2019-2020學年市高級中學高一下學期3月月考數學試題

一、單選題

1．下列表示中不正確的是（）

A．終邊在軸上角的集合是

B．終邊在軸上角的集合是

C．終邊在坐標軸上角的集合是

D．終邊在直線上角的集合是

【答案】D

【解析】根據終邊相同的角的定義逐一判斷得答案．

【詳解】

解：對于，終邊在軸上角的集合是，故正確；

對于，終邊在軸上的角的集合是，故正確；

對于，終邊在軸上的角的集合為，終邊在軸上的角的集合為，故合在一起即為，，故正確；

對于，終邊在直線上的角的集合是，故不正確．

表述不正確的是：．

故選：．

【點睛】

本題考查命題的真假的判斷，角的定義以及終邊相同的角的判斷，是基礎題．

2．已知，點為角的終邊上一點，且，則角（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】由已知，得出

sin（α﹣β），將β角化為β＝α﹣（α﹣β），根據和差角公式，求出β的某種三角函數值，再求出β．

【詳解】

∵|OP|＝7，∴sinα，cosα．

由已知，根據誘導公式即為sinαcosβ﹣cosαsinβ，∴，∵

∴0＜α﹣β，∴cos（α﹣β），∴sinβ＝sin[α﹣（α﹣β）]＝sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β），∵，所以角β

故選：D．

【點睛】

本題考查三角函數誘導公式、和差角公式的應用：三角式求值、求角．運用和差角公式時，角的轉化非常關鍵，注意要將未知角用已知角來表示．常見的角的代換形式：β＝α﹣（α﹣β），2α＝（α﹣β）+（α+β）等．

3．在中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊，若，則是（）

A．等邊三角形

B．鈍角三角形

C．等腰直角三角形

D．任意三角形

【答案】C

【解析】根據正弦定理及條件即可得出，于是。

【詳解】

由正弦定理得：，又，于是，即是等腰直角三角形

故選：C.【點睛】

本題考查了解三角形中的正弦定理得運用，判斷三角形的類型，屬于基礎題.4．《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表作，其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經驗方式為：弧田面積=，弧田（如圖）由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”指半徑長與圓心到弦的距離之差。現有圓心角為，半徑等于4米的弧田.下列說法不正確的是（）

A．“弦”米，“矢”米

B．按照經驗公式計算所得弧田面積（）平方米

C．按照弓形的面積計算實際面積為（）平方米

D．按照經驗公式計算所得弧田面積比實際面積少算了大約0.9平方米（參考數據)

【答案】C

【解析】運用解直角三角形可得AD，DO，可得弦、矢的值，以及弧田面積，運用扇形的面積公式和三角形的面積公式，可得實際面積，計算可得結論．

【詳解】

解：如圖，由題意可得∠AOB，OA＝4，在Rt△AOD中，可得∠AOD，∠DAO，ODAO，可得矢＝4﹣2＝2，由AD＝AOsin42，可得弦＝2AD＝4，所以弧田面積（弦×矢+矢2）（42+22）＝4平方米．

實際面積，．

可得A，B，D正確；C錯誤．

故選：C．

【點睛】

本題考查扇形的弧長公式和面積公式的運用，考查三角函數的定義以及運算能力、推理能力，屬于基礎題．

二、填空題

5．已知扇形的半徑為4，弧所對的圓心角為2

rad，則這個扇形的面積為_______.【答案】16

【解析】直接利用扇形的面積公式求出扇形的面積即可.【詳解】

扇形的圓心角為2,半徑為4,扇形的面積，故答案為16.【點睛】

本題主要考查扇形的面積的求法，弧長、半徑、圓心角的關系，考查利用所學知識解答問題的能力，是基礎題.在解決弧長、面積及扇形面積時要注意合理應用圓心角所在的三角形的性質.6．若，則______．

【答案】2

【解析】首先根據題中所給的條件，利用

差角公式展開，求得，之后將待求的式子利用倍角公式和同角三角函數關系式，將其轉化為關于的式子，代入求得結果.【詳解】

由，可求得，故答案是：2.【點睛】

該題考查的是有關三角函數化簡求值問題，涉及到的知識點有正切的差角公式，正切的倍角公式，余弦的和角公式以及同角三角函數關系式，正確應用公式是解題的關鍵.7．已知，則______．

【答案】

【解析】利用兩角差正切公式即可得到結果.【詳解】,故答案為：

【點睛】

本題考查兩角和與差的正切公式，考查計算能力，屬于基礎題.8．若函數y＝2－x＋1＋m的圖象不經過第一象限，則m的取值范圍是________．

【答案】(－∞，－2]

【解析】根據指數函數圖象列不等式，解得m的取值范圍.【詳解】

函數y＝2－x＋1＋m＝()x－1＋m，∵函數的圖象不經過第一象限，∴()0－1＋m≤0，即m≤－2.【點睛】

本題考查指數函數圖象與性質，考查基本分析求解能力.9．定義在上的奇函數，當時，則當時，的解析式為_______.【答案】

【解析】由函數的奇偶性解函數的解析式。

【詳解】

解：是定義在上的奇函數

當時，設，則，化簡得

故答案為：

【點睛】

本題考查借助函數的奇偶性求解函數的解析式，屬于基礎題。

10．已知一個三角形的三邊長分別為3,5,7，則該三角形的最大內角為_________

【答案】

【解析】由題意可得三角形的最大內角即邊7對的角，設為θ，由余弦定理可得

cosθ的值，即可求得θ的值．

【詳解】

根據三角形中，大邊對大角，故邊長分別為3，5，7的三角形的最大內角即邊7對的角，設為θ，則由余弦定理可得

cosθ，∴θ＝，故答案為：C．

【點睛】

本題主要考查余弦定理的應用，大邊對大角，已知三角函數值求角的大小，屬于基礎題．

11．若函數在上為減函數，則的取值范圍是________.【答案】

【解析】對系數和指數函數的底數分類討論。

【詳解】

解：因為函數在上為減函數

故①解得

②解得

綜上：

故答案為：

【點睛】

本題考查指數函數的單調性，屬于基礎題。

12．設且，若，則______．

【答案】1

【解析】根據對數函數的運算性質，得到，再根據三角函數的基本關系，準確化簡，即可求解，得到答案.【詳解】

設且，若，所以，所以，又，所以，又由，則

所以

故答案為：1．

【點睛】

本題主要考查了三角函數的基本關系的化簡求值問題，其中解答中合理利用三角函數的基本關系式，準確化簡、計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.13．內角、、的對邊分別是，，且.當，的面積為______.【答案】

【解析】由，利用正弦定理得到，再用余弦定理求得b，可得a、c，利用面積公式計算可得結果.【詳解】

由正弦定理可化為，所以，在三角形中，所以，因為，所以，又，所以，由余弦定理得，又，所以有.故的面積為.故答案為.【點睛】

本題考查了正弦定理、余弦定理的應用，考查了三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

14．在△ABC中，已知，其中，若為定值，則實數＝__.【答案】

【解析】首先根據，求得，根據題中所給的條件，得到，再結合題中所給的條件為定值，設其為k，從而整理得出恒成立，從而求得結果.【詳解】

由，得：，由，得：，即，（k為定值），即，即恒成立，所以，故答案是：.【點睛】

該題考查的是有關根據條件求參數的值的問題，涉及到的知識點有同角三角函數關系式，兩角差的正弦公式，三角形的內角和，誘導公式，熟練掌握基礎知識是正確解題的關鍵.三、解答題

15．已知．

（1）求的值；

（2）若且，求的值．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）利用誘導公式化簡求解，代入直接求解即可；

（2）由條件可得，再平方得，結合角的范圍可得，進而得和的值，從而得解.【詳解】

（1）因為，所以

（2）因為，所以，所以，兩邊平方，得，所以，即，因為，所以，所以

所以，結合，解得，……

故

【點睛】

本題主要考查了同角的三角函數的基本關系，對于sin＋cos，sincos，sin－cos這三個式子，利用(sin±cos)2＝1±2sincos，可以知一求二．屬于中檔題.16．已知角的頂點與原點重合，始邊與x軸正半軸重合，終邊在直線y=2x上.則

(1)求的值；

(2)已知，求的值.【答案】（1）；（2）

【解析】(1)由條件利用任意角的三角函數的定義可得＝2，再利用兩角和的余弦公式、同角三角函數的基本關系，求得的值．

(2)利用同角三角函數基本關系式求得再利用兩角差的余弦函數化簡求解即可．

【詳解】

(1)依題意

c

=

.(2)，∴,，∴

.【點睛】

本題主要考查任意角的三角函數的定義、兩角和與差的三角函數、同角三角函數的基本關系，考查計算能力，屬于中檔題．

17．在中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且.（1）求的值；

（2）若，求周長的最大值.【答案】（1）（2）

【解析】(1)根據正弦定理得到，即，進而得到角B；（2）由余弦定理結合第一問得到，利用均值不等式求最值即可.【詳解】

（1）∵，由正弦定理得，即，∴，即，又，∴.（2）∵，又由（1）得，由余弦定理得，即，∴，可得，當且僅當時取等號，∴周長的最大值為.【點睛】

本題主要考查正弦定理邊角互化及余弦定理的應用與特殊角的三角函數，屬于簡單題.對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數有關的問題時，還需要記住等特殊角的三角函數值，以便在解題中直接應用.18．設為實數，函數.（1）討論函數的奇偶性并說明理由；

（2）求的最小值.【答案】（1）當時，函數是偶函數，當時，函數是非奇非偶函數；（2）當時，；當時，；當時，.【解析】（1）考查函數的奇偶性，用特殊值法判斷函數及不是奇函數又不是偶函數；（2）先判斷函數的單調性再求最值．

【詳解】

解：（1）當時，函數

此時，為偶函數

當時，，此時既不是奇函數，也不是偶函數

（2）①當時，當，則函數在，上單調遞減，從而函數在，上的最小值為．

若，則函數在，上的最小值為，且．

②當時，函數

若，則函數在，上的最小值為；

若，則函數在，上單調遞增，從而函數在，上的最小值為．

綜上，當時，函數的最小值為

當時，函數的最小值為

當時，函數的最小值為．

【點睛】

本題為函數的最值和奇偶性的考查；是高考常考的知識點之一；而求最值時需要注意的是先判斷函數的單調性．

19．在中，內角，所對的邊分別為，，滿足.（1）求證：；

（2）若的面積為，求角的大小.【答案】（1）見解析；（2）或

【解析】（1）根據余弦定理，與可得，再利用正弦定理可得結合內角和定理與兩角和與差正弦公式可得結果；

（2）利用面積公式有，可得，又從而有，進而可得結果.【詳解】

（1）在中，根據余弦定理，又因為，所以，又因為，所以，根據正弦定理，.因為，即，則，所以，即.因為，則，所以，或（應舍去）.所以.（2）因為的面積為，所以，因為，所以，則，因為，所以，所以.因為，所以，即，所以或.當，即時，；

當時，由，解得，則.綜上，或.【點睛】

解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據正、余弦定理結合已知條件靈活轉化邊和角之間的關系，從而達到解決問題的目的.其基本步驟是：

第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標出來，然后確定轉化的方向.第二步：定工具，即根據條件和所求合理選擇轉化的工具，實施邊角之間的互化.第三步：求結果.20．已知函數，記．

⑴解不等式：；

⑵設k為實數，若存在實數，使得成立，求k的取值范圍；

⑶記(其中a，b均為實數)，若對于任意的，均有，求a，b的值．

【答案】(1)

(2)

(3)，【解析】⑴函數，即為，即為，可得解集；

⑵根據，利用換元法，求解最值，即可求解k的取值范圍；

⑶根據(其中a，b均為實數)，均有，建立關系即可求解a，b的值．

【詳解】

⑴函數，即為，即為，即有，解得，即解集為；

⑵存在實數，使得成立，即為，設，在遞增，可得，即有，則，設，即有，在遞增，可得，即有.⑶，令，，．

若對于任意的，均有，即對任意，．，解得：，．

【點睛】

本題主要考查了函數恒成立問題的求解，分類討論以及轉化思想的應用，二次函數閉區(qū)間是的最值以及單調性的應用．