理的探索方法類似，在一張紙上畫一個⊙O，作一北京今日學易科技有限公司

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條不是直徑的弦AB，將圓對折，使點A與點B重合，便得到一條折痕CD與弦AB交于點M．CD就是⊙O的對稱軸，A點、B點關于直徑CD對稱．由軸對稱可知，AB⊥CD，[師]大家想想還有別的方法嗎？互相討論一下．

[生]如上圖．連接OA、OB便可得到一個等腰△OAB，即OA＝OB，又AM＝MB，即M點為等腰△OAB底邊上的中線．由等腰三角形三線合一的性質可知CD⊥AB，又CD是⊙O的對稱軸，當圓沿CD對折時，點A與點B重合，與

重合，與

重合． =，=

．

[師]在上述的探討中，你會得出什么結論？

[生]平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧． [師]為什么上述條件要強調“弦不是直徑”？

[生]因為圓的任意兩條直徑互相平分，但是它們不一定是互相垂直的． [師]我們把上述結論稱為垂徑定理的一個逆定理． [師]同學們，你能寫出它的證明過程嗎？ [生]如上圖，連結OA、OB，則OA＝OB． 在等腰△OAB中，∵AM＝MB，∴CD⊥AB(等腰三角形的三線合一)． ∵⊙O關于直徑CD對稱．

∴當圓沿著直徑CD對折時，點A與點B重合，∴=，=

．

與

重合，與

重合．

[師]接下來，做隨堂練習：P92．

2．如果圓的兩條弦互相平行，那么這兩條弦所夾的弧相等嗎？為什么？ 答：相等．

理由：如下圖示，過圓心O作垂直于弦的直徑EF，由垂徑定理設用等量減等量差相等，得

－

=

－，即

=

=，=，故結論成立．

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符合條件的圖形有三種情況：(1)圓心在平行弦外，(2)在其中一條線弦上，(3)在平行弦內，但理由相同．

Ⅲ．課時小結

1．本節課我們探索了圓的對稱性．

2．利用圓的軸對稱性研究了垂徑定理及其逆定理．

3．垂徑定理和勾股定理相結合，構造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題．

Ⅳ．課后作業

(一)課本P93，習題3．2，1、2(二)1．預習內容：P94～97 2．預習提綱：(1)圓是中心對稱圖形．

(2)圓心角、弧、弦之間相等關系定理． Ⅴ．活動與探究

1．銀川市某居民區一處圓形下水管道破裂，修理人員準備更換一段新管道．如圖所示，污水水面寬度為60cm，水面至管道頂部距離為10cm，問修理人員應準備內徑多大的管道？

[過程]讓學生在探究過程中，進一步把實際問題轉化為數學問題，掌握通過作輔助線構造垂徑定理基本結構圖，進而發展學生的思維．

[結果]

如下圖示，連結OA，過O作OE⊥AB，垂足為E，交圓于F，則AE＝

1AB＝30cm．令⊙2O的半徑為R，則OA＝R，OE＝OF－EF＝R－10．在Rt△AEO中，OA2＝AE2＋OE2，即R2＝302＋(R－10)．解得R＝50cm．修理人員應準備內徑為100cm的管道． 2北京今日學易科技有限公司

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板書設計

§3．2．1 圓的對稱性

一、圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直徑．

二、與圓有關的概念：

1．圓弧 2．弦 3．直徑

注意：弧包括優弧、劣弧、半圓．

三、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧．

例1：略

四、垂徑定理逆定理：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧． 注意；弦不是直徑．

五、課堂練習

六、課時小結

七、課后作業

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第四篇：圓的對稱性教學設計

《圓的對稱性（1）》教學設計

江蘇省藍天杯教學設計評比獲獎作品

一、課題

《圓的對稱性（1）》是蘇教版教科書九年級上冊第五章第二節的第一課時內容。

二、教材分析

《圓的對稱性（1）》是學生在學習了有關中心對稱圖形的知識，圓的相關概念（包括弦、弧、圓心角、同圓、等圓、等弧等）后所學習的一節重要內容。本節課主要是在理解了圓的中心對稱性與旋轉不變性的基礎上，通過學生自主探究，掌握在同圓或等圓中，圓心角和它所對的弧、弦三者之間的關系。它為后續學生進一步學習圓的其它知識以及解決與圓有關的問題提供了重要基礎。

三、教學目標

1、知識技能

（1）經歷圓繞圓心旋轉，理解圓的中心對稱性以及圓的旋轉不變性；（2）經歷操作、猜想、說理、歸納等數學活動，理解并掌握在同圓或等圓中，圓心角和它所對弧、弦三者之間的關系，并能應用其解決相關問題；（3）掌握弧的度數概念，并會計算弧的度數。

2、數學思考

（1）在參與操作、觀察、猜想、說理、歸納等數學活動中，發展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達自己的想法；

（2）通過數學活動培養學生數學基本活動經驗。

3、問題解決

（1）通過問題解決的過程讓學生學會從數學的角度發現問題；

（2）通過對問題的解決，讓學生獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，發展創新意識；

（3）進一步培養學生解決問題時的合作意識。

4、情感態度

在解決問題的過程中，體驗獲得成功的樂趣，鍛煉克服困難的意志。

四、教學重、難點

1、重點：在同圓或等圓中，圓心角和它所對弧、弦三者之間的關系及其應用

2、難點：從感性認識到理性認識，從直觀到抽象的數學知識探索過程以及歸納能力的培養。

五、設計理念

1、注重學生的自主動手實踐，體現學生的主體地位

數學教學活動，特別是教學活動應激發學生興趣，調動學生學習積極性，而重視了學生的動手實踐，自主活動，能夠很好的達到這個效果。

2、注重“數學基本活動經驗”，體現數學知識的形成的過程

“操作、猜想、說理、歸納總結”是一個較完整的探索數學知識的過程，讓學生親自體驗數學知識探索的全過程，有助于學生形成良好的數學思維方式，有助于學生對數學知識的理解，有助于培養學生“數學基本活動經驗”。

3、注重歸納總結，體現理性思維

歸納總結是從感性到理性，從特殊到一般的質的飛躍，體現了數學的特點。

六、設計思路

本節課中，探索新知由若干個活動組成，通過學生操作、觀察、猜想、說理、歸納總結等一系列活動獲得新知，最后通過對若干條題目的解決來到達鞏固新知的作用。

七、教學過程

1、創設情境，引入新課

活動一：欣賞圖片和動畫，感知圓的對稱性

（1）通過多媒體課件，向學生展示生活中關于圓對稱性的一些實例，例如：正在旋轉的摩天輪，緩慢旋轉的車輪，剪紙時將圓沿著直徑翻折等，學生欣賞動畫，并思考它們的共性，很容易發現圓具有對稱性。

教師板書本節課課題。

【設計意圖】圓的對稱性在學生已有的生活經驗中是大量存在的，展示的動畫，貼近學生生活實際，容易激發學生的學習興趣，創設這個情景，還能增加學生的聯想思維能力，為下面的探究活動打下基礎。

（2）關于對稱，我們學到今天主要學習了軸對稱和中心對稱，那么什么是中心對稱圖形？

學生很容易能夠回答出：把一個圖形繞著某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠和原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點是它的對稱中心。

【設計意圖】復習舊知，同時也指明了本節課的學習重點是在圓的中心對稱性上面。

（3）我們采用什么方法研究中心對稱圖形？

根據中心對稱圖形的定義，學生易回答出：采用旋轉的方法研究中心對稱圖形。

【設計意圖】為本節課研究圓的中心對稱性提供了方法，即，利用旋轉來研究。

2、活動、思考，探索新知

活動二：動手操作，感受圓的中心對稱性

（1）圓是中心對稱圖形嗎？請同學們拿出事先準備好的圓（圓心處被大頭針戳在一張硬紙板上，圓可以繞著圓心自由旋轉）按照中心對稱圖形的定義轉一轉圓。

根據前面的復習，學生很快根據自己的操作，發現：將圓繞圓心旋轉180°后，能夠和原來的圖形重合，從而得到圓是中心對稱圖形，它的對稱中心就是圓心。

這里，教師可以讓學生自己發現并總結本節課的第一個知識點：圓是中心對稱圖形，圓心是它的對稱中心。

【設計意圖】讓學生通過活動，親身體驗“圓的中心對稱性”，既強化了對中心對稱圖形概念的理解，又實實在在的看到了圓是中心對稱圖形。

（2）請同學們將你們手上的圓繞圓心任意轉動一定的角度，你們能發現什么？自己做一做，互相討論下！

學生會發現，無論將圓繞圓心怎樣轉動，所得的圓還和原來的圓重合。教師進一步總結：其實圓具有旋轉不變性，即，一個圓繞著它的圓心旋轉任何一個角度后，都能與原來的圖形重合。

【設計意圖】圓的旋轉不變性的研究是為進一步研究圓的性質打下基礎。活動三：操作、觀察、猜想、說理，初步探索（1）請同學們利用量角器在你們剛才準備的圓上畫出兩個相等且互不重疊的圓心角，分別記作∠AOB和∠A1OB1，并連接弦AB、A1B1。（提醒學生注意：畫∠AOB和∠A1OB1時，要使OB相對于OA的方向與OB1相對于OA1的方向一致）

（2）將扇形OAB剪下，將它繞著圓心O旋轉，使得OA與OA1重合。（3）在操作中，仔細觀察，你發現了什么？互相討論一下！

如上圖，通過操作、觀察，討論，學生很容易發現，剪下來的部分繞著圓心旋轉，當OA與OA1重合時，OB與OB1也重合，整個扇形OAB與扇形OA1B1完全重合，⌒AB 與A⌒1 B1重合,弦AB與弦A1B1重合。

（4）根據對剛才的操作、觀察以及你們所發現的情況，你們能從數學的角度猜想出一個數學結論嗎？

引導學生得到：在⊙O中，如果∠AOB＝∠A1OB1,則⌒AB ＝A⌒1 B1,AB＝A1B1。這里，學生很容易把“在⊙O中”給遺漏掉，教師要注意提醒。

（5）這個猜想出來的結論對嗎？如果正確，你能根據前面所學習的數學知識，對你的這個猜想進行證明嗎？請同學們互相討論，然后嘗試著寫一寫。

在思考證明的方法時，大部分學生都會想到利用△AOB≌△A1OB1這樣的常規方法來證明AB＝A1B1，這里教師要加以肯定，但是對于證明⌒AB ＝A⌒1 B1,卻會顯得束手無策，因為在這節課前，并沒有學習過關于證明弧相等的方法。這里，教師可以引導學生回憶等弧的概念，即，能夠互相重合的弧叫做等弧，而在剛才的操作過程中，最后確實出現了兩弧重合的現象，進一步引導學生發現：只要能說明到A與A1重合，B與B1重合即可證明到⌒AB ＝A⌒1 B1，同時也可證明到AB＝A1B1，這樣也不需要用全等的方式來證明了。

（6）我們一起來把這個證明過程寫一寫。【設計意圖】通過操作、觀察、猜想、說理這一系列的數學活動，讓學生親身體驗了數學知識產生的全過程，感受了研究數學的科學方法，培養了學生的動手能力、數學觀察能力、數學猜想能力、邏輯推理能力以及數學語言表達能力，同時也為本節課的重點難點部分的提出打下基礎，最后讓學生自己寫出證明過程可以使學生對證明過程更加理解，思路更加清晰。

（7）通過證明，我們發現，“在⊙O中，如果∠AOB＝∠A1OB1,則⌒AB ＝A⌒1 B1,AB＝A1B1。”但這個是針對在⊙O中的結論，那現在不給我們一個具體的圖形，你能直接用一句文字語言來描述一下上面的這種性質嗎？討論一下，然后告訴我。

教師要引導學生首先找到，前面操作過程中的，圓心角、弧、弦之間的關系，即，弧與弦都是相等的圓心角所對的，這樣，學生很快就能總結出“在同圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等。”，但學生在總結的時候容易漏掉“在同圓中”這個前提。無論學生是否出現這個問題，教師都要加以強調“在同圓中”這個條件，這時教師在多媒體課件上展示兩組圓，一組是不等的兩個圓，另一組是兩個等圓，通過動畫直觀展示給學生看，第一組在不等的兩個圓中，雖然圓心角是相等的，但是所對的弧與弦確實不相等，而另一組在兩個等圓中，圓心角相等，所對的弧與弦是相等的。從而讓學生進一步發現，不僅不能把“在同圓中”這個條件前提漏掉，還要把它改一改，改成“在同圓或等圓中”。

【設計意圖】通過具體實物的操作，猜想以及證明后，最為重要的一步就是將猜想的結論進一步一般化、數學化，在這一過程中，需要教師加以引導，這樣既能讓學生從中感悟到各個相關量之間的具體聯系，又能讓學生更深的理解其中的真正內涵所在，為將來能夠更好的應用結論提高良好的基礎。

教師將結論板書在黑板上。活動四：思考、探索，形成知識升華

（1）在同圓或等圓中，如果圓心角所對的弧相等，那么它們所對的弦相等嗎？這兩個圓心角相等嗎？為什么？在同圓或等圓中，如果圓心角所對的弦相等，那么它們所對的弧相等嗎？這兩個圓心角相等嗎？為什么？

對于這兩個問題，教師鼓勵學生用剛才前面的研究方法，猜一猜，證一證。由前面活動三的基礎，這個兩個問題都不會太困難，教師要把時間完全的交由學生自主探索，自主證明，并模仿活動三，將兩個結論得出。（2）我們上面所涉及的問題都是在同圓或等圓中，都是針對的關于圓心角、圓心角所對的弧與弦直接的關系，我們發現，它們三者直接，只要有一組量是相等的，其余兩個量就都相等了，那能不能用一句話總結一下？

學生非常容易就可以得出：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組兩都分別相等。這里教師還應強調兩點，一是“在同圓或等圓中”這個條件不能遺漏，二是在同圓或等圓中，弦相等所對弧相等中的弧必須是同為“優弧”或同為“劣弧”。

【設計意圖】通過思考、探索活動三中的逆命題是否成立，進一步讓學生獨立自主的體驗了研究數學的方式方法，同時也進一步培養了學生說理的能力，歸納總結的能力。

（3）教師將結論板書在黑板上，提出，這個結論我們今后在解決問題的時候可以直接使用，但是，我們在做題目的時候通常都需要用數學符號語言來描述，能不能請同學們根據老師所畫的圖，用數學符號語言把這個結論描述出來？

教師請三位學生到黑板上把三個結論分別用數學符號語言寫出來，其他學生在下面寫，教師加以適當的修改和總結。

【設計意圖】數學符號語言是解決數學問題尤其是說理證明時重要的表達方式，學生必須能夠熟練的將文字語言和數學符號語言進行轉化，同時在書寫數學符號語言的同時也再一次的讓學生感受了在同圓或等圓中，圓心角、圓心角所對弧與弦三者之間的聯系，進一步加深了對概念的理解和記憶。

（4）教師指出，今后，在圓中，若要證明圓心角相等、弦相等、弧相等就要想到我們剛剛學習過的知識，即利用圓心角和它所對的弧、弦之間的關系。【設計意圖】教師幫助學生進一步凝練總結，形成新的數學解題技能。活動五：關于“弧度”的概念

（1）將頂點在圓心的圓周角等分成360份時，每一份的圓心角是多少度？為什么？

學生小學時就已經知道圓一周角等于360°，基本都能回答出是1°的角。（2）那這360個1°的圓心角所對的弧有什么關系？

這個在活動三和活動四中已經具體總結過了，學以致用，學生很快可回答出，它們都是等弧。（3）教師提出，通常，我們把1°的圓心角所對的弧叫做1°弧。（4）請問，n°圓心角所對的弧度數是多少？ 學生不難回答，n°圓心角所對的弧度數是n°。（5）那n°弧所對的圓心角度數是多少？ 學生不難回答，n°弧所對的圓心角度數是n°。

（6）哪個同學能把剛才我們一起敘述的結論用一句話總結一下嗎？ 對學生來說，這個問題也不難回答，圓心角的度數與它多對的弧的度數相等。【設計意圖】設計一系列簡單的問題，層層深入，讓對學生而言非常陌生的概念“弧的度數”與學生非常熟悉的知識和本節課剛學習過的知識聯系起來，順利得到結論。

（7）請同學們思考一個問題，弧的度數相等與等弧是一個意思嗎？ 引導學生根據弧的度數的概念與等弧的概念，畫一畫、想一想、討論一下。為了能讓學生能夠理解，教師可以通過多媒體展示出兩個例子。

圖1 圖2 如圖1所示，⌒AB 與⌒CD 的所對圓心角是相等的，因此，它們兩個弧的度數是相等的，但是，很顯然，⌒AB ≠⌒CD，它們并不能重合，但是由圖2所示，由于是⌒、⌒在同圓中，EFGH 的度數是相等的，也是等弧，原因就在于本節課剛學過的知識，在同圓或等圓中，圓心角相等，它所對的弧也相等，而圓心角相等，也意味著圓心角所對的弧的度數是相等的。讓學生從直觀的角度和邏輯關系上認識到：第一、兩條弧，弧的度數相等時，兩條弧不一定是等弧，除非這兩條弧是在同圓或等圓中；第二、兩條弧是等弧，那它們的度數肯定相等。因此只有在等弧時才能用等號把兩條弧連起來，而弧的度數相等，就不能這樣。

【設計意圖】弧的度數相等和等弧歷來是學生最容易搞混淆的知識，因此本節課講到這里必須要引導學生加以區別，同時由對弧的度數相等和等弧這兩個概念的區別和聯系，讓學生進一步加強了對弧的度數和等弧概念的理解，也復習了本節課剛剛學過的兩個知識點。

3、例題教學、鞏固新知

例

1、如圖，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠AOB＝∠BOC。∠ABC與∠BAC相等嗎？為什么？

學生由于剛接觸圓心角和它所對的弧、弦之間的關系，比較陌生，還不善于利用這個關系來解決問題，因此要引導學生從本節課剛講的知識點入手解決。采取師生一起分析，學生自主寫過程，師生共同對典型的錯誤進行糾正的模式完成對本例題的講解。

【設計意圖】本題涉及到本節課的知識點主要是：在同圓中，相等的圓心角所對的弦相等。通過對本題的解決，讓學生再次體驗同圓或等圓中，圓心角和它所對的弧、弦之間的關系。

4、課堂練習，強化應用

1、如圖，在⊙O中，⌒AC ＝⌒BD，∠AOB＝50°，求∠COD的度數。

2、如圖，在⊙O中，⌒AB ＝⌒AC，∠A＝40°，求∠ABC的度數。

3、如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C為圓心，CA為半徑的圓交AB于點D，交BC于點E，求⌒AD、⌒DE 的度數。

【設計意圖】根據本節課所涉及的主要內容，層層深入、由易到難的設置了課堂習題，既能增強后進生的學習信心，也能達到強化學生對本節課的理解。

5、回顧、小結

本節課你學到了哪些知識，有哪些收獲？

學生歸納，梳理本節課所學習的知識，整理出要點。

【設計意圖】通過學生自己小結，有利于培養學生的概括能力，使學生自主構建知識體系，養成良好的學習習慣。

6、作業布置

1、完成補充習題第83頁5.2圓的對稱性（1），其中1至5題為必做題，第6題學有余力的學生完成。

【設計意圖】作業分層布置，讓不同層次的學生得到不同的發展，而選做題并不是難題，這樣可以讓學生增強學習數學的自信心。

2、課后思考：圓除了中心對稱性還有怎樣的對稱性，自己研究研究，并預習下一課內容。

【設計意圖】設置疑問，激發學生的求知欲，鼓勵學生課后獨立思考，自主預習。

八、教學反思

本節課的設計理念在第五部分已經提及，縱觀整個教學過程，教者深深地感到：一節數學課，能否上好，探究是否到位，很大程度上取決于教師的教學觀念、方式方法。新課程標準指出：學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者與合作者。因此，在數學教學中，要充分發揮學生的主體地位，讓學生在動手實踐、自主探索與合作交流中發現方法、獲得技能、培養思維、發展能力，做學習數學的主人，教師則是對學生的發言多做點評、總結、啟發與引導，發揮教師應有的主導作用，從而徹底摒棄教師“一言堂”，實現高效教學。

第五篇：3.2 圓的對稱性教案二

圓的對稱性

教學目標

(一)教學知識點(二)1．圓的旋轉不變性．

2．圓心角、弧、弦之間相等關系定理．(二)能力訓練要求

1．通過觀察、比較、操作、推理、歸納等活動，發展空間觀念、推理能力以及概括問題的能力．

2．利用圓的旋轉不變性，研究圓心角、弧、弦之間相等關系定理．(三)情感與價值觀要求

培養學生積極探索數學問題的態度及方法． 教學重點

圓心角、弧、弦之間關系定理． 教學難點

“圓心角、弧、弦之間關系定理”中的“在同圓或等圓”條件的理解及定理的證明．

教學方法 指導探索法． 教具準備 投影片兩張

第一張：做一做(記作§3．2．2A)第二張：舉反例圖(記作§3．2．2B)教學過程

Ⅰ．創設問題情境，引入新課

[師]我們研究過中心對稱圖形，我們是用什么方法來研究它的，它的定義是什么？哪位同學知道？

[生]用旋轉的方法．中心對稱圖形是指把一個圖形繞某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫中心對稱圖形．這個點就是它的對稱中心．

[師]圓是一個特殊的圓形，通過前面的學習，同學們已經了解到圓既是一個軸對稱圖形又是一個中心對稱圖形．那么，圓還有其他特性嗎？下面我們繼續來探討．

Ⅱ．講授新課

[師]同學們請觀察老師手中的兩個圓有什么特點？ [生]大小一樣．

[師]現在老師把這兩個圓疊在一起，使它倆重合，將圓心固定．

將上面這個圓旋轉任意一個角度，兩個圓還重合嗎？ [生]重合．

[師]通過旋轉的方法我們知道：圓具有旋轉不變的特性．即一個圓繞著它的圓心旋轉任意一個角度，都能與原來的圖形重合．圓的中心對稱性是其旋轉不變性的特例．即圓是中心對稱圖形，對稱中心為圓心．

[師]我們一起來做一做．(出示投影片§3．2．2A)按下面的步驟做一做：

1．在兩張透明紙上，作兩個半徑相等的⊙O和⊙O′，沿圓周分別將兩圓剪下．

2．在⊙O和⊙O＇上分別作相等的圓心角∠AOB和∠A＇O＇B＇(如下圖示)，圓心固定．注意：在畫∠AOB與∠A＇O＇B＇時，要使OB相對于OA的方向與O＇B＇相對于O＇A＇的方向一致，否則當OA與OA＇重合時，OB與O＇B＇不能重合．

3．將其中的一個圓旋轉一個角度，使得OA與O＇A＇重合．

[生]教師敘述步驟，同學們一起動手操作．

[師]通過上面的做一做，你能發現哪些等量關系？同學們互相交流一下，說一說你的理由．

[生甲]由已知條件可知∠AOB＝∠A＇O＇B＇．

[生乙]由兩圓的半徑相等，可以得到∠OAB＝∠OBA＝∠O＇A＇B＇＝∠O＇B＇A＇．

[生丙]由△AOB≌△A＇O＇B＇，可得到AB＝A＇B＇． [生丁]由旋轉法可知?AB??A?B?． ??

[師]很好．大家說得思路很清晰，其實剛才丁同學說到一種新的證明弧相等的方法——疊合法．

[師生共析]我們在上述做一做的過程中發現，固定圓心，將其中一個圓旋轉一個角度，使半徑OA與O＇A＇重合時，由于∠AOB＝∠A＇O＇B＇．這樣便得到半徑OB與O＇B＇重合．因為點A和點A＇重合，點B和點B＇重合，所以和重合，弦AB與弦A＇B＇重合，即，AB＝A＇B＇． 的理由是[師]在上述操作過程中，你會得出什么結論？

[生]在等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等．

[師]同學做得很好，這就是我們通過實驗利用圓的旋轉不變性探索到的圓的另一個特性：圓心角、弧、弦之間相等關系定理．

下面，我們一起來看一看命題的證明．(學生互相討論交流，學生口述，教師板書)如上圖所示，已知：⊙O和⊙O＇是兩個半徑相等的圓，∠AOB＝∠A＇O＇B＇． 求證：，AB＝A＇B＇．

證明：將⊙O和⊙O＇疊合在一起，固定圓心，將其中的一個圓旋轉，一個角度，使得半徑OA與O＇A＇重合，∵∠AOB＝∠A＇O＇B＇，∴半徑OB與O＇B＇重合．

∵點A與點A＇重合，點B與點B＇重合，∴∴與重合，弦AB與弦A＇B＇重合．，AB＝A＇B＇．

上面的結論，在同圓中也成立．于是得到下面的定理： 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等．

注意：在運用這個定理時，一定不能忘記“在同圓或等圓中”這個前提．否則也不一定有所對的弧相等、弦相等這樣的結論．

[師](通過舉反例強化對定理的理解)請同學們畫一個只能是圓心角相等的這個條件的圖．(出示投影片§3．2．2B)

[生]如下圖示，雖然∠AOB＝∠A＇O＇B＇，但AB≠A＇B＇，下面我們共同想一想．

[師]如果我們把兩個圓心角用①表示；兩條弧用②表示；兩條弦用③表示．我們就可以得出這樣的結論：

在同圓或等圓中??②???也相等

①相等??③如果在同圓或等圓這個前提下．將題設和結論中任何一項交換一下，結論正確嗎？你是怎么想的？請你說一說．(同學們互相交流、討論)

[生甲]如果將上述題設①和結論②換一下，結論仍正確．可以通過旋轉法或疊合法得到證明．

[生乙]如果將上述題設①和結論③互換一下，結論也正確，可以通過證明全等或疊合法得到．

[師]好，通過上面的探索，你得到了什么結論？

[生]在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．

在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．

注意：(1)不能忽略“在同圓或等圓中”這個前提條件，否則，丟掉這個前提，雖然圓心角相等，但所對的弧、弦、弦心距不一定相等．

(2)此定理中的“弧”一般指劣弧．

(3)要結合圖形深刻體會圓心角、弧、弦、弦心距這四個概念和“所對”一詞的含義．否則易錯用此關系．

(4)在具體應用上述定理解決問題時，可根據需要，擇其有關部分．如“在同圓中，等弧所對的圓心角相等”“在等圓中，弦心距相等的弦相等”等等．

例如，下圖中的∠1＝∠2，有的同學認為∠1對AD，∠2對BC，就推出了AD＝BC，顯然這是錯誤的，因為AD、BC不是“等圓心角對等弦”的弦．

[師]下面我們通過練習鞏固本節課的所學內容． 課本P97

隨堂練習1、2、3 Ⅲ．課時小結

[師]通過這一節的學習，在得出本節結論的過程中，回憶一下我們使用了哪些研究圖形的方法？(同學們之間相互討論、歸納)

[生]本節采用的方法有多種，利用折疊法研究了圓是軸對稱圖形；利用圓的軸對稱性研究了垂徑定理及其逆定理；利用旋轉的方法得到了圓的旋轉不變性，由圓的旋轉不變性，我們探究了圓心角、孤、弦、弦心距之間相等關系定理??

Ⅳ．課后作業

課本P98

習題3．3：

1、2 Ⅴ．活動與探究(略)板書設計

§3．2．2 圓的對稱性

一、圓的旋轉不變性

圓是中心對稱圖形，對稱中心為圓心．

二、圓心角、弧、弦之間相等關系定理． 證明：略

三、隨堂練習

四、課時小結

五、課后作業