第一篇：3線性方程組典型習題解析

線性方程組

3.1 知識要點解析(關于線性方程組的常用表達形式)3.1.1 基本概念

?a11x1?a12x2??ax?ax??2112221、方程組?? ??am1x1?am2x2??a1n?b1?a2n?b2?amn?bm ?

稱為含n個未知量m個方程的線性方程組，i)倘若b1,b2,....,bm不全為零，則該線性方程組稱為非齊次線性方程組；

ii)若b1=b2==bm?0，則該線性方程組就是齊次線性方程組，?a1n?c1?a2n?c2?amn?cm?a11x1?a12x2??ax?ax??21122

2這時，我們也把該方程組稱為?? ??am1x1?am2x2?的導出組，（其中c1,c2,...cm不全為零）

?a11?

2、記A=??a?m1?x1??b1?a1n?????xb2??2????,x???,b??? amn??????x?n??bm???

則線性方程組（*）又可以表示為矩陣形式

Ax?b?a1j???a2j??

3、又若記 ?j???,j?1,2,???a??mj?n

則上述方程游客一寫成向量形式

x1?1?x??22?x??b.nn ?。??同時，為了方便，我們記A?(A,b)，稱為線性方程組（*）的增廣矩陣。3.1.2 線性方程組解的判斷

1、齊次線性方程組Ax=0，（n=線性方程組中未知量的個數

對于齊次線性方程組，它是一定有解的（至少零就是它的解），i)那么，當r=秩(A)=n時，有唯一零解；

ii)當r=秩(A)

?秩(A)<秩A(無解；)??秩A()=有唯一解，n,??秩(A)=A)秩=A(?)?秩（秩A()<有無窮多解，且基礎解系個數為n,-秩nA().?秩(A)=???秩A(不可能)?秩(A)>3.1.3 線性方程組的解空間

1、齊次線性方程組的解空間

（作為線性方程組的一個特殊情形，在根據其次線性方程與非齊次線性方程組解的關系，我們這里首先討論齊次線性方程組的解空間）

定理：對于數域K上的n元齊次線性方程組的解空間W的維數為

dim(W)=n-秩(A)=n-r，其中A是方程組的系數矩陣。那么，當齊次線性方程組[(*)--ii)] 有非零解時，它的每個基礎解系所含解向量的數目都等于n-秩(A)。

2、非齊次線性方程組的解空間

我們已知線性方程組的解與非齊次線性方程組的解的關系，那么我們可首先求出非齊次線性方程組的一個解?0（稱其為方程組特解）；然后在求對應的導出組的解空間（設該解空間的基礎解系為?1，?2，...?n-r），則(*)解空間的維數為n-r，且非齊次線性方程組的每一個解都可以表示為：

?0+k1?1?k2?2+...+kn-r?n-r.................(?)

我們稱其為該非齊次線性方程組(*)的通解.3.2 經典題型解析

1??x1??1??12??????

1、已知方程組?23a?2??x2???3?無解，試求a的取值

?1a?2??x??0????3???11??12?? 解：方程組的增廣矩陣A??23a?23?（初等行變換不影響線性方程組的?1a?20???解）

211?1???進行一系列的初等行變換?0?1a1??0a?2?3??1???1???0?0?2101aa(?3a)?(1??1? 1)a???3由于方程組無解?秩(A)<秩(A),秩(A)<3?(a?3)(a?1)?0?a?3 或a??1

i)當a?3時，秩(A)=2=秩(A)，方程組又無窮多解； ii)當a??1時，秩(A)=2<3=秩(A)，方程組無解 綜上可得，a??1

易錯提示：對方程組有解、無解時的條件把握不牢固；在把增廣矩陣化為解提醒矩陣的過程中不仔細導致錯誤。所以，我們在做題的過程中，一定要善于總結，通過練習找到自己的不足點。對于關于線性方程組解的判定、性質以及解的結構失無必要進行總結的，已做到深刻的理解與領悟。

2、設A為n階方陣，r(A)=n-3，且?1，?2，?3是Ax?0的三個線性無關的解向量，則下面哪個是Ax?0的基礎解系()

(A)?1??2，?2??,3??.,1???3?1.(B)?2??1,?3??2(C)2?2??1,1?3??2,1???.(D)?1?? 3,?,2?2 ?.2??33??1??32解：由r(A)=n-3?Ax?0的基礎解系個數為n?r(A)=n-(n-3)=3

又因為?1，?2，?3是Ax?0的解，所以四個選項中的向量都是方程組的解，而我們只要驗證看其是否線性無關即可，現在我們利用矩陣這里工具來進行求解：

?101??,3???1，?，?)??110?(1，?，2?)A 3?

(?1??2，?2??31)=(23???011?????101???(?2??1,?3??2,?1??3)=(?1，?2，?3)?1?10??(?1，?2，?3)B

?01?1???????101???1(2?2??1,?3??2,?1??3)=(?1，?2，?3)?2?10??(?1，?2，?3)C

2??1?1??0?2??10?1???(?1??2??3,?3??2,??1?2?3)=(?1，?2，?3)?1?10??(?1，?2，?3)D

?11?2???因為：A?2?0,B?C?D?0

所以，向量組?1??2，?2??3,?3??1線性無關，而其余三個都是線性相關的，故選A。

評析：本題解法頗多，只要驗證選項中的向量組線性無關即可，但上述方法是較為簡單的方法，且不易出錯；同時，我們可以看到，在解決一些有關向量組和線性方程組問題時，有時把矩陣這一數學工具拿來運用也未嘗不是一種簡便！

3、設?1,?2，?s是齊次線性方程組AX?0的一個基礎解系。而?1?t1?1?t2?2,?2?t1?2?t2?3，?s?t1?s?t2?1，其中t1，t2是實數，問當t1，t2滿足什么關系時，?1,?2,解：顯然，?1,?2，?s也是方程組AX?0的基礎解系？ ,?s線性無關時，t1，t2,?s為AX?0的解，下證在?1,?2,應滿足的關系。設k1?1?k2?2??ks?s?0 k1(t1?1?t2?2)?k2(t1?2?t2?3)??ks?1(t1?s?1?t2?s)?ks(t1?s?t2?1)?0 ?(ks?1t2?k3t1)?3?0(k1t1?kst2)?1?(k1t2?k2t1)?2?由?1,?2，?3線性無關知

?t1k1?kst2?0?tk?tk?0?2112 ? ???t2ks?1?t1ks?0由于?1,?2，?s線性無關，此方程組只有零解，即

t1t2000t1t2000t10000t2t20s0?t1s?(?1)s?1t2 t1s故當t1s?(?1)s?1t2?0時，即s為偶數時，t1??t2，s為奇數時，t1??t2，這時?1,?2，?s為AX?0的一個基礎解系。

?(1?a)x1?x2??xn?0?2x?(2?a)x??2x?0?12n4、設齊次線性方程組?，(n?2)，試問a為何值時，? ??nx1?nx2??(n?a)xn?0該方程組有非零解，并求其解。解：方法一

對系數矩陣進行初等行變換

11?1?a?2?a2?2A??333?a??????nn?n?????1??1?a11?1????2???2aa0?0?3????3a0a?0??B ???????????????n?a???na00?a?（1）若a?0，R(A)?1，方程組有非零解，其同解方程為x1?x2???xn?0

故其基礎解系為

?1???1,1,0,?,0?T，?2???1,0,1,0,?,0?T，…?n?1???1,0，0,1?

T所以方程組的通解為 k1?1?k2?2???kn?1?n?1（k1,?,kn?1為任意常數）

（2）若a?0，對矩陣B繼續作初等行變換，有

?1?a11?1?????a???210?0???B???301?0??????????????????n00?1???1n(n?1)2?2?3??n010001????0??0?0? ???1?????00?當a??n(n?1)時，R(A)?n?1?n，方程組有非零解，其同解方程為

??2x1?x2?0???3x1?x3?0得基礎解系為???1,2,?,n?T所以通解為k?（k為??? ???nx1?xn?012任意常數）

方法二

由于系數行列式

1?a122?aA???nn?1?2n(n?1)?n?1???a??a

??2???n?a故當a?0或a??n(n?1)時，方程組有非零解。2?11?1??11?1?????22?200?0?????（1）當a?0時，有A??故方程組的同解方

????????????????nn?n??00?0?????程為

x1?x2???xn?0

由此行基礎解系為

?1?(?1,1,?,0)T，?2?(?1,0,1,?,0)T，…，?n?1?(?1,0,?,1)T

通解為k1?1?k2?2???kn?1?n?1（k1,?,kn?1為任意常數）（2）當a?n(n?1)時，對系數矩陣進行初等行變換，有 121?1?a?2?a?2A??????nn??1??1?a1?1?????2???2aa?0??

??????????????na0?a??n?a????0?0??1?a1?1??0?????21?0?21?0???????

?????????????????n0?1???n0?1?????故方程組的同解方程為

??2x1?x2?0???3x1?x3?0 ? ?????nx1?xn?0可得基礎解系為??(1,2,?,n)T，故通解為k?（k為任意常數）

5、求下述數域K上的非齊次線性方程組的解空間

x3?2x4?，4?x1?3x2?5?

?-2x1?x2?3x3?x4??7，?-x?7x?9x?4x??2.234?1解：

第一步，求解方程組的特解。為此，先求出它的一般解公式，4?10?5?1?35?24??7??進行一系列初等行變換??21?31?7????????01????5??1?79?4?2????000????117?55??31?? 55??00???所以，方程組的一般解為

4117?x??x?x?,34??155?（其中x3，x4都是自由變量）????????????????

731?x?x?x?,234?555?由?式可以推出方程組的一特解：

?17??5????1?

?0????.5??0???0???第二步，求導出組的一個基礎解系。

由于原 非齊次線性方程組的系數矩陣與其導出組的系數矩陣相同，因此，我們只要把原方程組一般解公式的常數項去掉，就可得到導出組的一般解。

41?x??x?x4,3??155

?

（其中x3，x4都是自由變量）

73?x?x?x,234?55?從而得到導出組的一個基礎解系

??4??1?????7??1???，?2???

?5??0?????0???5?第三步，寫出非齊次線性方程組的解空間 ,1k2??K

U???0?k1? 1?k2?2k評析：本題寫出了求解一般非齊次線性方程組的最一般的解法及其步驟，作為線性方程組的最一般解法，我們是必須掌握的。

?1??2??4????????1156、已知向量?1=??，?2=??，?3???，?0???1???3???????24?????11??a1x1?2x2?a3x3?a4x4?d1,?

是方程組?4x1?b2x2?3x3?b4x4?d2,的三個解，求該方程組的解。

?3x?cx?5x?cx?d.223443?1解：即方程組的系數矩陣為A，則 i)由已知條件知：?2-?1，?3??1時相應的齊次線性方程組的兩個線性無關的解向量

?由4-r(A)?2?r(A)?2?

又系數矩陣A有二階子式?11?0

3?系數矩陣A的秩r(A)?2因此，由*）與**）?r(A)=2

ii)由i)?齊次線性方程組基礎解系由2(4-r(A)=4-2=2)個解向量構成，即

??

?2-?1，?3??1是齊次線性方程組的一基礎解系

所以，該線性方程組得通解為：?1+k1(?2-?1)+k2(?3??1).易錯提示：按常規思路，如果把三個解代入方程組先求其參數，再求通解，則計算是非常繁瑣的，在限定時間內是很難達到很好的效果，有時這種方法也是行不通的；而倘若我們對方程組的性質與其解的結構都能夠很好的理解，那么當遇到相關類型的題目時也就不至于困惑了。

?x1?x2?kx3?4,?

7、問k為何值時，線性方程組?-x1?kx2?x3?k2，有唯一解，無解，無窮多解？

?x?x?2x??423?1并且，當有解時求出其所有解。

?11k???解：記線性方程組的系數矩陣為A，即A=??1k1?，則

?1?12???11k1??(k?4)(?k，1)21k

A??1?1i)

當A?0，即k??1且k?4時，方程組有唯一解，我們用克萊姆法則求之，k2?2kk2?2k+4?2kx1?，x2?，x3?。

k+1k+1k+1ii)

當k=-1時，?11-14??11?14?????方程組的增廣矩陣A???1-111?初等行變換?0005?，?1-12-4??0?23?8??????r(A)=2<3=r(A)因此，方程組無解； iii)

當k=4時，?1144??1030?????方程組的增廣矩陣A???14116?初等行變換?0114?，?1-12-4??0000?????

?r(A)=2=(rA)，可知方程組有無窮多解，于是

??3c??0???3?x??3x?1??????3，令x3?c，則通解為x??4?c?，亦即x??4??c??1?。??x2??x3?4?c??0??1???????點評：本題屬于含有參數變量的線性方程組問題，這類問題一直都是本章的一個重要考察點，務必要好好把握。

8、設有兩個4元齊次線性方程組

（I）??x?x?x3?0?x1?x2?0；（II）?12

?x2?x4?0?x2?x3?x4?0（1）求線性方程（I）的基礎解系；

（2）試問方程組（I）和（II）是否有非零的公共解？若有，則求出所有的非零公共解；若沒有，則說明理由。解:（1）（I）的基礎解系為

?1??0,0,1,0?T，?2???1,1,0,1?T

（2）關于共公解有下列方法： 方法一

把（I）（II）聯立起來直接求解，令

00??11?11???010?1???01?

A??1?110??00????01?11??00???00??1??0?1??0?1?2??0???00???0010001??0?1?

1?2??00??由n?R(A)?4?3?1，基礎解系為??1,1,2,1?T，從而（I），（II）的全部公共解為k??1,1,2,1?T，（k為任意實數）

方法二

通過（I）與（II）各自的通解，尋找公共解。可求得（II）的基礎解系為

?1??0,1,1,0?T，?2???1,?1,0,1?T

則k1?1?k2?2，L1?1?L2?2分別為（I），（II）的通解。令其相等，即有

k1?0,0,1,0?T?k2(?1,1,0,1)T?L1?0,1,1,0?T?L2??1,?1,0,1?T

由此得

??k2,k2,k1,k2?T???L2,L1?L2,L1,L2?T

比較得

k1?L1?2k2?2L2

故公共解為

2k2?0,0,1,0?T?k2??1,1,0,1?T

T?k2??1,1,2,1?

方法三

把（I）的通解代入（II）中，在為其解時尋求k1，k2應滿足的關系式而求出公共解。

由于k1?1?k2?2???k2,k2,k1,k2?T，要是（II）的解，應滿足（II）的方程，故

??k2?k2?k1?0 ?k?k?k?012?2解出

k1?2k2，從而可求出公共解為 k2??1,1,2,1?T。

評析：本題是關于兩個方程組解的討論，其實考察的也是關系線性方程組的解的結構問題，近幾年的考研試題中也常有所涉及，所以還是值得我們注意的。

第二篇：線性方程組教案

第三章 線性方程組 教學安排說明

章節題目： §3.1 線性方程組的消元解法；§3.2 向量與向量組的線性組合； §3.3 向量的線性相關性；§3.4向量組的秩；§3.5線性方程組解的結構；習題課 學時分配：共12學時。

§3.1 線性方程組的消元解法；

3學時 §3.2 向量與向量組的線性組合 1.5學時 §3.3 向量的線性相關性

1.5學時； §3.4向量組的秩；

3學時 §3.5線性方程組解的結構；習題課

3學時 本章教學目的與要求：：

目的：使學生掌握線性方程組的初等變換和系數矩陣的初等行變換的關系及線性方程組的求解方法。

要求

1）．理解線性方程組的消元解法與系數矩陣的初等變換的關系； 2）．熟練運用矩陣的初等變換解線性方程組；

3）．理解并掌握矩陣秩的概念，學會用矩陣的初等變換求矩陣秩的方法； 4）．掌握線性方程組有解的判定定理及應用； 5）．掌握齊次線性方程組有非零解的充分必要條件；

課 堂 教 學 方 案

課程名稱：§3.1 線性方程組的消元解法

授課時數：3學時 授課類型：理論課 教學方法與手段：講授法

教學目的與要求：使學生掌握線性方程組的初等變換和系數矩陣的初等行變換的關系，熟練運用矩陣的初等變換解線性方程組；

教學重點、難點：線性方程組的初等變換，矩陣的初等變換，消元法解線性方程組的具體做法，教學內容

§3.1 線性方程組的消元解法

現在討論一般線性方程組.所謂一般線性方程組是指形式為

?a11x1?a12x2??ax?ax??211222????am1x1?am2x2??a1nxn?b1,?a2nxn?b2,?amnxn?bm

(3.1)的方程組，aij(i?1,2，m;j?1,2，n)稱為線性方程組的系數，bj(j?1,2，m)稱為常數項.系數aij的第一個指標i表示它在第i個方程，第二個指標j表示它是xj的系數.其中x1,x2,?,xn代表n個未知量，m是方程的個數，方程組中未知量的個數n與方程的個數m不一定相等.若記：

?a11a12?a21a22?A????am1am2a1n??x1??b1??????a2n?xb2?2???

X?

b?

??????????xamn??bs??n?a1na2namnb1??b2?

（3.2）??bm?而系數和常數項又可以排成下表：

?a11a12?a21a22?A????am1am2顯然AX?b，實際上，有了(3.2)之后，除去代表未知量的文字外線性方程組(3.1)就確定了，方程解的情況與采用什么文字來代表未知量沒有關系.這里矩陣A稱為線性方程組的系數矩陣，A 稱為增廣矩陣。

在中學所學代數里學過用加減消元法和代入消元法。解二元、三元線性方程組.實際上，這個方法比用行列式解線性方程組更有普遍性.下面就來介紹如何用一般消元法解一般線性方程組.例1，解方程組

?2x1?2x2?x3?6,??x1?2x2?4x3?3, ?5x?7x?x?28.23?1不難看出，在消去未知量的過程中，它實際上是反復地對方程組進行變換，而所用的變換也只是由以下三種基本的變換所構成：

1.互換兩個方程的位置，2.用一非零數乘某一方程； 3.把一個方程的倍數加到另一個方程。

以上三種變換1，2，3稱為線性方程組的初等變換.所謂方程組(3.1)的一個解就是指由n個數k1,k2,?,kn組成的有序數組(k1,k2,?,kn)，當x1,x2,?,xn分別用k1,k2,?,kn代入后，(3.1)中每個等式都變成恒等式.方程組(3.1)的解的全體稱為它的解集合.解方程組實際上就是找出它全部的解，或者說，求出它的解集合.如果兩個方程組有相同的解集合，它們就稱為同解的.顯然初等變換把一個線性方程組變成一個與它同解的線性方程組

線性方程組有沒有解完全取決于（3.1）的系數和常數項，如果知道了一個線性方程組的全部系數和常數項，那么這個線性方程組的解就基本上確定了.顯然，消元法求方程組解的過程就是相當于對線性方程組的增廣矩陣反復施行初等變換的過程.線性方程組的初等變換對應于矩陣的初等行變換，因此，以下從矩陣的初等變換入手討論方程的解。

定理3.1 線性方程組(3.1)的增廣矩陣總可以通過矩陣的初等行變換和第一種列變換化為以下形式：

?c11c12??0c21???00?0???0?c1rc2rcr,r?1c1nc2ncrn0d1??d2???dr?（3.3）dr?1???0??相應地，線性方程組(3.1)化為

?c11x1?c12x2???c1rxr???c1nxn?d1,?c22x2???c2rxr???c2nxn?d2,?????????crrxr???crnxn?dr,?

（3.4）?0?d,r?1??0?0,?????0?0.?因此線性方程組（3.1）有解的充要條件是r?A,b??r?A?，并且當r?A,b??n時方程組有唯一解，當r?A,b??n時有無窮多解。簡要證明：對于方程組(3.1)，首先檢查x1的系數.如果x1的系數a11,a21,?,as1全為零，那么方程組(3.1)對x1沒有任何限制，x1就可以取任何值，而方程組(3.1)可以看作x2,?,xn的方程組來解.如果x1的系數不全為零，那么利用初等變換1，不妨設a11?0.利用初等變換3，分別把第一個方程的?(i?2,?,n).于是方程組(3.1)就變成

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,??x2???a2?nxn?b2?,a22?

?????????????a?s2x2???asnxn?bs,?ai1倍加到第i個方程a11其中

??aij?aijai1?a1j,i?2,?,s,j?2,?,n a11相應的，增廣矩陣的第一列除a11?0外，其余元素全變為0 這樣，解方程組(3.1)的問題就歸結為解方程組

?x2???a2?nxn?b2?,?a22?

??????????a?x???a?x?b?snnn?s22的問題.這樣一步步作下去，最后就得到一個階梯形方程組.為了討論起來方便，不妨設所得的方程組為

?c11x1?c12x2???c1rxr???c1nxn?d1,?c22x2???c2rxr???c2nxn?d2,?????????crrxr???crnxn?dr,?

(3.5)?0?d,r?1??0?0,?????0?0.?相應的矩陣為 ?c11c12??0c21?? ?00?0???0?c1rc2rcr,r?1c1nc2ncrn0d1??d2???dr?(3.6)dr?1???0??其中cii?0,i?1,2,?,r.方程組(3.5)中的“0=0”這樣一些恒等式可能不出現，也可能出現，這時去掉它們也不影響(3.11)的解.而且(3.1)與(3.5)是同解的.現在考慮的解的情況.如(3.5)中有方程0?dr?1，而dr?1?0.這時不管x1,x2,?,xn取什么值都不能使它成為等式.故(3.5)無解，因而(1)無解.當dr?1是零或(3.5)中根本沒有“0=0”的方程時，分兩種情況： 1）r?n.這時階梯形方程組為

?c11x1?c12x2???c1nxn?d1,?c22x2???c2nxn?d2,?

（3.7）?????????cnnxn?dn,?其中cii?0,i?1,2,?,n.由最后一個方程開始，xn,xn?1,?,x1的值就可以逐個地唯一決定了.在這個情形，方程組(3.7)的解也就是方程組(1)有唯一的解.2）r?n.這時階梯形方程組為

?c11x1?c12x2???c1rxr?c1,r?1xr?1???c1nxn?d1,?c22x2???c2rxr?c2,r?1xr?1???c2nxn?d2,? ?????????crrxr?cr,r?1xr?1???crnxn?dr,?其中cii?0,i?1,2,?,r.把它改寫成

?c11x1?c12x2???c1rxr?d1?c1,r?1xr?1???c1nxn,?c22x2???c2rxr?d2?c2,r?1xr?1???c2nxn,?

(3.8)?????????crrxr?dr?cr,r?1xr?1???crnxn.?由此可見，任給xr?1,?,xn一組值，就唯一地定出x1,x2,?,xr的值，也就是定出方程組(3.8)的一個解.一般地，由(3.8)我們可以把x1,x2,?,xr通過xr?1,?,xn表示出來，這樣一組表達式稱為方程組(3.1)的一般解，而xr?1,?,xn稱為一組自由未知量.從這個例子看出，對線性方程組的增廣矩陣實施初等變換，有時不一定是（3.5）的樣子，但總可以適當調換矩陣的列，相當于同時交換方程組中某兩個未知量的位置，這并不影響方程的解。以上就是用消元法解線性方程組的整個過程.總起來說就是，首先用初等變換化線性方程組為階梯形方程組，把最后的一些恒等式“0=0”(如果出現的話)去掉.如果剩下的方程當中最后的一個等式是零等于一非零的數，那么方程組無解，否則有解.在有解的情況下，如果階梯形方程組中方程的個數r等于未知量的個數，那么方程組有唯一的解；如果階梯形方程組中方程的個數r小于未知量的個數，那么方程組就有無窮多個解.例2 解線性方程組

?x1?5x2?x3?x4??1,?x?2x?x?3x?3,?1234 ??3x1?8x2?x3?x4?1,??x1?9x2?3x3?7x4?7.例3 解線性方程組

?x1?2x2?3x3?x4?5,?2x?4x?x??3,?124 ???x1?2x2?3x3?2x4?8,??x1?2x2?9x3?5x4??21.課后作業：P152 1，3

課 堂 教 學 方 案

課程名稱： §3.2向量與向量組的線性相關性 授課時數：1.5學時 授課類型:理論課

教學方法與手段：講授法

教學目的與要求：掌握向量組的線性相關、無關的定義，掌握有關定理及推論 教學重點、難點：重點是判別向量組的線性相關性；難點是定理的證明 教學內容

§3.2 向量與向量組的線性組合

（一）向量及其線性運算

定義3.1 所謂數域P上一個n維向量就是由數域P中n個數組成的有序數組

(a1,a2,?,an)

(1)ai稱為向量(1)的第i分量.用小寫希臘字母?,?,?,?來代表向量.向量通常是寫成一行：

??(a1,a2,?,an).有時也可以寫成一列：

?b1???b???2?.?????bn?為了區別，前者稱為行向量，后者稱為列向量。它們的區別只是寫法上的不同.如果n維向量

??(a1,a2,?,an),??(b1,b2,?,bn)的對應分量都相等，即

ai?bi(i?1,2,?,n).就稱這兩個向量是相等的，記作???.分量全為零的向量(0,0,?,0)稱為零向量，記為0;向量(?a1,?a2,?,?an)稱為向量??(a1,a2,?,an)的負向量，記為??.定義3.2 向量

??(a1?b1,a2?b2,?,an?bn)

稱為向量

??(a1,a2,?,an),??(b1,b2,?,bn)的和，記為?????

定義3.3 設k為數域P中的數，向量(ka1,ka2,?,kan)稱為向量??(a1,a2,?,an)與數k的數量乘積，記為k?

定義3.4 所有n維實向量的集合記為Rn，Rn的n維向量的全體，同時考慮到定義在它們上面的加法和數量乘法，稱為實n維向量空間.顯然線性空間中元素滿足以下規律：

交換律：

???????.(2)結合律：

??(???)?(???)??.(3)

??0??.(4)

??(??)?0.(5)k(???)?k??k?，(6)(k?l)??k??l?，(7)k(l?)?(kl)?，(8)

1???.(9)(6)—(9)是關于數量乘法的四條基本運算規則.由(6)—(9)或由定義不難推出：

0??0，(10)

(?1)????，(11)

k0?0.(12)如果k?0,??0，那么

k??0.(13)例1．計算

11（i）（2，0，-1）+（-1，-1，2）+（0，1，-1）；

321（ii）5（0，1，-1）-3（1，2）+（1，-3，1）．

3例2．證明：如果

a（2，1，3）+ b（0,1,2）+ c（1，-1，4）=（0，0，0），那么a = b = c = 0．

（二）向量組的線性組合

兩個向量之間最簡單的關系是成比例.所謂向量?與?成比例就是說有一數k使

??k?.定義3.5 向量?稱為向量組?1,?2,的數k1,k2,?,ks，使

??k1?1?k2?2?如果有數域P中,?s的一個線性組合，?ks?s, ,?s其中k1,k2,?,ks叫做這個線性組合的系數.當向量?是向量組?1,?2,的一個線性組合時，也說?可以經向量組?1,?2，?s線性表出.例如，任一個n維向量??(a1,a2,?,an)都是下面向量組的一個線性組合.??1?(1,0,?,0),???(0,1,?,0),?2 ?

??????????n?(0,0,?,1)向量?1,?2,?,?n稱為n維單位向量.零向量是任意向量組的線性組合.?a1j??b1?????a2jb2定理3.3設????，向量?i???（j?1,2,????????a??b?m??mj?組?1,?2，n），則向量?可由向量,?n線性表示的充要條件是：以?1,?2，?n為列向量的矩陣與以?1,?2，?n，?為列向量的矩陣有相同的秩

若向量組?1,?2，?s的中每一個向量?i(i?1,2,s,都)可以經向量組?1,?2，?t線性表出，那么向量組?1,?2，?s就稱為可以經向量組?1,?2，?t線性表出.定理3.4如果向量組?1,?2,組?1,?2，?s可以經向量組?1,?2，?t線性表出，向量,?s可以,?t可以經向量組?1,?2,?,?p線性表出，那么向量組?1,?2,經向量組?1,?2,?,?p線性表出.定義3.5如果兩個向量組互相可以線性表出，它們就稱為等價.向量組之間等價具有以下性質：

1）反身性：每一個向量組都與它自身等價.2）對稱性：如果向量組?1,?2,?,?s與?1,?2,?,?t等價，那么向量組?1,?2,?,?t與?1,?2,?,?s等價.3）傳遞性：如果向量組?1,?2,?,?s與?1,?2,?,?t等價，?1,?2,?,?t與?1,?2,?,?p等價，那么向量組?1,?2,?,?s與?1,?2,?,?p等價.課后作業：P159 4，6（1），8

課 堂 教 學 方 案

課程名稱： §3.3向量組的線性相關性 授課時數：1.5學時 授課類型:理論課

教學方法與手段：講授法

教學目的與要求：掌握向量組的線性相關、無關的定義，掌握有關定理及推論 教學重點、難點：重點是判別向量組的線性相關性；難點是定理的證明 教學內容

§3.3向量組的線性相關性

定義3.7向量組?1,?2,?,?s(s?1)稱為線性相關的，如果有數域P中不全為零的數k1,k2,?,ks，使

k1?1?k2?2???ks?s?0

如果當且僅當k1?k2?線性無關。

從定義可以看出，單獨一個零向量線性相關，單獨一個非零向量線性無關.任意一個包含零向量的向量組一定是線性相關的.向量組?1,?2線性相關就表示

?ks?0上式成立，則稱向量組?,?,?,?(s?1)12s?1?k?2或者?2?k?1(這兩個式子不一定能同時成立).在P為實數域，并且是三維時，就表示向量?1與?2共線.三個向量?1,?2,?3線性相關的幾何意義就是它們共面.并且如果一向量組線性無關，那么它的任何一個非空的部分組也線性無關.特別地，由于兩個成比例的向量是線性相關的，所以，線性無關的向量組中一定不能包含兩個成比例的向量.不難看出，由n維單位向量?1,?2,?,?n組成的向量組是線性無關的.定理3.5 向量組?1,?2，?n，其中

?a1j???a2j?i???j?1,2,????a???mj?,n，則?1,?2，?n線性相關的充要條件是：以?1,?2，?n為列向量的矩陣的秩小于向量的個數n。

具體判斷一個向量組是線性相關還是線性無關的問題可以歸結為解方程組的問題.向量組?1,?2，?n線性相關?齊次線性方程組x1?1?x2?2??xn?n?0有非零,?n線,?n解。或者說齊次線性方程組x1?1?x2?2?性無關。

推論1 設n個向量?i??a1j,a2j,線性相關的充要條件是：

a11a21an1a12a22an2?xn?n?0只有零解??1,?2,，向量組?1,?2，n）,anj?（j?1,2,a1na2nann?0

注：這里把?1,?2，?n應理解為列向量。

也可以說向量組?1,?2，?m線性相關?A?(?1?2?m)的秩小于向量個數m；向量組線性無關?A?(?1?2?m)的秩為m.從而，如果向量組(2)線性無關，那么在每一個向量上添一個分量所得到的n?1維的向量組

?i?(ai1,ai2,?,ain,ai,n?1),i?1,2,?,s(5)也線性無關.例1 判斷P3的向量

?1?(1,?2,3),?2?(2,1,0),?3?(1,?7,9)

是否線性相關。

例2 若向量組?1,?2,?3線性無關，則向量組2?1??2,?2?5?3,4?3?3?1也線性無關.例3若向量?1,?2，?m的部分組?1,?2，?s(s?m)線性相關,?s線性無關。??1,?2，?m線性相關。反之，?1,?2，?m線性無關??1,?2,證：因為?1,?2，?s線性相關，則存在不全為零的k1,k2,?ks?s?0?s?1?,ks，使

k1?1?k2?2?則?1,?2,（2）記 ?ks?s?0?k1?1??0?m?0 ,?m線性相關。

?a1j??a1j??????,(j?1,?j???,?j???arj??a???rj??a???r?1j?,m)

若?1,?2，?m線性無關??1,?2，?m線性相關。,?m線性無關。反之，若?1,?2，?m線性相關??1,?2,證：1°記A?(?1,?2,?,m),B??(1?,2,?m,，)顯然r(A)?r(B)，因為?1,?2，?m線性無關，知r(A)?m，因而r(B)?m.2°因為B只有m列，所以r(B)?m.由1°和2°知r(B)?m，知?1,?2，?m線性無關。,?m，當n?m時??1,?2，?m線（3）m個n維向量組成的向量組?1,?2,性相關。

證：記An?m?(?1,相關。

（4）設向量組?1,?2，?m)，因為n?m?r(An?m)?n?m，則?1,?2，?m線性,?m線性無關，?1,?2，?m,?線性相關??可由?1,?2，?m表示，且表示法唯一。

證：記A?(?1,?2,1°因為?1,?2,2°因為?1,?2，?m),B?(?1,?2，?m,?)，顯然r(A)?r(B).,?m線性無關，知r(A)?m ,?m,?線性相關，知r(B)?m?1 ,?m)x?b有解且唯一。??可由因此r(B)?m，知，Ax?(?1,?2,?1,?2，?m表示，且表示法唯一。□

推論1 當向量組中所含向量的個數大于向量的維數時，此向量組線性相關。定理3.6 如果一向量組的一部分線性相關，那么這個向量組就線性相關.（二）關于線性組合與線性相關的定理

定理3.7 向量組?1,?2,?,?s(s?2)，線性相關?向量組?1,?2,?,?s中至少存在一個向量能由其余s?1個向量線性表示。

定理3.8 設?1,?2,以由?1,?2,而向量?1,?2，?s?線性相關，則?可,?s線性無關，,?s線性表示，且表示法唯一。,?s與?1,?2，?t是兩個向量組.如果向量組定理3.9 設?1,?2,?1,?2，?t可以經?1,?2，?s線性表出，且t?s，那么向量組?1,?2，?t必線性相關.反之如果向量組?1,?2，?t可以經向量組?1,?2，?s線性表出，且?1,?2，?t線性無關，那么t?s.推論 兩個線性無關的等價的向量組，必含有相同個數的向量.例4（1）設?1,?2,?3線性無關，證明?1,?1??2,?1??2??3也線性無關；對n個線性無關向量組?1,?2,?,?n，以上命題是否成立？

（2）當?1,?2,?3線性無關，證明?1??1??2,?2??2??3,?3??1??3也線性無關，當?1,?2,?,?n線性無關時，?1??2,?2??3,?,?n?1??n,?n??1是否也線性無關？

解：令x1?1?x2?2?x3?3?0，代入整理得：.因為?1,?2,?3線性無關，則應有

?x3?0?x1??0?x1?x2?x2?x3?0?

（﹡）

(x1?x3)?1?(x1?x2)?2?(x2?x3)?3?0 ?101??101?????A??110?????01?1??B?011??001?????

r(A)?r(B)?3，所以（﹡）式只有零解，由定理5推論1知?1,?2,?3線性無關。

例5 設在向量組?1,?2,?,?n中，?1??0且每個?i都不能表成它的前i?1個向量?1,?2,?,?i?1的線性組合，證明?1,?2,?,?n線性無關.例6 研究下面向量組的線性相關性

?1??0???1???????1???2,??2,??23?????0??3???5??2???????

解：解法1.令k1?1?k2?2?k3?3?0，整理得 ?k3?k1???2k1?2k2?3k?1?5k2?2k3因為線性方程組的系數行列式

?0?0?0

10?10?02

所以方程組必有非零解，知?1,?2,?3線性相關。

（2）解法2.由

?10?1??10?1???行???220???02?2?????B?3?52??000????? ?223?5知?1,?2,?3線性相關。□

小結：(1)若所給的向量為行向量，轉置成列向量，再用上面的方法求解即可。（2）解法2一般說來比較好，今后盡可能用解法2.例7已知?1,?2,?3線性無關，?1??1??2，?2??2??3，?3??3??1，證明向量組?1,?2,?3線性無關。

課后作業P160

11，13，15，16（1）

課 堂 教 學 方 案

課程名稱： §3.4 向量組的秩 授課時數：3學時 授課類型:理論課

教學方法與手段：講授法

教學目的與要求：掌握向量組的秩的定義，掌握有關定理及推論 教學重點、難點：向量組的秩的定義、有關定理及推論 教學內容

（一）向量組的極大線性無關組

定義3.8 n維向量組?1,?2,?,?s的一個部分組稱為一個極大線性無關組，如果這個部分組本身是線性無關的，并且從這個向量組中任意添一個向量(如果還有的話)，所得的部分向量組都線性相關.一個線性無關向量組的極大線性無關組就是這個向量組本身.極大線性無關組的一個基本性質是，任意一個極大線性無關組都與向量組本身等價.比如看R3的向量組

?1?(1,0,0),?2?(0,1,0),?3?(1,1,0)

在這里｛?1,?2｝線性無關，而?3??1??2，所以｛?1,?2｝是一個極大線性無關組.另一方面，｛?1,?3｝，｛?2,?3｝也都是向量組｛?1,?2,?3｝的極大線性無關組.定理3.10如果 ?j1,?j2，?jr是?1,?2,?,?s的線性無關部分組，它是極大,?jr線性表示。無關組的充要條件是?1,?2,?,?s中每一個向量都可由?j1,?j2,上面的例子可以看出，向量組的極大線性無關組不是唯一的.但是每一個極大線性無關組都與向量組本身等價，因而，一向量組的任意兩個極大線性無關組都是等價的.（二）向量組的秩

一向量組的極大線性無關組都含有相同個數的向量.因此，極大線性無關組所含向量的個數與極大線性無關組的選擇無關，它直接反映了向量組本身的性質.因此有

定義3.9 向量組?1,?2,?,?s的極大線性無關組所含向量的個數稱為這個向量組的秩.一向量組線性無關的充要條件是它的秩與它所含向量的個數相同.每一向量組都與它的極大線性無關組等價.由等價的傳遞性可知，任意兩個等價向量組的極大線性無關組也等價.所以，等價的向量組必有相同的秩.含有非零向量的向量組一定有極大線性無關組，且任一個線性無關的部分向量都能擴充成一極大線性無關組.全部由零向量組成的向量組沒有極大線性無關組.規定這樣的向量組的秩為零.例如，矩陣

?1??0A??0??0?的行向量組是

132?100001??4? ?5?0???1?(1,1,3,1),?2?(0,2,?1,4),?3?(0,0,0,5),?4?(0,0,0,0)

它的秩是3.它的列向量組是

?1?(1,0,0,0)?,?2?(1,2,0,0)?,?3?(3,?1,0,0)?,?4?(1,4,5,0)?

它的秩也是3.矩陣A的行秩等于列秩，這點不是偶然的.定理3.11 A為m?n矩陣，r?A??r的充要條件是A的列（行）秩為r。推論：A的列秩與行秩相等。（因為行秩等于列秩，所以下面就統稱為矩陣的秩.）

例1求向量組?1?(2,4,2),?2?(1,1,0),?3?(2,3,1),?4?(3,5,2)的一個極大無關組，并把其余向量用該極大無關組線性表示。

例2設?1,?2,以經?1,?2，?s與?1,?2，?t是兩個向量組.如果向量組?1,?2，?s可,?t線性表出，r??1,?2，?s??r??1,?2，?t?

定理3.11 設向量組?1,?2，?s與?1,?2，?t等價，則：

r??1,?2，?s??r??1,?2，?t?

例3 設A是數域F上m?n矩陣，B是數域F上n?s矩陣，于是

r(AB)?min[r(A),r(B)]，即乘積的秩不超過各因子的秩.特別地，當有一個因子是可逆矩陣時，乘積的秩等于另一個因子的秩。

課后作業P161

17，18，19

課 堂 教 學 方 案

課程名稱： §3.5 線性方程組解的結構 授課時數：3學時 授課類型:理論課

教學方法與手段：講授法

教學目的與要求：理解基礎解系的概念，掌握線性方程組解的結構 教學重點、難點：線性方程組解的結構 教學內容

§3.5 線性方程組解的結構

設線性方程組為

?a11x1?a12x2??ax?ax??211222????am1x1?am2x2??a1nxn?b1,?a2nxn?b2,?amnxn?bm

當用初等行變換把增廣矩陣A化成如下階梯形

?????????????其中cii?0,i?1,2,c110?000?0c12?c1r?000?0?????crr00?0?c1nc2n?crn00?0c22?c2r?????d1??d2????dr?? 0?0????0??,r時方程組有解.以下討論線性方程組解的結構。所謂解的結構問題就是解與解之間的關系問題.首先討論齊次線性方程組。

一、齊次線性方程組的解的結構 設

?a11x1?a12x2??ax?ax??211222 ????am1x1?am2x2??a1nxn?0,?a2nxn?0,?amnxn?0(1)是一齊次線性方程組，它的解所成的集合具有下面兩個重要性質： 1.兩個解的和還是方程組的解.2.一個解的倍數還是方程組的解.對于齊次線性方程組，綜合以上兩點即得，解的線性組合還是方程組的解.這個性質說明了，如果方程組有幾個解，那么這些解的所有可能的線性組合就給出了很多的解.基于這個事實，我們要問：齊次線性方程組的全部解是否能夠通過它的有限的幾個解的線性組合給出？

定義3.10 齊次線性方程組(1)的一組解?1,?2,?,?t稱為(1)的一個基礎解系，如果

1）(1)的任一個解都能表成?1,?2,?,?t的線性組合； 2）?1,?2,?,?t線性無關.應該注意，定義中的條件2)是為了保證基礎解系中沒有多余的解.由定義容易看出，任何一個線性無關的與某一個基礎解系等價的向量組都是基礎解系.定理3.13在齊次線性方程組有非零解的情況下，它有基礎解系，并且基礎解系所含解的個數等于n?r，這里r表示系數矩陣的秩(n?r是自由未知量的個數).設齊次線性方程組經過初等變換化為

?x1??k1,r?1xr?1??x??kx??22,r?1r?1????xr??kr,r?1xr?1??knx1?x1??k1r?,x1r??1n，?x??kx??kx,2r?,1r?1n2n,?2?k1,nxn,??k2,nxn,?xr?1??krnx

即

?xr??kr,r?1,n，?x?xr?1?r?1?kr,nxn.?xr?2?xr?2?xn?xn?用矩陣表示即為：

??k1,r?1???k1,r?2?x?1??????k?k???2,r?1??2,r?2?x2?????????????k?k???r,r?1??x?r,r?2??x?x?r?r?1??r?2?0?1?x?????r?1???0??1????????x??????n??0??0???????k1,n????k?2,n??????kr,n??xn??0?

???0??????1?????k1,r?1???k1,r?2??????k?k2,r?12,r?2?????????????k?kr,r?1??r,r?2?，??記?1??2?1??0?????01?????????????0??0??????x1?x2?則???xn????k??k???1122????k1,n????k2,n???????kr,n?,?r???0?稱作原方程組的一個基礎解系

??0???????1????kr?r 二、一般線性方程組的解的結構 如果把一般線性方程組

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,?ax?ax???ax?b,?2112222nn2(2)????????????as1x1?as2x2???asnxn?bs的常數項換成0，就得到齊次線性方程組(1).齊次線性方程組(1)稱為方程組(2)的導出組.方程組(2)的解與它的導出組(1)的之間有密切的關系：

1.線性方程組(2)的兩個解的差是它的導出組(1)的解.2.線性方程組(2)的一個解與它的導出組(1)的一個解之和還是這個線性方程組的一個解.定理3.14 如果?是線性方程組(2)的一個特解，?是其導出組的全部解，那么???即為線性方程組(2)的全部解。

定理說明了，為了找出一線性方程組的全部解，只要找出它的一個特殊的解以及它的導出組的全部解就行了.導出組是一個齊次線性方程組，在上面已經看到，一個齊次線性方程組的解的全體可以用基礎解系來表示.因此，根據定理我們可以用導出組的基礎解系來表出一般線性方程組的一般解；如果?0是線性方程組(2)的一個特解，?1,?2,?,?n?r是其導出組的一個基礎解系，那么(2)的任一個解?都可以表成

???0?k1?1?k2?2???kn?r?n?r

推論 在線性方程組(2)有解的條件下，解是唯一的充要條件是它的導出組(1)只有零解.課后作業P161 20（1）（3），23（2），26

第三篇：高中生物典型習題

高中生物典型習題

1、正常溫度條件下（25℃左右）發育的果蠅，果蠅的長翅（V）對殘翅（v）為顯性，這一對等位基因位于常染色體上。但即便是純合長翅品種（VV）的果蠅幼蟲，在35℃溫度條件下培養，長成的成體果蠅卻表現為殘翅，這種現象叫“表型模擬”。

（1）這種模擬的表現性狀能否遺傳？為什么？

（2）現有一只殘翅果蠅，如何判斷它是否屬于純合殘翅（vv）還是“表型模擬”？請設計實驗方案并進行結果分析。

方法步驟：

結果分析

30．（22分）回答下列有關綠色植物新陳代謝的問題。

材料1科學家通過對綠色植物轉換CO2的研究得到：①在一定濃度范圍內，綠色植物對外界CO2的轉換為定值；②綠色植物光合作用利用的CO2來自于外界與呼吸作用兩方面。現用紅外測量儀在恒溫不同光照下測得如下的數據。（已測得呼吸作用釋放CO2為0.6umol/h，且6分子

26126（1影響光合作用的因素有_______________和________________。

（2）當光照強度為1K lux時，實際光合量都為0.1umol。原因是_____________________ _______________________________________________________________________。

（3）當光照強度為2K lux時，植物對外界CO2轉換率為___________。設外界CO2濃度為5.4 umol/h，則該條件下綠色植物的實際光合量為_________________ umol/h。

材料2綠色植物的代謝度受內外多種因素的影響。礦質元素就是其中一個重要因素。下圖表示水稻葉片中氮、磷含量與光合速率的關

系。請據圖回答問題。

（1）從圖中可知水稻葉片氮、磷含量與光

合速率的關系是______________

____________________。

（2）氮是植物從土壤中大量吸收的一種元素，土壤每年因此要損失大量氮元素。作物通常從土壤獲得氮的途徑有兩條：一是通過生物固氮，二是___________________________。

（3）下列曲線是礦質元素磷的吸收與呼吸作用強度的關系，正確的是（）

（4）下列有關各元素參與生物代謝的說法不正確的是（）

A.馬鈴薯植株缺K，將會造成其產量下降B.Mg是葉綠體中的色素分子必不可少的組成元素C．由Fe參與組成的血紅蛋白，是內環境的成分之一

D．P是組成磷脂、ATP、NADPH及核糖等多種化合物的組成元素

29.（9分）

在光照等適宜條件下，將培養在CO2濃度為1%環境中的某植物迅速轉移到CO2濃度為0.003%的環境中，其葉片暗反應中C3和C5化合物微摩爾濃度的變化趨勢如下圖。回答問題：

（1）圖中物質A是 ______（C3化合物、C5化合物）

（2）在CO2濃度為1%的環境中，物質B的濃度比A的低，原因是_______；將CO2濃度從1%迅速降低到0.003%后，物質B濃度升高的原因是______________。

（3）若使該植物繼續處于CO2濃度為0.003%的環境中，暗反應中C3和C5化合物濃度達到穩定時，物質A的濃度將比B的________（低、高）。

（4）CO2濃度為0.003%時，該植物光合速率最大時所需要的光照強度比CO2濃度為1%時的_______（高、低），其原因_______。

第四篇：不等式典型習題

1．若關于x的不等式x－1≤a有四個非負整數解，a的取值范圍是

2.已知關于x的不等式組??x?a?0的整數解共有5個，則a的取值范圍是.?3?2x??1

3.若不等式（3a－2）x＋2＜3的解集是x＜2，那么?x?a?b4．已知關于x的不等式組?的解集為3≤x＜5，則a，b.2x?a?2b?1?

5.若不等式組??4a?x?0無解，則a的取值范圍是_______________．

?x?a?5?0

6.若不等式組?

?1?x?2 有解，則k的取值范圍是.x?k?

第五篇：向心力典型習題

向心加速度向心力習題上海在北緯31°，求上海所在處物體繞地軸做圓周運動的向心加速度是多大？（設地球半R=6400km，cos31°=0.86）

2、在光滑桿上穿著兩個小球m1、m2，且m1=2m2，用細線把兩小球連接起來，當架勻速 轉動時，兩小球剛好能與桿保持無相對滑動，此時兩小球到轉軸的距離r1：r2之比為：（）

A、1：1B、1：2C、2：1D、1：

23、一個大輪通過皮帶拉著小輪轉動，皮帶和兩輪之間無滑動，大輪的半徑是小輪的2倍，大輪上的一點S離轉動軸的距離是半徑的1/3，當大輪邊緣上P點的向心加速度是12m/s2 時，大輪上的S點和小輪邊緣上的Q點的向心加速度多大？小球做圓錐擺時細繩長L，與豎直方向成θ角，求小球做勻速圓周運動的角速度ω。

5、一端固定在光滑水平面上O點的細線，A、B、C各處依次系著質量相同的小球A、B、C。現將它們排成一直線，并使細線拉直，讓它們在光滑的桌面上繞O點做圓周運動，如果增大轉速，細線OA、AB、BC三段線中哪一段先斷掉？

6、如圖：質量均為m的A、B兩物體用細繩跨過固定在圓盤中央的光滑的定滑輪，物體A與轉盤摩擦系數為μ，為使A與盤保持相對靜止，則轉

盤ω的取值為多少？（A物離盤中心距離為R）

7、如圖：物體與圓筒壁的滑動摩擦系數為μ，圓筒的半徑為R，若要物體不滑

下，圓筒轉動的角速度至少為多少？

8、在轉盤的邊緣固定有一豎直桿，在桿的端點用長為L的細線懸掛一小球，當轉盤旋轉穩定后，細繩與豎直方向的夾角為

θ，則小球的線速度大小

為多少，轉動周期為多少？（R已知）

9、一個內壁光滑的圓錐筒的軸線垂直與水平面，圓錐筒固定不動，有兩個質量相同的小球A和B緊貼著內壁分別在圖中所示的水平面內作勻速圓周運動，則

（）

A、球A的線速度必定大于球B的線速度。

B、球A的角速度必定小于球B的角速度。

C、球A的運動周期必定大于球B的角速度

D、球A對筒壁的壓力必定大于球B對筒壁的壓力。

10、在光滑的圓錐頂端用長為L的細繩懸有一質量為m的小球，圓錐的頂角為

2θ，當圓錐和球一起以角速度ω勻速旋轉時，球緊壓錐面，此時繩的張力 為多少？若要小球離開錐面，則小球的角速度至少為多少？

11：如圖中小球用長為L的細繩懸與O點，使之在豎直平面內做圓周運動，當小球通過最 低點時的速率為V1，在最高點的速率為V2，則：

①、小球在最低點，最高點的細繩張力大小分別為多少？

②、要使小球能在豎直平面內做圓周運動，球在達到最高點的速度大小至少應為多少？ ③、如果圖中的細繩變為輕桿，則上列兩種情況怎樣？

答案：

1、a=2.9×10-2m/s22、D3、as=4m/s2，aQ=24m/s24、ω=(g/Lsinθ)1/

25、OA先斷

6、? g(1-μ)/R]1/2≤ω≤[g(1+μ)/R]1/

27、ω=（g/μR）1/

28、V=[g(R+Lsinθ)tanθ]1/2,T=2pi[(R+lsinθ)/gtanθ]1/

29、ABC10、ω=(g/Lcosθ)1/

211、①、T低=mg+mv2/ LT高=mv2/L-mg

②、v=(gl)1/

2③、T低=mg+mv2/ LT高=mv2/L – mgv=0