初中數學常用數學思想方法典題賞析

德國著名數學家克萊因曾在他的《西方文化中的數學》中寫道：數學是一種精神，一種理性的精神。正是這種精神，激發、促進、鼓舞并驅使人類的思維得以運用到最完善的程度，亦正是這種精神，試圖決定性地影響人類的物質、道德和社會生活；試圖回答有關人類自身存在提出的問題；努力去理解和控制自然；盡力去探求和確立已經獲得知識的最深刻的和最完美的內涵。

不僅數學家體悟到了數學的魔力，就連希臘著哲學家柏拉圖都在號召：哲學家也要學數學，因為他必須跳出浩如煙海的萬變現象而抓住真正的實質。又因為這是使靈魂過渡到真理和永存的捷徑。

那么，作為初中生，如何才能學好數學呢？有人曾調侃：數學學霸和學渣最大的區別就在于是否會運用數學思想方法!數學思想方法是數學的靈魂和精髓。數學思想方法無論在數學專業領域、數學教育范圍內，還是在其它科學中，都被廣為使用。

所謂數學思想，就是對數學知識的本質的認識。是從某些具體的數學內容和對數學的認識過程中提練上升數學觀點，它在認識活動中被反復運用，帶有普遍的指導意義，是建立數學和用數學解決問題的指導思想，如建模思想、統計思想、最優化思想、化歸思想、分類思想、整體思想、數形結合思想、轉化思想、方程思想、函數思想。所謂數學方法指在數學中提出問題、解決問題（包括數學內部問題和實際問題）過程中，所采用的各種方式、手段、途徑等。初中學生應掌握的數學方法有配方法、換元法、待定系數法、參數法、構造法、特殊值法等。數學思想和數學方法是緊密聯系的，強調指導思想時，稱數學思想，強調操作過程時，稱數學方法。

典例賞析

一、整體思想

從問題的整體性質出發，突出對問題的整體結構的分析和改造，發現問題的整體結構特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關聯，進行有目的的、有意識的整體處理。

例1：已知a-b=4,求2a-2b-1=_________

解析：把“a-b”看成一個整體代入2a-2b-1=2(a-b)-1=7

二、方程思想

方程思想，是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。

例2：一個凸多邊形的內角和是外角和2倍，它是_________邊形.解析：由于任意多邊形的外角和都是360°，而n邊形的內角和(n-2).180

設這個多邊形是n邊形，根據題意，得：(n-2).180

=2*360，解得n=6

三、函數思想

函數的思想，是用運動和變化的觀點，分析和研究數學中的數量關系，建立函數關系或構造函數，運用函數的圖像和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決。函數思想是對函數概念的本質認識，用于指導解題就是善于利用函數知識或函數觀點觀察、分析和解決問題。

例3:某水果批發商場經銷一種高檔水果，如果每千克贏利10元，每天可售出500kg。經市場調查發現，在進貨價不變的情況下，每千克漲價1元，日銷售量將減少20kg。

（1）現該商場要保證每天贏利6000元，同時又要顧客得到實惠，那么每千克應漲價多少元？

（2）若該商場單純從經濟角度看，這種水果每千克漲價多少元能使商場獲利最多？

解析：（1）解：設每千克應漲價x元，根據題意得：

（10+x）*(500-20x)=6000

解得x1=5,x2=10

為了使顧客得到實惠，應取x=5(元)。

（2）設每千克漲價x元時，總利潤為y元。

y=（10+x）*(500-20x)

=-20x^2+300x+5000

=-20(x-7.5)^2+6125

根據二次函數性質，當x=7.5時，ymax=6125

四、轉化思想

所謂的轉化思想就是指在求解數學問題時,如果對當前的問題感到生疏困惑,可以把它進行變換,使之化生疏為熟悉，化繁為簡,化難為易，從而使問題得以解決的思想方法.例4;解分式方程。

解析：把分式方程去分母轉化為整式方程即可。

兩邊乘（x+3）(x-1)

2(x-1)=(x+3)

2x-2=x+3

x=5

經檢驗：x=5是方程的解

五、類比思想

把兩個（或兩類）不同的數學對象進行比較，如果發現它們在某些方面有相同或類似之處，那么就推斷它們在其他方面也可能有相同或類似之處。

例5：類比正比例函數研究反比例函數。

解析：通過研究正比例函數的圖像、性質及應用，類比研究反比例函數的圖像、性質及應用。

六、數形結合思想

“數無形，少直觀，形無數，難入微”，利用“數形結合”可使所要研究的問題化難為易，化繁為簡。所謂數形結合思想就是在研究問題時把數和形結合考慮或者把問題的數量關系轉化為圖形的性質，或者把圖形的性質轉化為數量關系，從而使復雜的問題簡單化，抽象的問題形象化、具體化.例6：證明勾股定理。

解析：美國第二十任總統伽菲爾德借助下列圖形證明了勾股定理。

七、分類討論思想

分類討論就是按照一定的標準，把研究對象分成為數不多的幾個部分或幾種情況，然后逐個加以解決，最后予以總結作出結論的思想方法.其實質是化整為零，各個擊破，化大難為小難的的策略.例7：若等腰三角形的一個內角為70，則它的頂角為

度．

解析：分類討論，（1）該內角為頂角時，頂角為70；

（2）該內角為底角時，則頂角為：180-70*2=40

故頂角為70或40.八、歸納與猜想的思想方法

所謂歸納與猜想,就是在解決數學問題時,從特殊的、簡單的、局部的例子出發,探尋一般的規律,或者從現有的已知條件出發,通過觀察、類比、聯想，進而猜想出結果的思想方法.例8：觀察下列圖形中點的個數，若按其規律再畫下去，可以得到第n個圖形中所有點的個數為

（用含n的代數式表示）．

解析：

第1個圖形中點的個數為：1+3=4，第2個圖形中點的個數為：1+3+5=9，第3個圖形中點的個數為：1+3+5+7=16，…，第n個圖形中點的個數為：1+3+5+…+（2n+1）=（n+1）2．

故答案為：（n+1）2．