第一篇：圓的世界教學設計

一年級美術上冊

3、圓的世界

一、教材分析：

本課從課前準備開始到教學全部過程，全由學生主體的活動貫穿著：探索——感受——體驗——聯(lián)想——表現(xiàn)——評價各個環(huán)節(jié)。探索：課前與學生交流，尋找能滾動的東西帶入課堂。體現(xiàn)出自然和生活是第一課堂。創(chuàng)作表現(xiàn)來源于生活。感受：在滾動玩耍時，看、摸、聞等觸覺行為，影響著學生對物體的認識。體驗：玩耍的經歷說明了物體的形態(tài)、特征、共性。聯(lián)想：滾動中物體位置不斷變動，其快慢、翻轉、碰撞、彈蹦、滑行、停止，引出學生對生活中有關現(xiàn)象的記憶和聯(lián)想，觸發(fā)了創(chuàng)意思維。表現(xiàn)：學生作品中豐富的形、色、線充分體現(xiàn)了兒童的感受和思維。真實的物體充實著他們的形象思維。評價：學生講述和交流所畫景象情節(jié)，詞語和繪畫兩種語言的互動促進和擴展了兒童的表現(xiàn)力。

二、教學目標：

1.在感知活動中，觸發(fā)學生去發(fā)現(xiàn)和思考物體特征、形狀。其中感知行為是顯性的，發(fā)現(xiàn)問題和思考問題是隱性的。

2.會有序而友好地合作游戲，隱性的道德行為。3.會觀察和提出問題，包含著內在的隱性活動。

4.隨意大膽地使用繪畫工具表現(xiàn)出感受到的或想到的滾動現(xiàn)象，創(chuàng)作出有故事情節(jié)的畫面。

三、教學重點與難點： 1.重點：通過師生共同創(chuàng)設的有趣味的感知活動，調動學生的積極性，發(fā)揮體驗和表現(xiàn)的能力。

2.難點：引導學生邊線自己所見、所想。在感知基礎上啟發(fā)學生發(fā)散思維，展開創(chuàng)作。

課時： 1課時 過程設計 ：

（一）導入新課

課件：畫面上滾動出西紅柿、大蘋果、小足球并配以卡通聲音。師：它們是圓的小使者，接你們到圓做客的，你們想去么？ 板書課題：《圓的世界》

（二）聯(lián)想觀察

師：生活中圓形的物體都有哪些呢？ 課件展示：圓形的物體。

（三）說一說

圖片中的物體是什么？哪些部分是圓形的？

（四）想一想

生活中的那些物體可以用圓形來概括？、（五）試一試

怎樣利用圓形畫出有趣的畫面？

（六）欣賞作品

課件展示：優(yōu)秀學生作品。

（七）愉快表現(xiàn) 提出作業(yè)要求：

用大小不同的圓形畫一幅有趣的畫。

教師巡視輔導，參與解決繪畫中存在問題。

（八）講述評價

（九）課后拓展

第二篇：《圓的世界》教學設計

2012—2013學年一年級美術上冊

《圓的世界》教案

中心路小學

徐耀杰

2012年9月

一年級美術上冊第3課《圓的世界》教案

教學目標1、2、3、教學重點：通過回憶、聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)生活中能用圓形概括的物象，學習用圖形大膽地表現(xiàn)。

教學難點：如何借助圓形表現(xiàn)物象特征。

主要教法：觀察法、演示法、集體交流等。

教具準備：圓形物品，學生作品。

教學過程

一、游戲導入

吹泡泡游戲：請一名同學玩吹泡泡的游戲。大大小小的泡泡飛起來，同學們特別高興。準備吹泡泡的游戲調動學生的積極性。教師提問：我們可以用什么形狀概括這些泡泡？

老師和學生一起在黑板上用彩色粉筆表現(xiàn)出泡泡。大大小小、前前后后、上上下下圓圓的泡泡，真是圓的世界呀!知識與技能目標：運用基本形----圓形概括生活中的物象。能力目標：培養(yǎng)觀察、想象力和用圓形進行造型的表現(xiàn)力。情意目標：培養(yǎng)善于觀察的習慣，并感受生活中圓形之美。板書：圓的世界

二、教師示范

教師提問：看到這么多圓形你還能聯(lián)想生活中的什么？ 學生回答：花朵、太陽、球類、車輪。根據(jù)學生的發(fā)言，教師用電子白板畫一些圓形的大西瓜、氣球、盤子等生活中常見的圓形物品。也可以請學生在白板上畫。

三、圖片欣賞

請同學們打開書本第8頁《圓的世界》，說一說想一想，圖片中的物體是什么？哪些部分是球，可以用圓形來概括？學生自由討論。

教師總結：大到星球、熱氣球，小到籃球，這些球狀的物象可以用圓來概括，其余的鐘表、鼓面、花朵、自行車輪、風車等也可以用圓形來概括。

四、方法分析

選擇的內容：一幅畫面不要畫各種圓形物體，盡可能以一種形象為主，比如一堆圓形的小餅干，一些圓形小紐扣，幾個大小不同的球等。

畫面安排：低年級兒童的畫面盡可能飽滿，在演示過程中滲透物體的大小，在畫面的位置多少，在變化中體現(xiàn)和諧的美感。

涂色方法：欣賞書中的學生作品注意顏色的搭配合理。重點引導學生的想象力，不能固定一些單一物體，注重學生思維和想象力的發(fā)展。使學生的繪畫作品千姿百態(tài)。

五、欣賞作品

欣賞教材中的學生作品，都畫了什么，用了哪些繪畫材料，你受到了哪些啟發(fā)？

六、布置作業(yè) 作業(yè)要求： 1，運用水彩筆油畫棒或其他材料表現(xiàn)生活中類似圓形的物體。2，畫面構圖飽滿，涂色均勻。

七、評價展示

個人評價，師生互動。學生也可將作品作介紹展示給全班學生。評價時以學生的感受為主。課后拓展：

請同學們繼續(xù)觀察生活中圓形的物體，感受的美！下節(jié)課再和同桌一起說一說。

課后反思

通過導入時的吹泡泡游戲一下子就吸引了學生，學生非常高興參與游戲。那興奮的樣子像一只只快樂的小鳥。總感受圓形的美，在聯(lián)想到生活中其它圓形的物象，如太陽、花朵、球類、車輪等學生熟悉的物品，并能夠在電子白板上畫出來學生非常高興。這是本課導課比較出彩的地方，然后欣賞書中的圖片及學生的作品以及老師的示范，使學生的思路打開，充分地展開想象。師生共同總結出繪畫的要點，但在學生實際繪畫過程中，由于一年級的學生繪畫基礎較弱，部分學生繪畫的內容比較單一，仍以泡泡為主想象力沒有充分發(fā)揮，對于這類學生要多引導多對比。個別學生膽小不敢畫，這需要老師多鼓勵才行。大部分學生都能夠大膽發(fā)揮自己的想象力并有較好的造型表現(xiàn)力。

第三篇：圓 教學設計

《圓的認識》教學設計

教學內容：

設計說明：

圓的認識”是義務教育課程標準實驗教科書小學數(shù)學六年級上冊55——58頁的內容，它是在學生已經初步認識了長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形等平面圖形和初步認識圓的基礎上進行學習的。對于學生來說，雖然已經初步認識過圓，但對于建立正確的圓的概念以及掌握圓的特征來說還是比較困難的。學生由認識平面上的直線圖形到認識平面上的曲線圖形，無論是內容本身，還是研究問題的方法，都是認識發(fā)展的又一次飛躍。

本課的教學設計注重從學生已有的生活經驗和知識背景出發(fā)，結合具體情境和操作活動激活已經存在于學生頭腦中的經驗，促使學生逐步歸納內化，上升到數(shù)學層面來認識圓，體會到圓的本質特征。教學目標：

1、結合生活實際，通過觀察、操作等活動認識圓，理解圓心、半徑、直徑的意義，掌握圓的特征，理解同圓里（或等圓）半徑與直徑的關系。

2、會用圓規(guī)畫圓，培養(yǎng)學生的操作能力。

3、結合具體的情境，體驗數(shù)學與生活密切聯(lián)系，能用圓的知識來解釋生活中的簡單現(xiàn)象。

4、通過觀察、操作、想象等活動，培養(yǎng)學生自主探究的意識，進一步發(fā)展學生的空間觀念。

教學重點：在探索中發(fā)現(xiàn)圓的特征。

教學難點：理解同圓里（或等圓）半徑與直徑的關系，并掌握圓的正確畫法。教學材料：生——圓規(guī)、直尺、剪刀、、A4紙、圓形物體。（提前讓學生回去玩圓規(guī)，試著畫圓）

師——教學用的圓規(guī)一把、直尺一把、課件、“研究記錄單”、白紙一些。事先畫好一個圓在黑板上，并將大圓規(guī)“定長”。教學過程

一、尋寶中創(chuàng)造“圓”

師（很神秘）：小明參加頭腦奧林匹克的尋寶活動，得到這樣一張紙條——“寶物距離你左腳3米。”

（稍頓）你手頭的白紙上有一個紅點，這個紅點就代表小明的左腳，想一想，寶物可能在哪呢？用1厘米表示1米，請在紙上表示出你的想法。（學生獨立思考、在紙上畫著……）

師：剛才我看了一圈，同學們都在紙上表示出了自己的想法。（課件演示）寶物可能在這——

師：找到這個點的同學，請舉手。（幾乎全班舉手。）還可能在其它位置嗎？（學生們紛紛表示還有其它可能，課件依次出示2個點、3個點、4個點、8個點、16個點、32個點，直到連成一個圓。）師（笑著）：這是什么？（板書：①是什么？）

生（有的驚訝、有的驚喜）：圓！

師：剛才想到圓了的同學請舉手！（十幾位同學舉手。）開始沒想到的同學，現(xiàn)在認同了嗎？那寶物的位置可能在哪呢？ 生（高興地）：寶物的位置在這個圓上。

師：誰能說一說這是怎樣的一個圓？ 生1：這是一個有寶物的圓！

（全班同學善意的笑了。）生2：寶物就在小明周圍！

師（點頭）：說得真好，周圍這個詞用得沒錯！（又像是自言自語地）周圍的范圍可大了……

同學們，想解決這個問題嗎？現(xiàn)在我們一塊來自學課本，相信大家學習完以后，一定會用我們學習的知識來解決這個問題的。同學們，加油吧。

二、探究活動

（一）自學小提示

1、（1）自學教材，把你認為重點的句子用線畫下來，學到了什么，在小組內交流。

（2）在你的圓形紙片上畫出圓心、半徑和直徑，并用字母表示出來。

（3）自學完成后，你能用一句話來描述寶物在哪嗎？

2、小組匯報

（1）自學的收獲

（2）學生上臺畫出圓的半徑，直徑，小練習

（3）描述寶物所在的地方

剛才同學們說寶物就在小明周圍！說得真好，周圍這個詞用得沒錯！（又像是自言自語地）周圍的范圍可大了……生（迫切地）：寶物在距離左腳3米的位置。（全班同學鼓掌。）

師：是啊，他強調了左腳。通過剛才的學習，誰知道這個左腳也就是圓的什么？ 生（爭先恐后地）：圓心！圓心！師：沒錯，叫圓心。（板書：圓心。）也就是以左腳為圓心。他剛才強調了，距離左腳3米，這個距離3米，知道叫什么名稱嗎？ 生：直徑！半徑！師：（板書：半徑 直徑。）直徑還是半徑？

生（絕大部分）：半徑！師：現(xiàn)在，用上“圓心”、“半徑”，誰能清楚地說一說這個寶物可能在哪？生：以他左腳為圓心，半徑3米的圓內。師：在圓內還是在圓上？生（紛紛糾正道）：在圓上！

師：剛才董思純很精彩的發(fā)言，把兩個要素都說出來了，是不是只要說“以什么為圓心，以多長為半徑”把這個圓就確定下來了？（同學們紛紛點頭。）

三、探究活動

（二）同們覺得還有沒有什么值得我們深入地去研究？

生：有（自信地）。

師：說得好，其實不說別的，就圓心、直徑、半徑，還蘊藏著許多豐富的規(guī)律呢，同學們想不想自己動手來研究研究？（想！）同學們手中都有圓片、直尺、圓規(guī)等等，這就是咱們的研究工具。待會兒就請同學們動手折一折、量一量、比一比、畫一畫，相信大家一定會有新的發(fā)現(xiàn)。小小的建議：研究過程中，別忘了把你們組的結論，哪怕是任何細小的發(fā)現(xiàn)都記錄在學習紙上，到時候一起來交流。

（一）、通過動手，摸一摸，折一折，畫一畫。量一量，小組合作探究要求二：

1、圓與其它平面圖形一樣嗎？

2、請同學們在圓紙片上畫出半徑，10秒鐘，看能畫出多少條？直徑呢？

3、請同學們用直尺量一量畫出的半徑各是多少厘米？你發(fā)現(xiàn)了什么？直徑呢？

4、還有關于圓的什么樣的特征？

5、把你們組的發(fā)現(xiàn)填寫到紙上，看哪一小組發(fā)現(xiàn)的最多！

（二）小組匯報

很多小組都向張老師推薦了他們剛才的研究發(fā)現(xiàn)，張老師從中選擇了一部分。下面，就讓我們一起來分享大家的發(fā)現(xiàn)吧！

生：我們小組發(fā)現(xiàn)圓有無數(shù)條半徑。

師：能說說你們是怎么發(fā)現(xiàn)的嗎？

生：我們組是通過折發(fā)現(xiàn)的。把一個圓先對折，再對折、對折，這樣一直對折下去，展開后就會發(fā)現(xiàn)圓上有許許多多的半徑。

生：我們組是通過畫得出這一發(fā)現(xiàn)的。只要你不停地畫，你會在圓里畫出無數(shù)條半徑。

生：我們組沒有折，也沒有畫，而是直接想出來的。

師：噢？能具體說說嗎？

生：因為連接圓心和圓上任意一點的線段叫做圓的半徑，而圓上有無數(shù)個點（邊講邊用手在圓片上指），所以這樣的線段也有無數(shù)條，這不正好說明半徑有無數(shù)條嗎？

師：看來，各個小組用不同的方法，都得出了同樣的發(fā)現(xiàn)。至少直徑有無數(shù)條，還需不需要再說說理由了？

生：不需要了，因為道理是一樣的。

師：關于半徑或直徑，還有哪些新發(fā)現(xiàn)？

生：我們小組還發(fā)現(xiàn)，所有的半徑或直徑長度都相等。

師：能說說你們的想法嗎？

生：我們組是通過量發(fā)現(xiàn)的。先在圓里任意畫出幾條半徑，再量一量，結果發(fā)現(xiàn)它們的長度都相等，直徑也是這樣。

生：我們組是折的。將一個圓連續(xù)對折，就會發(fā)現(xiàn)所有的半徑都重合在一起，這就說明所有的半徑都相等。直徑長度相等，道理應該是一樣的。

生：我認為，既然圓心在圓的正中間，那么圓心到圓上任意一點的距離應該都相等，而這同樣也說明了半徑處處都相等。

生：關于這一發(fā)現(xiàn)，我有一點補充。因為不同的圓，半徑其實是不一樣長的。所以應該加上“在同一圓內”，這一發(fā)現(xiàn)才準確。

師：大家覺得他的這一補充怎么樣？

生：有道理。

師：看來，只有大家互相交流、相互補充，我們才能使自己的發(fā)現(xiàn)更加準確、更加完善。還有什么新的發(fā)現(xiàn)嗎？

生：我們小組通過研究還發(fā)現(xiàn)，在同一個圓里，直徑的長度是半徑的兩倍。

師：你們是怎么發(fā)現(xiàn)的？

生：我們是動手量出來的。

生：我們是動手折出來的。

生：我們還可以根據(jù)半徑和直徑的意義來想，既然叫“半徑”，自然應該是直徑長度的一半嘍……

師：看來，大家的想象力還真豐富。

生：我們組還發(fā)現(xiàn)圓的大小和它的半徑有關，半徑越長，圓就越大，半徑越短，圓就越小。

師：圓的大小和它的半徑有關，那它的位置和什么有關呢？

生：應該和圓心有關，圓心定哪兒，圓的位置就在哪兒了。

生：我們組還發(fā)現(xiàn)，圓是世界上最美的圖形。

師：能說說你們是怎樣想的嗎？

生：生活中，我們到處都能找到圓。如果沒有了圓，我們生活的世界一定會缺乏生機

生：我們生活的世界需要圓，如果沒有了圓，車子就沒法自由的行駛……

師：當然，張老師相信，同學們手中一定還有更多精彩的發(fā)現(xiàn)，沒來得及展示。沒關系，那就請大家下課后將剛才的發(fā)現(xiàn)剪下來，貼到教室后面的數(shù)學角上，讓全班同學一起來交流，一起來分享，好嗎？

生：好。

四、動手畫圓

1、每位同學畫一個圓，比較一下，你們所畫的圓大小一樣吧？為什么，如果讓每個小組的幾位同學畫的圓大小都一樣，你們小組能做到嗎？試一試，通過剛才的畫圓，你們知道了什么？板書（半徑決定圓的大小）

2、學生上臺板演畫圓（投影儀前）

3、總結畫圓的方法。

定點，定長，旋轉

五、生活中圓

看來，只要我們善于觀察，善于聯(lián)系，善于動手，我們還能獲得更多有用的信息。現(xiàn)在讓我們重新回到現(xiàn)實生活中來。平靜的水面丟進石子，蕩起的波紋為什么是一個個圓形？現(xiàn)在，你能從數(shù)學的角度簡單解釋這一現(xiàn)象了嗎？

生：我覺得石子投下去的地方就是圓的圓心。

生：石子的力量向四周平均用力，就形成了一個個圓。

生：這里似乎包含著半徑處處相等的道理呢。

師：瞧，簡單的自然現(xiàn)象中，有時也蘊含著豐富的數(shù)學規(guī)律呢。至于其他一些現(xiàn)象中又為何會出現(xiàn)圓，當中的原因，就留待同學們課后進一步去調查、去研究了。

師：其實，又何止是大自然對圓情有獨鐘呢，在我們人類生活的每一個角落，圓都扮演著重要的角色，并成為美的使者和化身。讓我們一起來欣賞――

師：西方數(shù)學、哲學史上歷來有這么種說法，“上帝是按照數(shù)學原則創(chuàng)造這個世界的”。對此，我一直無從理解。而現(xiàn)在想來，石子入水后渾然天成的圓形波紋，陽光下肆意綻放的向日葵，天體運行時近似圓形的軌跡，甚至于遙遠天際懸掛的那輪明月、朝陽……而所有這一切，給予我們的不正是一種微妙的啟示嗎？至于古老的東方，圓在我們身上遺留下的印痕又何嘗不是深刻而廣遠的呢。太極圖

有的說，中國人特別重視中秋、除夕佳節(jié)；有人說，中國古典文學喜歡以大團圓作結局；有人說，中國人在表達美好祝愿時最喜歡用上的詞匯常常有“圓滿”“美滿”……而所有這些，難道就和我們今天認識的圓沒有任何關聯(lián)嗎？那就讓我們從現(xiàn)在起，從今天起，真正走進歷史、走進文化、走進民俗、走進圓的美妙世界吧！

研究報告單

自己動手折一折、量一量、比一比、畫一畫，把你們的發(fā)現(xiàn)寫下來：

半徑的特征：

直徑的特征：

半徑與直徑之間的關系：

你能用數(shù)學的角度解釋一下為什么車輪要做成圓的？車軸應裝在哪里？ 這是利用圓心到圓上任意一點的距離都相等的特性，車軸放在圓心的位置，車輪滾動時車軸保持平穩(wěn)狀態(tài)，使行進的車輛也保持平穩(wěn)狀態(tài)。

第四篇：圓教學設計

《圓的認識》教學設計

學習目標：

1.認識圓，知道圓各部分的名稱；掌握圓的特征，理解直徑和半徑的相互關系；初步學會用圓規(guī)畫圓。

2.通過小組學習，動手操作等活動，體驗小組合作學習、分享學習成果的樂趣。

3.感受圓在生活中的廣泛應用，體驗數(shù)學與生活的密切聯(lián)系。學習重點：探索出圓各部分的名稱、特征及關系，學會用圓規(guī)畫圓的方法。

學習難點：通過動手操作體會圓的特征及畫法。

學具準備：圓形紙片、圓形物體、直尺、圓規(guī)、線、剪刀等。學習過程：

【縱橫生活 設疑激趣】

圖圖是個愛動腦筋的孩子，今天他坐車去上學，他發(fā)現(xiàn)汽車的輪子都是圓形的，他想為什么輪子都要做成圓形，而不做成正方形、長方形或三角形呢？生活中還有哪些物體也是圓形的？

【動手實踐 自主探究】

活動一：探究圓各部分的名稱與特征 1.畫一畫：你能想辦法在紙上畫一個圓嗎？ 說一說你是怎么畫的？

2.剪一剪：把你畫的圓剪下來？ 圓與我們過去認識的長方形、正方形、三角形等平面圖形有什么不一樣？（圓是由曲線圍成的平面圖形）

3.折一折：先把圓對折打開，換個方向，再對折，再打開……這樣反復折幾次。

仔細觀察：折過若干次后，你發(fā)現(xiàn)了什么？（結合書理解）在動手實驗與合作交流中得出圓心、半徑、直徑的概念：在圓內出現(xiàn)了許多折痕，它們都相交于一點，這一點就是（），圓心一般用字母（）表示。連接圓心和圓上任意一點的線段叫做（），半徑一般用字母（）表示。通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做（）。直徑一般用字母（）表示。

4.找一找：在同一個圓里，有多少條半徑、多少條直徑？ 在同一個圓里，半徑有（）條，直徑有（）。

5.量一量：自己用尺子量一量同一個圓里的幾條半徑和幾條直徑，看一看，你有什么發(fā)現(xiàn)？

在同一個圓里，半徑有（）條，所有的半徑都（），直徑有（）條，所有的直徑都（），半徑是直徑的（），直徑是半徑的（）。

活動二：探究圓的畫法

1.想一想，畫一畫：怎樣才能畫出任意大小的圓？圓的位置和大小和誰有關？

看看書上的理解是不是和你想的一樣，試用圓規(guī)畫一個半徑是2CM的圓。

2.思考：圖圖想在操場上畫一個圓做游戲，沒有那么大的圓規(guī)怎么辦？

【鞏固提高 內化新知】

1.用圓規(guī)畫一個半徑是3cm的圓，并用字母O、r、d標出它的圓心、半徑和直徑。

2.用圓規(guī)畫圓，如果半徑是4cm，圓規(guī)兩腳之間的距離取（）cm，如果要畫直徑是10cm的圓，圓規(guī)兩腳之間的距離取（）cm。

【解惑釋疑 應用拓展】

思考：車輪為什么是圓形的？車軸應裝在什么位置？ 板書設計： 圓 圓心：o 直徑：d 半徑：r 達 標 測 評

一、填空

1．圓中心的一點叫做（），用字母（）表示。2．通過（），并且兩端都在圓上的（），叫做圓的直徑。用字母（）表示。

3．從（）到（）任意一點的線段叫半徑。用字母（）表示。4．圓是平面上的一種（）圖形。將一張圓形紙片至少對折（）次可以得到這個圓的圓心。

5．在同一圓所有的線段中，（）最長。

6．在同一個圓里，所有的半徑（），所有的（）也都相等，直徑等于半徑的（）。

7．在同一個圓里，半徑是5厘米，直徑是（）厘米。8.畫圓時，圓規(guī)兩腳間的距離是圓的()。

9．（）確定圓的位置，（）確定圓的大小。10．在一個直徑是8分米的圓里，半徑是（）厘米。

11．用圓規(guī)畫一個直徑20厘米的圓，圓規(guī)兩腳步間的距離是（）厘米。

二、判斷

1．所有的半徑長度都相等，所有的直徑長度都相等。（）2．直徑是半徑長度的2倍。（）

3．兩個圓的直徑相等，它們的半徑也一定相等。（）4．半徑是射線，直徑是線段。（）

5．經過一個點可以畫無數(shù)個圓。（）6．兩端都在圓上的線段就是直徑。（）

7．畫一個直徑是4厘米的圓，圓規(guī)兩腳應叉開4厘米。（）

8．在畫圓時，把圓規(guī)的兩腳張開6厘米，這個圓的直徑是12厘米。（）9．半徑能決定圓的大小，圓心能決定圓的位置。（）

第五篇：圓教學設計

圓

目標認知 學習要點

1.了解圓的有關概念，理解垂徑定理并靈活運用垂徑定理及圓的概念解決一些實際問題．

2.了解圓心角的概念，掌握在同圓或等圓中，三組量：兩個圓心角、兩條弦、兩條弧，只要有一組量相等，就可以推出其它兩組量對應相等，及其它們在解題中的應用．

3.了解圓周角的概念，理解圓周角定理及其推論，熟練掌握圓周角的定理及其推理的靈活運用． 重點

1.垂徑定理及其運用．

2.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，?所對弦也相等及其兩個推論和它們的應用．

3.圓周角的定理、圓周角的定理的推導及運用它們解題． 難點

1.探索并證明垂徑定理及利用垂徑定理解決一些實際問題．

2.探索定理和推論及其應用．

3.運用數(shù)學分類思想證明圓周角的定理．

一、知識要點梳理 知識點

一、圓的定義

1.定義1：

如圖，在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一圈，另一個端點A隨之旋轉所形成的圖形叫做圓(circle)，固定的端點O叫做圓心(center of a circle)，線段OA叫做半徑(radius).以點O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．

要點詮釋：

(1)圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小；確定一個圓應先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；

(2)圓是一條封閉曲線.2.定義2：

圓心為O，半徑為r的圓是平面內到定點O的距離等于定長r的點的集合.要點詮釋：

(1)定點為圓心，定長為半徑；

(2)圓指的是圓周，而不是圓平面；

(3)強調“在一個平面內”是非常必要的，事實上，在空間中，到定點的距離等于定長的點的集合是球

面，一個閉合的曲面.知識點

二、與圓有關的概念 1.弦

弦：連結圓上任意兩點的線段叫做弦(chord).直徑：經過圓心的弦叫做直徑(diameter).要點詮釋：

直徑是圓中通過圓心的特殊弦，也是圓中最長的弦，即直徑是弦，但弦不一定是直徑.為什么直徑是圓中最長的弦？如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O中任意一條弦，求證：AB≥CD.證明：連結OC、OD

∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(當且僅當CD過圓心O時，取“=”號)

∴直徑AB是⊙O中最長的弦.2.弧

弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧(arc).以A、B為端點的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓(semi-circle).優(yōu)弧：大于半圓的弧叫做優(yōu)弧.劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧.要點詮釋：

(1)半圓是弧，而弧不一定是半圓.(2)無特殊說明時，弧指的是劣弧.3.同心圓與等圓

圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓.圓心不同，半徑相等的兩個圓叫做等圓.同圓或等圓的半徑相等.4.等弧

在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.要點詮釋：

等弧成立的前提條件是在同圓或等圓中，不能忽視.知識點

三、圓的對稱性 1.圓是軸對稱圖形

圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸.或者說，經過圓心的任何一條直線都是圓的對稱軸.2.圓是中心對稱圖形

圓是旋轉對稱圖形，無論繞圓心旋轉多少度，它都能和自身重合，對稱中心就是圓心，因此，圓又是中心對稱圖形.要點詮釋：

(1)圓有無數(shù)條對稱軸；

(2)因為直徑是弦，弦又是線段，而對稱軸是直線，所以不能說“圓的對稱軸是直徑”，而應該說“圓 的對稱軸是直徑所在的直線”.知識點

四、垂直于弦的直徑

1.垂徑定理：

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.2.推論：

平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.要點詮釋：

(1)垂徑定理是由兩個條件推出兩個結論，即

(2)這里的直徑也可以是半徑，也可以是過圓心的直線或線段.知識點

五、弧、弦、圓心角的關系

1.圓心角定義

如圖所示，∠AOB的頂點在圓心，像這樣頂點在圓心的角叫做圓心角(central angle)．

2.定理：

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．

3.推論：

在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦也相等．

在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧也相等．

要點詮釋：

(1)一個角要是圓心角，必須具備頂點在圓心這一特征.(2)注意定理中不能忽視“同圓或等圓”這一前提.知識點

六、圓周角 1.圓周角定義：

像圖中∠AEB、∠ADB、∠ACB這樣的角，它們的頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．

2.圓周角定理：

在同圓或等圓中，同弧等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．

3.圓周角定理的推論：

半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．

要點詮釋：

(1)圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上；②角的兩邊都和圓相交.(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.二、規(guī)律方法指導

圓是平面幾何知識中接觸到的唯一的曲線形，因此它在研究問題的方法上與直線形有很大的不同，所以在學習這部分知識時要注意這個問題.另外，這一章的概念和定理較多，學習時要注意階段性的小結，鞏固每一階段的知識.由于本章要經常用到前面學過的許多知識，綜合性較強，所以要不怕困難，才能學好本章.經典例題透析

類型

一、圓及有關概念

1.判斷題(對的打√，錯的打×，并說明理由)

(1)半圓是弧，但弧不一定是半圓；

(2)弦是直徑；

(3)長度相等的兩段弧是等弧；

(4)直徑是圓中最長的弦.思路點撥：(1)因為半圓是弧的一種，弧可分為劣弧、半圓、優(yōu)弧三種，故正確；(2)直徑是弦，但弦不一定都是直徑，只有過圓心的弦才是直徑，故錯；(3)只有在同圓或等圓中，長度相等的兩段弧才是等弧，故錯；(4)直徑是圓中最長的弦，正確.答案：(1)√(2)×(3)×(4)√.舉一反三

【變式1】下列說法錯誤的是()4

A.半圓是弧

B.圓中最長的弦是直徑

C.半徑不是弦

D.兩條半徑組成一條直徑

思路點撥：弧有三類，分別是優(yōu)弧、半圓、劣弧，所以半圓是弧，A正確；直徑是弦，并且是最長的弦，B正確；半徑的一個端點為圓心，另一個端點在圓上，不符合弦的定義，所以不是弦，C正確；兩條半徑只有在同一直線上時，才能組成一條直徑，否則不是，故D錯誤.答案：D.類型

二、垂徑定理及應用

2.已知，點P是半徑為5的⊙O內一點，且OP=3，在過點P的所有的⊙O的弦中，弦長為整數(shù)的弦的條數(shù)為()

A.2

B.3

C.4D.5

思路點撥：在一個圓中，過一點的最長弦是經過這一點的直徑，最短的弦是經過這一點與直徑垂直的弦.知道這些，就可以利用垂徑定理來確定過點P的弦長的取值范圍.解：作圖，過點P作直徑AB，過點P作弦

則OC=5，CD=2PC

由勾股定理，得

∴CD=2PC=8，又AB=10

∴過點P的弦長的取值范圍是

，連接OC

弦長的整數(shù)解為8，9，10，根據(jù)圓的對稱性，弦長為9的弦有兩條，所以弦長為整數(shù)的弦共4條.答案：C.總結升華：本題中很多條件是“隱性”出現(xiàn)的，或者稱之為“隱含條件”.我們在解題時，要善于挖掘隱含條件，識別隱含條件的不同表達方式，將其轉化為容易理解的題目，化難為易，這也體現(xiàn)了轉化思想在解題中的具體應用.3.已知：⊙O的半徑為10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD間的距離.思路點撥：⊙O中，兩平行弦AB、CD間的距離就是它們的公垂線段的長度，若分別作弦AB、CD的弦心距，則可用弦心距的長表示這兩條平行弦AB、CD間的距離.解：(1)如圖，當⊙O的圓心O位于AB、CD之間時，作OM⊥AB于點M，并延長

MO，交CD于N點.分別連結AO、CO.又∵AB∥CD

∴ON⊥CD，即ON為弦CD的弦心距.∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm

=8+6

=14(cm)

(2)如圖所示，當⊙O的圓心O不在兩平行弦AB、CD之間(即弦AB、CD在圓

心O的同側)時

同理可證：MN=OM-ON=8-6=2(cm)

∴⊙O中，平行線AB、CD間的距離是14cm或2cm.總結升華：解這類問題時，要依平行線與圓心間的位置關系，分類討論，千萬別丟解.4．如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧(即圖中，點O是的圓心，?其中CD=600m，E為上一點，且OE⊥CD，垂足為F，EF=90m，求這段彎路的半徑．

思路點撥：本題是垂徑定理的應用.解：如圖，連接OC

設彎路的半徑為R，則OF=(R-90)m

∵OE⊥CD

∴CF=CD=×600=300(m)

根據(jù)勾股定理，得：OC2=CF2+OF即R2=3002+(R-90)2 解得R=545

∴這段彎路的半徑為545m．

總結升華：構造直角三角形，利用垂徑定理、勾股定理，解題過程中使用了列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學思想方法一定要掌握．

舉一反三

【變式1】有一石拱橋的橋拱是圓弧形，如圖所示，正常水位下水面寬AB=60m，水面到拱頂距離CD=18m，當洪水泛濫時，水面距拱頂不超過3m時拱橋就有危險，現(xiàn)在水面寬MN=32m時是否需要采取緊急措施？請說明理由．

思路點撥：要求當洪水到來時，水面寬MN=32m，是否需要采取緊急措施，要求出DE的長，因此要先求半徑R．

解：不需要采取緊急措施

設OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，OC=OD-CD=R-18

R2=302+(R-18)2，R2=900+R2-36R+324

解得R=34(m)

連接OM，設DE=x，在Rt△MOE中，ME=16

342=162+(34-x)

2x2-68x+256=0

解得x1=4，x2=64(不合題意，舍)

∴DE=4m大于3m

∴不需采取緊急措施．

類型

三、圓心角、弧、弦之間的關系及應用

5.如圖，在⊙O中，求∠A的度數(shù).思路點撥：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦也相等．

解：

舉一反三

【變式1】如圖所示，中弦AB=CD，求證：AD=BC..思路點撥：AD和BC是同圓中兩條相等的弦，要說明的AB、CD也是同圓中的兩條相等的弦，可以考慮弧、弦、圓心角的關系，因為圖中沒有給出圓心角，所以可以先考慮弧.證法1：∵AB=CD，∴為優(yōu)弧或同為劣弧)也相等)

∴

(在同圓中，相等的弦所對的弧(同

∴AD=BC(在同圓中，相等的弧所對的弦也相等)

證法2：如圖，連接OA，OD，OB，OC，∵AB=CD，∴的圓心角相等)

(在同圓中，相等的弦所對

∴

∴AD=BC(在同圓中，相等的圓心角所對的弦也相等)

總結升華：在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弦、兩條弧中若有一組量相等，它們對應的其余各組量也相等，因此在圓中說明或證明弦、弧、圓心角的相等關系時可考慮利用弧、弦、圓心角的關系，只不過敘述時要注意一條弦和兩條弧對應，不要認為相等的弦所對的弧一定相等．

類型

四、圓周角定理及應用

6.如圖，AB是⊙O的直徑，C、D、E都是⊙O上的點，則∠1+∠2=___________.思路點撥：如圖，連接OE，則

答案：90°.舉一反三

【變式1】如圖，A、B、C、D是⊙O上的四點，且∠BCD=100°，求∠1（所對的圓心角）和∠BAD的大小．

思路點撥：要求圓心角∠BOD的大小，且知道圓周角∠BCD=100°，但兩者不是同弧所對的角，不能直接利用同弧所對圓心角等于圓周角的2倍來實現(xiàn)求解．觀察∠BCD它所對的弧是，而

所對的圓心角是∠2，所以可以解得∠2．又發(fā)現(xiàn)∠2和∠1的和是一個周角，所以可得∠1，而∠BAD=

解：∵∠BCD和∠2分別是

∠1.所對的圓周角和圓心角

∴∠2=2∠BCD=200°

又∵∠2+∠1=360°，∴∠1=160°

∵∠BAD和∠1分別是

所對的圓周角和圓心角

∴．

總結升華：圓心角和圓周角是借助它們所對的弧聯(lián)系起來的，所以在圓中進行有關角的計算時，通常找到已知角所對弧，看看怎么樣通過弧和未知角建立起聯(lián)系．事實上由這個題我們可以總結出圓內接四邊形對角互補．

7．如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到C，使AC=AB，BD與CD的大小有什么關系？為什么？

思路點撥：BD=CD，因為AB=AC，所以這個△ABC是等腰三角形，要證明D是BC的中點，只要連結AD證明AD是高或是∠BAC的平分線即可．

解：BD=CD

理由是：如圖，連接AD

∵AB是⊙O的直徑

∴∠ADB=90°即AD⊥BC

又∵AC=AB

∴BD=CD.舉一反三

【變式1】如圖所示，AB為⊙O的直徑，動點P在⊙O的下半圓，定點Q在⊙O的上半圓，設∠POA=x°，∠PQB=y°，當P點在下半圓移動時，試求y與x之間的函數(shù)關系式.9

解：

解法1：如圖所示，∵AB為⊙O的直徑，∠AOP=x°

∴∠POB=180°-x°=(180-x)°

又

解法2：如圖所示，連結AQ，則

又∵AB是⊙O的直徑，∴∠AQB=90°

【變式2】已知，如圖，⊙O上三點A、B、C，∠ACB=60°，AB=m，試求⊙O的直徑長.解：如圖所示，作⊙O的直徑AC′，連結C′B

則∠AC′B=∠C=60°

又∵AC′是⊙O的直徑，∴∠ABC′=90°

即⊙O的直徑為

.學習成果測評 基礎達標

一、選擇題

1.下列三個命題：①圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；②垂直于弦的直徑平分弦；③相等的圓心

角所對的弧相等．其中真命題的是（）

A.①②

B.②③

C.①③

D.①②③

2.下列命題中，正確的個數(shù)是（）

⑴直徑是弦，但弦不一定是直徑；

⑵半圓是弧，但弧不一定是半圓；

⑶半徑相等的兩個圓是等圓 ；

⑷一條弦把圓分成的兩段弧中，至少有一段是優(yōu)弧.A.1個

B.2個

C.3個

D.4個

3.如果兩個圓心角相等，那么（）

A.這兩個圓心角所對的弦相等

B.這兩個圓心角所對的弧相等

C.這兩個圓心角所對的弦的弦心距相等

D.以上說法都不對

4.⊙O中，∠AOB=∠84°，則弦AB所對的圓周角的度數(shù)為（）

A.42°

B.138°

C.69°

D.42°或138°

5.如圖，已知A、B、C是⊙O上的三點，若∠ACB=44°．則∠AOB的度數(shù)為（）

A．44°

B．46°

C．68°

D．88°

6.如圖，如果AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，那么下列結論中，?錯誤的是（）

A.CE=DE

B.C.∠BAC=∠BAD D.AC＞AD

7.如圖，⊙O的直徑為10，圓心O到弦AB的距離OM的長為3，則弦AB的長是（）A.4 B.6 C.7 D.8 8.如圖，A、B、C三點在⊙O上，∠AOC=100°，則∠ABC等于（）

A.140°

B.110°

C.120°

D.130°

9.如圖，⊙O的直徑CD垂直于弦EF，垂足為G，若∠EOD=40°,則∠DCF等于（）

A.80°

B.50°

C.40°

D.20°

10.如圖，⊙O的直徑為10，弦AB的長為8，M是弦AB上的動點，則OM的長的取值范圍（）

A．3≤OM≤5

B．4≤OM≤5

C．3＜OM＜5

D．4＜OM＜5

二、填空題

1.如圖，AB為⊙O直徑，E是

中點，OE交BC于點D，BD=3，AB=10，則AC=_____.2.如圖，⊙O中，若∠AOB的度數(shù)為56°，∠ACB=_________.3.如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，∠BDC=25°，則∠BOC=________.4.如圖，等邊ΔABC的三個頂點在⊙O上，BD是直徑，則∠BDC=________，∠ 12 ACD=________.若CD=10cm，則⊙O的半徑長為________.5.如圖所示，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，∠ACB的角平分線CD交⊙O于D，則∠ABD=______度．

6.（山西）如圖，在“世界杯”足球比賽中，甲帶球向對方球門PQ進攻，當他帶球沖到A點時，同樣乙已經助攻沖到B點.有兩種射門方式：第一種是甲直接射門；第二種是甲將球傳給乙，由乙射門.僅從射門角度考慮，應選擇________種射門方式.三、解答題

1.如圖，AB為⊙O的直徑，CD為弦，過C、D分別作CN⊥CD、DM?⊥CD，?分別交AB于N、M，請問圖中的AN與BM是否相等，說明理由.2.如圖，在⊙O中，C、D是直徑AB上兩點，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N?在⊙O上.(1)求證：=

；

成立嗎？

(2)若C、D分別為OA、OB中點，則 13

3.如圖，已知AB=AC，∠APC=60°

(1)求證：△ABC是等邊三角形.(2)若BC=4cm，求⊙O的面積.能力提升

一、選擇題

1.如圖，在⊙O中，P是弦AB的中點，CD是過點P的直徑，是()

A.AB⊥CD

B.∠AOB=4∠ACD

C.D.PO=PD

2.如圖，⊙O中，如果=2，那么()

A.AB=AC

B.AB=2AC

C.AB＜2AC D.AB＞2AC

則下列結論中不正確的14

3.如圖，∠

1、∠

2、∠

3、∠4的大小關系是()

A.∠4＜∠1＜∠2＜∠3

B.∠4＜∠1=∠3＜∠2

C.∠4＜∠1＜∠3＜＜∠2

D.∠4＜∠1＜∠3=∠2 4.如圖，AD是⊙O的直徑，AC是弦，OB⊥AD，若OB=5，且∠CAD=30°，則BC等于()

A.3

B.3+

C.5-

D.5

二、填空題

1.P為⊙O內一點，OP=3cm，⊙O半徑為5cm，則經過P點的最短弦長為________；最長弦長為_______.2.如圖，OE、OF分別為⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_______(只需寫一個正確的結論).3.如圖，AB和DE是⊙O的直徑，弦AC∥DE，若弦BE=3，則弦CE=________.4.半徑為2a的⊙O中，弦AB的長為，則弦AB所對的圓周角的度數(shù)是________.5.如圖，AB是⊙O的直徑，C、D、E都是圓上的點，則∠1+∠2=_______.15

三、解答題

1.如圖，⊙O直徑AB和弦CD相交于點E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD長.2.如圖，∠AOB=90°，C、D是AE=BF=CD.三等分點，AB分別交OC、OD于點E、F，求證：

3.如圖，⊙C經過坐標原點，且與兩坐標軸分別交于點A與點B，點A的坐標為(0，4)，M是圓上一點，∠BMO=120°.(1)求證：AB為⊙C直徑.(2)求⊙C的半徑及圓心C的坐標.綜合探究

1.如圖，直角坐標系中一條圓弧經過網(wǎng)格點A、B、C，其中，B點坐標為(4，4)，則該圓弧所在圓的圓心坐標為___________.16

2.AB是⊙O的直徑，AC、AD是⊙O的兩弦，已知AB=16，AC=8，AD=DAC的度數(shù).，求∠答案與解析 基礎達標

一、選擇題

1.A 2.C 3.D 4.D 5.D

6.D 7.D 8.D 9.D 10.A

二、填空題

1.8 2.28° 3.50° 4.60°，30°，10cm 5.45 6.第二

三、解答題

1.AN=BM 理由：過點O作OE⊥CD于點E，則CE=DE，且CN∥OE∥DM.∴ON=OM，∴OA-ON=OB-OM，∴AN=BM.2.(1)連結OM、ON，在Rt△OCM和Rt△ODN中OM=ON，∵OA=OB，AC=DB，∴OC=OD，∴Rt△OCM≌Rt△ODN，∴∠AOM=∠BON，∴

(2)

提示：同上，在Rt△OCM中，同理，.，3.(1)證明：∵∠ABC=∠APC=60°，又，∴∠ACB=∠ABC=60°，∴△ABC為等邊三角形.(2)解：連結OC，過點O作OD⊥BC，垂足為D，在Rt△ODC中，DC=2，∠OCD=30°，設OD=x，則OC=2x，∴4x2-x2=4，∴OC=

⊙O的面積

能力提升

一、選擇題

1.D 2.C 3.B 4.D

二、填空題

1.8cm，10cm 2.AB=CD 3.34.120°或60°

5.90°

三、解答題

1.過O作OF⊥CD于F，如右圖所示

∵AE=2，EB=6，∴OE=2，∴OF=1，EF=，連結OD，∴CD=

2.在Rt△ODF中，42=12+DF2，DF=

2.連結AC、BD，∵C、D是

三等分點，∴AC=CD=DB，且∠AOC=×90°=30°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=75°，又∠AEC=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，∴AE=AC，同理可證BF=BD，∴AE=BF=CD.3.(1)⊙C經過坐標原點O，且A、B為⊙C與坐標軸的交點，有∠AOB=90°

∴AB為直徑；

(2)∵∠BMO=120°，的比為1：2，∴它們所對的圓周角之比為∠BAO:∠BMO=1：2

∴∠BAO=60°，∴在Rt△ABO中，AB=2AO=8，∴⊙C的半徑為4；

作

∴AE=OE，BF=OF

在Rt△ABO中，AO=4，OB=，垂足分別為點E、F 18

∴

∴圓心C的坐標為

.綜合探究

1.（2，0）提示：如圖，作線段AB、BC的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點即為圓心.2.(1)AC、AD在AB的同旁，如右圖所示，作，垂足分別為點E、F

∵AB=16，AC=8，AD=8，∴

在Rt△AOE中，∴∠CAB=60°，同理可得∠DAB=30°，∴∠DAC=30°.(2)AC、AD在AB的異旁，同理可得：∠DAC=60°+30°=90°.19