第一篇：4.7平面圖形的鑲嵌教學設計

平面圖形的鑲嵌（北師大版八年級上）

長武縣昭仁中學 曹宏科

教案背景：

本節教案是北師大版八年級上課題學習中的一節課，通過教師備寫教案，搜集網絡資源讓學生運用網絡資源結合自己所學的知識來設計圖案，在備寫這節教案時充分考慮了學生的認知和思維能力，學生對網絡的興趣比較濃厚而備寫的。引導了學生怎樣將網絡資源應用到學習中來。體現了我校提出“倡導綠色上網”的學習理念。教學課題：

平面圖形的鑲嵌 教材分析：

本節是北師大版第四章四邊形的性質探索這一章的課題學習，通過四邊形的相關知識的學習，學生學習了四邊形中平行四邊形、矩形、菱形、正方形、四邊形的內角和以后，結合七年級學習的三角形和現實生活中的鑲嵌圖案來進行探索學習的。在教學中對于學生探索的方案應該充分肯定，激發學生的創造力和想象力。教師可以適當分析學生設計的圖案，各小組最后分別展示設計的圖案。教學方法：

合作探究，小組學習教學目標

(一)教學知識點：

1、了解平面圖形的鑲嵌的含義。

2、掌握哪些平面圖形可以鑲嵌，鑲嵌的理由及簡單的鑲嵌設計。(二)能力訓練要求：

1、經歷探索多邊形鑲嵌條件的過程，進一步發展學生的合情推理能力。

2、通過探索平面圖形的鑲嵌，知道任意一個三角形、四邊形或正六邊形可以鑲嵌，并能運用這幾種圖形進行簡單的鑲嵌設計。(三)情感態度與價值觀要求：

平面圖形的鑲嵌是現實生活中應用的一個方面；也是開發、培養學生創造性思維的一個重要渠道。

教學重點：三角形、四邊形和正六邊形可以鑲嵌。

教學難點：用同一種平面圖形或者幾種平面圖形可以鑲嵌的條件。教學過程：

一、巧設情景問題，引入課題

我們經常能見到各種建筑物的地板，觀察地板，就能發現地板常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案。(展示各種地板圖片)這些地板漂亮嗎？這種用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙，不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌。這節課我們來探索平面圖形的鑲嵌。

二、講授新課

平面圖形的鑲嵌在生活中是隨處可見的，在平面上鑲嵌需注意：各種圖形拼接后要既無縫隙，又不重疊。那我們先來探索多邊形鑲嵌的條件，大家拿出準備好的剪刀和硬紙片分組來做一做：

(1)用形狀、大小完全相同的三角形能否鑲嵌？

(2)用同一種四邊形可以鑲嵌嗎？用硬紙板剪制若干形狀、大小完全相同的四邊形做實驗，并與同伴交流。

(3)在用三角形鑲嵌的圖案中，觀察每個拼接點處有幾個角？它們與這種三角形的三個內角有什么關系？

(4)在用四邊形鑲嵌的圖案中，觀察每個拼接點處的四個角與這種四邊形的四個內角有什么關系？

(學生動手制作、教師強調：大家要注意：三角形、四邊形的形狀，可以是任意的，但裁剪出的每種圖形一定是全等形。)(學生分組拼接、討論，尋找規律，教師巡視指導)

1、用形狀、大小完全相同的三角形可以鑲嵌。因為三角形的內角和為 180°，所以，用6個這樣的三角形就可以組合起來鑲嵌成一個平面。

從用三角形鑲嵌的圖案中，觀察到：每個拼接點處有6個角，這6個角分別是這種三角形的內角(其中有三組分別相等)，它們可以組成兩個三角形的內角，它們的和為360°。

2、用同一種四邊形也可以鑲嵌，在用四邊形鑲嵌的圖案中，觀察到：每個拼接點處的四個角恰好是一個四邊形的四個內角。四邊形的內角和為360°，所以它們的和為360°。

3、從拼接活動中，我們知道了：要用幾個形狀、大小完全相同的圖形不留空隙、不重疊地鑲嵌一個平面，需使得拼接點處的各角之和為360°。

通過探索活動，我們得知：用形狀、大小完全相同的四邊形或三角形可以鑲嵌一個平面，那么其他的多邊形能否鑲嵌？下面大家來想一想，議一議：

(1)正六邊形能否鑲嵌？簡述你的理由。(2)分析如下圖，討論正五邊形不能鑲嵌。

圖案來源：(百度搜索結果)http://image.baidu.com/i?ct=503316480&z=&tn=baiduimagedetail&word=%C6%BD%C3%E6%CD%BC%D0%CE%B5%C4%CF%E2%C7%B6&in=20429&cl=2&lm=-1&st=&pn=19&rn=1&di=105340756620&ln=670&fr=ala0&fm=ala0&fmq=***65_R&ic=&s=&se=&sme=0&tab=&width=&height=&face=&is=&istype=#pn19&-1&di105340756620&objURLhttp%3A%2F%2Ftech.casd.cn%2Fwzym%2F0212%2Fc20212%2Fc2sxw035.files%2Fimage024.jpg&fromURLhttp%3A%2F%2Ftech.casd.cn%2Fwzym%2F0212%2Fc20212%2Fc2sxw035.htm&W322&H140&T9626&S6&TPjpg

(3)還能找到能鑲嵌的其他正多邊形嗎？

(學生分析、討論、歸納)小結：

要用正多邊形鑲嵌成一個平面的關鍵是看：這種正多邊形的一個內角的倍數是否是360°，在正多邊形里，正三角形的每個內角都是60°，正四邊形的每個內角都是90°，正六邊形的每個內角都是120°，這三種多邊形的一個內角的倍數都是360°，而其他的正多邊形的每個內角的倍數都不是360°，所以說：在正多邊形里只有正三角形、正四邊形、正六邊形可以鑲嵌，而其他的正多邊形不可鑲嵌。一般三角形、四邊形也可以鑲嵌。雖然它們的內角未必都相等。

三、課堂練習：

1、如圖，在一個正方形的內部按下圖圖（1）所示的方式剪去一個正三角形，并平移，形成如下圖圖（2）所示的新圖案，以這個圖案為“基本單位”能否進行鑲嵌？說說理由。

圖片來源（百度搜索結果）

http://image.baidu.com/i?ct=503316480&z=&tn=baiduimagedetail&word=%C6%BD%C3%E6%CD%BC%D0%CE%B5%C4%CF%E2%C7%B6&in=13224&cl=2&lm=-1&st=&pn=455&rn=1&di=60522581085&ln=669&fr=ala0&fm=ala0&fmq=***40_R&ic=&s=&se=&sme=0&tab=&width=&height=&face=&is=&istype=#pn455&-1&di60522581085&objURLhttp%3A%2F%2Fwww.tmdps.cn%3A4601%2F46kt%2Fjxfs%2Fuploadfiles_5764%2F200705%2F***17.jpg&fromURLhttp%3A%2F%2F221.194.113.149%3A4601%2F46kt%2Fjxfs%2Fshowarticle.asp%3Farticleid%3D559%26page%3D7&W310&H231&T10769&S10&TPjpg

2、根據上面的思路，自己獨立設計一個可以鑲嵌的“基本單位”圖形。（可參考網絡資源：

http://image.baidu.com/i?tn=baiduimage&ct=201326592&lm=-1&cl=2&fr=ala0&word=%C6%BD%C3%E6%CD%BC%D0%CE%B5%C4%CF%E2%C7%B6）

試一試：同時用邊長相同的正八邊形和正方形能否鑲嵌？用硬紙板為材料進行實驗。

四、課時小結

1、本節課我們通過活動，探討，知道任意一個三角形，四邊形或正六邊形可以鑲嵌成一個平面，并且探索出正多邊形鑲嵌的條件。即：一種正多邊形的一個內角的倍數是否是360°。

2、在學習中可以利用網絡資源來搜索（在百度中輸入：平面圖形的鑲嵌即可搜索出所需資源）

五、課后作業

自己設計一幅鑲嵌圖案。

六、課后探索：

探索用兩種正多邊形鑲嵌平面的條件。

過程：讓學生先從簡單的兩種正多邊形開始探索。(1)正三角形與正方形(2)正三角形與正六邊形(3)正三角形和正十二邊形 教學反思：

1、這節課學生的興趣濃厚，主要是邊長相同的正n邊形的鑲嵌，對于不規則圖形的鑲嵌學生在合作學習的過程中也提出過這樣的問題，由于時間的原因和所學知識的限制，課堂中沒有解決這一問題。這是本節課的不足之處。

2、本節課的學生操作很多，課堂學習時間不足，因此以后可讓學生在課外繼續探索和設計方案（包括不規則圖形之間的鑲嵌）。

3、這節課的教科書的內容有限，而網絡資源很豐富，為學生的學習提供了一個很好的平臺，這是本節課的成功之處。

第二篇：平面圖形鑲嵌問題

“平面圖形鑲嵌問題”教學案例分析

一、設計背景

本節課問題的實際背景是日常生活中的鋪地磚問題。教材背景是學生剛學完的正多邊形知識。教學的主題是把日常生活中的鋪地磚問題抽象為數學中的平面圖形的完全鑲嵌問題。本節課設計的理論支撐點是建構主義的學習理論，這種理論認為學生的學習不是被動的接受，而是一種主動的探究與建構，認為各個個體對知識的理解隨個人的經驗、經歷的不同而不同。根據這一理論，教師在教學設計中充分考慮到學生的差異，設計了開放性的問題，教學中采用合作學習的方式。

二、實施過程

本節課的教學目標是：通過對平面圖形鑲嵌問題的探究與解決（當然不一定能完全解決）的過程，加深對正多邊形的有關概念、性質的理解；了解數學知識在實際生產生活中的應用，培養學生應用數學解決實問題的意識和能力；優化思維品質，培養學生發散性思維能力及由特殊到一般的歸納能力；通過合作學習，培養學生團結協作的團隊精神。

在上課的前兩天，教師布置給學生一個任務，用紙片做一些正多邊形的圖片，說是上課要用，學生們都不知道教師葫蘆里到底賣的什么藥。但因為這個班級每周都有一節數學研究性學習課，同學們都很喜歡這種課，在這種課上，大家可以充分展開想象的翅膀，展現自己的才能。所以，各個學習小組的同學都相互合作，完成了老師布置的任務。

上課開始了，教師問學生： “ 大家見過自己家里地上鋪的地磚及馬路上人行道上鋪的地磚吧？都是什么形狀的啊？ ” 這是一個學生非常熟悉的問題，同學們紛紛回答，有的是正方形的，有的是正六邊形的。教師接著追問： “ 那么，我們能否用其它正多邊形來鋪地面呢？要求沒有空隙。這就是今天我們要研究的平面圖形鑲嵌問題。比如用正五邊形，大家看行嗎？于是同學們分成小組，動手實踐，用事先剪好的正五邊形紙片進行試驗，馬上發現不行。教師又問，用正五邊形不行，用正八邊形行嗎？學生通過實踐發現也不行。教師問學生，那么我們今天要研究的平面圖形鑲嵌問題，應該研究什么問題啊？經過思考，一位學生說： “ 我們應該研究用什么樣的正多邊形可以完成平面的鑲嵌而不留空隙。” 另一位學生接著說： “ 我們還應該研究用兩種以上的正多邊形能不能完成平面的鑲嵌。” 教師對這兩位學生進行了表揚，說： “ 我們就是要善于提出問題，好，我們今天就一起來研究這兩個問題吧！” 對第一個問題，同學們通過實驗，很快就得出了結論，只有正三角形，正方形或正六邊形這三種正多邊形可以完成平面圖形的鑲嵌。教師引導學生討論，為什么只有這三種而沒有其它正多邊形了。很快地，就有學生回答說，因為要使平面完全鑲嵌不留空隙，正多邊形的內角度數必須能把 360 整除，符合要求的正多邊形只有正三角形、正方形和正六邊形三種。第一個問題解決了，接著同學們動手研究第二個問題，大家用兩種不同邊數的正多邊形的紙片拼接在一起進行組合，拼出了各種各樣的圖形。其中有的能完全鑲嵌，例如用正六邊形和正三角形，有的則不能完全鑲嵌，留下了一些空隙，例如用正八邊形和正方形。教師把它們都掛在黑板上，供全班同學欣賞、評論。

這時，下課時間快到了，教師讓學生對這節課進行了總結。并提出了第三個問題讓同學們課后去進行實踐探究：你能否想出一個用同一種多邊形（非正多邊形）的地磚鋪地面的方案？把你想到的方案畫成草圖。

三、案例分析 ．本節課通過對幾個平面圖形的鑲嵌問題進行研究，學生加深了對正多邊的有關性質的理解。例如對正多邊的內角度數的理解提高了一個層次。．由于研究的問題來自學生的日常生活實際，同學們一點也不感到陌生，因此興致盎然，既提高了學習數學的興趣和積極性，又初步了解了數學在生產生活中有著廣泛的應用。．以問題為主線層層深入，通過對問題的探究解決，學生參與了知識的發生過程，初步改變了學生的學習方式，培養了學生的實踐能力和探究精神。

四、對案例的反思 ．本節課應用的是正多邊的知識，因此在用哪種正多邊形可以完成平面圖形的完全鑲嵌這一個問題上可以進一步深化，可引導學生用數學的方法來證明只有正三角形、正方形、正六邊形這三種正多邊形能達到目的的正確性，從而進一步培養學生邏輯思維的嚴謹性。．無空隙這一說法如何用數學語言來敘述？可引導學生歸結為如下結論：拼接后各正多邊形的頂點及邊都是公共頂點與公共邊。．學生對本課主題很感興趣，但教學手段略顯單一。是否可以設計多媒體教學課件，在演示時會更直觀。．留給學生課后研究的問題，應該更具有思考性及可探究性，本節課留給學生探索的問題的可操作性及探究性都有點牽強。可否讓學生進一步觀察，為什么平常用的地磚一般都是正方形的，而貼在墻上的墻磚卻是長方形的，這種長方形墻磚的長與寬的比例是多少？為什么這樣設計？讓學生在探究過程中體驗數學美在生活中的應用。

第三篇：《平面圖形的鑲嵌》教學設計

課題學習《平面圖形的鑲嵌》教學設計

教學內容

平面圖形的鑲嵌 教學目標

1.知識與技能：

（1）通過探索平面圖形的鑲嵌，使學生了解平面圖形鑲嵌的概念，了解任意一個三角形、四邊形或正六邊形可以鑲嵌平面圖形，并能運用這幾種圖形進行簡單的平面圖形鑲嵌設計；

（2）培養學生觀察、動手操作能力。2.過程與方法：

引導學生在圖形鑲嵌和拼圖解題的過程中，通過觀察、判斷、歸納、總結并發現規律，并能用所發現的規律去解決一些實際問題，進一步發展學生的合情推理能力。

3.情感、態度與價值觀：

（1）讓學生進一步體會平面圖形在現實生活中的廣泛應用；（2）開發、培養學生的實踐能力、創新意識和團結協作精神；（3）讓學生在活動中感受數學的美，進一步發展學生的審美情趣。

教材分析

“平面圖形的鑲嵌”是第3章四邊形后面的課題學習,要求學生對多邊形內角和其及圖形的變換有較深的認識,會利用圖形的變換進行平面圖形的鑲嵌設計,是第3章四邊形的拓展與引申.教學重點

探索多邊形鑲嵌的條件的過程以及多邊形鑲嵌的條件。

教學難點

尋找多邊形鑲嵌的條件,并如何運用鑲嵌的條件解決問題。

教與學互動設計

一、欣賞圖案，引入課題概念

1、用多媒體展示一組美麗的平面圖形鑲嵌的圖案，讓學生欣賞(如圖1).提問學生這些圖案有什么共同特征？讓同學們分組討論、交流.共同特征：①這些圖案是用一種或幾種形狀相同的圖形組成的;②這些圖形不但是形狀相同，而且大小也一樣,也就是全等的圖形;③這些圖形與圖形之間沒有縫隙，也沒有重疊。

2、引入本課課題及“平面圖形的鑲嵌”的概念

歸納:這些圖案是“用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此間不留空隙、不重疊地鋪成一片”，這就是數學上“平面圖形的鑲嵌”，又稱做“平面圖形的密鋪”。這節課，我們一起來進行課題學習“平面圖形的鑲嵌”。多媒體投影本課課題及“平面圖形的鑲嵌”的概念: 用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這叫做平面圖形的鑲嵌，或平面圖形的密鋪.3、讓學生舉出一些生活中身邊的鑲嵌圖案

在我們生活中，有許多圖案是“平面圖形的鑲嵌”。不知同學們是否曾留意過身邊的一些鑲嵌圖案？你能舉出你身邊的鑲嵌圖案嗎？讓同學們議論.如:家里的地板圖案，人行道上地磚鋪成的圖案,一些房間里墻紙上的花紋圖案, ……

4、拼接紙片，探索鑲嵌條件

（1）用正三角形、正方形、正六邊形硬紙片模擬鋪地面磚

近年來，隨著社會經濟的不斷發展，人民生活水平的不斷提高，往房條件越來越好.用室內裝飾的事例導入。

請兩位同學在黑板上分別用正方形、正六邊形硬紙片和雙面膠拼接圖形,彼此間不留空隙、不重疊地鋪成一片（如圖2）,其他同學分組同步拼接, 老師在一旁指導.我們常見到正方形、正六邊形的鋪地材料，為什么用這種形狀能鋪成平整、無空隙的地板呢？

讓學生想一想下列問題, 分組討論、交流, 探索多邊形鑲嵌的條件

① 觀察圖3, 全等的正六邊形能密鋪.正六邊形的每個內角是多少度? 在一個頂點處的三個正六邊形,分別有一個內角,它們彼此相鄰,這三個內角的和是多少度?正三角形、正方形呢? 讓學生討論得出:

0因為正六邊形的每一個內角是120，在每一個頂點處有3個正六邊形, 分別有一個內角,它們彼此相鄰,這三個內角的和是360°。

o如圖4,正三角形、正方形密鋪也滿足以拼接點為頂點的各角之和為360。

② 從第① 題看出,如果一種平面圖形能密鋪,那么這種圖形的若干個內角的和是多少度? 讓學生討論得出: 如果一種平面圖形能密鋪,那么這種圖形的若干個內角的和是360°.o③ 正五邊形的每個內角是多少度?它的若干個內角的和能等于360嗎?想一想,全等的正五邊形能密鋪嗎? 讓學生討論得出:

0不能。因為正五邊形的每一個內角是108，不存在正整數n，使n?108??360?成立，所以只用正五邊形不能進行密鋪。(如圖5)由上得出多邊形鑲嵌的條件:

o以拼接點為頂點的各角之和為360 3.分組競賽,培養團隊精神 3.1 用勤儉節約的事例導入用四邊形邊腳余料鋪地板，讓學生學會生活。

我們知道，任意四邊形的內角和為360，全等的四邊形對應邊相等，根據這個道理，把一批形狀、大小完全相同（即全等），但不規則的四邊形邊腳余料（如木器廠的邊腳木塊）用來鋪地板，按照圖6那樣拼接四邊形，就可以不留空隙，鋪成一大片（演示圖6拼法）。3.2 動手操作(分組競賽）：

讓學生用彩色紙剪成一些全等的不規則的四邊形，然后模擬鋪地板（模擬招標選用技術好的工程隊施工的事例，培養學生的競爭意識、實踐應用能力和交往協作能力）。

用膠水貼在硬紙板上，要求顏色相間、邊與邊稍留縫隙，做到平整、美觀,在規定時間內，貼一塊計一分，不平整（有空隙或重疊）非不規則四邊形不計分，不美觀適當扣分，事后評選出小組一、二、三名.4.拼圖解題, 發展合情推理

4.1 請將兩個大小和形狀完全相同的四邊形剪開，然后拼成一個平行四邊形.（提示后學生動手剪拼）

由于所給的兩個四邊形的對應邊相等，四個內角的和剛好為360°，這就有可能拼成一個平行四邊形，根據兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可以如圖7所示將分得的4塊拼成一個平行四邊形.4.2 以△ABC的每一邊為底向三角形外作頂角為120°的等腰△PAB、△QBC、△RCA.求證：△PQR為等邊三角形（如圖8）.此題用一般方法證明非常困難（分析），但用割拼的辦法不難.把統一的圖8發給學生動手剪拼，邊講解邊動手操作: 因為六邊形的內角和為720°，由∠APB=∠BQC=∠CRA=120°，得∠PBQ+∠QCR+∠RAP=360°，且PA=PB，QB=QC，RC=RA，則可將△PBQ、△QCR、△RAP割下拼成一個三角形全等于△PQR，即可拼在△PQR的內部，這樣∠PRQ恰好等于∠ARC的一半，即60°，同理∠RPQ=∠PQR=60°，故△PQR為等邊三角形.5.課堂小節,鞏固鑲嵌知識

提問學生：想一想，學習了這節課后，你了解了哪些知識？明白了哪些道理？有什么感受和收獲？

… …

三、課后作業

1.動手操作：用一些全等的三角形邊腳余料，鋪成無空隙的地板.2.用紙剪一些邊長相同的正八邊形和正方形,鋪在桌面上,能否密鋪? 3.我們常見到如圖9那樣圖案的地面，它們分別是全用正方形和全用正六邊形形狀的材料鋪成的，這樣形狀的材料能鋪成平整、無空隙的地面.現在，問：

（1）像上面那樣鋪地面，能否全用正五邊形的材料，為什么？（2）你能不能另外想出一個用一種多邊形（不一定是正多邊形）的材料鋪地的方案？把你想到的方案畫成草圖.（3）請你再畫出一個用兩種不同的正多邊形材料鋪地的草圖.（安徽中考題）

4.請將一個四邊形剪開，然后拼成一個平行四邊形.(提示:在每邊上取中點，將對邊的中點連起來，沿著對邊中點連線將原四邊形剪成四塊，根據兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，即可拼成如圖10所示的一個平行四邊形.)

☆課后反思 ―― 讓學生動手操作的教學體會

1.在動手操作中導入新課

課的導入設計得妙，就能使學生引起“疑”.疑則思，就能激發學生的求知欲望、學習興趣和愉悅的學習情感.如“三角形的內切圓”導入：我先把一些三角形邊腳余料（全等的不等邊三角形紙片）發給每個同學，要求裁下一塊圓形的用料，即在上面畫一個面積盡可能大的圓，然后剪下這個圓，比較哪位同學的圓最大，怎樣才能使圓的面積最大而導入新課.這樣通過學生動手操作，可以集中學生的注意力，啟發他們的學習動機，使學生聽課能抓住重點，產生強烈的求知欲望.2.在動手操作中講授新課

讓學生動手操作，把抽象的理論直觀化，這不僅能豐富學生的感性認識，而且能使學生在觀察、動手操作的過程中，加深對理論的理解.例如在講“等腰三角形的性質”時，我就讓學生都在紙上用尺規畫一個等腰三角形.先用量角器量兩底角的大小，比較得出：等腰三角形兩底角相等，再請大家用剪刀剪下這個三角形然后對折，同樣發現：等腰三角形兩底角相等，最后通過折疊后的折痕的提示，啟發學生證明這個結論.又如在講“三角形三條邊的關系”時，我要求學生課前準備好長度分別為15cm、22cm、10cm、10cm、10cm的五根木條，從中任取三根首尾順次相接，拼湊成三角形，并對下列問題相互展開討論：（1）任意的三根木條是否能拼成一個三角形？（2）哪樣的三根木條能拼成一個三角形？哪樣的不能？（3）各個三角形的3條邊邊長之間有什么特點？（4）各三角形中任意兩邊的長度和與第3邊的長度之間有何關系？

這樣，通過學生的實踐活動，讓他們展開討論、探索發現，得出結論，自己去獲取知識，是培養學生能力，開發學生智力的主渠道，也是實現教學目標的重要途徑.3.在動手操作中復習鞏固和應用

數學實踐，不僅有利于學生復習鞏固所學知識，提高分析問題、解決問題的能力，而且能培養教學應用意識和應用能力、創新意識和創造能力，如“平面圖形的鑲嵌”中的實踐活動不僅復習鞏固了四邊形、多邊形的內角和，平行四邊形和等邊三角形的判定等數學知識，還從模擬鋪地板的分組競賽中培養了學生的應用意識和協作能力，培養了競爭意識和進行美育教育.從剪拼平行四邊形和割拼證題中培養了學生的創新意識和創造能力.對于生產和生活中的實際問題，學生看得見，摸得著，有的還親身經歷過，所以讓學生動手操作、解決實際問題時，學生都躍躍欲試，想學以致用.如在學完圓周角定理及其推論后，我就設計了這樣一個動手操作材料：某工廠生產了一批工件，工件凹面成半圓的為合格（如圖11，出示工件模型）.今天請同學們當一回質檢員，用直角三角板檢驗工件的凹面是否合格，把工件紙模型分發給全班同學檢驗，檢驗后要求在模型上寫檢驗員姓名和檢驗結果（合格或不合格），并收上來抽查.這樣，讓學生動手操作，可以激發學生的學習興趣，熟練掌握所學數學知識，培養了學生的實踐能力.教學實踐證明，在課程標準允許的范圍內，要大量滲透數學實踐的材料，以培養學生的創新意識和實踐能力，這也是在數學課堂教學中實施素質教育的重要手段.為此，精心設計好一堂課的動手材料最為關鍵，教學中讓學生動手操作，對活躍課堂氣氛，啟迪學生思維，培養學生能力，提高教學質量有著十分重要的作用.金鳳中學校 梁桂發

2011年11月

第四篇：“平面圖形鑲嵌”課題研究的設計

“平面圖形鑲嵌”課題研究的設計

湖北省鐘祥市羅集一中（431925）

“初中生探究性學習研究”課題組組長 熊志新

教材

義務教育課程標準實驗教科書（人教版、華東師大版??）數學·七年級·下冊。

目標 經歷對平面圖形鑲嵌問題的探究與解決（不一定能完全解決）的過程，加強對正多邊形的有關概念、性質的理解； 了解數學知識在實際生活中的應用，培養學生應用數學解決實際問題的意識的能力； 優化思維品質，培養學生發散性思維能力及由特殊到一般的歸 納能力； 通過合作學習，培養學生團結協作的團隊精神。重點

平面圖形鑲嵌在現實生活中的意義。難點

平面圖形的鑲嵌的原理。教學過程 1 課前準備

在上課前兩天，我就布置給學生一個任務，用紙片做一些多邊形、正多邊形的圖片，說是上課要用，學生們都不知道我葫蘆里到底賣的什么藥。但因為這個班每周都有一節數學研究學習課，同學們都很喜歡這種課，在這種課上，大家可以充分展開想象的翅膀，展現自己的才能。所以，各個學習小組的同學都相互合作，完成了我布置的任務。新課導入 “大家見過自己家里地上鋪的地磚及大街上人行道上鋪的地磚 嗎？在這些地面上，相鄰的地磚平整的貼合在一起，整個地面沒有一點空隙。你能簡單描述它的形狀嗎？”這是學非常熟悉的問題，同學們紛紛回答：“有的是正三角形、有的是正方形、有的是正六邊形、有的是平行四邊形??”。分組動手實驗

用事先剪好的正多邊形紙片進行實驗，學生迅速拼出了如圖1所 示的圖形。

圖1 問題導入

“我們能否用其它正多邊形來鋪的地面呢？要求沒有空隙。這就 是今天我們研究的平面圖形鑲嵌問題。比如用正五邊形，大家看行嗎？”

學生用事先剪好的正五邊形紙片進行試驗，馬上發現不行。我又 問：“用正八邊形行嗎？”學生通過實踐發現也不行（如圖2）。

圖2 “想一想，為什么用一種正多邊形鋪滿地面時只有正三角形、正 方形和正六邊形三種而沒有其它正多邊形呢？”

很快地，就有學生說：“因為要使平面完全鑲嵌不留空隙，則正多邊形的每個內角的度數必須能整除360?，符合要求的正多邊形只有正三角形、正方形和正六邊形三種。” 探究原理

正n邊形的每個內角為(n?2)?180?，要求m個正n邊形各有一個內角

n拼于一點，恰好覆蓋地面，這樣有m?(n?2)?180??360?，由此導出：

nm?2n4?2?(n?2)(n?2)，而m,n為整數，所以n只能為3，4，6。

結論：用一種正多邊形鋪滿地面時，只有正三角形、正方形和正六邊形三種（如圖1）。而正五邊形、正八邊形都不能鋪滿地面。??（如圖2）探究創作鑲嵌

“如果不是正多邊形，而是一般的平面圖形又如何呢？比如用任 意一種四邊形能鋪滿地面嗎？”學生用事先剪好的任意四邊形，通過旋轉、反射和平移很快就拼出了如圖3所示的各種圖形。

圖3

探究發現：

（1）任意三角形都可以用以鑲嵌成一個平面；（2）任意形狀的四邊形都能通過旋轉、反射和平移來鑲嵌成一個平面；

（3）只有特定的凸五邊形或凸六邊形可以鑲嵌成一個平面（如圖4）；

（4）多于六邊形的凸多邊形不可能鑲嵌成一個平面。

（圖4）多媒體演示

在學生初步掌握的情況下，采用多媒體教學課件，將本課題研究的問題一一演示，讓學生更加直觀的感悟平面圖形的鑲嵌。

拓展探究

“大家用兩種邊長相等的正多邊形的紙片拼接在一起進行組合，情況又如何呢？”

同學們用兩種邊長相等的正多邊形的紙片拼出了各種各樣的圖形。其中有的能完全鑲嵌，例如用正六邊形的正三角形；有的不能完全鑲嵌，留下了一些空隙，例如用正六邊形和正方形??（如圖5）。

師生共同小結

（1）本節課通過對幾個平面圖形的鑲嵌問題進行研究，加強了對正多邊形的有關性質以及能鑲嵌平面的原理的理解；

（2）通過對問題的探究解決，讓學生參與了知識的發生過程，初步改變了學生的學習方式，培養了學生的實踐能力和探究精神。課后實踐探究

你能否設計出一個用邊長相等的三種不同的正多邊形的地磚鋪地面的方案嗎？把你設計的方案畫成草圖。

附參考圖6。

第五篇：“平面圖形鑲嵌問題”教學案例分析

一、設計背景

本節課問題的實際背景是日常生活中的鋪地磚問題。教材背景是學生剛學完的正多邊形知識。教學的主題是把日常生活中的鋪地磚問題抽象為數學中的平面圖形的完全鑲嵌問題。本節課設計的理論支撐點是建構主義的學習理論，這種理論認為學生的學習不是被動的接受，而是一種主動的探究與建構，認為各個個體對知識的理解隨個人的經驗、經歷的不同而不同。根據這一理論，教師在教學設計中充分考慮到學生的差異，設計了開放性的問題，教學中采用合作學習的方式。

二、實施過程

教學目標：

1、通過對平面圖形鑲嵌問題的探究與解決（當然不一定能完全解決）的過程，加深對正多邊形的有關概念、性質的理解；

2、了解數學知識在實際生產生活中的應用，培養學生應用數學解決實問題的意識和能力；優化思維品質，培養學生發散性思維能力及由特殊到一般的歸納能力；

3、通過合作學習，培養學生團結協作的團隊精神。

課前，教師布置給學生一個任務，用紙片做一些正多邊形的圖片，上課要用，學生們都不知道教師葫蘆里到底賣的什么藥。但因為這個班級每周都有一節數學研究性學習課，同學們都很喜歡這種課，在這種課上，大家可以充分展開想象的翅膀，展現自己的才能。所以，各個學習小組的同學都相互合作，完成了老師布置的任務。

上課了，教師問學生：“大家見過自己家里地上鋪的地磚及馬路上人行道上鋪的地磚吧？都是什么形狀的啊？”這是一個學生非常熟悉的問題，同學們紛紛回答，有的是正方形的，有的是正六邊形的。教師接著追問：“那么，我們能否用其它正多邊形來鋪地面呢？要求沒有空隙。這就是今天我們要研究的平面圖形鑲嵌問題。比如用正五邊形，大家看行嗎？于是同學們分成小組，動手實踐，用事先剪好的正五邊形紙片進行試驗，馬上發現不行。教師又問，用正五邊形不行，用正八邊形行嗎？學生通過實踐發現也不行。教師問學生，那么我們今天要研究的平面圖形鑲嵌問題，應該研究什么問題啊？經過思考，一位學生說：“我們應該研究用什么樣的正多邊形可以完成平面的鑲嵌而不留空隙。”另一位學生接著說：“我們還應該研究用兩種以上的正多邊形能不能完成平面的鑲嵌。”教師對這兩位學生進行了表揚，說：“我們就是要善于提出問題，好，我們今天就一起來研究這兩個問題吧！”

對第一個問題，同學們通過實驗，很快就得出了結論，只有正三角形，正方形或正六邊形這三種正多邊形可以完成平面圖形的鑲嵌。教師引導學生討論，為什么只有這三種而沒有其它正多邊形了。很快地，就有學生回答說，因為要使平面完全鑲嵌不留空隙，正多邊形的內角度數必須能把 360 整除，符合要求的正多邊形只有正三角形、正方形和正六邊形三種。

第一個問題解決了，接著同學們動手研究第二個問題，大家用兩種不同邊數的正多邊形的紙片拼接在一起進行組合，拼出了各種各樣的圖形。其中有的能完全鑲嵌，例如用正六邊形和正三角形，有的則不能完全鑲嵌，留下了一些空隙，例如用正八邊形和正方形。教師把它們都掛在黑板上，供全班同學欣賞、評論。

這時，下課時間快到了，教師讓學生對這節課進行了總結。并提出了第三個問題讓同學們課后去進行實踐探究：你能否想出一個用同一種多邊形（非正多邊形）的地磚鋪地面的方案？把你想到的方案畫成草圖。

三、案例分析

1．本節課通過對幾個平面圖形的鑲嵌問題進行研究，學生加深了對正多邊的有關性質的理解。例如對正多邊的內角度數的理解提高了一個層次。

2．由于研究的問題來自學生的日常生活實際，同學們一點也不感到陌生，因此興致盎然，既提高了學習數學的興趣和積極性，又初步了解了數學在生產生活中有著廣泛的應用。3．以問題為主線層層深入，通過對問題的探究解決，學生參與了知識的發生過程，初步改變了學生的學習方式，培養了學生的實踐能力和探究精神。

四、對案例的反思 1．本節課應用的是正多邊的知識，因此在用哪種正多邊形可以完成平面圖形的完全鑲嵌這一個問題上可以進一步深化，可引導學生用數學的方法來證明只有正三角形、正方形、正六邊形這三種正多邊形能達到目的的正確性，從而進一步培養學生邏輯思維的嚴謹性。2．無空隙這一說法如何用數學語言來敘述？可引導學生歸結為如下結論：拼接后各正多邊形的頂點及邊都是公共頂點與公共邊。

3．學生對本課主題很感興趣，但教學手段略顯單一。是否可以設計多媒體教學課件，在演示時會更直觀。4．留給學生課后研究的問題，應該更具有思考性及可探究性，本節課留給學生探索的問題的可操作性及探究性都有點牽強。可否讓學生進一步觀察，為什么平常用的地磚一般都是正方形的，而貼在墻上的墻磚卻是長方形的，這種長方形墻磚的長與寬的比例是多少？為什么這樣設計？讓學生在探究過程中體驗數學美在生活中的應用。