第一篇：九年級圓的教學設計

24.1《圓》教學設計

一、教學目標

知識技能: 1．了解圓和圓的相關概念,知道圓實軸對稱圖形,理解并掌握垂直于弦的直徑有哪些性質.2．了解弧、弦、圓心角、圓周角的定義，明確它們之間的聯系.數學思考: 1．在引入圓的定義過程中，明確與圓相關的定義，體會數學概念間的聯系.2．在探究弧、弦、圓心角、圓周角之間的聯系的過程中，培養學生的觀察、總結及概括能力.問題解決: 1．在明確垂直于弦的直徑的性質后，能根據這個性質解決一些簡單的實際問題.2．能根據弧、弦、圓心角、圓周角的相關性質解決一些簡單的實際問題.情感態度：在引入圓的定義及運用相關性質解決實際問題的過程中，感悟數學源于生活又服務于生活.在探索過程中，形成實事求是的態度和勇于創新的精神.二、重難點分析

教學重點：垂徑定理及其推論；圓周角定理及其推論．

垂徑定理及其推論反映了圓的重要性質，是圓的軸對稱性的具體化，也是證明線段相等、角相等、垂直關系的重要依據，同時也為進行圓的計算和作圖提供了方法和依據；圓周角定理及其推論對于角的計算、證明角相等、弧、弦相等等問題提供了十分簡便的方法．所以垂徑定理及其推論、圓周角定理及其推論是本小節的重點．

對于垂徑定理，可以結合圓的軸對稱性和等腰三角形的軸對稱性，引導學生去發現“思考”欄目圖中相等的線段和弧，再利用疊合法推證出垂徑定理．對于垂徑定理的推論，可以按條件畫出圖形，讓學生觀察、思考，得出結論．要注意讓學生區分它們的題設和結論，強調“弦不是直徑”的條件．

圓周角定理的證明，分三種情況進行討論．第一種情況是特殊情況，是證明的基礎，其他兩種情況都可以轉化為第一種情況來解決，轉化的條件是添加以角的頂點為端點的直徑為輔助線．這種由特殊到一般的思想方法，應當讓學生掌握．

教學難點：垂徑定理及其推論；圓周角定理的證明．

垂徑定理及其推論的條件和結論比較復雜，容易混淆，圓周角定理的證明要用到完全歸納法，學生對于分類證明的必要性不易理解，所以這兩部分內容是本節的難點．

圓是生活中常見的圖形,學生小學時對它已經有了初步接觸,對于圓的基本性質有所了解.但是對于垂徑定理和推論、圓周角定理和推論及其理論推導還比較陌生，教師應該鼓勵引導學生通過動手操作、動腦思考等途徑去發現結論，加深認識.三、學習者學習特征分析

圓是生活中常見的圖形,學生小學時對它已經有了初步接觸,對于圓的基本性質有所了解.但是對于垂徑定理和推論、圓周角定理和推論及其理論推導還比較陌生，教師應該鼓勵引導學生通過動手操作、動腦思考等途徑去發現結論，加深認識.四、教學過程

（一）創設情境，引入新課

圓是一種和諧、美麗的圖形，圓形物體在生活中隨處可見.在小學我們已經認識了圓這種基本的幾何圖形，并能計算圓的周長和面積.早在戰國時期，《墨經》一書中就有關于“圓”的記載，原文為“圓，一中同長也”.這是給圓下的定義，意思是說圓上各點到圓心的距離都等于半徑.現實生活中，路上行駛的各種車輛都是圓形的輪子，為什么車輪做成圓形的？為什么不做成橢圓形和四邊形的呢？這一節我們就一起來學習圓的有關知識，并且來解決上述的疑問.（二）合作交流，探索新知

1．觀察圖形，引入概念

(1）圓是生活中常見的圖形，許多物體都給我們以圓的形象．（多媒體圖片引入）

（2）觀察畫圓的過程，你能由此說出圓的形成過程嗎？

（3）圓的概念：

讓學生根據上面所找出的特點，描述什么樣的圖形是圓.（學生可以在討論、交流的基礎上自由發言；絕大部分學生能夠比較準確的描述出圓的定義，部分學生沒有說準確，在其他學生帶動下也能夠說出）在學生充分交流的基礎上得到圓的定義：

在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．（多媒體動畫引入）

（4）圓的表示方法

以點O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．

（5）從畫圓的過程可以看出：

①圓上各點到定點（圓心O）的距離都等于定長（半徑r）；

②到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上．

因此，圓心為O、半徑為r的圓可以看成是所有到定點O的距離等于定長r 的點的集合．（把一個幾何圖形看成是滿足某種條件的點的集合的思想，在幾何中十分重要，因為這實際上就是關于軌跡的概念．圓，實際上是“到定點的距離等于定長的點”的軌跡．事實上，①保證了圖形上點的純粹性，即不雜；②保證了圖形的完備性，即沒有漏掉滿足這種條件的點．①②同時符合，保證了圖形上的點“不雜不漏”．）

（6）由車輪為什么是圓形，讓學生感受圓在生活中的重要性．

問題1，車輪為什么做成圓形？

問題2，如果做成正方形會有什么結果？

（通過車輪實例，首先讓學生感受圓是生活中大量存在的圖形．教學時給學生展示正方形車輪在行走時存在的問題，使學生感受圓形的車輪運轉起來最平穩．）

把車輪做成圓形，車輪上各點到車輪中心（圓心）的距離都等于車輪的半徑，當車輪在平面上滾動時，車輪中心與平面的距離保持不變，因此，當車輛在平坦的路上行駛時，坐車的人會感覺到非常平穩，這也是車輪都做成圓形的數學道理． 2.與圓有關的概念

（1）連接圓上任意兩點的線段（如線段AC）叫做弦.（2）經過圓心的弦（如圖中的）叫做直徑．

（3）圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧．

小于半圓的弧（如圖中的ABC，）叫做優弧．

（4）圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．

（5）能夠重合的兩個圓叫做等圓．（容易看出半徑相等的兩個圓是等圓，反過來，同圓或等圓的半徑相等．））叫做劣弧；大于半圓的弧（用三個字母表示，如圖中的（6）在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧．

（對于和圓有關的這些概念，應讓學生借助圖形進行理解，并弄清楚它們之間的聯系和區別．例如，直徑是弦，但弦不一定是直徑．半圓是弧，但弧不一定是半圓；半圓即不是劣弧，也不是優弧．）3.垂直于弦的直徑

（1）創設情景引入新課

問題 ：你知道趙州橋嗎?它是1300多年前我國隋代建造的石拱橋,是我國古代人民勤勞與智慧的結晶．它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37.4m,拱高(弧的中點到弦的距離)為7.2m.你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？）

（2）圓的對稱性的探究

①活動：用紙剪一個圓，沿著圓的任意一條直徑對折，重復幾次，你發現了什么？由此你能得到什么結論？（學生可能會找到1條，2條，3條?教師不要過早地去評判，應該把機會留給學生，讓他們在互相交流中，認識到圓的對稱軸有無數多條，要鼓勵學生表達自己的想法）

②得到結論：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸．

（3）垂徑定理及其逆定理

①垂徑定理的探究

如圖，AB是⊙O的一條弦，做直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E．（1）圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？?（2）你能發現圖中有哪些相等的線段和弧嗎？為什么？（旨在通過這樣復合圖形的軸對稱性探索垂徑定理，教學時應鼓勵學生探索方式的多樣性．引導學生理解，證明垂徑定理的基本思路是：先構造等腰三角形，由垂直于弦得出平分弦；然后將直徑看做圓的對稱軸，利用軸對稱圖形對應元素相等的性質得出平分弧的結論）（多媒體動畫引入）

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧．

②垂徑定理的逆定理的探究

（仿照前面的證明過程，鼓勵學生獨立探究，然后通過同學間的交流得出結論）垂徑定理的逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．

③解決求趙州橋拱半徑的問題 4.弧，弦，圓心角

（1）通過實驗探索圓的另一個特性

如圖，將圓心角∠AOB繞圓心O旋轉到∠A’OB’的位置，你能發現哪些等量關系？為什么？（多媒體圖片引入）（教科書展示了一種證明方法——疊合法，教學時要鼓勵學生用多種方法探索圖形的性質，學生的想法未必完善，但只要有合理的成分就應給予肯定和鼓勵．）

結論：在同圓或等圓中，相等的圓心角所的弧相等，所對的弦也相等．

（2）對（1）中結論的逆命題的探究

在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角_____，所對的弦_____；在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對的圓心角______，所對的弧_____．（教學時仍要鼓勵學生用多種方法進行探索）

（3）應用新知，體驗成功

例.如圖，在⊙O中，=，∠ACB=60°，求證：∠AOB=∠BOC=∠AOC.5.圓周角

（1）創設情境引入概念

如圖是一個圓柱形的海洋館的橫截面示意圖，人們可以通過其中的圓弧形玻璃窗

觀看窗內的海洋動物，同學甲站在圓心O的位置，同學乙站在正對著玻璃窗的靠墻的位置C，他們的視角（∠AOB和∠ACB）有什么關系？如果同學丙，丁分別站在其他靠墻的位置D和E，他們的視角（∠ADB和∠AEB）和同學乙的視角相同嗎？

概念：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．

（意在引出同弧所對的圓心角與圓周角，同弧所對的圓周角之間的大小關系．教學時要引導學生分析圓周角有兩個特征：角的頂點在圓上；兩邊在圓內的部分是圓的兩條弦．）（2）圓的相關性質

①動手實踐

活動一：分別量一下

所對的兩個圓周角的度數，比較一下，再變動點C在圓周上的位置，圓周角的度數有沒有變化？你能發現什么規律？

活動二：再分別量出圖中

所對的圓周角和圓心角的度數，比較一下，你有什么發現？

（利用一些計算機軟件，可以很方便的度量圓周角，圓心角，有條件的話可以試一試）

得到結論：同弧所對的圓周角的度數沒有變化，并且它的度數恰好等于這條弧所對的圓心角的度數的一半．

②為了進一步研究上面發現的結論，在⊙O任取一個圓周角∠BAC，將圓對折，使折痕經過圓心O和∠BAC的頂點A．由于A的位置的取法可能不同，這時折痕可能會：

在圓周角的一條邊上；在圓周角的內部；在圓周角的外部．

（學生解決這一問題是有一定難度的，應給學生留有時間和空間，讓他們進行思考．引導學生觀察后兩種情況，讓學生思考：這兩種情況能否轉化為第一種情況？如何轉化？當解決一個問題有困難時，我們可以首先考慮其特殊情形，然后再設法解決一般問題．這是解決問題時常用的策略．）

由此得到圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．

進一步我們還可以得到下面的推論：

半徑（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．

由圓周角定理可知：

在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定相等．

（3）圓內接多邊形的定義及其相關性質

① 定義：如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓．

②利用圓周角定理，我們的得到關于圓內接四邊形的一個性質：

圓內接四邊形的對角互補．

（三）應用新知，體驗成功

利用資源庫中的“典型例題”進行教學.（四）課堂小結，體驗收獲（PPT顯示）

這堂課你學會了哪些知識？有何體會？（學生小結）1.圓的有關概念；

2.垂徑定理及其逆定理；

3.弧，弦，圓心角的相關性質；

4.圓周角的概念及相關性質;

（五）拓展延伸，布置作業

利用資源庫中或手頭的相關材料進行布置.五、學習評價：

(一)選擇題

1．如圖，如果AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，那么下列結論中，?錯誤的是（）

（A）CE=DE．（B）

．（C）∠BAC=∠BAD ．（D）AC>AD．

1題圖 2題圖 3題圖

2．如圖，在⊙O中，P是弦AB的中點，CD是過點P的直徑，?則下列結論中不正確的是（）

（A）AB⊥CD ．（B）∠AOB=4∠ACD．（C）

3．如圖，⊙O中，如果

=

2，那么（）

．（D）PO=PD．

（A）AB=AC．（B）AB=AC．（C）AB<2AC．（D）AB>2AC．

4．如圖，A、B、C三點在⊙O上，∠AOC=100°，則∠ABC等于（）

（A）140°．（B）110°．（C）120°．（D）130°．

4題圖 5題圖 6題圖

5．如圖，∠

1、∠

2、∠

3、∠4的大小關系是（）

（A）∠4<∠1<∠2<∠3 ．（B）∠4<∠1=∠3<∠2．（C）∠4<∠1<∠3∠2 ．（D）∠4<∠1<∠3=∠2．

6．如圖，AD是⊙O的直徑，AC是弦，OB⊥AD，若OB=5，且∠CAD=30°，則BC等于（）（A）3．（B）3+

(二)填空題 ．（C）5-.（D）5．

7．如圖，AB為⊙O直徑，E是中點，OE交BC于點D，BD=3，AB=10，則AC=_____．

7題圖 9題圖 10題圖 11題圖

8．P為⊙O內一點，OP=3cm，⊙O半徑為5cm，則經過P點的最短弦長為________；最長弦長為_______．

9．如圖，OE、OF分別為⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_______（只需寫一個正確的結論）

10．如圖，AB和DE是⊙O的直徑，弦AC∥DE，若弦BE=3，則弦CE=________．

11．如圖，A、B是⊙O的直徑，C、D、E都是圓上的點，則∠1+∠2=_______．

(三)解答題

12．如圖，⊙O直徑AB和弦CD相交于點E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD長．

13．如圖，以ABCD的頂點A為圓心，AB為半徑作圓，分別交BC、AD于E、F，若∠D=50°，求的度數和的度數．

14．如圖，弦AB把圓周分成1：2的兩部分，已知⊙O半徑為1，求弦長AB．

15．如圖，已知AB=AC，∠APC=60°

（1）求證：△ABC是等邊三角形．

（2）若BC=4cm，求⊙O的面積．

16．如圖，⊙C經過坐標原點，且與兩坐標軸分別交于點A與點B，點A的坐標為（0，4），M是圓上一點，∠BMO=120°．

（1）求證：AB為⊙C直徑．

（2）求⊙C的半徑及圓心C的坐標．

12題圖

13題圖

14題圖

15題圖

答案：

(一)選擇題

1．D； 2．D； 3．C； 4．D； 5．B； 6．D．

(二)填空題 7．8；8．8 10；

9．AB=CD； 10．3； 11．90°．

(三)解答題

12．過O作OF⊥CD于F，如下圖所示

∵AE=2，EB=6，∴OE=2，∴EF=，OF=1，連結OD，在Rt△ODF中，42=12+DF2，DF=，∴CD=2

．

13．BE的度數為80°，EF的度數為50°； 14．；

15．（1）證明：∵∠ABC=∠APC=60°，又=，∴∠ACB=∠ABC=60°，∴△ABC為等邊三角形．（2）解：連結OC，過點O作OD⊥BC，垂足為D，在Rt△ODC中，DC=2，∠OCD=30°，16題圖

設OD=x，則OC=2x，∴4x2-x2=4，∴OC= 16．（1）略（2）4，（-2，2）.

第二篇：九年級數學圓教學設計5

圓

教學設計

（一）明確目標

首先師生一起來復習上節課點的軌跡的概念及兩層含義和常見的點的軌跡前三種．

復習提問：

1．什么叫做點的軌跡？它的兩層意思是什么？請結合講過的常見點的軌跡解釋兩層意思．

2．上節課我們講了常見的點的軌跡有幾種？請回答出其內容．

上節課我們學習了常用點的軌跡的三種，我們教科書中有五種常見的軌跡．本節課我們來進一步學習常見點的軌跡的后兩種．教師板書“點的軌跡之二”．

（二）整體感知

首先引導學生學習點的軌跡的定義，解釋由定義得到的兩層意思，提問學生來解釋上節課常見的三個軌跡的兩層意思．

圓是圖形——這個圖形是軌跡．

它符合的兩層含義：圓上每一個點都符合到圓心O的距離等于半徑r的條件，反過來到定點O的距離等于r的每一個點都在圓上．所以圓是到定點的距離等于定長的點的軌跡．

接著教師引導學生解釋線段垂直平分線，角的平分線的兩層意思，然后正確地回答出這兩個點的軌跡．

在復習圓、線段的垂直平分線、角的平分線的基礎上可進一步了解其它的兩個點的軌跡、由于第四、第五個點的軌跡學生比較生，這樣還要指導學生復習點到直線的距離，特別是在兩條平行線內取一點到這兩條直線的距離都相等，這一點的取法應在教師的指導下來完成．

（三）重點、難點的學習與目標完成過程

在學生學習常見的五種軌跡的后兩種軌跡沒有感性、直觀的印象之前，教師首先幫助學生復習已有的知識：點的軌跡的定義、定義的兩層意思、前三個常見的軌跡等，這種復習不是簡單的重復，而是讓學生結合所學的三個軌跡來解釋定義中的兩層意思．這樣對后兩個點的軌跡的教學起到了奠基的作用． 提問：已知直線l，在直線l外取一點P，使P到直線l的距離等于定長d，這一點怎么取，具有這個性質的點有幾個？在教師的指導下學生動手來完成．由師生共同找到在已知直線l的兩側各取一點P、P′，到直線l的距離都等于d．教師再提出問題，現在分別過點P、P′作已知直線l的平行線l1、l2，那么直線l1、l2上的點到已知直線l的距離是否都等于已知線段d呢？學生的回答是肯定的，這時反過來再問，除直線l1、l2外平面上還是否有點到已知直線l的距離等于d呢，學生一時并不一定能答上來，經過學生討論研究，最終學生還是能正確回答的，這就是說到已知直線l的距離等于定長d的點只有在直線l1、l2上．

這時教師引導學生歸納出第四個軌跡，教師把軌跡4板書在黑板上： 軌跡4：到直線l的距離等于定長d的點的軌跡，是平行于這條直線，并且到這條直線的距離等于d的兩條直線．

現在我們來研究相反的問題，已知直線l1∥l2，在l1、l2之間找一點P，使點P到l1、l2的距離相等，這樣一點怎樣找？有前面問題的基礎在教師的指導下都能找到點P，再過點P作l1的平行線l，這時提出問題：

1．直線l上的點到直線l1、l2的距離是否都相等；

2．到平行線l1，l2的距離都相等的點是否都在直線l上？有前一個問題的鋪墊和前四個基本軌跡的啟發，學生很快地回答出第五個軌跡的兩層意思，而且回答是非常肯定的．總結歸納出第五個軌跡：

軌跡5：到兩條平行線的距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線．

接下來為了使學生能準確的把握軌跡

4、軌跡5的特征，教師在黑板上出示一組練習題：

1．到直線l的距離等于2cm的點的軌跡；

2．已知直線AB∥CD，到AB、CD距離相等的點的軌跡．

對于這兩個題教師要求學生自己畫圖探索，然后回答出點的軌跡是什么，學生對于這兩個軌跡比較生疏回答有一定的困難，這時教師要從規律上和方法上指導學生怎么回答好一些，抓住幾處重點詞語的地方：如軌跡4中的“平行”、“到直線l的距離等于定長”、“兩條”，或軌跡5中的“平行”、“到兩條平行線的距離相等”、“一條”．這樣學生回答的語言就不容易出現錯誤．

接下來做另一組練習題： 判斷題：

1．到一條直線的距離等于定長的點的軌跡，是平行于這條直線到這條直線的距離等于定長的直線．

（）

2．和點B的距離等于2cm的點的軌跡，是到點B的距離等于2cm的圓．

（）

3．到兩條平行線的距離等于5cm的點的軌跡，是和這兩條平行線的平行且距離等于5cm的一條直線．

（）

4．底邊為a的等腰三角形的頂點軌跡，是底邊a的垂直平分線．

（）

這組練習題的目的，訓練學生思維的準確性和語言表達的正確性． 這組習題的思考，回答都由學生自己完成，學生之間互相評議，找出語言的問題，加深對點的軌跡的進一步認識和規范化的語言表述．

（四）總結擴展

本節課主要講了點的軌跡的后兩個．從知識的結構上可以知道：

從方法上能準確地回答點的軌跡和能把所要回答的軌跡問題辨認出屬于哪一個常用的基本軌跡．

從能力上學生通過舊知識的學習，學生自己能歸納出五個基本軌跡，使學生學習數學知識的能力又有了新的提高．

對于基本軌跡的應用還要逐步加深，特別是在今后學習立體幾何、解析幾何時要用到這些知識．所以常見五個基本軌跡要求學生必須掌握．

（五）布置作業 略 板書設計

第三篇：圓 教學設計

《圓的認識》教學設計

教學內容：

設計說明：

圓的認識”是義務教育課程標準實驗教科書小學數學六年級上冊55——58頁的內容，它是在學生已經初步認識了長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形等平面圖形和初步認識圓的基礎上進行學習的。對于學生來說，雖然已經初步認識過圓，但對于建立正確的圓的概念以及掌握圓的特征來說還是比較困難的。學生由認識平面上的直線圖形到認識平面上的曲線圖形，無論是內容本身，還是研究問題的方法，都是認識發展的又一次飛躍。

本課的教學設計注重從學生已有的生活經驗和知識背景出發，結合具體情境和操作活動激活已經存在于學生頭腦中的經驗，促使學生逐步歸納內化，上升到數學層面來認識圓，體會到圓的本質特征。教學目標：

1、結合生活實際，通過觀察、操作等活動認識圓，理解圓心、半徑、直徑的意義，掌握圓的特征，理解同圓里（或等圓）半徑與直徑的關系。

2、會用圓規畫圓，培養學生的操作能力。

3、結合具體的情境，體驗數學與生活密切聯系，能用圓的知識來解釋生活中的簡單現象。

4、通過觀察、操作、想象等活動，培養學生自主探究的意識，進一步發展學生的空間觀念。

教學重點：在探索中發現圓的特征。

教學難點：理解同圓里（或等圓）半徑與直徑的關系，并掌握圓的正確畫法。教學材料：生——圓規、直尺、剪刀、、A4紙、圓形物體。（提前讓學生回去玩圓規，試著畫圓）

師——教學用的圓規一把、直尺一把、課件、“研究記錄單”、白紙一些。事先畫好一個圓在黑板上，并將大圓規“定長”。教學過程

一、尋寶中創造“圓”

師（很神秘）：小明參加頭腦奧林匹克的尋寶活動，得到這樣一張紙條——“寶物距離你左腳3米。”

（稍頓）你手頭的白紙上有一個紅點，這個紅點就代表小明的左腳，想一想，寶物可能在哪呢？用1厘米表示1米，請在紙上表示出你的想法。（學生獨立思考、在紙上畫著……）

師：剛才我看了一圈，同學們都在紙上表示出了自己的想法。（課件演示）寶物可能在這——

師：找到這個點的同學，請舉手。（幾乎全班舉手。）還可能在其它位置嗎？（學生們紛紛表示還有其它可能，課件依次出示2個點、3個點、4個點、8個點、16個點、32個點，直到連成一個圓。）師（笑著）：這是什么？（板書：①是什么？）

生（有的驚訝、有的驚喜）：圓！

師：剛才想到圓了的同學請舉手！（十幾位同學舉手。）開始沒想到的同學，現在認同了嗎？那寶物的位置可能在哪呢？ 生（高興地）：寶物的位置在這個圓上。

師：誰能說一說這是怎樣的一個圓？ 生1：這是一個有寶物的圓！

（全班同學善意的笑了。）生2：寶物就在小明周圍！

師（點頭）：說得真好，周圍這個詞用得沒錯！（又像是自言自語地）周圍的范圍可大了……

同學們，想解決這個問題嗎？現在我們一塊來自學課本，相信大家學習完以后，一定會用我們學習的知識來解決這個問題的。同學們，加油吧。

二、探究活動

（一）自學小提示

1、（1）自學教材，把你認為重點的句子用線畫下來，學到了什么，在小組內交流。

（2）在你的圓形紙片上畫出圓心、半徑和直徑，并用字母表示出來。

（3）自學完成后，你能用一句話來描述寶物在哪嗎？

2、小組匯報

（1）自學的收獲

（2）學生上臺畫出圓的半徑，直徑，小練習

（3）描述寶物所在的地方

剛才同學們說寶物就在小明周圍！說得真好，周圍這個詞用得沒錯！（又像是自言自語地）周圍的范圍可大了……生（迫切地）：寶物在距離左腳3米的位置。（全班同學鼓掌。）

師：是啊，他強調了左腳。通過剛才的學習，誰知道這個左腳也就是圓的什么？ 生（爭先恐后地）：圓心！圓心！師：沒錯，叫圓心。（板書：圓心。）也就是以左腳為圓心。他剛才強調了，距離左腳3米，這個距離3米，知道叫什么名稱嗎？ 生：直徑！半徑！師：（板書：半徑 直徑。）直徑還是半徑？

生（絕大部分）：半徑！師：現在，用上“圓心”、“半徑”，誰能清楚地說一說這個寶物可能在哪？生：以他左腳為圓心，半徑3米的圓內。師：在圓內還是在圓上？生（紛紛糾正道）：在圓上！

師：剛才董思純很精彩的發言，把兩個要素都說出來了，是不是只要說“以什么為圓心，以多長為半徑”把這個圓就確定下來了？（同學們紛紛點頭。）

三、探究活動

（二）同們覺得還有沒有什么值得我們深入地去研究？

生：有（自信地）。

師：說得好，其實不說別的，就圓心、直徑、半徑，還蘊藏著許多豐富的規律呢，同學們想不想自己動手來研究研究？（想！）同學們手中都有圓片、直尺、圓規等等，這就是咱們的研究工具。待會兒就請同學們動手折一折、量一量、比一比、畫一畫，相信大家一定會有新的發現。小小的建議：研究過程中，別忘了把你們組的結論，哪怕是任何細小的發現都記錄在學習紙上，到時候一起來交流。

（一）、通過動手，摸一摸，折一折，畫一畫。量一量，小組合作探究要求二：

1、圓與其它平面圖形一樣嗎？

2、請同學們在圓紙片上畫出半徑，10秒鐘，看能畫出多少條？直徑呢？

3、請同學們用直尺量一量畫出的半徑各是多少厘米？你發現了什么？直徑呢？

4、還有關于圓的什么樣的特征？

5、把你們組的發現填寫到紙上，看哪一小組發現的最多！

（二）小組匯報

很多小組都向張老師推薦了他們剛才的研究發現，張老師從中選擇了一部分。下面，就讓我們一起來分享大家的發現吧！

生：我們小組發現圓有無數條半徑。

師：能說說你們是怎么發現的嗎？

生：我們組是通過折發現的。把一個圓先對折，再對折、對折，這樣一直對折下去，展開后就會發現圓上有許許多多的半徑。

生：我們組是通過畫得出這一發現的。只要你不停地畫，你會在圓里畫出無數條半徑。

生：我們組沒有折，也沒有畫，而是直接想出來的。

師：噢？能具體說說嗎？

生：因為連接圓心和圓上任意一點的線段叫做圓的半徑，而圓上有無數個點（邊講邊用手在圓片上指），所以這樣的線段也有無數條，這不正好說明半徑有無數條嗎？

師：看來，各個小組用不同的方法，都得出了同樣的發現。至少直徑有無數條，還需不需要再說說理由了？

生：不需要了，因為道理是一樣的。

師：關于半徑或直徑，還有哪些新發現？

生：我們小組還發現，所有的半徑或直徑長度都相等。

師：能說說你們的想法嗎？

生：我們組是通過量發現的。先在圓里任意畫出幾條半徑，再量一量，結果發現它們的長度都相等，直徑也是這樣。

生：我們組是折的。將一個圓連續對折，就會發現所有的半徑都重合在一起，這就說明所有的半徑都相等。直徑長度相等，道理應該是一樣的。

生：我認為，既然圓心在圓的正中間，那么圓心到圓上任意一點的距離應該都相等，而這同樣也說明了半徑處處都相等。

生：關于這一發現，我有一點補充。因為不同的圓，半徑其實是不一樣長的。所以應該加上“在同一圓內”，這一發現才準確。

師：大家覺得他的這一補充怎么樣？

生：有道理。

師：看來，只有大家互相交流、相互補充，我們才能使自己的發現更加準確、更加完善。還有什么新的發現嗎？

生：我們小組通過研究還發現，在同一個圓里，直徑的長度是半徑的兩倍。

師：你們是怎么發現的？

生：我們是動手量出來的。

生：我們是動手折出來的。

生：我們還可以根據半徑和直徑的意義來想，既然叫“半徑”，自然應該是直徑長度的一半嘍……

師：看來，大家的想象力還真豐富。

生：我們組還發現圓的大小和它的半徑有關，半徑越長，圓就越大，半徑越短，圓就越小。

師：圓的大小和它的半徑有關，那它的位置和什么有關呢？

生：應該和圓心有關，圓心定哪兒，圓的位置就在哪兒了。

生：我們組還發現，圓是世界上最美的圖形。

師：能說說你們是怎樣想的嗎？

生：生活中，我們到處都能找到圓。如果沒有了圓，我們生活的世界一定會缺乏生機

生：我們生活的世界需要圓，如果沒有了圓，車子就沒法自由的行駛……

師：當然，張老師相信，同學們手中一定還有更多精彩的發現，沒來得及展示。沒關系，那就請大家下課后將剛才的發現剪下來，貼到教室后面的數學角上，讓全班同學一起來交流，一起來分享，好嗎？

生：好。

四、動手畫圓

1、每位同學畫一個圓，比較一下，你們所畫的圓大小一樣吧？為什么，如果讓每個小組的幾位同學畫的圓大小都一樣，你們小組能做到嗎？試一試，通過剛才的畫圓，你們知道了什么？板書（半徑決定圓的大小）

2、學生上臺板演畫圓（投影儀前）

3、總結畫圓的方法。

定點，定長，旋轉

五、生活中圓

看來，只要我們善于觀察，善于聯系，善于動手，我們還能獲得更多有用的信息。現在讓我們重新回到現實生活中來。平靜的水面丟進石子，蕩起的波紋為什么是一個個圓形？現在，你能從數學的角度簡單解釋這一現象了嗎？

生：我覺得石子投下去的地方就是圓的圓心。

生：石子的力量向四周平均用力，就形成了一個個圓。

生：這里似乎包含著半徑處處相等的道理呢。

師：瞧，簡單的自然現象中，有時也蘊含著豐富的數學規律呢。至于其他一些現象中又為何會出現圓，當中的原因，就留待同學們課后進一步去調查、去研究了。

師：其實，又何止是大自然對圓情有獨鐘呢，在我們人類生活的每一個角落，圓都扮演著重要的角色，并成為美的使者和化身。讓我們一起來欣賞――

師：西方數學、哲學史上歷來有這么種說法，“上帝是按照數學原則創造這個世界的”。對此，我一直無從理解。而現在想來，石子入水后渾然天成的圓形波紋，陽光下肆意綻放的向日葵，天體運行時近似圓形的軌跡，甚至于遙遠天際懸掛的那輪明月、朝陽……而所有這一切，給予我們的不正是一種微妙的啟示嗎？至于古老的東方，圓在我們身上遺留下的印痕又何嘗不是深刻而廣遠的呢。太極圖

有的說，中國人特別重視中秋、除夕佳節；有人說，中國古典文學喜歡以大團圓作結局；有人說，中國人在表達美好祝愿時最喜歡用上的詞匯常常有“圓滿”“美滿”……而所有這些，難道就和我們今天認識的圓沒有任何關聯嗎？那就讓我們從現在起，從今天起，真正走進歷史、走進文化、走進民俗、走進圓的美妙世界吧！

研究報告單

自己動手折一折、量一量、比一比、畫一畫，把你們的發現寫下來：

半徑的特征：

直徑的特征：

半徑與直徑之間的關系：

你能用數學的角度解釋一下為什么車輪要做成圓的？車軸應裝在哪里？ 這是利用圓心到圓上任意一點的距離都相等的特性，車軸放在圓心的位置，車輪滾動時車軸保持平穩狀態，使行進的車輛也保持平穩狀態。

第四篇：圓教學設計

《圓的認識》教學設計

學習目標：

1.認識圓，知道圓各部分的名稱；掌握圓的特征，理解直徑和半徑的相互關系；初步學會用圓規畫圓。

2.通過小組學習，動手操作等活動，體驗小組合作學習、分享學習成果的樂趣。

3.感受圓在生活中的廣泛應用，體驗數學與生活的密切聯系。學習重點：探索出圓各部分的名稱、特征及關系，學會用圓規畫圓的方法。

學習難點：通過動手操作體會圓的特征及畫法。

學具準備：圓形紙片、圓形物體、直尺、圓規、線、剪刀等。學習過程：

【縱橫生活 設疑激趣】

圖圖是個愛動腦筋的孩子，今天他坐車去上學，他發現汽車的輪子都是圓形的，他想為什么輪子都要做成圓形，而不做成正方形、長方形或三角形呢？生活中還有哪些物體也是圓形的？

【動手實踐 自主探究】

活動一：探究圓各部分的名稱與特征 1.畫一畫：你能想辦法在紙上畫一個圓嗎？ 說一說你是怎么畫的？

2.剪一剪：把你畫的圓剪下來？ 圓與我們過去認識的長方形、正方形、三角形等平面圖形有什么不一樣？（圓是由曲線圍成的平面圖形）

3.折一折：先把圓對折打開，換個方向，再對折，再打開……這樣反復折幾次。

仔細觀察：折過若干次后，你發現了什么？（結合書理解）在動手實驗與合作交流中得出圓心、半徑、直徑的概念：在圓內出現了許多折痕，它們都相交于一點，這一點就是（），圓心一般用字母（）表示。連接圓心和圓上任意一點的線段叫做（），半徑一般用字母（）表示。通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做（）。直徑一般用字母（）表示。

4.找一找：在同一個圓里，有多少條半徑、多少條直徑？ 在同一個圓里，半徑有（）條，直徑有（）。

5.量一量：自己用尺子量一量同一個圓里的幾條半徑和幾條直徑，看一看，你有什么發現？

在同一個圓里，半徑有（）條，所有的半徑都（），直徑有（）條，所有的直徑都（），半徑是直徑的（），直徑是半徑的（）。

活動二：探究圓的畫法

1.想一想，畫一畫：怎樣才能畫出任意大小的圓？圓的位置和大小和誰有關？

看看書上的理解是不是和你想的一樣，試用圓規畫一個半徑是2CM的圓。

2.思考：圖圖想在操場上畫一個圓做游戲，沒有那么大的圓規怎么辦？

【鞏固提高 內化新知】

1.用圓規畫一個半徑是3cm的圓，并用字母O、r、d標出它的圓心、半徑和直徑。

2.用圓規畫圓，如果半徑是4cm，圓規兩腳之間的距離取（）cm，如果要畫直徑是10cm的圓，圓規兩腳之間的距離取（）cm。

【解惑釋疑 應用拓展】

思考：車輪為什么是圓形的？車軸應裝在什么位置？ 板書設計： 圓 圓心：o 直徑：d 半徑：r 達 標 測 評

一、填空

1．圓中心的一點叫做（），用字母（）表示。2．通過（），并且兩端都在圓上的（），叫做圓的直徑。用字母（）表示。

3．從（）到（）任意一點的線段叫半徑。用字母（）表示。4．圓是平面上的一種（）圖形。將一張圓形紙片至少對折（）次可以得到這個圓的圓心。

5．在同一圓所有的線段中，（）最長。

6．在同一個圓里，所有的半徑（），所有的（）也都相等，直徑等于半徑的（）。

7．在同一個圓里，半徑是5厘米，直徑是（）厘米。8.畫圓時，圓規兩腳間的距離是圓的()。

9．（）確定圓的位置，（）確定圓的大小。10．在一個直徑是8分米的圓里，半徑是（）厘米。

11．用圓規畫一個直徑20厘米的圓，圓規兩腳步間的距離是（）厘米。

二、判斷

1．所有的半徑長度都相等，所有的直徑長度都相等。（）2．直徑是半徑長度的2倍。（）

3．兩個圓的直徑相等，它們的半徑也一定相等。（）4．半徑是射線，直徑是線段。（）

5．經過一個點可以畫無數個圓。（）6．兩端都在圓上的線段就是直徑。（）

7．畫一個直徑是4厘米的圓，圓規兩腳應叉開4厘米。（）

8．在畫圓時，把圓規的兩腳張開6厘米，這個圓的直徑是12厘米。（）9．半徑能決定圓的大小，圓心能決定圓的位置。（）

第五篇：圓教學設計

圓

目標認知 學習要點

1.了解圓的有關概念，理解垂徑定理并靈活運用垂徑定理及圓的概念解決一些實際問題．

2.了解圓心角的概念，掌握在同圓或等圓中，三組量：兩個圓心角、兩條弦、兩條弧，只要有一組量相等，就可以推出其它兩組量對應相等，及其它們在解題中的應用．

3.了解圓周角的概念，理解圓周角定理及其推論，熟練掌握圓周角的定理及其推理的靈活運用． 重點

1.垂徑定理及其運用．

2.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，?所對弦也相等及其兩個推論和它們的應用．

3.圓周角的定理、圓周角的定理的推導及運用它們解題． 難點

1.探索并證明垂徑定理及利用垂徑定理解決一些實際問題．

2.探索定理和推論及其應用．

3.運用數學分類思想證明圓周角的定理．

一、知識要點梳理 知識點

一、圓的定義

1.定義1：

如圖，在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一圈，另一個端點A隨之旋轉所形成的圖形叫做圓(circle)，固定的端點O叫做圓心(center of a circle)，線段OA叫做半徑(radius).以點O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．

要點詮釋：

(1)圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小；確定一個圓應先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；

(2)圓是一條封閉曲線.2.定義2：

圓心為O，半徑為r的圓是平面內到定點O的距離等于定長r的點的集合.要點詮釋：

(1)定點為圓心，定長為半徑；

(2)圓指的是圓周，而不是圓平面；

(3)強調“在一個平面內”是非常必要的，事實上，在空間中，到定點的距離等于定長的點的集合是球

面，一個閉合的曲面.知識點

二、與圓有關的概念 1.弦

弦：連結圓上任意兩點的線段叫做弦(chord).直徑：經過圓心的弦叫做直徑(diameter).要點詮釋：

直徑是圓中通過圓心的特殊弦，也是圓中最長的弦，即直徑是弦，但弦不一定是直徑.為什么直徑是圓中最長的弦？如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O中任意一條弦，求證：AB≥CD.證明：連結OC、OD

∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(當且僅當CD過圓心O時，取“=”號)

∴直徑AB是⊙O中最長的弦.2.弧

弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧(arc).以A、B為端點的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓(semi-circle).優弧：大于半圓的弧叫做優弧.劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧.要點詮釋：

(1)半圓是弧，而弧不一定是半圓.(2)無特殊說明時，弧指的是劣弧.3.同心圓與等圓

圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓.圓心不同，半徑相等的兩個圓叫做等圓.同圓或等圓的半徑相等.4.等弧

在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.要點詮釋：

等弧成立的前提條件是在同圓或等圓中，不能忽視.知識點

三、圓的對稱性 1.圓是軸對稱圖形

圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸.或者說，經過圓心的任何一條直線都是圓的對稱軸.2.圓是中心對稱圖形

圓是旋轉對稱圖形，無論繞圓心旋轉多少度，它都能和自身重合，對稱中心就是圓心，因此，圓又是中心對稱圖形.要點詮釋：

(1)圓有無數條對稱軸；

(2)因為直徑是弦，弦又是線段，而對稱軸是直線，所以不能說“圓的對稱軸是直徑”，而應該說“圓 的對稱軸是直徑所在的直線”.知識點

四、垂直于弦的直徑

1.垂徑定理：

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.2.推論：

平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.要點詮釋：

(1)垂徑定理是由兩個條件推出兩個結論，即

(2)這里的直徑也可以是半徑，也可以是過圓心的直線或線段.知識點

五、弧、弦、圓心角的關系

1.圓心角定義

如圖所示，∠AOB的頂點在圓心，像這樣頂點在圓心的角叫做圓心角(central angle)．

2.定理：

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．

3.推論：

在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦也相等．

在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧也相等．

要點詮釋：

(1)一個角要是圓心角，必須具備頂點在圓心這一特征.(2)注意定理中不能忽視“同圓或等圓”這一前提.知識點

六、圓周角 1.圓周角定義：

像圖中∠AEB、∠ADB、∠ACB這樣的角，它們的頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．

2.圓周角定理：

在同圓或等圓中，同弧等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．

3.圓周角定理的推論：

半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．

要點詮釋：

(1)圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上；②角的兩邊都和圓相交.(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.二、規律方法指導

圓是平面幾何知識中接觸到的唯一的曲線形，因此它在研究問題的方法上與直線形有很大的不同，所以在學習這部分知識時要注意這個問題.另外，這一章的概念和定理較多，學習時要注意階段性的小結，鞏固每一階段的知識.由于本章要經常用到前面學過的許多知識，綜合性較強，所以要不怕困難，才能學好本章.經典例題透析

類型

一、圓及有關概念

1.判斷題(對的打√，錯的打×，并說明理由)

(1)半圓是弧，但弧不一定是半圓；

(2)弦是直徑；

(3)長度相等的兩段弧是等弧；

(4)直徑是圓中最長的弦.思路點撥：(1)因為半圓是弧的一種，弧可分為劣弧、半圓、優弧三種，故正確；(2)直徑是弦，但弦不一定都是直徑，只有過圓心的弦才是直徑，故錯；(3)只有在同圓或等圓中，長度相等的兩段弧才是等弧，故錯；(4)直徑是圓中最長的弦，正確.答案：(1)√(2)×(3)×(4)√.舉一反三

【變式1】下列說法錯誤的是()4

A.半圓是弧

B.圓中最長的弦是直徑

C.半徑不是弦

D.兩條半徑組成一條直徑

思路點撥：弧有三類，分別是優弧、半圓、劣弧，所以半圓是弧，A正確；直徑是弦，并且是最長的弦，B正確；半徑的一個端點為圓心，另一個端點在圓上，不符合弦的定義，所以不是弦，C正確；兩條半徑只有在同一直線上時，才能組成一條直徑，否則不是，故D錯誤.答案：D.類型

二、垂徑定理及應用

2.已知，點P是半徑為5的⊙O內一點，且OP=3，在過點P的所有的⊙O的弦中，弦長為整數的弦的條數為()

A.2

B.3

C.4D.5

思路點撥：在一個圓中，過一點的最長弦是經過這一點的直徑，最短的弦是經過這一點與直徑垂直的弦.知道這些，就可以利用垂徑定理來確定過點P的弦長的取值范圍.解：作圖，過點P作直徑AB，過點P作弦

則OC=5，CD=2PC

由勾股定理，得

∴CD=2PC=8，又AB=10

∴過點P的弦長的取值范圍是

，連接OC

弦長的整數解為8，9，10，根據圓的對稱性，弦長為9的弦有兩條，所以弦長為整數的弦共4條.答案：C.總結升華：本題中很多條件是“隱性”出現的，或者稱之為“隱含條件”.我們在解題時，要善于挖掘隱含條件，識別隱含條件的不同表達方式，將其轉化為容易理解的題目，化難為易，這也體現了轉化思想在解題中的具體應用.3.已知：⊙O的半徑為10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD間的距離.思路點撥：⊙O中，兩平行弦AB、CD間的距離就是它們的公垂線段的長度，若分別作弦AB、CD的弦心距，則可用弦心距的長表示這兩條平行弦AB、CD間的距離.解：(1)如圖，當⊙O的圓心O位于AB、CD之間時，作OM⊥AB于點M，并延長

MO，交CD于N點.分別連結AO、CO.又∵AB∥CD

∴ON⊥CD，即ON為弦CD的弦心距.∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm

=8+6

=14(cm)

(2)如圖所示，當⊙O的圓心O不在兩平行弦AB、CD之間(即弦AB、CD在圓

心O的同側)時

同理可證：MN=OM-ON=8-6=2(cm)

∴⊙O中，平行線AB、CD間的距離是14cm或2cm.總結升華：解這類問題時，要依平行線與圓心間的位置關系，分類討論，千萬別丟解.4．如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧(即圖中，點O是的圓心，?其中CD=600m，E為上一點，且OE⊥CD，垂足為F，EF=90m，求這段彎路的半徑．

思路點撥：本題是垂徑定理的應用.解：如圖，連接OC

設彎路的半徑為R，則OF=(R-90)m

∵OE⊥CD

∴CF=CD=×600=300(m)

根據勾股定理，得：OC2=CF2+OF即R2=3002+(R-90)2 解得R=545

∴這段彎路的半徑為545m．

總結升華：構造直角三角形，利用垂徑定理、勾股定理，解題過程中使用了列方程的方法，這種用代數方法解決幾何問題即幾何代數解的數學思想方法一定要掌握．

舉一反三

【變式1】有一石拱橋的橋拱是圓弧形，如圖所示，正常水位下水面寬AB=60m，水面到拱頂距離CD=18m，當洪水泛濫時，水面距拱頂不超過3m時拱橋就有危險，現在水面寬MN=32m時是否需要采取緊急措施？請說明理由．

思路點撥：要求當洪水到來時，水面寬MN=32m，是否需要采取緊急措施，要求出DE的長，因此要先求半徑R．

解：不需要采取緊急措施

設OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，OC=OD-CD=R-18

R2=302+(R-18)2，R2=900+R2-36R+324

解得R=34(m)

連接OM，設DE=x，在Rt△MOE中，ME=16

342=162+(34-x)

2x2-68x+256=0

解得x1=4，x2=64(不合題意，舍)

∴DE=4m大于3m

∴不需采取緊急措施．

類型

三、圓心角、弧、弦之間的關系及應用

5.如圖，在⊙O中，求∠A的度數.思路點撥：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦也相等．

解：

舉一反三

【變式1】如圖所示，中弦AB=CD，求證：AD=BC..思路點撥：AD和BC是同圓中兩條相等的弦，要說明的AB、CD也是同圓中的兩條相等的弦，可以考慮弧、弦、圓心角的關系，因為圖中沒有給出圓心角，所以可以先考慮弧.證法1：∵AB=CD，∴為優弧或同為劣弧)也相等)

∴

(在同圓中，相等的弦所對的弧(同

∴AD=BC(在同圓中，相等的弧所對的弦也相等)

證法2：如圖，連接OA，OD，OB，OC，∵AB=CD，∴的圓心角相等)

(在同圓中，相等的弦所對

∴

∴AD=BC(在同圓中，相等的圓心角所對的弦也相等)

總結升華：在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弦、兩條弧中若有一組量相等，它們對應的其余各組量也相等，因此在圓中說明或證明弦、弧、圓心角的相等關系時可考慮利用弧、弦、圓心角的關系，只不過敘述時要注意一條弦和兩條弧對應，不要認為相等的弦所對的弧一定相等．

類型

四、圓周角定理及應用

6.如圖，AB是⊙O的直徑，C、D、E都是⊙O上的點，則∠1+∠2=___________.思路點撥：如圖，連接OE，則

答案：90°.舉一反三

【變式1】如圖，A、B、C、D是⊙O上的四點，且∠BCD=100°，求∠1（所對的圓心角）和∠BAD的大小．

思路點撥：要求圓心角∠BOD的大小，且知道圓周角∠BCD=100°，但兩者不是同弧所對的角，不能直接利用同弧所對圓心角等于圓周角的2倍來實現求解．觀察∠BCD它所對的弧是，而

所對的圓心角是∠2，所以可以解得∠2．又發現∠2和∠1的和是一個周角，所以可得∠1，而∠BAD=

解：∵∠BCD和∠2分別是

∠1.所對的圓周角和圓心角

∴∠2=2∠BCD=200°

又∵∠2+∠1=360°，∴∠1=160°

∵∠BAD和∠1分別是

所對的圓周角和圓心角

∴．

總結升華：圓心角和圓周角是借助它們所對的弧聯系起來的，所以在圓中進行有關角的計算時，通常找到已知角所對弧，看看怎么樣通過弧和未知角建立起聯系．事實上由這個題我們可以總結出圓內接四邊形對角互補．

7．如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到C，使AC=AB，BD與CD的大小有什么關系？為什么？

思路點撥：BD=CD，因為AB=AC，所以這個△ABC是等腰三角形，要證明D是BC的中點，只要連結AD證明AD是高或是∠BAC的平分線即可．

解：BD=CD

理由是：如圖，連接AD

∵AB是⊙O的直徑

∴∠ADB=90°即AD⊥BC

又∵AC=AB

∴BD=CD.舉一反三

【變式1】如圖所示，AB為⊙O的直徑，動點P在⊙O的下半圓，定點Q在⊙O的上半圓，設∠POA=x°，∠PQB=y°，當P點在下半圓移動時，試求y與x之間的函數關系式.9

解：

解法1：如圖所示，∵AB為⊙O的直徑，∠AOP=x°

∴∠POB=180°-x°=(180-x)°

又

解法2：如圖所示，連結AQ，則

又∵AB是⊙O的直徑，∴∠AQB=90°

【變式2】已知，如圖，⊙O上三點A、B、C，∠ACB=60°，AB=m，試求⊙O的直徑長.解：如圖所示，作⊙O的直徑AC′，連結C′B

則∠AC′B=∠C=60°

又∵AC′是⊙O的直徑，∴∠ABC′=90°

即⊙O的直徑為

.學習成果測評 基礎達標

一、選擇題

1.下列三個命題：①圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；②垂直于弦的直徑平分弦；③相等的圓心

角所對的弧相等．其中真命題的是（）

A.①②

B.②③

C.①③

D.①②③

2.下列命題中，正確的個數是（）

⑴直徑是弦，但弦不一定是直徑；

⑵半圓是弧，但弧不一定是半圓；

⑶半徑相等的兩個圓是等圓 ；

⑷一條弦把圓分成的兩段弧中，至少有一段是優弧.A.1個

B.2個

C.3個

D.4個

3.如果兩個圓心角相等，那么（）

A.這兩個圓心角所對的弦相等

B.這兩個圓心角所對的弧相等

C.這兩個圓心角所對的弦的弦心距相等

D.以上說法都不對

4.⊙O中，∠AOB=∠84°，則弦AB所對的圓周角的度數為（）

A.42°

B.138°

C.69°

D.42°或138°

5.如圖，已知A、B、C是⊙O上的三點，若∠ACB=44°．則∠AOB的度數為（）

A．44°

B．46°

C．68°

D．88°

6.如圖，如果AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，那么下列結論中，?錯誤的是（）

A.CE=DE

B.C.∠BAC=∠BAD D.AC＞AD

7.如圖，⊙O的直徑為10，圓心O到弦AB的距離OM的長為3，則弦AB的長是（）A.4 B.6 C.7 D.8 8.如圖，A、B、C三點在⊙O上，∠AOC=100°，則∠ABC等于（）

A.140°

B.110°

C.120°

D.130°

9.如圖，⊙O的直徑CD垂直于弦EF，垂足為G，若∠EOD=40°,則∠DCF等于（）

A.80°

B.50°

C.40°

D.20°

10.如圖，⊙O的直徑為10，弦AB的長為8，M是弦AB上的動點，則OM的長的取值范圍（）

A．3≤OM≤5

B．4≤OM≤5

C．3＜OM＜5

D．4＜OM＜5

二、填空題

1.如圖，AB為⊙O直徑，E是

中點，OE交BC于點D，BD=3，AB=10，則AC=_____.2.如圖，⊙O中，若∠AOB的度數為56°，∠ACB=_________.3.如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，∠BDC=25°，則∠BOC=________.4.如圖，等邊ΔABC的三個頂點在⊙O上，BD是直徑，則∠BDC=________，∠ 12 ACD=________.若CD=10cm，則⊙O的半徑長為________.5.如圖所示，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，∠ACB的角平分線CD交⊙O于D，則∠ABD=______度．

6.（山西）如圖，在“世界杯”足球比賽中，甲帶球向對方球門PQ進攻，當他帶球沖到A點時，同樣乙已經助攻沖到B點.有兩種射門方式：第一種是甲直接射門；第二種是甲將球傳給乙，由乙射門.僅從射門角度考慮，應選擇________種射門方式.三、解答題

1.如圖，AB為⊙O的直徑，CD為弦，過C、D分別作CN⊥CD、DM?⊥CD，?分別交AB于N、M，請問圖中的AN與BM是否相等，說明理由.2.如圖，在⊙O中，C、D是直徑AB上兩點，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N?在⊙O上.(1)求證：=

；

成立嗎？

(2)若C、D分別為OA、OB中點，則 13

3.如圖，已知AB=AC，∠APC=60°

(1)求證：△ABC是等邊三角形.(2)若BC=4cm，求⊙O的面積.能力提升

一、選擇題

1.如圖，在⊙O中，P是弦AB的中點，CD是過點P的直徑，是()

A.AB⊥CD

B.∠AOB=4∠ACD

C.D.PO=PD

2.如圖，⊙O中，如果=2，那么()

A.AB=AC

B.AB=2AC

C.AB＜2AC D.AB＞2AC

則下列結論中不正確的14

3.如圖，∠

1、∠

2、∠

3、∠4的大小關系是()

A.∠4＜∠1＜∠2＜∠3

B.∠4＜∠1=∠3＜∠2

C.∠4＜∠1＜∠3＜＜∠2

D.∠4＜∠1＜∠3=∠2 4.如圖，AD是⊙O的直徑，AC是弦，OB⊥AD，若OB=5，且∠CAD=30°，則BC等于()

A.3

B.3+

C.5-

D.5

二、填空題

1.P為⊙O內一點，OP=3cm，⊙O半徑為5cm，則經過P點的最短弦長為________；最長弦長為_______.2.如圖，OE、OF分別為⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_______(只需寫一個正確的結論).3.如圖，AB和DE是⊙O的直徑，弦AC∥DE，若弦BE=3，則弦CE=________.4.半徑為2a的⊙O中，弦AB的長為，則弦AB所對的圓周角的度數是________.5.如圖，AB是⊙O的直徑，C、D、E都是圓上的點，則∠1+∠2=_______.15

三、解答題

1.如圖，⊙O直徑AB和弦CD相交于點E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD長.2.如圖，∠AOB=90°，C、D是AE=BF=CD.三等分點，AB分別交OC、OD于點E、F，求證：

3.如圖，⊙C經過坐標原點，且與兩坐標軸分別交于點A與點B，點A的坐標為(0，4)，M是圓上一點，∠BMO=120°.(1)求證：AB為⊙C直徑.(2)求⊙C的半徑及圓心C的坐標.綜合探究

1.如圖，直角坐標系中一條圓弧經過網格點A、B、C，其中，B點坐標為(4，4)，則該圓弧所在圓的圓心坐標為___________.16

2.AB是⊙O的直徑，AC、AD是⊙O的兩弦，已知AB=16，AC=8，AD=DAC的度數.，求∠答案與解析 基礎達標

一、選擇題

1.A 2.C 3.D 4.D 5.D

6.D 7.D 8.D 9.D 10.A

二、填空題

1.8 2.28° 3.50° 4.60°，30°，10cm 5.45 6.第二

三、解答題

1.AN=BM 理由：過點O作OE⊥CD于點E，則CE=DE，且CN∥OE∥DM.∴ON=OM，∴OA-ON=OB-OM，∴AN=BM.2.(1)連結OM、ON，在Rt△OCM和Rt△ODN中OM=ON，∵OA=OB，AC=DB，∴OC=OD，∴Rt△OCM≌Rt△ODN，∴∠AOM=∠BON，∴

(2)

提示：同上，在Rt△OCM中，同理，.，3.(1)證明：∵∠ABC=∠APC=60°，又，∴∠ACB=∠ABC=60°，∴△ABC為等邊三角形.(2)解：連結OC，過點O作OD⊥BC，垂足為D，在Rt△ODC中，DC=2，∠OCD=30°，設OD=x，則OC=2x，∴4x2-x2=4，∴OC=

⊙O的面積

能力提升

一、選擇題

1.D 2.C 3.B 4.D

二、填空題

1.8cm，10cm 2.AB=CD 3.34.120°或60°

5.90°

三、解答題

1.過O作OF⊥CD于F，如右圖所示

∵AE=2，EB=6，∴OE=2，∴OF=1，EF=，連結OD，∴CD=

2.在Rt△ODF中，42=12+DF2，DF=

2.連結AC、BD，∵C、D是

三等分點，∴AC=CD=DB，且∠AOC=×90°=30°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=75°，又∠AEC=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，∴AE=AC，同理可證BF=BD，∴AE=BF=CD.3.(1)⊙C經過坐標原點O，且A、B為⊙C與坐標軸的交點，有∠AOB=90°

∴AB為直徑；

(2)∵∠BMO=120°，的比為1：2，∴它們所對的圓周角之比為∠BAO:∠BMO=1：2

∴∠BAO=60°，∴在Rt△ABO中，AB=2AO=8，∴⊙C的半徑為4；

作

∴AE=OE，BF=OF

在Rt△ABO中，AO=4，OB=，垂足分別為點E、F 18

∴

∴圓心C的坐標為

.綜合探究

1.（2，0）提示：如圖，作線段AB、BC的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點即為圓心.2.(1)AC、AD在AB的同旁，如右圖所示，作，垂足分別為點E、F

∵AB=16，AC=8，AD=8，∴

在Rt△AOE中，∴∠CAB=60°，同理可得∠DAB=30°，∴∠DAC=30°.(2)AC、AD在AB的異旁，同理可得：∠DAC=60°+30°=90°.19